Reverse Proportional-Funktionsbeispiel. Die praktische Anwendung der direkten und inversen proportionalen Abhängigkeit

Durchgeführt: Chapkasov Rodion

student 6 "B" Klasse

MBou "Sosh Nr. 53"

g. Barnaul.

Führer: Boykina og

mathematischer Lehrer

MBou "Sosh Nr. 53"

g. Barnaul.

Einführung einer

Beziehungen und Proportionen. 3.

Direkte und umgekehrte proportionale Abhängigkeiten. vier.

Anwendung von direkten und inversen proportionalen 6

abhängigkeiten bei der Lösung verschiedener Aufgaben.

Fazit. elf

Literatur. 12.

Einführung

Der Wortanteil stammt aus dem lateinischen Wortanteil, dh im Allgemeinen Proportionalität, Ausrichtung von Teilen (ein bestimmtes Verhältnis von Teilen zwischeneinander). In der Antike war die Doktrin der Proportion in den Pythagoräuren in großer Ehre. Mit Proportionen gebundene Gedanken über die Ordnung und Schönheit der Natur, über konsonante Akkorde in Musik und Harmonie im Universum. Einige Arten von Anteilen, die sie musikalisch oder harmonisch nannten.

Sogar in der Antike wurde festgestellt, dass alle Phänomene in der Natur miteinander verbunden sind, dass alles in ständiger Bewegung, Änderung und von einer Zahl exprimiert wird, offenbart erstaunliche Muster.

Pythagoräer und ihre Anhänger von allem in der Welt suchten nach einem numerischen Ausdruck. Sie wurden entdeckt; Welche mathematischen Proportionen zugrunde (das Verhältnis der Länge der Saite bis zur Tonhöhe, der Beziehung zwischen den Intervallen, dem Verhältnis von Klängen in Akkorden, die Harmonic Sounds geben), ist. Pythagoräer versuchten, die Idee der Einheit der Welt mathematisch zu rechtfertigen, argumentierte, dass die Basis des Universums symmetrisch ist geometrische Formen. Pythagoräer suchten nach einer mathematischen Rationale für Schönheit.

Nach den Pythagoräern nannte der mittelalterliche Wissenschaftler Augustinus die Schönheit der "numerischen Gleichheit". Philosoph Scholast Bonaventure hat geschrieben: "Schönheit und Genuss ist nicht ohne Verhältnismäßigkeit, die Verhältnismäßigkeit besteht zunächst in Zahlen. Es ist notwendig, dass alles in Betracht gezogen wird." Beim Einsatz von Anteil in der Kunst des Leonardo Da Vinci schrieb Leonardo da in seine Abhandlung über das Malen: "Der Maler verkörpert in Form des Anteils der gleichen Muster in der Natur, die in Form eines numerischen Gesetzes den Wissenschaftler kennt."

Wir haben Proportionen verwendet, wenn wir verschiedene Probleme und in der Antike und in der Antike und im Mittelalter lösen. Spezifische Arten von Aufgaben sind jetzt einfach und schnell mit Proportionen gelöst. Proportionen und Verhältnismäßigkeiten wurden verwendet und nicht nur in Mathematik, sondern auch in der Architektur, Art. Die Verhältnismäßigkeit in der Architektur und der Kunst bedeutet die Einhaltung bestimmter Beziehungen zwischen den Größen verschiedene Teile Gebäude, Figuren, Skulpturen oder andere Kunstwerke. Verhältnismäßigkeit in solchen Fällen ist der Zustand der richtigen und schönen Konstruktion und des Bildes

In meiner Arbeit versuchte ich, die Verwendung von direkten und inversen proportionalen Abhängigkeiten in verschiedenen Bereichen des umgebenden Lebensbereichs zu berücksichtigen, die Verbindung mit den Trainingshemmungen durch die Aufgaben zu verfolgen.

Beziehungen und Anteile.

Private zwei Zahlen angerufen beziehungdiese zahlen.

Die Haltung zeigtWährend, wie oft die erste Zahl größer ist als oder welcher Teil der erste Zahl von der zweiten ist.

Eine Aufgabe.

Der Laden brachte 2,4 Tonnen Birnen und 3,6 Tonnen Äpfel. Welcher Teil der gebrachten Früchte machen Birnen?

Entscheidung . Finden Sie heraus, wie viel Frucht gebracht wurde: 2,4 + 3,6 \u003d 6 (t). Um zu finden, welcher Teil der mitgebrachten Früchte Birnen bilden, erreichen wir 2,4: 6 \u003d Verhältnis. Die Antwort kann auch in Form einer Dezimalfraktion oder in Prozent geschrieben werden: \u003d 0,4 \u003d 40%.

Gegenseitig zurück Anruf zahlenWessen Werke sind 1. Daher beziehungen werden inverse bezeichnet.

Betrachten Sie zwei Jahre gleiche Beziehung: 4,5: 3 und 6: 4. Wir setzen das Gleichstellungszeichen zwischen ihnen und erhalten den Anteil: 4,5: 3 \u003d 6: 4.

Anteil - Dies ist die Gleichheit von zwei Beziehungen: A: B \u003d C: D oder \u003d wo a und d - extreme Anteilsmitglieder, C und b - mittlere Mitglieder (Alle Mitglieder des Anteils unterscheiden sich von Null).

Grundlegende Anwesenheit:

im richtigen Anteil ist das Produkt extremer Mitglieder gleich dem Produkt von mittleren Mitgliedern.

Durch Anwenden der Multiplikationseigenschaft erhalten wir, dass Sie im richtigen Anteil die extremen Mitglieder oder mittleren Mitglieder ändern können. Die resultierenden Proportionen werden auch treu sein.

Mithilfe der Haupteigenschaft des Anteils können Sie sein unbekanntes Mitglied finden, wenn alle anderen Mitglieder bekannt sind.

Um ein unbekanntes extremes Mitglied des Anteils zu finden, ist es notwendig, mittlere Elemente zu multiplizieren und in ein bekanntes extremes Element aufgeteilt. X: b \u003d c: d, x \u003d

Um ein unbekanntes mittleres Mitglied des Anteils zu finden, müssen Sie extreme Mitglieder multiplizieren und in ein bekanntes durchschnittliches Mitglied aufgeteilt werden. A: B \u003d x: d, x \u003d .

Direkte und inverse proportionale Abhängigkeiten.

Die Werte von zwei verschiedenen Mengen können sich gegenseitig voneinander abhängen. Somit hängt das Quadrat des Quadrats von der Länge seiner Seite ab und zurück - die Länge des Teils des Quadrats bestimmt aus seinem Bereich.

Zwei Werte werden proportional bezeichnet, wenn mit zunehmender

(Abnahme) Einer von ihnen mehrmals, der andere erhöht sich gleichzeitig (verringert).

Wenn zwei Werte direkt proportional sind, ist das Verhältnis der entsprechenden Werte dieser Werte gleich.

Beispiel direkte proportionale Abhängigkeit. .

An der Tankstelle2 Liter Benzin wiegen 1,6 kg. Wie viel wird das Wägen sein?5 l Benzin?

Entscheidung:

Das Gewicht von Kerosin ist proportional zu seinem Volumen.

2l - 1,6 kg

5l - x kg

2: 5 \u003d 1,6: x,

x \u003d 5 * 1,6 x \u003d 4

Antwort: 4 kg.

Hier bleibt das Gewichtsverhältnis des Volumens unverändert.

Zwei Werte werden umgekehrt proportional bezeichnet, wenn sie mit einer Erhöhung der (abnehmenden) von einem von ihnen mehrmals erhöht werden, nimmt der andere gleichzeitig ab.

Wenn die Werte umgekehrt proportional sind, ist das Verhältnis der Werte desselben Werts gleich dem Rückwärtsgang der entsprechenden Werte eines anderen Werts.

P. riemerumgekehrte proportionale Abhängigkeit.

Zwei Rechtecke haben den gleichen Bereich. Die Länge des ersten Rechtecks \u200b\u200bbeträgt 3,6 m, und die Breite beträgt 2,4 m. Die Länge des zweiten Rechtecks \u200b\u200bbeträgt 4,8 m. Finden Sie die Breite des zweiten Rechtecks.

Entscheidung:

1 Rechteck 3,6 m 2,4 m

2 Rechteck 4,8 m x m

3,6 m x m

4,8 m 2,4 m

x \u003d 3,6 * 2,4 \u003d 1,8 m

Antwort: 1,8 m.

Wie Sie sehen, können die Aufgaben für Proportionalwerte mit Proportionen gelöst werden.

Nicht alle Arten von zwei Werten sind direkt proportional oder umgekehrt proportional. Zum Beispiel steigt das Wachstum des Kindes mit zunehmendem Alter, aber diese Werte sind nicht proportional, da beim Verdoppeln des Alters das Wachstum des Kindes nicht doppelt.

Praktischer Nutzen Direkte und umgekehrte proportionale Abhängigkeit.

Aufgabe Nummer 1.

In der Schulbibliothek 210 Mathematik-Lehrbücher, die 15% des gesamten Bibliotheksfonds beträgt. Wie viele Bücher in der Bibliotheksstiftung?

Entscheidung:

Gesamt-Lehrbücher? - 100%

Mathematik - 210 -15%

15% 210 uch.

X \u003d 100 * 210 \u003d 1400 Lehrbücher

100% x uch. fünfzehn

Antwort: 1400 Lehrbücher.

Task Nummer 2.

Der Radfahrer verläuft 75 km in 3 Stunden. Wie lange bewegt sich der Radfahrer 125 km mit der gleichen Geschwindigkeit?

Entscheidung:

3 h - 75 km

H - 125 km

Zeit und Entfernung sind direkt proportional zu den Werten, so

3: x \u003d 75: 125,

x \u003d
,

x \u003d 5.

Antwort: 5 Stunden lang

Task Nummer 3.

8 identische Rohre füllen den Pool in 25 Minuten aus. Wie viele Minuten werden der Pool von 10 solcher Pipes füllen?

Entscheidung:

8 Rohre - 25 Minuten

10 Pfeifen? Protokoll

Die Anzahl der Rohre ist umgekehrt proportional zur Zeit, so

8: 10 \u003d x: 25,

x \u003d

x \u003d 20.

Antwort: In 20 Minuten.

Task Nummer 4.

Die Brigade von 8 Arbeitern führt eine Aufgabe für 15 Tage aus. Wie viele Arbeiter können in 10 Tagen auftreten können, mit derselben Leistung arbeiten?

Entscheidung:

8 Arbeiter - 15 Tage

Arbeiter - 10 Tage

Die Anzahl der Arbeiter ist umgekehrt proportional zur Anzahl der Tage, so

x: 8 \u003d 15: 10,

x \u003d
,

x \u003d 12.

Antwort: 12 Arbeiter.

Task Nummer 5.

Von 5,6 kg Tomaten, 2 Liter Saucen werden erhalten. Wie viele Liter Sauce können von 54 kg Tomaten erhalten werden?

Entscheidung:

5,6 kg - 2 l

54 kg -? L.

Die Anzahl der Zylogramme von Tomaten ist direkt proportional zur Anzahl der erhaltenen Sauce, so

5,6: 54 \u003d 2: x,

x \u003d
,

x \u003d 19.

Antwort: 19 Liter.

Aufgabe Nummer 6.

Für die Erwärmung des Schulgebäudes wurde Kohle 180 Tage auf Kosten geerntet

0,6 Tonnen Kohle pro Tag. Wie lange dauert diese Aktie, wenn es täglich bei 0,5 Tonnen verbraucht wird?

Entscheidung:

Anzahl der Tage

Verbrauchsrate

Die Anzahl der Tage ist umgekehrt proportional zur Verbrauchsrate der Kohle

180: x \u003d 0,5: 0,6,

x \u003d 180 * 0,6: 0,5,

x \u003d 216.

Antwort: 216 Tage.

Task Nummer 7.

IM eisen Rud. An 7 Teilen des Eisens entfielen 3 Teile Verunreinigungen. Wie viele Tonnen von Verunreinigungen in Erz, das 73,5 Tonnen Eisen enthält?

Entscheidung:

Spucke

Gewicht

Eisen

73,5

Verunreinigungen

Die Anzahl der Teile ist direkt proportional zur Masse, so

7: 73,5 \u003d 3: x.

x \u003d 73,5 * 3: 7,

x \u003d 31.5.

Antwort: 31,5 Tonnen

Task Nummer 8.

Das Auto fuhr 500 km, isiesding 35 l Benzin. Wie viele Liter Benzin müssen 420 km fahren?

Entscheidung:

Entfernung, km.

Benzin, L.

Der Abstand ist direkt proportional zu den Ausgaben von Benzin, so

500: 35 \u003d 420: x,

x \u003d 35 * 420: 500,

x \u003d 29.4.

Antwort: 29.4 l

Aufgabe Nummer 9.

Für 2 Stunden erwischt 12 Caras. Wie viele Karas werden in 3 Stunden fangen?

Entscheidung:

Die Anzahl der Crucia hängt nicht von der Zeit ab. Diese Werte sind weder direkt proportional oder umgekehrt proportional.

Antwort: Es gibt keine Antwort.

Tasknummer 10.

Das Bergbauunternehmen muss für einen bestimmten Geldbetrag 5 neue Autos zu einem Preis von 12 Tausend Rubel pro Jahr erworben werden. Wie viele solche Autos können ein Unternehmen kaufen, wenn der Preis für ein Auto 15.000 Rubel sein wird?

Entscheidung:

Anzahl der Autos, PCs.

Preis, tausend Rubel.

Die Anzahl der Autos ist umgekehrt proportional zu den Kosten, so

5: x \u003d 15: 12,

x \u003d 5 * 12: 15,

x \u003d 4.

Antwort: 4 Autos.

Task Nummer 11.

In der Stadt N auf Platz P ist der Laden, dessen Besitzer so streng ist, dass er 70 Rubel von Löhnen für 1 spät am Tag abzieht. In einer Abteilung gibt es zwei Mädchen Julia und Natasha. Ihre Löhne hängen von der Anzahl der Arbeitstage ab. Julia erhielt in 20 Tagen 4100 Rubel, und Natasha für 21 Tage, um mehr zu bekommen, aber sie war zu spät für 3 Tage hintereinander. Wie viele Rubel bekommen Natasha?

Entscheidung:

Arbeitstage

Gehalt, reiben.

Julia

4100

Natascha

Das Gehalt ist direkt proportional zur Anzahl der Arbeitstage, so

20: 21 \u003d 4100: x,

x \u003d 4305.

4305 reiben. hätte Natasha haben sollen.

4305 - 3 * 70 \u003d 4095 (RUB.)

Antwort: Natasha erhält 4095 Rubel.

Tasknummer 12.

Der Abstand zwischen den beiden Städten auf der Karte beträgt 6 cm. Finden Sie den Abstand zwischen diesen Städten auf dem Boden, wenn die Skala der Karte 1: 250000 ist.

Entscheidung:

Bezeichnen Sie den Abstand zwischen den Städten auf dem Boden über X (in Zentimeter) und finden Sie das Verhältnis der Länge des Segments auf der Karte in den Abstand auf dem Boden, der dem Waagen der Karte entspricht: 6: x \u003d 1 : 250000,

x \u003d 6 * 250000,

x \u003d 1500000.

1500000 cm \u003d 15 km

Antwort: 15 km.

Task Nummer 13.

In 4000 g enthält die Lösung 80 g Salze. Was ist die Salzkonzentration in dieser Lösung?

Entscheidung:

Masse, G.

Konzentration,%

Lösung

4000

Salz

4000: 80 \u003d 100: x,

x \u003d
,

x \u003d 2.

Antwort: Salzkonzentration beträgt 2%.

Task Nummer 14.

Die Bank gibt ein Darlehen unter 10% pro Jahr. Sie erhalten ein Darlehen von 50.000 Rubel. Wie viel sollten Sie das Glas in einem Jahr zurücksenden?

Entscheidung:

50 000 Rubel.

100%

x Rubel.

50000: x \u003d 100: 10,

x \u003d 50000 * 10: 100,

x \u003d 5000.

5000 reiben ist 10%.

50 000 + 5000 \u003d 55 000 (reiben)

Antwort: Ein Jahr später wird die Bank 55.000 Rubel zurückgegeben.

Fazit.

Wie wir aus den obigen Beispielen sehen, sind direkte und inverse proportionale Abhängigkeiten in verschiedenen Lebensbereichen anwendbar:

Wirtschaft

Handel

In Produktion und Industrie,

Schulleben

Kochen,

Bau und Architektur.

Sport

Tierhaltung,

Topographie,

Physik

Chemie usw.

Auf Russisch, Sprichwörter und Sprüche etablieren auch direkte und rückseitige Abhängigkeit:

Da es passieren wird, wird es antworten.

Je höher der Baumstumpf, desto höher der Schatten.

Je größer die Menschen, der weniger Sauerstoff.

Und fertig, ja bestwkovo.

Mathematik - einer von antike WissenschaftenEs entstand auf der Grundlage der Bedürfnisse und den Bedürfnissen der Menschheit. Nachdem Sie die Geschichte bestanden haben, immer noch mit zu werden Antike GriechenlandEs bleibt immer noch relevant und notwendig in alltagsleben irgendjemand. Das Konzept der direkten und inversen proportionalen Abhängigkeit ist seit der Antike bekannt, da die Gesetze des Anteils von Architekten mit jeder Konstruktion gezogen oder eine Skulptur erstellen.

Die Kenntnisse der Proportionen werden in allen Lebensbereiche und menschlicher Tätigkeit häufig eingesetzt - ohne dass sie nicht tun können, wenn Malereien (Landschaften, noch Lebensländer, Porträts usw.), sind auch von Architekten und Ingenieuren weit verbreitet, - im Allgemeinen Es ist schwer vorstellbar, dass sich die Schöpfung selbst trotzdem ohne die Verwendung von Wissen über die Proportionen und ihres Verhältnisses angeht.

Literatur.

Mathematik-6, N.Ja. Vilenkin et al.

Algebra -7, G.V. Dorofeev usw.

Mathematik-9, GIA-9, bearbeitet von F.f. Lysenko, S.YU. Kulabukhova.

Mathematik-6, didaktische Materialien, S.V. Chulkov, A.b. Oyane.

Aufgaben in Mathematik für 4-5 Klassen, I.V. Baranova usw., M. "Education" 1988

Sammlung von Aufgaben und Beispielen in der Mathematik 5-6 Klasse, N.A. Tereshin,

Sogenannt Tereshina, M. "Aquarium" 1997

Grundziele:

das Konzept der direkten und inversen proportionalen Abhängigkeit von Werten einführen;
lehren, Probleme mit diesen Abhängigkeiten zu lösen;
zur Entwicklung der Fähigkeit zur Lösung von Problemen beitragen;
konsolidieren die Fähigkeiten, die Gleichungen nach Anteil durch den Anteil;
wiederholen Sie die Aktion mit gewöhnlicher und dezimalfraktionen.;
entwickeln logisches Denken Schüler

Während der Klassen

ICH. Selbstbestimmung zu Aktivitäten(Organisation von Zeiten)

- Jungs! Heute werden wir in der Lektion die mit dem Anteil gelösten Aufgaben vertraut.

II. Aktualisierung von Wissen und Fixierung von Schwierigkeiten bei Aktivitäten

2.1. Mündliche Arbeit (3 Minuten)

- Finden Sie den Wert der Ausdrücke und ermitteln Sie das in den Antworten verschlüsselte Wort.

14 - c; 0,1 - und; 7 - l; 0,2 - A; 17 - in; 25 - K.

- Es stellte sich das Wort - Macht heraus. Gut gemacht!
- Das Motto unserer Lektion heute: Stärke - in Wissen! Ich suche nach - es bedeutet, dass ich lerne!
- Machen Sie den Anteil der resultierenden Zahlen. (14: 7 \u003d 0,2: 0,1 usw.)

2.2. Betrachten Sie die Abhängigkeit zwischen den von uns bekannten Werten (7 min)

- mit dem Auto mit konstanter Geschwindigkeit und der Zeit ihrer Bewegung: S \u003d v · t (mit zunehmender Geschwindigkeit (Zeit) erhöht den Pfad);
- Fahrzeuggeschwindigkeit und Zeit mit der Zeit: v \u003d s: t(mit einer Zunahme der Zeit, um den Pfad zu passieren, nimmt die Geschwindigkeit ab);
– die Kosten der Waren, die zu einem Preis und seiner Nummer gekauft wurden: C \u003d a · n (mit einer Erhöhung (Abnahme) des Preises, Erhöhungen (Abnahme) die Kosten des Kaufs);
- Güterpreise und ihre Nummer: A \u003d C: n (mit zunehmender Menge, der Preis wird reduziert)
- Rechteckfläche und seine Längen (Breiten): S \u003d A · B (mit einer Zunahme der Länge (Breite) Die Fläche nimmt zu;
- Rechtecklängen und Breiten: A \u003d S: B (mit zunehmender Länge, die Breite wird reduziert;
- Die Anzahl der Arbeiter, die mit derselben Produktivität einer bestimmten Arbeit durchführen, und der Zeitpunkt der Durchführung dieser Arbeit: t \u003d A: n (mit einer Erhöhung der Anzahl der Arbeitszeit, die Arbeit abnimmt) usw.

Wir haben Abhängigkeiten erhalten, in denen mit einer Erhöhung des jeweils einen Wertes mehrmals der andere (die Pfeile zeigen) und Abhängigkeiten, in denen die Beispiele mit einer Erhöhung eines Werts mehrmals der zweite Wert in die gleiche Menge an nimmt.
Solche Abhängigkeiten werden direkte und inverse Proportionen bezeichnet.
Rechtproportionale Abhängigkeit - Die Abhängigkeit, in der mit einer Erhöhung der (abnehmenden) von einem Wert mehrmals den zweiten Wert gleichzeitig erhöht (verringert).
Back-proportionale Abhängigkeit - Die Abhängigkeit, in der mit einer Erhöhung der (abnehmenden) von einem Wert mehrmals (zunimmt) (zunimmt) den zweiten Wert gleichzeitig ab.

III. Staging. aufgabe

- Welches Problem stand vor uns auf? (Lernen Sie, direkte und inverse Abhängigkeiten zu unterscheiden)
- Das - zielunsere Lektion. Jetzt formulieren thema Lektion. (Direkte und umgekehrte proportionale Abhängigkeit).
- Gut gemacht! Schreiben Sie das Thema der Lektion in den Notebooks auf. (Der Lehrer schreibt das Thema auf dem Board.)

IV. "Eröffnung" eines neuen Wissens(10 Minuten)

Wir werden die Aufgaben Nr. 199 analysieren.

1. Der Drucker druckt 27 Seiten in 4,5 min. Wie lange druckt es 300 Seiten?

27 p. - 4,5 min.
300 p. X?

2. In einer Kiste mit 48 Packungen Tee 250 g jeweils. Wie viel wird es von diesen Teepaketen bis zu 150g bekommen?

48 Packungen - 250 g
x? - 150 g.

3. Das Auto fuhr 310 km, ist 25 Liter Benzin. Welche Entfernung kann das Auto in vollem Tank, 40L?

310 km - 25 l
x? - 40 L.

4. Auf einer der Kupplungszahnräder von 32 Zähnen und andererseits - 40. Wie viele Windungen machen den zweiten Gang, während der erste Umdrehungen von 215 führt?

32 Zähne - 315 herum.
40 Zähne - x?

Um den Anteil zu erstellen, ist eine Richtung der Pfeile erforderlich, denn dies in umgekehrter Proportionalität wird durch das Gegenteil ersetzt.

An der Tafel finden die Schüler die Bedeutung von Größenordnung, im Feld, die Studenten lösen einen, um die Aufgabe auszuwählen.

- Wort Die Regel der Lösung von Problemen mit direkter und inversen proportionaler Abhängigkeit.

Eine Tabelle erscheint auf der Tafel:

V. Primärkonsolidierung in der externen Sprache(10 Minuten)

Aufgaben auf Blättern:

5,1 kg Öl aus 21 kg Baumwollsamen erhalten. Wie viele Öl wird aus 7 kg Baumwollsamen kommen?
Für den Bau eines Stadions löschten 5 Bulldozer die Plattform für 210 Minuten. Für welche Zeit 7 der Bulldozer würde diese Plattform löschen?

Vi. Selbstständige Arbeit Mit Selbsttest auf dem Standard(5 Minuten)

Zwei Student leistet Aufgaben Nr. 225 alleine auf versteckten Boards, und der Rest ist in Notizbüchern. Sie überprüfen dann die Arbeit am Algorithmus und vergleichen mit der Lösung auf der Platine. Fehler werden korrigiert, sie erfahren ihre Ursachen. Wenn die Aufgabe abgeschlossen ist, klagen Sie rechts, dann eine Reihe von Studenten "+" -Zeichen.
Studierende, die Fehler in unabhängiger Arbeit erlaubt, können Berater nutzen.

Vii. Inklusion in Wissen und Wiederholung№ 271, № 270.

Sechs Leute arbeiten an der Tafel. Nach 3-4 Minuten repräsentieren die Studierenden, die am Vorstand gearbeitet haben, ihre Entscheidungen und den Rest - überprüfen Sie die Aufgaben und nehmen an ihrer Diskussion teil.

VIII. Reflexion der Aktivität (Lektion)

- Was ist neu, was du in der Klasse gelernt hast?
- Was wurde wiederholt?
- Was ist der Algorithmus zum Lösen von Problemen für den Anteil?
- Wir haben das Ziel erreicht?
- Wie bewerten Sie Ihre Arbeit?

I. direkt proportionale Werte.

Lass den Wert y. Hängt vom Wert ab h.. Wenn mit zunehmender h. Mehrmals der Größenordnung w. Erhöht gleichzeitig, dann solche Werte h. und W. Direkt proportional genannt.

Beispiele.

1 . Die Anzahl der gekauften Waren und der Kaufkosten (zu einem festen Preis einer Wareneinheit - 1 Stück oder 1 kg usw.) Wie oft wurden mehr Waren gekauft, für so oft mehr und bezahlt.

2 . Die Zeit verging und die Zeit (bei konstanter Geschwindigkeit). In welcher Zeit ist der Weg länger, wird Zeit für so oft verbringen, um sie durchzusetzen.

3 . Das Volumen eines Körpers und seiner Masse. ( Wenn eine Wassermelone zweimal mehr als der andere ist, ist die Masse davon zweimal mehr)

II. Eigentum der direkten Verhältnismäßigkeit von Werten.

Wenn zwei Werte direkt proportional sind, ist das Verhältnis von zwei willkürlich genommenen Werten des ersten Werts gleich dem Verhältnis der zwei entsprechenden Werte der zweiten Größe.

Aufgabe 1. Für Himbeermarmelade nahm 12 kg Malina I. 8 kg Sahara. Wie viel Zucker braucht, wenn sie aufgenommen haben? 9 kg Himbeeren?

Entscheidung.

Wir streiten sich so: lass es nehmen x kg. Sahara On. 9 kg Himbeeren. Die Masse der Himbeere und der Masse von Zucker sind direkt proportional zu: Wie oft weniger Himbeeren, zum selben Mal, dass Sie weniger Zucker brauchen. Folglich das Verhältnis (mit Masse) von Himbeeren ( 12:9 ) ist gleich der Haltung des Zuckers ( 8: H.). Wir bekommen den Anteil:

12: 9=8: x;

x \u003d 9. · 8: 12;

x \u003d 6. Antworten: auf der 9 kg Himbeeren müssen sich nehmen 6 kg Sahara.

Die Lösung des Problems Es war möglich, arrangieren und so:

Vorbeilassen 9 kg Himbeeren müssen sich nehmen x kg. Sahara.

(Die Pfeile in der Figur sind in eine Richtung gerichtet, in eine Richtung und nach oben oder unten - egal. Bedeutung: welches zeit die nummer 12 Mehr Nummern 9 , zur gleichen Zeit die Nummer 8 Mehr Nummern h., d. H., ist hier direkte Abhängigkeit).

Antworten: auf der 9 kg Himbeeren müssen sich nehmen 6 kg Sahara.

Aufgabe 2.Auto für 3 Stunden Fuhrabstand 264 km. Für zu welcher Zeit wird er passieren 440 kmWenn Sie mit der gleichen Geschwindigkeit gehen?

Entscheidung.

Lassen Sie an x Stunden Das Auto wird entfernt 440 km.

Antworten: Das Auto wird passieren 440 km in 5 Stunden.

Zwei Werte werden aufgerufen direkt proportionalWenn mit einer Erhöhung eines davon mehrmals die andere gleichzeitig zunimmt. Dementsprechend nimmt mit einer Abnahme einer von ihnen mehrmals der andere gleichzeitig ab.

Die Beziehung zwischen solchen Werten ist eine direkte proportionale Abhängigkeit. Beispiele für direkte proportionale Abhängigkeit:

1) Bei konstanter Geschwindigkeit hängt der Weg direkt proportional von der Zeit ab;

2) Der Umfang des Quadrats und seiner Seite ist direkt proportional;

3) Die Kosten der zu einem Preis gekauften Waren sind direkt proportional zu seiner Menge.

Um die direkte proportionale Abhängigkeit von der Rückseite zu unterscheiden, können Sie das Sprichwort verwenden: "Je weiter im Wald, desto mehr Brennholz."

Aufgaben zu direkten proportionalen Werten werden bequem vom Anteil gelöst.

1) Für die Herstellung von 10 Teilen benötigen Sie 3,5 kg Metall. Wie viel Metall wird zur Herstellung von 12 solcher Details gehen?

(Ich argumentiere so:

Legen Sie in der gefüllten Säule den Pfeil in Richtung von einer größeren Zahl bis zu den kleineren.

2. Je mehr Metall mehr Metall für ihre Herstellung benötigt wird. Es bedeutet, dass es direkt proportional zur Abhängigkeit ist.

Sei x kg Metallbedarf für die Herstellung von 12 Teilen. Wir machen einen Anteil (in Richtung von Anfang an von den Pfeilen bis zum Ende):

12: 10 \u003d x: 3.5

Zu finden, ist es notwendig, die Arbeit extremer Mitglieder an ein bekanntes durchschnittliches Mitglied zu teilen:

So dauert es 4,2 kg Metall.

Antwort: 4,2 kg.

2) 15 Meter von Gewebe gezahlt 1680 Rubel. Wie viel sind 12 Meter solcher Stoff?

(1. Legen Sie in der gefüllten Säule den Pfeil in die Richtung von einer größeren Zahl bis zu den kleineren.

2. Je kleiner der Stoff gekauft wird, desto weniger müssen Sie dafür bezahlen. Es bedeutet, dass es direkt proportional zur Abhängigkeit ist.

3. Daher ist der zweite Pfeil gleichermaßen von der ersten gerichtet).

Lassen Sie x Rubel 12 Gewebemesser stehen. Wir machen einen Anteil (vom Beginn der Pfeile bis sein Ende):

15: 12 \u003d 1680: x

Um ein unbekanntes extremes Mitglied des Anteils zu finden, diskutieren das Produkt der mittleren Mitglieder auf einem bekannten extremen Mitglied des Anteils:

Also, 12 Meter sind 1344 Rubel.

Antwort: 1344 Rubel.

Heute werden wir ansehen, welche Art von Werten umgekehrt aufgerufen werden, da der Graphen der inversen Verhältnismäßigkeit aussieht und wie es nicht nur in den Mathematikunterricht, sondern auch außerhalb der Schulmauern nützlich sein kann.

Eine solche Verhältnismäßigkeit

Verhältnismäßigkeit Rufen Sie zwei Werte an, die sich gegenseitig voneinander abhängig sind.

Die Abhängigkeit kann direkt und rückwärts sein. Folglich beschreiben die Beziehung zwischen Werten direkte und inversen Verhältnismäßigkeiten.

Direkte Verhältnismäßigkeit - Dies ist die Abhängigkeit von zwei Werten, bei denen eine Erhöhung oder eine Abnahme eines von ihnen zu einer Erhöhung der Abnahme der anderen führt. Jene. Ihre Haltung ändert sich nicht.

Je mehr Bemühungen, die Sie bei der Vorbereitung auf Prüfungen anbringen, desto höher sind Ihre Schätzungen. Oder desto mehr Dinge, die Sie mit Ihrer Wanderung mitnehmen, desto am schwersten, um Ihren Rucksack zu tragen. Jene. Die Anzahl der Anstrengungen zur Vorbereitung der Prüfungen ist direkt proportional zu den geschätzten Schätzungen. Und die Anzahl der in den Rucksack verpackten Dinge ist direkt proportional zu seinem Gewicht.

Inverse proportionalität. - Dies ist eine funktionale Abhängigkeit, bei der die Abnahme oder eine Erhöhung des mehrmals unabhängigen Werts (es als Argument genannt wird), führt dazu, dass proportional (dh zur gleichen Zeit) eine Erhöhung der Abnahme des abhängigen Werts (genannt wird)? Funktion).

Wir veranschaulichen ein einfaches Beispiel. Sie möchten auf dem Markt von Äpfeln kaufen. Äpfel auf der Theke und der Geldbetrag in Ihrer Brieftasche sind in umgekehrter Verhältnismäßigkeit. Jene. Je mehr Sie Apples kaufen, desto weniger Geld, das Sie haben werden.

Funktion und ihr Zeitplan

Die Funktion der inversen Verhältnismäßigkeit kann als beschrieben werden y \u003d k / x. Indem x.≠ 0 I. k.≠ 0.

Diese Funktion hat die folgenden Eigenschaften:

Der Bereich seiner Definition ist der Satz aller gültigen Zahlen außer x. = 0. D.(y.): (-∞; 0) u (0; + ∞).
Wertebereich sind alle gültigen Zahlen außer y.= 0. E (y): (-∞; 0) U. (0; +∞) .
Es hat nicht die größten und kleinsten Werte.
Es ist ein ungerade und sein Zeitplan ist am Anfang der Koordinaten symmetrisch.
Nicht periodisch.
Seine Grafik überquert nicht die Koordinatenachse.
Zerule nicht.
Wenn ein k.\u003e 0 (d. H. Argument steigt), die Funktion ist an jedem seiner Intervalle proportional abnehmend. Wenn ein k.< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
Mit einem Anstieg des Arguments ( k.\u003e 0) Die negativen Werte der Funktion befinden sich im Intervall (-∞; 0) und positiv - (0; + ∞). Beim absteigenden Argument ( k.< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Der Graph der Funktion der inversen Proportionalität wird als Hyperbole bezeichnet. Wie folgt dargestellt:

Aufgaben für inverse Anteilungen

Um klarer zu werden, verstehen wir mehrere Aufgaben. Sie sind nicht zu kompliziert, und ihre Lösung hilft Ihnen, sich eindeutig vorzustellen, was die umgekehrte Verhältnismäßigkeit ist und wie dieses Wissen in Ihrem üblichen Leben nützlich sein kann.

Aufgabe Nummer 1. Das Auto bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 60 km / h. Um zum Ziel zu gelangen, dauerte er 6 Stunden. Wie viel Zeit muss er dieselbe Entfernung überwinden, wenn sie mit einer Geschwindigkeit 2-mal höher ist?

Wir können mit der Tatsache beginnen, dass wir eine Formel aufschreiben, die das Verhältnis von Zeit, Abstand und Geschwindigkeit beschreibt: T \u003d S / V. Einverstanden, erinnert uns sehr viel an die umgekehrte Verhältnismäßigkeit. Und zeigt an, dass die Zeit, die das Auto auf dem Weg verbracht hat, und die Geschwindigkeit, mit der sie sich bewegt, in umgekehrter Verhältnismäßigkeit ist.

Um sicherzugehen, finden wir v2, was nach oben, zweimal: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h ist. Dann berechnen wir die Entfernung durch die Formel S \u003d v * t \u003d 60 * 6 \u003d 360 km. Nun ist es nicht schwierig, die Zeit t 2 herauszufinden, die von uns unter der Bedingung des Problems erforderlich ist: t 2 \u003d 360/120 \u003d 3 Stunden.

Wie Sie auf dem Weg sehen können, und die Bewegungsgeschwindigkeit ist wirklich umgekehrt proportional: Mit einer Geschwindigkeit von zweimal höher wird das anfängliche Auto 2-mal weniger Zeit auf der Straße verbringen.

Die Lösung für diese Aufgabe kann in Form des Anteils erfasst werden. Für die sie zuerst ein solches Schema machen:

↓ 60 km / h - 6 h

↓ 120 km / ch - x

Die Pfeile zeigen umgekehrte proportionale Abhängigkeit an. Und deuten darauf hin, dass beim Erzählen des Anteils die rechte Seite des Datensatzes umgedreht werden sollte: 60/120 \u003d X / 6. Wo wir x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 h bekommen.

Task Nummer 2. In der Werkstatt arbeiten 6 Arbeiter, die mit einer bestimmten Arbeit in 4 Stunden umgehen. Wenn die Anzahl der Arbeitnehmer um zweimal reduziert wird, wie lange müssen die verbleibenden Arbeitsleistung die gleiche Menge an Arbeiten ausführen?

Wir schreiben die Bedingungen des Problems in Form eines visuellen Schemas:

↓ 6 Arbeiter - 4 Stunden

↓ 3 Arbeiter

Wir schreiben es in Form von Anteil: 6/3 \u003d X / 4. Und wir erhalten x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 h. Wenn die Arbeiter 2-mal weniger werden, werden die verbleibenden, die verbleibende Arbeiten auf der Erfüllung aller Arbeiten zweimal länger verbringen.

Task Nummer 3. Zwei Rohre führen zum Pool. Durch ein Rohr wird Wasser mit einer Geschwindigkeit von 2 l / s geliefert und füllt den Pool in 45 Minuten. Durch ein anderes Rohr wird der Pool in 75 Minuten gefüllt. Welches Geschwindigkeitswasser tritt durch diese Pfeife in den Pool?

Für einen Start präsentieren wir alle Daten von uns durch den Zustand des Werts des Werts auf dieselben Messeinheiten. Dazu drücken wir die Geschwindigkeit des Füllens des Pools in Liter pro Minute aus: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.

Da es aus dem Zustand folgt, dass der Pool durch das zweite Rohr langsamer gefüllt ist, bedeutet dies, dass die Wasserflussrate niedriger ist. Das Gesicht ist inverse Verhältnismäßigkeit. Eine unbekannte Geschwindigkeit wird sie durch X ausdrücken und ein solches Schema machen:

↓ 120 l / min - 45 min

↓ x l / min - 75 min

Dann machen Sie einen Anteil: 120 / x \u003d 75/45, wobei x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

In der Aufgabe wird die Füllrate des Pools in Litern pro Sekunde ausgedrückt, wir geben die Antwort, die wir an denselben Typ erhalten haben: 72/60 \u003d 1,2 l / s.

Task Nummer 4. In einem kleinen privaten Druckhaus werden Visitenkarten gedruckt. Ein Typografiebeauftragter arbeitet mit einer Geschwindigkeit von 42 Visitenkarten pro Stunde und Sorgen der Vollzeit - 8 Stunden. Wenn er schneller arbeitete und in einer Stunde 48 Visitenkarten gedruckt hat, wie viel ging er vorher nach Hause?

Wir gehen zum bewährten Pfad und bilden das Schema unter dem Zustand, wodurch der gewünschte Wert als x bezeichnet wird:

↓ 42 Visitenkarten / H - 8 Stunden

↓ 48 Visitenkarten / ch - x

Wir sind umgekehrt proportional zur Abhängigkeit: Wie oft drucken mehr Visitenkarten einen Angestellten des Druckhauses, gleichzeitig weniger als die Zeit, die es benötigt wird, um dieselbe Arbeit auszuführen. Erkennt es, den Anteil auszugleichen:

42/48 \u003d X / 8, X \u003d 42 * 8/48 \u003d 7H.

Daher wäre ein Druckkraftoffizier mit der Arbeit in 7 Stunden in der Lage, eine Stunde früher nach Hause zu gehen.

Fazit

Es scheint uns, dass diese Aufgaben für inversen Verhältnismäßigkeiten wirklich unkompliziert sind. Wir hoffen, dass Sie sie jetzt auch als solche betrachten. Und vor allem kann das Wissen über die Rückenproportionalabhängigkeitswerte in der Tat mehr als einmal nützlich sein.

Nicht nur im Unterricht der Mathematik und Prüfungen. Aber wenn Sie auf eine Reise gehen, gehen Sie einkaufen, entscheiden Sie sich für ein wenig im Urlaub usw.

Erzählen Sie uns in den Kommentaren, welche Beispiele für umgekehrte und direkte proportionale Abhängigkeit, die Sie um sich selbst bemerken. Lass es so ein Spiel sein. Hier wirst du sehen, wie aufregend es ist. Vergessen Sie nicht, diesen Artikel in "verringern" soziale NetzwerkeDamit können Ihre Freunde und Klassenkameraden auch spielen.

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