Ein Programm, das teilt und multipliziert. Bruchrechner: Gleichungen mit Brüchen lösen

Die Division durch einen Dezimalbruch wird auf die Division durch eine natürliche Zahl reduziert.

Die Regel zum Teilen einer Zahl durch einen Dezimalbruch

Um eine Zahl durch einen Dezimalbruch zu dividieren, müssen Sie den Dezimalpunkt sowohl im Dividenden als auch im Divisor um so viele Stellen nach rechts verschieben, wie im Divisor nach dem Dezimalpunkt vorhanden sind. Anschließend dividieren Sie durch eine natürliche Zahl.

Beispiele.

Durch Dezimalbruch dividieren:

Um durch eine Dezimalzahl zu dividieren, müssen Sie den Dezimalpunkt sowohl im Dividenden als auch im Divisor um so viele Stellen nach rechts verschieben, wie hinter dem Dezimalpunkt im Divisor sind, also um eine Stelle. Wir erhalten: 35,1: 1,8 = 351: 18. Nun führen wir die Division mit einer Ecke durch. Als Ergebnis erhalten wir: 35,1: 1,8 = 19,5.

2) 14,76: 3,6

Um Dezimalbrüche zu dividieren, verschieben wir sowohl im Dividenden als auch im Divisor den Dezimalpunkt um eine Stelle nach rechts: 14,76: 3,6 = 147,6: 36. Jetzt führen wir eine natürliche Zahl aus. Ergebnis: 14,76: 3,6 = 4,1.

Um eine natürliche Zahl durch einen Dezimalbruch zu dividieren, müssen Sie sowohl den Dividenden als auch den Divisor um so viele Stellen nach rechts verschieben, wie der Divisor nach dem Dezimalpunkt enthält. Da im Divisor in diesem Fall kein Komma geschrieben wird, ergänzen wir die fehlende Zeichenanzahl mit Nullen: 70: 1,75 = 7000: 175. Teilen Sie die resultierenden natürlichen Zahlen mit einer Ecke: 70: 1,75 = 7000: 175 = 40 .

4) 0,1218: 0,058

Um einen Dezimalbruch durch einen anderen zu dividieren, verschieben wir den Dezimalpunkt sowohl im Dividenden als auch im Divisor um so viele Stellen nach rechts, wie der Divisor nach dem Dezimalpunkt hat, also um drei Dezimalstellen. Somit ist 0,1218: 0,058 = 121,8: 58. Die Division durch einen Dezimalbruch wurde durch die Division durch eine natürliche Zahl ersetzt. Wir teilen uns eine Ecke. Wir haben: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8

Bruchrechner Es wurde für die schnelle Berechnung von Operationen mit Brüchen entwickelt und hilft Ihnen dabei, Brüche einfach zu addieren, zu multiplizieren, zu dividieren oder zu subtrahieren.

Moderne Schulkinder beginnen bereits in der 5. Klasse mit dem Lernen von Brüchen, und die Übungen damit werden von Jahr zu Jahr komplizierter. Mathematische Begriffe und Größen, die wir in der Schule lernen, können uns im Erwachsenenleben selten nützlich sein. Brüche kommen jedoch im Gegensatz zu Logarithmen und Potenzen recht häufig im Alltag vor (Entfernungen messen, Güter wiegen usw.). Unser Rechner ist für schnelle Operationen mit Brüchen konzipiert.

Lassen Sie uns zunächst definieren, was Brüche sind und was sie sind. Brüche sind das Verhältnis einer Zahl zu einer anderen; es handelt sich um eine Zahl, die aus einer ganzen Zahl von Brüchen einer Einheit besteht.

Arten von Brüchen:

• Normal
• Dezimal
• Gemischt

Beispiel gewöhnliche Brüche:

Der obere Wert ist der Zähler, der untere der Nenner. Der Bindestrich zeigt uns, dass die obere Zahl durch die untere Zahl teilbar ist. Anstelle dieses Schreibformats können Sie bei horizontalem Strich auch anders schreiben. Sie können zum Beispiel eine geneigte Linie setzen:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Dezimalzahlen sind die beliebteste Art von Brüchen. Sie bestehen aus einem ganzzahligen Teil und einem Bruchteil, getrennt durch ein Komma.

Beispiel für Dezimalbrüche:

0,2 oder 6,71 oder 0,125

Bestehen aus einer ganzen Zahl und einem Bruchteil. Um den Wert dieses Bruchs herauszufinden, müssen Sie die ganze Zahl und den Bruch addieren.

Beispiel für gemischte Brüche:

Mit dem Bruchrechner auf unserer Website können Sie schnell alle mathematischen Operationen mit Brüchen online durchführen:

• Zusatz
• Subtraktion
• Multiplikation
• Aufteilung

Um die Berechnung durchzuführen, müssen Sie Zahlen in die Felder eingeben und eine Aktion auswählen. Bei Brüchen müssen Sie Zähler und Nenner eingeben; die ganze Zahl darf nicht geschrieben werden (wenn der Bruch gewöhnlich ist). Vergessen Sie nicht, auf die Schaltfläche „Gleich“ zu klicken.

Praktisch ist, dass der Rechner sofort den Prozess zum Lösen eines Beispiels mit Brüchen bereitstellt und nicht nur eine vorgefertigte Antwort. Dank der detaillierten Lösung können Sie dieses Material zur Lösung schulischer Probleme und zur besseren Beherrschung des behandelten Stoffes verwenden.

Sie müssen die Beispielrechnung durchführen:

Nach Eingabe der Indikatoren in die Formularfelder erhalten wir:

Um Ihre eigene Berechnung durchzuführen, geben Sie die Daten in das Formular ein.

Von den vielen Brüchen, die es in der Arithmetik gibt, verdienen diejenigen, die 10, 100, 1000 im Nenner haben – im Allgemeinen jede Zehnerpotenz – besondere Aufmerksamkeit. Diese Brüche haben einen besonderen Namen und eine besondere Schreibweise.

Eine Dezimalzahl ist jeder Zahlenbruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz ist.

Beispiele für Dezimalbrüche:

Warum war es überhaupt notwendig, solche Fraktionen auszusondern? Warum brauchen sie ein eigenes Aufnahmeformular? Dafür gibt es mindestens drei Gründe:

1. Dezimalzahlen sind viel einfacher zu vergleichen. Denken Sie daran: Um gewöhnliche Brüche zu vergleichen, müssen Sie sie voneinander subtrahieren und insbesondere die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Bei Dezimalzahlen ist nichts dergleichen erforderlich;
2. Rechenaufwand reduzieren. Dezimalzahlen addieren und multiplizieren nach ihren eigenen Regeln, und mit ein wenig Übung können Sie mit ihnen viel schneller arbeiten als mit regulären Brüchen;
3. Einfache Aufnahme. Im Gegensatz zu gewöhnlichen Brüchen werden Dezimalzahlen ohne Verlust der Klarheit in einer Zeile geschrieben.

Die meisten Taschenrechner geben Antworten auch in Dezimalzahlen an. In manchen Fällen kann ein anderes Aufnahmeformat Probleme verursachen. Was wäre zum Beispiel, wenn Sie im Laden um Wechselgeld in Höhe von 2/3 eines Rubels bitten :)

Regeln zum Schreiben von Dezimalbrüchen

Der Hauptvorteil von Dezimalbrüchen ist die bequeme und visuelle Notation. Nämlich:

Die Dezimalschreibweise ist eine Form der Schreibweise von Dezimalbrüchen, bei der der ganzzahlige Teil durch einen regelmäßigen Punkt oder ein Komma vom Bruchteil getrennt wird. In diesem Fall wird das Trennzeichen selbst (Punkt oder Komma) als Dezimalpunkt bezeichnet.

Zum Beispiel 0,3 (sprich: „Null Zeiger, 3 Zehntel“); 7,25 (7 ganze, 25 Hundertstel); 3,049 (3 ganze, 49 Tausendstel). Alle Beispiele sind der vorherigen Definition entnommen.

Beim Schreiben wird üblicherweise ein Komma als Dezimalpunkt verwendet. Hier und im weiteren Verlauf der Website wird auch das Komma verwendet.

Um einen beliebigen Dezimalbruch in dieser Form zu schreiben, müssen Sie drei einfache Schritte ausführen:

1. Schreiben Sie den Zähler separat auf;
2. Verschieben Sie den Dezimalpunkt um so viele Stellen nach links, wie der Nenner Nullen enthält. Nehmen Sie an, dass sich der Dezimalpunkt zunächst rechts von allen Ziffern befindet.
3. Wenn sich der Dezimalpunkt verschoben hat und danach am Ende der Eingabe Nullen stehen, müssen diese durchgestrichen werden.

Es kommt vor, dass der Zähler im zweiten Schritt nicht genügend Ziffern hat, um die Verschiebung abzuschließen. In diesem Fall werden die fehlenden Stellen mit Nullen aufgefüllt. Und im Allgemeinen können Sie links von jeder Zahl beliebig viele Nullen zuweisen, ohne Ihre Gesundheit zu beeinträchtigen. Es ist hässlich, aber manchmal nützlich.

Auf den ersten Blick mag dieser Algorithmus recht kompliziert erscheinen. Eigentlich ist alles ganz, ganz einfach – man muss nur ein wenig üben. Schauen Sie sich die Beispiele an:

Aufgabe. Geben Sie für jeden Bruch seine Dezimalschreibweise an:

Der Zähler des ersten Bruchs ist: 73. Wir verschieben den Dezimalpunkt um eine Stelle (da der Nenner 10 ist) – wir erhalten 7,3.

Zähler des zweiten Bruchs: 9. Wir verschieben den Dezimalpunkt um zwei Stellen (da der Nenner 100 ist) – wir erhalten 0,09. Ich musste eine Null nach dem Komma und eine weitere davor hinzufügen, um keinen seltsamen Eintrag wie „.09“ zu hinterlassen.

Der Zähler des dritten Bruchs ist: 10029. Wir verschieben den Dezimalpunkt um drei Stellen (da der Nenner 1000 ist) – wir erhalten 10,029.

Der Zähler des letzten Bruchs: 10.500. Wieder verschieben wir den Punkt um drei Ziffern – wir erhalten 10.500. Am Ende der Zahl stehen zusätzliche Nullen. Streichen Sie sie durch und wir erhalten 10,5.

Achten Sie auf die letzten beiden Beispiele: die Zahlen 10,029 und 10,5. Gemäß den Regeln müssen die Nullen auf der rechten Seite durchgestrichen werden, wie im letzten Beispiel. Sie sollten dies jedoch niemals mit Nullen innerhalb einer Zahl tun (die von anderen Zahlen umgeben sind). Deshalb haben wir 10,029 und 10,5 erhalten und nicht 1,29 und 1,5.

Also haben wir die Definition und Form der Schreibweise von Dezimalbrüchen herausgefunden. Jetzt wollen wir herausfinden, wie man gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umwandelt – und umgekehrt.

Umrechnung von Brüchen in Dezimalzahlen

Betrachten wir einen einfachen numerischen Bruch der Form a /b. Sie können die Grundeigenschaft eines Bruchs nutzen und Zähler und Nenner mit einer solchen Zahl multiplizieren, dass das Ergebnis eine Zehnerpotenz ist. Aber bevor Sie das tun, lesen Sie Folgendes:

Es gibt Nenner, die nicht auf Zehnerpotenzen reduziert werden können. Lernen Sie, solche Brüche zu erkennen, da sie mit dem unten beschriebenen Algorithmus nicht verarbeitet werden können.

Das ist es. Nun, wie verstehen Sie, ob der Nenner auf eine Zehnerpotenz reduziert wird oder nicht?

Die Antwort ist einfach: Zerlegen Sie den Nenner in Primfaktoren. Enthält die Erweiterung nur die Faktoren 2 und 5, kann diese Zahl auf eine Zehnerpotenz reduziert werden. Wenn es andere Zahlen gibt (3, 7, 11 – was auch immer), können Sie die Zehnerpotenz vergessen.

Aufgabe. Prüfen Sie, ob die angegebenen Brüche als Dezimalzahlen dargestellt werden können:

Schreiben wir die Nenner dieser Brüche auf und faktorisieren sie:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - es sind nur die Zahlen 2 und 5 vorhanden, daher kann der Bruch als Dezimalzahl dargestellt werden.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - es gibt einen „verbotenen“ Faktor 3. Der Bruch kann nicht als Dezimalzahl dargestellt werden.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Alles ist in Ordnung: Es gibt nichts außer den Zahlen 2 und 5. Ein Bruch kann als Dezimalzahl dargestellt werden.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 · 4 · 3. Der Faktor 3 ist wieder „aufgetaucht“. Er kann nicht als Dezimalbruch dargestellt werden.

Damit haben wir den Nenner geklärt – schauen wir uns nun den gesamten Algorithmus zum Umwandeln in Dezimalbrüche an:

1. Faktorisieren Sie den Nenner des ursprünglichen Bruchs und stellen Sie sicher, dass er im Allgemeinen als Dezimalzahl darstellbar ist. Diese. Überprüfen Sie, ob die Erweiterung nur die Faktoren 2 und 5 enthält. Andernfalls funktioniert der Algorithmus nicht.
2. Zählen Sie, wie viele Zweier und Fünfer in der Erweiterung vorhanden sind (es wird dort keine anderen Zahlen geben, erinnern Sie sich?). Wählen Sie einen zusätzlichen Faktor, sodass die Anzahl der Zweier und Fünfer gleich ist.
3. Tatsächlich multiplizieren wir Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs mit diesem Faktor – wir erhalten die gewünschte Darstellung, d. h. Der Nenner wird eine Zehnerpotenz sein.

Selbstverständlich wird auch der Zusatzfaktor nur in Zweier und Fünfer zerlegt. Um Ihr Leben nicht zu verkomplizieren, sollten Sie gleichzeitig den kleinsten Multiplikator von allen wählen.

Und noch etwas: Wenn der ursprüngliche Bruch einen ganzzahligen Teil enthält, konvertieren Sie diesen Bruch unbedingt in einen unechten Bruch – und wenden Sie erst dann den beschriebenen Algorithmus an.

Aufgabe. Wandeln Sie diese numerischen Brüche in Dezimalzahlen um:

Lassen Sie uns den Nenner des ersten Bruchs faktorisieren: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Daher kann der Bruch als Dezimalzahl dargestellt werden. Die Erweiterung enthält zwei Zweier und keine einzige Fünf, daher beträgt der zusätzliche Faktor 5 2 = 25. Damit ist die Anzahl der Zweier und Fünfer gleich. Wir haben:

Schauen wir uns nun den zweiten Bruch an. Beachten Sie dazu, dass 24 = 3 8 = 3 2 3 – es gibt ein Tripel in der Entwicklung, sodass der Bruch nicht als Dezimalzahl dargestellt werden kann.

Die letzten beiden Brüche haben die Nenner 5 (Primzahl) bzw. 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 – es kommen überall nur Zweier und Fünfer vor. Darüber hinaus reicht im ersten Fall „für vollkommenes Glück“ ein Faktor von 2 nicht aus und im zweiten Fall 5. Wir erhalten:

Umrechnung von Dezimalzahlen in gewöhnliche Brüche

Die umgekehrte Konvertierung – von der dezimalen in die reguläre Notation – ist viel einfacher. Hier gibt es keine Einschränkungen oder besondere Prüfungen, Sie können also jederzeit einen Dezimalbruch in den klassischen „zweistöckigen“ Bruch umwandeln.

Der Übersetzungsalgorithmus lautet wie folgt:

1. Streichen Sie alle Nullen auf der linken Seite der Dezimalstelle sowie den Dezimalpunkt durch. Dies ist der Zähler des gewünschten Bruchs. Die Hauptsache ist, es nicht zu übertreiben und die inneren Nullen, die von anderen Zahlen umgeben sind, nicht zu streichen;
2. Zählen Sie, wie viele Dezimalstellen es nach dem Komma gibt. Nehmen Sie die Zahl 1 und fügen Sie rechts so viele Nullen hinzu, wie Sie Zeichen zählen. Dies wird der Nenner sein;
3. Schreiben Sie tatsächlich den Bruch auf, dessen Zähler und Nenner wir gerade gefunden haben. Wenn möglich, reduzieren Sie es. Wenn der ursprüngliche Bruch einen ganzzahligen Teil enthielt, erhalten wir nun einen unechten Bruch, was für weitere Berechnungen sehr praktisch ist.

Aufgabe. Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandeln: 0,008; 3.107; 2,25; 7,2008.

Streichen Sie die Nullen links und die Kommas durch – wir erhalten die folgenden Zahlen (das sind die Zähler): 8; 3107; 225; 72008.

Im ersten und zweiten Bruch gibt es 3 Dezimalstellen, im zweiten 2 und im dritten sogar 4 Dezimalstellen. Wir erhalten die Nenner: 1000; 1000; 100; 10000.

Zum Schluss kombinieren wir die Zähler und Nenner zu gewöhnlichen Brüchen:

Wie aus den Beispielen hervorgeht, kann der resultierende Anteil sehr oft reduziert werden. Ich möchte noch einmal darauf hinweisen, dass jeder Dezimalbruch als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann. Die umgekehrte Konvertierung ist möglicherweise nicht immer möglich.

Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, beim Bau von Bauwerken und sogar im Sport eingesetzt. Der Mensch benutzte Gleichungen schon in der Antike, und seitdem hat ihre Verwendung nur noch zugenommen. Eine lineare Gleichung mit Dezimalstellen wird auf die gleiche Weise gelöst wie viele andere Gleichungen, aber Sie müssen mit der Lösung beginnen, indem Sie die Gleichung kürzen und die Dezimalstellen entfernen.

Angenommen, wir erhalten eine Gleichung der folgenden Form:

Diese Gleichung kann auf zwei verschiedene Arten gelöst werden.

Methode Nr. 1:

Wir beginnen die Lösung, indem wir die Gleichung durch das Öffnen von Klammern vereinfachen. Da vor der Klammer eine Zahl steht, multiplizieren wir diese Zahl mit jedem Term in Klammern:

Jetzt hat unsere Gleichung eine lineare Form, dank derer wir die Übertragung von Unbekannten in die eine und ganze Zahlen in die andere Richtung durchführen:

\[ - 7,2x + 5,2x = 1,7 - 14,4 - 4,3\]

Teilen Sie 2 Teile durch die Zahl vor \

\[ - 2x = - 17\]

Antwort: \

Methode Nummer 2:

Bei dieser Methode multiplizieren Sie die linke und rechte Seite mit 10:

Dies ist eine lineare Gleichung, die analog zu Methode 1 gelöst werden kann:

\[ - 72x + 52x = 17 - 144 - 43\]

\[ - 20x = - 170\]

Antwort: \

Wo kann ich Dezimalgleichungen online lösen?

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