Ebenennormalenvektor, Koordinaten des Ebenennormalenvektors. Der Normalenvektor der Geraden (Normalenvektor) Der Normalenvektor der Geraden x 3 hat die Koordinaten

Beim Studium der Gleichungen einer Geraden in einer Ebene und im dreidimensionalen Raum verlassen wir uns auf die Vektoralgebra. Dabei sind der Richtvektor der Geraden und der Normalenvektor der Geraden von besonderer Bedeutung. In diesem Artikel werden wir uns den Normalenvektor einer Linie genauer ansehen. Beginnen wir mit der Definition des Normalenvektors einer Geraden, geben wir Beispiele und grafische Illustrationen. Als nächstes wenden wir uns der Ermittlung der Koordinaten des Normalenvektors einer Geraden mit den bekannten Gleichungen einer Geraden zu und zeigen detaillierte Lösungen für die Probleme.

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Normalenvektor einer geraden Linie - Definition, Beispiele, Illustrationen.

Um das Material zu verstehen, müssen Sie eine gerade Linie und eine Ebene genau verstehen und auch die grundlegenden Definitionen von Vektoren kennen. Daher empfehlen wir Ihnen, zuerst Ihre Erinnerung an das Material der Artikel, eine Gerade in einer Ebene, eine Gerade im Raum, die Idee einer Ebene usw. aufzufrischen.

Geben wir die Definition des Normalenvektors einer Geraden an.

Definition.

Normallinienvektor ist ein Vektor ungleich Null, der auf einer beliebigen Geraden senkrecht zu der gegebenen liegt.

Aus der Definition des Normalenvektors einer Geraden ist klar, dass es eine unendliche Menge von Normalenvektoren einer gegebenen Geraden gibt.

Die Bestimmung des Normalenvektors einer Geraden und die Bestimmung des Richtungsvektors einer Geraden lassen den Schluss zu, dass jeder Normalenvektor einer gegebenen Geraden senkrecht zu jedem Richtungsvektor dieser Geraden steht.

Geben wir ein Beispiel für einen Normalenvektor einer Geraden.

Lassen Sie sich Oxy im Flugzeug geben. Einer der Normalenvektoren der Koordinatenlinie Ox ist der Koordinatenvektor. Tatsächlich ist der Vektor ungleich Null und liegt auf der Koordinatenlinie Oy, die senkrecht zur Ox-Achse steht. Die Menge aller Normalenvektoren der Koordinatenlinie Ox im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy kann angegeben werden als .

Im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxyz im dreidimensionalen Raum ist der Normalenvektor der Geraden Oz ein Vektor. Der Koordinatenvektor ist auch der Normalenvektor der Geraden Oz. Offensichtlich ist jeder Vektor ungleich Null, der in einer Ebene senkrecht zur Oz-Achse liegt, der Normalenvektor der Oz-Linie.

Koordinaten des Normalenvektors einer Geraden - Finden der Koordinaten des Normalenvektors einer Geraden gemäß den bekannten Gleichungen dieser Geraden.

Wenn wir eine Gerade in einem rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy betrachten, dann entspricht die Gleichung einer Geraden in einer Art Ebene ihr, und die Normalenvektoren der Geraden werden durch ihre Koordinaten bestimmt (siehe Artikel). Dies wirft die Frage auf: "Wie findet man die Koordinaten des Normalenvektors einer Geraden, wenn wir die Gleichung dieser Geraden kennen"?

Lassen Sie uns die Antwort auf die Frage finden, die sich für Geraden stellt, die auf der Ebene durch Gleichungen verschiedener Art gegeben sind.

Wenn eine Gerade auf einer Ebene durch die allgemeine Gleichung einer Geraden der Form , dann repräsentieren die Koeffizienten A und B die entsprechenden Koordinaten des Normalenvektors dieser Geraden.

Beispiel.

Finden Sie die Koordinaten eines Normalenvektors einer Geraden .

Lösung.

Da die Gerade durch die allgemeine Gleichung gegeben ist, können wir sofort die Koordinaten ihres Normalenvektors aufschreiben - es sind die entsprechenden Koeffizienten vor den Variablen x und y. Das heißt, der Normalenvektor einer geraden Linie hat Koordinaten.

Antworten:

Eine der Zahlen A oder B in der allgemeinen Geradengleichung kann Null sein. Dies sollte Sie nicht verwirren. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel.

Wählen Sie einen beliebigen Normallinienvektor.

Lösung.

Wir erhalten eine unvollständige allgemeine Geradengleichung. Es kann umgeschrieben werden als , von wo aus die Koordinaten des Normalenvektors dieser Geraden sofort sichtbar sind:.

Antworten:

Die Gleichung einer Geraden in Segmenten der Form oder die Gleichung einer Geraden mit einer Steigung lässt sich leicht auf die allgemeine Geradengleichung reduzieren, aus der die Koordinaten des Normalenvektors dieser Geraden ermittelt werden.

Beispiel.

Finden Sie die Koordinaten des Normalenvektors einer Geraden.

Lösung.

Es ist sehr einfach, von der Gleichung einer Geraden in Segmenten zur allgemeinen Gleichung einer Geraden überzugehen: ... Daher hat der Normalenvektor dieser Linie Koordinaten.

Antworten:

Wenn die Gerade durch die kanonische Gleichung der Geraden in der Formebene oder parametrische Gleichungen der Geraden in der Formebene definiert ist , dann sind die Koordinaten des Normalenvektors etwas schwieriger zu erhalten. Aus diesen Gleichungen sind die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden sofort ersichtlich -. Finden Sie die Koordinaten des Normalenvektors dieser Geraden und lassen Sie zu.

Sie können auch die Koordinaten des Normalenvektors einer Geraden erhalten, wenn Sie die kanonische Gleichung einer Geraden oder parametrische Gleichungen einer Geraden auf die allgemeine Gleichung bringen. Dazu werden folgende Transformationen durchgeführt:

Wie Sie es bevorzugen, liegt bei Ihnen.

Lassen Sie uns Lösungen von Beispielen zeigen.

Beispiel.

Finden Sie einen Normalenvektor einer Geraden .

Lösung.

Der Richtungsvektor der Geraden ist ein Vektor. Normallinienvektor senkrecht zum Vektor ist, dann ist er gleich Null: ... Aus dieser Gleichheit ergibt sich n y, wenn n x ein beliebiger reeller Wert ungleich Null gegeben wird. Sei n x = 1, dann , daher hat der Normalenvektor der ursprünglichen Linie Koordinaten.

Zweite Lösung.

Gehen wir von der kanonischen Gleichung der Geraden zur allgemeinen Gleichung über:. Jetzt sind die Koordinaten des Normalenvektors dieser Linie sichtbar.

Antworten:

Um die Gleichungen einer geraden Linie zu studieren, müssen Sie die Vektoralgebra gut verstehen. Es ist wichtig, den Richtungsvektor und den Normalenvektor einer Geraden zu finden. Dieser Artikel wird den Normalenvektor einer Geraden mit Beispielen und Abbildungen betrachten und seine Koordinaten finden, wenn die Gleichungen der Geraden bekannt sind. Eine detaillierte Lösung wird in Erwägung gezogen.

Um die Assimilation des Materials zu erleichtern, müssen Sie die Konzepte von Linie, Ebene und Definitionen verstehen, die mit Vektoren verbunden sind. Machen wir uns zunächst mit dem Konzept eines Geradenvektors vertraut.

Definition 1

Der Normalenvektor der Geraden Jeder Vektor ungleich Null, der auf einer beliebigen Geraden senkrecht zu der gegebenen liegt, wird aufgerufen.

Es ist klar, dass sich auf einer gegebenen Geraden eine unendliche Menge von Normalenvektoren befindet. Betrachten Sie die Abbildung unten.

Wir erhalten, dass die Gerade senkrecht zu einer der beiden gegebenen Parallelen steht, dann erstreckt sich ihre Rechtwinkligkeit auf die zweite Parallele. Daher finden wir, dass die Mengen der Normalenvektoren dieser parallelen Geraden zusammenfallen. Wenn die Geraden a und a 1 parallel sind und n → als Normalenvektor der Geraden a angesehen wird, wird es auch als Normalenvektor für die Gerade a 1 betrachtet. Wenn die Gerade a einen direkten Vektor hat, dann ist der Vektor t · n → für jeden Wert des Parameters t ungleich Null und auch normal für die Gerade a.

Aus der Definition von Normalen- und Richtungsvektoren können Sie schließen, dass der Normalenvektor senkrecht zur Richtung steht. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Ist die Ebene O x y gegeben, so ist die Menge der Vektoren für O x der Koordinatenvektor j →. Es wird als nicht Null betrachtet und gehört zur Koordinatenachse O y, senkrecht zu O x. Die gesamte Menge der Normalenvektoren bezüglich O x kann geschrieben werden als t j →, t R, t ≠ 0.

Das Rechtecksystem O x y z hat einen Normalenvektor i → bezogen auf die Gerade O z. Der Vektor j → gilt auch als normal. Daraus ist ersichtlich, dass jeder von Null verschiedene Vektor, der sich in einer beliebigen Ebene befindet und senkrecht zu O z liegt, als normal für O z betrachtet wird.

Koordinaten des Normalenvektors einer Geraden - Ermitteln der Koordinaten des Normalenvektors einer Geraden mit den bekannten Gleichungen einer Geraden

Wenn wir ein rechtwinkliges Koordinatensystem O x y betrachten, stellen wir fest, dass die Gleichung einer Geraden auf einer Ebene diesem entspricht, und die Bestimmung der Normalenvektoren erfolgt durch Koordinaten. Wenn die Gleichung einer Geraden bekannt ist, aber die Koordinaten des Normalenvektors gefunden werden müssen, müssen aus der Gleichung A x + B y + C = 0 die Koeffizienten identifiziert werden, die den Koordinaten der entsprechen Normalenvektor der gegebenen Geraden.

Beispiel 1

Gegeben ist eine Gerade der Form 2 x + 7 y - 4 = 0 _, finde die Koordinaten des Normalenvektors.

Lösung

Bedingung ist, dass die Gerade durch die allgemeine Gleichung gegeben wurde, was bedeutet, dass die Koeffizienten, die die Koordinaten des Normalenvektors sind, notiert werden müssen. Dies bedeutet, dass die Koordinaten des Vektors 2, 7 sind.

Antworten: 2 , 7 .

Es gibt Zeiten, in denen A oder B aus der Gleichung gleich Null ist. Betrachten wir die Lösung einer solchen Aufgabe anhand eines Beispiels.

Beispiel 2

Geben Sie den Normalenvektor für die gegebene Linie y - 3 = 0 an.

Lösung

Nach der Hypothese erhalten wir die allgemeine Gleichung der Geraden, also schreiben wir sie so 0 x + 1 y - 3 = 0. Jetzt können wir deutlich die Koeffizienten sehen, die die Koordinaten des Normalenvektors sind. Daher erhalten wir, dass die Koordinaten des Normalenvektors 0, 1 sind.

Antwort: 0, 1.

Wird eine Gleichung in Segmenten der Form xa + yb = 1 oder eine Gleichung mit einer Steigung y = kx + b angegeben, so muss auf die allgemeine Geradengleichung zurückgeführt werden, aus der die Koordinaten der Normalenvektor einer gegebenen Geraden.

Beispiel 3

Finden Sie die Koordinaten des Normalenvektors, gegeben die Gleichung der Geraden x 1 3 - y = 1.

Lösung

Zuerst müssen Sie von der Gleichung in den Segmenten x 1 3 - y = 1 zur allgemeinen Gleichung gehen. Dann erhalten wir x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0.

Von hier aus ist zu erkennen, dass die Koordinaten des Normalenvektors einen Wert von 3, - 1 haben.

Antworten: 3 , - 1 .

Wenn die Gerade durch die kanonische Gleichung der Geraden auf der Ebene x - x 1 ax = y - y 1 ay oder durch die Parameter x = x 1 + ax · λ y = y 1 + ay · λ definiert ist, dann Das Erhalten von Koordinaten wird komplizierter. Nach diesen Gleichungen ist ersichtlich, dass die Koordinaten des Richtungsvektors a → = (a x, a y) sein werden. Die Möglichkeit, die Koordinaten des Normalenvektors n → zu finden, ist aufgrund der Bedingung der Rechtwinkligkeit der Vektoren n → und a → möglich.

Es ist möglich, die Koordinaten eines Normalenvektors zu erhalten, indem die kanonischen oder parametrischen Gleichungen einer Geraden auf die allgemeine Gleichung reduziert werden. Dann erhalten wir:

x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 = 0

Für die Lösung können Sie eine beliebige geeignete Methode wählen.

Beispiel 4

Finden Sie den Normalenvektor einer gegebenen Linie x - 2 7 = y + 3 - 2.

Lösung

Aus der Geraden x - 2 7 = y + 3 - 2 ist klar, dass der Richtungsvektor die Koordinaten a → = (7, - 2) haben wird. Der Normalenvektor n → = (n x, n y) einer gegebenen Geraden steht senkrecht auf a → = (7, - 2).

Lassen Sie uns herausfinden, was das Punktprodukt gleich ist. Um das Skalarprodukt der Vektoren a → = (7, - 2) und n → = (n x, n y) zu finden, schreiben wir a →, n → = 7 n x - 2 n y = 0.

Der Wert von n x ist willkürlich, Sie sollten n y finden. Für n x = 1 ergibt sich daraus 7 1 - 2 n y = 0 ⇔ n y = 7 2.

Daher hat der Normalenvektor die Koordinaten 1, 7 2.

Der zweite Lösungsweg reduziert sich darauf, dass man aus der kanonischen zur allgemeinen Form der Gleichung kommen muss. Dafür transformieren wir

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 (y + 3) = - 2 (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

Das resultierende Ergebnis der Koordinaten des Normalenvektors ist 2, 7.

Antwort: 2, 7 oder 1 , 7 2 .

Beispiel 5

Geben Sie die Koordinaten des Normalenvektors der Geraden x = 1 y = 2 - 3 · λ an.

Lösung

Zuerst müssen Sie eine Transformation durchführen, um zur allgemeinen Form einer geraden Linie zu gelangen. Lassen Sie uns ausführen:

x = 1 y = 2 - 3 λ ⇔ x = 1 + 0 λ y = 2 - 3 λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 (x - 1) = 0 (y - 2) ⇔ - 3 x + 0 y + 3 = 0

Von hier aus ist zu sehen, dass die Koordinaten des Normalenvektors - 3, 0 sind.

Antworten: - 3 , 0 .

Überlegen Sie, wie Sie die Koordinaten des Normalenvektors für die Gleichung einer geraden Linie im Raum finden können, die durch ein rechtwinkliges Koordinatensystem O x y z gegeben ist.

Wenn eine Linie mit den Gleichungen der sich schneidenden Ebenen A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 und A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 definiert wird, dann ist der Normalenvektor von die Ebene bezieht sich auf A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 und A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, dann erhalten wir die Vektoren in der Form n 1 → = (A 1, B 1, C 1) und n 2 → = (A 2, B 2, C 2).

Wenn die Linie mit der kanonischen Raumgleichung definiert wird, die die Form x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az hat oder parametrisch, die die Form x = x 1 + ax λ y = . hat y 1 + ay λ z = z 1 + az · λ, daher gelten ax, ay und az als Koordinaten des Richtungsvektors der gegebenen Geraden. Jeder von Null verschiedene Vektor kann für eine gegebene Gerade normal und senkrecht zum Vektor a → = (a x, a y, a z) sein. Daraus folgt, dass die Koordinaten der Normalen mit parametrischen und kanonischen Gleichungen anhand der Koordinaten eines Vektors ermittelt werden, der senkrecht zu einem gegebenen Vektor a → = (a x, a y, a z) steht.

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Normalvektor

Flache Oberfläche mit zwei Normalen

In der Differentialgeometrie normal ist eine gerade Linie orthogonal (senkrecht) zu einer Tangente an eine Kurve oder eine Tangentialebene an eine Oberfläche. Sprechen Sie auch über normale Richtung.

Normalvektor auf eine Fläche an einem bestimmten Punkt ist ein Einheitsvektor, der auf einen bestimmten Punkt und parallel zur Normalenrichtung angewendet wird. Für jeden Punkt auf einer glatten Oberfläche können Sie zwei Normalenvektoren angeben, die sich in der Richtung unterscheiden. Wenn auf einer Fläche ein stetiges Feld von Normalenvektoren angegeben werden kann, dann definiert dieses Feld Orientierung Oberfläche (d. h. es hebt eine der Seiten hervor). Ist dies nicht möglich, heißt die Fläche orientierungslos.

Wikimedia-Stiftung. 2010.

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Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe Ebene. Hier wird die Flatness-Anfrage umgeleitet. Zu diesem Thema ist ein separater Artikel erforderlich ... Wikipedia

Um die Koordinatenmethode verwenden zu können, müssen Sie die Formeln gut kennen. Es gibt drei davon:

Auf den ersten Blick sieht es bedrohlich aus, aber mit ein wenig Übung klappt alles wunderbar.

Aufgabe. Bestimmen Sie den Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren a = (4; 3; 0) und b = (0; 12; 5).

Lösung. Da uns die Koordinaten der Vektoren gegeben sind, ersetzen wir sie in der ersten Formel:

Aufgabe. Stellen Sie eine Gleichung für die Ebene auf, die durch die Punkte M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) und K = (2; 1; 0) geht, falls bekannt ist, dass sie nicht verläuft der Ursprung.

Lösung. Die allgemeine Gleichung der Ebene: Ax + By + Cz + D = 0, aber da die gewünschte Ebene nicht durch den Koordinatenursprung - den Punkt (0; 0; 0) - geht, setzen wir D = 1. Da dies Ebene durch die Punkte M, N und K geht, dann sollten die Koordinaten dieser Punkte die Gleichung in die richtige numerische Gleichheit umwandeln.

Ersetzen Sie anstelle der x-, y- und z-Koordinaten des Punktes M = (2; 0; 1). Wir haben:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Analog erhalten wir für die Punkte N = (0; 1; 1) und K = (2; 1; 0) die Gleichungen:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Wir haben also drei Gleichungen und drei Unbekannte. Lassen Sie uns das Gleichungssystem zusammenstellen und lösen:

Wir haben festgestellt, dass die Gleichung der Ebene die Form hat: - 0.25x - 0.5y - 0.5z + 1 = 0.

Aufgabe. Die Ebene wird durch die Gleichung 7x - 2y + 4z + 1 = 0 gegeben. Finden Sie die Koordinaten des Vektors senkrecht zur gegebenen Ebene.

Lösung. Mit der dritten Formel erhalten wir n = (7; - 2; 4) - das ist alles!

Berechnung der Koordinaten von Vektoren

Aber was ist, wenn das Problem keine Vektoren enthält - es gibt nur Punkte, die auf geraden Linien liegen und Sie den Winkel zwischen diesen geraden Linien berechnen müssen? Es ist ganz einfach: Wenn Sie die Koordinaten der Punkte kennen - den Anfang und das Ende des Vektors - können Sie die Koordinaten des Vektors selbst berechnen.

Um die Koordinaten eines Vektors zu finden, subtrahieren Sie die Koordinaten des Anfangs von den Koordinaten seines Endes.

Dieser Satz funktioniert sowohl in der Ebene als auch im Raum auf die gleiche Weise. Der Ausdruck "Koordinaten subtrahieren" bedeutet, dass die x-Koordinate eines anderen von der x-Koordinate eines Punktes subtrahiert wird, dann muss dasselbe mit den y- und z-Koordinaten gemacht werden. Hier sind einige Beispiele:

Aufgabe. Es gibt drei Punkte im Raum, die durch ihre Koordinaten gegeben sind: A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) und C = (- 4; 3; - 2). Finden Sie die Koordinaten der Vektoren AB, AC und BC.

Betrachten Sie einen Vektor AB: Sein Ursprung liegt bei Punkt A und sein Ende liegt bei Punkt B. Um seine Koordinaten zu finden, müssen Sie daher die Koordinaten von Punkt A von den Koordinaten von Punkt B subtrahieren:
AB = (3 – 1; – 1 – 6; 7 – 3) = (2; – 7; 4).

Ebenso ist der Anfang des Vektors AC immer noch derselbe Punkt A, aber das Ende ist Punkt C. Daher haben wir:
AC = (– 4 – 1; 3 – 6; – 2 – 3) = (– 5; – 3; – 5).

Um schließlich die Koordinaten des Vektors BC zu finden, müssen Sie die Koordinaten von Punkt B von den Koordinaten von Punkt C subtrahieren:
BC = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9).

Antwort: AB = (2; - 7; 4); AC = (– 5; – 3; – 5); BC = (- 7; 4; - 9)

Achten Sie auf die Berechnung der Koordinaten des letzten BC-Vektors: Viele Leute machen Fehler, wenn sie mit negativen Zahlen arbeiten. Dies betrifft die Variable y: Punkt B hat y = - 1 und Punkt C y = 3. Wir erhalten genau 3 - (- 1) = 4 und nicht 3 - 1, wie viele glauben. Mach nicht so dumme Fehler!

Berechnung von Richtungsvektoren für Geraden

Wenn Sie Problem C2 sorgfältig lesen, werden Sie überrascht sein, dass es dort keine Vektoren gibt. Es gibt nur gerade Linien und Ebenen.

Beginnen wir mit den geraden Linien. Hier ist alles einfach: Auf jeder Geraden gibt es mindestens zwei verschiedene Punkte und umgekehrt definieren zwei verschiedene Punkte eine einzige Gerade ...

Versteht jemand, was im vorigen Absatz steht? Ich habe es selbst nicht verstanden, deshalb erkläre ich es einfacher: In Aufgabe C2 werden Geraden immer durch ein Punktpaar gegeben. Wenn wir ein Koordinatensystem einführen und an diesen Punkten einen Vektor mit Anfang und Ende betrachten, erhalten wir den sogenannten Richtungsvektor für eine Gerade:

Warum wird dieser Vektor benötigt? Der Punkt ist, dass der Winkel zwischen zwei Geraden der Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren ist. So gehen wir von unverständlichen Geraden zu bestimmten Vektoren über, deren Koordinaten leicht zu berechnen sind. Wie einfach ist es? Schauen Sie sich Beispiele an:

Aufgabe. In den Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sind die Linien AC und BD 1 eingezeichnet. Finden Sie die Koordinaten der Richtungsvektoren dieser Linien.

Da die Kantenlänge des Würfels in der Bedingung nicht angegeben ist, setzen wir AB = 1. Wir führen ein Koordinatensystem mit dem Ursprung im Punkt A und den Achsen x, y, z entlang der Linien AB, AD und AA 1 ein. bzw. Das Einheitssegment ist gleich AB = 1.

Jetzt finden wir die Koordinaten des Richtungsvektors für die Linie AC. Wir brauchen zwei Punkte: A = (0; 0; 0) und C = (1; 1; 0). Von hier erhalten wir die Koordinaten des Vektors AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - das ist der Richtungsvektor.

Kommen wir nun zur Geraden BD 1. Es hat auch zwei Punkte: B = (1; 0; 0) und D 1 = (0; 1; 1). Wir erhalten den Richtungsvektor BD 1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (-1; 1; 1).

Antwort: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (- 1; 1; 1)

Aufgabe. In einem regelmäßigen Dreiecksprisma ABCA 1 B 1 C 1, dessen Kanten gleich 1 sind, werden die Linien AB 1 und AC 1 gezeichnet. Finden Sie die Koordinaten der Richtungsvektoren dieser Linien.

Wir führen ein Koordinatensystem ein: Der Ursprung liegt im Punkt A, die x-Achse fällt mit AB zusammen, die z-Achse fällt mit AA 1 zusammen, die y-Achse bildet die OXY-Ebene mit der x-Achse, die mit der ABC-Ebene zusammenfällt .

Befassen wir uns zunächst mit der Geraden AB 1. Hier ist alles einfach: Wir haben die Punkte A = (0; 0; 0) und B 1 = (1; 0; 1). Wir erhalten den Richtungsvektor AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1).

Jetzt finden wir den Richtungsvektor für AC 1. Trotzdem - der einzige Unterschied besteht darin, dass der Punkt C 1 irrationale Koordinaten hat. Also, A = (0; 0; 0), also haben wir:

Antwort: AB 1 = (1; 0; 1);

Eine kleine aber sehr wichtige Anmerkung zum letzten Beispiel. Wenn der Ursprung des Vektors mit dem Ursprung übereinstimmt, werden die Berechnungen stark vereinfacht: Die Koordinaten des Vektors sind einfach gleich den Koordinaten des Endes. Dies gilt leider nur für Vektoren. Wenn Sie beispielsweise mit Ebenen arbeiten, erschwert das Vorhandensein des Ursprungs auf diesen die Berechnungen nur.

Berechnung von Normalenvektoren für Ebenen

Normale Vektoren sind keine Vektoren, die gut oder gut abschneiden. Per Definition ist ein Normalenvektor (normal) zu einer Ebene ein Vektor senkrecht zu dieser Ebene.

Mit anderen Worten, eine Normale ist ein Vektor senkrecht zu einem beliebigen Vektor in einer gegebenen Ebene. Sicherlich haben Sie eine solche Definition getroffen - aber anstelle von Vektoren sprachen wir von geraden Linien. Gleich oben wurde jedoch gezeigt, dass Sie in Problem C2 mit jedem geeigneten Objekt operieren können - sogar mit einer geraden Linie, sogar mit einem Vektor.

Lassen Sie mich noch einmal daran erinnern, dass jede Ebene im Raum durch die Gleichung Ax + By + Cz + D = 0 definiert ist, wobei A, B, C und D einige Koeffizienten sind. Ohne die Allgemeingültigkeit der Lösung zu verlieren, können wir D = 1 annehmen, wenn die Ebene nicht durch den Ursprung geht, oder D = 0, wenn dies der Fall ist. In jedem Fall sind die Koordinaten des Normalenvektors zu dieser Ebene n = (A; B; C).

So kann die Ebene auch erfolgreich durch einen Vektor ersetzt werden - die gleiche Normale. Jede Ebene wird im Raum durch drei Punkte definiert. Wie man die Gleichung der Ebene (und damit der Normalen) findet, haben wir bereits am Anfang des Artikels besprochen. Dieser Prozess verursacht jedoch für viele Probleme, daher werde ich noch ein paar weitere Beispiele geben:

Aufgabe. Abschnitt A 1 BC 1 wird in den Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 gezeichnet. Finden Sie den Normalenvektor für die Ebene dieses Abschnitts, wenn der Ursprung im Punkt A liegt und die x-, y- und z-Achsen mit den Kanten AB, AD bzw. AA 1 übereinstimmen.

Da die Ebene nicht durch den Ursprung geht, sieht ihre Gleichung so aus: Ax + By + Cz + 1 = 0, d.h. Koeffizient D = 1. Da diese Ebene durch die Punkte A 1, B und C 1 geht, verwandeln die Koordinaten dieser Punkte die Gleichung der Ebene in die richtige numerische Gleichheit.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 C + 1 = 0 ⇒ C = – 1;

Analog erhalten wir für die Punkte B = (1; 0; 0) und C 1 = (1; 1; 1) die Gleichungen:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Aber wir kennen bereits die Koeffizienten A = - 1 und C = - 1, also bleibt der Koeffizient B zu finden:
B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

Wir erhalten die Gleichung der Ebene: - A + B - C + 1 = 0, Daher sind die Koordinaten des Normalenvektors gleich n = (- 1; 1; - 1).

Aufgabe. Schnitt AA 1 C 1 C wird in den Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 gezeichnet. Finden Sie den Normalenvektor für die Ebene dieses Schnitts, wenn der Ursprung im Punkt A liegt und die x-, y- und z-Achsen mit den Kanten zusammenfallen AB, AD und AA 1 bzw.

In diesem Fall geht die Ebene durch den Ursprung, daher ist der Koeffizient D = 0, und die Ebenengleichung sieht so aus: Ax + By + Cz = 0. Da die Ebene durch die Punkte A1 und C geht, sind die Koordinaten dieser Punkte wandle die Ebenengleichung in die richtige numerische Gleichheit um.

Ersetzen Sie anstelle von x-, y- und z-Koordinaten des Punktes A 1 = (0; 0; 1). Wir haben:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 C = 0;

Analog erhalten wir für den Punkt C = (1; 1; 0) die Gleichung:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 A + B = 0 ⇒ A = - B;

Wir setzen B = 1. Dann A = - B = - 1, und die Gleichung der ganzen Ebene hat die Form: - A + B = 0, Daher sind die Koordinaten des Normalenvektors gleich n = (- 1; 1; 0).

Im Allgemeinen ist es bei den obigen Problemen notwendig, ein Gleichungssystem zusammenzustellen und zu lösen. Es gibt drei Gleichungen und drei Variablen, aber im zweiten Fall ist eine davon frei, d.h. willkürliche Werte annehmen. Deshalb haben wir das Recht, B = 1 zu setzen - unbeschadet der Allgemeingültigkeit der Lösung und der Richtigkeit der Antwort.

Sehr oft ist es beim C2-Problem erforderlich, mit Punkten zu arbeiten, die das Segment in zwei Hälften teilen. Die Koordinaten solcher Punkte lassen sich leicht berechnen, wenn die Koordinaten der Enden des Segments bekannt sind.

Das Segment sei also durch seine Enden definiert - die Punkte A = (x a; y a; z a) und B = (x b; y b; z b). Dann können die Koordinaten des Mittelpunkts des Segments - wir bezeichnen ihn mit dem Punkt H - nach der Formel:

Mit anderen Worten, die Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments sind das arithmetische Mittel der Koordinaten seiner Enden.

Aufgabe. Der Einheitswürfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 wird im Koordinatensystem so platziert, dass die x-, y- und z-Achsen entlang der Kanten AB, AD bzw. AA 1 gerichtet sind und der Ursprung mit Punkt A zusammenfällt. Punkt K ist der Mittelpunkt der Kante A 1 B 1 . Finden Sie die Koordinaten dieses Punktes.

Da Punkt K der Mittelpunkt des Segments A 1 B 1 ist, sind seine Koordinaten gleich dem arithmetischen Mittel der Koordinaten der Enden. Schreiben wir die Koordinaten der Enden auf: A 1 = (0; 0; 1) und B 1 = (1; 0; 1). Suchen wir nun die Koordinaten von Punkt K:

Aufgabe. Der Einheitswürfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 wird so in das Koordinatensystem gelegt, dass die x-, y- und z-Achsen entlang der Kanten AB, AD bzw. AA 1 gerichtet sind und der Ursprung mit Punkt A zusammenfällt Koordinaten des Punktes L, wo sie die Diagonalen des Quadrats schneiden A 1 B 1 C 1 D 1.

Aus dem Planimetrieverlauf ist bekannt, dass der Schnittpunkt der Diagonalen eines Quadrats von allen seinen Eckpunkten gleich weit entfernt ist. Insbesondere gilt A 1 L = C 1 L, d.h. Punkt L ist der Mittelpunkt des Segments A 1 C 1. Aber A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), also haben wir:

Antwort: L = (0,5; 0,5; 1)

Ein Ebenennormalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht zu einer gegebenen Ebene steht. Offensichtlich hat jede Ebene unendlich viele Normalenvektoren. Aber einer wird uns genügen, um Probleme zu lösen.

Wenn die Ebene durch die allgemeine Gleichung , dann ist der Vektor ist der Normalenvektor der gegebenen Ebene... Einfach unverschämt. Sie müssen lediglich die Koeffizienten aus der Ebenengleichung "entfernen".

Die versprochenen drei Bildschirme warten auf Sie, gehen wir zurück zu Beispiel Nr. 1 und sehen Sie es sich an. Lassen Sie mich daran erinnern, dass es dort erforderlich war, die Gleichung der Ebene mit einem Punkt und zwei Vektoren zu konstruieren. Als Ergebnis der Lösung haben wir die Gleichung erhalten. Wir überprüfen:

Zuerst setzen wir die Koordinaten des Punktes in die resultierende Gleichung ein:

Es wird die richtige Gleichheit erhalten, was bedeutet, dass der Punkt wirklich in dieser Ebene liegt.

Zweitens entfernen wir den Normalenvektor aus der Ebenengleichung:. Da die Vektoren parallel zur Ebene stehen und der Vektor senkrecht zur Ebene steht, sollten folgende Tatsachen eintreten: ... Die Rechtwinkligkeit von Vektoren lässt sich leicht überprüfen mit Skalarprodukt:

Fazit: Die Gleichung der Ebene wurde richtig gefunden.

Während meiner Überprüfung habe ich tatsächlich die folgende Aussage der Theorie zitiert: Vektor parallel zur Ebene dann und nur dann, wenn .

Lassen Sie uns ein wichtiges Problem lösen, das mit der Lektion zusammenhängt:

Beispiel 5

Finden Sie den Einheitsnormalenvektor der Ebene .

Lösung: Ein Einheitsvektor ist ein Vektor, dessen Länge eins ist. Bezeichnen wir diesen Vektor mit. Im Grunde sieht die Landschaft so aus:

Es ist ganz klar, dass Vektoren kollinear sind.

Zuerst entfernen wir den Normalenvektor aus der Ebenengleichung:.

Wie finde ich den Einheitsvektor? Um den Einheitsvektor zu finden , notwendig jeden Vektorkoordinate dividiere durch die Länge des Vektors .

Schreiben wir den Normalenvektor in die Form um und ermitteln seine Länge:

Nach obigem:

Antworten:

Überprüfung: Das wollten wir überprüfen.

Leser, die den letzten Absatz der Lektion sorgfältig studiert haben Punktprodukt von Vektoren ist mir wahrscheinlich aufgefallen Einheitsvektorkoordinaten Sind genau die Richtungskosinus des Vektors :

Lassen Sie uns vom analysierten Problem abschweifen: wenn Sie einen beliebigen von Null verschiedenen Vektor erhalten, und unter Bedingung ist es erforderlich, seinen Richtungskosinus zu finden (die letzten Aufgaben der Lektion Punktprodukt von Vektoren), dann finden Sie tatsächlich einen Einheitsvektor, der zu dem gegebenen kollinear ist.

Tatsächlich zwei Aufgaben in einer Flasche.

Die Notwendigkeit, den Einheitsnormalenvektor zu finden, entsteht bei einigen Problemen der mathematischen Analyse.

Wir haben herausgefunden, wie man den Normalenvektor herausfischt, und beantworten jetzt die entgegengesetzte Frage.