Was sind die Wege der Zersetzung von Multiplikatoren. Komplexe Fälle von Zersetzung von Polynomen auf Multiplikatoren
Dies ist eine der elementaren Möglichkeiten, den Ausdruck zu vereinfachen. Um diese Methode anzuwenden, erinnern wir uns an das Vertriebsgesetz der Multiplikation relativ zur Ergänzung (keine Angst vor diesen Worten, Sie kennen dieses Gesetz, ich könnte einfach seinen Namen vergessen).
Das Gesetz sagt: Um den Betrag von zwei Zahlen auf die dritte Zahl zu multiplizieren, müssen Sie jede Ausrichtung an diese Zahl multiplizieren, und die erhaltenen Ergebnisse sind mit anderen Worten gefaltet.
Sie können auch die entgegengesetzte Operation ausführen, dies ist genau dieser umgekehrte Betrieb von uns und interessiert uns. Wie aus der Probe ersichtlich ist, kann der allgemeine Faktor A aus der Halterung genommen werden.
Eine solche Operation kann sowohl mit Variablen wie zum Beispiel als auch mit Zahlen erfolgen :.
Ja, das ist zu elementarem Beispiel sowie das vorherige Beispiel mit der Zersetzung der Zahl, da jeder diese Zahlen kennt und in eingeteilt ist, und was ist, wenn Sie einen Ausdruck erhalten, der komplizierter hat:
Wie erfahren Sie, was zum Beispiel durch die Nummer geteilt wird, mit einem Taschenrechner, kann jeder in der Lage sein und ohne es schwach? Dafür gibt es Anzeichen von Teilbarkeit, diese Zeichen sind wirklich wissenswert, sie helfen Ihnen, schnell zu verstehen, ob der allgemeine Multiplizierer aus der Halterung genommen werden sollte.
Anzeichen von Teilbarkeit
Sie sind nicht so schwer zu erinnern, dass die meisten von ihnen am wahrscheinlichsten vertraut waren, und etwas wird eine neue nützliche Entdeckung sein, mehr in der Tabelle:
Hinweis: Der Tisch fehlt ein Zeichen der Teilbarkeit um 4. Wenn die beiden letzten Figuren in 4 unterteilt sind, ist die gesamte Anzahl in 4 unterteilt.
Wie gefällt dir das Zeichen? Ich berate sie, sich daran zu erinnern!
Nun, lass uns zum Ausdruck zurückkehren, vielleicht reicht es für eine Halterung und genug mit ihm? Nein, Mathematiker sind üblich, um zu vereinfachen, so vollständig, alles, was herausgenommen wird!
Und mit Igrek ist alles klar, und was ist mit einem numerischen Teil des Ausdrucks? Beide Zahlen sind ungerade, so dass es nicht möglich ist, teilzunehmen,
Sie können ein Zeichen der Teilbarkeit einsetzen, die Anzahl der Zahlen, von denen die Zahl gleich ist, und in eingeteilt ist, bedeutet dies, dass er geteilt wird.
Wenn Sie es wissen, können Sie in der Spalte sicher teilen, da dies als Folge der Division beim Empfangen (Anzeichen von Teilbarkeit nützlich war!). Somit können wir die Hälfte sowie y und als Ergebnis annehmen:
Um sicherzustellen, dass Sie alles richtig gelegt haben, können Sie die Zersetzung überprüfen, multiplizieren!
Der allgemeine Multiplizierer kann auch in Leistungsausdrücken herausgenommen werden. Siehe zum Beispiel einen allgemeinen Multiplikator?
Alle Mitglieder dieses Ausdrucks haben xer - wir ertragen, jeder ist in eingeteilt - wir nehmen wieder ein, wir sehen uns an, was passiert ist :.
2. Formeln der abgekürzten Multiplikation
Die Formeln der abgekürzten Multiplikation wurden bereits in der Theorie erwähnt, wenn Sie sich kaum erinnern, was es ist, dann sollten Sie sie in Erinnerung auffrischen.
Nun, wenn Sie sich sehr klug und zu faul halten, um eine solche Informationswolke zu lesen, lesen Sie einfach weiter, schauen Sie sich die Formel an und versuchen Sie sofort nach Beispielen.
Die Essenz dieser Zerlegung besteht darin, eine bestimmte Formel in dem vorhandenen Ausdruck vor Ihnen zu bemerken, um es anzuwenden und ihn zu erhalten, also das Produkt von etwas und etwas, das ist alles Zerfall. Die folgenden sind Formeln:
Versuchen Sie jetzt, die folgenden Ausdrücke auf Multiplikatoren mit den obigen Formeln auszubreiten:
Aber was sollte passieren:
Wie Sie es geschafft haben, zu bemerken, sind diese Formeln eine sehr effektive Art der Zersetzung von Multiplikatoren, es ist nicht immer geeignet, kann aber sehr nützlich sein!
3. Gruppieren oder Gruppiermethode
Und hier ist ein weiterer Gläubiger:
also, was wirst du damit machen? Es scheint in etwas aufgeteilt zu sein und etwas auf und auf
Aber alle zusammen teilen sich nicht eine Sache, gut es gibt keinen allgemeinen FaktorWie suche nicht, also gehen Sie also nicht für Multiplikatoren aus?
Hier ist es notwendig, eine Mischung zu zeigen, und der Name dieser Rieche ist eine Gruppierung!
Es wird angewendet, wenn es keine gemeinsamen Divisors von allen Mitgliedern gibt. Zur Gruppierung ist es notwendig finden Sie Gruppen von Begriffen, die gemeinsame Trennwände haben Und um sie neu anzuordnen, so dass ein und derselbe Multiplizierer von jeder Gruppe erhalten werden können.
Es ist nicht notwendig, an einigen Orten neu zu ordnen, aber es gibt Klarheit, denn Klarheit ist möglich, einige Teile des Ausdrucks in den Klammern zu ergreifen, es ist nicht verboten, so viel zu installieren, wie Sie möchten, ist die Hauptsache nicht eingeschüchtert.
Ist das alles nicht klar? Ich werde das Beispiel erklären:
Im Polynom - wir setzen ein Mitglied - nach einem Mitglied - wir bekommen
wir gruppieren die ersten beiden Mitglieder in einer separaten Halterung zusammen und gruppieren auch die dritte und vierte Mitglieder, ich erhalte ein "Minus" -Zeichen für die Halterung, wir bekommen:
Und jetzt sehen wir auf jeden der beiden "Haufen" separat aus, für den wir den Ausdruck mit Klammern gebrochen haben.
Der Trick besteht darin, solche Fehler zu brechen, von denen es möglich ist, den maximalen Multiplizierer durchzuführen, oder wie in diesem Beispiel versuchen, Mitglieder zu gruppieren, so dass wir nach der Erstellung der Multiplizierer von Multiplizierern für eine Halterung die gleichen Ausdrücke blieben.
Von beiden Klammern durchführen wir allgemeine Multiplizierer von Mitgliedern aus der ersten Halterung, und von der zweiten erhalten wir:
Dies ist jedoch keine Zerlegung!
P.esel Die Zerlegung sollte nur Multiplikation erhaltenSolange wir ein Polynom haben, das gerade in zwei Teile aufgeteilt ist ...
ABER! Dieses Polynom hat einen allgemeinen Multiplizierer. Das
für Halterung und eine letzte Arbeit bekommen
Bingo! Wie Sie sehen, gibt es bereits ein Stück und aus Klammern, weder zusätzlich, noch Subtraktion, Zersetzung, weil Wir haben nichts mehr für die Klammern.
Es mag das Wunder erscheinen, dass wir nach Multiplizierer für Klammern die gleichen Ausdrücke in Klammern hinterlassen haben, was wir wieder hinter der Halterung durchgeführt haben.
Und es ist kein Wunder, die Tatsache ist, dass Beispiele in Lehrbüchern und die Prüfung in der EE spezifisch so gemacht werden, dass die meisten Ausdrücke in den Aufgaben zur Vereinfachung oder faktorisierung Mit dem richtigen Ansatz ist es leicht vereinfacht und scharf zusammengebrochen als ein Regenschirm, wenn Sie die Taste drücken, hier und nach derselben Taste in jedem Ausdruck suchen.
Etwas, was ich abgelenkt habe, was ist mit einer Vereinfachung? Das komplizierte Polynom nahm eine einfachere Form :.
Stimme nicht zu, nicht so umständlich, wie war es?
4. Isolierung eines vollen Platzes.
Manchmal ist es notwendig, das vorhandene Polynom umzuwandeln, um die Formeln der abgekürzten Multiplikation zu verwenden, was eine seiner Begriffe in Form einer Summe oder der Unterschied von zwei Mitgliedern darstellt.
In diesem Fall müssen Sie es tun, aus dem Beispiel lernen:
Das Polynom in dieser Form kann nicht mit den Formeln der abgekürzten Multiplikation zersetzt werden, sodass sie konvertiert werden muss. Vielleicht ist es zunächst nicht offensichtlich, dass ein Mitglied, das ein Merhn sammelt, aber im Laufe der Zeit lernen Sie, sofort die Formeln der abgekürzten Multiplikation zu sehen, selbst wenn sie nicht vollständig anwesend sind, und wird ziemlich schnell bestimmt, was nicht ist genug, um voll in voller Formel, aber für jetzt - lernen, Student oder eher ein Schüler.
Für die volle Formel des Quadrats des Unterschieds hier stattdessen. Stellen Sie sich das dritte Mitglied als Unterschied vor, wir erhalten: Zum Ausdruck in Klammern können Sie die Formel des Square of Differenz auftragen (nicht mit dem Unterschied der Quadrate verwechselt zu werden !!!)Wir :, Zu diesem Ausdruck können Sie die Formel des Square-Unterschieds anwenden (nicht mit dem Quadrat des Unterschieds verwechselt zu werden !!!), Ich uhr, wie bekommen wir :.
Der Ausdruck wird nicht immer auf den Faktoren entfaltet, die leichter und weniger aussieht, als vor der Zersetzung, aber in dieser Form wird es beweglicher, in dem Sinne, in dem Sie nicht über die Änderung der Zeichen und anderer mathematischer Unsinn dämpfen können. Nun, hier für eine unabhängige Entscheidung müssen die folgenden Ausdrücke auf Multiplikatoren abgebaut werden.
Beispiele:
Antworten:
5. Zersetzung des Quadrats Drei Dekar auf Multiplikatoren
Bei der Zersetzung eines Quadrats drei Zersetzung auf den Faktoren siehe weitere in den Beispielen der Zersetzung.
Beispiele von 5 Methoden der Zersetzung von Polynom an Multiplikatoren
1. Entfernen eines gemeinsamen Faktors für Klammern. Beispiele.
Erinnern Sie sich an das, was ein Vertriebsgesetz ist? Dies ist eine Regel:
Beispiel:
Versand von Polynomen an Multiplikatoren.
Entscheidung:
Ein anderes Beispiel:
Auf Multiplizierer verbreiten.
Entscheidung:
Wenn der Begriff vollständig hinter den Klammern beendet ist, bleibt das Gerät stattdessen in Klammern!
2. Formeln der abgekürzten Multiplikation. Beispiele.
Am häufigsten verwenden wir die Formelndifferenz von Quadraten, den Unterschied der Würfel und die Menge an Würfeln. Erinnerst du dich an diese Formeln? Wenn nicht, wiederholen Sie das Thema dringend!
Beispiel:
Erkunden Sie den Ausdruck auf Multiplikatoren.
Entscheidung:
In diesem Ausdruck ist es leicht, den Unterschied der Würfel zu erfahren:
Beispiel:
Entscheidung:
3. Gruppierungsmethode. Beispiele
Manchmal kann es an Orten so geändert werden, dass derselbe Multiplizierer von jedem einzelnen benachbarten Bedingungen zugeteilt werden kann. Dieser gemeinsame Faktor kann durch Halterung erreicht werden, und das anfängliche Polynom wird zu einer Arbeit verwandelt.
Beispiel:
Verbreiten Sie die Multi-Multiproperierer.
Entscheidung:
Verfugen Sie die Komponenten wie folgt:
.
In der ersten Gruppe werde ich einen allgemeinen Multiplizierer für die Halterung und in der zweiten bringen -:
.
Nun kann die allgemeine Fabrik auch für Zahnspangen eingereicht werden:
.
4. Methode der hochquadratischen Isolation. Beispiele.
Wenn das Polynom in Form des Quadrats der Quadrate zweier Ausdrücke dargestellt werden kann, bleibt es nur dann, die Formel der abgekürzten Multiplikation (die Differenz der Quadrate) aufzubringen.
Beispiel:
Verbreiten Sie die Multi-Multiproperierer.
Entscheidung:Beispiel:
\\ Begin (array) (* (35) (l))
((x) ^ (2)) + 6 (x) -7 \u003d \\ Unterbrennen (((x) ^ (2)) + 2 \\ cdot 3 \\ cdot x + 9) _ (quadrat \\ 1 \\ ((\\ Links) (X + 3 ™ rechts)) ^ (2))) - 9-7 \u003d ((links (x + 3 \\ rechts)) ^ (2)) - 16 \u003d \\\\
\u003d \\ links (x + 3 + 4 \\ rechts) \\ links (x + 3-4 \\ rechts) \u003d \\ links (x + 7 \\ rechts) \\ links (x-1 \\ rechts) \\\\
\\ End (Array)
Verbreiten Sie die Multi-Multiproperierer.
Entscheidung:
\\ Begin (array) (* (35) (l))
((x) ^ (4)) - 4 ((x) ^ (2)) - 1 \u003d \\ Unterbrüche (((x) ^ (4)) - 2 \\ cdot 2 \\ cdot ((x) ^ (2) ) +4) _ (Square \\ Differenz ((\\ Left (((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( (2)) - 2 \\ rechts)) ^ (2)) - 5 \u003d \\\\
\u003d \\ links (((x) ^ (2)) - 2+ \\ sqrt (5) \\ rechts) \\ links (((((x) ^ (2)) - 2- \\ sqrt (5) \\ rechts) \\\\
\\ End (Array)
5. Zersetzung des Quadrats Drei Dekar auf Multiplikatoren. Beispiel.
Quadratisches Drei-Melen ist eine Polynomansicht, in der das Unbekannte einige Zahlen ist, und.
Die Werte der Variablen, die das quadratische Drei-Shed auf Null drehen, werden als Wurzeln von drei Schüssen bezeichnet. Folglich sind die Wurzeln von Dreischüssen die Wurzeln der quadratischen Gleichung.
Satz.
Beispiel:
Verbreiten Sie auf Multiplikatoren quadratische Threiesties :.
Erstens lösen wir eine quadratische Gleichung: Jetzt können Sie die Zersetzung dieses Quadrats drei Zersetzungen auf Faktoren aufzeichnen:
Jetzt deine Meinung ...
Wir malten detailliert, wie und um das Polynom an Multiplikatoren zu legen.
Wir haben viele Beispiele geführt, wie es in der Praxis geht, wies auf die Fallstricke, gab Lösungen ...
Was sagst du?
Wie gefällt Ihnen diesen Artikel? Verwenden Sie diese Techniken? Verstehst du ihre Essenz?
Schreiben Sie in Kommentare und ... Bereiten Sie sich auf die Prüfung vor!
Bisher ist er am wichtigsten in Ihrem Leben.
Was tun, wenn Sie dies tun, wenn Sie das Problem von der Prüfung oder auf der Aufnahmeprüfung in der Mathematik ein Polynom erhalten haben, das die Multiplizierer nicht möglich, die Multiplizierer mit den Standardmethoden, die Sie zur Schule gelernt haben, nicht möglich sind? In diesem Artikel wird ein Mathematik-Tutor über einen effektiven Weg erzählen, dessen Studie über das Schulprogramm hinausgeht, aber mit Hilfe dessen, mit dem das Polynom nicht viel schwierig ist, das Polynom zu zersetzen. Nehmen Sie diesen Artikel bis zum Ende und schauen Sie sich das angewandte Video-Tutorial an. Wissen, das Sie erhalten, wird Ihnen bei der Prüfung helfen.
Zersetzung eines Polynoms zur Divisionsmethode
Für den Fall, dass Sie mehr als den zweiten Grad ein Polynom erhalten haben und den Wert der Variablen erraten könnten, in der dieses Polynom null wird (beispielsweise ist dieser Wert gleich), wissen Sie! Dieses Polynom kann ohne Rückstand aufgeteilt werden.
Zum Beispiel ist es leicht zu sehen, dass der vierte Polynom auf Null anspricht. Dies bedeutet, dass es ohne Rückstände unterteilt werden kann, wobei ein Polynom des dritten Grades (weniger pro Einheit) erhalten wird. Das ist, vorstellen:
wo EIN., B., C. und D. - einige Zahlen. Rückrufhalterungen:
Da die Koeffizienten mit den gleichen Abschlüssen gleich sein sollten, erhalten wir:
Also, bekam:
Gehen Sie geradeaus. Es reicht aus, um einige kleine Ganzzahlen zu sortieren, die sehen, dass das Polynom des dritten Grades erneut geteilt wird. Dies erhält ein Polynom mit zweiter Grad (weniger pro Einheit). Gehen Sie dann zu einem neuen Eintrag:
wo E., F. und G. - einige Zahlen. Wir zeigen Klammern und kommen zum folgenden Ausdruck:
Wieder aus dem Zustand der Gleichheit der Koeffizienten mit den gleichen Abschlüssen bekommen wir:
Dann bekommen wir:
Das heißt, das anfängliche Polynom kann wie folgt auf den Faktoren zersetzt werden:
Falls gewünscht, auf Wunsch, mit der Formel, der Differenz der Quadrate, kann das Ergebnis auch wie folgt eingereicht werden:
Dies ist so ein einfacher und effektiver Weg, um Polynome auf Multiplikatoren zu zersetzen. Erinnere dich daran, er kann auf der Prüfung oder Olympiade in der Mathematik praktisch kommen. Prüfen Sie, ob Sie gelernt haben, diese Methode zu verwenden. Versuchen Sie, die folgende Aufgabe selbst zu lösen.
Verbreiten Sie das Polynom an Multiplikatoren:
Schreiben Sie Ihre Antworten in die Kommentare.
Material zubereitet, Sergey Valerievich
- 1. Behandlung eines gemeinsamen Faktors für Klammern und Gruppiermethode. In einigen Fällen ist es ratsam, einige Mitglieder für den Betrag (Differenz) solcher Bedingungen zu ersetzen oder miteinander zu zerstörenden Mitgliedern einzuführen.
- 2. Die Verwendung von Formeln der abgekürzten Multiplikation.Manchmal müssen Sie Multiplizierer für Klammern, Gruppenmitglieder aushalten, den vollen Platz und nur dann die Menge der Würfel, den Unterschied von Quadraten oder den Unterschied der Würfel, um in Form einer Arbeit darzustellen.
- 3. Verwenden des Satzes des Mauses und der Methode unsicherer Koeffizienten.
Beispiel . Versand auf Multiplikatoren:
P 3 (x) \u003d x 3 + 4x 2 + 5x + 2;
Da p 3 (-1) \u003d 0 ist, dann ist das Polynom p 3 (x) durch x + 1 geteilt. Die Methode von unbestimmten Koeffizienten findet privat aus der Aufteilung des Polynoms
P 3 (x) \u003d x 3 + 4x 2 + 5x + 2 pro springen x + 1.
Lassen Sie das Privat ein Polynom X 2 + essen. Da x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) · (x 2 +) \u003d
X 3 + (+ 1) · x 2 + () · x +, wir erhalten das System:
Wovon. Folglich p 3 (x) \u003d (x + 1) · (x 2 + 3x + 2).
Da x 2 + 3x + 2 \u003d x 2 + x + 2x + 2 \u003d x · (x + 1) + 2 · (x + 1) \u003d (x + 1) · (x + 2), dann p 3 (x ) \u003d (x + 1) 2 · (x + 2).
4. Die Verwendung des Satzes des Schlamms und der Abteilung der "Bühne".
Beispiel . Zerlegen Sie sich auf Multiplikatoren an
P 4 (x) \u003d 5 · x 4 + 9 · x 3 -2 · x 2 -4 · x -8.
Entscheidung . Da P 4 (1) \u003d 5 + 9-2-4-8 \u003d 0 ist, dann ist P 4 (X) in (X-1) unterteilt. Division "Spalte" finden wir privat
Daher,
P 4 (x) \u003d (x-) · (5 · x 3 + 14x 2 + 12x + 8) \u003d
\u003d (x - 1) · p 3 (x).
Da p 3 (-2) \u003d -40 + 56-24 + 8 \u003d 0 ist, dann ist das Polynom P 3 (x) \u003d 5 · x 3 + 14x 2 + 12x + 8 durch x + 2 geteilt.
Finden Sie eine Privatabteilung der "Bühne":
Daher,
P 3 (X) \u003d (x + 2) · (5 · x 2 + 4x + 4).
Da die Diskriminante des Quadrats drei nimmt 5 · x 2 + 4x + 4 ist d \u003d -24<0, то этот
quadrat dreifach an linearen Multiplizierern zersetzt sich nicht.
Also p 4 (x) \u003d (x - 1) · (x + 2) · (5 · x 2 + 4x + 4)
5. Verwenden des MOUTURE-Satzes und des Gorner-Systems. Die von diesen Methoden erhaltenen privaten Methoden können auf Multiplizierer auf andere oder auf dieselbe Weise dispergiert werden.
Beispiel . Versand auf Multiplikatoren:
P 3 (x) \u003d 2 · x 3 -5 · x 2 -196 · x + 99;
Entscheidung .
Wenn dieses Polynom rationale Wurzeln aufweist, können sie nur unter Zahlen 1/2, 1, 3/2, 3, 9/2, 11/2, 9, 33, 99, 11 sein.
Um die Wurzel dieses Polynoms zu finden, verwenden wir die folgende Anweisung:
Wenn an den Enden einiger Segments der Wert des Polynoms unterschiedliche Anzeichen aufweist, dann auf dem Intervall (ein; b) Es gibt mindestens eine Wurzel dieses Polynoms.
Für dieses Polynom p 3 (0) \u003d 99, p 3 (1) \u003d - 100. Daher gibt es mindestens eine Wurzel dieses Polynoms auf dem Intervall (0; 1). Daher ist es unter denen, die über 24 Nummern geschrieben wurden, zuerst ratsam, diese Zahlen zu überprüfen, die zum Intervall gehören
(0; 1). Von diesen Zahlen gehört nur die Zahl zu diesem Intervall.
Der Wert von P 3 (x) mit x \u003d 1/2 ist nicht nur durch direkte Substitution, sondern auch auf andere Weise, beispielsweise nach dem Bergschema, zu finden, da p () der Rückstand von der Division entspricht des Polynomials p (x) bis x-. Darüber hinaus ist dieses Verfahren in vielen Beispielen bevorzugt, da auch beide Koeffizienten gleichzeitig angeordnet sind.
Nach dem Bergschema für dieses Beispiel erhalten wir:
Da P 3 (1/2) \u003d 0, x \u003d 1/2 ist, ist die Wurzel des Polynoms P 3 (x) und das Polynom p 3 (x) in X-1/2 unterteilt, d. H. 2 · x 3 -5 · x 2 -196 · x + 99 \u003d (x-1/2) · (2 \u200b\u200b· x 2 -4 · x -8).
Da 2 · x 2 -4 · x-198 \u003d 2 · (x 2 -2 · x + 1-100) \u003d 2 · ((x-1) 2 -10 2) \u003d 2 · (x + 9) · ( x-11) Dann
P 3 (x) \u003d 2 · x 3 -5 · x 2 -196 · x + 99 \u003d 2 · (x-1/2) · (x + 9) · (x-11).
Das Konzept der Ringringe
Lassen ZUund L. Kommutative Ringe
Definition 1. : Ring. ZU Simple Ringe Expansion genannt K. Verwenden von Elementen x. und schreibe:
L \u003d k [x]Wenn die Bedingungen erfüllt sind:
seitenringe
Grundsatz K [x]bedeuten Somubs. L, k [x].
Definition 2. : Einfache expansion. L \u003d k [x] Ringe K. mit der Hilfe x. - einfache transzendente Ringerweiterung K. mit der Hilfe x.Wenn die Bedingungen erfüllt sind:
seitenringe
Wenn, dann
Definition 3. : Element x. transzendent über dem Ring angerufen K.Wenn der Zustand erfüllt ist: Wenn dann
Satz. Lassen K [x] Einfache transzendentale Expansion. Wenn und wo, dann
Beweise . Durch den Zustand wird der zweite Ausdruck von dem ersten Ausdruck abgezogen, wir erhalten: Seit dem Element x. Transcendentien nad. K., dann von (3) bekommen wir :.
Ausgabe. Jedes Element einer einfachen transzendentalen Ausdehnung von ungleicher Null, kommutativer Ring K. Verwenden eines Artikels. x. Ermöglicht die einzige Darstellung in Form einer linearen Kombination von ganzen Non-negativen Graden des Elements x.
Definition: Ring des Polynoms von einem unbekannten x. Über, ungleiche Null, Ring K. Es wird als einfache transzendentale Expansion eines nicht-Null-Kommutierungsrings bezeichnet K. Verwenden eines Artikels. x..
Satz . Für keinen null kommutativen Ring K, Es gibt seine einfache transzendentale Erweiterung mit einem Element. x, k [x]
Operationen auf Polynomialen.
Lassen Sie k [x] ein Ring von Polynomen sein, der nicht den kommenden Ring null ist K.
Definition 1: Die zu k [x] gehörenden Polynome F und G werden als gleichberechtigt bezeichnet und schreiben f \u003d g, wenn alle Pflanzen des Polynoms F und G einander gleich sind und in einigen Grad des Unbekannten stehen x.
Logische Folge . In der Aufzeichnung des Polynoms ist die Reihenfolge der Ausrichtung nicht signifikant. Das Bauteil mit einem Nullkoeffizienten, der von der Aufzeichnung des Polynoms einatmet und ausgenommen wird, ändert nicht das Polynom.
Definition 2. Die Menge der Polynome F und G wird als Polynom-F + G bezeichnet, bestimmt durch Gleichstellung:
Definition 3. : - Das Produkt von Polynomen ist gekennzeichnet, das von der Regel bestimmt wird:
Der Grad der Polynomen
Lass den kommutativen Ring. K [x] Ring von Polynomialen über dem Feld K. : ,
Definition : Lassen Sie - jedes Polynom. Wenn die gesamte nicht negative Zahl n der Grad der Polynomen ist f.. Gleichzeitig schreiben sie n \u003d deg f..
Zahlen sind die Koeffizienten des Polynoms, wo - der leitende Koeffizient.
Wenn ein, f. - normalisiert. Der Grad des Nullpolynoms ist unsicher.
Eigenschaften des Grades des Polynoms
K. - Bereich der Integrität
Beweise :
So wie. ZU - der Bereich der Integrität.
Corollars 1. : k [x] über dem Feld ZU (Integrität) ist wiederum ein Integritätsbereich. Für jeden Integritätsbereich gibt es einen Anwendungsbereich.
Corollars 2. : Für jeden K [x] über dem Integritätsbereich ZU Es gibt ein privates Feld.
Abteilung auf Bounce und Wurzeln des Polynoms.
Lassen Sie das Element als Polynomwert bezeichnet werden f. Aus dem Argument.
Theorem bezu. : Für jedes Polynom und ein Element gibt es einen Artikel :.
Beweise : Lassen Sie - jedes Polynom
Logische Folge : Der Rückstand aus der Aufteilung des Polynoms ist gleich.
Definition : Das Element wird als Wurzel des Polynoms bezeichnet f., wenn ein.
Satz : Lassen Sie das Element die Wurzel sein f. dann und nur, wenn ergründet f.
Beweise:
Brauchen. Aus dem theorem, er folgt dem theorem, dass aus den Eigenschaften der Teilbarkeit folgt
Ausreichend. Lass das. Ch.t.d.
Die maximale Anzahl der Wurzeln des Polynoms über dem Integritätsbereich.
Satz : Lassen Sie k der Bereich der Integrität sein. Anzahl der Wurzeln des Polynoms f. Im Bereich der Integrität k. Kein Grad mehr n. Polynom f..
Beweise :
Induktion durch den Grad des Polynoms. Lass das Polynom f. Es hat Nullwurzeln, und ihre Anzahl überschreitet nicht.
Lassen Sie den Satz für jeden erwiesen werden.
Wir zeigen, dass aus Absatz 2 die Wahrheit der Genehmigung des Satzes für Polynomen folgt.
Lassen Sie zwei Fälle möglich sein:
- A) Polynom f. Es hat keine Wurzeln, daher ist die Aussage des Satzes wahr.
- B) Polynom f. hat zumindest die Wurzel, auf dem Satz ohne den MOUTURE, da k. - Bereich der Integrität, dann durch Eigenschaft 3 (Polynomgrad), folgt das
Als, k - Der Bereich der Integrität.
Somit sind alle Wurzeln des Polynoms die Wurzel des Polynoms g. Da in der Induktionsannahme die Anzahl aller Wurzeln des Polynoms g. nicht mehr n., somit, f. hat nicht mehr ( n +.1) Wurzel.
Logische Folge : Lassen k. - Bereich der Integrität, wenn die Anzahl der Wurzeln des Polynoms f. Mehr Nummern n,wo das f. - Nullpolynom.
Algebraische und funktionale Gleichheit von Polynomen
Sei, sei ein paar Art von Polynom, es definiert eine Funktion
im Allgemeinen kann jedes Polynom eine Funktion definieren.
Satz : Lassen k.- Der Integritätsbereich ist somit für die Gleichheit von Polynomialen und Gleichheit (identische Gleichheit ()) definiert und.
Beweise :
Brauchen. Lassen Sie beide - den Bereich der Integrität ,.
Lass das ist
Ausreichend. Lass uns das vorgeben. Betrachten Sie, weil k. Integritätsbereich, dann Polynom h. hat die Anzahl der Wurzeln, von der Untersuchung folgt das h. Nullpolynom. So, bt.t.
Diskussionssatz mit dem Rückstand
Definition : Euclidean Ring. K. als ein solcher Bereich der Integrität genannt k,dass die Funktion die Funktion bestimmt h,die benachbarten ganzgerechten nicht negativen Werte und erfüllt den Zustand
Bei der Ermittlung von Elementen für diese Elemente heißt es als Division mit dem Rückstand, ist ein unvollständiges privates, - das Saldo der Division.
Sei - der Ring der Polynome über dem Feld.
Theorem (auf der Division mit dem Rückstand) : Lassen Sie - der Ring der Polynome über dem Feld und das einzelne Paar von Polynomen ist ein Polynom, so dass der Zustand erfüllt ist oder. oder
Beweise : Das Vorhandensein eines Polynoms. Lass das ist. Der Satz ist gültig, offensichtlich, wenn nicht null oder seit oder. Wir beweisen den Theorem, wann. Der Nachweis durch Induktion des Polynomsgrades, nehme an, dass der Satz (mit Ausnahme der Einzigartigkeit), für das Polynom bewiesen ist. Wir zeigen, dass in diesem Fall die Genehmigung des Satzes gemacht wird. In der Tat, sei - der älteste Koeffizient des Polynoms, daher hat das Polynom den gleichen leitenden Koeffizienten und den Grad des Grads, der ein Polynom aufweist, daher das Polynom aufweist oder ein Nullpolynom ist oder ist. Wenn dann, also, wenn wir bekommen. Wenn in der induktiven Annahme daher, also, wenn wir bekommen oder. Die Existenz des Polynoms ist nachgewiesen.
Wir zeigen, dass ein solches Paar Polynomen der einzige ist.
Lassen Sie sich entweder subtrahieren :. Zwei Fälle sind möglich oder.
Andererseits. Durch Zustand oder oder.
Wenn ein. Der Widerspruch wird also erhalten. Die Einzigartigkeit ist nachgewiesen.
Corollars 1. : Ring von Polynomialen über dem Feld, ist der euklidische Raum.
Corollars 2. : Ring der Polynomen, ist der Ring der Hauptidealde Ideale (ein beliebiger Ideal hat einen einzelnen Generator)
Jeder euklidische Ring faktorisch: Ring des Polynoms über, wird als Faktorierring bezeichnet.
Algorithmus Euclida. Knoten von zwei Polynomen
Lassen Sie den Ring der Polynome oben.
Definition 1. Wenn es ein Polynom gibt, ist der Rückstand der Division Null, der aufgerufene Polynomanteiler und ist angedeutet: ().
Definition 2. : Der größte allgemeine Teiler von Polynomen wird als Polynom genannt:
und (- ein gemeinsamer Teiler und).
(auf einem gemeinsamen Teiler und).
Der größte allgemeine Teiler von Polynomen und wird vom Knoten (;) bezeichnet. Häufige Teilnetze aller Polynome umfassen alle Polynome von Null-Grad von, das heißt kein Nullfeld. Es kann sich herausstellen, dass zwei Daten des Polynoms und keine gemeinsamen Divisors aufweisen, die nicht Null-Polynome sind.
Definition : Wenn Polynome und keine gemeinsamen Divisors von nicht zahlreicher Null-Grad haben, werden sie miteinander aufgerufen.
Lemma : Wenn Polynomials von oben auf dem Feld stammen, gibt es einen Platz, der größte gemeinsame Teiler von Polynomen und Knoten ist zugeordnet. ~.
Aufzeichnung ( a ~ B.) Bedeutet, dass (s) definitionsgemäß.
Beweise : Lass ich.
und daher folgt, dass wir das lehren werden - dem allgemeinen Teiler des Polynoms und.
generalteiler und erhalten
Algorithmus Euclida.
Die Zersetzung von Polynomialen auf Multiplizierern ist eine identische Transformation, wodurch das Polynom in ein Produkt von mehreren Faktoren umgewandelt wird - Polynome oder Einflächen.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Polynome auf Multiplikatoren zu zersetzen.
Verfahren 1. Verschiebung eines gemeinsamen Faktors für die Klammer.
Diese Transformation basiert auf dem Verteilungsgesetz der Multiplikation: AC + BC \u003d C (A + B). Die Essenz der Umwandlung besteht darin, in den beiden Bauteilen den allgemeinen Faktor und "Out" für Klammern zuzuordnen.
Wir werden die Polynome des Polynoms 28x 3 - 35x 4 zersetzen.
Entscheidung.
1. Finden Sie Elemente 28x 3 und 35x 4 gemeinsamer Divisor. Für 28 und 35 ist es 7; Für x 3 und x 4 - x 3. Mit anderen Worten, unser Gesamtmultiplikator von 7x 3.
2. Jedes der Elemente repräsentiert die Arbeit von Multiplikatoren, von denen einer
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.
3. Wir nehmen einen allgemeinen Multiplikator für Klammern ab
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).
Methode 2. Die Verwendung von Formeln der abgekürzten Multiplikation. "Meisterschaft" durch den Besitz dieser Methode ist es, eines der Formeln der abgekürzten Multiplikation zu bemerken.
Verbreitung auf Multiplizierern von Polynomialen x 6 - 1.
Entscheidung.
1. Zu diesem Ausdruck können wir die Formel für den Unterschied in Quadraten anwenden. Um dies zu tun, stellen Sie sich X 6 als (x 3) 2 und 1 als 1 2, d. H. 1. Der Ausdruck dauert das Formular:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).
2. Zum resultierenden Ausdruck können wir die Formel der Menge und den Unterschied der Würfel anwenden:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).
So,
x 6 - 1 \u003d (x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Methode 3. Gruppieren. Die Gruppierungsmethode besteht darin, die Komponenten des Polynoms so zu kombinieren, dass sie einfach, Aktionen (Addition, Subtraktion, Gesamtmultiplikator) auszuführen.
Wir werden die Polynome von x 3 - 3x 2 + 5x - 15 auf Multiplikatoren zersetzen.
Entscheidung.
1. Verfugen Sie die Komponenten auf diese Weise: 1. mit dem 2. und 3. mit dem 4.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).
2. Im resultierenden Ausdruck führen wir allgemeine Multiplizierer für Klammern durch: X 2 im ersten Fall und 5 - in der zweiten.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).
3. Wir nehmen den allgemeinen Faktor X-3 für Klammern ab und erhalten:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).
So,
x 3 - 3 x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5).
Das Material befestigen.
Versandpolynom A 2 - 7AB + 12B 2 auf Multiplizierungen.
Entscheidung.
1. Stellen Sie sich 7AB 7AB als Summe von 3AB + 4AB vor. Der Ausdruck wird das Formular annehmen:
a 2 - (3AB + 4AB) + 12B 2. 
Wir werden die Klammern offenbaren und bekommen:
a 2 - 3AB - 4AB + 12B 2.
2. Verfugen Sie die Komponenten des Polynoms auf diese Weise: der 1. mit dem 2. und 3. mit dem 4.. Wir bekommen:
(A 2 - 3AB) - (4AB - 12B 2).
3. Ich werde allgemeine Multiplizierer für Klammern bringen:
(A 2 - 3AB) - (4AB - 12B 2) \u003d A (A - 3B) - 4B (A - 3B).
4. Ich werde einen allgemeinen Multiplizierer für Klammern (A - 3B) mitbringen:
a (A - 3B) - 4B (A - 3B) \u003d (A - 3 b) ∙ (A - 4B).
So,
a 2 - 7AB + 12B 2 \u003d
\u003d A 2 - (3AB + 4AB) + 12B 2 \u003d
\u003d A 2 - 3AB - 4AB + 12B 2 \u003d
\u003d (A 2 - 3AB) - (4AB - 12B 2) \u003d
\u003d A (A - 3B) - 4B (A - 3B) \u003d
\u003d (A - 3 b) ∙ (A - 4b).
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Jeder algebraische Polynomgrad n kann als Produkt des n-linearen Faktors der Spezies und einer konstanten Zahl dargestellt werden, was die Koeffizienten des Polynoms an der leitenden Stufe x, d. H.
wo 
- sind die Wurzeln des Polynoms.
Die Wurzel des Polynoms ruft die Zahl (echt oder komplex) an, die das Polynom auf Null dreht. Die Wurzeln des Polynoms können sowohl gültige Wurzeln als auch komplexe konjugierte Wurzeln sein, dann kann das Polynom in dem folgenden Formular dargestellt werden:
Betrachten Sie die Methoden der Zersetzung von Polynomialen des Grades "n" in das Werk der Multiplizierer des ersten und des zweiten Grades.
Methode Nummer 1.Methode der unsicheren Koeffizienten.
Die Koeffizienten eines solchen konvertierten Ausdrucks werden durch das Verfahren unsicherer Koeffizienten bestimmt. Die Essenz des Verfahrens wird auf die Tatsache reduziert, dass es eine vorbekannte Form von Multiplizierern gibt, an denen dieses Polynom zersetzt. Bei Verwendung der Methode unsicherer Koeffizienten gelten folgende Aussagen gültig:
S.1. Zwei Polynome sind identisch gleich, wenn ihre Koeffizienten gleich mit den gleichen Grad X sind.
P. Jedes Polynom des dritten Grades zersetzt sich in das Produkt von linearen und quadratischen Multiplikatoren.
S.3. Jedes Polynom des vierten Grades zersetzt sich in das Werk von zwei Polynomialen des zweiten Grades.
Beispiel 1.1. Es ist notwendig, einen kubischen Ausdruck auf Multiplikatoren zu zersetzen:
S.1. In Übereinstimmung mit angenommenen Aussagen für einen kubischen Ausdruck ist identische Gleichheit fair:
P. Der rechte Teil des Ausdrucks kann in Form der Komponenten wie folgt dargestellt werden:
S.3. Wir kompilieren ein Gleichungssystem aus dem Zustand der Gleichheit von Koeffizienten in den entsprechenden Grad des kubischen Ausdrucks.
Dieses Gleichungssystem kann durch Auswahl von Koeffizienten gelöst werden (wenn ein einfaches akademisches Problem vorhanden ist) oder Methoden zum Lösen von nichtlinearen Systemen von Gleichungen. Wir lösen dieses System von Gleichungen, wir erhalten, dass unsichere Koeffizienten wie folgt bestimmt werden:
Somit wird der anfängliche Ausdruck in der folgenden Form an Multiplikatoren abgelehnt:
Diese Methode kann sowohl mit analytischen Berechnungen als auch mit der Computerprogrammierung verwendet werden, um den Root-Suchvorgang der Gleichung zu automatisieren.
Methode Nummer 2.Vieta-Formeln.
Vieta-Formeln sind Formeln, die die Koeffizienten der algebraischen Gleichungen von Grad n und seinen Wurzeln binden. Diese Formeln wurden implizit in den Werken der französischen Mathematik Francois Vieta (1540 - 1603) präsentiert. Aufgrund der Tatsache, dass Viet nur positive echte Wurzeln betrachtete, hatte er keine Gelegenheit, diese Formeln in allgemein expliziter Form zu schreiben.
Für jeden algebraischen Polynom-Grad n, der n-gültige Wurzeln hat,
fair Die folgenden Beziehungen, die die Wurzeln des Polynoms mit seinen Koeffizienten binden:
Vieta-Formeln werden zweckmäßigerweise verwendet, um die Richtigkeit der Wurzeln des Polynoms zu überprüfen, sowie ein Polynom auf den angegebenen Wurzeln zusammenzustellen.
Beispiel 2.1. Überlegen Sie, wie die Wurzeln des Polynoms mit seinen Koeffizienten im Beispiel einer kubischen Gleichung verbunden sind
In Übereinstimmung mit den Formeln der Vieta ist die Beziehung der Wurzeln des Polynoms mit seinen Koeffizienten das folgende Formular:
Ähnliche Beziehungen können für jeden Polynom-Grad n erfolgen.
Methode Nummer 3. Zersetzung der quadratischen Gleichung für Faktoren mit rationalen Wurzeln
Von der letzten Formel von Vieta folgt, dass die Wurzeln des Polynoms Divisors seines freien Elements und des älteren Koeffizienten sind. In dieser Hinsicht setzt, wenn in der Bedingung des Problems einen Polynomgrad n mit ganzen Koeffizienten setzt
dieses Polynom hat eine rationale Wurzel (unauffällige Fraktion), wobei P ein freier Mitgliedteiler ist und der Q ein Händler des älteren Koeffizienten ist. In diesem Fall kann das Polynom des Grades n in Form (Satz der MOUTITUDE) dargestellt werden:
Das Polynom, dessen Grad 1 weniger als der anfängliche Polynom beträgt, wird durch die Aufteilung eines Polynoms von Grad-N-Bounce bestimmt, beispielsweise mit einem Bergschema oder am einfachsten, um eine "Spalte" zu sein.
Beispiel 3.1. Es ist notwendig, das Polynom an Multiplikatoren zu zersetzen
S.1. Aufgrund der Tatsache, dass der Koeffizient mit der leitenden Begriffe gleich ist, sind die rationalen Wurzeln dieses Polynoms Divisoren eines freien Elements des Ausdrucks, d. H. kann ganze Zahlen sein 
. Wir ersetzen jede der dargestellten Zahlen in den anfänglichen Ausdruck, wir stellen fest, dass die Wurzel des dargestellten Polynoms gleich ist.
Führen Sie die Aufteilung des ursprünglichen Polynoms aus, um zu springen:
Wir verwenden das Gorner-Schema
Die Source-Polynomkoeffizienten werden in der oberen Linie angezeigt, und die erste Zelle der oberen Linie bleibt leer.
In der ersten Zelle der zweiten Zeile wird die gefundene Root aufgezeichnet (in dem in Betracht gezogenen Beispiels unter Berücksichtigung der Zahl "2") aufgenommen, und die folgenden Werte in den Zellen werden auf eine bestimmte Weise berechnet und sie sind die Koeffizienten von Das Polynom, das zu der Aufteilung des Polynoms auf dem Türsteher führt. Unbekannte Koeffizienten werden wie folgt definiert:
In der zweiten Zelle wird die zweite Zeile von der entsprechenden Zelle der ersten Zeile übertragen (im Beispiel des Beispiels wird die Zahl "1" aufgezeichnet).
Die dritte Linie der zweiten Zeile zeichnet den Wert der ersten Zelle auf der zweiten Zelle der zweiten Zeile plus den Wert von der dritten Zelle der ersten Zeile (in dem Beispiel des Beispiels 2 ∙ 1 -5 \u003d -3) auf.
In der vierten Zelle der zweiten Zelle wird der Wert der ersten Zelle in die dritte Zelle der zweiten Zeile plus den Wert aus der vierten Zelle der ersten Zeile (in dem Beispiel 2 ∙ (-3) +7 \u003d 1 geschrieben ).
Somit wird das anfängliche Polynom an Multiplikatoren abgelehnt:
Methode Nummer 4.Verwenden der Formeln der abgekürzten Multiplikation
Die Formeln der abgekürzten Multiplikation werden verwendet, um Berechnungen sowie die Zersetzung von Polynomen auf Multiplikatoren zu vereinfachen. Reduzierte Multiplikationsformeln ermöglichen es, die Lösung einzelner Aufgaben zu vereinfachen.
Formeln, die zum Zersetzen von Multiplikatoren verwendet werden
