Die Umwandlung einer vollständigen quadratischen Gleichung in unvollständigen sieht so aus (für den Fall \\ (B \u003d 0 \\)):

Für Fälle, wenn \\ (c \u003d 0 \\) oder wenn beide Koeffizienten Null sind, ist alles ähnlich.

Beachten Sie, dass es keine Sprache über die Gleichheit von Null \\ (a \\) gibt, es kann nicht Null sein, da in diesem Fall in diesem Fall eingeschaltet wird:

Entscheidung über unvollständige quadratische Gleichungen.

Zunächst ist es notwendig, zu verstehen, dass die unvollständige quadratische Gleichung noch still ist, daher kann es sowie das übliche Quadrat (durch) gelöst werden. Dazu füge einfach die fehlende Komponente der Gleichung mit einem Nullkoeffizienten hinzu.

Beispiel : Finden Sie die Wurzeln der Gleichung \\ (3x ^ 2-27 \u003d 0 \\)
Entscheidung :

		Wir haben eine unvollständige quadratische Gleichung mit einem Koeffizienten \\ (B \u003d 0 \\). Das heißt, wir können die Gleichung in das folgende Formular schreiben:
\\ (3x ^ 2 + 0 \\ cdot x-27 \u003d 0 \\)		Tatsächlich ist hier die gleiche Gleichung wie zu Beginn, aber jetzt kann es als gewöhnlicher Square gelöst werden. Zuerst schreiben wir die Koeffizienten.
\\ (A \u003d 3; \\) \\ (B \u003d 0; \\) \\ (c \u003d -27; \\)		Unterscheidungsmittel durch Formel \\ (D \u003d B ^ 2-4AC \\) berechnen
\\ (D \u003d 0 ^ 2-4 \\ cdot3 \\ cdot (-27) \u003d \\) \(=0+324=324\)		Finden Sie die Wurzeln der Gleichung durch Formeln \\ (x_ (1) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b + \\ sqrt (d)) (2a) \\) und \\ (x_ (x_ (2) \u003d \\) \\ (\\ frac (--b- \\ sqrt (d) )) (2a) \\)
\\ (x_ (1) \u003d \\) \\ (\\ Frac (-0+ \\ sqrt (324)) (2 \\ cdot3) \\)\\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (18) (6) \\) \\ (\u003d 3 \\) \\ (x_ (2) \u003d \\) \\ (\\ Frac (-0- \\ sqrt (324)) (2 \\ cdot3) \\)\\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (-18) (6) \\) \\ (\u003d - 3 \\)		Notieren Sie die Antwort

Antworten : \\ (x_ (1) \u003d 3 \\); \\ (x_ (2) \u003d - 3 \\)

Beispiel : Finden Sie die Wurzeln der Gleichung \\ (- x ^ 2 + x \u003d 0 \\)
Entscheidung :

		Wieder eine unvollständige quadratische Gleichung, aber jetzt ist Null gleich dem Koeffizienten \\ (c \\). Nehmen Sie die Gleichung als vollständig auf.

Quadratische Gleichungen. Diskriminierend. Lösung, Beispiele.

Beachtung!
Dieses Thema hat zusätzliche
Materialien in einem speziellen Abschnitt 555.
Für diejenigen, die stark sind "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr ..." sind)

Arten von quadratischen Gleichungen

Was ist eine quadratische Gleichung? Wie sieht es aus? In Bezug auf quadratische Gleichung Schlüsselwort ist. "Quadrat". Das bedeutet das in der Gleichung vor Muss auf dem Platz auf dem Platz sein. Außerdem kann in der Gleichung (und dürfen nicht sein!) Simply X (im ersten Grad) und nur die Zahl (Freies Mitglied). Und es sollte keine IKS bis zu einem Abschluss geben, mehr zwei.

Die quadratische Gleichung ist von der mathematischen Sprache, die quadratische Gleichung ist die Gleichung des Formulars:

Hier a, b und mit - einige Zahlen. b und c. - alle, und aber- Jeder außer Null. Beispielsweise:

Hier aber =1; b. = 3; c. = -4

Hier aber =2; b. = -0,5; c. = 2,2

Hier aber =-3; b. = 6; c. = -18

Nun, du hast verstanden ...

In diesen quadratischen Gleichungen ist die Linke vorhanden vollständiger Satz Mitglieder. X Square mit einem Koeffizienten aber,x im ersten Grad mit dem Koeffizienten b. und kostenloser Schwanz mit.

Solche quadratischen Gleichungen werden aufgerufen voll.

Und wenn b. \u003d 0, was machen wir? Wir haben das X ist der erste Grad verschwinden. Von der Multiplikation auf Null geschieht es passiert.) Es stellt sich heraus, zum Beispiel:

5x 2 -25 \u003d 0,

2x 2 -6x \u003d 0,

- 2 + 4x \u003d 0

Usw. Und wenn sowohl Koeffizient, b. und c. gleich Null, ist es immer noch einfacher:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

Solche Gleichungen, in denen etwas fehlt, wird angerufen unvollständige quadratische Gleichungen. Was ist ziemlich logisch.) Ich bitte Sie, zu bemerken, dass X in allen Gleichungen auf dem Platz vorhanden ist.

Übrigens warum aber Kann nicht null sein? Und Sie ersetzen stattdessen aber Nolik.) Wir werden im Platz verschwinden! Die Gleichung wird linear. Und es ist schon ganz anders gelöst ...

Das sind alle Haupttypen quadratische Gleichungen.. Voll und unvollständig.

Lösung von quadratischen Gleichungen.

Vollständige quadratische Gleichungen lösen.

Die quadratischen Gleichungen werden einfach gelöst. Nach Formeln und klar einfachen Regeln. In der ersten Stufe muss eine gegebene Gleichung auf das Standardform gebracht werden, d. H. Etwas ausmachen:

Wenn Ihnen die Gleichung bereits in dieser Form gegeben ist, ist die erste Stufe nicht erforderlich.) Die Hauptsache ist, alle Koeffizienten richtig zu definieren, aber, b. und c..

Die Formel, um die Wurzeln der quadratischen Gleichung zu finden, sieht so aus:

Der Ausdruck unter dem Zeichen der Wurzel wird aufgerufen diskriminierend. Aber darüber unten - unten. Wie Sie sehen können, um die ICA zu finden, verwenden wir nur a, b und mit. Jene. Die Koeffizienten der quadratischen Gleichung. Ersetzen Sie einfach die Werte a, b und mit In dieser Formel und wir berücksichtigen. Ersatz mit deinen Zeichen! Zum Beispiel in Gleichung:

aber =1; b. = 3; c. \u003d -4. Hier und schreiben:

Ein Beispiel ist praktisch gelöst:

Das ist die Antwort.

Alles ist sehr einfach. Und was ist Ihrer Meinung nach unmöglich, einen Fehler zu machen? Nun, ja, wie ...

Die häufigsten Fehler - Verwirrung mit Anzeichen von Werten a, b und mit. Nicht mit ihren Anzeichen (wo ist es verwirrt?), Und mit der Substitution negativer Werte in der Formel zur Berechnung der Wurzeln. Hier ist eine detaillierte Eingabe der Formel mit bestimmten Zahlen. Wenn es Probleme beim Computing gibt, tun Sie dies!

Angenommen, Sie müssen diesen lösen:

Hier eIN. = -6; b. = -5; c. = -1

Angenommen, Sie wissen, dass Sie vom ersten Mal selten Antworten haben.

Nun, sei nicht faul. Eine übermäßige Zeile schreiben wird Sekunden 30. und die Anzahl der Fehler scharf abgeschnitten. Hier schreiben wir ausführlich mit allen Klammern und Zeichen:

Es scheint unglaublich schwierig, so sorgfältig malen. Aber es scheint nur. Versuchen. Nun, oder wählen Sie. Was ist besser, schnell oder richtig? Ich werde dich auch treten. Nach einer Weile wird es so sorgfältig verschwinden, um alles zu malen. Selbst wird richtig sein. Insbesondere wenn Sie praktische Techniken anwenden, die knapp unten beschrieben werden. Dieses böse Beispiel mit einem Bündel Minus wird leicht und ohne Fehler gelöst!

Aber oft sehen eckige Gleichungen etwas anders aus. Zum Beispiel wie folgt:

Finden Sie heraus?) Ja! Das unvollständige quadratische Gleichungen..

Entscheidung über unvollständige quadratische Gleichungen.

Sie können auch von der allgemeinen Formel gelöst werden. Es ist nur notwendig, sich richtig vorzustellen, was gleich ist a, b und mit.

Korrigiert? Im ersten Beispiel a \u003d 1; b \u003d 4; aber c.? Es gibt niemanden überhaupt! Nun, ja, richtig. In der Mathematik bedeutet dies das, dass c \u003d 0. Schnitte Das ist alles. Wir ersetzen stattdessen in der Null-Formel c, Und alles wird sich herausstellen. Ähnlich, mit dem zweiten Beispiel. Nur null hier nicht von, aber b. !

Unvollständige quadratische Gleichungen können jedoch viel einfacher gelöst werden. Ohne Formeln. Betrachten Sie die erste unvollständige Gleichung. Was kann dort auf der linken Seite gemacht werden? Sie können das Internet für Klammern machen! Lass uns herausbringen.

Und was davon? Und die Tatsache, dass die Arbeit dann Null ist, und nur, wenn einige der Multiplizierer Null entsprechen! Glaube nicht? Nun, kommen Sie mit zwei Null-Null-Nummern, die mit Multipliziert null geben!
Klappt nicht? Das ist etwas ...
Folglich können Sie sicher schreiben: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

Alles. Dies wird die Wurzeln unserer Gleichung sein. Beide sind geeignet. Wenn Sie einen von ihnen in die ursprüngliche Gleichung ersetzen, erhalten wir eine treue Identität 0 \u003d 0. Wie Sie sehen, ist die Lösung viel einfacher als die allgemeine Formel. Ich merke übrigens, welches X der erste sein wird, und welcher Sekunde ist absolut gleichgültig. Bequem in wenigen aufzunehmen, x 1 - was ist weniger und x 2. - Was ist mehr.

Die zweite Gleichung kann auch einfach gelöst werden. Wir tragen 9 auf der rechten Seite. Wir bekommen:

Es bleibt die Wurzel, um aus 9 herauszuziehen, und das ist es. Es stellt sich heraus:

Auch zwei Wurzeln. . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.

So werden alle unvollständigen eckigen Gleichungen gelöst. Entweder mittels einer Halterung oder durch einfaches Übertragen der Zahl nach rechts, gefolgt von der Extraktion der Wurzel.
Es ist äußerst schwierig, diese Techniken zu verwirren. Einfach weil Sie in dem ersten Fall den Wurzel von XCA extrahieren müssen, der irgendwie nicht klar ist, und im zweiten Fall ist es nichts für Klammern ...

Diskriminierend. Diskriminante Formel.

magisches Wort diskriminierend Schnitte Ein seltener Highschool-Student hörte das Wort nicht! Der Ausdruck "entscheidet durch das Diskriminiermittel" wird das Vertrauen instillieren und ermutigt. Weil es nicht notwendig ist, auf die Tricks aus dem Diskriminierenden zu warten! Es ist einfach und störungsfrei in der Zirkulation.) Ich erinnere Sie an die allgemeinste Formel zur Lösung irgendein Quadratgleichungen:

Der Ausdruck unter dem Zeichen der Wurzel wird diskriminierend genannt. Normalerweise wird Diskriminierungsmittel durch den Brief angezeigt D.. Diskriminante Formel:

D \u003d B 2 - 4AC

Und was ist ein bemerkenswerter Ausdruck? Warum hat es einen speziellen Namen verdient? Worin bedeutung von diskriminierend? Letztendlich -b, oder 2a. In dieser Formel rufen sie nicht ausdrücklich an ... Buchstaben und Buchstaben.

Die Sache ist was. Bei der Lösung einer quadratischen Gleichung für diese Formel ist es möglich insgesamt drei Fälle.

1. Diskriminiermittel positiv. Dies bedeutet, dass es möglich ist, die Wurzel zu extrahieren. Gute Wurzel wird extrahiert oder schlecht - die Frage ist anders. Es ist wichtig, dass es grundsätzlich extrahiert wird. Dann hat Ihre eckige Gleichung zwei Wurzeln. Zwei verschiedene Lösungen.

2. Das Diskriminant ist Null. Dann bekommst du eine Lösung. Da ändert sich das Nullpunkt, das in dem Zähler subtrahiert, nichts ändert. Streng genommen ist dies keine Wurzel, sondern zwei identisch. In der vereinfachten Version ist es jedoch üblich, darüber zu sprechen eine Lösung.

3. Das Diskriminant ist negativ. Die negative Zahl wird die Quadratwurzel nicht entfernt. Na ja, okay. Dies bedeutet, dass es keine Lösungen gibt.

Ehrlich gesagt, wann einfache Entscheidung Quadratgleichungen, das Konzept der Diskriminierungsmittel ist nicht besonders erforderlich. Wir ersetzen die Werte der Koeffizienten in der Formel, ja, wir glauben. Alles passiert alles, beide zwei Wurzeln und eins und nicht. Bei der Lösung mehr komplexe Aufgaben, ohne Kenntnis bedeutung und Formel diskriminierend nicht genug. Insbesondere - in Gleichungen mit Parametern. Solche Gleichungen sind der höchste Pilot auf Gia und Ege!)

So, so lösen Sie quadratische Gleichungen Durch die diskriminante Sie erinnert sich. Oder er lernte, dass es auch nicht schlecht ist.) Ich weiß, wie man richtig bestimmen kann a, b und mit. Wissen sorgsam ersetzen Sie sie in der Wurzelformel und sorgsam Zählen Sie das Ergebnis. Sie haben das erkannt stichwort Hier - sorgsam?

Und nun kündigt praktische Techniken zur Kenntnis, die die Anzahl der Fehler drastisch reduzieren. Das am meisten wegen der Unaufmerksamkeit. ... für die es dann geschieht, verletzt und verletzt ...

Empfang zuerst . Seien Sie nicht faul, bevor Sie die quadratische Gleichung lösen, um es in das Standardformular zu bringen. Was bedeutet das?
Angenommen, Sie haben nach allen Transformationen eine solche Gleichung erhalten:

Eile nicht, um die Wurzelformel zu schreiben! Fast wahrscheinlich verwechseln Sie die Koeffizienten A, B und S. Bauen Sie ein Beispiel richtig auf. Zuerst ist X auf dem Platz, dann ohne Quadrat, dann ein freier Schwanz. So:

Und eile nicht wieder! Der Minus vor dem IX im Quadrat kann gesund sein, um Sie zu stören. Vergiss es einfach ... Beseitigen Sie einen Minus. Wie? Ja, wie beim vorherigen Thema gelehrt! Es ist notwendig, die gesamte Gleichung auf -1 zu multiplizieren. Wir bekommen:

Aber jetzt können Sie die Formel für die Wurzeln sicher aufzeichnen, die Diskriminante und das Beispiel in Betracht ziehen. Dich selbst dorieren. Sie müssen Wurzeln 2 und -1 haben.

Empfang zwei. Überprüfen Sie die Wurzeln! Auf dem Vieta-Theorem. Verscheuchen Sie nicht, ich werde alles erklären! Prüfen letztes Ding Die gleichung. Jene. Dass wir die Wurzelformel aufgenommen haben. Wenn (wie in diesem Beispiel) Koeffizient a \u003d 1.Überprüfen Sie die Wurzeln leicht. Genug, um sie zu multiplizieren. Es sollte ein kostenloses Mitglied geben, d. H. In unserem Fall -2. Hinweis, nicht 2 und -2! KOSTENLOSER DICK. mit deinem Zeichen . Wenn es nicht funktioniert, bedeutet es irgendwo, dass sie sich angesammelt haben. Suchen Sie nach einem Fehler.

Wenn es passiert ist, ist es notwendig, die Wurzeln zu falten. Letzter und endgültige Prüfung. Muss der Koeffizient passieren b. von gegenteil Schild. In unserem Fall -1 + 2 \u003d +1. Und Koeffizient b.das ist vor dem IX, gleich -1. Also, alles ist richtig!
Es ist schade, dass es für Beispiele so einfach ist, wo X sauber ist, mit einem Koeffizienten a \u003d 1. Aber auch in solchen Gleichungen einchecken! Es wird weniger Fehler geben.

Drittel . Wenn es fraktionierte Koeffizienten in Ihrer Gleichung gibt, machen Sie Fraktionen los! Mehrere Gleichung basierend auf gemeinsamer NennerWie in der Lektion beschrieben "Wie man Gleichungen lösen? Identische Transformationen". Bei der Arbeit mit Fraktionen des Fehlers, aus irgendeinem Grund und klettern ...

Übrigens habe ich ein böses Beispiel versprochen, mit einem Bündel Minuses zu vereinfachen. Bitte schön! Da ist er.

Um nicht in den Minus verwechselt zu werden, ist die Gleichung von -1 dominant. Wir bekommen:

Das ist alles! Entscheiden - ein Vergnügen!

Fassen Sie also das Thema zusammen.

Praktische Ratschläge:

1. Vor der Lösung geben wir eine quadratische Gleichung in das Standardformular, bauen Sie es auf recht.

2. Wenn ein negativer Koeffizient einen negativen Koeffizienten vor X wert ist, beseitigen Sie die Multiplikation der gesamten Gleichung auf -1.

3. Wenn fraktionierte Koeffizienten den Fraktion durch Multiplikation der gesamten Gleichung an den entsprechenden Multiplizierer vermehren.

4. Wenn sich X im Quadrat befindet - sauber ist, ist der Koeffizient gleich einer, die Lösung kann leicht vom Vieta-Satz überprüft werden. Tu es!

Nun ist es möglich, zu berechnen.)

Gleichungen lösen:

8x 2 - 6x + 1 \u003d 0

x 2 + 3x + 8 \u003d 0

x 2 - 4x + 4 \u003d 0

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

Antworten (in Unordnung):

x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5

x 1.2 \u003d.2

x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0,5

x - Jede Nummer

x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3

keine Lösungen

x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5

Alles konvergiert? Ausgezeichnet! Quadratgleicher sind nicht Ihre Kopfschmerzen. Die ersten drei stellten sich heraus, und der Rest - nein? Dann ist das Problem nicht in eckigen Gleichungen. Das Problem ist in identischen Transformationen von Gleichungen. Spaziergang mit Bezug genommen, es ist nützlich.

Nicht wirklich? Oder funktioniert überhaupt nicht? Dann müssen Sie bei der Partition 555 helfen. Dort werden alle diese Beispiele um die Knochen zerlegt. Zeigen main Fehler in der Lösung. Erzählt natürlich über Antrag identische Transformationen Bei der Lösung verschiedener Gleichungen. Hilft viel!

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Übrigens habe ich noch weitere interessante Sehenswürdigkeiten für dich.)

Es kann auf das Lösen von Beispielen zugegriffen werden und erfahren Sie Ihr Niveau. Testen mit Instant-Check. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Derivaten kennenlernen.

Betrachten Sie eine quadratische Gleichung:
(1) .
Roots Square Gleichung. (1) werden durch Formeln bestimmt:
; .
Diese Formeln können so kombiniert werden:
.
Wenn die Wurzeln der quadratischen Gleichung bekannt sind, kann der Polynom der zweiten Grad als Arbeit der Faktoren dargestellt werden (zersetzen sich auf Multiplizierern):
.

Als nächstes glauben wir das - die tatsächlichen Zahlen.
Erwägen diskriminante quadratische Gleichung.:
.
Wenn das Diskriminant positiv ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei verschiedene gültige Wurzel:
; .
Dann hat die Zersetzung des Quadrats drei auf den Faktoren das Formular:
.
Wenn das Diskriminant Null ist, weist die quadratische Gleichung (1) zwei mehrere (gleiche) gültige Wurzel auf:
.
Faktorisierung:
.
Wenn das Diskriminant negativ ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei umfassender konjugierte Wurzel:
;
.
Hier - die imaginäre Einheit;
Und - die eigentlichen und imaginären Teile der Wurzeln:
; .
Dann

.

Grafische Interpretation.

Wenn er baue zeitplanfunktion
,
Welches ist Parabola, dann ist der Punkt der Kreuzung des Graphen mit der Achse Wurzeln der Gleichung
.
Wann kreuzt der Zeitplan die Abszisse-Achse (Achse) an zwei Punkten.
Wann betrifft der Graphen die Abszisse-Achse an einem Punkt.
Wenn der Zeitplan die Abszisse-Achse nicht schneidet.

Nachfolgend sind Beispiele für solche Grafiken.

Nützliche Formeln, die mit der quadratischen Gleichung verbunden sind

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

Die Ausgabe der Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung

Wir führen Transformationen aus und wenden Formeln (F.1) und (F.3) an:




,
Wo
; .

Wir haben also eine Formel für ein Polynom des zweiten Grades in der Form:
.
Von hier aus ist es zu sehen, dass die Gleichung

at durchgeführt
und.
Das heißt, die Wurzeln der eckigen Gleichung sind Wurzeln
.

Beispiele zur Bestimmung der Wurzeln der quadratischen Gleichung

Beispiel 1.

(1.1) .

Entscheidung

.
Vergleich mit unserer Gleichung (1.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden diskriminierend:
.
Da das Diskriminant positiv ist, hat die Gleichung zwei gültige Wurzel:
;
;
.

Von hier aus bekommen wir eine Zersetzung eines quadratischen Dreibetriebs auf Multiplikatoren:

.

Zeitplanfunktion y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 Kreuzt die Abszisse-Achse an zwei Punkten.

Wir erstellen einen Funktionsplan
.
Der Zeitplan dieser Funktion ist Parabola. Sie legt die Abszisse-Achse (Achse) an zwei Punkten an:
und.
Diese Punkte sind Wurzeln der anfänglichen Gleichung (1.1).

Antworten

;
;
.

Beispiel 2.

Finden Sie die Wurzeln der eckigen Gleichung:
(2.1) .

Entscheidung

Wir schreiben die quadratische Gleichung in der allgemeinen Form:
.
Vergleichen mit der anfänglichen Gleichung (2.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden diskriminierend:
.
Da das Diskriminant Null ist, hat die Gleichung zwei mehrere (gleiche) Wurzel:
;
.

Dann hat die Zersetzung von drei Entscheidungen über Multiplikatoren das Formular:
.

Funktionsgraph y \u003d x 2 - 4 x + 4 Fordert die Abszisse-Achse an einem Punkt an.

Wir erstellen einen Funktionsplan
.
Der Zeitplan dieser Funktion ist Parabola. Es betrifft die ABSCISSA-Achse (Achse) an einem Punkt:
.
Dieser Punkt ist die Wurzel der anfänglichen Gleichung (2.1). Da diese Wurzel zweimal in den Ausbau von Multiplizierern eintritt:
,
Dass eine solche Wurzel mehrfach genannt wird. Das heißt, es wird angenommen, dass es zwei gleiche Wurzel gibt:
.

Antworten

;
.

Beispiel 3.

Finden Sie die Wurzeln der eckigen Gleichung:
(3.1) .

Entscheidung

Wir schreiben die quadratische Gleichung in der allgemeinen Form:
(1) .
Wir schreiben die anfängliche Gleichung (3.1) neu.
.
Vergleichen C (1), wir finden die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden diskriminierend:
.
Diskriminierend ist negativ. Daher gibt es keine gültigen Wurzeln.

Sie können komplexe Wurzeln finden:
;
;

Wir erstellen einen Funktionsplan
.
Der Zeitplan dieser Funktion ist Parabola. Es kreuzt nicht die Abszisse-Achse (Achse). Daher gibt es keine gültigen Wurzeln.

Antworten

Es gibt keine gültigen Wurzeln. ROINGS sind integriert:
;
;
.

Es ist bekannt, dass es sich um eine besondere Ausführungsform der Gleichheit Ah 2 + Vx + C \u003d O handelt, wobei A, B und C - die echten Koeffizienten an einem unbekannten X, und wo ein ≠ OH und B und C Nero sein wird - gleichzeitig oder getrennt. Zum Beispiel C \u003d O, in ≠ o oder umgekehrt. Wir erinnerten uns fast an die Definition einer quadratischen Gleichung.

Der Abzug des zweiten Grades ist Null. Der erste Koeffizient A ≠ O, B und C kann beliebige Werte annehmen. Der Wert der Variablen X wird dann sein, wenn die Substitution sie in die richtige numerische Gleichheit darstellt. Lassen Sie uns auf den echten Wurzeln wohnen, obwohl die Lösungen der Gleichung auch vollständig als Gleichung bezeichnet werden können, in der keiner der Koeffizienten gleich ist, und ≠ o, in ≠ o, mit ≠ ungefähr.
Ich löse ein Beispiel. 2x 2 -9x-5 \u003d O, wir finden
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D Positiv, dann sind Wurzeln erhältlich, x 1 \u003d (9 + √121): 4 \u003d 5 und das zweite x 2 \u003d (9-√121): 4 \u003d -O, 5. Die Prüfung hilft, sicherzustellen, dass sie korrekt sind.

Hier ist eine schrittweise Lösung einer quadratischen Gleichung

Durch die Diskriminanz kann eine beliebige Gleichung im linken Teil gelöst werden, von dem das bekannte Quadrat in einem ≠ ungefähr dreit ist. In unserem Beispiel. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (AH 2 + VX + C \u003d O)

Überlegen Sie, was die unvollständigen Gleichungen des zweiten Grades sind

1. aH 2 + VH \u003d O. Freier Begriff, Koeffizient mit x 0, hier ist , in ≠ o.
   Wie löst man eine unvollständige quadratische Gleichung dieses Typs? Wir führen X für Zahnspangen durch. Wir erinnern uns, wenn das Produkt von zwei Multiplizierern Null ist.
   x (AX + B) \u003d O, es kann sein, wenn x \u003d o oder wenn AX + B \u003d O.
   Nach der Entscheidung der 2. haben wir x \u003d -b / a.
   Infolgedessen haben wir Wurzeln x 1 \u003d 0, gemäß Berechnungen x 2 \u003d -b / a.
2. Nun ist der Koeffizient bei x gleich, und nicht gleich (≠) ungefähr.
   x 2 + c \u003d o. Wir übertragen mit der rechten Seite der Gleichheit, wir erhalten x 2 \u003d -c. Diese Gleichung hat nur dann echte Wurzeln, wenn-positive Zahl (mit \u003cO),
   X 1 ist gleich √ (-C) bzw. X 2 - -√ (-C). Ansonsten hat die Gleichung überhaupt keine Wurzeln.
3. Letzte Variante: B \u003d C \u003d O, das heißt, ah 2 \u003d o. Natürlich hat eine solche einfache Gleichung eine Wurzel, x \u003d o.

Private Fälle

So lösen Sie eine unvollständige quadratische Gleichung, und jetzt werden wir irgendwelche Arten nehmen.

• In voller quadratischer Gleichung der zweite Koeffizient bei X - gerade Zahl.
  Lass k \u003d o, 5b sein. Wir haben Formeln zur Berechnung der Diskriminanten und Wurzeln.
  D / 4 \u003d K 2 - Wechselstrom, Wurzeln werden also x 1,2 \u003d (-k ± √ (d / 4)) / a mit d\u003e o berechnet.
  x \u003d -k / a für d \u003d o.
  Keine Wurzeln bei d \u003co.
• Es gibt reduzierte quadratische Gleichungen, wenn der Koeffizient bei X im Quadrat 1 ist, werden sie zum Aufnehmen von x 2 + px + q \u003d o genommen. Alle oben genannten Formeln breiten sich auf sie aus, die Berechnungen sind etwas einfacher.
  Beispiel, X 2 -4x-9 \u003d 0. Berechnen Sie d: 2 2 +9, d \u003d 13.
  x 1 \u003d 2 + √13, x 2 \u003d 2-√13.
• Darüber hinaus ist es leicht dabei eingesetzt, dass die Menge der Wurzeln der Gleichung Gleichung -P -P ist, der zweite Koeffizient mit einem Minus (dh das entgegengesetzte Zeichen), und das Produkt derselben Wurzeln ist q, ein frei Mitglied. Überprüfen Sie, wie es die Wurzeln dieser Gleichung leicht verbal bestimmen kann. Für unbezahlte (mit allen Nicht-Null-Koeffizienten) ist dieser Satz so anwendbar: Die Summe x 1 + x 2 ist gleich -b / a, das Produkt X 1 × 2 ist gleich C / A.

Die Menge des freien Elements C und des ersten Koeffizienten A ist gleich dem Koeffizienten B. In dieser Situation hat die Gleichung nicht weniger als eine Wurzel (leicht nachgewiesen), der erste ist notwendigerweise gleich -1 und der zweiteil- ° C / A, wenn er existiert. So lösen Sie eine unvollständige quadratische Gleichung, Sie können sich selbst überprüfen. So einfach wie Kuchen. Die Koeffizienten können in einigen Beziehungen zwischen sich sein.

• x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
• Die Summe aller Koeffizienten ist gleich.
  Die Wurzeln in einer solchen Gleichung - 1 und s / a. Beispiel, 2x 2 -15x + 13 \u003d o.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, verschiedene Gleichungen des zweiten Grades zu lösen. Hierbei zum Beispiel das Isolierungsverfahren aus diesem Polynom eines kompletten Quadrats. Grafikmethoden etwas. Wenn Sie oft mit solchen Beispielen umgehen, lernen Sie, "klicken Sie auf sie, wie Samen, denn alle Arten kommen automatisch in den Sinn.

IM moderne Gesellschaft Die Fähigkeit, Aktionen mit den an dem Platz angehobenen Gleichungen durchzuführen, kann in vielen Tätigkeitsbereiche nützlich sein und in der Praxis in der Praxis in der Praxis in der Praxis verwendet werden technische Entwicklungen. Beweise dafür können das Design von Marine- und Flussschiffen, Flugzeugen, Flugzeugen und Raketen dienen. Mit Hilfe solcher Berechnungen können die Flugbahnen der Bewegung verschiedener Körper, einschließlich Raumobjekte, einschließlich Raumobjekte. Beispiele mit einer Lösung von quadratischen Gleichungen werden nicht nur in der wirtschaftlichen Prognose, in der Konstruktion und dem Bau von Gebäuden, sondern auch in den ordentlichen Alltagsumständen verwendet. Sie sind möglicherweise in touristischen Kampagnen, im Sport, in den Einkaufsgeschäften und in anderen sehr häufigen Situationen erforderlich.

Wir brechen den Ausdruck auf den Komponenten von Multiplizierern

Der Gleichungsgrad wird durch den Maximalwert des Grads in der Variablen bestimmt, der diesen Ausdruck enthält. Für den Fall, dass es 2 ist, ist eine solche Gleichung nur als Quadrat genannt.

Wenn die Sprache der Formeln exprimiert, können die angegebenen Ausdrücke, egal wie sie aussehen, immer durch das Formular verursacht werden, wenn der linke Teil des Ausdrucks aus drei Ausdrücken besteht. Unter ihnen: AX 2 (dh die mit seinem Koeffizient errichtete Variable), BX (unbekannt ohne Quadrat mit seinem Koeffizienten) und C (freie Komponente, dh die übliche Zahl). All dies in der rechten Seite ist gleich 0. In dem Fall, wenn es niemanden seiner Komponenten der Begriffen gibt, mit Ausnahme von Axt 2 wird es als unvollständige quadratische Gleichung bezeichnet. Beispiele mit der Lösung solcher Aufgaben, der Wert der Variablen, in denen es leicht zu finden ist, sollte zuerst berücksichtigt werden.

Wenn der Ausdruck in der Form erscheint, so sieht man so, dass zwei, genauer, Axt 2 und Bx, der Ausdruck auf dem Ausdruck auf der rechten Seite, am einfachsten ist, eine Variable für Klammern zu finden. Nun sieht unsere Gleichung so aus: X (AX + B). Als nächstes wird es offensichtlich, dass oder x \u003d 0, oder die Aufgabe wird reduziert, um eine Variable aus dem folgenden Ausdruck zu finden: AX + B \u003d 0. Die angegebene diktierte ein der Multiplikationseigenschaften. Die Regel sagt, dass das Produkt von zwei Faktoren nur 0 ergibt, nur wenn einer von ihnen Null ist.

Beispiel

x \u003d 0 oder 8x - 3 \u003d 0

Infolgedessen erhalten wir zwei Wurzeln der Gleichung: 0 und 0,375.

Die Gleichungen dieser Art können die Bewegung von Körpern unter dem Einfluss der Schwerkraft beschreiben, der von einem bestimmten Punkt begann, der zu Beginn der Koordinaten angenommen wurde. Hier nimmt der mathematische Datensatz das folgende Formular an: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Ersetzen der erforderlichen Werte, die die rechte Seite 0 gleichsetzen und mögliche Unbekannte findet, können Sie die Zeit herausfinden, die von dem Moment des Körpers des Körpers bis zum Herbst, sowie viele andere Werte hinausgehen. Aber wir werden später darüber reden.

Zersetzung des Ausdrucks auf Multiplikatoren

Mit der oben beschriebenen Regel können Sie die angegebenen Aufgaben und mehr lösen komplexe Fälle. Betrachten Sie Beispiele mit der Lösungsquadratgleichung dieses Typs.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Diese quadratischer Trieck. Es ist vollständig. Um damit zu beginnen, verwandeln wir den Ausdruck und zersetzen es für Multiplikatoren. Sie werden zwei erhalten: (x-8) und (x-25) \u003d 0. Infolgedessen haben wir zwei Wurzeln 8 und 25.

Beispiele mit der Lösung von quadratischen Gleichungen in der Grad 9 ermöglichen diese Methode, um nicht nur die zweite, sondern auch die dritte und vierte Bestellung eine Variable in Ausdrücken zu finden.

Beispiel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Mit der Zersetzung des rechten Teils der Multiplizierer mit einer Variablen werden sie drei erhalten, dh (x + 1), (x-3) und ( x + 3).

Infolgedessen wird es offensichtlich, dass diese Gleichung drei Wurzeln hat: -3; -einer; 3.

Quadratwurzel extrahieren

Ein weiterer Fall der unvollständigen Gleichung der zweiten Ordnung ist der Ausdruck in der Sprache der Buchstaben, die so präsentiert werden, dass die rechte Seite von den Komponenten von Axt 2 und C aufgebaut ist. Hier wird für den Wert der Variablen das freie Element auf übertragen rechte Seiteund dann wird aus beiden Teilen der Gleichstellung extrahiert quadratwurzel. Aufmerksamkeit sollte als in bezahlt werden dieser Fall Die Wurzeln der Gleichung in der Regel zwei. Eine Ausnahme kann nur gleich der Gleichheit sein, der im Allgemeinen nicht den Begriff C enthält, wobei die Variable Null ist, sowie die Optionen für Ausdrücke, wenn sich die rechte Seite als negativ aussieht. IM in letzter Fall Es gibt überhaupt keine Lösungen, da die obigen Aktionen nicht mit Wurzeln erfolgen können. Beispiele für Lösungen von quadratischen Gleichungen dieser Art müssen berücksichtigt werden.

In diesem Fall werden die Wurzeln der Gleichung -4 und 4 sein.

Berechnung eines Grundstücks

Die Notwendigkeit solcher Berechnungen erschien in der tiefen Antike, da die Entwicklung der Mathematik in vielerlei Hinsicht in diesen fernen Zeiten auf die Notwendigkeit zurückzuführen ist, die Genauigkeit der Gegend und des Umkreises der Grundstände zu bestimmen.

Beispiele mit dem Lösen von quadratischen Gleichungen, die auf der Grundlage von Aufgaben dieser Art erstellt wurden, sollten für uns in Betracht gezogen werden.

Sagen wir also, es gibt ein rechteckiges Grundstück, dessen Länge 16 Meter mehr als die Breite ist. Es sollte eine Länge, Breite und Umfang der Site gefunden werden, wenn bekannt ist, dass sein Bereich 612 m 2 entspricht.

Machen Sie zunächst die notwendige Gleichung. Bezeichnen Sie mit x die Breite der Site, dann ist seine Länge (x + 16). Aus dem geschriebenen Es folgt, dass der Bereich durch den Expression x (x + 16) bestimmt wird, der gemäß der Bedingung unseres Problems 612 ist. Dies bedeutet, dass x (x + 16) \u003d 612.

Die Lösung kompletter eckiger Gleichungen, und dieser Ausdruck ist genau so, dass sie nicht auf dieselbe Weise durchgeführt werden können. Warum? Obwohl die linke Seite davon immer noch zwei Faktoren enthält, ist das Produkt überhaupt nicht gleich 0, also werden hier andere Verfahren verwendet.

Diskriminierend

Zunächst werden wir die notwendige Umwandlung erstellen, dann sieht das Erscheinungsbild dieses Ausdrucks so aus: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Dies bedeutet, dass wir einen Ausdruck in der Form haben, die dem zuvor bestimmten Standard entsprechen, wo A \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Dies kann ein Beispiel sein, um quadratische Gleichungen durch Diskriminierungsmittel zu lösen. Hier werden die erforderlichen Berechnungen gemäß dem Schema durchgeführt: D \u003d B 2 - 4AC. Dieser Hilfswert ermöglicht es nicht nur, die gewünschten Werte in der Gleichung der zweiten Ordnung zu finden, sondern bestimmt die Anzahl möglichkeiten. In dem Fall D\u003e 0 gibt es zwei; Wenn d \u003d 0, gibt es eine Wurzel. In Fall D.<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Über Wurzeln und ihre Formel

In unserem Fall beträgt das Diskriminant: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Dies deutet darauf hin, dass die Antwort von unserer Aufgabe existiert. Wenn Sie wissen, muss k die Lösung von quadratischen Gleichungen unter Verwendung der untenstehenden Formel fortgesetzt werden. Sie können die Wurzeln berechnen.

Dies bedeutet, dass im Fall: X 1 \u003d 18, X 2 \u003d -34. Die zweite Version in diesem Dilemma kann keine Lösung sein, da die Abmessungen des Landes nicht in negativen Werten gemessen werden können, bedeutet dies, dass x (dh die Breite der Site) 18 m beträgt. Von hier aus berechnen wir die Länge: 18 + 16 \u003d 34 und Umfang 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Beispiele und Ziele.

Wir studieren weiterhin quadratische Gleichungen. Beispiele und eine detaillierte Lösung von mehreren von ihnen wird weiter gegeben.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Wir übertragen alles in den linken Teil der Gleichheit, wir machen eine Transformation, d. H. Wir erhalten die Form der Gleichung, die Standards namentlich ist, und resultiert es mit Null.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Nach dem Zusammenklappen definieren wir die Diskriminante: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Unsere Gleichung wird also zwei Wurzeln haben. Wir berechnen sie nach der obigen Formel, dh der erste von ihnen ist 4/3 und der zweite.

2) offenbaren nun die Rätsel einer anderen Art.

Finden Sie heraus, gibt es hier Wurzeln x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Um eine umfassende Antwort zu erhalten, geben wir ein Polynom zur entsprechenden Vertrautheit und berechnen die Diskriminante. In dem angegebenen Beispiel ist die Lösung der quadratischen Gleichung nicht erforderlich, da das Wesen der Aufgabe überhaupt nicht ist. In diesem Fall, d \u003d 16 - 20 \u003d 4, was bedeutet, dass es wirklich keine Wurzeln gibt.

Vieta Theorem.

Die quadratischen Gleichungen sind zweckmäßigerweise durch die obigen Formeln und diskriminierend, wenn die Quadratwurzel aus dem letzten Wert extrahiert wird. Aber es passiert nicht immer. Es gibt jedoch in diesem Fall viele Möglichkeiten, Variablen zu erhalten. Beispiel: Lösungen von quadratischen Gleichungen am Vieta-Satz. Sie ist benannt, nachdem sie im 19. Jahrhundert in Frankreich lebte und aufgrund seines mathematischen Talents und der Innenhöfe eine brillante Karriere machte. Porträt ist in dem Artikel zu sehen.

Das Muster, das der berühmte Franzosen bemerkte, war wie folgt. Er bewies, dass die Wurzeln der Gleichung in der Menge numerisch gleich einer -P \u003d B / A sind, und ihr Produkt entspricht q \u003d c / a.

Betrachten Sie nun spezifische Aufgaben.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Zur Vereinfachung transformieren wir den Ausdruck:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Wir verwenden den Vieta-Theorem, es wird uns folgendes geben: Die Menge der Wurzeln ist -7 und ihre Arbeit -18. Von hier aus haben wir, dass die Wurzeln der Gleichung Nummern sind --9 und 2. Nachdem Sie einen Scheck gemacht haben, stellen Sie sicher, dass diese Werte von Variablen wirklich im Ausdruck geeignet sind.

Grafik- und Parabola-Gleichung

Konzepte Die quadratische Funktion und eckige Gleichungen sind eng miteinander verbunden. Beispiele dafür wurden bereits früher gezeigt. Betrachten Sie nun einige mathematische Rätsel etwas mehr. Jede Gleichung des beschriebenen Typs kann sich vorstellen. Eine ähnliche Abhängigkeit in Form eines Graphen wird als Parabola bezeichnet. Ihre verschiedenen Typen sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Jede Parabola hat einen Scheitelpunkt, dh der Punkt, von dem seine Zweige herauskommen. In dem Fall A\u003e 0 hinterlassen sie hoch in unendlich und wenn ein<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuelle Bilder von Funktionen helfen, alle Gleichungen zu lösen, einschließlich Quadrat. Diese Methode wird als Grafik bezeichnet. Der Wert der Variablen x ist die Koordinate der Abszisse an Punkten, an denen der Graph des Graphen von 0x überquert wird. Die Koordinaten der Scheitelpunkte sind gemäß der einzigen gegebenen Formel x 0 \u003d -b / 2a zu finden. Wenn Sie den resultierenden Wert auf die anfängliche Gleichung der Funktion ersetzen, können Sie Y 0 lernen, dh die zweite Koordinate des zur Ordinatenachse angehörenden Pearabol-Scheitelung.

Überquerung der Zweige von Parabola mit der ABSCISSA-Achse

Beispiele mit Lösungen von quadratischen Gleichungen sind sehr viel, aber es gibt allgemeine Muster. Betrachte sie Es ist klar, dass die Kreuzung des Diagramms mit der Achse 0x an A\u003e 0 nur möglich ist, wenn 0 negative Werte empfängt. Und für A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Andernfalls D.<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Gemäß der Tabelle können die Parabeln definiert und Wurzeln definiert werden. Das Gegenteil ist auch wahr. Das heißt, wenn Sie ein visuelles Bild einer quadratischen Funktion erhalten, ist nicht einfach, Sie können den richtigen Teil des Ausdrucks auf 0 gleichsetzen und die erhaltene Gleichung lösen. Und die Kreuzungspunkte mit der 0x-Achse kennen, ist es einfacher, einen Zeitplan aufzubauen.

Aus der Geschichte.

Mit Hilfe von Gleichungen, die die mit dem Platz aufgeworfene Variable in den alten Tagen nicht nur mathematische Berechnungen ergab, und ermittelt den Bereich der geometrischen Figuren. Ähnliche Berechnungen des Antikes wurden für große Entdeckungen im Bereich der Physik- und Astronomie benötigt sowie astrologische Prognosen erstellen.

Als die modernen Wissenschaftszahlen deuten, dass die Bewohner von Babylon unter den ersten Lösungen von quadratischen Gleichungen unter den ersten Lösungen von Babylon aufgenommen wurden. Es ist in vier Jahrhunderten vor dem Beginn unserer Ära passiert. Natürlich unterschieden sich ihre Berechnungen in der Wurzel von nun angenommen und erwiesen sich als viel primitiv. Beispielsweise hatten Mesopotamian Mathematiker keine Ahnung von der Existenz negativer Zahlen. Die Fremden hatten auch andere Feinheiten von denen, die einen Schüler unserer Zeit kennen.

Vielleicht sogar frühere Wissenschaftler von Babylon, die Lösung von quadratischen Gleichungen, ein Salbei von Indien Budhoyama, verlobt. Es passierte in etwa acht Jahrhunderten vor der Ära Christi. True, die Gleichung der zweiten Ordnung, die Methoden der Lösung, die er leitete, war das gleichzeitige. Neben ihm waren solche Fragen an alten und chinesischen Mathematikern interessiert. In Europa begannen die quadratischen Gleichungen, nur im frühen XIII-Jahrhundert zu lösen, aber später wurden sie in ihrer Arbeit so großartige Wissenschaftler als Newton, Descartes und viele andere verwendet.