Die Formel für den Modul der Körperverschiebung bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung. Verschiebungsprojektionsgleichung

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§ 7. Bewegung mit gleichmäßig beschleunigter
geradlinige Bewegung

1. Unter Verwendung eines Geschwindigkeits-Zeit-Diagramms können Sie die Formel für die Bewegung eines Körpers mit einer gleichmäßigen geradlinigen Bewegung erhalten.

Abbildung 30 zeigt ein Diagramm der Projektion der Geschwindigkeit der gleichförmigen Bewegung auf die Achse x von Zeit. Wenn wir irgendwann eine Senkrechte zur Zeitachse aufstellen C, dann erhalten wir ein Rechteck OABC. Die Fläche dieses Rechtecks ist gleich dem Produkt der Seiten OA Und OK. Aber die Seitenlänge OA ist gleich vx, und die Seitenlänge OK - T, somit S = v x t. Das Produkt der Projektion der Geschwindigkeit auf die Achse x und die Zeit ist gleich der Verschiebungsprojektion, d.h. s x = v x t.

Auf diese Weise, Die Verschiebungsprojektion für eine gleichförmige geradlinige Bewegung ist numerisch gleich der Fläche des Rechtecks, das von den Koordinatenachsen, dem Geschwindigkeitsdiagramm und der zur Zeitachse erhobenen Senkrechten begrenzt wird.

2. Auf ähnliche Weise erhalten wir die Formel für die Verschiebungsprojektion in einer geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Dazu verwenden wir den Graphen der Abhängigkeit der Geschwindigkeitsprojektion auf der Achse x aus der Zeit (Abb. 31). Wählen Sie einen kleinen Bereich im Diagramm aus ab und lassen Sie die Senkrechten von den Punkten fallen ein Und B auf der Zeitachse. Wenn das Zeitintervall D T, entsprechend dem Abschnitt CD auf der Zeitachse klein ist, dann können wir davon ausgehen, dass sich die Geschwindigkeit in diesem Zeitraum nicht ändert und sich der Körper gleichmäßig bewegt. In diesem Fall die Abbildung Kabine unterscheidet sich wenig von einem Rechteck und seine Fläche ist numerisch gleich der Projektion der Bewegung des Körpers in der dem Segment entsprechenden Zeit CD.

Sie können die ganze Figur in solche Streifen zerlegen OABC, und seine Fläche ist gleich der Summe der Flächen aller Streifen. Daher die Projektion der Bewegung des Körpers über die Zeit T numerisch gleich der Fläche des Trapezes OABC. Aus dem Geometriekurs wissen Sie, dass die Fläche eines Trapezes gleich dem Produkt aus der halben Summe seiner Grundflächen und seiner Höhe ist: S= (OA + BC)OK.

Wie aus Abbildung 31 ersichtlich, OA = v 0x , BC = vx, OK = T. Daraus folgt, dass die Verschiebungsprojektion durch die Formel ausgedrückt wird: s x= (vx + v 0x)T.

Bei gleichmäßig beschleunigter geradliniger Bewegung ist die Geschwindigkeit des Körpers zu jeder Zeit gleich vx = v 0x + ein xt, Folglich, s x = (2v 0x + ein xt)T.

Von hier:

Um die Bewegungsgleichung des Körpers zu erhalten, setzen wir in die Verschiebungsprojektionsformel ihren Ausdruck durch die Koordinatendifferenz ein s x = x – x 0 .

Wir bekommen: x – x 0 = v 0x T+ , oder

x = x 0 + v 0x T + .

Gemäß der Bewegungsgleichung ist es jederzeit möglich, die Koordinate des Körpers zu bestimmen, wenn Anfangskoordinate, Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung des Körpers bekannt sind.

3. In der Praxis treten häufig Probleme auf, bei denen es notwendig ist, die Auslenkung eines Körpers bei einer gleichförmig beschleunigten geradlinigen Bewegung zu finden, der Bewegungszeitpunkt aber unbekannt ist. In diesen Fällen wird eine andere Verschiebungsprojektionsformel verwendet. Holen wir es uns.

Aus der Formel für die Projektion der Geschwindigkeit einer gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung vx = v 0x + ein xt drücken wir die Zeit aus:

T = .

Setzen wir diesen Ausdruck in die Verschiebungsprojektionsformel ein, erhalten wir:

s x = v 0x + .

Von hier:

s x = , oder
–= 2ein x s x.

Wenn die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers Null ist, dann:

2ein x s x.

4. Beispiel Problemlösung

Der Skifahrer bewegt sich aus einem Ruhezustand mit einer Beschleunigung von 0,5 m / s 2 in 20 s den Berghang hinunter und bewegt sich dann entlang des horizontalen Abschnitts, nachdem er zu einem Stopp von 40 m gefahren ist horizontale Fläche? Wie lang ist der Hang des Berges?

Gegeben:

Lösung

v 01 = 0

ein 1 = 0,5 m/s 2

T 1 = 20 s

S 2 = 40m

v 2 = 0

Die Bewegung des Skifahrers besteht aus zwei Phasen: In der ersten Phase bewegt sich der Skifahrer beim Abstieg vom Hang des Berges mit zunehmender Geschwindigkeit im absoluten Wert; In der zweiten Stufe nimmt seine Geschwindigkeit ab, wenn er sich entlang einer horizontalen Oberfläche bewegt. Die Werte, die sich auf die erste Stufe der Bewegung beziehen, werden mit Index 1 geschrieben, und diejenigen, die sich auf die zweite Stufe beziehen, mit Index 2.

ein 2?

S 1?

Wir verbinden das Bezugssystem mit der Erde, der Achse x Lassen Sie uns in jeder Phase seiner Bewegung in Richtung der Geschwindigkeit des Skifahrers lenken (Abb. 32).

Schreiben wir die Gleichung für die Geschwindigkeit des Skifahrers am Ende der Abfahrt vom Berg:

v 1 = v 01 + ein 1 T 1 .

In Projektionen auf die Achse x wir bekommen: v 1x = ein 1x T. Da die Projektionen von Geschwindigkeit und Beschleunigung auf die Achse x positiv sind, ist der Geschwindigkeitsmodul des Skifahrers: v 1 = ein 1 T 1 .

Lassen Sie uns eine Gleichung schreiben, die die Projektionen von Geschwindigkeit, Beschleunigung und Bewegung des Skifahrers in der zweiten Bewegungsphase betrifft:

–= 2ein 2x S 2x .

In Anbetracht dessen, dass die Anfangsgeschwindigkeit des Skifahrers in dieser Phase der Bewegung gleich seiner Endgeschwindigkeit in der ersten Phase ist

v 02 = v 1 , v 2x= 0 erhalten wir

– = –2ein 2 S 2 ; (ein 1 T 1) 2 = 2ein 2 S 2 .

Von hier ein 2 = ;

ein 2 == 0,125 m/s 2.

Der Bewegungsmodul des Skifahrers in der ersten Bewegungsphase ist gleich der Länge des Berghangs. Schreiben wir die Verschiebungsgleichung:

S 1x = v 01x T + .

Daher ist die Länge des Berghangs S 1 = ;

S 1 == 100m.

Antworten: ein 2 \u003d 0,125 m / s 2; S 1 = 100m.

Fragen zur Selbstprüfung

1. Wie gemäß dem Diagramm der Projektion der Geschwindigkeit einer gleichmäßigen geradlinigen Bewegung auf der Achse x

2. B. gemäß dem Diagramm der Projektion der Geschwindigkeit einer gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung auf die Achse x aus der Zeit, um die Projektion der Verschiebung des Körpers zu bestimmen?

3. Welche Formel wird verwendet, um die Projektion der Verschiebung eines Körpers während einer gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung zu berechnen?

4. Welche Formel wird verwendet, um die Projektion der Verschiebung eines Körpers zu berechnen, der sich gleichmäßig beschleunigt und geradlinig bewegt, wenn die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers Null ist?

Aufgabe 7

1. Wie groß ist der Verschiebungsmodul eines Autos in 2 Minuten, wenn sich seine Geschwindigkeit in dieser Zeit von 0 auf 72 km/h geändert hat? Welche Koordinate hat das Auto zu diesem Zeitpunkt T= 2 Minuten? Die Anfangskoordinate wird als Null angenommen.

2. Der Zug bewegt sich mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 36 km/h und einer Beschleunigung von 0,5 m/s 2 . Was ist die Verschiebung des Zuges in 20 s und seine Koordinate im Moment T= 20 s, wenn die Startkoordinate des Zuges 20 m beträgt?

3. Wie groß ist die Bewegung des Radfahrers für 5 s nach Bremsbeginn, wenn seine Anfangsgeschwindigkeit beim Bremsen 10 m/s und die Beschleunigung 1,2 m/s 2 beträgt? Wie lautet die Koordinate des Radfahrers zur Zeit T= 5 s, wenn es zum Anfangszeitpunkt am Ursprung war?

4. Ein Auto, das sich mit einer Geschwindigkeit von 54 km/h bewegt, hält an, wenn es 15 Sekunden lang bremst. Wie groß ist der Verschiebungsmodul des Autos beim Bremsen?

5. Zwei Autos bewegen sich aus zwei Siedlungen, die 2 km voneinander entfernt sind, aufeinander zu. Die Anfangsgeschwindigkeit eines Autos beträgt 10 m/s und die Beschleunigung beträgt 0,2 m/s 2 , die Anfangsgeschwindigkeit des anderen beträgt 15 m/s und die Beschleunigung beträgt 0,2 m/s 2 . Bestimmen Sie Zeit und Koordinate des Treffpunkts der Autos.

Labor Nr. 1

Studium der gleichmäßig beschleunigt
geradlinige Bewegung

Zielsetzung:

lernen, wie man die Beschleunigung in einer gleichmäßig beschleunigten, geradlinigen Bewegung misst; experimentell das Verhältnis der Wege ermitteln, die der Körper bei gleichmäßig beschleunigter geradliniger Bewegung in aufeinanderfolgenden gleichen Zeitintervallen zurücklegt.

Geräte und Materialien:

Rutsche, Stativ, Metallkugel, Stoppuhr, Maßband, Metallzylinder.

Arbeitsauftrag

1. Befestigen Sie ein Ende der Rutsche im Fuß des Stativs, so dass es einen kleinen Winkel mit der Tischoberfläche bildet, und stecken Sie am anderen Ende der Rutsche einen Metallzylinder hinein.

2. Messen Sie die zurückgelegten Wege der Kugel in 3 aufeinanderfolgenden Zeitintervallen von je 1 s. Dies kann auf unterschiedliche Weise erfolgen. Sie können mit Kreide Markierungen auf der Rutsche anbringen, die Position des Balls zu Zeitpunkten gleich 1 s, 2 s, 3 s festlegen und die Entfernungen messen S_ zwischen diesen Markierungen. Es ist möglich, den Ball jedes Mal aus der gleichen Höhe loszulassen, um den Weg zu messen S, an ihm vorbei zuerst in 1 s, dann in 2 s und in 3 s, und berechnen Sie dann den Weg, den der Ball in der zweiten und dritten Sekunde zurückgelegt hat. Tragen Sie die Messergebnisse in Tabelle 1 ein.

3. Finde das Verhältnis des in der zweiten Sekunde zurückgelegten Weges zu dem in der ersten Sekunde zurückgelegten Weg und des in der dritten Sekunde zurückgelegten Weges zu dem in der ersten Sekunde zurückgelegten Weg. Machen Sie eine Schlussfolgerung.

4. Messen Sie die Zeit, die der Ball entlang der Rutsche zurückgelegt hat, und die zurückgelegte Strecke. Berechnen Sie seine Beschleunigung mit der Formel S = .

5. Berechnen Sie anhand des experimentell ermittelten Beschleunigungswerts die Wege, die der Ball in der ersten, zweiten und dritten Sekunde seiner Bewegung zurücklegen muss. Machen Sie eine Schlussfolgerung.

Tabelle 1

Erfahrungsnummer

Versuchsdaten

Theoretische Ergebnisse

Zeit T , von

Weg s , cm

Zeit t , von

Weg

s, cm

Beschleunigung a, cm/s2

ZeitT, von

Weg s , cm

Die Geschwindigkeit (v) ist eine physikalische Größe, die numerisch gleich dem Weg (s) ist, den der Körper pro Zeiteinheit (t) zurücklegt.

Weg

Pfad (S) - die Länge der Flugbahn, entlang der sich der Körper bewegt hat, ist numerisch gleich dem Produkt aus der Geschwindigkeit (v) des Körpers und der Bewegungszeit (t).

Reisezeit

Die Bewegungszeit (t) ist gleich dem Verhältnis des vom Körper zurückgelegten Weges (S) zur Bewegungsgeschwindigkeit (v).

Durchschnittsgeschwindigkeit

Die mittlere Geschwindigkeit (vav) ist gleich dem Verhältnis der Summe der vom Körper zurückgelegten Wegabschnitte (s 1 s 2, s 3, ...) zum Zeitintervall (t 1 + t 2 + t 3 + ...), für die dieser Weg zurückgelegt wurde .

Durchschnittsgeschwindigkeit ist das Verhältnis der Länge des vom Körper zurückgelegten Weges zur Zeit, die dieser Weg zurückgelegt wurde.

Durchschnittsgeschwindigkeit bei ungleichmäßiger Bewegung auf einer geraden Linie: Dies ist das Verhältnis der gesamten Strecke zur Gesamtzeit.

Zwei aufeinanderfolgende Etappen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten: wo

Beim Lösen von Problemen - wie viele Bewegungsphasen wird es so viele Komponenten geben:

Projektionen des Verschiebungsvektors auf die Koordinatenachsen

Projektion des Verschiebungsvektors auf die OX-Achse:

Projektion des Verschiebungsvektors auf die OY-Achse:

Die Projektion eines Vektors auf eine Achse ist Null, wenn der Vektor senkrecht zur Achse steht.

Vorzeichen von Verschiebungsprojektionen: Die Projektion wird als positiv angesehen, wenn die Bewegung von der Projektion des Anfangs des Vektors zur Projektion des Endes in Richtung der Achse erfolgt, und als negativ, wenn sie gegen die Achse verläuft. In diesem Beispiel

Bewegungsmodul ist die Länge des Verschiebungsvektors:

Nach dem Satz des Pythagoras:

Projektionen von Bewegung und Neigungswinkel

In diesem Beispiel:

Koordinatengleichung (allgemein):

Radius-Vektor- ein Vektor, dessen Anfang mit dem Koordinatenursprung und dessen Ende mit der Position des Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt übereinstimmt. Die Projektionen des Radiusvektors auf die Koordinatenachsen bestimmen die Koordinaten des Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Mit dem Radiusvektor können Sie die Position eines Materialpunkts in einem gegebenen Bereich festlegen Referenzsystem:

Gleichmäßige geradlinige Bewegung - Definition

Gleichmäßige geradlinige Bewegung- eine Bewegung, bei der der Körper für beliebige gleiche Zeitintervalle gleiche Verschiebungen ausführt.

Geschwindigkeit in gleichmäßiger geradliniger Bewegung. Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle physikalische Größe, die angibt, wie viel Bewegung ein Körper pro Zeiteinheit ausführt.

In Vektorform:

In Projektionen auf die OX-Achse:

Zusätzliche Geschwindigkeitseinheiten:

1 km/h = 1000 m/3600 s,

1 km/s = 1000 m/s,

1 cm/s = 0,01 m/s,

1 m/min = 1 m/60 s.

Messgerät - Tacho - zeigt das Geschwindigkeitsmodul an.

Das Vorzeichen der Geschwindigkeitsprojektion hängt von der Richtung des Geschwindigkeitsvektors und der Koordinatenachse ab:

Der Geschwindigkeitsprojektionsgraph ist die Abhängigkeit der Geschwindigkeitsprojektion von der Zeit:

Geschwindigkeitsdiagramm für gleichmäßige geradlinige Bewegung- Gerade parallel zur Zeitachse (1, 2, 3).

Liegt der Graph über der Zeitachse (.1), bewegt sich der Körper in Richtung der OX-Achse. Befindet sich der Graph unter der Zeitachse, bewegt sich der Körper gegen die OX-Achse (2, 3).

Die geometrische Bedeutung der Bewegung.

Bei gleichförmiger geradliniger Bewegung wird die Verschiebung durch die Formel bestimmt. Das gleiche Ergebnis erhalten wir, wenn wir die Fläche der Figur unter dem Geschwindigkeitsdiagramm in den Achsen berechnen. Um also den Weg und das Verschiebungsmodul während einer geradlinigen Bewegung zu bestimmen, muss die Fläche der Figur unter dem Geschwindigkeitsdiagramm in den Achsen berechnet werden:

Verschiebungsprojektionsdiagramm- Abhängigkeit der Verschiebungsprojektion von der Zeit.

Verschiebungsprojektionsdiagramm für gleichmäßige geradlinige Bewegung- eine gerade Linie, die vom Ursprung ausgeht (1, 2, 3).

Liegt die Gerade (1) über der Zeitachse, so bewegt sich der Körper in Richtung der OX-Achse, und wenn unter der Achse (2, 3), dann gegen die OX-Achse.

Je größer der Tangens der Steigung (1) des Graphen ist, desto größer ist der Geschwindigkeitsmodul.

Plotkoordinate- Abhängigkeit der Körperkoordinaten von der Zeit:

Diagrammkoordinaten für gleichmäßige geradlinige Bewegung - gerade Linien (1, 2, 3).

Wenn die Koordinate mit der Zeit zunimmt (1, 2), bewegt sich der Körper in Richtung der OX-Achse; nimmt die Koordinate ab (3), so bewegt sich der Körper entgegen der Richtung der OX-Achse.

Je größer die Tangente der Steigung (1), desto größer der Geschwindigkeitsmodul.

Wenn sich die Graphen der Koordinaten zweier Körper schneiden, sollte man vom Schnittpunkt aus die Senkrechten zur Zeitachse und zur Koordinatenachse absenken.

Relativität der mechanischen Bewegung

Unter Relativität verstehen wir die Abhängigkeit von etwas von der Wahl des Bezugssystems. Zum Beispiel ist Frieden relativ; relative Bewegung und relative Position des Körpers.

Die Regel der Addition von Verschiebungen. Vektorsumme der Verschiebungen

wo ist die Verschiebung des Körpers relativ zum beweglichen Bezugssystem (RFR); - Bewegung des PSO relativ zum festen Referenzrahmen (FRS); - Bewegung des Körpers relativ zum festen Bezugssystem (FRS).

Vektoraddition:

Addition von Vektoren entlang einer Geraden:

Addition von Vektoren senkrecht zueinander

Nach dem Satz des Pythagoras

Lassen Sie uns eine Formel herleiten, mit der die Projektion des Verschiebungsvektors eines Körpers berechnet werden kann, der sich geradlinig bewegt und für einen beliebigen Zeitraum gleichmäßig beschleunigt wird. Wenden wir uns dazu Abbildung 14 zu. Sowohl in Abbildung 14 a als auch in Abbildung 14 b ist das Segment AC ein Diagramm der Projektion des Geschwindigkeitsvektors eines Körpers, der sich mit konstanter Beschleunigung a (bei der Anfangsgeschwindigkeit) bewegt v0).

Reis. 14. Die Projektion des Verschiebungsvektors eines Körpers, der sich geradlinig bewegt und gleichmäßig beschleunigt wird, ist numerisch gleich der Fläche S unter dem Diagramm

Denken Sie daran, dass bei einer geradlinigen, gleichmäßigen Bewegung eines Körpers die Projektion des Verschiebungsvektors dieses Körpers durch dieselbe Formel bestimmt wird wie die Fläche des Rechtecks, das unter dem Geschwindigkeitsvektor-Projektionsdiagramm eingeschlossen ist (siehe Abb. 6). Daher ist die Projektion des Verschiebungsvektors numerisch gleich der Fläche dieses Rechtecks.

Lassen Sie uns beweisen, dass im Fall einer geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung die Projektion des Verschiebungsvektors sx durch dieselbe Formel bestimmt werden kann wie die Fläche der Figur, die zwischen dem Graphen AC, der Achse Ot und den Segmenten OA und eingeschlossen ist BC, dh in diesem Fall ist die Projektion des Verschiebungsvektors numerisch gleich der Fläche der Figur unter dem Geschwindigkeitsdiagramm. Dazu wählen wir auf der Ot-Achse (siehe Abb. 14, a) ein kleines Zeitintervall db. Von den Punkten d und b zeichnen wir Senkrechte zur Ot-Achse, bis sie sich mit dem Geschwindigkeitsvektor-Projektionsgraphen an den Punkten a und c schneiden.

Somit ändert sich für eine dem Segment db entsprechende Zeitdauer die Geschwindigkeit des Körpers von v ax auf v cx.

Für eine ausreichend kurze Zeitspanne ändert sich die Projektion des Geschwindigkeitsvektors sehr geringfügig. Daher unterscheidet sich die Bewegung des Körpers während dieser Zeitspanne kaum von einer gleichförmigen Bewegung, dh von einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.

Es ist möglich, die gesamte Fläche der OASV-Figur, die ein Trapez ist, in solche Streifen zu unterteilen. Daher ist die Projektion des Verschiebungsvektors sx für das dem Segment OB entsprechende Zeitintervall numerisch gleich der Fläche S des Trapezoids OASV und wird durch dieselbe Formel wie diese Fläche bestimmt.

Nach der Regel, die in Schulgeometriekursen gegeben wird, ist die Fläche eines Trapezes gleich dem Produkt aus der halben Summe seiner Grundflächen und der Höhe. Abbildung 14, b zeigt, dass die Basen des trapezförmigen OASV die Segmente OA = v 0x und BC = v x sind und die Höhe das Segment OB = t ist. Folglich,

Da v x \u003d v 0x + a x t, a S \u003d s x, können wir schreiben:

Damit haben wir eine Formel zur Berechnung der Projektion des Verschiebungsvektors bei gleichförmig beschleunigter Bewegung erhalten.

Mit der gleichen Formel wird die Projektion des Verschiebungsvektors auch berechnet, wenn sich der Körper mit abnehmendem Geschwindigkeitsmodul bewegt, nur dass in diesem Fall die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren in entgegengesetzte Richtungen gerichtet sind, sodass ihre Projektionen unterschiedliche Vorzeichen haben.

Fragen

Beweisen Sie anhand von Abbildung 14, a, dass die Projektion des Verschiebungsvektors während einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung numerisch gleich der Fläche der OASV-Figur ist.
Schreiben Sie eine Gleichung auf, um die Projektion des Verschiebungsvektors eines Körpers während seiner geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung zu bestimmen.

Übung 7

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§ 7. Bewegung mit gleichmäßig beschleunigter
geradlinige Bewegung

1. Unter Verwendung eines Geschwindigkeits-Zeit-Diagramms können Sie die Formel für die Bewegung eines Körpers mit einer gleichmäßigen geradlinigen Bewegung erhalten.

Wie aus Abbildung 31 ersichtlich, OA = v 0x , BC = vx, OK = T. Daraus folgt, dass die Verschiebungsprojektion durch die Formel ausgedrückt wird: s x= (vx + v 0x)T.

Bei gleichmäßig beschleunigter geradliniger Bewegung ist die Geschwindigkeit des Körpers zu jeder Zeit gleich vx = v 0x + ein xt, Folglich, s x = (2v 0x + ein xt)T.

Um die Bewegungsgleichung des Körpers zu erhalten, setzen wir in die Verschiebungsprojektionsformel ihren Ausdruck durch die Koordinatendifferenz ein s x = x – x 0 .

Wir bekommen: x – x 0 = v 0x T+ , oder

x = x 0 + v 0x T + .

Gemäß der Bewegungsgleichung ist es jederzeit möglich, die Koordinate des Körpers zu bestimmen, wenn Anfangskoordinate, Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung des Körpers bekannt sind.

Aus der Formel für die Projektion der Geschwindigkeit einer gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung vx = v 0x + ein xt drücken wir die Zeit aus:

Setzen wir diesen Ausdruck in die Verschiebungsprojektionsformel ein, erhalten wir:

s x = v 0x + .

s x = , oder
–= 2ein x s x.

Wenn die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers Null ist, dann:

2ein x s x.

4. Beispiel Problemlösung

Gegeben:

v 01 = 0

ein 1 = 0,5 m/s 2

T 1 = 20 s

S 2 = 40m

v 2 = 0

ein 2?

S 1?

Wir verbinden das Bezugssystem mit der Erde, der Achse x Lassen Sie uns in jeder Phase seiner Bewegung in Richtung der Geschwindigkeit des Skifahrers lenken (Abb. 32).

Schreiben wir die Gleichung für die Geschwindigkeit des Skifahrers am Ende der Abfahrt vom Berg:

v 1 = v 01 + ein 1 T 1 .

Lassen Sie uns eine Gleichung schreiben, die die Projektionen von Geschwindigkeit, Beschleunigung und Bewegung des Skifahrers in der zweiten Bewegungsphase betrifft:

–= 2ein 2x S 2x .

In Anbetracht dessen, dass die Anfangsgeschwindigkeit des Skifahrers in dieser Phase der Bewegung gleich seiner Endgeschwindigkeit in der ersten Phase ist

v 02 = v 1 , v 2x= 0 erhalten wir

– = –2ein 2 S 2 ; (ein 1 T 1) 2 = 2ein 2 S 2 .

Von hier ein 2 = ;

ein 2 == 0,125 m/s 2.

Der Bewegungsmodul des Skifahrers in der ersten Bewegungsphase ist gleich der Länge des Berghangs. Schreiben wir die Verschiebungsgleichung:

S 1x = v 01x T + .

Daher ist die Länge des Berghangs S 1 = ;

S 1 == 100m.

Antworten: ein 2 \u003d 0,125 m / s 2; S 1 = 100m.

Fragen zur Selbstprüfung

1. Wie gemäß dem Diagramm der Projektion der Geschwindigkeit einer gleichmäßigen geradlinigen Bewegung auf der Achse x

3. Welche Formel wird verwendet, um die Projektion der Verschiebung eines Körpers während einer gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung zu berechnen?

Aufgabe 7

4. Ein Auto, das sich mit einer Geschwindigkeit von 54 km/h bewegt, hält an, wenn es 15 Sekunden lang bremst. Wie groß ist der Verschiebungsmodul des Autos beim Bremsen?

Labor Nr. 1

Studium der gleichmäßig beschleunigt
geradlinige Bewegung

Zielsetzung:

Geräte und Materialien:

Rutsche, Stativ, Metallkugel, Stoppuhr, Maßband, Metallzylinder.

Arbeitsauftrag

1. Befestigen Sie ein Ende der Rutsche im Fuß des Stativs, so dass es einen kleinen Winkel mit der Tischoberfläche bildet, und stecken Sie am anderen Ende der Rutsche einen Metallzylinder hinein.

4. Messen Sie die Zeit, die der Ball entlang der Rutsche zurückgelegt hat, und die zurückgelegte Strecke. Berechnen Sie seine Beschleunigung mit der Formel S = .

Tabelle 1

Erfahrungsnummer

Versuchsdaten

Theoretische Ergebnisse

Zeit T , von

Weg s , cm

Zeit t , von

Weg

s, cm

Beschleunigung a, cm/s2

ZeitT, von

Weg s , cm

Wie bestimmt man bei Kenntnis des Anhaltewegs die Anfangsgeschwindigkeit des Autos und wie bestimmt man bei Kenntnis der Bewegungseigenschaften wie Anfangsgeschwindigkeit, Beschleunigung, Zeit die Bewegung des Autos? Antworten werden wir bekommen, nachdem wir uns mit dem Thema der heutigen Lektion vertraut gemacht haben: "Verschiebung bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung, Koordinatenabhängigkeit von der Zeit bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung"

Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung sieht der Graph wie eine aufsteigende Gerade aus, da seine Beschleunigungsprojektion größer als Null ist.

Bei gleichförmiger geradliniger Bewegung ist die Fläche numerisch gleich dem Modul der Projektion der Verschiebung des Körpers. Es stellt sich heraus, dass diese Tatsache nicht nur für den Fall einer gleichförmigen Bewegung, sondern für jede Bewegung verallgemeinert werden kann, dh um zu zeigen, dass die Fläche unter dem Diagramm numerisch gleich dem Verschiebungsprojektionsmodul ist. Dies geschieht streng mathematisch, wir verwenden jedoch eine grafische Methode.

Reis. 2. Diagramm der Geschwindigkeitsabhängigkeit von der Zeit bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung ()

Teilen wir den Graphen der Geschwindigkeitsprojektion von der Zeit für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung in kleine Zeitintervalle Δt. Nehmen wir an, dass sie so klein sind, dass sich die Geschwindigkeit während ihrer Länge praktisch nicht geändert hat, das heißt, wir werden den linearen Abhängigkeitsgraphen in der Abbildung bedingt in eine Leiter verwandeln. Bei jedem seiner Schritte glauben wir, dass sich die Geschwindigkeit nicht wesentlich geändert hat. Stellen Sie sich vor, wir machen die Zeitintervalle Δt unendlich klein. In der Mathematik sagt man: Wir machen einen Grenzübergang. In diesem Fall fällt die Fläche einer solchen Leiter auf unbestimmte Zeit eng mit der Fläche des Trapezes zusammen, die durch den Graphen V x (t) begrenzt ist. Und das bedeutet, dass wir für den Fall einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung sagen können, dass das Verschiebungsprojektionsmodul numerisch gleich der Fläche ist, die durch den Graphen V x (t) begrenzt ist: die Abszissen- und Ordinatenachse und die auf die Abszissenachse abgesenkte Senkrechte, das heißt, der Bereich des trapezförmigen OABS, den wir in Abbildung 2 sehen.

Das Problem verwandelt sich von einem physikalischen in ein mathematisches - das Finden der Fläche eines Trapezes. Dies ist eine Standardsituation, wenn Physiker ein Modell erstellen, das ein bestimmtes Phänomen beschreibt, und dann kommt die Mathematik ins Spiel, die dieses Modell mit Gleichungen, Gesetzen anreichert – das macht das Modell zu einer Theorie.

Wir finden die Fläche des Trapezes: Das Trapez ist rechteckig, da der Winkel zwischen den Achsen 90 0 beträgt, teilen wir das Trapez in zwei Formen - ein Rechteck und ein Dreieck. Offensichtlich ist die Gesamtfläche gleich der Summe der Flächen dieser Figuren (Abb. 3). Lassen Sie uns ihre Flächen finden: Die Fläche des Rechtecks ist gleich dem Produkt der Seiten, dh V 0x t, die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produkts der Beine - 1/2AD BD, indem wir die Projektionswerte ersetzen, erhalten wir: 1/2t (V x - V 0x), und wenn wir uns an das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung von der Zeit bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung erinnern: V x (t) = V 0x + axt, es ist Es ist ganz offensichtlich, dass die Differenz der Geschwindigkeitsprojektionen gleich dem Produkt der Beschleunigungsprojektion ax zur Zeit t ist, also V x - V 0x = a x t.

Reis. 3. Bestimmung der Fläche eines Trapezes ( Eine Quelle)

Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Fläche des Trapezes numerisch gleich dem Verschiebungsprojektionsmodul ist, erhalten wir:

S x (t) \u003d V 0 x t + a x t 2 / 2

Wir haben das Gesetz der Abhängigkeit der Verschiebungsprojektion von der Zeit bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung in Skalarform erhalten, in Vektorform sieht es so aus:

(t) = t + t 2 / 2

Lassen Sie uns eine weitere Formel für die Verschiebungsprojektion ableiten, die die Zeit nicht als Variable enthält. Wir lösen das Gleichungssystem, indem wir die Zeit ausschließen:

S x (t) \u003d V 0 x + a x t 2 / 2

V x (t) \u003d V 0 x + a x t

Stellen Sie sich vor, wir kennen die Zeit nicht, dann drücken wir die Zeit aus der zweiten Gleichung aus:

t \u003d V x - V 0x / a x

Setzen Sie den resultierenden Wert in die erste Gleichung ein:

Wir bekommen so einen umständlichen Ausdruck, wir quadrieren ihn und geben ähnliche an:

Wir haben einen sehr bequemen Verschiebungsprojektionsausdruck für den Fall erhalten, dass wir die Bewegungszeit nicht kennen.

Nehmen wir an, die Anfangsgeschwindigkeit des Autos zu Beginn des Bremsvorgangs beträgt V 0 \u003d 72 km / h, Endgeschwindigkeit V \u003d 0, Beschleunigung a \u003d 4 m / s 2. Ermitteln Sie die Länge des Bremswegs. Wenn wir Kilometer in Meter umrechnen und die Werte in die Formel einsetzen, erhalten wir, dass der Anhalteweg wie folgt ist:

S x \u003d 0 - 400 (m / s) 2 / -2 4 m / s 2 \u003d 50 m

Lassen Sie uns die folgende Formel analysieren:

S x \u003d (V 0 x + V x) / 2 t

Die Projektion der Bewegung ist die Hälfte der Summe der Projektionen der Anfangs- und Endgeschwindigkeit, multipliziert mit der Bewegungszeit. Erinnern Sie sich an die Verschiebungsformel für die Durchschnittsgeschwindigkeit

S x \u003d V cf t

Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung beträgt die Durchschnittsgeschwindigkeit:

V cf \u003d (V 0 + V k) / 2

Wir sind der Lösung des Hauptproblems der Mechanik der gleichförmig beschleunigten Bewegung nahe gekommen, nämlich dem Gesetz, nach dem sich die Koordinate mit der Zeit ändert:

x(t) \u003d x 0 + V 0 x t + a x t 2 / 2

Um zu lernen, wie man dieses Gesetz anwendet, werden wir ein typisches Problem analysieren.

Das Auto, das sich aus dem Ruhezustand bewegt, erhält eine Beschleunigung von 2 m / s 2. Finden Sie die vom Auto zurückgelegte Strecke in 3 Sekunden und in der dritten Sekunde.

Gegeben: V 0 x = 0

Schreiben wir das Gesetz auf, nach dem sich die Verschiebung mit der Zeit ändert

gleichmäßig beschleunigte Bewegung: S x \u003d V 0 x t + a x t 2 /2. 2 c

Wir können die erste Frage des Problems beantworten, indem wir die Daten einfügen:

t 1 \u003d 3 c S 1x \u003d a x t 2 / 2 \u003d 2 3 2 / 2 \u003d 9 (m) - das ist der Weg, der gegangen ist

c Auto in 3 Sekunden.

Finden Sie heraus, wie weit er in 2 Sekunden gereist ist:

S x (2 s) \u003d a x t 2 / 2 \u003d 2 2 2 / 2 \u003d 4 (m)

Sie und ich wissen also, dass das Auto in zwei Sekunden 4 Meter gefahren ist.

Nun, da wir diese beiden Entfernungen kennen, können wir den Weg finden, den er in der dritten Sekunde zurückgelegt hat:

S 2x \u003d S 1x + S x (2 s) \u003d 9 - 4 \u003d 5 (m)

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung wird eine solche Bewegung genannt, bei der der Beschleunigungsvektor in Betrag und Richtung unverändert bleibt. Ein Beispiel für eine solche Bewegung ist die Bewegung eines Steins, der in einem bestimmten Winkel zum Horizont geworfen wird (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands). An jedem Punkt der Flugbahn ist die Beschleunigung des Steins gleich der Beschleunigung des freien Falls. Somit wird die Untersuchung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung auf die Untersuchung der geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung reduziert. Bei einer geradlinigen Bewegung sind die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren entlang der Bewegungsgeraden gerichtet. Daher können Geschwindigkeit und Beschleunigung in Projektionen auf die Bewegungsrichtung als algebraische Größen betrachtet werden. Bei gleichmäßig beschleunigter geradliniger Bewegung wird die Geschwindigkeit des Körpers durch die Formel (1) bestimmt

In dieser Formel liegt die Geschwindigkeit des Körpers bei T = 0 (Startgeschwindigkeit ), = const – Beschleunigung. In der Projektion auf die ausgewählte x-Achse wird Gleichung (1) in der Form: (2) geschrieben. Auf dem Geυ x ( T) hat diese Abhängigkeit die Form einer Geraden.

Aus der Steigung des Geschwindigkeitsgraphen kann die Beschleunigung bestimmt werden ein Karosserie. Die entsprechenden Konstruktionen sind in den Fig. 6 und 7 ausgeführt. für Grafik I ist die Beschleunigung numerisch gleich dem Verhältnis der Seiten des Dreiecks ABC: .

Je größer der Winkel β ist, den der Geschwindigkeitsgraph mit der Zeitachse bildet, d.h. desto größer ist die Steigung des Graphen ( Steilheit), desto größer ist die Beschleunigung des Körpers.

Für Grafik I: υ 0 \u003d -2 m / s, ein\u003d 1/2 m / s 2. Für Diagramm II: υ 0 \u003d 3 m / s, ein\u003d -1/3 m / s 2.

Aus dem Geschwindigkeitsdiagramm lässt sich auch die Projektion der Verschiebung s des Körpers auf eine Zeit t bestimmen. Ordnen wir der Zeitachse ein kleines Zeitintervall Δt zu. Wenn dieser Zeitraum klein genug ist, dann ist die Geschwindigkeitsänderung über diesen Zeitraum gering, das heißt, die Bewegung während dieses Zeitraums kann als gleichförmig mit einer bestimmten Durchschnittsgeschwindigkeit betrachtet werden, die gleich der momentanen Geschwindigkeit υ der ist Körper in der Mitte des Intervalls Δt. Daher ist die Verschiebung Δs während der Zeit Δt gleich Δs = υΔt. Diese Verschiebung entspricht dem schraffierten Bereich in Abb. Streifen. Durch Unterteilen des Zeitintervalls von 0 bis zu einem bestimmten Zeitpunkt t in kleine Intervalle Δt können wir erhalten, dass die Verschiebung s für eine gegebene Zeit t bei gleichmäßig beschleunigter geradliniger Bewegung gleich der Fläche des Trapezes ODEF ist. Die entsprechenden Konstruktionen sind in den Fig. 6 und 7 ausgeführt. für Zeitplan II. Die Zeit t wird gleich 5,5 s genommen.

(3) - Mit der resultierenden Formel können Sie die Verschiebung bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung bestimmen, wenn die Beschleunigung nicht bekannt ist.

Wenn wir den Ausdruck für Geschwindigkeit (2) in Gleichung (3) einsetzen, erhalten wir (4) - diese Formel wird verwendet, um die Gleichung der Körperbewegung zu schreiben: (5).

Wenn wir aus Gleichung (2) die Bewegungszeit (6) ausdrücken und in Gleichung (3) einsetzen, dann

Mit dieser Formel können Sie die Bewegung zu einem unbekannten Zeitpunkt der Bewegung bestimmen.

Betrachten wir, wie die Projektion des Verschiebungsvektors eines sich gleichmäßig beschleunigt bewegenden Körpers berechnet wird, wenn seine Anfangsgeschwindigkeit v 0 gleich Null ist. In diesem Fall die Gleichung

wird so aussehen:

Lassen Sie uns diese Gleichung umschreiben, indem wir anstelle der Projektionen s x und a x die Module s und a der Vektoren einsetzen

Verschiebung und Beschleunigung. Da in diesem Fall die Vektoren sua in die gleiche Richtung gerichtet sind, haben ihre Projektionen die gleichen Vorzeichen. Daher kann die Gleichung für die Moduln von Vektoren geschrieben werden:

Aus dieser Formel folgt, dass bei einer geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit der Modul des Verschiebungsvektors direkt proportional zum Quadrat des Zeitintervalls ist, in dem diese Bewegung ausgeführt wurde. Das bedeutet, dass bei einer Erhöhung der Bewegungszeit um das n-fache (gezählt ab Beginn der Bewegung) die Bewegung um das n-fache zunimmt.

Beispielsweise wenn sich der Körper für eine beliebige Zeitspanne t 1 vom Beginn der Bewegung an bewegt

dann bewegt es sich für einen Zeitraum t 2 \u003d 2t 1 (gezählt ab demselben Moment wie t 1).

für einen Zeitraum t n \u003d nt l - Verschiebung s n \u003d n 2 s l (wobei n eine natürliche Zahl ist).

Diese Abhängigkeit des Moduls des Verschiebungsvektors von der Zeit bei geradliniger, gleichmäßig beschleunigter Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit spiegelt sich deutlich in Abbildung 15 wider, wo die Segmente OA, OB, OS, OD und OE die Module der Verschiebungsvektoren sind (s 1, s 2, s 3, s 4 und s 5), die jeweils vom Körper für die Zeitintervalle t 1 , t 2 = 2t 1 , t 3 = 3t 1 , t 4 = 4t 1 und t 5 = 5t 1 begangen wurden.

Reis. 15. Muster gleichmäßig beschleunigter Bewegung: OA:OB:OC:OD:0E = 1:4:9:16:25; OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9

Aus dieser Zahl geht das klar hervor

OA:OB:OS:OD:OE = 1:4:9:16:25, (1)

d.h. bei einer Erhöhung der vom Beginn der Bewegung an gezählten Zeitintervalle um eine ganzzahlige Anzahl von Malen gegenüber t 1 steigen die Module der entsprechenden Verschiebungsvektoren als Folge von Quadraten aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen.

Abbildung 15 zeigt ein weiteres Muster:

OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9, (2)

d.h. die Module der Verschiebungsvektoren, die von dem Körper in aufeinanderfolgenden gleichen Zeitperioden (von denen jede gleich t 1 ist) ausgeführt werden, sind als eine Reihe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen miteinander verbunden.

Gesetzmäßigkeiten (1) und (2) sind nur der gleichmäßig beschleunigten Bewegung inhärent. Daher können sie verwendet werden, wenn es notwendig ist, zu bestimmen, ob die Bewegung gleichmäßig beschleunigt wird oder nicht.

Lassen Sie uns zum Beispiel feststellen, ob die Bewegung der Cochlea gleichmäßig beschleunigt wurde, die sich in den ersten 20 s der Bewegung um 0,5 cm, in den zweiten 20 s um 1,5 cm und in den dritten 20 s um 2,5 cm bewegte.

Lassen Sie uns dazu herausfinden, wie oft die Bewegungen im zweiten und dritten Zeitintervall größer sind als im ersten:

Das bedeutet 0,5 cm : 1,5 cm : 2,5 cm = 1 : 3 : 5. Da diese Verhältnisse eine Reihe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen sind, wurde die Bewegung des Körpers gleichmäßig beschleunigt.

In diesem Fall wurde die gleichmäßig beschleunigte Natur der Bewegung auf der Grundlage der Regelmäßigkeit (2) offenbart.

Fragen

Mit welchen Formeln werden Projektion und Modul des Verschiebungsvektors eines Körpers bei seiner gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus dem Ruhezustand berechnet?
Wie oft wird der Modul des Verschiebungsvektors des Körpers mit einer Verlängerung der Zeit seiner Bewegung aus der Ruhe um das n-fache zunehmen?
Schreiben Sie auf, wie sich die Beträge der Verschiebungsvektoren eines sich aus dem Ruhezustand gleichmäßig beschleunigt bewegenden Körpers bei ganzzahliger Verlängerung seiner Bewegungszeit gegenüber t 1 zueinander verhalten.
Geben Sie an, wie sich die Module der Vektoren der vom Körper in aufeinanderfolgenden gleichen Zeitintervallen ausgeführten Verschiebungen zueinander verhalten, wenn sich dieser Körper aus der Ruhe gleichmäßig beschleunigt bewegt.
Wozu dienen die Regularitäten (1) und (2)?

Übung 8

Der vom Bahnhof abfahrende Zug bewegt sich in den ersten 20 s geradlinig und gleichmäßig beschleunigt. Es ist bekannt, dass der Zug in der dritten Sekunde nach Beginn der Bewegung 2 m zurückgelegt hat. Bestimmen Sie den Modul des Verschiebungsvektors, den der Zug in der ersten Sekunde gemacht hat, und den Modul des Beschleunigungsvektors, mit dem er sich bewegt hat.
Ein aus dem Ruhezustand gleichmäßig beschleunigt fahrendes Auto fährt in der fünften Beschleunigungssekunde 6,3 m. Welche Geschwindigkeit hat das Auto am Ende der fünften Sekunde seit Beginn der Bewegung entwickelt?
Für die ersten 0,03 s der Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit bewegte sich ein Körper 2 mm, für die ersten 0,06 s - 8 mm, für die ersten 0,09 s - 18 mm. Beweisen Sie anhand der Regelmäßigkeit (1), dass sich der Körper während aller 0,09 s gleichmäßig beschleunigt bewegt.

Fragen.

1. Mit welchen Formeln werden Projektion und Betrag des Verschiebungsvektors eines Körpers bei seiner gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus dem Ruhezustand berechnet?

2. Wie oft wird der Modul des Verschiebungsvektors des Körpers mit einer Verlängerung der Zeit seiner Bewegung aus der Ruhe um das n-fache zunehmen?

3. Schreiben Sie auf, wie sich die Module der Verschiebungsvektoren eines Körpers, der sich gleichmäßig beschleunigt aus dem Ruhezustand bewegt, bei einer Erhöhung seiner Bewegungszeit um ein ganzzahliges Vielfaches gegenüber t 1 zueinander verhalten.

4. Geben Sie an, wie sich die Beträge der Vektoren der Verschiebungen, die der Körper in aufeinanderfolgenden gleichen Zeitintervallen ausführt, zueinander verhalten, wenn sich dieser Körper aus der Ruhe gleichmäßig beschleunigt bewegt.

5. Wozu können die Gesetzmäßigkeiten (3) und (4) verwendet werden?

Die Muster (3) und (4) werden verwendet, um zu bestimmen, ob die Bewegung gleichmäßig beschleunigt wird oder nicht (siehe S. 33).

Übungen.

1. Der vom Bahnhof abfahrende Zug fährt in den ersten 20 s geradlinig und gleichmäßig beschleunigt. Es ist bekannt, dass der Zug in der dritten Sekunde nach Beginn der Bewegung 2 m zurückgelegt hat. Bestimmen Sie den Modul des Verschiebungsvektors, den der Zug in der ersten Sekunde gemacht hat, und den Modul des Beschleunigungsvektors, mit dem er sich bewegt hat.