Variable schützen. Offene Bibliothek - offene Bildungsbibliothek

medizinische und biologische Physik

Vortrag №1.

Derivative und differentielle Funktion.

Private Derivate.

1. Das Konzept des Derivats, seine mechanische und geometrische Bedeutung.

aber ) Das Inkrement von Argumenten und Funktion.

Lassen Sie die Funktion y \u003d f (x) gegeben werden, wobei der Wert des Arguments von der Funktion der Bestimmung der Funktion des Arguments ist. Wenn Sie zwei Werte des Arguments X O und X aus einem bestimmten Intervall des Funktionsdefinitionsbereichs auswählen, wird die Differenz zwischen den beiden Werten des Arguments als Inkrement des Arguments: X-X O \u003d ΔH bezeichnet.

Der Wert des X-Arguments kann durch X 0 und sein Inkrement bestimmt werden: x \u003d x o + Δh.

Die Differenz zwischen den beiden Werten der Funktion wird als Inkrement der Funktion bezeichnet: ΔY \u003d Δf \u003d f (x o + ΔH) - f (x o).

Das Inkrement von Argumenten der Funktion kann grafisch dargestellt werden (Abb. 1). Das Inkrement des Arguments und des Inkrements der Funktion kann sowohl positiv als auch negativ sein. Wie aus FIG. In 1 ist das geometrisch Inkrement des Arguments Δх durch das Inkrement der Abszisse dargestellt, und das Inkrement der Funktion ΔU ist das Inkrement der Ordinate. Die Berechnung der Inkrementfunktion sollte in der folgenden Reihenfolge durchgeführt werden:

wir geben das Argument das Inkrement Δх und erhalten den Wert - x + Δx;

2) Wir finden den Wert der Funktion für den Wert des Arguments (x + Δh) - f (x + Δh);

3) Wir finden das Inkrement der Funktion Δf \u003d f (x + Δh) - f (x).

Beispiel:Bestimmen Sie das Inkrement der Funktion y \u003d x 2, wenn das Argument von x o \u003d 1 bis x \u003d 3 geändert hat. Für den Punkt x über den Wert der Funktion f (x o) \u003d x² herum; Für einen Punkt (x o + Δh), der Wert der Funktion f (x o + Δh) \u003d (x o + Δh) 2 \u003d x² etwa + 2x o ΔH + ΔH 2, von wo Δf \u003d f (x o + Δх) -f (xo) \u003d (xo + Δh) 2 -х² O \u003d X² ca. + 2x ΔH + ΔH 2-×² o \u003d 2x ® Δх + Δх 2; Δf \u003d 2x o ΔH + ΔH 2; ΔH \u003d 3-1 \u003d 2; Δf \u003d 2 · 1 · 2 + 4 \u003d 8.

b)Aufgaben, die zum Konzept des Derivats führen. Bestimmen des Derivats, seiner physikalischen Bedeutung.

Das Konzept des Inkrements des Arguments und der Funktion ist für die Einführung des Konzepts eines Derivats notwendig, der historisch mit der Notwendigkeit, die Geschwindigkeit bestimmter Prozesse zu bestimmen, stammt.

Überlegen Sie, wie es möglich ist, die Rate der geradlinigen Bewegung zu bestimmen. Lassen Sie den Körper entsprechend dem Gesetz bewegt werden: Δ \u003d  · Δt. Zur Beurgemilfebewegung:  \u003d Δt / Δt.

Für die variable Bewegung ist der Wert Δ-Δtodeteswert des CP. , d. H.  vgl. \u003d ΔS / Δt. Aber durchschnittsgeschwindigkeit Es erlaubt nicht, die Merkmale der Körperbewegung nicht zu reflektieren und eine Vorstellung von der wahren Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t zu geben. Mit einem Rückgang der Zeitspanne, d. H. Wenn Δt → 0, wird die Durchschnittsgeschwindigkeit an seine Grenze eingestuft - sofortige Geschwindigkeit:

 MGN. \u003d.
 Mi. \u003d.
ΔS / Δt.

In gleicher Weise wird die momentane chemische Reaktionsrate bestimmt:

 MGN. \u003d.
 Mi. \u003d.
Δх / Δt,

wobei X die Menge an Substanz ist, die während einer chemischen Reaktion während t gebildet wird. Solche Probleme bei der Bestimmung der Geschwindigkeit verschiedener Prozesse führten zu der Einführung in der Mathematik des Konzepts einer derivativen Funktion.

Lassen Sie die kontinuierliche Funktion f (x), die auf dem Intervall] a bestimmt wird, in [EI, dem Inkrement Δf \u003d F (x + Δh) -f (x) bestimmt.
es ist eine Funktion Δх und drückt die Durchschnittsgeschwindigkeit der Funktionsänderung aus.

Grenze der Beziehung Wenn Δх → 0, sofern diese Grenze vorhanden ist, vorgesehen ist, wird eine abgeleitete Funktion bezeichnet :

y "x \u003d

.

Das Derivat ist angegeben:
- (schärfery des Barcodes von x); f " (x) - (EF Barcode von X) ; y "- (Shark Barcode); dy / dx – (Detrea für de x); - (spielen Sie mit einem Punkt).

Basierend auf der Definition des Derivats kann gesagt werden, dass die momentane Geschwindigkeit der geraden Bewegung aus der Zeit abgeleitet wird:

 MGN. \u003d S "t \u003d f " (t).

Somit kann der Schluss gezogen werden, dass die Ableitung des Arguments X eine momentane Änderungsrate in der Funktion f (x) ist:

u "x \u003d f " (x) \u003d  MGN.

Dies ist die physikalische Bedeutung des Derivats. Der Prozess des Findens eines Derivats wird als Differenzierung bezeichnet, daher entspricht der Ausdruck "Anteilfunktion" dem Ausdruck "Finden Sie eine derivative Funktion".

im)Geometrische Bedeutung Derivat.

P.
die Betriebsfunktion y \u003d f (x) hat eine einfache geometrische Bedeutung, die mit dem Konzept einer Zeilenkurve irgendwann verbunden ist. Gleichzeitig tangential, d. H. Die direkte Linie wird in Form von y \u003d kh \u003d tg · x analytisch ausgedrückt, wobei – der Neigungswinkel der Tangential (gerade) an der X-Achse zeigt eine kontinuierliche Kurve als Funktion y \u003d f (x), nimmt den Punkt von M 1 an der Kurve an und ergibt den Sicherungspunkt. Sein Winkelkoeffizient zu sec \u003d tg β \u003d . Wenn Sie den Punkt M 1 in M \u200b\u200bbringen, dann das Inkrement des Arguments Δх es wird nach Null streben, und die Sekrete bei β \u003d α wird die Position von Tangent annehmen. Abbildung 2 folgt: TGα \u003d
tgβ \u003d.
\u003d y "x. Aber tgαin ist der Winkelkoeffizient tangential zum Graphen der Funktion:

k \u003d tgα \u003d
\u003d y "x \u003d f " (x). Daher ist der Winkelkoeffizient der Tangentialkoeffizienten an der Grafik der Funktion an diesem Punkt seinem Derivat an der Berührungsstelle entspricht. Dies ist die geometrische Bedeutung des Derivats.

d)Die allgemeine Regel, ein Derivat zu finden.

Basierend auf der derivativen Bestimmung kann der Differenzierungsprozess der Funktion wie folgt dargestellt werden:

f (x + Δh) \u003d f (x) + Δf;

finden Sie das Inkrement der Funktion: Δf \u003d f (x + Δh) - f (x);

das Verhältnis des Inkrements der Funktion auf das Inkrement des Arguments ist:

;

Beispiel:f (x) \u003d x 2; F. " (x) \u003d?

Wie auch aus diesem einfachen Beispiel ersichtlich ist, ist die Verwendung der angegebenen Reihenfolge bei der Einnahme der Derivate ein zeitaufwendiger Prozess und ein komplexer Komplex. Daher werden für verschiedene Funktionen eingegeben allgemeine Formeln. Differenzierung, die in Form einer Tabelle "Grundformelndifferenzierung der Funktionen" dargestellt werden.

Nicht immer im Leben sind wir an genauen Werten von Werten interessiert. Manchmal ist es interessant, die Änderung dieses Wert zu wissen, zum Beispiel, die durchschnittliche Geschwindigkeit des Busses, um das Verhältnis der Größe der Bewegung auf das Zeitintervall, usw. Um die Werte der Funktion irgendwann mit den Werten derselben Funktion an anderen Punkten zu vergleichen, ist es praktisch, solche Konzepte als "Inkrement der Funktion" und das "Argumentinkrement" zu verwenden.

Die Konzepte von "Inkrement der Funktion" und "das Inkrement des Arguments"

Angenommen, x ist ein beliebiger Punkt, der in jeder Umgebung des Punktes X0 liegt. Das Inkrement des Arguments an der Stelle x0 ist der Unterschied X-X0. Das Inkrement wird wie folgt bezeichnet: Δх.

Δх \u003d x-x0.

Manchmal wird diese Größe auch als Inkrement einer unabhängigen Variablen an der Stelle X0 bezeichnet. Aus der Formel folgt: x \u003d x0 + Δh. In solchen Fällen wird gesagt, dass der Anfangswert einer unabhängigen Variablen X0, erhaltenes Inkrement zu Δх.

Wenn wir das Argument ändern, ändert sich auch der Wert der Funktion.

f (x) - f (x0) \u003d f (x0 + Δh) - f (x0).

Inkrement der Funktion f an Punkt X0, Das entsprechende Inkrement ist ΔH als Differenz f (x0 + Δh) - F (x0) genannt. Das Inkrement der Funktion ist wie folgt angegeben Δf. So erhalten wir per Definition:

Δf \u003d f (x0 + Δx) - f (x0).

Manchmal wird ΔF auch als Inkrement der abhängigen Variablen bezeichnet und ΔU zum Bestimmen, ob die Funktion beispielsweise y \u003d f (x) war.

Geometrische Bedeutung von Inkrement

Schau dir die nächste Zeichnung an.

Wie Sie sehen, zeigt das Inkrement die Änderung der Ordinate und der Abszisse des Punkts an. Das Verhältnis des Inkrements der Funktion, um das Argument zu erhöhen, bestimmt den Neigungswinkel des sequentiellen Durchgangs durch die Anfangs- und Endposition des Punkts.

Betrachten Sie Beispiele für das Inkrement der Funktion und des Arguments

Beispiel 1. Um ein Inkrement & Delta; h des Arguments und das Inkrement & Delta; F der Funktion am Punkt x0, wenn f (x) \u003d x 2, x 0 \u003d 2 a) x \u003d 1,9 b) x \u003d 2,1

Wir verwenden die oben gezeigten Formeln:

a) ΔH \u003d x-x0 \u003d 1,9 - 2 \u003d -0,1;

Δf \u003d F (1,9) - F (2) \u003d 1,9 2 - 2 2 \u003d -0,39;

b) Δx \u003d x - x0 \u003d 2,1-2 \u003d 0,1;

ΔF \u003d F (2.1) - F (2) \u003d 2,1 2 - 2 2 \u003d 0,41.

Beispiel 2. Berechnen Sie das Inkrement ΔF für die Funktion f (x) \u003d 1 / x an der Stelle x0, wenn das Argumentinkrement Δx ist.

Wieder verwenden wir die oben erhaltenen Formeln.

& Delta; f \u003d f (x0 + & Delta; x) - f (x0) \u003d 1 / (X0-& Delta; x) - 1 / x0 \u003d (x0 - (x0 + & Delta; x)) / (X0 * (X0 + & Delta; x)) \u003d - & Delta; x / ( (x0 * (x0 + Δx)).

Sei x ein willkürlicher Punkt, der in einer Umgebung des Festpunkts X 0 fliegt. Die Differenz X-X 0 wird genommen, um das Inkrement von einer unabhängigen Variablen (oder inkrementieren des Arguments) an Punkt x 0 aufzurufen und Δx angibt. Auf diese Weise,

Δx \u003d x -x 0,

von wo aus es folgt

Funktion schützen -der Unterschied zwischen den beiden Werten der Funktion.

Lassen Sie eine Funktion angeben w. = f (x)Definiert mit einem Argumentwert gleich h. 0. Lassen Sie uns ein Argument inkrementieren D h., ᴛ.ᴇ. Betrachten Sie den Wert des Arguments x. 0 + D. h.. Angenommen, dieser Wert des Arguments ist auch im Definitionsbereich dieser Funktion enthalten. Dann der Unterschied D. y. = f (x. 0 + D. x) – f (x 0) Es ist üblich, das Inkrement der Funktion aufgerufen zu werden. Funktion schützen f.(x.) Am Punkt x. - Funktion wird normalerweise δ angezeigt X F. von der neuen Variablen Δ x. definiert als

Δ X F.(Δ x.) = f.(x. + Δ x.) − f.(x.).

Finden Sie das Inkrement des Arguments und des Inkrements der Funktion an Punkt x 0, wenn

Beispiel 2. Finden Sie das Inkrement der Funktion f (x) \u003d x 2, falls x \u003d 1, ΔH \u003d 0,1

Lösung: f (x) \u003d x 2, f (x + Δh) \u003d (x + Δh) 2

Finden Sie die Erhöhung der Funktion Af \u003d f (x + & Delta; x) - f (x) \u003d (x + öx) 2x 2 \u003d x 2 + 2x * Ax + Ax 2x 2 \u003d 2x * & Delta; x + & Delta; x 2 /

Wir ersetzen die Werte x \u003d 1 und & Delta; h \u003d 0,1, wir & Delta; f \u003d 1 * 2 * 0,1 + (0,1) 2 \u003d 0,2 + 0,01 \u003d 0,21 erhalten,

Finden Sie das Inkrement des Arguments und erhöhen Sie die Funktion an den Punkten x 0

2.f (x) \u003d 2x 3. x 0 \u003d 3 x \u003d 2.4

3. F (x) \u003d 2x 2 +2 x 0 \u003d 1 x \u003d 0,8

4. F (x) \u003d 3x + 4 x 0 \u003d 4 x \u003d 3,8

Definition: Derivat Funktionen an der Stelle, es ist üblich, das Limit anzurufen (falls vorhanden und endlich existiert) das Verhältnis des Inkrements der Funktion an den Inkrement des Arguments, vorausgesetzt, dass letztere zu Null neigt.

Die folgenden Bezeichnungen des Derivats sind am häufigsten:

Auf diese Weise,

Finden eines derivativ genannten Anrufs unterscheidung . Eingeführt definition differenzierbarer Funktion: Funktion f, die an jedem Punkt einiger Lücke ein Derivat aufweist, wird in einem bestimmten Intervall differenzierbar genannt.

Angenommen, in einigen Nachbarschaftsabstufungen wird die Funktion der Leistungsfunktion eine solche Zahl bezeichnet, die die Funktion in der Umgebung in der Umgebung ist U.(x. 0) kann als dargestellt werden

f.(x. 0 + h.) = f.(x. 0) + AH. + Ö.(h.)

wenn da ist.

Definition der derivativen Funktion an der Stelle.

Lass die Funktion f (x) Definiert auf dem Intervall (a; b)und - Punkte dieser Lücke.

Definition. Abgeleitete Funktion. f (x) An der Stelle ist es üblich, das Limit der Beziehung der Funktion der Funktion aufzurufen, um das Argument zu erhöhen. Bezeichnet.

Wenn das letzte Limit einen konkreten Endwert annimmt, spricht man über das Bestehen finite Derivat am Punkt. Falls das Limit unendlich ist, sagen sie das derivat unendlich an diesem Punkt. Wenn das Limit nicht vorhanden ist, dann derivative Funktion an diesem Punkt existiert nicht.

Funktion f (x) An dem Punkt differenzierbar genannt, wenn es ein endliches Derivat darin hat.

Falls die Funktion f (x) an jedem Punkt einiger Intervall differenzierbar (a; b)Die Funktion wird in diesem Intervall differenzierbar bezeichnet. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϭᴩᴀᴈᴏᴍ, jeder Punkt x. Aus der Lücke (a; b) Sie können an dieser Stelle den Wert der derivativen Funktion einholen, dh wir haben die Möglichkeit, die neue Funktion als abgeleitete Funktion zu ermitteln f (x) Im Intervall (a; b).

Der Betrieb des Findens eines Derivats ist üblich, um differenzieren zu differenzieren.

Definition 1.

Wenn für jedes Paar von $ (x, y) $ für die Werte zweier unabhängiger Variablen aus einem bestimmten Bereich mit einem bestimmten Wert von $ Z $ eingesetzt werden, wird gesagt, dass $ Z $ die Funktion von Zwei Variablen $ (x, y) $. Bezeichnung: $ z \u003d f (x, y) $.

In Bezug auf die Funktion $ z \u003d f (x, y) betrachten wir das Konzept der allgemeinen (vollen) und privaten Inkremente der Funktion.

Lassen Sie die Funktion $ z \u003d f (x, y) $ zwei unabhängige Variablen $ (x, y) $.

Anmerkung 1.

Da die Variablen $ (x, y) $ unabhängig sind, kann einer von ihnen geändert werden, und der andere, um einen konstanten Wert aufrechtzuerhalten.

Lassen Sie uns eine variable $ x $ increment $ \\ Delta X $ geben, während Sie den Wert der Variablen $ Y $ unverändert speichern.

Dann erhält die Funktion $ z \u003d f (x, y) $ ein Inkrement, das als privates Inkrement der Funktion $ Z \u003d F (x, y) $ für eine variable $ x $ bezeichnet wird. Bezeichnung:

In ähnlicher Weise geben wir eine variable $ y $ increment $ \\ delta y $, während Sie den Wert der Variablen von $ X $ unverändert bleiben.

Dann erhält die Funktion $ z \u003d f (x, y) $ ein Inkrement, das als privates Inkrement der Funktion $ Z \u003d F (x, y) $ auf der $ y-$-Variablen bezeichnet wird. Bezeichnung:

Wenn $ x $ Argument ist ein Inkrement von $ \\ Delta X $ und das $ y $ Argument ist das Inkrement von y $ $ \\ delta, so wird das vollständige Inkrement der angegebenen Funktion ist $ z \u003d f (x, y) $ . Bezeichnung:

So haben wir:

$ \\ DELTA _ (X) Z \u003d F (x + \\ deelta x, y) -f (x, y) $ - Das private Inkrement der Funktion $ Z \u003d F (x, y) $ für $ x $;

$ \\ DELTA _ (y) z \u003d f (x, y + \\ deelta y) -f (x, y) $ - Das private Inkrement der Funktion $ z \u003d f (x, y) $ für $ y $;

$ \\ DELTA Z \u003d F (x + \\ deelta x, y + \\ deelta y) -f (x, y) $ ist das vollständige Inkrement der Funktion $ z \u003d f (x, y) $.

Beispiel 1.

Entscheidung:

$ \\ DELTA _ (X) Z \u003d X + \\ DEELTA X + Y $ - Das private Inkrement der Funktion $ z \u003d f (x, y) $ für $ x $;

$ \\ DELTA _ (y) z \u003d x + y + \\ delta y $ ist das private Inkrement der Funktion $ z \u003d f (x, y) $ für $ y $.

$ \\ DELTA Z \u003d X + \\ DELTA X + Y + \\ DELTA Y $ - Das vollständige Inkrement der Funktion $ Z \u003d F (x, y) $.

Beispiel 2.

Berechnen Sie das private und vollständige Inkrement der Funktion $ Z \u003d XY $ bei PUNKT $ (1; 2) $ (2) $ mit $ \\ deelta x \u003d 0,1; \\, \\, \\ deelta y \u003d 0,1 $.

Entscheidung:

Durch die Definition von privatem Inkrement finden wir:

$ \\ DELTA _ (X) Z \u003d (X + \\ DEELTA X) \\ CDOT y $ - Private Inkrement der Funktion $ Z \u003d F (x, y) $ für $ x $

$ \\ _ Delta (y) z \u003d x \\ cdot (y + \\ deelta y) $ - Das private Inkrement der Funktion $ z \u003d f (x, y) für $ $ $ y;

Durch Definition des vollständigen Inkrements finden wir:

$ \\ DELTA Z \u003d (X + \\ DELTA X) \\ CDOT (y + \\ Delta y) $ - das vollständige Inkrement der Funktion $ z \u003d f (x, y) $.

Daher,

\\ [\\ Delta _ (x) z \u003d (1 + 0,1) \\ Cdot 2 \u003d 2,2 \\] \\ [\\ Delta _ (y) z \u003d 1 \\ Cdot (2 + 0,1) \u003d 2,1 \\] \\ [\\ Delta Z \u003d (1 + 0,1) \\ CDOT (2 + 0,1) \u003d 1.1 \\ CDOT 2,1 \u003d 2.31. \\]

Anmerkung 2.

Das vollständige Inkrement der angegebenen Funktion $ z \u003d f (x, y) $ ist nicht gleich der Summe seiner privaten Inkremente von $ \\ Delta _ (x) Z $ und $ \\ Delta _ (y) Z $. Mathematische Aufnahme: $ \\ DELTA Z \\ ne \\ delta _ (x) z + \\ deelta _ (y) z $.

Beispiel 3.

Überprüfen Sie die Zulassungskommentare zur Funktion

Entscheidung:

$ \\ DELTA _ (x) z \u003d x + \\ deelta x + y $; $ \\ DELTA _ (y) z \u003d x + y + \\ delta y $; $ \\ DELTA Z \u003d X + \\ DEELTA X + Y + \\ DELTA Y $ (erhalten in Beispiel 1)

Wir werden den Betrag von privaten Inkrementen der angegebenen Funktion $ z \u003d f (x, y) $ finden

\\ [\\ \\ Delta _ (x) z + \\ deelta _ (y) z \u003d x + \\ deelta x + y + (x + y + \\ deelta y) \u003d 2 \\ cdot (x + y) + \\ delta x + \\ Delta y. \\]

\\ [\\ \\ Delta _ (x) z + \\ delta _ (y) z \\ ne \\ delta z. \\]

Definition 2.

Wenn für jedes drei $ (x, y, z) $ für die Werte drei unabhängiger Variablen aus einem bestimmten Bereich in Übereinstimmung mit einem bestimmten Wert von $ W $, dann wird gesagt, dass $ W $ eine Funktion von ist drei Variablen $ (x, y, z) $ in diesem Bereich.

Bezeichnung: $ w \u003d f (x, y, z) $.

Definition 3.

Wenn für jede Gesamtheit von $ (x, y, z, ..., t) $, werden die Werte unabhängiger Variablen aus einer bestimmten Region in Übereinstimmung mit einem bestimmten Wert von $ W $ gesetzt, dann wird das gesagt $ W $ ist die Funktion der Variablen $ (x, y, z, ..., t) $ in diesem Bereich.

Bezeichnung: $ w \u003d f (x, y, z, ..., t) $.

Für eine Funktion von drei und mehr Variablen ist es ähnlich, wie die Funktion von zwei Variablen von privaten Inkrementen für jede der Variablen bestimmt wird:

$ \\ DELTA _ (z) w \u003d f (x, y, z + \\ deelta z) -f (x, y, z) $ - das private Inkrement der Funktion $ w \u003d f (x, y, z,. .., t) $ für $ z $;

$ \\ Delta _ (t) w \u003d f (x, y, z, ..., t + \\ deelta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - Privat Inkrement der Funktion $ w \u003d f (x, y, z, ..., t) für t $ $ $.

Beispiel 4.

Schreibe privater und vollständiger Inkrement der Funktion

Entscheidung:

Durch die Definition von privatem Inkrement finden wir:

$ \\ Delta _ (x) w \u003d ((x + \\ deelta x) + y) \\ cdot z $ - Private Inkrement der Funktion $ w \u003d f (x, y, z) $ für $ x $

$ \\ _ Delta (y) w \u003d (x + (y + \\ deelta y)) \\ Cdot z $ - Das private Inkrement der Funktion $ w \u003d f (x, y, z) für $ $ $ y;

$ \\ DELTA _ (z) w \u003d (x + y) \\ cdot (z + \\ delta z) $ - Das private Inkrement der Funktion $ w \u003d f (x, y, z) $ für $ z $;

Durch Definition des vollständigen Inkrements finden wir:

$ \\ DELTA W \u003d ((x + \\ delta x) + (y + \\ delta y)) \\ cdot (z + \\ delta z) $ - das vollständige Inkrement der Funktion $ w \u003d f (x, y, z) $.

Beispiel 5

Berechnen das private und vollständige Inkrement der Funktion $ w \u003d xyz $ bei Punkt $ (1; 2; 1) $ mit $ \\ deelta x \u003d 0,1; \\, \\, \\, \\, \\, \\ delta z \u003d 0,1 $.

Entscheidung:

Durch die Definition von privatem Inkrement finden wir:

$ \\ Delta _ (x) \u003d w (x + \\ deelta x) \\ cdot y \\ cdot z $ - Privat Inkrement der Funktion $ w \u003d f (x, y, z) für $ $ $ x

$ \\ _ Deelta (y) \u003d w x \\ cdot (y + \\ deelta y) \\ Cdot z $ - Das private Inkrement der Funktion $ w \u003d f (x, y, z) für $ $ $ y;

$ \\ Delta _ (z) \u003d x w \\ cdot y \\ cdot (z + \\ delta z) $ - Das private Inkrement der Funktion $ w \u003d f (x, y, z) für $ $ $ z;

Durch Definition des vollständigen Inkrements finden wir:

$ \\ Delta W \u003d (X + \\ Delta X) \\ CDOT (Y + \\ Delta Y) \\ CDOT (Z + \\ Delta Z) $ - das komplette Inkrement der Funktion $ w \u003d f (x, y, z) $ .

Daher,

\\ [\\ Delta _ (x) w \u003d (1 + 0,1) \\ cdot 2 \\ cdot 1 \u003d 2,2 \\] \\ [\\ _ Delta (y) w \u003d 1 \\ Cdot (2 + 0,1) \\ CDOT 1 \u003d 2,1 \\] \\ [\\ _ Delta (y) w \u003d 1 \\ Cdot 2 \\ Cdot (1 + 0,1) \u003d 2,2 \\] \\ [\\ Delta Z \u003d (1 + 0,1) \\ CDOT (2 + 0,1) \\ Cdot ( 1 + 0,1) \u003d 1.1 \\ cdot 2.1 \\ cdot 1.1 \u003d 2,541. \\]

Aus einem geometrischen Standpunkt, dem vollständigen Inkrement der Funktion $ Z \u003d F (x, y) $ (nach Definition $ \\ deelta z \u003d f (x + \\ deelta x, y + \\ deelta y) -f (x, y) $) gleich Inkrement der Anwendung der Grafik , die die Funktionen $ z \u003d f (x, y) $ in dem Übergang von dem Punkt $ m (x, y) $ bis zu dem Punkt $ M_ (1) (x + \\ DELTA X, Y + \\ DELTA y) $ (Abb. 1).

Bild 1.