Identische Transformationen von Ausdrücken, die Logarithmen enthalten. Umwandlung von Ausdrücken mit Logarithmen, Beispielen, Lösungen

Die börsennotierte Gleichheit bei der Konvertierung von Ausdrücken mit Logarithmen wird nach rechts nach links und links nach rechts verwendet.

Es ist erwähnenswert, dass das Merken der Effekte aus den Eigenschaften optional ist: Bei der Durchführung von Transformationen ist es möglich, mit den wichtigsten Eigenschaften von Logarithmen und anderen Tatsachen (zum Beispiel dabei mit B ≥0) zu tun Folgenfluss. Der "Nebeneffekt" dieses Ansatzes äußert sich nur, dass die Entscheidung etwas länger betragen wird. Zum Beispiel ohne die Untersuchung, die von der Formel ausgedrückt wird Und nur von den wichtigsten Eigenschaften von Logarithmen, müssen Sie eine Kette von Transformationen des folgenden Typs durchführen: .

Dasselbe kann über die letzte Eigenschaft aus der obigen Liste gesagt werden, was der Formel entspricht Da folgt auch die Haupteigenschaften von Logarithmen. Die Hauptsache, um zu verstehen, dass es immer die Möglichkeit einer positiven Zahl mit einem Logarithmus im Indikator gibt, um die Grundlage des Grades und der Nummer unter dem Logarithmus-Zeichen zu ändern. Um der Gerechtigkeit willen, stellen wir fest, dass Beispiele, die die Umsetzung von Transformationen einer solchen Art implizieren, in der Praxis selten sind. Wir geben ein paar Beispiele unter dem Text.

Transformation numerischer Ausdrücke mit Logarithmen

Die Eigenschaften von Logarithmen erinnern sich, jetzt ist es an der Zeit, sie in der Praxis anzuwenden, um Ausdrücke umzuwandeln. Beginnen Sie natürlich mit der Umwandlung numerischer Ausdrücke, und nicht mit Ausdrücken mit Variablen, da sie bequemer und leichter, die Grundlagen zu erfahren. Wir werden also mit sehr einfachen Beispielen beginnen, um zu erfahren, wie Sie die gewünschte Eigenschaft des Logarithmus auswählen können, aber wir werden jedoch allmählich Beispiele komplizieren, bis zum Moment an endresultat Es ist notwendig, mehrere Eigenschaften in Folge anzuwenden.

Auswahl der gewünschten Eigenschaften von Logarithmen

Die Eigenschaften von Logarithmen sind nicht so wenig, und es ist klar, dass Sie von ihnen das entsprechende auswählen müssen, was in diesem speziellen Fall zum gewünschten Ergebnis führt. Es ist normalerweise schwierig, dies zu tun, indem Sie den Typ des transformierten Logarithmus oder des Ausdrucks mit den Ansichten der linken und rechten Teile der Formeln vergleichen, die die Eigenschaften von Logarithmen ausdrücken. Wenn die linke oder rechte Seite einer der Formeln mit einem bestimmten Logarithmus oder einem bestimmten Ausdruck zusammenfällt, ist es höchstwahrscheinlich diese Eigenschaft, die beim Konvertieren angewendet werden muss. Die folgenden Beispiele sind eindeutig demonstriert.

Beginnen wir mit Beispielen für die Umwandlung von Ausdrücken unter Verwendung der Definition eines Logarithmus, der der Formel A-Protokoll A B \u003d B, A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0 entspricht.

Beispiel.

Berechnen Sie nach Möglichkeit: a) 5 log 5 4, b) 10 lg (1 + 2 · π), b) , d) 2 log 2 (-7), e).

Entscheidung.

Im Beispiel ist unter dem Buchstaben A) die Struktur ein Protokoll A B deutlich sichtbar, wobei a \u003d 5, b \u003d 4 ist. Diese Zahlen erfüllen die Bedingungen a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, sodass Sie die Gleichheit ein Protokoll A B \u003d B verwenden können. Wir haben 5 log 5 4 \u003d 4.

b) Hier werden a \u003d 10, b \u003d 1 + 2 · π, Bedingungen A\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0 gemacht. In diesem Fall gibt es eine Gleichheit von 10 lg (1 + 2 · π) \u003d 1 + 2 · π.

c) Und in diesem Beispiel beschäftigen wir uns mit einem Grad des Typs A-Protokoll A B, wo und B \u003d LN15. So .

Trotz des Zugangs zum gleichen Typ eines Protokolls A B (hier a \u003d 2, b \u003d -7) kann der Ausdruck unter dem Buchstaben d) nicht von der Formel A-Protokoll A B \u003d B. nicht umgewandelt werden. Der Grund ist, dass es nicht sinnvoll ist, da sie unter dem Zeichen des Logarithmus eine negative Zahl enthält. Darüber hinaus erfüllt die Zahl B \u003d -7 den Zustand B\u003e 0 nicht, der nicht erlaubt, auf die Formel A-Protokoll A B \u003d B zurückzugreifen, da es die Erfüllung der Bedingungen A\u003e 0, a ≠ 1, b erfordert \u003e 0. Es ist also unmöglich, über die Berechnung des Wertes von 2 Log 2 (-7) zu sprechen. In diesem Fall ist die Aufnahme 2 log 2 (-7) \u003d -7 ein Fehler.

In ähnlicher Weise kann die Lösung im Beispiel unter dem Buchstaben d) die Lösung nicht gebracht werden Da der anfängliche Ausdruck nicht sinnvoll ist.

Antworten:

a) 5 log 5 4 \u003d 4, b) 10 lg (1 + 2 · π) \u003d 1 + 2 · π, c) , d), e) Ausdrücke machen keinen Sinn.

Es ist häufig für die Umwandlung nützlich, bei der eine positive Zahl in Form eines Grads einer positiven und unterschiedlichen Zahl mit einem Logarithmus in der Anzeige dargestellt wird. Es basiert auf derselben Definition von Logarithmus ein Protokoll A B \u003d B, A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, aber die Formel wird rechts auf der rechten Seite angelegt, dh in der Form B \u003d ein Protokoll A b. Beispielsweise 3 \u003d E ln3 oder 5 \u003d 5 log 5 5 5.

Gehen Sie zur Anwendung der Eigenschaften von Logarithmen, um Ausdrücke zu konvertieren.

Beispiel.

Finden Sie den Wert des Ausdrucks: a) log -2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, e) lg1, g) log 3,75, s) log 5 · π 7 1.

Entscheidung.

In den Beispielen unter den Buchstaben a), b) und c) der Ausdrücke von log -2 1, log 1 1, log 0 1, das nicht sinnvoll ist, da an der Basis des Logarithmus keine negative Zahl sein sollte, Null oder Einheit, weil wir Logarithmus nur für positive und andere von der Basiseinheit bestimmt haben. Daher kann in Beispiele a) - c) keine Frage der Suche nach dem Expressionswert sein.

In allen anderen Aufgaben ist es offensichtlich, dass es positive und unterschiedliche Zahlen von der Einheit 7, E, 10, 3,75 bzw. 5 · π 7 gibt, und unter den Anzeichen von Logarithmen überall gibt es Einheiten. Und wir kennen die Eigenschaft der Logarithmus-Einheit: log A 1 \u003d 0 für einen beliebigen A\u003e 0, a ≠ 1. Somit sind die Werte der Ausdrücke B) - E) gleich Null.

Antworten:

a), b), c) Ausdrücke machen keinen Sinn, d) log 7 1 \u003d 0, d) ln1 \u003d 0, e) lg1 \u003d 0, g) log 3,75 1 \u003d 0, h) log 5 · e 7 1 \u003d 0.

Beispiel.

Berechnen: a), b) lne, c) lg10, d) protokoll 5 · π 3 -2 (5 · π 3 -2), e) log -3 (-3), e) log 1 1 1.

Entscheidung.

Es ist klar, dass wir die Eigenschaft des Logarithmus der Basis nutzen müssen, was dem Formelprotokoll A A \u003d 1 an A\u003e 0, a ≠ 1 entspricht. In der Tat fällt in den Aufgaben unter allen Buchstaben die Zahl unter dem Zeichen des Logarithmus mit seiner Basis zusammen. So möchte ich sofort sagen, dass die Bedeutung jedes der angegebenen Ausdrücke 1 ist. Es ist jedoch nicht notwendig, sich mit den Schlussfolgerungen zu beeilen: In den Aufgaben unter den Buchstaben a) - d) sind die Werte der Ausdrücke wirklich gleich eins, und in den Aufgaben d) und e) die anfänglichen Ausdrücke machen nicht Sinn, daher kann es nicht gesagt werden, dass die Werte dieser Ausdrücke 1 sind.

Antworten:

a), b) lne \u003d 1, c) lg10 \u003d 1, d) log 5 · π 3 -2 (5 · π 3 -2) \u003d 1, D), e) Ausdrücke machen keinen Sinn.

Beispiel.

Finden Sie einen Wert: a) log 3 3 11, b) , c), d) log -10 (-10) 6.

Entscheidung.

Offensichtlich gibt es unter den Anzeichen von Logarithmen einige Gründungsgrade. Daraufhin verstehen wir, dass es uns für uns nützlich ist, hier der Gründungsgrad: log A a p \u003d p, wo A\u003e 0, a ≠ 1 und p eine gültige Zahl ist. Dazu haben wir folgende Ergebnisse: a) log 3 3 11 \u003d 11, b) , im) . Ist es möglich, ähnliche Gleichheit für das Beispiel unter dem Buchstaben d) der Art des Protokolls -10 (-10) 6 \u003d 6 aufzunehmen? Nein, es ist unmöglich, da das Ausdrucksprotokoll -10 (-10) 6 nicht sinnvoll ist.

Antworten:

a) log 3 3 11 \u003d 11, b) , im) , d) Der Ausdruck macht keinen Sinn.

Beispiel.

Stellen Sie sich einen Ausdruck in Form einer Summe oder den Unterschied der Logarithmen auf derselben Grundlage vor: a) , b), c) lg ((- 5) · (-12)).

Entscheidung.

a) Unter dem Zeichen des Logarithmus ist eine Arbeit, und wir kennen die Logarithmus-Eigenschaft der Arbeit des Protokolls A (× y y) \u003d log AX + log ay, a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0, y\u003e 0. In unserem Fall ist die Nummer an der Basis des Logarithmus und die Zahl in der Arbeit positiv, das heißt, die Bedingungen der ausgewählten Eigenschaft, so dass wir ihn ruhig anwenden können: .

b) Hier verwenden wir die Eigenschaft des Logarithmus des privaten, wo A\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0, y\u003e 0. In unserem Fall ist die Basis des Logarithmus eine positive Zahl E, der Zähler und der Nenner π sind positiv, was bedeutet, dass die Bedingungen der Eigenschaft erfüllt werden, sodass wir das Recht haben, die gewählte Formel zu verwenden: .

c) Zunächst stellen wir fest, dass der Ausdruck LG ((5) · (-12)) sinnvoll ist. Gleichzeitig haben wir für ihn nicht das Recht, die Logarithmus-Formel der Arbeit des Protokolls A (× y y) \u003d log AX + log ay, a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0 anzuwenden, y\u003e 0, da die Zahlen -5 und -12 - negativ und die Bedingungen nicht erfüllen x\u003e 0, y\u003e 0. Das heißt, es ist unmöglich, eine solche Umwandlung durchzuführen: lG ((- 5) · (-12)) \u003d lg (-5) + lg (-12). Und was zu tun? In solchen Fällen benötigt der anfängliche Ausdruck eine vorläufige Transformation, mit der Sie sich von negativen Zahlen entfernen können. Wir werden über solche Fälle von Transformation von Ausdrücke mit negativen Zahlen unter dem Anzeichen von Logarithmus in einem der folgenden Beispiele, die verständlich sind, und ohne Erklärung: lG ((- 5) · (-12)) \u003d lg (5 · 12) \u003d lg5 + lg12.

Antworten:

aber) b) , c) lg ((- 5) · (-12)) \u003d lg5 + lg12.

Beispiel.

Vereinfachen Sie den Ausdruck: a) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5, b).

Entscheidung.

Hier helfen wir allen Eigenschaften des Logarithmus des Arbeits- und Logarithmus des privaten, den wir in früheren Beispielen verwendet, nur jetzt wenden wir sie an das Recht auf links an. Das heißt, die Menge an Logarithmen trennt sich in den Logarithmus der Arbeit und den Unterschied zwischen den Logarithmen - im Logarithmus von Privat. Haben
aber) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0.5 \u003d log 3 (0,25 · 16 · 0,5) \u003d log 3 2.
b) .

Antworten:

aber) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0.5 \u003d log 3 2b) .

Beispiel.

Entfernen Sie den Umfang unter dem Zeichen des Logarithmus: a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (-5) 6.

Entscheidung.

Es ist leicht zu sehen, dass wir uns mit Ausdrücke des Protokolls A B p befassen. Die entsprechende Eigenschaft des Logarithmus hat die Art von Protokoll A B P \u003d P · log A B, wobei A\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, p eine gültige Zahl ist. Das heißt, wenn die Bedingungen ein\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0 aus dem Logarithmus grad-Protokoll. A b s können wir mit dem produkt p · log a b · · · · · Wir werden diese Konvertierung mit bestimmten Ausdrücken durchführen.

a) In diesem Fall a \u003d 0,7, b \u003d 5 und p \u003d 11. Log 0,7 5 11 \u003d 11 · log 0,7 5.

b) Hier werden hier ein\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0 durchgeführt. deshalb

c) Das Expressionsprotokoll 3 (-5) 6 hat den gleichen Strukturprotokoll A B p, a \u003d 3, b \u003d -5, p \u003d 6. Für B ist jedoch der Zustand B\u003e 0 nicht erfüllt, was es unmöglich macht, das Protokoll A B p \u003d p · log a b · a Es ist also unmöglich, mit der Aufgabe fertig zu werden? Es ist möglich, aber ein vorkonvertierender Ausdruck ist erforderlich, wir werden unten im Überschrift ausführlich darüber sprechen. Die Entscheidung wird sein: protokoll 3 (-5) 6 \u003d log 3 5 6 \u003d 6 · log 3 5.

Antworten:

a) log 0,7 5 11 \u003d 11 · log 0,7 5,
b)
c) log 3 (-5) 6 \u003d 6 · log 3 5.

Ganz oft ist die Logarithmus-Formel des Grades während der Transformation, um Recht auf Links als p · log a b \u003d log a b p) anzunehmen (dies erfordert die Leistung der gleichen Bedingungen für A, B und P). Beispielsweise 3 · LN5 \u003d LN5 3 und LG2 · log 2 3 \u003d log 2 3 lg2.

Beispiel.

a) Berechnen Sie den Wert des Protokolls 2 5, falls bekannt ist, dass LG2 ~ 0,6990 LG2 ~ 0,6990 ist. b) eine Fraktion in Form eines Logarithmus basierend auf 3 vorlegen.

Entscheidung.

a) Die Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus ermöglicht es, diesen Logarithmus in Form eines Verhältnisses von Dezimallogarithmen darzustellen, deren Werte uns bekannt sind :. Es bleibt nur Berechnungen, um Berechnungen durchzuführen, wir haben .

b) Hier reicht es aus, den Übergang zu einer neuen Basis zu nutzen, und auf die rechte Seite aufzunehmen, dh in Form von . Erhalten .

Antworten:

a) log 2 5 bis2,3223, b) .

Zu diesem Zeitpunkt betrachteten wir ausreichend die Umwandlung der einfachsten Ausdrücke mit den wichtigsten Eigenschaften von Logarithmen und der Definition von Logarithmus. In diesen Beispielen mussten wir eine Art Eigentum anwenden und nichts weiter. Jetzt mit einem ruhigen Gewissen können Sie in Beispiele ziehen, deren Umwandlung die Verwendung mehrerer Eigenschaften von Logarithmen und anderen zusätzlichen Transformationen erfordert. Wir werden im nächsten Absatz gehen. Aber vorher konzentrieren wir uns kurz auf die Beispiele der Folgen der Haupteigenschaften von Logarithmen.

Beispiel.

a) Beseitigen Sie die Wurzel unter dem Zeichen des Logarithmus. b) Umwandeln Sie die Fraktion in den Logarithmus auf der Basis 5. c) häufig aus dem Abschluss unter dem Logarithmus-Zeichen und in seiner Grundlage. d) Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks . e) Ersetzen Sie den Ausdruck des Grads mit der Basis 3.

Entscheidung.

a) Wenn Sie sich an die Folge der Eigenschaft des Logarithmus erinnern Sie können sofort antworten: .

b) Wir verwenden die Formel Recht auf links haben wir .

c) In diesem Fall führt das Ergebnis die Formel . Erhalten .

d) und hier reicht es aus, dass die Formel verantwortlich ist . So .

e) Eigenschaft Logarithmus Erlaubt uns zu erreichen das gewünschte Ergebnis: .

Antworten:

aber) . b) . im) . d) . e) .

Sequentielle Verwendung mehrerer Eigenschaften

Echte Aufgaben zur Umwandlung von Ausdrücken mit den Eigenschaften von Logarithmen sind in der Regel von denjenigen, die wir im vorherigen Absatz tätig sind, in der Regel komplizierter. In der Regel ist das Ergebnis in der Regel kein Schritt, und die Lösung ist bereits in der konsistenten Anwendung einer Eigenschaft nach dem anderen, zusammen mit zusätzlichen Identitätsumwandlungen, wie beispielsweise Offenbarung von Klammern, ähnliche Begriffe, Verringerung der Fraktionen usw. . Also nähern wir uns solche Beispiele näher. Daraufhin ist nichts schwierig, das Hauptsache ist, ordentlich und konsequent zu handeln, und beobachtet das Verfahren zur Durchführung von Aktionen.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks (Log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5.

Entscheidung.

Der Unterschied von Logarithmen in Klammern für die Eigenschaft des Logarithmus eines privaten kann durch Logarithmus-Protokoll 3 (15: 5) ersetzt und das Wertprotokoll 3 (15: 5) \u003d log 3 3 \u003d 1 weiter berechnet. Und der Wert des Ausdrucks 7 log 7 5 per Definition von Logarithmus ist gleich 5. Ersetzen Sie diese Ergebnisse im ursprünglichen Ausdruck, wir erhalten (log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d 1 · 5 \u003d 5.

Lassen Sie uns eine Lösung ohne Erklärung geben:
(Log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d log 3 (15: 5) · 5 \u003d
\u003d log 3 3 · 5 \u003d 1 · 5 \u003d 5.

Antworten:

(log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d 5.

Beispiel.

Wie lautet der Wert des numerischen Ausdrucksprotokolls 3 log 2 2 3 -1?

Entscheidung.

Wir transformieren zunächst den Logarithmus, der sich unter dem Vorzeichen des Logarithmus befindet, gemäß der Logarithmus-Formel: log 2 2 3 \u003d 3. Somit log 3 log 2 2 3 \u003d log 3 3 und ferner log 3 3 \u003d 1. Log 3 log 3 log 2 2 3 -1 \u003d 1-1 \u003d 0.

Antworten:

protokoll 3 log 2 2 3 -1 \u003d 0.

Beispiel.

Den Ausdruck vereinfachen.

Entscheidung.

Die Übergangsformel an die neue Basis des Logarithmus ermöglicht die Beziehung von Logarithmen an eine Basis, die als Protokoll 3 5 dargestellt werden soll. In diesem Fall wird der anfängliche Ausdruck das Formular annehmen. Per Definition von logarithm 3 log 3 5 \u003d 5, das ist , Und der Wert des erhaltenen Ausdrucks aufgrund der gleichen Definition des Logarithmus ist zwei.

Hier ist eine kurze Version der Lösung, die normalerweise gegeben ist: .

Antworten:

Für einen reibungslosen Übergang zu den folgenden Artikelinformationen werfen wir einen Blick auf die Ausdrücke 5 2 + log 5 3 und lg0.01. Ihre Struktur ist nicht für eine der Eigenschaften von Logarithmen geeignet. Was passiert also, können sie nicht mit den Eigenschaften von Logarithmen konvertiert werden? Es ist möglich, wenn Sie vorläufige Transformationen durchführen können, die diese Ausdrücke auf die Anwendung der Eigenschaften von Logarithmen vorbereiten. So 5 2 + log 5 3 \u003d 5 2 · 5 log 5 3 \u003d 25 · 3 \u003d 75, und lg0.01 \u003d lg10 -2 \u003d -2. Dann verstehen wir im Detail, wie eine solche Ausbildung von Ausdrücken durchgeführt wird.

Vorbereitung von Ausdrücken zur Anwendung der Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen in der Zusammensetzung des transformierten Ausdrucks unterscheiden sich sehr oft von den linken und rechten Teilen der Formeln, die den Eigenschaften von Logarithmen entsprechen. Die Umwandlung dieser Ausdrücke impliziert jedoch nicht weniger die Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen: Um sie zu verwenden, erfordert nur eine vorläufige Vorbereitung. Und diese Vorbereitung ergibt sich in der Durchführung bestimmter identischer Transformationen führende Logarithmen an das Formular, was bequem, um Eigenschaften anzuwenden.

Für Fairness stellen wir fest, dass fast alle Umwandlungen von Ausdrücken als vorläufige Transformationen von dem Banalaktuator solcher Begriffe bis zur Verwendung von trigonometrischen Formeln wirken können. Dies ist verständlich, da die transformierten Ausdrücke irgendein enthalten können mathematische Objekte: Klammern, Module, Fraktionen, Wurzeln, Abschlüsse usw. Somit müssen Sie bereit sein, eine erforderliche Umwandlung durchzuführen, um die Eigenschaften von Logarithmen weiterhin in der Lage zu sein.

Sagen Sie sofort, dass wir in diesem Punkt nicht die Aufgabe einstellen, alle erdenklichen vorläufigen Transformationen zu klassifizieren und zu zerlegen, was die Eigenschaften von Logarithmen weiter anwenden oder die Definition von Logarithmus weiter anwenden. Hier wohnen wir nur auf vier von ihnen, die am meisten charakteristisch sind und meistens in der Praxis gefunden werden.

Und nun detailliert über jeden von ihnen, danach als Teil unseres Themas kann es nur dann mit der Umwandlung von Ausdrücken mit Variablen unter den Anzeichen von Logarithmen umgehen werden.

Auswahl der Grade unter dem Zeichen von Logarithmus und in seiner Gründung

Beginnen wir sofort aus dem Beispiel. Lassen Sie uns Logarithmus sein. In dieser Form muss seine Struktur offensichtlich nicht die Eigenschaften von Logarithmen verwenden. Ist es möglich, diesen Ausdruck irgendwie zu konvertieren, um es zu vereinfachen, und sogar besser seinen Wert berechnen? Um diese Frage zu beantworten, schauen wir uns in den Kontext unseres Beispiels in Zahlen 81 und 1/9 sorgfältig aus. Hier ist es einfach, dass diese Zahlen die Darstellung des Grades von Nummer 3 ermöglichen, in der Tat 81 \u003d 3 4 und 1/9 \u003d 3 -2. In diesem Fall wird der anfängliche Logarithmus in der Form und der Möglichkeit der Anwendung der Formel dargestellt . So, .

Eine Analyse des demontierten Beispiels erzeugt den folgenden Gedanken: Wenn möglich, können Sie versuchen, den Grad unter dem Vorzeichen des Logarithmus und in seiner Grundlage hervorzuheben, um die Eigenschaft des Logarithmus oder deren Konsequenz anzuwenden. Es bleibt nur herauszufinden, wie Sie diese Grade zuordnen. Lassen Sie uns zu diesem Thema einigen Empfehlungen geben.

Manchmal ist es eher offensichtlich, dass die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus und / oder in seiner Fundament ein bisher gelegenes Grad wie in dem obigen Beispiel ist. Sie müssen praktisch ständig mit Detekten von Twos umgehen, was gutdurchdacht war: 4 \u003d 2 2, 8 \u003d 2 3, 16 \u003d 2, 32 \u003d 2 5, 64 \u003d 2, 128 \u003d 2, 256 \u003d 2 8 512 \u003d 2 9, 1024 \u003d 2 10. Dies kann über den Grad des Tripel: 9 \u003d 3 2, 27 \u003d 3 3, 81 \u003d 3 4, 243 \u003d 3 5, ... im Allgemeinen schaden, wenn es vor unseren Augen sein wird tabellengrade natürliche Zahlen innerhalb eines Dutzends. Es ist auch nicht schwer, mit ganzzahligen Abschlüssen von zehn, hundert Tausenden usw. zu arbeiten.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert oder vereinfachen Sie den Ausdruck: a) log 6 216, b), c) log 0,000001 0,001.

Entscheidung.

a) Es ist offensichtlich, dass 216 \u003d 6 3, daher log 6 216 \u003d log 6 6 3 \u003d 3.

b) Die Tabelle der natürlichen Nummern ermöglicht es Ihnen, die Nummern 343 und 1/243 in Form von Grad 7 3 bzw. 3 -4 zu präsentieren. Daher ist es möglich, der folgenden Transformation eines bestimmten Logarithmus zu folgen:

c) als 0,000001 \u003d 10 -6 und 0,001 \u003d 10 -3, dann log 0,000001 0.001 \u003d log 10 -6 10 -3 \u003d (- 3) / (- 6) \u003d 1/2.

Antworten:

a) log 6 216 \u003d 3, b) , c) log 0,000001 0,001 \u003d 1/2.

In komplexeren Fällen müssen die Zahlengrade hervorgehoben werden.

Beispiel.

Konvertieren Sie den Ausdruck in eine einfachere Art von Protokoll 3 648 · log 2 3.

Entscheidung.

Mal sehen, was eine Zersetzung einer Anzahl von 648 pro einfachen Faktoren ist:

Das heißt, 648 \u003d 2 3 · 3 4. Auf diese Weise, protokoll 3 648 · Protokoll 2 3 \u003d log 3 (2 3 · 3 4) · log 2 3.

Nun transformiert der Logarithmus von Werken in der Menge an Logarithmen, wonach die Eigenschaften des Logarithmus des Grades anwendbar sind:
log 3 (2 3 · 3 4) · log 2 3 \u003d (log 3 2 3 + log 3 3 4) · log 2 3 \u003d
\u003d (3 · · log 3 2 + 4) · log 2 3.

Aufgrund der Untersuchung des Eigentums des Logarithmus, an den die Formel verantwortlich ist Das Produkt log32 · log23 ist eine Arbeit, und es ist bekannt, einer zu sein. In Anbetracht dessen, dass wir es bekommen, bekommen wir 3 · · log 3 2 · log 2 3 + 4 · log 2 3 \u003d 3 · 1 + 4 · log 2 3 \u003d 3 + 4 · log 2 3 3.

Antworten:

log 3 648 · log 2 3 \u003d 3 + 4 · log 2 3 3.

Häufig sind Ausdrücke im Rahmen des Logarithmus-Zeichens und in seiner Grundlage Arbeiten oder Verhältnisse von Wurzeln und / oder Grad von zahlreichen Zahlen. Solche Ausdrücke können als Grad dargestellt werden. Dafür ist der Übergang von Wurzeln bis zum Abschluss und angewendet. Mit diesen Konvertierungen können Sie Abschlüsse unter dem Logarithmus-Zeichen und in der Basis hervorheben, wonach Sie die Eigenschaften von Logarithmen anwenden.

Beispiel.

Berechnen: a) , b).

Entscheidung.

a) Der Ausdruck an der Basis des Logarithmus ist das Produkt von Grad mit den gleichen Basen, je nach der geeigneten Eigenschaft von Grade, die wir haben 5 2 · 5 -0,5 · 5 -1 \u003d 5 2-0,5-1 \u003d 5 0,5.

Jetzt verwandeln wir den Fraktion unter dem Zeichen des Logarithmus: Wir wenden sich von der Wurzel in den Grad, danach werden wir die Eigenschaft von Grad mit demselben Gelände verwenden: .

Es bleibt, die in den anfänglichen Ausdruck erhaltenen Ergebnisse zu ersetzen, verwenden Sie die Formel und beenden Sie Transformationen:

b) Seit 729 \u003d 3 6 und 1/9 \u003d 3 -2 kann der anfängliche Ausdruck in der Form neu geschrieben werden.

Wenden Sie als nächstes die Eigenschaft der Wurzel aus dem Grad an, führen wir den Übergang von der Wurzel in den Grad aus und verwenden Sie die Eigenschaft der Grad-Ratio, um den Logarithmus in den Grad umzuwandeln: .

In Anbetracht des letzten Ergebnisses haben wir .

Antworten:

aber) , b).

Es ist klar, dass im Allgemeinen die Abschlüsse unter dem Vorzeichen des Logarithmus erhalten, und in seiner Gründung können verschiedene Transformationen verschiedener Ausdrücke erforderlich sein. Wir geben ein paar Beispiele.

Beispiel.

Was ist der Wert des Ausdrucks: a) b) .

Entscheidung.

Daher beachten wir, dass der angegebene Expression die Form des Protokolls A B P aufweist, wobei a \u003d 2, b \u003d x + 1 und p \u003d 4 ist. Numerische Ausdrücke dieser Art Wir wurden von der Eigenschaft des Logarithmus des Umfangs des Protokolls ABP \u003d P · log AB umgewandelt, daher möchte ich mit einem bestimmten Ausdruck dasselbe tun, und von log 2 (x + 1) 4 Gehen Sie zu 4 · Log 2 (x + 1). Nun berechnen wir den Wert des anfänglichen Ausdrucks und den nach der Transformation erhaltenen Expression beispielsweise mit x \u003d -2. Protokoll 2 (-2 + 1) 4 \u003d log 2 1 \u003d 0 und 4 · log 2 (-2 + 1) \u003d 4 · log 2 (-1) - Nicht bedeutet Ausdruck. Dies verursacht eine natürliche Frage: "Was haben wir falsch gemacht"?

Der Grund ist wie folgt: Wir haben das Transformationsprotokoll 2 (x + 1) 4 \u003d 4 · log 2 (x + 1) durchgeführt, basierend auf dem Formel-Protokoll ABP \u003d P · · PH-AB, aber wir haben das Recht, dies anzuwenden Formel nur, wenn der Zustand A\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, p - beliebige gültige Zahl. Das heißt, die von uns geleistete Umwandlung erfolgt, wenn x + 1\u003e 0, das gleich X\u003e -1 (für A und P - die Bedingungen erfolgen) ist. In unserem Fall besteht jedoch die OTZ-Variable X für den anfänglichen Ausdruck nicht nur aus dem Intervall X\u003e -1, sondern auch aus der Periode x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Die Notwendigkeit berücksichtigen ...

Wir werden die Umwandlung des Protokolls 2 (x + 1) 4 ausgewählte Ausdrücke von uns fortsetzen, und nun sehen wir, was mit OTZ passiert, wenn er in Expression 4 · log 2 (x + 1) bewegt. Im vorherigen Absatz haben wir auch den Quelldruck gefunden - dies ist ein Set (-∞, -1) ∪ (-1, + ∞). Jetzt finden wir den Bereich der zulässigen Werte der Variablen X für Expression 4 · log 2 (x + 1). Es wird durch den Zustand X + 1\u003e 0 bestimmt, der dem Set (-1, + ∞) entspricht. Natürlich tritt beim Bewegen von Protokoll 2 (x + 1) 4 bis 4 · log 2 (x + 1) auf, der Bereich der gültigen Werte auf. Und wir stimmten einverstanden, um Transformationen zu vermeiden, die zur Verengung von OTZ führen, da dies zu verschiedenen negativen Folgen führen kann.

Es ist erwähnenswert, dass es hier ist, dass es nützlich ist, den Otz in jedem Schritt der Transformation zu steuern und das Verengung zu verhindern. Und wenn plötzlich in einem beliebigen Stadium der Transformation eine Verengung der Ost, dann ist es wert, sehr sorgfältig auszusehen, und ob diese Transformation zulässig ist und ob wir das Recht haben, es auszuführen.

Nehmen wir zum Beispiel an, dass es in der Praxis normalerweise notwendig ist, mit Ausdrücken zu arbeiten, deren OTZ-Variablen so ist, dass bei der Durchführung von Transformationen die Eigenschaften von Logarithmen ohne Einschränkungen in dem bereits bekannten Formular, und beide von links bis rechts und rechts nach links. Sie werden sich schnell daran gewöhnen, und Sie fangen an, Transformationen mechanisch auszuführen, ohne zu denken, und ob es möglich war, sie durchzuführen. Und bei solchen Momenten, als entladener, Slipper komplexere Beispiele, in denen der ungenaukalende Einsatz der Eigenschaften von Logarithmen zu Fehlern führt. Sie müssen also immer auf einem Scheck sein und folgen, dass es keine Verengung von Otz gibt.

Es schadet nicht separat, die Haupttransformationen basierend auf den Eigenschaften der Eigenschaften von Logarithmen auszuwählen, die sehr sorgfältig durchgeführt werden müssen, was zu einer Verengung von OTZ führen kann, und als Ergebnis - auf Fehler:

Einige Umwandlungen von Ausdrücken gemäß den Eigenschaften von Logarithmen können zur inversen - Erweiterung von Otz führen. Beispielsweise erweitert der Übergang von 4 · · · · · · · · · · · · · · · x + 1) 4 ungerade aus dem Satz (-1, + ∞) bis (-∞, -1) ∪ (-1, + ∞). Solche Transformationen treten auf, wenn sie innerhalb des ODZD für den anfänglichen Ausdruck bleiben. So erfolgt die einzige genannte Umwandlung 4 · log 2 (x + 1) \u003d log 2 (x + 1) 4 auf der otz-Variablen x für den ursprünglichen Ausdruck 4 · log 2 (x + 1), das heißt mit x + 1\u003e 0, was dasselbe ist (-1, + ∞).

Nun, da wir die Nuancen besprochen haben, für die Sie die Umwandlung von Ausdrücken mit Variablen mit den Eigenschaften von Logarithmen beachten müssen, bleibt er herausfinden, wie korrekt diese Transformationen durchgeführt werden müssen.

X + 2\u003e 0. Funktioniert es in unserem Fall? Um diese Frage zu beantworten, werfen Sie einen Blick auf die OTZ-Variable X. Es wird vom Ungleichungssystem bestimmt das entspricht dem Zustand x + 2\u003e 0 (falls erforderlich, siehe Artikel lösen von Systemen der Ungleichheit). So können wir das Logarithmus-Eigentum ruhig anwenden.

Haben
3 · lg (x + 2) 7 -lg (x + 2) -5 · lg (x + 2) 4 \u003d
\u003d 3 · 7 · lg (x + 2) -lg (x + 2) -5 · 4 · lg (x + 2) \u003d
\u003d 21 · lg (x + 2) -lg (x + 2) -20 · lg (x + 2) \u003d
\u003d (21-1-20) · lg (x + 2) \u003d 0.

Sie können handeln und ansonsten, der Nutzen von Otz, ermöglicht es beispielsweise:

Antworten:

3 · Lg (x + 2) 7 -lg (x + 2) -5 · lg (x + 2) 4 \u003d 0.

Und was tun, wenn die Bedingungen für die Begleiteigenschaften von Logarithmen nicht zufrieden sind? Wir werden mit diesem in den Beispielen umgehen.

Angenommen, von uns zu vereinfachen, um den Ausdruck LG (x + 2) 4 -lg (x + 2) 2 zu vereinfachen. Die Umwandlung dieses Ausdrucks im Gegensatz zum Ausdruck aus dem vorherigen Beispiel erlaubt das Protokoll des Logarithmus-Grads nicht. Warum? OTZ-Variable X ist in diesem Fall eine Kombination von zwei Lücken x\u003e -2 und x<−2 . При x>-2 Wir können das Logarithmus-Eigentum ruhig anwenden und als zerfütterte oben auftragen: lg (x + 2) 4 -lg (x + 2) 2 \u003d 4 · lg (x + 2) -2 · lg (x + 2) \u003d 2 · lg (x + 2). Aber OTZ enthält einen weiteren Zeitraum von x + 2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к lG (- | x + 2 |) 4 -lg (- | x + 2 |) 2 Und weiter durch Kraft der Grad-Eigenschaften bis LG | x + 2 | 4 -lg | x + 2 | 2 Der resultierende Ausdruck kann von der Logarithmus-Eigenschaft umgewandelt werden, da X + 2 |\u003e 0 für alle Werte der Variablen ist. Haben lg | x + 2 | 4 -lg | x + 2 | 2 \u003d 4 · LG | x + 2 | -2 · lg | x + 2 | \u003d 2 · Lg | x + 2 |. Jetzt können Sie sich vom Modul befreien, da er seinen Job gemacht hat. Da wir mit x + 2 Umwandlung führen<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Betrachten Sie ein anderes Beispiel, damit die Arbeit mit Modulen vertraut ist. Lassen Sie uns vom Ausdruck konzipiert sein Gehen Sie in die Summe und den Unterschied zwischen den Logarithmen der linearen Bounken X-1, X-2 und X-3. Zuerst finden wir ...

Im Intervall (3, + ∞) sind die Werte der Ausdrücke X-1, X-2 und X-3 positiv, so dass wir die Eigenschaften des Logarithmus von Summen und Unterschieden ruhig anwenden:

Und auf dem Intervall (1, 2) sind die Werte des Expressions X-1 positiv, und die Werte der Ausdrücke X-2 und X-3 sind negativ. Daher präsentieren wir in dem unter Berücksichtigen Intervall X-2 und X-3 mit dem Modul wie - | x-2 | und - | x-3 | beziehungsweise. Dabei

Jetzt können Sie die Eigenschaften des Logarithmus der Arbeit und des Privatbereichs anwenden, da auf dem Intervall (1, 2) die Werte der Ausdrücke X-1, | X-2 | und | x-3 | - positiv.

Haben

Die Ergebnisse können kombiniert werden:

Im Allgemeinen ermöglichen ähnliche Argumente die Logarithmus-Formeln auf der Grundlage des Logarithmus, der Beziehungen und der Grade, um drei praktisch nützliche Ergebnisse zu erhalten, die ziemlich praktisch sind, um zu verwenden:

Der Logarithmus-Werke von zwei beliebigen Ausdrücken X und Y der Art des Protokolls A (x · y) kann durch die zusammenfassbaren Logarithmen ersetzt werden. Log a | x | + log a | y | , A\u003e 0, a ≠ 1.
Logarithmus Privatprotokoll A (x: y) kann durch den Unterschied zwischen den Logarithmen log a | x | -Log A | y | A\u003e 0, A ≠ 1, X und Y - willkürliche Ausdrücke.
Vom Logarithmus einiger Expression B in einem sogar grad p des log a b p-Formulars können Sie zum Ausdruck p · log a | b | , wobei A\u003e 0, a ≠ 1, p eine gerade Zahl und b - ein beliebiger Ausdruck ist.

Ähnliche Ergebnisse sind beispielsweise in Anweisungen gegeben, um indikative und logarithmische Gleichungen in der Sammlung von Problemen in der Mathematik für Bewerber an Universitäten unter den Redakteuren von M. I. scanavi zu lösen.

Beispiel.

Vereinfachen Sie den Ausdruck .

Entscheidung.

Es wäre gut, die Eigenschaften des Logarithmus, der Beträge und der Unterschiede anzuwenden. Aber können wir es hier tun? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir OTZ kennen.

Wir definieren es:

Es ist eher offensichtlich, dass die Ausdrücke x + 4, x-2 und (x + 4) 13 auf den Werten der zulässigen Werte der Variablen X sowohl positive als auch negative Werte ergreifen können. Daher müssen wir durch Module handeln.

Die Eigenschaften des Moduls ermöglichen es Ihnen, denn, also

Auch nichts verhindert von der Eigenschaft des Logarithmus-Abschlusses, dann bringen Sie ähnliche Begriffe auf:

Die andere Reihenfolge von Transformationen führt zum gleichen Ergebnis:

und da der Ausdruck X-2 sowohl positive als auch negative Werte ergreifen kann, dann, wenn Sie eine gleichmäßige Grad-Rate von 14 einreichen

Transnistrian State University.

sie. T.g. Shevchenko.

Fakultät für Physik und Mathematik

Abteilung für mathematische Analyse

und Methoden des Unterrichts der Mathematik

KURSARBEIT

"Die identischen Transformationen

anzeige und logarithmisch.

ausdrücke "

Arbeit abgeschlossen:

student _______ Gruppe.

körperliche und mathematische F-TA

_________________________

Arbeitskontrolle:

_________________________

Tiraspol, 2003.

Einführung ................................................. ............................. 2.

Kapitel 1. Identische Transformationen und Unterrichtstechniken im Schulkurs Algebra und Startanalyse……………………………………..4

§einer. Bildung von Fähigkeiten, bestimmte Arten von Transformationen anzuwenden ......................................... .................................................. ........... 4.

§2. Merkmale der Organisation des Wissenssystems beim Studieren identischer Transformationen. ......................................................... ......................5.

§3. Programm in der Mathematik .............................................. 11

Kapitel 2. Identische Konvertierungen und Berechnungen von indikativen und logarithmischen Ausdrücken……………………………...…………………13

§einer. Verallgemeinerung des Konzepts des Grades ............................................ .. 13.

§2. Indikative Funktion .................................................. ..fünfzehn

§3. Logarithmische Funktion .............................................. 16

Kapitel 3. Identische Transformationen von indikativen und logarithmischen Ausdrücken in der Praxis..........................................................................19

Fazit ................................................. ..........................24.

Liste der gebrauchten Literatur ............................................ .25
Einführung

In diesem Kurs werden die identischen Transformationen der indikativen und logarithmischen Funktion in Betracht gezogen, die Methodik, sie im Schuljahr von Algebra und den Beginn der Analyse zu unterrichten.

Das erste Kapitel dieser Arbeit beschreibt die Methodik, um identische Umwandlungen im Schullauf der Mathematik zu unterrichten, auch das Programm in Mathematik im Verlauf der Algebra und den Beginn der Analyse "mit dem Studium der indikativen und logarithmischen Funktion.

Das zweite Kapitel berücksichtigt direkt die sehr indikativen und logarithmischen Funktionen, wobei ihre Haupteigenschaften für identische Umwandlungen verwendet werden.

Das dritte Kapitel ist die Lösung von Beispielen und Aufgaben mit den identischen Transformationen der indikativen und logarithmischen Funktion.

Die Untersuchung verschiedener Transformationen von Ausdrücke und Formeln nimmt einen erheblichen Teil der Studienzeit im Verlauf der Schulmathematik ein. Die einfachsten Transformationen, die auf den Eigenschaften von arithmetischen Operationen basieren, werden bereits in der Grundschule und in IV-V-Klassen hergestellt. Die Hauptlast auf die Bildung der Fähigkeiten und die Fähigkeiten der Transformation tragen jedoch einen Schulverlauf der Algebra. Dies ist auf einen starken Anstieg der Anzahl und der Vielfalt der durchgeführten Transformationen und der Komplikation von Tätigkeiten zurückzuführen, um die Anwendungsbedingungen mit der Zuteilung und Untersuchung der generalisierten Konzepte der Identität, der identischen Transformation, der äquivalenten Transformation, logisch zu leisten und zu klären Retention.

Die Kultur der Umsetzung identischer Transformationen entwickelt sich auf dieselbe Weise wie die Kultur der Berechnungen, basierend auf dem starken Kenntnis der Eigenschaften von Operationen auf Objekten (Zahlen, Vektoren, Polynomen usw.) und deren Ausführungsalgorithmen. Es manifestiert sich nicht nur in der Fähigkeit, Transformationen zu unterrichten, sondern auch in der Fähigkeit, den kürzesten Übergangspfad vom ursprünglichen analytischen Ausdruck des Ausdrucks zu finden, das angemessenste Ziel der Transformation, in der Fähigkeit, die Änderung in zu verfolgen Der Bereich der Bestimmung analytischer Ausdrücke in der Kette identischer Transformationen in der Geschwindigkeit und dem Fehler der Transformationen.

Um eine hohe Kultur von Rechenkultur und identischen Transformationen zu gewährleisten, ist ein wichtiges Problem, Mathematik zu lernen. Dieses Problem ist jedoch immer noch nicht zufriedenstellend. Beweis dafür - statistische Daten der öffentlichen Bildungsstellen, in denen Fehlern und irrationale Techniken von Berechnungen und Transformationen, die von Studierenden verschiedener Klassen, jährlich erlaubt sind, von Studenten aus verschiedenen Klassen dürfen, wenn Sie Tests durchführen. Dies wird von den Bewertungen der höheren Bildungseinrichtungen über die Qualität mathematischer Kenntnisse und Fähigkeiten von Antragstellern bestätigt. Es ist unmöglich, den Schlussfolgerungen der öffentlichen Bildungsbehörden und Universitäten nicht zuzustimmen, dass das unzureichend hohe kulturelle Berechnungen und identische Umwandlungen in der High School eine Folge des Formalismus im Wissen der Schüler, der Trennen der Praxis trennen kann.

Kapitel 1.

Identische Transformationen und Unterrichtstechniken

im Schuljahr Algebra und dem Beginn der Analyse.

§einer. Bildung von Anwendungsfähigkeiten

spezifische Arten konvertieren.düsen.

Das Rezeptionssystem und die in der Bühne eingesetzten Transformationsregeln begannen Algebra, verfügt über einen sehr großen Anwendungsbereich: Es wird in der Untersuchung des gesamten Muts der Mathematik verwendet. Es ist jedoch genau auf ihre geringe Spezifität, dass dieses System zusätzliche Transformationen erfordert, die die Eigenschaften der Struktur der transformierten Ausdrücke und die Eigenschaften der Neueingabeoperationen und Funktionen berücksichtigen. Die Entwicklung der entsprechenden Transformationsarten beginnt mit der Einführung der Formeln der abgekürzten Multiplikation. Dann gibt es um Konstruktionsvorgänge mit dem Baubetrieb in einem Grad, mit unterschiedlichen Klassen von Elementarfunktionen - Indikativ, Leistung, logarithmisch, trigonometrisch. Jede dieser Arten von Transformationen gibt den Studienschritt, der sich auf die Assimilation ihrer charakteristischen Merkmale konzentriert.

Da sich das Material ansammelt, ist es möglich, allgemeine Merkmale aller berücksichtigten Umwandlung und auf dieser Grundlage zuzuteilen, um die Konzepte identischer und äquivalenter Transformationen einzuführen.

Es sollte darauf zurückhaltet werden, dass das Konzept der identischen Transformation im Schuljahr Algebra nicht in der vollen Gemeinschaft enthalten ist, sondern nur in Antrag auf Ausdrücke. Transformationen sind in zwei Klassen unterteilt: identische Konvertierungen sind Transformationen von Ausdrücken und gleichwertigen - Transformationen von Formeln. In dem Fall, wenn die Notwendigkeit, einen Teil der Formel zu vereinfachen, wird in dieser Formel die Expression bereitgestellt, die als Argument der angewendeten Identitätskonvertierung dient. Das entsprechende Prädikat wird als unverändert angesehen.

Hinsichtlich organisation eines ganzheitlichen Transformationssystems(Synthese)Das Hauptziel ist die Bildung flexibler und kraftvoll; Ein Gerät, das zur Lösung einer Vielzahl von Lernaufgaben geeignet ist.

Im Zuge von Algebra und begann Analyse, ein ganzheitliches System von Transformationen, in den bereits gebildeten Hauptmerkmale, verbessert sich weiterhin weiter. Es fügt auch einige neue Arten von Transformationen hinzu, aber sie bereichern es nur, erweitern seine Fähigkeiten, ändern jedoch nicht seine Struktur. Die Methode des Studiums dieser neuen Transformationen ist praktisch nicht anders als der Algebra.

§2. Merkmale der Organisationjobsysteme

beim Studium identischer Transformationen.

Das Grundprinzip der Organisation eines beliebigen Aufgabensystems ist es, sie von einfach zu komplexen zu präsentieren, unter Berücksichtigung der Notwendigkeit, die Schüler der Immobilienschwierigkeiten zu überwinden und Problemsituationen zu schaffen. Das angegebene Grundprinzip erfordert Spezifikation in Bezug auf die Besonderheiten dieses Bildungsmaterials. Um verschiedene Aufgabensysteme in der Mathematik-Methode zu beschreiben, wird das Konzept verwendet. Übungszyklen.Der Übungszyklus ist durch eine Verbindung in der Reihenfolge der Ausübung mehrerer Aspekte der Studie und Verfahren des Ortes des Materials gekennzeichnet. In Bezug auf identische Umwandlungen kann die Ansicht des Zyklus wie folgt gegeben werden.

Der Übungszyklus ist mit der Untersuchung einer Identität verbunden, um die andere Identitäten gruppiert sind, die in natürlicher Kommunikation sind. Die Zusammensetzung des Zyklus umfasst zusammen mit der Exekutive Aufgaben, die Anerkennung der Anwendbarkeit der unter Berücksichtigung der Identität erfordern. Die untersuchte Identität dient zur Durchführung von Berechnungen in verschiedenen numerischen Bereichen. Die Spezifität der Identität wird berücksichtigt. Insbesondere werden die damit verbundenen Umdrehungen organisiert.

Aufgaben in jedem Zyklus sind in zwei Gruppen unterteilt. Die erste enthaltene Aufgaben, die an der anfänglichen Bekanntschaft mit der Identität durchgeführt wurden. Sie dienen als Lehrmaterial für mehrere Laufen in einer Reihe von Lektionen, die mit einem Thema kombiniert werden. Die zweite Übungsgruppe verbindet die untersuchte Identität mit verschiedenen Anwendungen. Diese Gruppe bildet keine zusammengesetzte Einheit - Übungen sind hier auf verschiedenen Themen verstreut.

Die beschriebene Struktur des Zyklus bezieht sich auf die Bühne der Bildung der Fähigkeiten, um bestimmte Arten von Transformationen anzuwenden. In der Endphase wird die Synthese der Zyklenstufe modifiziert. Zunächst werden beide Gruppen von Aufgaben, die den "bereitgestellten" Zyklus bilden, kombiniert, und von der ersten Gruppe sind die einfachsten Formulierungen oder die Komplexität der Aufgabe ausgeschlossen. Die übrigen Arten von Aufgaben sind kompliziert. Zweitens die Fusion von Zyklen, die zu verschiedenen Identitäten gehören, was die Rolle von Maßnahmen erhöht, um die Anwendbarkeit einer bestimmten Identität zu erkennen.

Beachten Sie die Funktionen der Taskzyklen, die mit Identitäten für Elementarfunktionen verbunden sind. Diese Funktionen sind auf die Tatsache zurückzuführen, dass die entsprechenden Identitäten zunächst in Verbindung mit der Untersuchung des funktionalen Materials untersucht werden, und zweitens erscheinen sie später die Identitäten der ersten Gruppe und werden unter Verwendung der bereits gebildeten Fähigkeiten identischer Transformationen untersucht.

Jede neu eingegebene Elementarfunktion erweitert den Bereich der Zahlen, die benannt werden können, und werden einzeln benannt. Daher sollte die erste Gruppe von Tasks von Zyklen eine Aufgabe enthalten, um die Verbindung dieser neuen numerischen Bereichen mit dem Quellbereich rationaler Zahlen herzustellen. Wir geben Beispiele für solche Aufgaben an.

Beispiel 1. . Berechnung:

Neben jedem Ausdruck ist die Identität in Zyklen, auf denen die vorgeschlagenen Aufgaben vorhanden sein können. Der Zweck solcher Aufgaben besteht darin, die Merkmale von Datensätzen zu beherrschen, die Symbole neuer Operationen und Funktionen enthalten, sowie in der Entwicklung mathematischer Sprachkenntnisse.

Ein erheblicher Teil der Verwendung von identischen Umwandlungen, die mit Elementarfunktionen verbunden sind, wird durch die Lösung irrationaler und transzendentaler Gleichungen berücksichtigt. Die Zyklen, die sich auf die Absorption von Identitäten beziehen, umfassen nur die einfachsten Gleichungen, es ist jedoch bereits ratsam, an der Assimilation der Zulassung zur Lösung solcher Gleichungen zu arbeiten: reduzieren, indem er das Unbekannte ersetzt, der der algebraischen Gleichung ersetzt wird.

Die Reihenfolge der Schritte in diesem Lösungsmethode ist wie folgt:

a) Finden Sie eine Funktion, für die diese Gleichung in der Form präsentiert wird;

b) Ersetzen und lösen Sie die Gleichung;

c) Lösen Sie jede der Gleichungen, in denen - der Satz der Wurzeln der Gleichung.

Bei Verwendung des beschriebenen Verfahrens wird häufig Schritt b) in einem impliziten Form durchgeführt, ohne die Einführung der Notation für. Darüber hinaus bevorzugen die Studierenden oft aus verschiedenen Wegen, die zum Finden einer Antwort führen, wählen Sie, was schneller ist und leichter zu einer algebraischen Gleichung führt.

Beispiel 2. . Gleichung lösen.

Der erste Weg:

Der zweite Weg:

Hier ist klar, dass mit dem ersten Weg ein Schritt a) komplizierter ist als bei der zweiten. Der erste Weg ist "schwieriger zu starten", obwohl die fortgesetzte Entscheidung der Lösung viel einfacher ist. Andererseits gibt es in der zweiten Methode Vorteile, die aus größerer Leichtigkeit bestehend sind, größere Anstrengungen bei der Unterrichtsinformation für eine algebraische Gleichung.

Für das Schuljahr ist Algebra, typisch für die Aufgaben, in der der Übergang zu einer algebraischen Gleichung noch einfacher ist als in diesem Beispiel. Die Hauptlast solcher Aufgaben betrifft die Auswahl eines Schritts b) als unabhängiger Teil des Lösungsprozesses, der mit der Verwendung der Eigenschaften der untersuchten Elementarfunktion verbunden ist.

Beispiel 3. . Gleichung lösen:

Diese Gleichungen werden auf Gleichungen reduziert: a) oder; b) oder. Um diese Gleichungen zu lösen, erfordert das Wissen nur die einfachsten Fakten zur Indikativfunktion: Seine Monotonie, der Wertebereich. Neben der Aufgabe des vorherigen Beispiels, der Gleichungen a) und b) können der ersten Gruppe des Übungszyklus der Übungsgruppe zugeschrieben werden, um quadratische untere Gleichungen zu lösen.

Daher kommen wir zur Klassifizierung von Aufgaben in Zyklen, die zur Lösung von transzendentalen Gleichungen gehören, die eine indikative Funktion umfassen:

1) Gleichungen reduziert auf die Gleichungen des Formulars und haben eine einfache, gemeinsame Antwort in Form:;

2) Gleichungen wurden auf Gleichungen reduziert, wobei - eine ganze Zahl oder wo;

3) Gleichungen reduziert auf Gleichungen und erfordern eine explizite Analyse des Formulars, in dem die Anzahl aufgenommen wird .

In ähnlicher Weise können Sie Aufgaben für andere Elementarfunktionen klassifizieren.

Ein erheblicher Teil der Identitäten, die in den Kursen von Algebra und Algebra studiert und begannen, die Analyse begann, bewiesen oder zumindest erklärt. Diese Seite der Untersuchung der Identität ist für beide Kurse von großer Bedeutung, da die Argumente des Beweises mit der größten Klarheit und der Schwere genau in Bezug auf Identitäten durchgeführt werden. Außerhalb dieses Materials ist die Beweise in der Regel weniger vollständig, sie werden nicht immer aus der Zusammensetzung der angewendeten Mittel zugewiesen.

Als Unterstützung, auf der der Nachweis von Identitäten gebaut wird, werden die Eigenschaften von Arithmetikoperationen verwendet.

Die pädagogischen Auswirkungen von Berechnungen und identischen Umwandlungen können auf die Entwicklung des logischen Denkens ausgerichtet sein, es sei denn, die Studierenden erfordern systematisch die Rationale für Berechnungen und identische Transformationen, auf die Entwicklung des funktionalen Denkens, der durch verschiedene Wege erreicht wird. Es ist absolut offensichtlich, die Wichtigkeit von Berechnungen und identischen Umwandlungen in der Entwicklung von Willen, Speicher, Intelligenz, Selbstkontrolle, kreativer Initiative.

Anfragen für Haushalt, industrielle Rechenverwaltungen erfordern die Bildung starker, automatisierter Fähigkeiten rationaler Berechnungen und identische Transformationen. Diese Fähigkeiten werden im Prozess jeder Rechenarbeit produziert, doch sind spezielle Trainingsübungen in Fast Computing und Transformationen erforderlich.

Wenn also die Lektion angenommen wird, dass es angenommen wird, logarithmische Gleichungen mithilfe der wichtigsten logarithmischen Identität zu lösen, ist es in dem Unterrichtsplan nützlich, mündliche Übungen zur Vereinfachung oder Berechnung der Werte von Ausdrücken: ,,,,. Der Zweck der Übungen wird immer den Studenten gemeldet. Während der Ausführung der Übung kann es erforderlich sein, die Schüler dazu zu erfordern, einzelne Transformationen, Aktionen oder Lösen der gesamten Aufgabe, auch wenn es nicht geplant war. Wenn verschiedene Arten der Lösung des Problems möglich sind, ist es ratsam, immer Fragen zu stellen: "Wie ist die Aufgabe, die Aufgabe gelöst?", ", Der die Aufgabe auf andere Weise gelöst hat?"

Die Konzepte der Identitäts- und Identitätsumwandlung werden im Verlauf der Klasse Algebras eindeutig eingeführt. Die Bestimmung identischer Ausdrücke kann nicht praktisch verwendet werden, um die Identität von zwei Ausdrücke zu beweisen, und es versteht sich, dass das Wesen identischer Umwandlungen auf den Ausdruck von Definitionen und Eigenschaften der in der Expression angegebenen Aktionen angewendet werden soll, oder in Ergänzung dazu, identisch gleich 0 oder in der Multiplikation davon an den Ausdruck, der identisch gleich ist. Aber auch diese Bestimmungen gelernt haben, verstehen die Schüler oft nicht, warum diese Transformationen darauf hindeutet, dass der anfängliche und erhaltene Ausdruck identisch ist, d. H. Nehmen Sie die gleichen Werte für alle Systeme (Sets) von variablen Werten an.

Es ist auch wichtig zu erreichen, dass die Schüler gut verstehen würden, dass solche Schlussfolgerungen identischer Transformationen die Folgen der Definitionen und Eigenschaften der relevanten Maßnahmen sind.

Die in den vergangenen Jahren angesammelten Vorrichtung von identischen Umwandlungen in der VI-Klasse dehnt sich aus. Diese Erweiterung beginnt mit der Einführung der Identität, die das Eigentum der Arbeit der Grade mit den gleichen Basen ausdrückt: wo, - ganze Zahlen.

§3. Programm in der Mathematik.

Im Schulkurs "Algebra und Beginn der Analyse" studieren die Studierenden systematisch die indikativen und logarithmischen Funktionen und ihre Eigenschaften, identische Umwandlungen logarithmischer und indikativer Ausdrücke und deren Verwendung, um die entsprechenden Gleichungen und Ungleichheiten zu lösen, die mit den Grundkonzepten vertraut sind, Vorwürfe

In der XI-Klasse blättert die Lektionen von Algebra 3 Stunden pro Woche, alles wird 102 Stunden im Jahr heraus. Das Studium einer indikativen, logarithmischen und Stromfunktion im Programm dauert 36 Stunden.

Das Programm beinhaltet die Berücksichtigung und Untersuchung der folgenden Probleme:

Das Konzept des Grades mit einem rationalen Indikator. Die Lösung irrationaler Gleichungen. Anzeigefunktion, Eigenschaften und Grafik. identische Transformationen von indikativen Ausdrücken. Lösung von indikativen Gleichungen und Ungleichungen. Logarithmus-Zahlen. Die wichtigsten Eigenschaften von Logarithmen. Logarithmische Funktion, seine Eigenschaften und Grafik. Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen. Derivative indikative Funktion. Anzahl und natürlicher Logarithmus. Das Derivat der Leistungsfunktion.

Der Hauptzweck der Studie der exponentiellen und logarithmischen Funktion besteht darin, die Schüler mit einer indikativen, logarithmischen und Stromfunktion vertraut zu machen; Lernen Sie den Schülern, indikative und logarithmische Gleichungen und Ungleichungen zu lösen.

Die Konzepte des Wurzelgrades und der Grad mit einem rationalen Indikator sind eine Verallgemeinerung der Konzepte einer Quadratwurzel und einen Grad mit einer Ganzzahl. Die Aufmerksamkeit der Studierenden sollte bezahlt werden, dass die Eigenschaften von Wurzeln und Grad mit einem rationalen Indikator denjenigen Eigenschaften ähneln, die zuvor quadratische Wurzeln und Grade mit ganzzahligen Indikatoren untersucht haben. Es ist notwendig, genügend Zeit zu zahlen, um die Eigenschaften von Grad und die Bildung identischer Umwandlungen auszuarbeiten. Das Konzept des Grades mit dem irrationalen Indikator wird auf klar intuitive Basis eingeführt. Dieses Material spielt die Hilfsrolle und wird beim Einführen einer indikativen Funktion verwendet.

Die Untersuchung der Eigenschaften einer indikativen, logarithmischen und Stromfunktion wird gemäß dem angenommenen allgemeinen Studienschema der Funktionen erstellt. In diesem Fall ist die Eigenschaftenübersicht abhängig von den Parameterwerten angegeben. Indikativ- und logarithmische Ungleichheiten werden mit einer Unterstützung für die untersuchten Eigenschaften von Funktionen gelöst.

Das charakteristische Merkmal des Kurses ist die Systematisierung und Verallgemeinerung von Wissenskenntnissen, der Konsolidierung und Entwicklung von Fähigkeiten und Fähigkeiten, die im Verlauf der Algebra erhalten werden, was sowohl in der Untersuchung des neuen Materials als auch bei der Durchführung einer Verallgemeinerungswiederholung durchgeführt wird.
Kapitel 2.

Identische Konvertierungen und Berechnungen

indikativ- und logarithmische Ausdrücke

§einer. Verallgemeinerung des Konzepts des Grades.

Definition:Ein Wurzelgrad von Chista ist eine solche Anzahl, deren Grad jedoch gleich ist.

Gemäß dieser Definition ist der Wurzelgrad die Lösung der Gleichung. Die Anzahl der Wurzeln dieser Gleichung hängt von und ab. Betrachten Sie eine Funktion. Wie Sie wissen, nimmt diese Funktion in diesem Intervall mit jedem zu und nimmt alle Werte aus der Lücke an. Am Wurzelsatz hat die Gleichung für jeden eine nicht negative Wurzel und gleichzeitig nur eins. Sein Name ist ein arithmetischer Wurzelgrad aus unter und bedeuten; Die Nummer wird aufgerufen wurzelanzeiger.und die Zahl selbst guardian-Ausdruck. Das Zeichen wird als gleiche radikale bezeichnet.

Definition: Ein arithmetischer Wurzelgrad aus unter Sie rufen eine nicht negative Zahl an, aber der Grad ist gleich.

Mit sogar Funktion ist sogar. Es folgt, dass, wenn die Gleichung, außer der Wurzel, auch root ist. Wenn, dann ist die Wurzel eins :; Wenn diese Gleichung nicht die Wurzeln hat, da der gleichmäßige Grad einer beliebigen Zahl nicht negativ ist.

Mit ungeraden Werten nimmt die Funktion auf der gesamten numerischen Zeile zu; Der Bereich der Werte ist ein Satz aller gültigen Nummern. Anwenden des Satzes an der Wurzel, wir finden, dass die Gleichung an jedem und insbesondere wann eine Wurzel hat. Diese Wurzel ist für jede Bedeutung bezeichnet.

Für die Wurzeln einer ungeraden Grad-Fair-Gleichstellung. In der Tat, d. H. Die Zahl ist der Wurzel - und der Grad von. Aber so eine Wurzel mit einem ungeraden. Daher ,.

Anmerkung 1: Für irgendwelche gültigen

Erinnern Sie sich an die bekannten Eigenschaften von arithmetischen Wurzelwurzeln.

Für jede natürliche, ganze und nicht negative Ganzzahl und Gleichstellung sind fair:

Grad mit einem rationalen Indikator.

Der Ausdruck ist für alle und mit Ausnahme des Falls definiert. Erinnern Sie sich an die Eigenschaften solcher Grade.

Für alle Zahlen und alle Ganzzahlen und Gleichheit sind fair:

Wir notieren das Gleiche, wenn dann wann und an.

Definition: Der Nummerngrad mit einem rationalen Indikator, wo eine ganze Zahl ist, und - natürlich, namens Zahl.

Also per Definition.

Mit einer formulierten Definition eines Grads mit einem rationalen Indikator werden die wichtigsten Eigenschaften von Grad erhalten, für alle Indikatoren korrekt (der Unterschied besteht darin, dass die Eigenschaften nur für positive Gründe korrekt sind).

§2. Exponentialfunktion.

Definition: Formelfunktion (wo,), genannt anzeigefunktion mit Basis.

Wir formulieren die grundlegenden Eigenschaften der Anzeigenfunktion.

Funktionsgraph (Abb. 1)

Diese Formeln werden genannt die wichtigsten Eigenschaften von Grad.

Es kann auch darauf hingewiesen werden, dass die Funktion auf dem Satz gültiger Zahlen kontinuierlich ist.

§3. Logarithmische Funktion.

Definition: Logarithmus Zahlen, die auf dem Boden basieren, ist der Indikator des Grades, in dem die Basis errichtet werden sollte. Was würde eine Zahl bekommen?

Formel (wo und) anrufen die wichtigste logarithmische Identität.

Bei der Arbeit mit Logarithmen gelten die folgenden Eigenschaften für die Eigenschaften der Anzeigenfunktion:

Mit jedem( ) und jedes positive und gleiche:

5. Für irgendwelche gültigen.

Die Haupteigenschaften von Logarithmen werden während der Umwandlung von Ausdrücken, die Logarithmen enthalten, weit verbreitet. Beispielsweise wird die Übergangsformel von einer Basis des Logarithmus an einem anderen häufig verwendet :.

Lassen Sie eine positive Zahl sein, nicht gleich 1.

Definition: Die von der Formel angegebene Funktion wird aufgerufen logarithmische Funktion mit Basis.

Wir listen die grundlegenden Eigenschaften der logarithmischen Funktion auf.

1. Die Region der Bestimmung der logarithmischen Funktion ist der Satz aller positiven Zahlen, d. H. .

2. Der Bereich der Werte der logarithmischen Funktion ist der Satz aller gültigen Nummern.

3. Die logarithmische Funktion über den gesamten Definitionsbereich erhöht sich (wann) oder verringert sich (wann).

Funktionsdiagramm (Abb. 2)

Diagramme von indikativen und logarithmischen Funktionen mit derselben Basis, symmetrisch über direkte (Abb. 3).

Kapitel 3.

Identische Umwandlungen von Indikativ und

logarithmische Ausdrücke in der Praxis.

Übung 1.

Berechnung:

Entscheidung:

Antworten:; ; ; ; ; Wir bekommen das

Verfahren zur Bildung von Fähigkeiten in den Studierenden in der Untersuchung dieses Materials. Er stellte auch das Programm zur Mathematik vor, um den Verlauf einer indikativen und logarithmischen Funktion im Kurs "Algebra und den Beginn der Analyse" zu studieren.

Die Zeitung enthalten Aufgaben, verschiedene Komplexität und Inhalt mit identischen Umwandlungen. Diese Aufgaben können verwendet werden, um die Kontrolle oder unabhängige Arbeitstests des Wissens der Schüler durchzuführen.

Kursarbeit, meiner Meinung nach im Rahmen der Methodik der Unterrichtsmathematik in sekundären Bildungseinrichtungen und kann als visuelle Zulage für Schullehrer sowie für Studierende von Tag und Abwesenheitsabteilungen genutzt werden.

Referenzenliste:

Algebra- und Startanalyse. Ed. Kolmogorova a.n. M.: Erleuchtung, 1991
Programm für Sekundarschulen, Turnhallen, Lyceums. Mathematik 5-11 cl. M.: Tropfen, 2002.
WENN. Shadrygin, V.I. Golubev Optionaler Kurs in der Mathematik (Lösung von Aufgaben). Uch. Handbuch für 11 cl. M.: Erleuchtung, 1991
V.a. Oganesyan et al. Mathematische Unterrichtsmethodik in der High School: Allgemeine Technik; Tutorial für Studenten der physischen und Mathematik-Fakultät für pädagogische Institutionen. -2-E-Veröffentlichung recycelt und ergänzt. M.: Erleuchtung, 1980.
Cherkasov R.S., Stolyar A.A. Mathematikunterrichtstechnik in der High School. M.: Erleuchtung, 1985
Zeitschrift "Mathematik in der Schule".

Offene Lektion auf Algebra in 11 "b" Klasse

Themenstunde

"Transformation von Ausdrücken,

Logarithmen enthalten "

Ziele Lektion:

wiederholen Sie die Bestimmung der Logarithmus-Nummer, der wichtigsten logarithmischen Identität;

konsolidieren Sie die grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen;

stärken Sie die praktische Richtung dieses Themas für hochwertige Vorbereitung auf das Unt;

förderung des dauerhaften Mastering-Materials;

fördern Sie die Entwicklung von Selbstüberwachungsfähigkeiten in den Schülern.

Art der Lektion: Kombiniert mit einem interaktiven Test.

Ausstattung: Projektor, Bildschirm, Poster mit Aufgaben, Antwortenliste.

Unterrichtsplan:

Zeit organisieren.

Aktualisierung des Wissens.

Interaktiver Test.

"Turnier mit Logarithmen"

Aufgaben auf dem Lehrbuch lösen.

Zusammenfassen. Die Liste der Antworten ausfüllen.

Einschätzung.

Während der Klassen

1. Organisationsmoment.

2. Definition von Lektionszwecken.

Hallo Leute! Heute haben wir eine ungewöhnliche Lektion, eine Lektion ist ein Spiel, das wir in Form eines Turniers mit Logarithmen ausgeben werden.

Beginnen wir eine Lektion aus einem interaktiven Test.

3. Interaktiver Test:

4. Turnier mit Logarithmen:

Definition von Logarithmus.

Logarithmische Identitäten:

Vereinfachen:

Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Eigenschaften des Logarithmus .

Umwandlung:

Mit einem Lehrbuch arbeiten.

Zusammenfassen.

Die Schüler füllen ihre eigene Liste von Antworten.

Bewerben Sie sich für jede Antwort.

Einschätzung. Hausaufgaben. Anhang 1.

Sie haben heute in Logarithmen eingespuckelt,

Unverkennbar müssen berechnet werden.

In der Prüfung, natürlich wirst du sie treffen,

Es bleibt, Ihnen viel Erfolg zu wünschen!

ICH. Möglichkeit

a) 9. ½ \u003d 3; b) 7. 0 =1.

aber)log.8 \u003d 6; b)log.9=-2.

a) 1.7. log. 1,7 2 ; b) 2. log. 2 5 .

4. Berechnen:

aber) LG8 + LG125;

b.) Melden Sie sich an. 2 7-log. 2 7/16

im)log. 3 16 / log. 3 4.

II. Möglichkeit

1. Finden Sie den Logarithmus auf der Grundlage der in Form eines Abschlusses, der in Form eines Grads, der in der Grundlage von A:

a) 32. 1/5 \u003d 2; b) 3. -1 =1/3.

2. Überprüfen Sie die Gleichstellungsgerechtigkeit:

aber)log.27 \u003d -6; b)log. 0,5 4=-2.

3. Vereinfachen Sie den Ausdruck mit den wichtigsten logarithmischen Identitäten:

a) 5. 1+ log. 5 3 ; b) 10. 1- lG 2

4. Berechnen:

aber) Melden Sie sich an. 12 4 + log. 12 36;

b.) LG13-LG130;

im) (LG8 + LG18) / (2LG2 + LG3).

III. Möglichkeit

1. Finden Sie den Logarithmus auf der Grundlage der in Form eines Abschlusses, der in Form eines Grads, der in der Grundlage von A:

a) 27. 2/3 \u003d 9; b) 32. 3/5 =8.

2. Überprüfen Sie die Gleichstellungsgerechtigkeit:

aber)log. 2 128=;

b)log. 0,2 0,008=3.

3. Vereinfachen Sie den Ausdruck mit den wichtigsten logarithmischen Identitäten:

a) 4 2 log. 4 3 ;

b) 5. -3 log. 5 1/2 .

4. Berechnen:

aber) Melden Sie sich an. 6 12 + log. 6 18;

b.) Melden Sie sich an. 7 14-log. 7 6 + log. 7 21;

im) (log. 7 3/ log. 7 13)∙ log. 3 169.

Iv. Möglichkeit

1. Finden Sie den Logarithmus auf der Grundlage der in Form eines Abschlusses, der in Form eines Grads, der in der Grundlage von A:

a) 81. 3/4 \u003d 27; b) 125. 2/3 =25.

2. Überprüfen Sie die Gleichstellungsgerechtigkeit:

aber)log. √5 0,2=-2;

b)log. 0,2 125=-3.

3. Vereinfachen Sie den Ausdruck mit den wichtigsten logarithmischen Identitäten:

a) (1/2) 4 log. 1/2 3 ;

b) 6 -2 log. 6 5 .

4. Berechnen:

aber) Melden Sie sich an. 14 42-log. 14 3;

b.) Melden Sie sich an. 2 20-log. 2 25 + log. 2 80;

im) Melden Sie sich an. 7 48/ log. 7 4- 0,5 log. 2 3.

Jetzt werfen wir einen Blick auf die Umwandlung von Ausdrücke, die Logarithmen mit einer allgemeinen Position enthalten. Hier analysieren wir nicht nur die Umwandlung von Ausdrücken mit den Eigenschaften von Logarithmen und berücksichtigen die Umwandlung von Ausdrücken mit den Logarithmen der allgemeinen Form, die nicht nur Logarithmen, sondern auch Grad, Fraktionen, Wurzeln usw. enthalten. Das gesamte Material wie üblich wird mit charakteristischen Beispielen mit detaillierten Lösungsbeschreibungen versehen.

Navigierende Seite.

Ausdrücke mit Logarithmen und logarithmischen Ausdrücken

Aktion mit Fraktionen durchführen

Im vorherigen Absatz zerlegen wir die Haupttransformationen, die mit separaten Fraktionen durchgeführt werden, die Logarithmen enthalten. Diese Transformationen können natürlich mit jeder einzelnen Fraktion durchgeführt werden, die Teil einer komplexeren Expression ist, beispielsweise dargestellt, die Menge, Differenz, Arbeit und private ähnliche Fraktionen darstellt. Neben der Arbeit mit individuellen Fraktionen impliziert jedoch die Umwandlung der angegebenen Artenausdrücke häufig die Ausführung geeigneter Maßnahmen mit Fraktionen. Als nächstes werden wir die Regeln berücksichtigen, für die diese Aktionen abgehalten werden.

Mehr als 5-6 Sorten kennen wir die Regeln, für die sie erfüllt sind. Im Artikel allgemeine Ansicht der Aktion mit Fraktionen Wir verteilten diese Regeln mit gewöhnlichen Fraktionen auf einen Bruchteil eines gemeinsamen Formulars A / B, wobei A und B einige numerische, alphabetische Ausdrücke oder Ausdrücke mit Variablen sind, und b identisch nicht Null. Es ist klar, dass die Fraktionen mit Logarithmen besondere Fälle von Fraktionen der allgemeinen Form sind. In diesem Zusammenhang ist klar, dass die Handlungen mit Fraktionen, die Logarithmus enthalten, in ihren Einträgen gemäß den gleichen Regeln durchgeführt werden. Nämlich:

Um zwei Fraktionen mit den gleichen Nennern zu falten oder zu subtrahieren, ist es notwendig, die Ziffern entsprechend zu addieren oder zu subtrahieren, und der Nenner bleibt für dieselbe.
Um zwei Fraktionen mit unterschiedlichen Nennern zu falten oder zu subtrahieren, müssen Sie sie in einen gemeinsamen Nenner bringen und die entsprechenden Aktionen auf der vorherigen Regel durchführen.
Um zwei Fraktionen zu multiplizieren, müssen Sie einen Bruchteil aufzeichnen, wobei die Anzahl des Produkts der Ziffer der anfänglichen Fraktionen ist, und der Nenner ist ein Produkt von Nenner.
Um die Fraktion für die Fraktion zu teilen, ist es notwendig, einen Bruchteil in einem Fraktion zu multiplizieren, wobei der umgekehrte Teiler, dh durch Fraktion, mit den Ziffern und dem Nenner mit den umgebenden Stellen.

Lassen Sie uns ein paar Beispiele geben, um Aktionen mit Fraktionen mit Logarithmen auszuführen.

Beispiel.

Aktionen mit Fraktionen durchführen, die Logarithmen enthalten: a), b) , im) , d) .

Entscheidung.

a) Rannel der gefalteten Falten sind offensichtlich dasselbe. Entsprechend der Regel der Fraktionen mit denselben Denominenten setzen wir daher Zähler, und der Nenner bleibt für dasselbe: .

b) Hier sind verschiedene Nenner. Daher brauchen Sie zum ersten Mal bring den Bruch auf den gleichen Nenner. In unserem Fall sind die Nenner bereits in Form von Werken präsentiert, und wir müssen den Nenner der ersten Fraktion nehmen und fehlende Faktoren vom Kanal der zweiten Fraktion fügen. Wir bekommen also einen gemeinsamen Nenner der Art . Gleichzeitig werden die subtrahierbaren Fraktionen dem allgemeinen Nenner unter Verwendung zusätzlicher Multiplizierer in Form von Logarithmus und Expression x 2 · (x + 1) gegeben. Danach bleibt es Fraktionen mit denselben Nennern, die keine Schwierigkeiten darstellen, subtrahieren.

Die Lösung ist also:

c) Es ist bekannt, dass das Ergebnis der Multiplikation von Fraktionen der Fraktion ist, dessen Zähler ein Produkt von Zahlen ist, und der Nenner ist ein Produkt von Nennern, so dass

Es ist leicht zu bemerken, dass Sie ausgeben können verringerung der Fraktionen. auf einem zweimal- und dezimalen Logarithmus, als Ergebnis haben wir .

d) Gehen Sie von der Trennung von Fraktionen zur Multiplikation, indem er den Bruchteil des Teilers an ihre Fraktion ersetzt. So

Der Zähler der resultierenden Fraktion kann als dargestellt werden Von dem der allgemeine Multiplizierer des Zählers und des Nenners deutlich sichtbar ist - der Multiplizierer X kann der Fraktion darauf reduziert werden:

Antworten:

a), b) , im) , d) .

Es sollte daran erinnert werden, dass die Handlungen mit Fraktionen unter Berücksichtigung des Verfahrens zur Durchführung von Aktionen durchgeführt werden: Erste Multiplikation und Abteilung, dann Zugabe und Subtraktion, und wenn Klammern vorhanden sind, werden die Aktionen in Klammern durchgeführt.

Beispiel.

Aktionen mit Fraktionen durchführen .

Entscheidung.

Zuerst führen wir den Hinzufügen von Fraktionen in Klammern durch, wonach wir Multiplikation durchführen:

Antworten:

An diesem Punkt bleibt es laut drei eher offensichtlich, aber gleichzeitig wichtige Punkte:

Transformation von Ausdrücken mit den Eigenschaften von Logarithmen

Am häufigsten impliziert die Umwandlung von Ausdrücken mit Logarithmen die Verwendung von Identitäten, die die Definition von Logarithmus ausdrücken und

Die B7-Task erhält einen bestimmten Ausdruck, den Sie vereinfachen müssen. Infolgedessen sollte die übliche Zahl in das Anthrys-Formular geschrieben werden. Alle Ausdrücke sind konventionell in drei Arten unterteilt:

Logarithmisch
Indikativ
Kombiniert

Indikativ- und logarithmische Ausdrücke in reiner Form sind praktisch nicht gefunden. Es ist jedoch absolut notwendig, zu wissen, wie sie berechnet werden.

Im Allgemeinen wird die Aufgabe B7 ganz einfach und ganz unter dem mittleren Absolvent gelöst. Das Mangel an klaren Algorithmen wird in IT-Standards und Monotierungen kompensiert. Lernen, solche Aufgaben zu lösen, kann einfach auf eine große Anzahl von Training sein.

Logarithmische Ausdrücke.

Die überwältigende Mehrheit der B7-Aufgaben enthalten Logarithmen in einer Form oder einem anderen. Dieses Thema wird traditionell als schwierig angesehen, da seine Studie in der Regel in der 11. Klasse notwendig ist - die Ära der Massenvorbereitung auf Abschlussprüfungen. Infolgedessen haben viele Absolventen eine sehr vage Vorstellung von Logarithmen.

In diesem Problem erfordern niemand kein tiefe theoretisches Wissen. Wir werden nur die einfachsten Ausdrücke erfüllen, die unkomplizierte Argumentation erfordern, und können allein gut beherrschen. Nachfolgend sind die Grundformeln, die Sie wissen müssen, um mit Logarithmen fertig zu werden:

Darüber hinaus ist es notwendig, die Wurzeln und Fraktionen in den Grad mit einem rationalen Indikator ersetzen zu können, ansonsten in einigen Ausdrücken ist es einfach nichts, den Logarithmus auszuführen. Ersatzformeln:

Eine Aufgabe. Finden Sie Ausdrücke:
Log 6 270 - log 6 7.5
log 5 775 - log 5 6.2

Die ersten beiden Ausdrücke werden als Unterschied in Logarithmen umgewandelt:
Log 6 270 - log 6 7.5 \u003d log 6 (270: 7,5) \u003d log 6 36 \u003d 2;
Log 5 775 - log 5 6.2 \u003d log 5 (775: 6,2) \u003d log 5 125 \u003d 3.

Um den dritten Ausdruck zu berechnen, ist es erforderlich, Grad zuzuordnen - sowohl an der Basis als auch in der Argumentation. Um damit zu beginnen, finden wir den internen Logarithmus:

Dann - extern:

Das Design des Protokolls A-Protokoll B x erscheint komplex und für viele komplexe und unverständlich. Inzwischen ist es nur ein Logarithmus von Logarithmus, d. H. Log A (log B x). Zunächst wird der interne Logarithmus berechnet (Put-Protokoll B x \u003d c) und dann extern: Protokoll A C log A.

Anzeigeausdrücke

Lassen Sie uns ein indikativer Ausdruck als ein beliebiges Design des Formulars A K aufrufen, in dem die Zahlen A und K beliebige Konstanten sind, und A\u003e 0. Methoden zur Arbeit mit solchen Ausdrücken sind recht einfach und in den Unterricht der 8. Klasse Algebra in Betracht gezogen.

Nachfolgend sind die Grundformeln, die bekannt sein müssen. Die Verwendung dieser Formeln in der Praxis verursacht in der Regel keine Probleme.

a n · a m \u003d a n + m;
ein n / a m \u003d a n - m;
(a n) m \u003d a n · m;
(a · b) n \u003d a n · b n;
(A: b) n \u003d a n: b n.

Wenn ein komplexer Ausdruck mit Grad getroffen wurde, und es ist nicht klar, wie man es annähert, ein universeller Empfang verwendet wird - Zersetzung auf einfachen Faktoren. Infolgedessen werden große Zahlen in den Stirnseiten durch einfache und verständliche Elemente ersetzt. Dann wird es nur verwendet, um die obigen Formeln anzuwenden - und die Aufgabe wird gelöst.

Eine Aufgabe. Finden Sie Werte der Ausdrücke: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

Entscheidung. Verbreiten Sie alle Grundlagen von Grad zu normalen Multiplikatoren:
7 9 · 3 11: 21 8 \u003d 7 9 · 3 11: (7 · 3) 8 \u003d 7 9 · 3 11: (7 8 · 3 8) \u003d 7 9 · 3 11: 7 8: 3 8 \u003d 7 · 3 3 \u003d 189.
24 7: 3 6: 16 5 \u003d (3 · 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 \u003d 3 7 · 2 21: 3 6: 2 20 \u003d 3 · 2 \u003d 6.
30 6: 6 5: 25 2 \u003d (5 · 3 · 2) 6: (3 · 2) 5: (5 2) 2 \u003d 5 6 · 3 6 · 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 \u003d 5 2 · 3 · 2 \u003d 150.

Kombinierte Aufgaben

Wenn Sie die Formel kennen, werden alle indikativen und logarithmischen Ausdrücke buchstäblich in einer Zeile gelöst. In dem Problem B7 können jedoch der Grad und der Logarithmen kombiniert werden, wodurch eher unvernünftige Kombinationen bildet.