So ermitteln Sie den größten Wert, der im Zeitplan abgeleitet wurde. Zu welchem \u200b\u200bPunkt ist der Wert des Derivats der größte? Berechnung des Derivatswerts

In der Zwischenzeit ( aber,b.), aber h. - Es ist der zufällig ausgewählte Punkt dieser Lücke. Lass uns Argument geben h. zuwachs Δх (positiv oder negativ).

Die Funktion y \u003d f (x) empfängt ein Inkrement auf ΔU gleich:

ΔY \u003d F (x + Δx) -f (x).

Mit unendlich kleinem ΔH zuwachs ΔU ist auch unendlich klein.

Beispielsweise:

Berücksichtigen Sie die Lösung der derivativen Funktion im Beispiel des freien Falls des Körpers.

Da t 2 \u003d t l + Δt, dann

.

Berechnen Sie das Limit, finden Sie:

Die Bezeichnung t 1 wird eingegeben, um die Konstanz t zu unterstreichen, T bei der Berechnung der Grenze der Funktion. Da T 1 ein beliebiges Zeitwert ist, kann der Index 1 verworfen werden; Dann bekommen wir:

Es ist zu sehen, dass die Geschwindigkeit v, wie der Weg s., es gibt funktion Zeit. Ansicht der Funktion. V. Alles hängt von der Art der Funktion ab s.so die Funktion. s. als ob "produziert" funktioniert v.. Daher der Name " derivative Funktion».

Eine andere betrachten beispiel.

Finden Sie den Wert der derivativen Funktion:

y \u003d x 2 zum x \u003d 7..

Entscheidung. Zum x \u003d 7. haben y \u003d 7 2 \u003d 49. Lass uns Argument geben h. Zuwachs Δ h.. Das Argument wird gleichwertig 7 + Δ h.und die Funktion erhält den Wert (7 + Δ x) 2..

Die derivative Funktion ist eines der komplexen Themen im Schulprogramm. Nicht jeder Absolvent wird die Frage dessen beantworten, was abgeleitet wird.

Dieser Artikel spricht einfach eindeutig darüber, was ein Derivat ist und für das, was es braucht. Wir werden nicht bemühen, nach der mathematischen Striktheit der Präsentation zu streben. Das Wichtigste ist, die Bedeutung zu verstehen.

Wir erinnern uns an die Definition:

Das Derivat ist die Geschwindigkeit der Funktionsänderung.

In der Bildgrafik von drei Funktionen. Was denkst du wächst schneller?

Die Antwort ist offensichtlich - der dritte. Es hat die größte Änderungsgeschwindigkeit, dh das größte Derivat.

Hier ist ein weiteres Beispiel.

Kostya, Grisha und Matvey erhielten gleichzeitig einen Job. Mal sehen, wie sich ihr Einkommen während des Jahres verändert hat:

Auf dem Zeitplan sofort ist alles zu sehen, ist es nicht? Das Einkommen des Knochens für ein halbes Jahr ist mehr als zweimal gewachsen. Und Grisha-Umsatz ist ebenfalls angebaut, aber ein bisschen etwas. Und Matthews Einkommen sank auf Null. Startbedingungen sind gleich und die Geschwindigkeit der Funktionsänderung, das ist derivat- Anders. Wie für Matthäus ist sein Einkommen negativ abgeleitet.

Intuitiv beurteilen wir die Geschwindigkeit der Funktionsänderung. Aber wie machst du es?

In der Tat sehen wir uns an, wie cool der Graph der Funktion (oder unten) steigt. Mit anderen Worten, wie schnell y mit einer Änderung in X ändert. Natürlich kann die gleiche Funktion an verschiedenen Punkten einen anderen Wert des Derivats haben - das heißt, es kann schneller oder langsamer variieren.

Die derivative Funktion ist angezeigt.

Zeigen Sie, wie Sie mit dem Graphen finden können.

Eine Grafik wird einige Funktion gezeichnet. Nehmen Sie einen Punkt mit einer Abszisse darauf. Wir zeichnen diesen Punkt an der Grafikfunktion an. Wir möchten bewerten, wie ein Diagramm einer Funktion abkühlt wird. Komfortabler Wert dafür - tangenter Neigungswinkel..

Die Ableitung der Funktion an der Stelle ist gleich der Tangente des Neigungswinkels, der an diesem Punkt in den Graphen der Funktion durchgeführt wird.

Bitte beachten Sie, dass wir als Winkel des Tagging-Tangents einen Winkel zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Achse nehmen.

Manchmal fragen die Schüler, was tangsent für die Funktionsgrafiken ist. Dies ist ein direkter, mit einem einzelnen gemeinsamen Punkt mit einem Zeitplan auf diesem Grundstück und wie in unserer Figur gezeigt. Sieht aus wie ein Tangent an den Umfang.

Wir werden finden. Wir erinnern uns, dass der Tangent eines spitzen Winkels in einem rechteckigen Dreieck der Haltung des entgegengesetzten Katechs in der benachbarten Kategorie ist. Vom Dreieck:

Wir fanden ein Derivat mit Hilfe eines Diagramms, das nicht einmal die Formelfunktion kennt. Solche Aufgaben werden häufig in der Prüfung in der Mathematik an der Nummer gefunden.

Es gibt ein weiteres wichtiges Ratio. Erinnern Sie sich daran, dass die Direkte von der Gleichung gegeben wird

Der Wert in dieser Gleichung wird aufgerufen winkelkoeffizient direkt.. Es ist gleich der Tangente des Neigungswinkels direkt an der Achse.

.

Wir bekommen das

Wir erinnern uns an diese Formel. Es drückt die geometrische Bedeutung des Derivats aus.

Die Ableitung der Funktion an der Stelle ist gleich dem Winkelkoeffizienten von Tangent, der an diesem Punkt in den Graphen der Funktion durchgeführt wird.

Mit anderen Worten, das Derivat ist dem Tangentenkippwinkel gleich.

Wir haben bereits gesagt, dass die gleiche Funktion an verschiedenen Punkten ein anderes Derivat aufweisen kann. Mal sehen, wie das Derivat mit dem Verhalten der Funktion verknüpft ist.

Zeichnen Sie ein Diagramm einer einiger Funktion. Lassen Sie diese Funktion auf einigen Abschnitten zunehmen, auf andere - nimmt mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ab. Und selbst wenn diese Funktion ein Punkt von maximal und ein Minimum erfolgt.

An der Stelle steigt die Funktion an. Tangent an der graphischen Darstellung, der an der Stelle ausgeführt wird, bildet einen scharfen Winkel mit einer positiven Achse. An dem Punkt ist das Derivat also positiv.

An der Stelle sinkt unsere Funktion. Tanner an diesem Punkt bildet einen dummen Winkel mit einer positiven Achsrichtung. Da der stumpfe Winkel Tangent negativ ist, ist ein Derivat an der Stelle negativ.

Das macht es sich heraus:

Wenn die Funktion zunimmt, ist das Derivat positiv.

Wenn sinkt, ist das Derivat negativ.

Und was ist an den Punkten des Maximums und des Minimums? Wir sehen das an Punkten (Maximalpunkt) und (Mindestpunkt) Tangential Horizontal. Folglich ist der Tangente Tangente Neigungswinkel an diesen Punkten Null, und das Derivat ist auch Null.

Punkt ist ein Höchstpunkt. An diesem Punkt wird die zunehmende Funktion durch Abstieg ersetzt. Folglich ist das Zeichen der derivativen Änderungen an einem Punkt mit einem "Plus" zu "Minus".

An der Stelle - der Punkt des Minimums - ist das Derivat auch Null, aber sein Zeichen ändert sich von "Minus" zum "Plus".

Fazit: Mit Hilfe eines Derivats können Sie über das Verhalten der Funktion lernen, die uns interessieren.

Wenn das Derivat positiv ist, steigt die Funktion an.

Wenn das Derivat negativ ist, nimmt die Funktion ab.

Am Punkt des Maximums ist das Derivat Null und ändert das Zeichen vom "Plus" in "Minus".

Zum Zeitpunkt des Minimums ist das Derivat auch Null und ändert das Zeichen von "Minus" zum "Plus".

Wir schreiben diese Schlussfolgerungen in Form einer Tabelle:

	steigt	maximalpunkt	verringern	punkt des Minimums	steigt
+	0	-	0	+

Wir werden zwei kleine Klarstellungen machen. Einer von ihnen braucht Sie, wenn Sie die Aufgaben der Verwendung lösen. Andere - im ersten Jahr mit einer ernsteren Studie von Funktionen und Derivaten.

Ein Fall ist möglich, wenn das Ableitung der Funktion an einem bestimmten Zeitpunkt Null ist, aber an diesem Punkt keine maximale Mindestfunktion ist. Dies ist das sogenannte :

An dem Punkt tangential zu den Grafiken der Horizontalen und das Derivat ist Null. Die Funktion der Funktion erhöhte sich jedoch - und nachdem der Punkt weiter ansteigt. Das Zeichen des Derivats ändert sich nicht - es war positiv und blieb.

Es passiert auch, dass das Derivat am Punkt des Maximums oder des Minimums nicht existiert. Auf dem Diagramm entspricht es einem scharfen Bruch, wenn der Tangent an diesem Punkt unmöglich ist.

Und wie Sie ein Derivat finden, wenn die Funktion nicht vom Zeitplan angegeben ist, sondern durch die Formel? In diesem Fall angewendet

Es gab neue Aufgaben. Lassen Sie uns ihre Entscheidung analysieren.

Prototyp der Aufgabe B8 (Nr. 317543)

Die Figur zeigt einen Diagramm der Funktion y \u003d f (x) und den Punkten -2, -1, 1, 2, 2, in welcher dieser Punkte der Wert des Derivats der größte ist? Geben Sie in der Antwort diesen Punkt an.

Wie wir wissen, genannt

die Grenze der Beziehung der Funktion der Funktion, um das Argument zu erhöhen, wenn die Argumentinkrements bis Null neigt:

Das Derivat an der Stelle zeigt geschwindigkeitsänderungsfunktion. An dieser Stelle. Je schneller die Funktion ändert, dh je größer der Inkrement der Funktion, desto größer ist der Neigungswinkel. Da die Aufgabe erforderlich ist, den Punkt zu bestimmen, in dem der Wert des Derivats der größte ist, schließen wir aus der Berücksichtigung des Punktes mit Abweichungen -1 und 1 - an diesen Punkten nimmt die Funktion ab, und das derivative in ihnen ist negativ.

Die Funktion erhöht sich an den Punkten -2 und 2. Er steigt jedoch auf unterschiedliche Weise an - am Punkt -2 steigt der Graph der Funktion steiler als an Punkt 2 und somit das Inkrement der Funktion in dieser Stelle und damit bedeutet, dass das Derivat mehr ist.

Antwort: -2.

Und ähnliche Aufgabe:

Prototyp der Aufgabe B8 (Nr. 317544)

Die Abbildung zeigt den Funktionszeitplan und sind mit -2, -1, 1, 4 gekennzeichnet. In welchem \u200b\u200bdieser Punkte ist der Wert des Derivats der kleinsten? Geben Sie in der Antwort diesen Punkt an.

Die Lösung für dieses Problem ähnelt der Lösung des vorherigen "mit Genauigkeit zum Gegenteil"

Wir sind an einem Punkt interessiert, an dem das Derivat die kleinste Bedeutung nimmt, dh wir suchen einen Punkt, in dem die Funktion die schnellste abnimmt - auf dem Diagramm ist es ein Punkt, in dem es sich um den coolsten "Abstieg" handelt. Dies ist ein Punkt mit Abszisse 4.

Dieser Abschnitt enthält die Aufgaben der EGE in Mathematik zu Themen, die mit der Studie der Funktionen und deren Derivaten verbunden sind.

In Demonstrationsoptionen EGE 2020. Jahre können sie sich auf Nummer treffen 14 Für Grundniveau und Nummer 7 Für Profilebene.

Schauen Sie sich diese drei Grafiken von Funktionen sorgfältig an.
Haben Sie bemerkt, dass diese Funktionen in einem Sinn "Verwandten"?
In den Bereichen, in denen sich der Graph der Green-Funktion über Null befindet, nimmt die rote Funktion zu. Auf diesen Stellen, in denen der Graph der Green-Funktion unter Null liegt, nimmt die rote Funktion ab.
Ähnliche Kommentare können in Bezug auf rote und blaue Grafiken erfolgen.
Sie können auch diese Nullen der Green-Funktion bemerken (Punkte) x. \u003d -1 I. x. \u003d 3) stimmen mit den Punkten des roten Diagramms mit Extremen zusammen: wann x. \u003d -1 Auf roter Grafik sehen wir ein lokales Maximum mit h. \u003d 3 auf dem roten Zeitplan ist ein lokales Minimum.
Es ist leicht zu sehen, dass lokale Maxima und Minima des blauen Diagramms an denselben Punkten erreicht werden, an denen der rote Zeitplan den Wert durchläuft. y. = 0.
Sie können ein paar weitere Schlussfolgerungen über die Besonderheiten des Verhaltens dieser Grafiken nehmen, da sie wirklich miteinander verbunden sind. Betrachten Sie die Formeln der Funktionen, die sich unter jedem der Diagramme befinden, und stellen Sie nach Berechnungen sicher, dass jeder vorherige für nachträglich abgeleitet wird, und dementsprechend ist jeder nächste eine der vorbildlichen vorherigen Funktionen.

φ 1 (x. ) = φ" 2 (x. ) φ 2 (x. ) = Φ 1 (x. )
φ 2 (x. ) = φ" 3 (x. ) φ 3 (x. ) = Φ 2 (x. )

Erinnern Sie sich daran, dass wir über das Derivat wissen:

Abgeleitete Funktion. y. = f.(x.) Am Punkt h. drückt die Geschwindigkeit der Funktionsänderung an der Stelle aus x..

Körperliches Sensibilator Es ist, dass das Derivat die Erzielung des Verfahrens des Verfahrens zum Ausdruck bringt, das durch die Abhängigkeit y \u003d f (x) beschrieben wird.

Geometrische Bedeutung des Derivats Es ist, dass sein Wert im betrachteten Punkt dem Winkelkoeffizienten der tangentialen, an diesem Punkt, der in den Graphen der differenzierbaren Funktion durchgeführt wird.

Und jetzt lassen Sie die rote Grafik in der Zeichnung nicht. Angenommen, beide Formeln sind uns unbekannt.

Kann ich Sie nach etwas in Bezug auf das Verhalten der Funktion fragen? φ 2 (x. ) Wenn bekannt ist, dass es sich um eine abgeleitete Funktion handelt φ 3 (x. ) und primitive Funktion φ 1 (x. )?
Können. Und Sie können auf viele Fragen eine genaue Antwort geben, da wir wissen, dass das Derivat das Merkmal der Funktion des Veränderungswechsels ist, sodass wir einige der Verhaltensweisen eines dieser Funktionen beurteilen können und den Zeitplan des anderen betrachten.

Wenn Sie die folgenden Fragen beantworten, scrollen Sie die Seite nach oben, so dass das obere Muster, das den roten Zeitplan enthält, ausgeblendet ist. Wenn die Antworten angegeben sind, geben Sie es zurück, um das Ergebnis zu überprüfen. Und erst danach sehen Sie meine Entscheidung.

Beachtung: Um den Lerneffekt zu verbessern antworten und Lösungen. Laden Sie separat für jede Aufgabe, um die Tasten auf einem gelben Hintergrund seriell zu drücken. (Wenn es viele Aufgaben gibt, werden die Tasten mit einer Verzögerung angezeigt. Wenn die Tasten überhaupt nicht sichtbar sind, prüfen Sie, ob es in Ihrem Browser erlaubt ist Javascript)

1) Verwenden des Diagramms des Derivats φ" 2 (x. ) (In unserem Fall ist dies ein grüner Zeitplan), definieren Sie, welche der 2 Werte der Funktion mehr φ 2 (-3) oder φ 2 (−2)?

Gemäß dem Diagramm des Derivats ist ersichtlich, dass er in dem Abschnitt [-3; -2) streng positiv ist, bedeutet, dass die Funktion in diesem Bereich nur zunimmt, also der Wert der Funktion im linken Ende x. \u003d -3 weniger als sein Wert am rechten Ende x. = −2.

Antworten: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) Verwenden des primären Diagramms Φ 2 (x. ) (In unserem Fall ist dies ein blauer Zeitplan), bestimmen Sie, welche der 2 Werte der Funktion mehr φ 2 (-1) oder φ 2 (4)?

Nach Angaben der Grafiken ist es klar, dass der Punkt x. \u003d -1 ist im Bereich der Erhöhung, daher ist der Wert des entsprechenden Derivats positiv. Punkt x. \u003d 4 befindet sich auf der Verringerungsstelle und den Wert des entsprechenden Derivats negativ. Da der positive Wert negativer ist, schließen wir ab - der Wert einer unbekannten Funktion, die nur ein Derivat ist, an Punkt 4 weniger als an Punkt -1.

Antworten: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

Es kann viele solche Fragen zu fehlenden Grafiken geben, was zu einer großen Auswahl an Aufgaben mit einer kurzen Reaktion führt, die nach demselben Schema errichtet wurde. Versuchen Sie, einige von ihnen zu lösen.

Aufgaben zur Bestimmung der Eigenschaften desivativ auf der Funktionsgrafik.

Bild 1.

Figur 2.

Aufgabe 1.

y. = f. (x. ), ermittelt in dem Intervall (-10,5; 19). Bestimmen Sie die Anzahl der Ganzzahlen, in denen die derivative Funktion positiv ist.

Die derivative Funktion ist in den Bereichen positiv in den Bereichen, in denen die Funktion zunimmt. Figur zeigt, dass diese Intervalle (-10,5; -7,6), (-1; 8.2) und (15,7, 19). Wir listen alle Punkte in diesen Intervallen auf: "-10", "- 9", "-8", "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6 "," 7 "," 8 "," 16 "," 17 "," 18 ". Insgesamt 15 Punkte.

Antworten: 15

Bemerkungen.
1. Wenn die Diagramme in den Diagrammen den Namen "Punkte" erfordern, bedeuten wir in der Regel nur die Werte des Arguments x. Welches sind die Abszwürdigkeiten der entsprechenden Punkte, die sich auf dem Diagramm befinden. Die Ordner dieser Punkte sind die Werte der Funktion, sie sind abhängig und können bei Bedarf leicht berechnet werden.
2. Bei der Auflistungspunkte haben wir die Ränder der Intervalle nicht berücksichtigt, da die Funktion an diesen Punkten nicht erhöht und nicht abnimmt, sondern "Entfalten" nicht. Das Derivat an solchen Punkten ist nicht positiv und nicht negativ, es ist Null, sodass sie stationäre Punkte genannt werden. Darüber hinaus berücksichtigen wir die Grenzen des Definitionsbereichs hier nicht, da der Zustand gesagt wird, dass dies das Intervall ist.

Aufgabe 2.

Abbildung 1 zeigt ein Diagrammdiagramm y. = f. (x. ), ermittelt in dem Intervall (-10,5; 19). Bestimmen Sie die Anzahl der Ganzzahlen, in denen die abgeleitete Funktion f " (x. ) Negativ.

Die derivative Funktion ist in den Bereichen negativ, in denen die Funktion abnimmt. Figur zeigt, dass diese Intervalle (-7,6; -1) und (8,2; 15,7). Ganze Punkte in diesen Intervallen: "-7", "- 6", "-5", "- 4", "-3", "- 2", "9", "10", "11", "12 "," 13 "," 14 "," 15 ". Insgesamt 13 Punkte.

Antworten: 13

Siehe Kommentare zur vorherigen Aufgabe.

Um die folgenden Aufgaben zu lösen, müssen Sie sich an eine andere Definition erinnern.

Maximal- und Mindestfunktionen werden mit einem gemeinsamen Namen kombiniert - punkte des Extremums. .

An diesen Punkten ist die abgeleitete Funktion entweder Null oder existiert nicht ( erforderlicher extremer Zustand).
Die notwendige Bedingung ist jedoch ein Zeichen, aber keine Garantie für das Vorhandensein einer Extremum-Funktion. Eine ausreichende Bedingung für Extremum Es ist eine Änderung des Zeichens des Derivats: Wenn das Derivat an der Stelle das Zeichen von "+" an "-" ändert, ist dies der Punkt der maximalen Funktion; Wenn das Derivat an der Stelle das Zeichen von "-" auf "+" ändert, ist dies der Punkt einer Mindestfunktion; Wenn an dem Punkt die derivative Funktion Null ist, oder ist nicht vorhanden, jedoch ändert sich das Vorzeichen des Derivats während des Übergangs durch diesen Punkt nicht auf das Gegenteil, dann ist der angegebene Punkt nicht ein ExtremMA-Punkt der Funktion. Dies kann ein Biegepunkt sein, ein Bremspunkt oder ein Bruchpunkt einer Funktion einer Funktion.

Aufgabe 3.

Abbildung 1 zeigt ein Diagrammdiagramm y. = f. (x. ), ermittelt in dem Intervall (-10,5; 19). Finden Sie die Anzahl der Punkte, in denen die Funktion tangential zur Funktion parallel zur direkten ist y. \u003d 6 oder fällt damit zusammen.

Erinnern Sie sich, dass die direkte Gleichung die Ansicht hat y. = kx. + b. wo k. - Neigungskoeffizient dieser direkt an die Achse OCHSE.. In unserem Fall k. \u003d 0, d. H. Gerade y. \u003d 6 nicht gekippt, aber parallel zur Achse OCHSE.. Es bedeutet, dass die gewünschten Tangenten auch parallel zur Achse sein sollten OCHSE. Und es muss auch einen Neigungsfaktor haben 0. Diese Eigenschaft von Tangenten besitzt an den Punkten der Funktionen der Extremen. Um die Frage zu beantworten, müssen Sie nur alle Punkte der Extremen im Zeitplan zählen. Hier sind sie 4 - zwei Punkte maximal und zwei Punkte von Minimum.

Antworten: 4

Aufgabe 4.

Funktionen y. = f. (x. ), ermittelt auf dem Intervall (-11; 23). Finden Sie den Betrag der Extremumpunkte auf dem Segment.

Im angegebenen Segment sehen wir 2 Punkte von Extremum. Die maximale Funktion wird an der Stelle erreicht x. 1 \u003d 4, Minimum am Punkt x. 2 = 8.
x. 1 + x. 2 = 4 + 8 = 12.

Antworten: 12

Aufgabe 5.

Abbildung 1 zeigt ein Diagrammdiagramm y. = f. (x. ), ermittelt in dem Intervall (-10,5; 19). Finden Sie die Anzahl der Punkte, in denen die abgeleitete Funktion f " (x. ) Gleich 0.

Die derivative Funktion ist an den Extremumpunkten Null, die auf dem Diagramm 4 ersichtlich sind 4:
2 Punkte maximal und 2 Punkte minimal.

Antworten: 4

Aufgaben zur Bestimmung der Eigenschaften der Funktion in der Grafik des Derivats.

Bild 1.

Figur 2.

Aufgabe 6.

Abbildung 2 zeigt ein Diagramm f " (x. ) - abgeleitete Funktion f. (x. ), ermittelt auf dem Intervall (-11; 23). An welchem \u200b\u200bPunkt ist das Segment [-6; 2] Funktion f. (x. ) Nimmt den größten Wert.

In dem angegebenen Abschnitt war das Derivat nicht positiv, daher stieg die Funktion nicht an. Es lehnte es zurück oder ging durch stationäre Punkte. Somit hat die Funktion den größten Wert an der linken Rand des Segments erreicht: x. = −6.

Antworten: −6

Kommentar: Gemäß der Grafik zeigt das Derivat, dass auf dem Segment [-6; 2] dreimal null ist: An Punkten x. = −6, x. = −2, x. \u003d 2. Aber an der Stelle x. \u003d -2 Sie hat das Zeichen nicht geändert, dann konnte an dieser Stelle keine Extremum-Funktion sein. Am wahrscheinlichsten gab es einen Flexibilität des Graphen der Originalfunktion.

Aufgabe 7.

Abbildung 2 zeigt ein Diagramm f " (x. ) - abgeleitete Funktion f. (x. ), ermittelt auf dem Intervall (-11; 23). In welchem \u200b\u200bPunkt des Segments nimmt die Funktion den kleinsten Wert an.

Im Segment ist das Derivat streng positiv, daher hat sich die Funktion in diesem Bereich gerade erhöht. Somit erreicht die kleinste Funktion am linken Rand des Segments: x. = 3.

Antworten: 3

Aufgabe 8.

Abbildung 2 zeigt ein Diagramm f " (x. ) - abgeleitete Funktion f. (x. ), ermittelt auf dem Intervall (-11; 23). Finden Sie die Anzahl der Merkmale der maximalen Funktion f. (x. ), der zum Segment gehört [-5; 10].

Entsprechend dem gewünschten Extremumzustand, der maximalen Funktion kann sein An Punkten, an denen sein Derivat Null ist. In einem bestimmten Segment ist diese Punkte: x. = −2, x. = 2, x. = 6, x. \u003d 10. Aber nach einem ausreichenden Zustand, er sichernur bei denen von ihnen, in denen das Anzeichen der derivativen Änderungen mit "+" zu "-" ändert. In der Grafik des Derivats sehen wir, dass nur der Punkt von den aufgeführten Punkten stammt x. = 6.

Antworten: 1

Aufgabe 9.

Abbildung 2 zeigt ein Diagramm f " (x. ) - abgeleitete Funktion f. (x. ), ermittelt auf dem Intervall (-11; 23). Finden Sie die Anzahl der Extremumpunkte Funktionen f. (x. ) Zugehörigkeit zum Segment.

Extreme Funktionen können an diesen Punkten sein, an denen sein Derivat 0 ist. In einem bestimmten Segment des Graphen sehen wir 5 solcher Punkte: x. = 2, x. = 6, x. = 10, x. = 14, x. \u003d 18. Aber an der Stelle x. \u003d 14 Das Derivat änderte das Zeichen nicht, daher sollte es von Rücksicht ausgeschlossen werden. Somit bleiben 4 Punkte.

Antworten: 4

Aufgabe 10.

Abbildung 1 zeigt ein Diagramm f " (x. ) - abgeleitete Funktion f. (x. ), ermittelt in dem Intervall (-10,5; 19). Finden Sie die Raten der zunehmenden Funktion f. (x. ). Geben Sie als Antwort die Länge des größten von ihnen an.

Lücken der zunehmenden Funktion stimmen mit den Lücken der Position des Positivitätsivats überein. In der Tabelle sehen wir ihre drei - (-9; -7), (4; 12), (18; 19). Die längste von ihnen ist der zweite. Seine länge l. = 12 − 4 = 8.

Antworten: 8

Aufgabe 11.

Abbildung 2 zeigt ein Diagramm f " (x. ) - abgeleitete Funktion f. (x. ), ermittelt auf dem Intervall (-11; 23). Finden Sie die Anzahl der Punkte, in denen eine Funktion tangential ist f. (x. ) Parallel direkt. y. = −2x. − 11 oder fällt mit.

Der Winkelkoeffizient (es ist der Tangente des Neigungswinkels) der angegebenen Direkte k \u003d -2. Wir interessieren uns für parallele oder zusammenfälschende Tangenten, d. H. Gerade mit der gleichen Hang. Basierend auf der geometrischen Bedeutung des abgeleiteten Winkelkoeffizienten des Tangentialkoeffizienten im betrachteten Punkt des Graphen der Funktion übersetzen wir Punkte, in der das Derivat gleich -2 ist. Fig. 2 der solchen Punkte 9. Es ist zweckmäßig, sich auf die Kreuzungen des Diagramms zu zählen, und die Koordinatengitterleitung, die durch den Wert von -2 auf der Achse verläuft Oy..

Antworten: 9

Wie Sie sehen, können Sie einen und derselbe Zeitplan mit einer Vielzahl von Fragen zum Verhalten der Funktion und dessen Ableitung stellen. Eine Frage kann auch auf die Diagramme verschiedener Funktionen zurückgeführt werden. Seien Sie vorsichtig, wenn Sie diese Aufgabe auf der Prüfung lösen, und es scheint Ihnen sehr einfach zu sein. Andere Arten von Aufgaben dieser Aufgabe - auf der geometrischen Bedeutung des Primitivs - werden in einem anderen Abschnitt in Betracht gezogen.

Hallo! Ich werde die Annäherung an das Spiel mit qualitativ hochwertiger systematischer Ausbildung und Ausdauer beim Schleifen des Granits der Wissenschaft treffen !!! IM Das Ende des Beitrags ist eine wettbewerbsfähige Aufgabe, sei der Erste! In einem der Artikel in dieser Kategorie sind wir mit dem Funktionszeitplan und verschiedene Fragen, die sich auf Extremen beziehen, zunehmende Intervalle (absteigend) und andere erhoben wurden.

In diesem Artikel werden wir die Aufgaben der Mathematik auf Mathematik in Betracht ziehen, in denen der Graph der derivativen Funktion gegeben ist, und die folgenden Fragen sind festgelegt:

1. In welchem \u200b\u200bPunkt des angegebenen Segments nimmt die Funktion den größten (oder kleinsten) Wert an.

2. Finden Sie die Anzahl der maximalen Punkte (oder Mindest-) Funktionen, die zu einem bestimmten Segment gehören.

3. Finden Sie die Anzahl der Extremumpunktefunktionen, die zu einem bestimmten Segment gehören.

4. Finden Sie den Extremumpunkt der Funktion des angegebenen Segments.

5. Finden Sie die Lücken der zunehmenden (oder absteigenden) Funktionen und als Reaktion auf die Angabe der Menge an ganzzahligen Punkten in diesen Intervallen.

6. Finden Sie die Lücken zunehmender (oder absteigender) Funktionen. Angabe der Länge der größten dieser Lücken.

7. Finden Sie die Anzahl der Punkte, in denen die Funktion Tangent-Funktion parallel zum direkten Formular y \u003d kx + b ist oder mit diesem zusammenfällt.

8. Finden Sie einen Abszisse-Punkt, in dem die Funktion der Funktion parallel zur Abszisse-Achse tangtiert oder mit ihm zusammenfällt.

Es kann andere Fragen geben, aber sie werden keine Schwierigkeiten verursachen, wenn Sie verstehen und (Links auf Artikel aufgelistet sind, in denen die zur Lösung erforderlichen Informationen aufgeführt sind, empfehle ich wiederholt).

Grundlegende Informationen (kurz):

1. Die Ableitung in Abständen der Erhöhung hat ein positives Zeichen.

Wenn das Derivat an einem bestimmten Punkt aus einem bestimmten Intervall einen positiven Wert aufweist, steigt der Funktionsgraph bei diesem Intervall an.

2. In Abständen der Ebenheit hat das Derivat ein negatives Zeichen.

Wenn das Derivat an einem bestimmten Punkt aus einiger Intervall einen negativen Wert hat, nimmt der Funktionszeitraum in diesem Intervall ab.

Das Derivat an Punkt X ist gleich dem Winkelkoeffizienten von Tangential, der an derselben Stelle an die Grafik der Funktion durchgeführt wird.

4. Bei Extremum-Punkten (maximales Minimum) ist die derivative Funktion Null. Tanner zu den Grafiken der Funktion an diesem Punkt parallel zur Achse Oh.

Es ist notwendig, klar zu verstehen und sich zu erinnern !!!

Viele Diagramme des Derivats "verwirren". Einige Unaufmerksamkeit nehmen es für den Zeitplan der Funktion selbst. Daher, in solchen Gebäuden, in denen Sie sehen, dass der Zeitplan angegeben ist, betonen Sie Ihre Aufmerksamkeit sofort auf die Tatsache, dass er gegeben ist: ein Funktionszeitplan oder ein Diagramm der derivativen Funktion?

Wenn dies ein Diagramm der derivativen Funktion ist, beziehen Sie sich auf ihn, um die Funktion selbst "reflektieren", die Ihnen einfach Informationen zu dieser Funktion gibt.

Betrachten Sie die Aufgabe:

Abbildung zeigt eine Grafik y \u003d.f.'(X) - abgeleitete Funktion. f.(x)ermittelt auf dem Intervall (-2; 21).

Antworten Sie auf folgende Fragen:

1. In welchem \u200b\u200bPunkt die Segmentfunktion f.(x) nimmt den größten Wert.

In einem bestimmten Abschnitt ist die derivative Funktion negativ, es bedeutet, dass die Funktion auf diesem Segment abnimmt (sie nimmt von der linken Grenze des Intervalls nach rechts ab). Somit wird der größte Wert der Funktion am linken Rand des Segments erreicht, d. H. An Punkt 7.

Antwort: 7.

2. In welchem \u200b\u200bPunkt die Segmentfunktion f.(x)

Für diesen Zeitplan kann das Derivat das Folgende sagen. In einem bestimmten Abschnitt ist die derivative Funktion positiv, es bedeutet, dass die Funktion dieses Segments zunimmt (er nimmt von der linken Grenze des Intervalls nach rechts). Somit wird der kleinste Wert der Funktion am linken Rand des Segments erreicht, dh an Punkt x \u003d 3.

Antwort: 3.

3. Finden Sie die Anzahl der Merkmale der maximalen Funktion f.(x)

Die Höchstpunkte entsprechen dem Punkt der Änderung des Zeichens des Derivats mit einem positiven bis negativen Punkt. Überlegen Sie, wo sich das Zeichen ändert.

Auf dem Segment (3; 6) ist das Derivat positiv, auf dem Segment (6; 16) ist negativ.

Am Schnitt (16; 18) ist das Derivat positiv, auf dem Segment (18; 20) ist negativ.

Somit hat die Funktion in einem bestimmten Segment zwei Punkte von maximal x \u003d 6 und x \u003d 18.

Antwort: 2.

4. Finden Sie die Anzahl der Punkte der Mindestfunktion f.(x)zum Segment gehören.

Die Mindestpunkte entsprechen den Punktverschiebungen mit einem Negativ auf positiv. Wir haben auf dem Intervall (0; 3) das Derivat ist negativ, auf dem Intervall (3; 4) ist positiv.

Somit hat die Funktion im Segment nur einen Punkt von minimal x \u003d 3.

* Seien Sie vorsichtig, wenn Sie eine Antwort aufzeichnen - Die Anzahl der Punkte wird aufgezeichnet, und nicht der Wert X, ein solcher Fehler kann aufgrund der Unaufmerksamkeit zulässig sein.

Antwort 1.

5. Finden Sie die Anzahl der Extremumpunkte Funktionen f.(x)zum Segment gehören.

Bitte beachten Sie, dass Sie finden müssen menge Extremumpunkte (dies sind die Höchstpunkte und Mindestpunkte).

Extremumpunkte entsprechen dem Punkt der Unterzeichnung des Derivats (mit einem positiven bis negativen oder umgekehrt). In diesem Zeitplan sind dies Nullfunktionen. Das Derivat bezieht sich auf Null an den Punkten 3, 6, 16, 18.

Somit hat die Funktion auf dem Segment 4 Extrempunkte Punkte.

Antwort: 4

6. Finden Sie die zunehmenden Bereiche der Funktion f.(x)

Lücken, um diese Funktion zu erhöhen f.(x) entsprechen den Lücken, auf denen sein Derivat positiv ist, dh Intervalle (3; 6) und (16; 18). Bitte beachten Sie, dass die Intervallgrenzen nicht darin enthalten sind (Rundhalterungen - Grenzen sind nicht in das Intervall enthalten, das Square - sind enthalten). Diese Intervalle enthalten Ganzzahlen 4, 5, 17. Ihre Menge beträgt: 4 + 5 + 17 \u003d 26

Antwort: 26.

7. Finden Sie die Ebenheit der Funktion f.(x) In einem bestimmten Intervall. Geben Sie außerdem den Betrag der ganzzahligen Punkte in diesen Intervallen an.

Beleuchtung der Verringerung der Funktion f.(x) entsprechen den Lücken, auf denen die derivative Funktion negativ ist. In dieser Aufgabe befinden sich diese Intervalle (-2; 3), (6; 16), (18; 21).

Diese Intervalle enthalten die folgenden Ganzzahlpunkte: -1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Ihr Betrag ist gleich:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Antwort: 140.

* Achten Sie auf den Zustand: ob die Grenzen in das Intervall enthalten sind oder nicht. Wenn die Grenzen enthalten sind, dann müssen diese Grenzen in den unter Berücksichern der Intervalllösungen auch berücksichtigt werden.

8. Finden Sie die zunehmenden Bereich der Funktion f.(x)

Schienen der zunehmenden Funktion f.(x) entsprechen den Lücken, auf denen die abgeleitete Funktion positiv ist. Wir haben sie bereits angedeutet: (3; 6) und (16; 18). Der größte von ihnen ist das Intervall (3; 6), seine Länge ist 3.

Antwort: 3.

9. Finden Sie die Ebenheit der Funktion f.(x). Geben Sie als Antwort die Länge des größten von ihnen an.

Beleuchtung der Verringerung der Funktion f.(x) entsprechen den Lücken, auf denen die derivative Funktion negativ ist. Wir haben sie bereits angedeutet, diese sind Intervalle (-2; 3), (6; 16), (18; 21), ihre Längen sind jeweils 5, 10, 3.

Die Länge des größten ist 10.

Antwort: 10.

10. Finden Sie die Anzahl der Punkte, in denen die Funktion tangential ist f.(x) Parallel direkt y \u003d 2x + 3 oder stimmt mit sich zusammen.

Der Wert des Derivats am Berührungspunkt ist dem Winkelkoeffizienten der Tangente gleich. Da der Tangent parallel zur direkten y \u003d 2x + 3 oder mit ihm zusammenfällt, dann sind ihre Winkelkoeffizienten gleich 2. So ist es notwendig, die Anzahl der Punkte zu finden, in denen Y '(x 0) \u003d 2 geometrisch, Dies entspricht der Anzahl der Punkte der Kreuzungspunkte der Grafik des Derivats mit einem direkten y \u003d 2. in diesem Intervall solcher Punkte 4.

Antwort: 4

11. Finden Sie den Extremumpunkt der Funktion f.(x)zum Segment gehören.

Der Punkt der Extremum-Funktion ist derart, in dem sein Derivat Null ist, mit etwas in der Nachbarschaft dieses Punktes ist das Derivat das Zeichen (von einem positiven bis negativen oder umgekehrt). Im Segment schneidet das derivative Graph die Abszisse-Achse, die Ableitung ändert das Schild von dem Negativ auf dem positiven. Folglich ist der Punkt x \u003d 3 ein Extremumpunkt.

Antwort: 3.

12. Finden Sie die Abszäusen der Punkte, in denen die Tangenten für den Graphen y \u003d f (x) parallel zur Abszisse-Achse sind oder damit zusammenfallen. Geben Sie als Antwort den größten von ihnen an.

Tanner zum Graphen y \u003d f (x) kann parallel zur Abszisse-Achse sein oder mit sich zusammenfallen, nur an Punkten, an denen das Derivat Null ist (es kann die Punkte der Extrem- oder stationären Punkte sein, in der Nähe davon, in der das Derivat tut nicht sein Zeichen ändern). Gemäß diesem Zeitplan ist ersichtlich, dass das Derivat an den Punkten 3, 6, 16, 17, Null ist. Der größte ist 18.

Sie können auf diese Weise Argumentation errichten:

Der Wert des Derivats am Berührungspunkt ist dem Winkelkoeffizienten der Tangente gleich. Da die tangentiale Parallelachse der Abszisse oder damit zusammenfällt, ist sein Winkelkoeffizient 0 (der wirklich tangente Winkel zu Null ist Null). Folglich suchen wir nach einem Punkt, in dem der Winkelkoeffizient Null ist, was bedeutet, dass das Derivat Null ist. Das Derivat ist an diesem Punkt Null, in dem der Zeitplan die Abszisse-Achse überquert, und dies sind Punkte 3, 6, 16.18.

Antwort: 18.

Abbildung zeigt eine Grafik y \u003d.f.'(X) - abgeleitete Funktion. f.(x)ermittelt auf dem Intervall (-8; 4). An welchem \u200b\u200bPunkt ist das Segment [-7; -3] Funktion f.(x) Nimmt den kleinsten Wert.

Abbildung zeigt eine Grafik y \u003d.f.'(X) - abgeleitete Funktion. f.(x)ermittelt auf dem Intervall (-7; 14). Finden Sie die Anzahl der Merkmale der maximalen Funktion f.(x)Zugehörigkeit zum Segment [-6; 9].

Abbildung zeigt eine Grafik y \u003d.f.'(X) - abgeleitete Funktion. f.(x)ermittelt auf dem Intervall (-18; 6). Finden Sie die Anzahl der Punkte Mindestpunkte f.(x)Zugehörigkeit zum Segment [-13; 1].

Abbildung zeigt eine Grafik y \u003d.f.'(X) - abgeleitete Funktion. f.(x)definiert auf dem Intervall (-11; -11). Finden Sie die Anzahl der Extremumpunkte Funktionen f.(x)Zugehörigkeit zum Segment [-10; -10].

Abbildung zeigt eine Grafik y \u003d.f.'(X) - abgeleitete Funktion. f.(x)definiert auf dem Intervall (-7; 4). Finden Sie die Raten der zunehmenden Funktion f.(x). Geben Sie außerdem den Betrag der ganzzahligen Punkte in diesen Intervallen an.

Abbildung zeigt eine Grafik y \u003d.f.'(X) - abgeleitete Funktion. f.(x)ermittelt auf dem Intervall (-5; 7). Finden Sie die Ebenheit der Funktion f.(x). Geben Sie außerdem den Betrag der ganzzahligen Punkte in diesen Intervallen an.

Abbildung zeigt eine Grafik y \u003d.f.'(X) - abgeleitete Funktion. f.(x)ermittelt auf dem Intervall (-11; 3). Finden Sie die Raten der zunehmenden Funktion f.(x). Geben Sie als Antwort die Länge des größten von ihnen an.

F Das Bild zeigt eine Grafik

Die Aufgabenbedingung ist das gleiche (die wir in Betracht gezogen haben). Finden Sie die Summe von drei Zahlen:

1. Die Summe der Quadrate der Extremumfunktionen f (x).

2. Der Unterschied der Quadrate Die Summe der maximalen Punkte und der Summe der Punkte der Mindestfunktion F (x).

3. Die Menge an Tangenten bis f (x), parallel zum direkten y \u003d -3x + 5.

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Erfolg für Sie!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitsih.

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