Die konjunktive normale Form einer logischen Funktion. Disjunktive und konjunktive perfekte normale Formen

Einfach verbindung namens verbindung einer oder mehrere variablen, zum es ist jeder variable treffen nicht mehr einer mal (oder selbst, oder ihr negation).

Ist zum Beispiel eine einfache Konjunktion,

Win amcunktion normal bilden (Dnf) namens disjunktion einfach konjunktionen..

Zum Beispiel ist der Ausdruck der DNF.

Perfekt win amcunktion normal bilden (SDNF) namens eine solche. win amcunktion normal die Form, w. welche im jEDER verbindung eingeben alles variablen diese aufführen (oder uns selbst, oder sie verweigerung), außerdem im einer und tom gleichauftrag.

Zum Beispiel ist der Ausdruck der DNF, aber nicht SDNF. Ausdruck ist ein cdnf.

Ähnliche Definitionen (mit dem Austausch von Konjunktion für Disjunktion und umgekehrt) sind für die PFF und SCFF true. Wir geben genaue Wortlaut.

Einfach disjunktion namens disjunktion einer oder mehrere variablen, zum es ist jeder variable inbegriffen nicht mehr einer mal (oder selbst, oder ihr negation). Zum Beispiel ist der Ausdruck einfacher Disjunktion,

Konjunktiv. normal bilden (KNF) namens verbindung einfach disjunktionen (Zum Beispiel der Ausdruck - der PFF).

Eine perfekte konjunktive Normalform (SCPF) wird als QFF bezeichnet, in dem jede einfache Disjunktion alle Variablen dieser Liste enthält (entweder selbst oder deren Ablehnung) und auf dieselbe Weise.

Beispielsweise, Ausdruck ist skpf.

Wir präsentieren die Übergangsalgorithmen von einem Formular an einem anderen. In bestimmten Fällen (mit einem bestimmten kreativen Ansatz) ist natürlich die Verwendung von Algorithmen mehr zeitaufwändig als einfache Transformationen, die eine bestimmte Art dieses Formulars verwenden:

a) Übergang vom DNF zum KNF

Der Algorithmus dieses Übergangs ist wie folgt: über die DNF-ZWEI Denials und mit Hilfe der De-Morgan-Regeln (keine berührende obere Ablehnung) die DNF-Ablehnung wieder dem DNF. Gleichzeitig ist es notwendig, Klammern mit der Absorptionsregel (oder Blake-Regeln) offenzugeben. Die Ablehnung der erhaltenen DNF (wieder nach der Regel de Morgan) gibt uns sofort die CNF:

Beachten Sie, dass die CNF aus dem anfänglichen Ausdruck erhalten werden kann, wenn Sie erstellen w. für Klammern;

b) Übergang vom KNF zum DNF

Dieser Übergang erfolgt durch einfache Offenbarung der Klammern (mithilfe der Absorptionsregel) wird verwendet)

So erhielten sie den DNF.

Der umgekehrte Übergang (vom SDNF zum DNF) ist dem Problem der Minimierung des DNF zugeordnet. Dies wird im Abschnitt erzählt. 5, hier zeigen wir, wie Sie den DNF (oder SDNF) gemäß BLAKE-Regel vereinfachen. Ein solcher DNF wird genannt abgekürzt Dnf;

c) Reduzierung des DNF (oder SDNF) regel Blake

Die Anwendung dieser Regel besteht aus zwei Teilen:

Wenn es Fundamente unter den disjunktischen Begriffen in der DNF gibt , dann fügen Sie der gesamten Disjunktion eine Konzeption hinzu ZU 1 ZU 2 Wir erledigen diesen Vorgang mehrmals (können sequentiell sein, Sie können gleichzeitig für alle möglichen Paare von Bedingungen und dann die übliche Absorption anwenden;

Wenn der bereits hinzugefügte Begriff bereits in der DNF aufbewahrt wurde, kann er zum Beispiel überhaupt verworfen werden,

oder

Natürlich wird die abgekürzte DNF nicht von der Sohle bestimmt, sie enthalten jedoch alle die gleiche Anzahl von Buchstaben (z. B. gibt es einen DNF Nach dem Bewerben kann BLAKE-Regeln an den DNF erreicht werden, der dies entspricht):

c) Übergang von DNF nach SDNF

Wenn in einer einfachen Verbindung eine Variable fehlt, z. B. z.Setzen Sie den Ausdruck in ihn ein, danach zeigen wir die Klammern (mit dem wiederkehrenden disjunktiven Begriff nicht schreiben). Beispielsweise:

d) Übergang vom KNF nach Skff

Dieser Übergang wird auf ähnliche Weise wie dem vorherigen ausgeführt: Wenn in einfacher Diskunktion nicht genügend Variablen vorhanden ist (z. B. z.Ich füge dem Ausdruck hinzu (dies ändert nicht die Disjunktionheit selbst), wonach wir Klammern mit dem Vertriebsgesetz aufzeigen):

Somit wurde Skff aus der PFF erhalten.

Beachten Sie, dass der minimale oder abgekürzte PFF üblicherweise aus dem entsprechenden DNF erhalten wird.

Die konjunktive Normalform ist für den automatischen Beweis von Thenieten geeignet. Jede boolesche Formel kann dem PFF gegeben werden. Dazu können Sie Folgendes verwenden: das Gesetz der doppelten Ablehnung, das De-Morgana-Gesetz, die Verteilung.

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Formuläre in der PFF.:

¬ a ∧ (b ∨ c), (\\ displaystyle \\ neg a \\ wedge (b \\ vee c)) (A ∨ b) ∧ (¬ b ∨ c ∨ ∨ ¬ d) ∧ (\\ displaystyle (a \\ vee b) \\ wedge (\\ neg b \\ vee c \\ vee \\ neg d) \\ wedge ( D \\ vee \\ neg e),) A ∧ b. (\\ DisplayStyle A \\ wedge B.)

Formuläre nicht in der pff:

¬ (b ∨ c), (\\ displaystyle \\ neg (b \\ vee c),) (A ∧ b) ∨ c, (\\ displaystyle (a \\ wedge b) \\ vee c) A ∧ (b ∨ (d ∧ e)). (\\ DisplayStyle A \\ wedge (B \\ Vee (d \\ wedge e)).).)

Diese 3 Formeln entsprechen jedoch nicht den folgenden Formeln in der PBF:

¬ b ∧ ¬ c, (\\ displaystyle \\ neg b \\ wedge \\ neg c,) (A ∨ c) ∧ (b ∨ c), (\\ displaystyle (a \\ vee c) \\ wedge (b \\ vee c)) A ∧ (b ∨ d) ∧ (b ∨ e). (\\ Displaystyle a \\ wedge (b \\ vee d) \\ wedge (b \\ vee e).)

Bau des CNF.

Algorithmus für den Bau der ukrainischen PBF

1) Befreien Sie sich alle logischen Operationen, die in der Formel enthalten sind, und ersetzen Sie sie mit dem Hauptanschluss: Konjunktion, Disjunktion, Ablehnung. Dies kann mit den äquivalenten Formeln erfolgen:

A → B \u003d ¬ a ∨ b, (\\ displaystyle a \\ rightarrow b \u003d \\ neg a \\ vee b) A ↔ B \u003d (¬ a ∨ b) ∧ (a ∨ ¬ b). (\\ Display A \\ Leftrightarrow B \u003d (\\ NEG A \\ VEE B) \\ Wedge (A \\ V \\ NEG B).)

2) Ersetzen Sie das Negationszeichen in Bezug auf den gesamten Ausdruck, Negationszeichen in Bezug auf bestimmte variable Aussagen auf der Grundlage von Formeln:

¬ (a ∨ b) \u003d ¬ a ∧ ¬ b (\\ displaystyle \\ neg (a \\ vee b) \u003d \\ neg a \\ wedge \\ neg b,) ¬ (a ∧ b) \u003d ¬ a ∨ ¬ b. (\\ Displaystyle \\ neg (A \\ wedge b) \u003d \\ neg a \\ vee \\ neg B.)

3) Befreien Sie sich mit doppelten Negationszeichen.

4) Anwenden, ggf. in Verbindung und Disjunktion von Verteilungseigenschaften und Absorptionsformeln.

Ein Beispiel für das Erstellen der CNF.

Lassen Sie uns die PFF-Formel geben

F \u003d (x → y) ∧ ((¬ y → z) → ¬ x). (\\ Displaystyle f \u003d (x \\ rightarrow y) \\ wedge ((\\ neg y \\ rightarrow z) \\ rightarrow \\ neg x).)

Wir transformieren die Formel F (\\ displaystyle f) zu einer Formel, die nicht enthält → (\\ \\ displaystyle \\ rightarrow):

F \u003d (¬ x ∨ y) ∧ (¬ (¬ y → z) ∨ ¬ x) \u003d (x ¬ ∨ y) ∧ (¬ (¬ ¬ y ∨ z) ∨ ¬ x). (\\ Displaystyle f \u003d (\\ neg x \\ vee y) \\ wedge (\\ neg (\\ neg y \\ rightarrow z) \\ vee \\ neg x) \u003d (\\ neg x \\ vee y) \\ wedge (\\ neg (\\ neg \\ neg \\ Neg y \\ vee z) \\ vee \\ neg x).)

In der resultierenden Formel werden wir die Ablehnung in Variablen übertragen und die doppelten Ablehnungen reduzieren:

F \u003d (¬ x y) ∧ ((¬ y ∧ ∧ ∧ z) ∨ · · · · · · · · · · · · · (\\ Displaystyle f \u003d (\\ neg x \\ vee y) \\ wedge ((\\ neg y \\ wedge \\ neg z) \\ vee \\ neg x).)

Zum Beispiel wird die folgende Formel in 2-kPF aufgezeichnet:

(A ∨ b) ∧ (¬ b ∨ c) ∧ (b ∨ · ¬ c). (\\ Displaystyle (a \\ lor b) \\ land (\\ neg b \\ lor c) \\ land (b \\ lor \\ neg c).)

Disjunktiv und konjunktiv. normale Formen Algebras von Aussagen.Für jede Funktion der Logik der Anweisungen können Sie eine Wahrheitstabelle erstellen. Die umgekehrte Aufgabe ist auch immer lösbar. Wir stellen mehrere Definitionen ein.

Elementarische Konjunktionen. (Konjunkte) werden als Veranstaltungen von Variablen oder deren Ablehnungen genannt, in denen jede Variable nicht mehr ist

einmal.

Disjunktive normale Form. (DNF) wird als Formel bezeichnet, die eine Art der Diskussion von elementaren Konjunktionen hat.

Elementare Disjunktionen (disjunkt) Sie werden als Disjunktion von Variablen mit oder ohne zu leugnen genannt.

Konjunktive normale Form. (KNF) wird als Formel bezeichnet, die die Art der Verbindung von elementaren Disjunkten hat.

Für jede Funktion kann die Anweisung ALGEBRA viele disjunktive und konjunkturende normale Formen finden.

Algorithmus zum Bauen von DNF:

1. Gehen Sie mit den Formeln äquivalenter Transformationen zu booleschen Operationen.

2. Gehen Sie auf Formeln mit der Nähe Negationen, die zu der Formel, in der Ablehnungen sind nicht höher als über Variablen - de Morgan Gesetze anzuwenden.

3. Offenlegungsklammern - Überwachungsgesetze anwenden.

4. Die Wiederholung der Komponenten dauert einmal - das Gesetz der Idempotenz.

5. Wenden Sie die Gesetze der Absorption und Halbabsorption an.

Beispiel 6.Finden Sie die DNF-Formel :.

In der Algebra der Bulfaire das Prinzip der Dualität. Es besteht im Folgenden.

Die Funktion wird aufgerufen dual in der Funktion, wenn. Jene. Um eine Funktion zu finden, doppelt zu einem bestimmten, ist es notwendig, die Ablehnung der Funktion aus der Negation der Argumente aufzubauen.

Beispiel 7.Finden Sie eine Funktion, dual bis.

Unter den elementaren Funktionen der Algebra der Logik 1 dual 0 und umgekehrt, x dual, dual, dual und umgekehrt.

Wenn in der Formel F 1 die Funktion, die die Funktion darstellt, alle Konjunktionen ersetzen

auf Diskussion, Disjunktion der Verbindung, 1 bis 0, 0 bis 1, erhalten wir die Formel F *, die die Funktion *, doppelt darstellen.

Die konjunktive Normalform (KNF) ist ein doppeltes Konzept für die DNF, sodass es leicht ist, nach dem Schema zu bauen:

Beispiel 8.Finden Sie die CNF-Formeln :.

Das Ergebnis von Beispiel 6 haben, haben wir

Perfekte disjunktive und perfekte konjunktive normale Formulare.In jedem der Arten von normalen Formen (disjunktiv und bindig) können Sie die Klasse der perfekten Formen von SDNF und SCFF auswählen.

Perfekte elementare Verbindung ist ein logisches Produkt aller Variablen mit oder ohne leugnen, oder ohne sie, und jede Variable tritt nur einmal das Produkt.

Alle DNF können in die SDNF-Spaltung von Konjunktionen gebracht werden, die nicht alle Variablen enthalten, d. H. Anhang für die fehlende Variable X I multipliziert mit der Nutzung des Vertriebsgesetzes

Beispiel 9.Suchen Sie SDNF für DNF-Beispiel 6

Perfekte elementare Disjunktion Es wird als logische Summe aller Variablen mit oder ohne Engagement bezeichnet, und jede Variable ist in der Menge von nur einmal in der Menge.

Alle KNFs können SCPF gebracht werden, ein Mitglied der Verbindung hinzufügen, die keine Variable enthalten, x i mit Verbindung und ein Verteilungsgesetzes Anwendung

Beispiel 10.Bring das KNF in SCPF:

Um die SCFF zu erstellen, können Sie das Programm verwenden

Beispiel 11.Finden Sie Skff für die Formel von Beispiel 6.

Jede Funktion hat eine SDNF und außerdem der einzige. Jede Funktion hat SCPF und außerdem der einzige.

weil SDNF und SCFF sind definitiv durch Formeln definiert, sie können auf der Wahrheitstabelle der Formel gebaut werden.

Um eine SDNF zu erstellen, müssen Sie die Zeilen hervorheben, in denen F den Wert 1 ergreift und perfekte Elementarkonjunkte für sie aufzeichnen. Wenn der Wert der Variablen in der gewünschten Zeile der Wahrheitstabelle ist, dann wird in perfekter conjunct ist es ohne Negation genommen, wenn Null wird verweigert. Dann sind die perfekten Konjunkte (ihre Zahl) gleich der Anzahl der Einheiten in der Tabelle) sind durch die Anzeichen von Disjunktion verbunden.

Zu bauen SCFF auf der Wahrheitstabelle, ist es notwendig, die Zeilen in ihm zu markieren, wobei F \u003d 0 und Rekord perfekt elementare Disjunktionen, wonach sie durch die Verbindung Zeichen kombiniert werden. Wenn in der gewünschten Zeile der Wahrheitstabelle (F \u003d 0) der Wert der Variablen Null entspricht, dann wird es in perfekter Discoxe ohne negativ genommen, wenn einer der Ablehnung ist.

Beispiel 12.Finden Sie SDNF und SCPF auf der Wahrheitstabelle für die Formel von Beispiel 6.

Tabelle 14 zeigt nur den Endwert F \u003d 10101101. In der Justiz dieser Aussage sollte es unabhängig voneinander durch den Bau einer detaillierten Wahrheitstabelle ersichtlich sein.

Tabelle 14.

X.	Y.	Z.

Definition 1.Konjunktive Einflügel (elementare Konjunktion) Von Variablen wird die Verbindung dieser Variablen oder deren Ablehnungen aufgerufen.

beispielsweise- elementare Konjunktion.

Definition 2.Disjunktive einseitige (elementare Disjunktion)aus Variablen wird der Disjunkt dieser Variablen oder deren Ablehnungen aufgerufen.

beispielsweise- ElementaryDesSufunktion.

Definition 3.Die Formel entspricht dieser Formel, der Algebra der Anweisungen und ist eine Disjunktion von elementarischen konjunktiven Universitionen, die genannt wird disjunktive normale Form. (DNF) dieser Formel.

Beispielsweise, - DNF.

Definition 4.Die Formel ist äquivalent zu dieser Formel der Algebra von Anweisungen und ist die Verbindung der Elementarteilchen disjunktiven homorals, genannt wird, konjunktive normale Form. (Pff) dieser Formel.

beispielsweise- KNF.

Für jede Formel kann die Anweisung Algebra viele disjunktive und konjunktive normale Formen finden.

Algorithmus zum Erstellen von normalen Formen

Mit Hilfe der Gleichwertigkeit, Algebra Logik ersetzt alle die wichtigsten Ziele in der Formel: Verbindung, Disjunktion, Verleugnung:

Befreien Sie sich mit doppelten Negationszeichen.

Anwenden, ggf. in Verbindung von Operationen und Disjunktioneigenschaften von Verteilungs- und Absorptionsformeln.

2.6. Perfekte disjunktive und perfekte konjunktive normale Formulare

Jede boolesche Funktion kann viele Präsentationen in Form von DNF und PFF haben. Ein besonderer Platz unter diesen Ideen ist von der perfekten DNF (SDNF) und der perfekten CNFS (SCPF) belegt.

Definition 1. Perfekte disjunktive normale Form (SDNF) ist eine DNF, in dem jede conjunctivation mit jeder Variablen aus der Eile genau einmal unrocked wird, und es ist entweder selbst oder dessen Ablehnung.

Konstruktive SDNF für jede Formel der Anweisung Algebra, die der DNF gegeben wurde, kann wie folgt definiert werden:

Definition 2. Perfekte disjunktive normale Form(SDNF) Die Formeln der Erklärung Algebra werden als DNF genannt, der folgende Eigenschaften hat:

Definition 3. Perfekte konjunktive normale Form (SKPF) ist ein QNF, in dem jede Variable mit jeder Variablen aufgerechnet wird, was reibungslos anders ist, und es ist entweder sich selbst oder sein Verlust.

Konstruktives SCFF für jede Formel der Anweisung Die Algebra, die dem PFF gegeben wird, kann wie folgt definiert werden.

Definition 4. Perfekte konjunktive normale Form(SKFF) Diese Formel der Algebra der Aussagen wird als KNF bezeichnet, der die folgenden Eigenschaften erfüllt.

Theorem 1.Jedes boolesche Merkmal aus Variablen ist nicht identisch falsch, kann in der SDNF dargestellt werden, und darüber hinaus.

Möglichkeiten, SDNF zu finden.

1. Weg

2. Weg

wir legen die Zeilen hervor, in denen die Formel Wert 1 akzeptiert;

wir stellen eine Disjunktion von Konjunktionen dar, sofern die Variablen in Verbindung mit dem Wert 1 ist, diese Variable, wenn Sie diese Variable in Verbindung mit einem Wert von 0 befinden, dann seine Ablehnung. Wir bekommen eine SDNF.

Theorem 2Jedes boolesche Merkmal aus Variablen ist nicht identisch wahr, kann in SCFF und mehr als einem dargestellt werden.

Möglichkeiten, SCFF zu finden

1. Weg - Mit Hilfe von gleichwertigen Transformationen:

2. Weg - Mit Hilfe von Wahrheitstabellen:

wir legen die Zeilen hervor, wo die Formel den Wert 0 akzeptiert;

wir erstellen eine Verbindung der Diskussion, vorausgesetzt, dass, wenn die Variable mit einem Wert von 0 diskutiert wird, diese Variable dann aufschreiben, wenn er mit einem Wert von 1, dann seine Ablehnung. Wir bekommen Skff.

Beispiel 1. Erstellen Sie eine PFF-Funktion.

Entscheidung

Lassen Sie uns das Ligament ausschließen "" durch die Gesetze der Transformation von Variablen:

\u003d / Gesetze de Morgan und doppelte Denial / \u003d

/ Vertriebsgesetze / \u003d

Beispiel 2. Zur DNF-Formel bringen.

Entscheidung

Drücken Sie die logischen Operationen aus, und:

\u003d / Rependitress Denial zu Variablen und reduzieren doppelte Ablehnungen / \u003d

\u003d / Vertriebsgesetz.

Beispiel 3. Schreiben Sie die Formel in den DNF und SDNF auf.

Entscheidung

Mit den Gesetzen der Logik präsentieren wir diese Formel dem Formular, das nur die Disjunktion von Elementarkonjunktionen enthält. Die resultierende Formel ist der gewünschte DNF:

So bauen Sie eine SDNF, um eine Wahrheitstabelle für diese Formel zu erstellen:

Wir markieren diese Tabellenzeilen, in denen die Formel (die letzte Spalte) den Wert 1 annimmt. Für jede solche Zeile wechseln wir die Formel, die auf dem Satz von Variablen trifft, diese Zeile:

reihe 1:;

linie 3:;

zeile 5:

Die Disjunktion dieser drei Formeln nimmt Wert 1 nur auf Gruppen von Variablen, die in den Zeilen 1, 3, 5, und deshalb wird die gewünschte perfekte disjunktive Normalform (SDNF) sein:

Beispiel 4. Bringen Sie die Formel auf zwei Arten auf SCPF:

a) mit Hilfe von gleichwertigen Transformationen;

b) mit der Wahrheitstabelle verwenden.

Entscheidung:

Wir transformieren die zweite elementare Disjunktion:

Die Formel hat das Formular:

b) Machen Sie eine Wahrheitstabelle für diese Formel:

Wir markieren die Tabellenleitungen, in denen die Formel (die letzte Spalte) den Wert von 0 übernimmt, für jede solche Linie, wir wehren die Formel, die auf dem Satz von Variablen trifft, von dieser Zeichenfolge ab

zeile 2 :;

zeile 6:

Die Verbindung dieser beiden Formeln nimmt nur auf den Variablensätzen in den Zeilen 2 und 6 Wert auf, und daher ist es die gewünschte perfekte konjunktive Normalform (Skff):

Fragen und Aufgaben für Selbstentscheidungen

1. Bringen Sie mit Hilfe von äquivalenten Transformationen die Formel an den DNF:

2. Bringen Sie mit Hilfe von äquivalenten Transformationen die Formel auf die PFF:

3. Konvertieren Sie mit Hilfe eines zweiten Vertriebsgesetzes den DNF in die PFF:

aber) ;

4. Konvertieren Sie den in SDNF angegebenen DNF:

5. Konvertieren Sie die angegebenen CNFs in SKFF:

6. Erstellen Sie für die angegebenen logischen Formeln einen SDNF- und SCPF auf zwei Arten: Verwenden Sie gleichwertige Transformationen und verwenden Sie die Wahrheitstabelle.

b) ;

Einfache Disjunktion (deu. inklusive Disjunktion) oder dysyunkt. (Deu. Disjunct) wird als Disjunktion von einem oder mehreren Variablen oder ihrer Ablehnungen bezeichnet, und jede Variable ist nicht mehr als einmal.

Einfache Disjunktion

vollWenn jede Variable (oder leugnete) genau einmal ist;
monotonnaWenn es nicht die Verweigerungsvariablen enthält.

Konjunktive normale Form, CNF (Englisch. Konjunktive Normalform, CNF) Die normale Form, in der boolescher Funktion die Art der Verbindung mehrerer einfacher Disjunkte hat.

Ein Beispiel des KNF: $ F (x, y) \u003d (x \\ lor y) \\ land (y \\ lor \\ neg (z)) $

SKFF.

Perfekte konjunktive Normalform, Skff (Deu. Perfekte konjunktive Normalform, PCNF) ist ein solcher PFF, der die Bedingungen erfüllt:

es hat keine identische einfache Disjunktion
jede einfache Disjunktion komplett

SCPF-Beispiel: $ f (x, y, z) \u003d (x \\ lor \\ neg (y) \\ lor z) \\ land (x \\ lor y \\ lor \\ neg (z)) $

Satz: Für irgendeine boolesche Funktion. $ f (\\ vec (x)) $ nicht gleich der identischen Einheit, es gibt einen SCFF, der es angibt.

Beweise: Da die Umkehrung der Funktion $ \\ NEG (F) (\\ VEC x) $ gleich eins ist auf jene Sätze, auf denen $ F (\\ VEC x) $ Null ist, dann ist die SDNF für $ \\ NEG (F) (\\ VEC x) $ Nehmen Sie wie folgt vor :

$ \\ Neg (f) (\\ vec x) \u003d \\ Bigvee \\ limits_ (f (x ^ (\\ Sigma_ (1)), x ^ (\\ Sigma_ (2)), ..., x ^ (\\ Sigma_ (n )))) \u003d 0) (x_ (1) ^ (\\ Sigma_ (1) ^ (\\ Sigma_ (1)) \\ wedge x_ (2) ^ (\\ Sigma_ (2)) \\ wedge ... \\ wedge x_ (n) ^ (\\ sigma_ (n ))) $, wobei $ \\ sigma_ (i) $ bei $ x_ (i) $ das Vorhandensein oder Fehlen der Negation bezeichnet

Finden Sie die Inversion des linken und rechten Teils des Ausdrucks:

$ F (\\ VEC x) \u003d \\ NEG ((\\ BigVee \\ Limits_ (F (x ^ (\\ sigma_ (1)), x ^ (\\ sigma_ (2)), ..., x ^ (\\ sigma_ (n ))) \u003d 0) (x_ (1) ^ (\\ sigma_ (1)) \\ Keil x_ (2) ^ (\\ sigma_ (2)) \\ WEDGE ... \\ WEDGE x_ (n) ^ (\\ sigma_ (n )))))))

Verwenden Sie zweimal an den Ausdruck, der im rechten Teil erhalten wurde, die De Morgan-Regel, wir erhalten: $ f (\\ vec x) \u003d \\ BigWedge \\ limits_ (f (x ^ (\\ sigma_1), x ^ (\\ Sigma_2), \\ Punkte , X ^ (\\ sigma_n)) \u003d 0) $ $ (\\ NEG (x_1 ^ (\\ sigma_1)) \\ VEE \\ neg (x_2 ^ (\\ sigma_2)) \\ VEE \\ dots \\ VEE \\ neg (x_n ^ (\\ sigma_n ))) $

Letzter Ausdruck und ist SKPF. Da SCFF von einem SDNF erhalten wird, der für jede Funktion aufgebaut werden kann, die nicht gleich der identischen Null ist, wird der Satzung bewiesen.

Algorithmus zum Erstellen von SCFF auf der Wahrheitstabelle

In der Wahrheitstabelle beachten wir die Sätze von Variablen, auf denen der Funktionswert $ 0 beträgt.
Schreiben Sie für jedes markierte Set an den Disjunkt aller Variablen gemäß der folgenden Regel: Wenn der Wert einer bestimmten Variablen $ 0 $ beträgt, dann schalten wir in der Disjunktion auf die Variable selbst ein, andernfalls wird er abgelehnt.
Alle erhaltenen Disjunktionen sind mit verbundenen Vorgängen verbunden.

Ein Beispiel für den Bau von SCFF für den Median

einer). In der Wahrheitstabelle beachten wir die Sätze von Variablen, auf denen der Funktionswert $ 0 beträgt.

x.	y.	z.	$ \\ Langle X, Y, Z \\ Rangle $
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

2). Für jeden aufgezeichneten Satz, die Verbindung aller Variablen durch die folgende Regel Aufzeichnung: Wenn der Wert einer bestimmten Variable $ 0 $, dann in disjunction wir auf die Variable selbst widmen, sonst wird es verweigert.

x.	y.	z.	$ \\ Langle X, Y, Z \\ Rangle $
0	0	0	0	$ (X \\ lor y \\ lor z) $
0	0	1	0	$ (X \\ lor y \\ lor \\ neg (z)) $
0	1	0	0	$ (X \\ lor \\ neg (y) \\ lor z) $
0	1	1	1
1	0	0	0	$ (\\ Neg (x) \\ lor y \\ lor z) $
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

3). Alle erhaltenen Disjunktionen sind mit verbundenen Vorgängen verbunden.

$ \\ Langle X, Y, Z \\ Rangle \u003d (x \\ lor y \\ lor z) \\ land (\\ neg (x) \\ lor y \\ lor z) \\ land (x \\ lor \\ neg (y) \\ lor z) \\ Land (x \\ lor y \\ lor \\ neg (z)) $

Beispiele für SCPF für einige Funktionen

Pierce-Pfeil: $ x \\ Downarrow y \u003d (\\ neg (x) \\ lor (y)) \\ land ((x) \\ lor \\ neg (y)) \\ land (\\ neg (x) \\ lor \\ neg (y) ) $

Ausgenommen oder: $ x \\ oplus y \\ oplus z \u003d (\\ neg (x) \\ lor \\ neg (y) \\ lor z) \\ land (\\ neg (x) \\ lor y \\ lor \\ neg (z)) \\ land (X \\ lor \\ neg (y) \\ lor \\ neg (z)) \\ land (x \\ lor y \\ lor z) $