sogar ungerade C ++\u003e (6)

Wenn Sie zwei Ganzzahlen hinzufügen, fügt ihre Parität hinzu, sodass die Lösung einfach ist:

If (((j + m)% 2)

UNSIGNED-Wraparound verstößt nicht gegen diese Eigenschaft, da dies im Modul UINT_MAX + 1 erfolgt, was eine gerade Zahl ist.

Diese Lösung hängt nicht von den spezifischen Umsetzungsteilen ab, beispielsweise einer negativen numerischen Darstellung.

Fußnote: Ich versuche zu verstehen, warum so viele andere Antworten das Problem mit Hilfe von Bitverschiebungen, Bits-Add-Ons, Xor usw. erschweren Code anstelle eines einfachen Codes.

Ich habe int m und unsigniert int j, und Sie möchten feststellen, ob sie gerade oder ungerade sind.

Vorher habe ich benutzt

If (((int (j) + m)% 2)

den Fall, dass nur eins ungerade ist. Aber ich besorgt, dass das Casting on Int die ungerade Parität J fälschlicherweise ändert.

ich weiß es

Wenn (J% 2! \u003d M% 2)

es funktioniert nicht, weil "M% 2" -1 generiert wird, wenn M negativ ist, was immer als wahr, unabhängig vom Wert von j% 2 wird.

Wenn (1 & (I ^ j)) (// hierher kommen, wenn ich sogar ist und j ist ungerade // oder wenn ich seltsam und j noch ist)

^ ist ein exklusiver-oder-a-Batch-Operator, der jedes Bit in beiden Zahlen überprüft, wenn sie den gleichen Wert haben. Wenn zum Beispiel die binäre Darstellung I 0101 und J gleich 1100 ist, wird ich dann auf 1001 an 1001 als ihres ersten und letzten Bit anders bewertet, während die durchschnittlichen Bits gleich sind.

& IT ist ein Batch-Operator, der jedes Bit in beiden Zahlen überprüft, wenn sie beide gleich 1 sind.

Da nur das letzte Bit jeder Zahl bestimmt, ob es noch oder ungerade ist, werde ich ^ J ^ J wertet ... xxx0 Wenn sie beide noch oder ungerade sind, und ... xxx1 ansonsten (XS spielt keine Rolle, wir sind in keiner Fall, sie sehen sie an). Seit 1 wirklich ... 0001, 1 & (i ^ j) wird als 0 geschätzt, wenn ich und j noch oder ungerade sind, und ansonsten.

Es funktioniert auf einer beliebigen Kombination von nicht signierten Zahlen, 2s-Add-Ons und einem Zeichen und einer Größe, jedoch nicht auf dem seltenen 1S-Ergänzungsmittel, wenn genau eins negativ ist.

Es kann leicht vereinfacht werden:

Wenn (! (J% 2)! \u003d! (M% 2)), falls (BOOL (J% 2)! \u003d BOOL (J% 2))

Wenn ((ABS (M)% 2)! \u003d (J% 2))

stellen Sie sicher, dass Sie Math.h einschalten.

#Einschließen.

Der absolute Wert ergreift das Zeichen des Schilds, das das linke Bit im Speicher ist.

Konvertieren Sie in der Reihenfolge unterzeichnet und definiert auf C99.

Begriffe Betreiber sollten auch mit dem C99-Compiler zusammenarbeiten, und der mit einem kleineren Maximalwert signierte Maximalwert wird in den größeren (ohne Zeichen unterschrieben) umgewandelt.

INT_MAX Unsigniert int, das int_max in INT ist, garantiert keine Erstattung eines angemessenen Werts. Das Ergebnis ist nicht definiert.

Die Anziehungskraft von int bis vorsigniert int führt immer zu einem bestimmten Verhalten - es macht Mathematik mod 2 ^ k für einige k groß genug, so dass jeder positive int weniger als 2 ^ k war.

If (((int (j) + m)% 2)

muss sein

If (((J + unsigniert (m))% 2)

If ((j% 2) \u003d\u003d (unsigniert (m)% 2))

dies ist der einfachste Weg, um zu sehen, ob beide die gleiche Parität sind. Der Übergang zu den vorzeichenlosen AKA MOD 2 ^ K wird die Parität aufrechterhalten, und in unsignierter% 2 kehrt die Parität (und nicht nicht negative Parität) an.

Sei nicht zu smart

Jeder von ihnen hat Probleme?

Wenn (! (J% 2)! \u003d! (M% 2)), falls (BOOL (J% 2)! \u003d BOOL (J% 2))

Eine der Probleme, die ich sehe, ist die Lesbarkeit. Es ist möglicherweise nicht offensichtlich für einen anderen (oder Ihrer Zukunft), was er tun sollte oder was er tatsächlich tut.

Sie könnten ausdrucksvoller sein und einige zusätzliche Linien ausgeben:

#Einschließen. Const bool fooiseven \u003d foo% 2 \u003d\u003d 0; Const bool bariseven \u003d std :: abs (bar)% 2 \u003d\u003d 0; if (fooiseven \u003d\u003d bariseven) (// ...)

Wir werden auch die Möglichkeit berücksichtigen, die ordnungsgemäß benannte Funktion umzusetzen, was einen Vergleich der Parität von zwei angegebenen integrierten Typen bietet. Es reinigt nicht nur Ihren Code, sondern verhindert auch, dass Sie sich selbst wiederholen.

Veränderung : Ersetzt durch Klicken auf Anruf STD :: ABS

Anzeichen für Referenz

Wenn in der Dezimalform der Anzahl der Zahlen letzte Ziffer Es ist eine gerade Zahl (0, 2, 4, 6 oder 8), dann ist die ganze Zahl auch bewusst, sonst - ungerade.
42 , 104 , 11110 , 9115817342 - gerade Zahlen.
31 , 703 , 78527 , 2356895125 - ungerade Zahlen.

Arithmetik

• Addition und Subtraktion:
  • C.± C.auch \u003d. C.yotnaya.
  • C.± N.designeous \u003d. N.design
  • N.abstieg ± C.auch \u003d. N.design
  • N.abstieg ± N.designeous \u003d. C.yotnaya.
• Multiplikation:
  • C.×. C.auch \u003d. C.yotnaya.
  • C.×. N.designeous \u003d. C.yotnaya.
  • N.designy × N.designeous \u003d. N.design
• Einteilung:
  • C./ C.es ist definitiv unmöglich, das Ergebnis des Ergebnisses zu beurteilen (wenn das Ergebnis eine Ganzzahl ist, dann kann es sogar als auch ungerade sein)
  • C./ N.kurz \u003d wenn das Ergebnis eine Ganzzahl ist, dann C.yotnaya.
  • N.kurz / C."Das Ergebnis kann keine Ganzzahl sein und besitzen Attribute
  • N.kurz / N.kurz \u003d wenn das Ergebnis eine Ganzzahl ist, dann N.design

Geschichte und Kultur

Das Konzept der Bereitschaft der Zahlen ist mit einer tiefen Antike bekannt und er hat oft mystische Bedeutung angebracht. Also, in der alten chinesischen Mythologie entsprachen keine Versorgung Yin und sogar - Yang.

In verschiedenen Ländern gibt es traditionelle Traditionen, die mit der Anzahl der Noten verbunden sind, zum Beispiel in den Vereinigten Staaten, Europa und einigen östlichen Ländern, es gilt in Betracht, dass ein klarer Betrag an Farbfarben Glück bringt. In Russland wird eine klare Anzahl von Farben nur für das Begräbnis der Toten gemacht; In Fällen, in denen in einem Blumenstrauß viele Farben, Bereitschaft oder Seltsamkeit ihrer Zahl nicht eine solche Rolle spielen.

Anmerkungen

Wikimedia Foundation. 2010.

• Richtigkeit
• Seltsame und sogar Funktionen

Watch Was ist "ungerade Zahlen" in anderen Wörterbüchern:

Gerade und ungerade Zahlen - Bereit in der Theorie der Zahlen, die für eine Ganzzahl charakteristisch ist, die seine Fähigkeit bestimmt, einen Fokus auf zwei zu teilen. Wenn eine Ganzzahl ohne ein Reserve für zwei geteilt ist, wird es sogar aufgerufen (Beispiele: 2, 28, -8, 40), wenn nicht intern (Beispiele: 1, 3, 75, -19). ... ... Wikipedia.

Zahlen - In vielen Kulturen, insbesondere im babylonischen, Hindu und Pythagoran, hat die Zahl ein grundlegendes Prinzip, das der Welt der Dinge zugrunde liegt. Es ist der Beginn aller Dinge und der Harmonie des Universums, der hinter ihrer äußeren Beziehung steht. Die Zahl ist das Hauptprinzip ... ... Wörterbuch der Symbole.

Zahlen - ♠ Der Schlafwert hängt davon ab, wo genau und in welcher Form Sie die Nummer gesehen haben, die Sie gestrichelt haben, sowie von seinem Wert. Wenn sich die Nummer im Kalender befand, ist eine Warnung, dass Sie an diesem Tag ein wichtiges Ereignis finden, das alle Ihre ... ... ... Big Family Dream Book

Wurzelzahl - (Wurzel der Nummer) Die Zahl x, deren Wert in dem Grad R gleich y ist. Wenn y \u003d xr, dann X - R - Grad von y. Beispielsweise ist X in Gleichung y \u003d x2, x ein Quadratwurzel von y und wird wie folgt geschrieben: x \u003d √ y \u003d y1 / 2; Wenn z \u003d x3, dann x - kubisch ... ... Wirtschaftswörterbuch.

Pythagoras und Pythagoraner - Pythagoras wurde auf dem Samos geboren. Das Flourieren seines Lebens fällt auf die 530er Jahre v. Chr. Und der Tod am Anfang v c. Bc. Dioogen Laertsky, einer der berühmten Biographen von antiken Philosophen, informiert uns: jung und gierig zum Wissen, ließ er Vaterland, ... ... Western Philosophie von Quellen bis heute

sop. - (von Griechisch. Soros Heap) Kette von abgekürzten Syllogismen, in denen weggelassen oder groß oder ein kleineres Paket ist. Es gibt zwei Arten S.: 1) C. In dem, in dem ausgehend vom zweiten Slitogismus in der SILLOGISM-Schaltung das kleinere Paket bestanden wird; 2) S., in dem ... ... ... Wörterbuch der Begriffe logisch

"Heiliger" Bedeutung der Zahlen in Glauben und Lehren - Zum Material "07/07/07. Verliebt in die ganze Welt glaubte an die Zahlen der Zahlen" mit einer tiefen Antike der Zahl eine wichtige und vielfältige Rolle im menschlichen Leben. Alte Menschen, die ihnen besondere, übernatürliche Eigenschaften zurückzuführen sind; Einige Zahlen Promo ... ... Enzyklopädie Newsmaker.

Numerologie - und; G. [Lat. Numero Ich denke und griechisch. Logos-Lehre] Lehre basierend auf dem Glauben an einen übernatürlichen Auswirkungen auf das Schicksal einer Person, eines Landes usw. Kombinationen bestimmter Zahlen, Zahlen. ◁ numerologisch, AYA, OE. N ist die Vorhersage. * * * Numerologie ... ... Enzyklopädisch Wörterbuch

Zufällige einfache Zahl. - In der Kryptographie wird unter einer zufälligen, einfachen Zahl eine bestimmte Anzahl von Bits in der Binäreingabe verstanden, auf deren Generationalgorithmus bestimmte Einschränkungen überlagert sind. Zufällige einfache Zahlen sind ... ... Wikipedia

Glückszahl - In der Theorie der Zahlen ist eine glückliche Zahl eine natürliche Anzahl von mehreren "Sieb" erzeugt, ähnlich dem Eratospensieb, der einfache Zahlen erzeugt. Beginnen wir mit der Liste der Ganzzahlen, ab 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... ... Wikipedia

Bücher

• Ich bin in Mathematik tätig. Für Kinder 6-7 Jahre, Sorokina Tatiana Vladimirovna. Die Hauptaufgaben des Handbuchs sollen das Kind mit den mathematischen Konzepten "den Begriff", "Menge", "reduziert", "subtrahiert", "Differenz", "eindeutige / zweistellige Zahlen", "eindeutig / ungerade" kennen, ..

Sogar null - Frage, prüfen Sie, ob null gerade oder ungerade nummer . Null - gerade Zahl . Der Punkt der Kratzer verursacht jedoch Zweifel an der Umwelt der Menschen, die nicht mit Mathematik vertraut sind. Die meisten Menschen werden vor dem Identifizieren von 0 als Selbstzahlung übergedacht, verglichen mit der Identifizierung herkömmlicher Zahlen wie 2, 4, 6 oder 8. Einige Studenten, die Mathematik studieren, und sogar einige Lehrer berücksichtigen irrtümlich , oder sogar und intern in der gleichzeitig. Oder enthalten es nicht in jede Kategorie.

Per Definition ist eine Selbstnummer ganze Zahl Das anteile auf keinen Rückstand. Null hat alle Eigenschaften, die jedem inhärent sind, zum Beispiel 0 auf beiden Seiten mit ungeraden Zahlen, jede Dezimalzählung hat die gleiche Bereitschaft wie die letzte Ziffer dieser Nummer, da somit 10 bekannt ist, dann wird 0 auch sein sogar. Wenn ein Y (\\ displaystyle y) ist sogar die Nummer Y + x (\\ displaystyle y + x) hat eine solche Bereitschaft, die hat X (\\ displaystyle x), aber X (\\ displaystyle x) und 0 + x (\\ displaystyle 0 + x) Habe immer die gleiche Bereitschaft.

Null entspricht auch den Gesetzen, die andere Teile bilden. Eigenkapitalregeln in Arithmetik, wie z selbst intelligent \u003d sogarEs wird angenommen, dass 0 auch wissen sollte. Null ist zusatzstoff Neutrales Element einer Gruppe von geraden Zahlen, und der Anfang, von dem andere Teile rekurisch identifiziert werden ganzzahl . Anwendung einer solchen Rekursion theorien der Grafiken. Die rechnerische Geometrie stützt sich auf die Tatsache, dass Null sogar ist. Null ist nicht nur um 2 geteilt, es ist in alle Zweigrade unterteilt. In diesem Sinne ist 0 die "wichtigste" Anzahl aller Zahlen.

Warum null ist

Um zu beweisen, dass null bewusst ist, können Sie die Standarddefinition von "Reader" direkt verwenden. Die Nummer wird aufgerufen, wenn dies ein Vielfaches 2 ist. Beispielsweise ist der Grund dafür, dass die Zahl 10 bekannt ist, dass es 5 × 2 ist. Gleichzeitig ist Null auch ein Multiple 2, dh 0 × 2, daher ist Null sogar.

Darüber hinaus kann erklärt werden, warum Null bekannt ist, ohne formale Definitionen anzuwenden.

Einfache Erklärungen.

Zahlen können mit den Punkten aufgestellt werden numerische Achse . Wenn es darauf angewendet wird, und ungerade Zahlen wird ihr Gesamtmuster offensichtlich, insbesondere wenn negative Zahlen hinzugefügt werden:

Gerade und ungerade Zahlen wechseln sich miteinander abwechseln. Es gibt keinen Grund, die Zahl Null zu überspringen.

Mathematischer Kontext

Die numerischen Ergebnisse der Theorie appellieren an der Haupttheorem der Arithmetik und algebraische Eigenschaften von geraden Zahlen, so dass das vorgenannte Übereinkommen weitreichende Folgen hat. Zum Beispiel die Tatsache, dass positive Zahlen ein einzigartiges haben faktorisierung Dies bedeutet, dass es für eine bestimmte Anzahl möglich ist, festzustellen, ob sie eine gleichmäßige oder erfinderische Anzahl verschiedener einfacher Multiplizierer hat. Da 1 keine einfache Zahl ist und auch keine einfachen Faktoren hat, ist es ein leeres Produkt von Primzahlen; Da die 0-One-Punkt-Nummer 1 eine Einwegzahl von einfachen Faktoren hat. Es folgt dem funktion Moebius. Nimmt den Wert von μ (1) \u003d 1, der erforderlich ist, um eine multiplikative Funktion zu sein und für die MOEBIUS-Rotationsformel zu arbeiten.

In Ausbildung

Die Frage ist, ob eine Nullzahl im britischen Schulsystem stieg. Zahlreiche Umfragen der Schul- und Meinungen des Schulkinds zu diesem Thema wurden abgehalten. Es stellte sich heraus, dass die Jünger auf unterschiedliche Weise auf verschiedene Weise von der Bereitschaft von Null geschätzt werden: Einige betrachten es in Betracht, einige - intern, andere glauben, dass es sich um eine spezielle Zahl handelt - und der andere gleichzeitig oder weder zu anderen. Und die Jünger der fünften Noten geben öfter die richtige Antwort als Studenten von sechsten Noten.

Da Studien gezeigt haben, sind sogar Lehrer in Schulen und Universitäten die Bereitschaft von Null nicht ausreichend bewusst. So, zum Beispiel etwa 2/3 Lehrer Universität von Südflorida Sie antworteten mit "Nein" an die Frage "ist eine Nullzahl?" .

Anmerkungen

Literatur

• Anderson, Ian (2001), Ein erster Kurs in diskreter Mathematik, London: Springer, ISBN 1-85233-236-0.
• Anderson, Marlow & Feil, Todd (2005), Ein erster Kurs in abstrakter Algebra: Ringe, Gruppen und Felder, London: CRC Press, ISBN 1-58488-515-7.
• Andrews, Edna (1990), Markierentheorie: Die Vereinigung der Asymmetrie und der Semiose in der Sprache, Durham: Duke University Press, ISBN 0-8223-0959-9.
• Arnold, C. L. (1919. Januar 1919), "Die Zahl Null", Die ohio pädagogische monatlich T. 68 (1): 21-22 , . Checkte am 11. April 2010.
• Arsham, Hossein (Januar 2002), Null in vier Dimensionen: historische, psychologische, kulturelle und logische Perspektiven, . Am 24. September 2007 überprüft. Archivkopie vom 25. September 2007 auf Wayback-Maschine.
• Ball, Deborah Loewenberg; Hill, Heather C. & Bass, Hyman (2005), "Wissende Mathematik für Unterricht: Wer kennt Mathematik gut genug, um die dritte Klasse zu unterrichten, und wie können wir entscheiden?", Amerikanischer Erzieher., . Am 16. September 2007 überprüft.
• Ball, Deborah Loewenberg; Lewis, Jennifer & Thames, Mark Hoover (2008), "Mathematik arbeiten in der Schule", Zeitschrift für Forschung in der Mathematik-Bildung T. M14: 13-44 und 195-200 , . Checkte 4. März 2010.
• Barbeau, Edward Joseph (2003), Polynome., Springer, ISBN 0-387-40627-1.
• Baroody, Arthur & Coslick, Ronald (1998), Die mathematische Macht der Kinder fördern: Ein untersuchter Ansatz für k-8, Lawrence Erlbaum Associates, ISBN 0-8058-3105-3.
• Berlinghoff, William p.; Grant, Kerry E. & Skrien, Dale (2001), Ein Mathematik-Sampler: Themen für die liberalen Künste (5. Rev. ed.), Rowman & Littlefield, ISBN 0-7425-0202-3.
• Grenze, Kim C. (1985), Feste Punkt-Theorems mit Anwendungen zur Economics and Game Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-38808-2.
• BRISMAN, Andrew (2004), Mensa Leitfaden für Casino-Glücksspiele: Gewinnen, Sterling, ISBN 1-4027-1300-2.
• Bündel, Bryan H. (1982), Mathematische Fallen- und Paradoxien, Van nostrand reinhold, ISBN 0-442-24905-5.
• Caldwell, Chris K. & Xiong, Yeng (27. Dezember 2012), "Was ist der kleinste Prime?" Journal of Integer-Sequenzen T. 15 (9) ,
• Spalte 8 Leser (10. März 2006A), Spalte 8. (Erstes ed.), P. achtzehn, Factiva. SMHH000020060309E23A00049.
• Spalte 8 Leser (16. März 2006B), Spalte 8. (Erstes ed.), P. zwanzig, Factiva. SMHH000020060315E23G0004Z.
• Crumpacker, Bunny (2007), Perfekte Figuren: die Lore der Zahlen und wie wir gelernt haben, Macmillan, ISBN 0-312-36005-3.
• Cutler, Thomas J. (2008), Das Handbuch des Bluejackets: Vereinigte Staaten Navy (Centennial Ed.), Naval Institute Presse, ISBN 1-55750-221-8.
• Dehaene, Stanislas; Bossini, Serge & Giraux, Pascal (1993), "Die mentale Vertretung der Parität und der numerischen Größe", Journal der experimentellen Psychologie: Allgemein T. 122 (3): 371-396, doi. :10.1037/0096-3445.122.3.371 , . Am 13. September 2007 überprüft.
• Devlin, Keith (April 1985), "The Goldene Zeitalter der Mathematik", Neuer Wissenschaftler. T. 106 (1452)
• Diagrammgruppe (1983), Die offizielle Weltentzyklopädie von Sport und SpielenPaddington-Presse, ISBN 0-448-22202-7.
• Dickerson, David S & Pitman, Damien J (Juli 2012), Tai-yih TSO, ED., "Advanced College-Level-Studierende" Kategorisierung und Verwendung mathematischer Definitionen ", Verfahren der 36. Konferenz der Internationalen Gruppe für die Psychologie der Mathematikbildung T. 2: 187-195 ,
• Dummit, David S. & Foote, Richard M. (1999), Abstrakte Algebra. (2e ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-36857-1.
• Bildungsuntersuchungsdienst (2009), Mathematische Konventionen für das quantitative Denkmaßnahme des GRE®-überarbeiteten allgemeinen Tests, Bildungsversuchsservice , . Am 6. September 2011 überprüft.
• Freudenthal, H. (1983), Didaktische Phänomenologie mathematischer Strukturen, Dordrecht, Niederlande: Reidel
• Frobierer, Len (1999), Anthony Orton, Ed., Kenntnisse der Grundschulkinder von ungeraden und geraden Zahlen, London: Cassell, S. 31-48.
• Gouvêa, Fernando Quadros (1997), p. -Arbeitsnummern: Eine Einführung (2. ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-62911-4.
• Gurers, Timothy (2002), Mathematik: Eine sehr kurze Einführung, Oxford University Press. , ISBN 978-0-19-285361-5.
• Graduate Management-Zulassungsrat (September 2005), Der offizielle Guide for GMAT Review (11. ed.), McLean, VA: Graduate Management-Zulassungsrat, ISBN 0-9765709-0-4.
• Grimes, Joseph E. (1975), Der Faden des Diskurses, Walter de Gruyter, ISBN 90-279-3164-x
• Hartsfield, Nora & Ringel, Gerhard (2003), Perlen in der Graph-Theorie: Eine umfassende Einführung, Mineola: Kurier Dover, ISBN 0-486-43232-7.
• Hügel, Heather c.; Blunk, Merrie l.; Charalambous, Charalambos Y. & Lewis, Jennifer M. (2008), "Mathematisches Wissen für Unterricht und die mathematische Unterrichtsqualität: eine Erkundungsstudie", Erkenntnis und Anleitung. T. 26 (4): 430-511 , Doi 10.1080 / 07370000802177235
• Hohmann, George (25. Oktober 2007), Unternehmen lassen den Markt einen neuen Namen ermitteln, von. P1c, Factiva. CGAZ000020071027E3AP0001L.
• Kaplan-Mitarbeiter (2004), Kaplan Sat 2400, 2005 Edition, Simon und Schuster, ISBN 0-7432-6035-X
• Keith, Annie (2006), Mathematisches Argument in einer zweiten Klasse: Generieren und Begründung generalisierter Zustände über ungerade und gerade Zahlen, IAP, ISBN 1-59311-495-8.
• Kranz, Steven George (2001), Wörterbuch von Algebra, Arithmetik und Trigonometrie, CRC-Presse, ISBN 1-58488-052-x
• Levenson, Esther; Tsamir, Pessia & Tirosh, Dina (2007), "Weder noch ungerade: Sechste Schüler" Dilemmas in Bezug auf die Parität von Null ", Das Journal des mathematischen Verhaltens T. 26 (2): 83-95 , Doi 10.1016 / j.jmathb.2007.05.004
• Lichtenberg, Betty Plogeett (November 1972), "Null ist eine gerade Zahl", Der arithmetische Lehrer. T. 19 (7): 535-538
• Lorentz, Richard J. (1994), Rekursive Algorithmen., Intellekte Bücher, ISBN 1-56750-037-4.
• Lovas, William & PFenning, Frank (22. Januar 2008), "ein bidirektionales Raffinement-Typ-System für LF", Elektronische Notizen in theoretischer Informatik T. 196: 113-128, doi. : 10.1016 / j.entcs.2007.09.021 , . Am 16. Juni 2012 überprüft.
• Lovász, László. ; Pelikán, József & Vesztergombi, Katalin L. (2003), Diskrete Mathematik: Grundeinrichtung und darüber hinaus, Springer, ISBN 0-387-95585-2.
• Morgan, Frank (5. April 2001), Alte MünzenDie mathematische Vereinigung von Amerika , . Am 22. August 2009 überprüft.
• NIPKOW, Tobias; Paulson, Lawrence C. & Wenzel, Markus (2002), Isabelle / HOL: ein Nachweisassistent für Logik höherer Ordnung, Springer, ISBN 3-540-43376-7.
• Nuerk, Hans-Christoph; Ives, Wibars & Willmes, Klaus (Juli 2004), "Notational Modulation des Snarc und der Marc (Sprachmarkierung der Antwortcodes) Effekt", Das vierteljährliche Journal der experimentellen Psychologie a T. 57 (5): 835-863 , Doi 10.1080 / 02724980343000512
• Partee, Barbara Hall (1978), Grundlagen der Mathematik für Linguistik, Dordrecht: D. Reidel,