Der Logarithmus ist 1, wenn. Logarithmus

1.1. Bestimmung des Grades für einen ganzzahligen Exponenten

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X *… * X - N mal

1.2. Null Grad.

Per Definition wird allgemein akzeptiert, dass die Nullpotenz jeder Zahl 1 ist:

1.3. Negativer Abschluss.

X -N = 1 / X N

1.4. Bruchgrad, Wurzel.

X 1 / N = N-te Wurzel von X.

Beispiel: X 1/2 = √X.

1.5. Formel zum Addieren von Kräften.

X (N + M) = X N * X M

1.6 Formel zum Subtrahieren von Potenzen.

X (N-M) = X N / X M

1.7. Die Formel zum Multiplizieren von Graden.

X N * M = (X N) M

1.8. Formel zum Potenzieren eines Bruchs.

(X / Y) N = X N / Y N

2. Nummer e.

Der Wert der Zahl e entspricht dem folgenden Grenzwert:

E = lim (1 + 1 / N), als N → ∞.

Mit einer Genauigkeit von 17 Stellen ist die Zahl e 2.71828182845904512.

3. Eulersche Gleichheit.

Diese Gleichheit verbindet fünf Zahlen, die in der Mathematik eine besondere Rolle spielen: 0, 1, Zahl e, Zahl pi, imaginäre Einheit.

E (i * pi) + 1 = 0

4. Exponentialfunktion exp (x)

exp (x) = e x

5. Ableitung der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion hat eine bemerkenswerte Eigenschaft: Die Ableitung der Funktion ist gleich der Exponentialfunktion selbst:

(aus (x)) "= aus (x)

6. Logarithmus.

6.1. Definition der Logarithmusfunktion

Wenn x = b y, dann ist der Logarithmus die Funktion

Y = Log b (x).

Der Logarithmus zeigt den Grad an, bis zu dem eine Zahl erhöht werden muss - die Basis des Logarithmus (b), um eine gegebene Zahl (X) zu erhalten. Die Logarithmusfunktion ist für X größer Null definiert.

Beispiel: Log 10 (100) = 2.

6.2. Dezimallogarithmus

Dies ist der Logarithmus zur Basis 10:

Y = Log 10 (x).

Mit Log (x) bezeichnet: Log (x) = Log 10 (x).

Ein Beispiel für die Verwendung des dezimalen Logarithmus ist das Dezibel.

6.3. Dezibel

Das Element wird auf einer separaten Seite hervorgehoben Dezibel

6.4. Binärer Logarithmus

Dies ist die Logarithmusbasis 2:

Y = Log 2 (x).

Bezeichnet mit Lg (x): Lg (x) = Log 2 (X)

6.5. Natürlicher Logarithmus

Dies ist die Logarithmusbasis e:

Y = Log e (x).

Es wird mit Ln (x) bezeichnet: Ln (x) = Log e (X)
Natürlicher Logarithmus - Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion exp (X).

6.6. Charakteristische Punkte

Log a (1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Formel für den Logarithmus des Produkts

Log a (x * y) = Log a (x) + Log a (y)

6.8. Die Formel für den Logarithmus des Quotienten

Log a (x / y) = Log a (x) -Log a (y)

6.9. Formel des Logarithmus des Grades

Log a (x y) = y * Log a (x)

6.10. Formel zur Umrechnung in Logarithmus mit anderer Basis

Log b (x) = (Log a (x)) / Log a (b)

Beispiel:

Log 2 (8) = Log 10 (8) / Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Formeln, die im Leben nützlich sind

Oft gibt es Probleme bei der Umrechnung von Volumen in Fläche oder Länge, und das umgekehrte Problem besteht darin, Fläche in Volumen neu zu berechnen. Zum Beispiel werden Bretter in Würfeln (Kubikmeter) verkauft, aber wir müssen berechnen, wie viel Wandfläche mit Brettern in einem bestimmten Volumen ummantelt werden kann, siehe Berechnung von Brettern, wie viele Bretter sich in einem Würfel befinden. Oder sind die Abmessungen der Wand bekannt, muss die Anzahl der Ziegel berechnet werden, siehe Berechnung des Ziegels.

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Was ist ein Logarithmus?

Beachtung!
Es gibt zusätzliche
Materialien im Besonderen Abschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr "nicht sehr ..." sind
Und für diejenigen, die "sehr viel ...")

Was ist ein Logarithmus? Wie löst man Logarithmen? Diese Fragen verwirren viele Absolventen. Traditionell gilt das Thema Logarithmen als schwierig, unverständlich und beängstigend. Vor allem - Gleichungen mit Logarithmen.

Dies ist absolut nicht der Fall. Absolut! Glauben Sie mir nicht? Gut. Jetzt, in etwa 10 - 20 Minuten, haben Sie:

1. Verstehen was ist logarithmus.

2. Lerne, eine ganze Klasse zu lösen Exponentialgleichungen... Auch wenn Sie noch nie davon gehört haben.

3. Lernen Sie, einfache Logarithmen zu berechnen.

Und dafür müssen Sie nur das Einmaleins kennen, aber wie eine Zahl potenziert wird ...

Ich habe das Gefühl, Sie zweifeln ... Nun, achten Sie auf die Zeit! Gehen!

Beginnen Sie damit, die folgende Gleichung im Kopf zu lösen:

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Sofortige Validierungstests. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

\ (a ^ (b) = c \) \ (\ Pfeil nach links \) \ (\ log_ (a) (c) = b \)

Lassen Sie uns es einfacher erklären. Zum Beispiel ist \ (\ log_ (2) (8) \) gleich der Potenz, auf die \ (2 \) erhöht werden muss, um \ (8 \) zu erhalten. Damit ist klar, dass \ (\ log_ (2) (8) = 3 \).

Beispiele:	\ (\ log_ (5) (25) = 2 \)	schon seit \ (5 ^ (2) = 25 \)
	\ (\ log_ (3) (81) = 4 \)	schon seit \ (3 ^ (4) = 81 \)
	\ (\ log_ (2) \) \ (\ frac (1) (32) \) \ (= - 5 \)	schon seit \ (2 ^ (- 5) = \) \ (\ frac (1) (32) \)

Logarithmus-Argument und Basis

Jeder Logarithmus hat die folgende "Anatomie":

Das Argument des Logarithmus wird normalerweise auf seiner Ebene geschrieben, wobei die Basis im Index näher am Vorzeichen des Logarithmus liegt. Und dieser Eintrag liest sich so: "Logarithmus von fünfundzwanzig zur Basis fünf."

Wie berechne ich den Logarithmus?

Um den Logarithmus zu berechnen, müssen Sie die Frage beantworten: Inwieweit sollte die Basis angehoben werden, um das Argument zu erhalten?

Zum Beispiel, berechne den Logarithmus: a) \ (\ log_ (4) (16) \) b) \ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) (3) \) c) \ (\ log _ ( \ sqrt (5)) (1) \) d) \ (\ log_ (\ sqrt (7)) (\ sqrt (7)) \) d) \ (\ log_ (3) (\ sqrt (3)) \)

a) Inwieweit sollte \ (4 \) erhöht werden, um \ (16 \) zu erhalten? Offensichtlich im zweiten. Deshalb:

\ (\ log_ (4) (16) = 2 \)

\ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) (3) \) \ (= - 1 \)

c) Inwieweit sollte \ (\ sqrt (5) \) erhöht werden, um \ (1 \) zu erhalten? Und welcher Abschluss macht eine Nummer eins? Null natürlich!

\ (\ log _ (\ sqrt (5)) (1) = 0 \)

d) Inwieweit sollte \ (\ sqrt (7) \) erhöht werden, um \ (\ sqrt (7) \) zu erhalten? Erstens - jede Zahl ersten Grades ist gleich sich selbst.

\ (\ log _ (\ Quadrat (7)) (\ Quadrat (7)) = 1 \)

e) Inwieweit sollte \ (3 \) erhöht werden, um \ (\ sqrt (3) \) zu erhalten? Wie wir wissen, ist das ein Bruchgrad, und es bedeutet Quadratwurzel ist der Grad von \ (\ frac (1) (2) \).

\ (\ log_ (3) (\ sqrt (3)) = \) \ (\ frac (1) (2) \)

Beispiel : Logarithmus berechnen \ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) \)

Lösung :

\ (\ log_ (4 \ Quadrat (2)) (8) = x \)		Wir müssen den Wert des Logarithmus finden, bezeichnen ihn mit x. Verwenden wir nun die Definition eines Logarithmus: \ (\ log_ (a) (c) = b \) \ (\ Pfeil nach links \) \ (a ^ (b) = c \)
\ ((4 \ Quadrat (2)) ^ (x) = 8 \)		Was ist die Verbindung zwischen \ (4 \ sqrt (2) \) und \ (8 \)? Zwei, weil beide Zahlen durch zwei dargestellt werden können: \ (4 = 2 ^ (2) \) \ (\ sqrt (2) = 2 ^ (\ frac (1) (2)) \) \ (8 = 2 ^ (3) \)
\ ((((2 ^ (2) \ cdot2 ^ (\ frac (1) (2)))) ^ (x) = 2 ^ (3) \)		Links verwenden wir die Eigenschaften des Grades: \ (a ^ (m) \ cdot a ^ (n) = a ^ (m + n) \) und \ ((a ^ (m)) ^ (n) = a^(m\cdot n)\)
\ (2 ^ (\ frac (5) (2) x) = 2 ^ (3) \)		Die Gründe sind gleich, wir gehen zur Gleichheit der Indikatoren über
\ (\ frac (5x) (2) \) \ (= 3 \)		Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \ (\ frac (2) (5) \)
		Die resultierende Wurzel ist der Wert des Logarithmus

Antworten : \ (\ log_ (4 \ Quadrat (2)) (8) = 1,2 \)

Warum haben Sie einen Logarithmus entwickelt?

Um dies zu verstehen, lösen wir die Gleichung: \ (3 ^ (x) = 9 \). Passen Sie einfach \ (x \) an, damit die Gleichheit funktioniert. Natürlich \ (x = 2 \).

Lösen Sie nun die Gleichung: \ (3 ^ (x) = 8 \) Was ist x? Das ist nur der Punkt.

Die Schlagfertigsten werden sagen: "X ist etwas weniger als zwei." Wie genau schreibt man diese Zahl? Um diese Frage zu beantworten, haben sie einen Logarithmus entwickelt. Dank ihm kann die Antwort hier als \ (x = \ log_ (3) (8) \) geschrieben werden.

Ich möchte betonen, dass \ (\ log_ (3) (8) \), wie jeder Logarithmus ist nur eine Zahl... Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber kurz. Denn wenn wir es schreiben wollten als Dezimal, dann würde es so aussehen: \ (1.892789260714 ..... \)

Beispiel : Löse die Gleichung \ (4 ^ (5x-4) = 10 \)

Lösung :

\ (4 ^ (5x-4) = 10 \)		\ (4 ^ (5x-4) \) und \ (10 \) können nicht auf den gleichen Grund reduziert werden. Das bedeutet, dass wir auf den Logarithmus nicht verzichten können. Verwenden wir die Definition eines Logarithmus: \ (a ^ (b) = c \) \ (\ Pfeil nach links \) \ (\ log_ (a) (c) = b \)
\ (\ log_ (4) (10) = 5x-4 \)		Spiegeln Sie die Gleichung so, dass x links ist
\ (5x-4 = \ log_ (4) (10) \)		Vor uns. Verschieben Sie \ (4 \) nach rechts. Und lassen Sie sich vom Logarithmus nicht einschüchtern, behandeln Sie ihn wie eine gewöhnliche Zahl.
\ (5x = \ log_ (4) (10) +4 \)		Teilen Sie die Gleichung durch 5
\ (x = \) \ (\ frac (\ log_ (4) (10) +4) (5) \)		Das ist unsere Wurzel. Ja, es sieht seltsam aus, aber sie wählen die Antwort nicht.

Antworten : \ (\ frac (\ log_ (4) (10) +4) (5) \)

Dezimaler und natürlicher Logarithmus

Wie in der Definition eines Logarithmus angegeben, kann seine Basis eine beliebige positive Zahl außer Eins \ ((a> 0, a \ neq1) \) sein. Und unter all den möglichen Gründen gibt es zwei, die so häufig vorkommen, dass mit ihnen eine spezielle Kurzschreibweise für Logarithmen erfunden wurde:

Natürlicher Logarithmus: ein Logarithmus, dessen Basis die Eulersche Zahl \ (e \) ist (ungefähr gleich \ (2.7182818 ... \)) und wird als solcher Logarithmus geschrieben als \ (\ ln (a) \).

Also, \ (\ ln (a) \) ist dasselbe wie \ (\ log_ (e) (a) \)

Dezimallogarithmus: Ein Logarithmus zur Basis 10 wird geschrieben \ (\ lg (a) \).

Also, \ (\ lg (a) \) ist dasselbe wie \ (\ log_ (10) (a) \), wobei \ (a \) eine Zahl ist.

Grundlegende logarithmische Identität

Logarithmen haben viele Eigenschaften. Eine davon heißt "Basic Logarithmic Identity" und sieht so aus:

\ (a ^ (\ log_ (a) (c)) = c \)

Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition. Mal sehen, wie genau diese Formel zustande kam.

Erinnern wir uns an eine kurze Notation der Definition eines Logarithmus:

wenn \ (a ^ (b) = c \) dann \ (\ log_ (a) (c) = b \)

Das heißt, \ (b \) ist dasselbe wie \ (\ log_ (a) (c) \). Dann können wir \ (\ log_ (a) (c) \) anstelle von \ (b \) in die Formel \ (a ^ (b) = c \) schreiben. Es stellte sich heraus \ (a ^ (\ log_ (a) (c)) = c \) - die wichtigste logarithmische Identität.

Sie können die restlichen Eigenschaften von Logarithmen finden. Mit ihrer Hilfe können Sie die Werte von Ausdrücken mit Logarithmen vereinfachen und berechnen, die schwer "frontal" zu berechnen sind.

Beispiel : Finde den Wert des Ausdrucks \ (36 ^ (\ log_ (6) (5)) \)

Lösung :

Antworten : \(25\)

Wie kann eine Zahl als Logarithmus geschrieben werden?

Wie oben erwähnt, ist jeder Logarithmus nur eine Zahl. Das Umgekehrte gilt auch: Jede Zahl kann als Logarithmus geschrieben werden. Zum Beispiel wissen wir, dass \ (\ log_ (2) (4) \) gleich zwei ist. Dann können Sie statt zwei \ (\ log_ (2) (4) \) schreiben.

Aber \ (\ log_ (3) (9) \) ist auch \ (2 \), man kann also auch \ (2 = \ log_ (3) (9) \) schreiben. Ebenso mit \ (\ log_ (5) (25) \) und \ (\ log_ (9) (81) \) usw. Das heißt, es stellt sich heraus

\ (2 = \ log_ (2) (4) = \ log_ (3) (9) = \ log_ (4) (16) = \ log_ (5) (25) = \ log_ (6) (36) = \ log_ (7) (49) ... \)

Wenn wir also brauchen, können wir zwei als Logarithmus mit jeder beliebigen Basis schreiben (sogar in einer Gleichung, sogar in einem Ausdruck, sogar in einer Ungleichung) - wir schreiben einfach die Basis zum Quadrat als Argument.

Genauso verhält es sich mit dem Triplett - es kann geschrieben werden als \ (\ log_ (2) (8) \), oder als \ (\ log_ (3) (27) \), oder als \ (\ log_ (4) (64) \) ... Hier schreiben wir die Basis in einen Würfel als Argument:

\ (3 = \ log_ (2) (8) = \ log_ (3) (27) = \ log_ (4) (64) = \ log_ (5) (125) = \ log_ (6) (216) = \ log_ (7) (343) ... \)

Und mit vier:

\ (4 = \ log_ (2) (16) = \ log_ (3) (81) = \ log_ (4) (256) = \ log_ (5) (625) = \ log_ (6) (1296) = \ log_ (7) (2401) ... \)

Und mit minus eins:

\ (- 1 = \) \ (\ log_ (2) \) \ (\ frac (1) (2) \) \ (= \) \ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) ( 3) \) \ (= \) \ (\ log_ (4) \) \ (\ frac (1) (4) \) \ (= \) \ (\ log_ (5) \) \ (\ frac (1 ) (5) \) \ (= \) \ (\ log_ (6) \) \ (\ frac (1) (6) \) \ (= \) \ (\ log_ (7) \) \ (\ frac (1) (7) \) \ (... \)

Und mit einem Drittel:

\ (\ frac (1) (3) \) \ (= \ log_ (2) (\ sqrt (2)) = \ log_ (3) (\ sqrt (3)) = \ log_ (4) (\ sqrt ( 4)) = \ log_ (5) (\ sqrt (5)) = \ log_ (6) (\ sqrt (6)) = \ log_ (7) (\ sqrt (7)) ... \)

Jede Zahl \ (a \) kann als Logarithmus zur Basis \ (b \) dargestellt werden: \ (a = \ log_ (b) (b ^ (a)) \)

Beispiel : Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks \ (\ frac (\ log_ (2) (14)) (1+ \ log_ (2) (7)) \)

Lösung :

Antworten : \(1\)

Im Mittelpunkt dieses Artikels steht - Logarithmus... Hier geben wir die Definition eines Logarithmus, zeigen die akzeptierte Notation, geben Beispiele für Logarithmen und sagen über natürliche und dezimale Logarithmen. Betrachten Sie danach die grundlegende logarithmische Identität.

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Definition des Logarithmus

Der Begriff des Logarithmus entsteht bei der Lösung eines Problems in gewissem Sinne invers, wenn es notwendig ist, einen Exponenten gemäß einem bekannten Gradwert und einer bekannten Basis zu finden.

Aber genug Vorworte, es ist an der Zeit, die Frage "Was ist ein Logarithmus" zu beantworten? Geben wir eine passende Definition.

Definition.

Logarithmus zur Basis a von b, wobei a> 0, a ≠ 1 und b> 0 der Exponent ist, zu dem die Zahl a erhöht werden muss, um b als Ergebnis zu erhalten.

An dieser Stelle stellen wir fest, dass das gesprochene Wort "Logarithmus" sofort zwei sich ergebende Fragen aufwerfen sollte: "welche Zahl" und "aus welchem Grund". Mit anderen Worten, es gibt einfach keinen Logarithmus, sondern nur den Logarithmus einer Zahl in irgendeiner Basis.

Sofort eintreten Logarithmus-Notation: Der Logarithmus von b zur Basis a wird normalerweise als log a b bezeichnet. Der Logarithmus der Zahl b zur Basis e und der Logarithmus zur Basis 10 haben ihre eigenen speziellen Bezeichnungen lnb bzw. lgb, dh sie schreiben nicht log e b, sondern lnb und nicht log 10 b, sondern lgb.

Jetzt können Sie mitbringen:.
Und die Aufzeichnungen macht keinen Sinn, da im ersten von ihnen unter dem Vorzeichen des Logarithmus eine negative Zahl steht, im zweiten - eine negative Zahl an der Basis und im dritten - sowohl eine negative Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus als auch einer an der Basis.

Sagen wir jetzt über Regeln zum Lesen von Logarithmen... Log a b liest sich als "Logarithmus von b zur Basis a". Zum Beispiel ist log 2 3 der Logarithmus von drei zur Basis 2 und ist der Logarithmus von zwei ganzen zwei Dritteln der Basis Quadratwurzel von fünf. Die Logarithmusbasis e heißt natürlicher Logarithmus und lnb lautet "natürlicher Logarithmus von b". Zum Beispiel ist ln7 der natürliche Logarithmus von sieben, und wir lesen ihn als den natürlichen Logarithmus von pi. Logarithmus zur Basis 10 hat auch einen besonderen Namen - dezimaler Logarithmus, und der lgb-Eintrag lautet "log dezimal b". Beispielsweise ist lg1 der dezimale Logarithmus von eins und lg2.75 ist der dezimale Logarithmus von zwei Komma fünfundsiebzig Hundertstel.

Es lohnt sich, gesondert auf die Bedingungen a> 0, a ≠ 1 und b> 0 einzugehen, unter denen die Definition des Logarithmus gegeben ist. Lassen Sie uns erklären, woher diese Einschränkungen kommen. Dabei hilft uns eine Gleichheit der Form namens, die sich direkt aus der obigen Definition des Logarithmus ergibt.

Beginnen wir mit einer ≠ 1. Da eins in jedem Maße gleich eins ist, kann die Gleichheit nur für b = 1 gelten, aber log 1 1 kann jede reelle Zahl sein. Um diese Mehrdeutigkeit zu vermeiden, wird angenommen, dass a 1.

Begründen wir die Zweckmäßigkeit der Bedingung a> 0. Für a = 0 wäre nach der Definition des Logarithmus Gleichheit, die nur für b = 0 möglich ist. Aber dann kann log 0 0 jede reelle Zahl ungleich Null sein, da Null in jedem Grad ungleich Null Null ist. Die Bedingung a ≠ 0 erlaubt es uns, diese Mehrdeutigkeit zu vermeiden. Und für a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Schließlich folgt aus der Ungleichung a > 0 die Bedingung b > 0, da, und der Wert des Grades mit positiver Basis a immer positiv ist.

Zum Abschluss dieses Absatzes sagen wir, dass die stimmhafte Definition des Logarithmus es Ihnen ermöglicht, den Wert des Logarithmus sofort anzugeben, wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus ein gewisses Maß an der Basis ist. Tatsächlich erlaubt uns die Definition eines Logarithmus zu behaupten, dass wenn b = a p, dann der Logarithmus von b zur Basis a gleich p ist. Das heißt, der Gleichheitslog a a p = p ist wahr. Zum Beispiel wissen wir, dass 2 3 = 8, dann log 2 8 = 3. Wir werden mehr darüber in dem Artikel sprechen.

(aus dem Griechischen λόγος - "Wort", "Beziehung" und ἀριθμός - "Zahl") Zahlen B aus Gründen ein(log α B) heißt eine solche Zahl C, und B= ein c, d. h. log α B=C und b = aC sind gleichwertig. Der Logarithmus ist sinnvoll, wenn a> 0 und ≠ 1, b> 0.

Mit anderen Worten Logarithmus die Zahlen B aus Gründen ein ist als Indikator für den Grad formuliert, in dem die Zahl erhöht werden muss ein um die Nummer zu bekommen B(nur positive Zahlen haben einen Logarithmus).

Diese Formulierung impliziert, dass die Berechnung x = log α B, entspricht der Lösung der Gleichung a x = b.

Zum Beispiel:

log 2 8 = 3 weil 8 = 2 3.

Wir betonen, dass die angegebene Formulierung des Logarithmus es ermöglicht, sofort zu bestimmen Logarithmus-Wert, wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus ein gewisses Maß an der Basis beträgt. Und in Wahrheit erlaubt die Formulierung des Logarithmus den Beweis, dass wenn b = a c, dann der Logarithmus der Zahl B aus Gründen ein ist gleich mit... Es ist auch klar, dass das Thema Logarithmus eng mit dem Thema verwandt ist Grad der Zahl.

Die Berechnung des Logarithmus wird als bezeichnet indem man den Logarithmus nimmt... Der Logarithmus ist die mathematische Operation des Logarithmus. Beim Logarithmus werden die Produkte der Faktoren in die Summen der Terme umgewandelt.

Potenzierung ist eine zum Logarithmus inverse mathematische Operation. Bei der Potenzierung wird die gegebene Base mit dem Ausdruck potenziert, über den die Potenzierung durchgeführt wird. In diesem Fall werden die Summen der Mitglieder in das Produkt der Faktoren umgewandelt.

Reelle Logarithmen mit den Basen 2 (binär), e Eulersche Zahl e 2,718 (natürlicher Logarithmus) und 10 (dezimal) werden häufig verwendet.

In dieser Phase ist es ratsam, zu berücksichtigen Beispiele für Logarithmen log 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Und die Einträge lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 machen keinen Sinn, da im ersten von ihnen eine negative Zahl unter das Vorzeichen des Logarithmus gestellt wird, im zweiten - eine negative Zahl bei die Basis und im dritten - eine negative Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus und eine an der Basis.

Bedingungen zur Bestimmung des Logarithmus.

Es lohnt sich, die Bedingungen a> 0, a ≠ 1, b> 0 gesondert zu betrachten, unter denen Definition des Logarithmus. Lassen Sie uns überlegen, warum diese Einschränkungen vorgenommen werden. Eine Gleichheit der Form x = log α B, genannt die grundlegende logarithmische Identität, die direkt aus der oben angegebenen Definition eines Logarithmus folgt.

Nehmen wir die Bedingung ein ≠ 1... Da eins beliebig gleich eins ist, gilt die Gleichheit x = log α B kann nur existieren, wenn b = 1 log 1 1 ist jedoch eine beliebige reelle Zahl. Um diese Mehrdeutigkeit zu beseitigen, nehmen wir ein ≠ 1.

Beweisen wir die Notwendigkeit der Bedingung a> 0... Bei a = 0 nach der Formulierung des Logarithmus kann er nur existieren für b = 0... Und dementsprechend dann log 0 0 kann eine beliebige reelle Zahl ungleich Null sein, da Null in jedem Grad ungleich Null Null ist. Um diese Mehrdeutigkeit auszuschließen ist gegeben durch die Bedingung a 0... Und wann ein<0 die Analyse rationaler und irrationaler Werte des Logarithmus müssten wir ablehnen, da ein Grad mit rationalem und irrationalem Exponenten nur aus nicht-negativen Gründen definiert wird. Aus diesem Grund ist die Bedingung festgelegt a> 0.

UND letzte Bedingung b> 0 folgt aus der Ungleichung a> 0 da x = log α B, und der Wert des Grades mit positiver Basis ein immer positiv.

Merkmale von Logarithmen.

Logarithmen gekennzeichnet durch unverwechselbare Merkmale, was zu ihrer weit verbreiteten Verwendung führte, um akribische Berechnungen erheblich zu erleichtern. Beim Übergang "in die Welt der Logarithmen" wird Multiplikation in eine viel einfachere Addition, Division in Subtraktion und Exponentiation bzw. Wurzelextraktion in Multiplikation und Division mit dem Exponenten umgewandelt.

Die Formulierung von Logarithmen und eine Tabelle ihrer Werte (für trigonometrische Funktionen) wurden erstmals 1614 vom schottischen Mathematiker John Napier veröffentlicht. Logarithmische Tabellen, die von anderen Wissenschaftlern vergrößert und detailliert wurden, wurden in wissenschaftlichen und technische Berechnungen, und blieb relevant, bis elektronische Taschenrechner und Computer eingesetzt wurden.