Der Cosinuswert von 0. Der Cosinus eines spitzen Winkels kann unter Verwendung eines rechteckigen Dreiecks bestimmt werden - sie entspricht dem Verhältnis der benachbarten Kategorie in die Hypotenuse

Beachtung!
Dieses Thema hat zusätzliche
Materialien in einem speziellen Abschnitt 555.
Für diejenigen, die stark sind "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr ..." sind)

Zunächst erinnere ich eine einfache, aber sehr nützliche Schlussfolgerung von der Lektion "Was ist Sinus und Cosinus? Was ist Tangent und Kotangenes?"

Diese Schlussfolgerung ist:

Sinus, Kosinus, Tangente und Kotangenes sind fest mit ihren Ecken verbunden. Wir kennen eine Sache - es bedeutet, wir kennen den anderen.

Mit anderen Worten, jede Ecke hat seinen eigenen konstanten Sinus und Cosinus. Und fast jeder hat seinen eigenen Tangenten und Kotangent. Warum fast? Darüber nach unten.

Dieses Wissen ist großartig, hilft beim Studium! Es gibt viele Aufgaben, in denen Sie sich von den Nasennebenschaften an den Ecken bewegen müssen und umgekehrt. Es gibt dafür vorhanden sinus-Tisch. Ebenso für Aufgaben mit Cosinus - cosinus-Tisch. Und wie Sie schon erraten, gibt es tisch-Tangenten und tischkatibilität.)

Tische sind unterschiedlich. Lang, wo Sie sehen können, was gleich, sagen, sin37 ° 6 '. Enthüllen Sie die Bradys Tische und suchen einen Winkel von sechsunddreißig Grad sechs Minuten und sehen Sie den Wert von 0,6032. Es ist klar, dass diese Zahl nicht erinnert ist (und Tausende anderer tabellarischer Werte) ist absolut nicht erforderlich.

In unserer Zeit werden in unserer Zeit die langen Tische der Cosinushöhlen von Kotangenten nicht besonders benötigt. Ein guter Rechner ersetzt sie vollständig. Es stört jedoch nicht mit dem Vorhandensein solcher Tabellen. Für die allgemeine Eraudition.)

Und warum dann diese Lektion?! - du fragst.

Aber warum. Unter der unendlichen Anzahl von Ecken gibt es besondere, was Sie wissen müssen alles. An diesen Ecken wurden alle Schulgeometrie und Trigonometrie gebaut. Dies ist eine Art "Multiplikationstabelle" Trigonometrie. Wenn Sie nicht wissen, was beispielsweise gleich ist, zum Beispiel SIN50 °, wird niemand Sie verurteilen.) Aber wenn Sie nicht wissen, was gleich SIN30 ° ist, ist es bereit, ein verdiente zwei ...

Eine solche besondere Die Winkel werden auch anständig rekrutiert. Schul-Lehrbücher bieten in der Regel freundlich, sich zu merken sinus-Tabelle und Cosinus-Tisch Für siebzehn Ecken. Und natürlich, tischtisch und Catangen-Tabelle Für die gleichen siebzehn Ecken ... d. H. Es wird vorgeschlagen, sich 68 Werte zu erinnern. Was übrigens sehr ähnlich sind, dann wird es wiederholt und ändert Markierungen. Für eine Person ohne perfekte visuelle Erinnerung - die weitere Aufgabe ...)

Wir werden auf andere Weise gehen. Wir ersetzen die mechanische Meldung von Logik und Schmelzen. Dann müssen wir 3 (drei!) Werte für den Sinus-Tisch und den Cosinus-Tisch aussteigen. Und 3 (drei!) Werte für Tangentabellen und Cotanst-Tabellen. Und alle. Sechs Werte erinnern sich leichter als 68, es scheint mir ...)

Alle anderen notwendigen Wichtigkeiten erhalten wir von diesen sechs mit Hilfe einer mächtigen legitimen Krippe - Trigonometrischer Kreis. Wenn Sie dieses Thema nicht untersucht haben, gehen Sie auf eine Referenz, seien Sie nicht faul. Dieser Kreis ist nicht nur für diese Lektion erforderlich. Er ist unersetzlich für alle Trigonometrie sofort. Verwenden Sie kein solches Werkzeug nur Sünde! Du willst nicht? Das geht nur dich was an. Erkunden sinus-Tisch. Tabelle von Cosinus. Tischtisch. Tischkatibilität. Alle 68 Werte für eine Vielzahl von Ecken.)

Also, lass uns anfangen. Um damit zu beginnen, brechen wir alle diese speziellen Winkel in drei Gruppen.

Erste Gruppe von Ecken.

Betrachten Sie die erste Gruppe ecken von siebzehn. besondere. Es sind 5 Winkel: 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °.

So sieht der Sinus-Tisch der Cotanens-Täume für diese Ecken aus wie:

Ecke H. (in Grad)	0	90	180	270	360
Ecke H. (in Radiden)	0
sin X.	0	1	0	-1	0
cos x.	1	0	-1	0	1
tg x.	0	nicht Essenz	0	nicht Essenz	0
cTG X.	nicht Essenz	0	nicht Essenz	0	nicht Essenz

Diejenigen, die sich erinnern möchten, denken Sie daran. Aber ich werde sofort sagen, dass all diese Einheiten und Eiferen sehr verwirrt sind. Es ist viel stärker als ich will.) Daher schalten wir den logischen und trigonometrischen Kreis ein.

Wir zeichnen einen Kreis und feiern die gleichen Ecken darauf: 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °. Ich habe diese Ecken mit roten Punkten bemerkt:

Sofort können Sie sehen, was das Merkmal dieser Winkel ist. Ja! Dies sind die Winkel, die fallen genau auf der Koordinatenachse! Eigentlich sind also die Leute verwirrt ... aber wir werden nicht verwirrt sein. Schauen wir uns an, wie Sie die trigonometrischen Funktionen dieser Winkel ohne viel Erinnerung finden.

Übrigens die Position des Winkels von 0 Grad voll zusammenfallen Mit der Position eines Winkels von 360 Grad. Dies bedeutet, dass Sines, Cosinys, Tangenten in diesen Winkeln völlig gleich sind. Ich bemerkte einen Winkel von 360 Grad, um den Kreis zu schließen.

Angenommen, in der komplexen Stresseinstellung der Prüfung, Sie irgendwie leinig ... Was ist der Sinus 0 Grad? Es scheint null zu sein ... was ist, wenn eins?! Mechanische Memorisierung einer solchen Sache. In rauen Bedingungen, Zweifel nagten ...)

Ruhig, nur beruhigend!) Ich werde Ihnen eine praktische Annahme erzählen, die eine hundertprozentige korrekte Antwort abgeben wird, und es wird sicherlich Zweifel entfernen.

Als Beispiel werden wir beschreiben, wie man klar und zuverlässig bestimmen kann, sagen sinus 0 Grad. Und gleichzeitig, und Cosinus 0. Es ist in diesen Werten, seltsamerweise, oft, oft sind die Menschen verwirrt.

Um dies zu tun, ziehen Sie einen Kreis willkürlich Winkel h.. Im ersten Quartal bis nicht weit von 0 Grad. Hinweis an den Achsen von Sinus und Cosinus dieses Winkels x, Alles ist Chin-Chinar. So:

Und jetzt - Achtung! Ecke reduzieren h.Bring die bewegliche Seite zur Achse OH. Bewegen Sie den Cursor über das Bild (oder tippen Sie auf Bilder auf dem Tablet) und sehen Sie alles.

Schalten Sie nun die Elementarlogik ein! Wir sehen und denken: wie verhält sich SINX mit einer Abnahme des Winkels x? Wenn Sie sich dem Winkel auf Null nähern? Es nimmt ab! Und cosx - nimmt zu! Es bleibt zu erfahren, was mit Sinus passieren wird, wenn der Winkel überhaupt auftritt? Wenn die bewegliche Seite des Winkels (Punkt a) auf der Achse ausgegeben wird, ist der Winkel gleich Null? Natürlich geht der Sinuswinkel auf Null. Und der Cosinus wird zunehmen, um ... zu ... wie ist die Länge der beweglichen Seite des Winkels (der Radius des trigonometrischen Kreises)? Einheit!

Das ist die Antwort. Sinus 0 Grad ist 0. Cosinus 0 Grad ist gleich 1. Ganz Eisen und ohne Zweifel!) Einfach weil sonst es kann nicht sein.

Es ist möglich, den Sinus von 270 Grad von 270 Grad zu lernen (oder zu klären). Oder Cosinus 180. Zeichne einen Kreis, willkürlich Die Ecke der Koordinaten, die Sie an der interessierenden Achse für uns interessieren, bewegen sich geistig die Seite des Winkels und fangen, was der Sinus und Cosinus wird, wenn die Seite des Winkels auf der Achse aufgewendet wird. Das ist alles.

Wie Sie sehen, ist es nicht notwendig, etwas für diese Eckengruppe zu merken. Hier nicht benötigt sinus-Tisch ... Ja ich. tabelle KOSINEOV. - Auch.) Übrigens, nach mehreren Anwendungen eines trigonometrischen Kreises werden alle diese Werte von sich selbst erinnert. Und wenn sie vergessen - ich habe einen Kreis 5 Sekunden lang gemalt und geklärt. Viel einfacher als einen Freund von einer Toilette mit einem Risiko für ein Zertifikat, richtig?)

Was Tangent und Kothannez angeht - trotzdem. Wir zeichnen den Kreis die Zeile von Tangente (Kotangens) - und alles ist sofort sichtbar. Wo sie Null sind und wo nicht existieren. Was wissen Sie nicht über die Zeile von Tangente und Kotnenz? Das ist traurig, aber fixierbar.) Wir haben den Abschnitt 555 Tangent und Kotangenes auf einem trigonometrischen Kreis besucht - und es gibt keine Probleme!

Wenn Sie verstehen, wie man Sinus, Cosinus, Tangente und Katagene für diese fünf Winkel eindeutig definieren kann - ich gratuliere Ihnen! Nur für den Fall, dass ich Sie jetzt informiere, können Sie Funktionen definieren alle Ecken, die auf die Achse fallen. Und dies ist 450 ° und 540 ° und 1800 ° und sogar eine unendliche Zahl ...) gezählt (rechts!) Ecke auf dem Kreis - und es gibt keine Probleme mit Funktionen.

Aber nur mit dem Countdown der Ecken und Probleme gibt es Probleme, ja, Fehler ... So vermeiden Sie sie, es ist in der Lektion geschrieben: So zeichnen (Zählen) einen beliebigen Winkel des trigonometrischen Kreises in Grad. Es ist elementar, aber es hilft bei der Bekämpfung von Fehlern.)

Aber die Lektion: Wie man (Zählen) einen beliebigen Winkel auf einem trigonometrischen Kreis in Radiden anzieht - wird abrupter sein. Im Sinne von Möglichkeiten. Sagen wir, bestimmen Sie, welche der vier Halbachsen einen Winkel

sie können in ein paar Sekunden. Ich mache keinen Spaß! Es ist in ein paar Sekunden. Nun, natürlich nicht nur 345 "Pi" ...) und 121 und 16 und -1345. Jeder ganze Koeffizient eignet sich für eine momentane Reaktion.

Und wenn die Ecke

Überlegen! Die richtige Antwort wird 10 Sekunden lang erhalten. Für einen beliebigen fraktionalen Strahlungswert mit einem Twos im Nenner.

Tatsächlich ist dies ein guter trigonometrischer Kreis. Die Tatsache, dass die Fähigkeit, mit zu arbeiten etwas Er erweitert die Ecken automatisch unendliches Set. Ecken.

Also mit fünf Winkeln von siebzehn Jahren.

Zweite Gruppe von Ecken.

Die nächste Winkelgruppe beträgt 30 °, 45 ° und 60 ° Winkel. Warum sind diese und nicht, zum Beispiel 20, 50 und 80? Ja, irgendwie ist es so passiert ... historisch.) Dann wird es gesehen, was diese Ecken gut sind.

Der Sinus-Tisch der Cosinee von Tangenten von Katangern für diese Ecken sieht aus wie folgt aus:

Ecke H. (in Grad)	0	30	45	60	90
Ecke H. (in Radiden)	0
sin X.	0				1
cos x.	1				0
tg x.	0		1		nicht Essenz
cTG X.	nicht Essenz		1		0

Ich habe die Werte für 0 ° und 90 ° von der vorherigen Tabelle verlassen, um das Bild abzuschließen.) Es ist zu sehen, dass diese Winkel im ersten Quartal liegen und zunehmen. Von 0 bis 90. Es wird praktisch kommen.

Tabellenwerte für Winkel 30 °, 45 ° und 60 ° müssen erinnert werden. Teilen Sie, wenn Sie möchten. Aber hier ist es möglich, mein Leben zu erleichtern.) Achten Sie darauf sinus-Tabellenwerte. Diese Ecken. Und vergleiche S. die Werte des Cosinus-Tisches ...

Ja! Sie sind gleich! Nur in umgekehrter Reihenfolge angeordnet. Ecken erhöhen (0, 30, 45, 60, 90) - und Sinuswerte erhöhen, ansteigen Von 0 bis 1. Sie können den Rechner sicherstellen. Und Cosinus-Werte - verringern von 1 bis Null. Und die Werte selbst gleich. Für Winkel 20, 50, 80 würde nicht funktionieren ...

Daher die sinnvolle Schlussfolgerung. Genug zu lernen. drei Werte für Winkel 30, 45, 60 Grad. Und denken Sie daran, dass der Sinus zunimmt, und Kosinus nimmt ab. In Richtung Sinusu.) Auf der Hälfte des Weges (45 °) treffen sie sich, d. H. Sinus 45 Grad gleich Cosinus 45 Grad. Und dann wieder divergieren ... Drei Werte können gelernt, richtig?

Mit Tangenten - Cotangents ist das Bild ausschließlich gleich. Eins zu eins. Nur Werte sind unterschiedlich. Diese Werte (drei weitere!) Wir müssen auch lernen.

Nun, fast die Memorisierung und endete. Sie haben es verstanden (ich hoffe), wie Sie die Werte für fünf Winkel der auf der Achse fallen, die auf die Achse fallen und die Werte für die Winkel von 30, 45, 60 Grad gelernt haben. Insgesamt 8.

Es ist weiterhin, mit der letzten Gruppe von 9 Winkeln umzugehen.

Dies sind diese Ecken:
120 °; 135 °; 150 °; 210 °; 225 °; 240 °; 300 °; 315 °; 330 °. Für diese Winkel ist es notwendig, den Sinus-Tisch, den Cosinus-Tisch usw. zu kennen, usw.

Albtraum, richtig?)

Und wenn Sie hier eine Ecke hinzufügen, wie: 405 °, 600 ° oder 3000 ° und viele, viele der gleichen Schönheiten?)

Oder Ecken in den Radiden? Zum Beispiel über die Winkel:

und viele andere, müssen Sie wissen alles.

Die lustige Sache zu wissen ist alles - es ist grundsätzlich unmöglich. Bei Verwendung mechanischer Erinnerung.

Und sehr leicht, eigentlich elementar - wenn Sie einen trigonometrischen Kreis verwenden. Wenn Sie mit einem trigonometrischen Kreis von praktischer Arbeit beherrscht werden, werden alle diese schrecklichen Winkel in Grad leicht und elegant auf Altes Gut kommen:

Übrigens habe ich noch weitere interessante Sehenswürdigkeiten für dich.)

Es kann auf das Lösen von Beispielen zugegriffen werden und erfahren Sie Ihr Niveau. Testen mit Instant-Check. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Derivaten kennenlernen.

Beispiele:

\\ (\\ cos (\u206130 ^ °) \u003d \\) \\ (\\ frac (\\ sqrt (3)) (2) \\)
\\ (\\ cos\u2061 \\) \\ (\\ frac (π) (3) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (1) (2) \\)
\\ (\\ cos\u20612 \u003d -0.416 ... \\)

Argument und Wert

Cosinus der akuten Ecke

Cosinus der akuten Ecke Es kann mit einem rechteckigen Dreieck bestimmt werden - es ist gleich dem Verhältnis des benachbarten Katechs für Hypotenuse.

Beispiel :

1) lassen Sie es einen Winkel und müssen den Cosinus dieses Winkels bestimmen.

2) Dieses rechteckige Dreieck ist an dieser Ecke abgeschlossen.

3) Messung, die notwendigen Parteien können den Cosinus berechnen.

Cosinus des akuten Winkels größer als \\ (0 \\) und weniger \\ (1 \\)

Wenn bei der Lösung der Aufgabe, dass der Cosinus eines spitzen Winkels mehr als 1 oder negativ betrachtet hat, bedeutet es irgendwo in der Lösung, es gibt einen Fehler.

Cosinus-Nummern

Mit dem Zahlenkreis können Sie das Cosinus von beliebiger Anzahl bestimmen, sind jedoch in der Regel ein Cosinus von Zahlen, das irgendwie mit: \\ (\\ frac (π) (2) \\), \\ (\\ frac (3π) (4)), \\ (- 2π \\).

Beispielsweise ist für die Zahl \\ (\\ frac (π) (6) \\) - der Cosinus gleich \\ (\\ frac (\\ sqrt (3)) (2) \\). Und für die Nummer \\ (- \\) \\ (\\ frac (3π) (4) \\), ist es gleich \\ (- \\) \\ (\\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \\) (ungefähr \\ (- 0, 71 \\)).

Cosinus für andere, die in der Praxis der Zahlen üblich sind, betrachtet.

Der Cosinuswert liegt immer innerhalb der Grenzen von \\ (- 1 \\) bis \\ (1 \\). In diesem Fall kann der Cosinus für absolut beliebige Winkel und die Zahl berechnet werden.

Cosinus von jeder Ecke

Aufgrund des numerischen Kreises können Sie einen Cosinus von nicht nur einen spitzen Winkel definieren, sondern auch ein dummes, negatives und noch mehr als \\ (360 °) (volle Revolution). So tun Sie es - es ist einfacher, einmal einmal zu sehen, als (100 \\) einmal zu hören, also sehen Sie das Bild.

Nun eine Erklärung: Sie müssen Sie den Cosinus des Winkels definieren Kugel mit einem Grad in \\ (150 °). Wir kombinieren den Punkt ÜBER Mit der Mitte des Kreises und der Seite OK - mit Axis \\ (x \\). Danach verschieben wir \\ (150 ° \\) gegen den Uhrzeigersinn. Dann ist die Ordinate der Punkt ABER Zeigt uns Cosinus dieser Ecke.

Wenn wir uns für einen Winkel mit einem Grad interessieren, beispielsweise in \\ (- 60 ° \\) (Winkel Cov.), Wir tun auch, aber \\ (60 ° \\) werden im Uhrzeigersinn verschoben.

Und schließlich winkel mehr \\ (360 °) (Winkel Cos) - Alles ist unähnlich, um den vollen Umdrehungen im Uhrzeigersinn zu passieren, gehen wir in die zweite Runde und "Wir bekommen den Mangel an Grade." Insbesondere wird in unserem Fall der Winkel \\ (405 ° \\) als \\ (360 ° + 45 °) verschoben.

Es ist leicht zu erraten, dass zum Beispiel zum Verlegen eines Winkels beispielsweise in \\ (960 ° \\) zwei Windungen erforderlich ist (\\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \\)) und für den Winkel in \\ (2640 ° \\) - Ganzzahlen sieben.

Es lohnt sich, sich daran zu erinnern, dass:

Die direkte Ecke Cosinus ist Null. Der Cosinus eines dummen Winkels ist negativ.

Cosinus-Anzeichen auf Viertel

Mit Hilfe der Cosinusachse (d. H. Die in der Figur in rot ausgewählte ABSCISSE-Achse) kann die Anzeichen von Cosinus-Kreis (trigonometrisch) leicht zu bestimmen:

Wenn die Werte auf der Achse von \\ (0 \\) bis \\ (1 \\) sind, hat der Cosinus ein Pluszeichen (I und IV-Viertel - ein grüner Bereich),
- Wenn die Werte auf der Achse von \\ (0 \\) bis \\ (- 1 \\), wird der Cosinus einen Minus (II und QIII III und III - Purple Region) haben.

Beispiel. Bestimmen Sie das Zeichen \\ (\\ cos 1 \\).
Entscheidung: Finden Sie \\ (1 \\) auf trigonometrischer Kreis. Wir werden von der Tatsache abstoßen, dass \\ (π \u003d 3.14 \\). Das Gerät ist also ungefähr dreimal näher an Null (Punkt "Start").

Wenn Sie eine senkrecht zur Cosinusachse halten, wird es offensichtlich, dass \\ (\\ cos\u20611 \\) positiv ist.
Antworten: ein Plus.

Kommunikation mit anderen trigonometrischen Funktionen:

- der gleiche Winkel (oder Zahlen): das Haupt trigonometrische Identität \\ (\\ sin ^ 2\u2061x + \\ cos ^ 2\u2061x \u003d 1 \\)
- derselbe Winkel (oder Zahlen): Formel \\ (1 + TG ^ 2\u2061x \u003d \\) \\ (\\ frac (1) (\\ cos ^ 2\u2061x) \\)
- und Sinus desselben Winkels (oder Nummern): Formel \\ (ctgx \u003d \\) \\ (\\ frac (\\ cos (x)) (\\ sin\u2061x) \\)
Anderste am häufigsten verwendete Formeln sehen.

Funktion \\ (y \u003d cos (x) \\)

Wenn Sie die Winkel in den Radiden entlang der Achse \\ (x \\) verschieben, und auf der Achse \\ (\\), die denjenigen Cosinus-Werten, die diesen Ecken entsprechen, erhalten wir folgende Tabelle:

Der Graph dieser wird aufgerufen und hat folgende Eigenschaften:

Der Definitionsbereich ist ein beliebiger Wert des ICA: \\ (d (\\ cos (\u2061x)) \u003d R \\)
- der Wertebereich - von \\ (- 1 \\) bis \\ (1 \\) inklusive: \\ (E (\\ cos (x)) \u003d [- 1; 1] \\)
- auch: \\ (\\ cos\u2061 (-x) \u003d \\ cos (x) \\)
- Periodische mit einem Zeitraum \\ (2π \\): \\ (\\ cos\u2061 (x + 2π) \u003d \\ cos (x) \\)
- Punkt der Kreuzung mit Koordinatenachsen:
Die Abszisse-Achse: \\ ((\\) \\ (\\ frac (π) (2) \\) \\ (+ πn \\), \\ (; 0) \\), wobei \\ (n ε z \\)
Ortinitätsachse: \\ ((0; 1) \\)
- Zeichenintervalle:
Die Funktion ist in Intervallen positiv: \\ ((- \\) \\ (\\ frac (π) (2) \\) \\ (+ 2πn; \\) \\ (\\ frac (π) (2) \\) \\ (+ 2πn) \\ ), wobei \\ (n ε z \\)
Die Funktion ist in Intervallen negativ: \\ ((\\) \\ (\\ frac (π) (2) \\) \\ (+ 2πn; \\) \\ (\\ frac (3π) (2) \\) \\ (+ 2πn) \\) , wo \\ (n ε z \\)
- Lücken der Erhöhung und Absteigung:
Die Funktion erhöht sich in Intervallen: \\ ((π + 2πn; 2π + 2πn) \\), wobei \\ (n ε z \\)
Funktion nimmt in Intervallen ab: \\ ((2πn; π + 2πn) \\), wobei \\ (n ε z \\)
- Maxims und Mindestmerkmale:
Die Funktion hat den Maximalwert \\ (y \u003d 1 \\) an Punkten \\ (x \u003d 2πn \\), wobei \\ (n ε z \\)
Die Funktion hat den Mindestwert \\ (y \u003d -1 \\) an Punkten \\ (x \u003d π + 2πn \\), wobei \\ (n ε z \\).