Begrenzen Sie die Reihenfolge der Lösungsbeispiele. Folgenlimit - Grundsätze und Eigenschaften

Xn Elemente oder Mitglieder der Folge, n - Mitglieder der Folge. Ist die Funktion f (n) analytisch, also durch eine Formel, gegeben, so heißt xn = f (n) die Formel eines Gliedes der Folge.

Die Zahl a heißt Grenzwert der Folge (xn), falls für jedes ε> 0 eine Zahl n = n (ε) existiert, ab der die Ungleichung |xn-a |

Die Aufgaben, den Grenzwert einer Folge direkt zu berechnen, sind ziemlich eintönig. Sie alle enthalten Verhältnisse von Polynomen bezüglich n oder irrationale Ausdrücke bezüglich dieser Polynome. Wenn Sie mit der Lösung beginnen, platzieren Sie die Komponente im höchsten Grad außerhalb der Klammern (das Vorzeichen des Radikals). Für den Zähler des ursprünglichen Ausdrucks erhalte dies den Faktor a ^ p und für den Nenner b ^ q. Offensichtlich haben alle übrigen Terme die Form С / (n-k) und gehen für n> . gegen Null

Der erste Weg, den Grenzwert einer Folge zu berechnen, basiert auf ihrer Definition. Es sollte allerdings daran erinnert werden, dass es keine Möglichkeiten zur direkten Suche nach dem Grenzwert gibt, sondern nur den Beweis erlaubt, dass eine Zahl a ein Grenzwert ist (oder nicht) Beispiel 1. Beweisen Sie, dass die Folge (xn) = ( (3n ^ 2-2n -1) / (n ^ 2-n-2)) hat einen Grenzwert von a = 3. Lösung. Führen Sie den Beweis durch, indem Sie die Definition in umgekehrter Reihenfolge anwenden. Das heißt, von rechts nach links. Prüfen Sie zuerst, ob es keine Möglichkeit gibt, die Formel für xn.хn = (3n ^ 2 + 4n + 2) / (n ^ 2 + 3n22) = ((3n + 1) (n + 1)) / ((n + 2) (n + 1)) =) = (3n + 1) / (n + 2) Betrachten Sie die Ungleichung | (3n + 1) / (n + 2) -3 | 0 Sie finden jede natürliche Zahl nε größer als -2+ 5 / ε.

Beispiel 2. Beweisen Sie, dass unter den Bedingungen von Beispiel 1 die Zahl a = 1 nicht die Grenze der Sequenz des vorherigen Beispiels ist. Lösung. Vereinfachen Sie den gebräuchlichen Begriff noch einmal. Nehmen Sie ε = 1 (beliebige Zahl > 0) Schreiben Sie die abschließende Ungleichung der allgemeinen Definition |(3n + 1) / (n + 2) -1 |

Die Aufgaben, den Grenzwert einer Folge direkt zu berechnen, sind ziemlich eintönig. Sie alle enthalten Verhältnisse von Polynomen bezüglich n oder irrationale Ausdrücke bezüglich dieser Polynome. Wenn Sie mit der Lösung beginnen, platzieren Sie die Komponente in der höchsten Stufe außerhalb der Klammern (das Vorzeichen des Radikals). Für den Zähler des ursprünglichen Ausdrucks erhalte dies den Faktor a ^ p und für den Nenner b ^ q. Offensichtlich haben alle übrigen Terme die Form С / (n-k) und gehen für n > k gegen Null (n geht gegen Unendlich). Schreiben Sie dann die Antwort auf: 0 wenn pq.

Lassen Sie uns einen nicht-traditionellen Weg angeben, um den Grenzwert einer Folge und unendlicher Summen zu finden. Wir verwenden funktionale Folgen (ihre Mitglieder der Funktion sind in einem bestimmten Intervall (a, b) definiert) Beispiel 3. Finden Sie eine Summe der Form 1 + 1/2! +1/3! +… + 1 / n! +… = S. Lösung. Beliebige Zahl a ^ 0 = 1. Setze 1 = exp (0) und betrachte die Funktionsfolge (1 + x + x ^ 2/2! + X ^ 3/3! +… + X ^ / n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

Die Formulierungen der Hauptsätze und Eigenschaften von Zahlenfolgen mit einem Grenzwert werden angegeben. Enthält die Definition der Sequenz und ihrer Grenze. Berücksichtigt werden arithmetische Operationen mit Folgen, Eigenschaften bezüglich Ungleichungen, Konvergenzkriterien, Eigenschaften infinitesimaler und unendlich großer Folgen.

Inhalt

Endliche Grenzwerteigenschaften von Folgen

Grundeigenschaften

Punkt a ist genau dann der Grenzwert der Folge, wenn außerhalb einer Umgebung dieses Punktes endliche Anzahl von Elementen Sequenzen oder leere Menge.

Wenn die Zahl a nicht die Grenze der Folge ist, dann gibt es eine Umgebung des Punktes a, außerhalb der es unendlich viele Elemente in einer Sequenz.

Eindeutigkeitssatz für den Grenzwert einer Zahlenfolge... Wenn die Sequenz eine Grenze hat, ist sie die einzige.

Wenn die Folge einen endlichen Grenzwert hat, dann ist begrenzt.

Wenn jedes Element der Folge ist gleich der gleichen Zahl C: dann hat diese Folge einen Grenzwert gleich der Zahl C.

Wenn die Sequenz die ersten m Elemente hinzufügen, verwerfen oder ändern, dann hat dies keinen Einfluss auf die Konvergenz.

Nachweise der Haupteigenschaften sind auf der Seite angegeben
Grundlegende Eigenschaften endlicher Grenzen von Folgen >>>.

Arithmetische Operationen mit Grenzen

Es gebe endliche Grenzen und Folgen und. Und sei C eine Konstante, also eine gegebene Zahl. Dann
;
;
;
, wenn .
Beim Quotienten wird angenommen, dass für alle n.

Wenn, dann.

Beweise arithmetischer Eigenschaften sind auf der Seite angegeben
Arithmetische Eigenschaften endlicher Grenzen von Folgen >>>.

Ungleichungseigenschaften

Erfüllen die Elemente der Folge ab einer bestimmten Zahl die Ungleichung, so erfüllt auch der Grenzwert a dieser Folge die Ungleichung.

Gehören die Elemente der Folge ab einer bestimmten Zahl zu einem abgeschlossenen Intervall (Segment), so gehört auch der Grenzwert a zu diesem Intervall:.

Wenn und und die Elemente der Folgen, beginnend mit einer Zahl, die Ungleichung erfüllen, dann.

Wenn und, ausgehend von einer Zahl, dann.
Insbesondere, wenn, ausgehend von einer Zahl, dann
wenn, dann;
wenn, dann.

Wenn und dann.

Lassen Sie und. Wenn eine < b , dann gibt es eine natürliche Zahl N mit für alle n > Nein Ungleichheit gilt.

Beweise von Eigenschaften in Bezug auf Ungleichungen sind auf der Seite angegeben
Folgenbegrenzungseigenschaften in Bezug auf Ungleichungen >>>.

Unendlich große und unendlich kleine Folgen

Unendlich kleine Folge

Eine infinitesimale Folge ist eine Folge, deren Grenzwert Null ist:
.

Summe und Differenz einer endlichen Anzahl infinitesimaler Folgen ist eine infinitesimale Folge.

Produkt mit begrenzter Folge von infinitesimal ist eine unendlich kleine Folge.

Endliches Produkt eine infinitesimale Folge ist eine infinitesimale Folge.

Damit eine Folge einen Grenzwert a hat, ist es notwendig und ausreichend, dass wo eine unendlich kleine Folge ist.

Beweise von Eigenschaften infinitesimaler Folgen sind auf der Seite angegeben
Infinitesimale Folgen - Definition und Eigenschaften >>>.

Unendlich große Folge

Eine unendlich große Folge ist eine Folge mit einem unendlich großen Grenzwert. Das heißt, falls es für jede positive Zahl eine natürliche Zahl N gibt, die von so abhängt, dass für alle natürlichen Zahlen die Ungleichung
.
Schreiben Sie in diesem Fall
.
Oder bei.
Sie sagen, dass es ins Unendliche tendiert.

Wenn, ausgehend von einer Zahl N, dann
.
Wenn, dann
.

Sind die Folgen unendlich groß, so wird ab einer Zahl N eine unendlich kleine Folge definiert. Wenn sie eine unendlich kleine Folge mit Elementen ungleich null sind, dann ist die Folge unendlich groß.

Wenn die Folge unendlich groß und die Folge beschränkt ist, dann
.

Wenn die Absolutwerte der Elemente der Folge von unten durch eine positive Zahl () begrenzt sind und mit Elementen, die nicht gleich Null sind, infinitesimal sind, dann
.

Ausführlicher Definition einer unendlich großen Folge mit Beispielen steht auf der Seite
Definition einer unendlich großen Folge >>>.
Eigenschaftsbeweise unendlich großer Folgen sind auf der Seite angegeben
Eigenschaften unendlich großer Folgen >>>.

Konvergenzkriterien für Folgen

Monotone Sequenzen

Eine streng ansteigende Folge ist eine Folge für alle Elemente, für die folgende Ungleichungen gelten:
.

Andere monotone Folgen werden durch ähnliche Ungleichungen definiert.

Streng absteigende Reihenfolge:
.
Nicht abnehmende Reihenfolge:
.
Nicht steigende Reihenfolge:
.

Daraus folgt, dass eine streng ansteigende Folge auch nicht abnehmend ist. Eine streng absteigende Folge ist auch nicht ansteigend.

Eine monotone Sequenz ist eine nicht abnehmende oder nicht zunehmende Sequenz.

Eine monotone Folge wird auf mindestens einer Seite durch einen Wert begrenzt. Nicht abnehmende Sequenz ist von unten begrenzt:. Nicht ansteigende Folge ist nach oben begrenzt:.

Satz von Weierstraß... Damit eine nicht fallende (nicht steigende) Folge einen endlichen Grenzwert hat, ist es notwendig und ausreichend, dass sie von oben (von unten) beschränkt ist. Hier ist M eine Zahl.

Da jede nicht abnehmende (nicht zunehmende) Folge von unten (von oben) beschränkt ist, kann der Satz von Weierstrass wie folgt umformuliert werden:

Damit eine monotone Folge einen endlichen Grenzwert hat, ist es notwendig und ausreichend, dass sie begrenzt ist:.

Monotone unbegrenzte Sequenz hat eine unendliche Grenze, gleich für eine nicht abnehmende und eine nicht ansteigende Folge.

Beweis des Satzes von Weierstraß auf der Seite angegeben
Satz von Weierstrass über den Grenzwert einer monotonen Folge >>>.

Cauchys Kriterium für die Konvergenz einer Folge

Cauchy-Zustand
Die Reihenfolge erfüllt die Cauchy-Bedingung falls es für irgendeine eine natürliche Zahl gibt, so dass für alle natürlichen Zahlen n und m, die die Bedingung erfüllen, die Ungleichung
.

Eine Fundamentalfolge ist eine Folge, die die Cauchy-Bedingung.

Cauchys Kriterium für die Konvergenz einer Folge... Damit eine Folge einen endlichen Grenzwert hat, ist es notwendig und ausreichend, dass sie die Cauchy-Bedingung erfüllt.

Beweis des Cauchy-Konvergenzkriteriums auf der Seite angegeben
Cauchys Kriterium für die Konvergenz einer Folge >>>.

Unterfolgen

Bozen - Satz von Weierstraß... Eine konvergente Teilfolge kann aus jeder begrenzten Folge ausgewählt werden. Und von jeder unbeschränkten Folge - eine unendlich große Teilfolge, die gegen oder gegen konvergiert.

Beweis des Satzes von Bozen - Weierstraß auf der Seite angegeben
Bozen - Satz von Weierstraß >>>.

Definitionen, Sätze und Eigenschaften von Teilfolgen und Teilgrenzen siehe Seite
Teilfolgen und Teilgrenzen von Folgen >>>.

Verweise:
CM. Nikolski. Der Kurs der mathematischen Analyse. Band 1. Moskau, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Der Kurs der mathematischen Analyse. Band 1. Moskau, 2003.
V. A. Zörich. Mathematische Analyse. Teil 1. Moskau, 1997.
V. A. Iljin, E.G. Posnjak. Grundlagen der mathematischen Analyse. Teil 1. Moskau, 2005.

Siehe auch:

Nummernfolgelimit- die Grenze der Folge von Elementen des numerischen Raums. Der Zahlenraum ist ein metrischer Raum, dessen Abstand als Modul der Differenz zwischen Elementen definiert ist. Daher heißt die Nummer Grenze der Sequenz falls es für alle eine Zahl gibt, die davon abhängt, dass für alle die Ungleichung gilt.

Das Konzept des Grenzwerts einer Folge reeller Zahlen ist recht einfach, und im Fall komplexer Zahlen ist die Existenz eines Grenzwerts einer Folge äquivalent zur Existenz von Grenzwerten der entsprechenden Folgen von Real- und Imaginärteilen komplexer Zahlen .

Grenzwert (Zahlenfolge) ist eines der Grundkonzepte der mathematischen Analyse. Jede reelle Zahl kann als Grenze der Folge von Näherungen an den gewünschten Wert dargestellt werden. Das Zahlensystem bietet diese Abfolge von Qualifikationen. Irrationale ganze Zahlen werden durch periodische Näherungsfolgen beschrieben, während irrationale Zahlen durch nichtperiodische Näherungsfolgen beschrieben werden.

Bei numerischen Verfahren, bei denen die Darstellung von Zahlen mit endlich vielen Vorzeichen verwendet wird, spielt die Wahl des Näherungssystems eine besondere Rolle. Das Kriterium für die Qualität des Näherungssystems ist die Konvergenzrate. Insofern sind Kettenbrüche wirksam.

Definition

Die Nummer wird angerufen die Grenze der Zahlenfolge wenn die Folge infinitesimal ist, d. h. alle ihre Elemente, beginnend mit einigen, haben einen absoluten Wert, der kleiner ist als jede vorher genommene positive Zahl.

Hat eine Zahlenfolge einen Grenzwert in Form einer reellen Zahl, heißt sie zusammenlaufend zu dieser Nummer. Andernfalls heißt die Folge abweichend ... Ist sie außerdem unbegrenzt, so wird ihre Grenze gleich unendlich angenommen.

Wenn alle Elemente einer unbeschränkten Folge ab einer Zahl ein positives Vorzeichen haben, dann heißt der Grenzwert einer solchen Folge plus unendlich .

Wenn die Elemente einer unbeschränkten Folge, beginnend mit einer bestimmten Zahl, ein negatives Vorzeichen haben, dann sagt man, dass der Grenzwert einer solchen Folge minus unendlich .

Diese Definition hat einen fatalen Fehler: Sie erklärt, was ein Grenzwert ist, bietet aber weder eine Möglichkeit, ihn zu berechnen, noch Informationen über seine Existenz. All dies wird aus den Eigenschaften des im Folgenden bewiesenen Grenzwertes abgeleitet.

Heute in der Lektion werden wir analysieren strikte Reihenfolge und strikte Definition des Grenzwertes einer Funktion, und lernen auch, die entsprechenden Probleme theoretischer Natur zu lösen. Der Artikel richtet sich in erster Linie an Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften und technischen Fachrichtungen im ersten Studienjahr, die mit dem Studium der Theorie der mathematischen Analysis begannen und Schwierigkeiten hatten, diesen Abschnitt der höheren Mathematik zu verstehen. Darüber hinaus ist das Material für Gymnasiasten gut zugänglich.

Im Laufe der Jahre des Bestehens der Site erhielt ich ein Dutzend Briefe mit ungefähr folgendem Inhalt: „Ich verstehe die mathematische Analyse nicht, was soll ich tun?“, „Ich verstehe Matan überhaupt nicht, ich denke, ich werde mein Studium abbrechen“ usw. Tatsächlich ist es der Matan, der die Schülergruppe oft schon nach der ersten Sitzung ausdünnt. Warum ist dies der Fall? Weil das Thema unglaublich schwer ist? Gar nicht! Die Theorie der mathematischen Analyse ist nicht so schwierig wie eigenartig... Und du musst sie so akzeptieren und lieben, wie sie ist =)

Beginnen wir mit dem schlimmsten Fall. In erster Linie muss die Schule nicht abgebrochen werden. Richtig verstehen, zum Aufhören wird es immer rechtzeitig kommen ;-) Natürlich, wenn dir nach ein oder zwei Jahren von der gewählten Spezialität schlecht wird, dann ja - du solltest darüber nachdenken (und kein Fieber auspeitschen!)über eine Tätigkeitsänderung. Aber vorerst lohnt es sich weiterzumachen. Und vergessen Sie bitte den Satz „Ich verstehe nichts“ – es kommt nicht vor, dass Sie ÜBERHAUPT nichts verstehen.

Was ist, wenn die Theorie schlecht ist? Dies gilt übrigens nicht nur für die mathematische Analyse. Wenn die Theorie schlecht ist, müssen Sie zuerst ERNSTHAFT in die Praxis umsetzen. Gleichzeitig werden zwei strategische Aufgaben gleichzeitig gelöst:

- Erstens stammt ein erheblicher Teil des theoretischen Wissens aus der Praxis. Und deshalb verstehen viele Leute die Theorie durch ... - das ist richtig! Nein, nein, daran hast du nicht gedacht =)

- Und zweitens, praktische Fähigkeiten werden Sie wahrscheinlich in der Prüfung "dehnen", auch wenn ..., aber schalten wir uns nicht so ein! Alles ist echt und alles kann in relativ kurzer Zeit wirklich "erhöht" werden. Die mathematische Analysis ist mein Lieblingszweig der höheren Mathematik, und deshalb konnte ich einfach nicht anders, als Ihnen zu helfen:

Zu Beginn des 1. Semesters werden in der Regel die Ablauf- und Funktionsgrenzen überschritten. Sie verstehen nicht, was diese sind und wissen nicht, wie Sie sie lösen sollen? Beginnen Sie mit einem Artikel Funktionsgrenzen, in dem "an den Fingern" das Konzept selbst betrachtet und die einfachsten Beispiele analysiert werden. Arbeiten Sie dann weitere Lektionen zum Thema durch, einschließlich einer Lektion zum Thema innerhalb von Sequenzen zu dem ich ja schon eine strenge Definition formuliert habe.

Welche Symbole kennen Sie außer Ungleichungen und Modul?

- ein langer vertikaler Stick liest sich wie folgt: "so das", "so das", "so das" oder "so das", in unserem Fall sprechen wir natürlich von einer Zahl - also "so das";

- für alle "en", größer als;

– Modulzeichen bedeutet Abstand, d.h. Dieser Eintrag sagt uns, dass der Abstand zwischen den Werten kleiner als Epsilon ist.

Ist es tödlich schwierig? =)

Nachdem ich die Praxis gemeistert habe, warte ich im nächsten Absatz auf Sie:

Und tatsächlich, lassen Sie uns ein wenig nachdenken - wie formuliert man eine strenge Definition einer Sequenz? ... Das Erste, was einem auf der Welt in den Sinn kommt praktisches Training: "Der Grenzwert einer Sequenz ist die Zahl, der die Mitglieder der Sequenz unendlich nahe sind."

Okay, lass uns unterschreiben Folge :

Das ist nicht schwer zu begreifen Folge sind unendlich nahe bei -1 und geradzahlige Terme - zu einem".

Oder gibt es vielleicht zwei Grenzen? Aber warum kann dann eine Sequenz nicht zehn oder zwanzig haben? Das kann weit gehen. In diesem Zusammenhang ist es logisch anzunehmen, dass wenn die Folge einen Grenzwert hat, dann ist es der einzige.

Notiz : die Folge hat keinen Grenzwert, aber es lassen sich zwei Teilfolgen unterscheiden (siehe oben), die jeweils einen eigenen Grenzwert haben.

Somit erweist sich die obige Definition als unhaltbar. Ja, es funktioniert für Fälle wie (was ich in vereinfachten Erklärungen von Praxisbeispielen nicht ganz richtig verwendet habe), aber jetzt müssen wir eine strenge Definition finden.

Versuch zwei: „Die Grenze der Folge ist die Zahl, der sich ALLE Mitglieder der Folge nähern, außer vielleicht ihre der endgültige Anzahl ". Dies ist näher an der Wahrheit, aber immer noch nicht ganz korrekt. Also zum Beispiel die Sequenz die Hälfte der Mitglieder geht gar nicht gegen Null - sie sind einfach gleich =) Der "Blinker" nimmt übrigens in der Regel zwei feste Werte an.

Die Formulierung ist nicht schwer zu klären, aber dann stellt sich eine andere Frage: Wie schreibt man die Definition in mathematische Zeichen? Die wissenschaftliche Welt hat lange um dieses Problem gekämpft, bis die Situation gelöst war berühmter Meister, die im Wesentlichen die klassische Infinitesimalrechnung in ihrer ganzen Strenge formalisiert. Cauchy bot an zu operieren Umfeld , als die Theorie deutlich vorangetrieben.

Betrachten Sie einen bestimmten Punkt und seine willkürlich-Nachbarschaft:

Die Bedeutung von "Epsilon" ist immer positiv, und außerdem Wir haben das Recht, es selbst zu wählen... Angenommen, in einer gegebenen Umgebung gibt es eine Menge von Termen (nicht unbedingt alle) irgendeine Folge. Wie kann man die Tatsache aufschreiben, dass zum Beispiel das zehnte Mitglied in die Nachbarschaft gekommen ist? Lass es auf der rechten Seite sein. Dann sollte der Abstand zwischen den Punkten kleiner als „epsilon“ sein:. Wenn sich jedoch "x Zehntel" links von Punkt "a" befindet, ist die Differenz negativ, und daher müssen Sie ein Vorzeichen hinzufügen Modul: .

Definition: die Zahl heißt Grenzwert der Folge, wenn für jeden seine Umgebung (vorausgewählt) es gibt eine natürliche Zahl - SO die ALLE Mitglieder der Sequenz mit höheren Zahlen befinden sich in der Nachbarschaft:

Oder kurz: wenn

Mit anderen Worten, egal wie klein der Wert von "epsilon" wir nehmen, früher oder später wird der "unendliche Schwanz" der Folge VOLLSTÄNDIG in dieser Nachbarschaft sein.

Also zum Beispiel der "unendliche Schwanz" der Folge VÖLLIG geht in jede beliebig kleine -Nachbarschaft der Punkt. Somit ist dieser Wert per Definition die Grenze der Sequenz. Zur Erinnerung: Eine Folge, deren Grenzwert Null ist, heißt unendlich klein.

Es ist zu beachten, dass es für die Sequenz nicht mehr möglich ist, „unendlicher Schwanz“ zu sagen wird kommen"- Mitglieder mit ungeraden Zahlen sind tatsächlich gleich Null und" gehen nirgendwo hin "=) Deshalb wird das Verb" in der Definition verwendet. Und natürlich Mitglieder einer solchen Sequenz wie auch "gehen nirgendwo hin". Überprüfen Sie übrigens, ob die Anzahl das Limit ist.

Nun zeigen wir, dass die Folge kein Limit hat. Betrachten Sie zum Beispiel eine Umgebung eines Punktes. Es ist ziemlich klar, dass es keine solche Zahl gibt, nach der sich ALLE Mitglieder in einer bestimmten Nachbarschaft befinden - ungerade Mitglieder werden immer auf "minus eins" "herausspringen". Aus einem ähnlichen Grund gibt es an dieser Stelle keine Begrenzung.

Lassen Sie uns das Material mit Übung reparieren:

Beispiel 1

Beweisen Sie, dass der Grenzwert der Folge null ist. Geben Sie die Zahl an, nach der alle Mitglieder der Sequenz garantiert innerhalb einer beliebig kleinen -Nachbarschaft des Punktes liegen.

Notiz : Bei vielen Folgen hängt die gewünschte natürliche Zahl vom Wert ab - daher die Notation.

Lösung: Erwägen willkürlich Gibt es Nummer - so dass sich ALLE Mitglieder mit höheren Nummern in dieser Nachbarschaft befinden:

Um die Existenz der gesuchten Zahl zu zeigen, drücken wir durch.

Da für jeden Wert von "en" das Modulozeichen entfernt werden kann:

Wir nutzen die Aktionen "Schule" mit Ungleichheiten, die ich im Unterricht wiederholt habe Lineare Ungleichungen und Funktionsumfang... Ein wichtiger Umstand ist in diesem Fall, dass "epsilon" und "en" positiv sind:

Da wir links von natürlichen Zahlen sprechen und die rechte Seite im Allgemeinen gebrochen ist, muss sie gerundet werden:

Notiz : Manchmal wird sicherheitshalber rechts eine Einheit hinzugefügt, aber das ist eigentlich ein Overkill. Wenn wir das Ergebnis auch durch Abrunden relativ abschwächen, dann erfüllt die nächste geeignete Zahl ("drei") immer noch die ursprüngliche Ungleichung.

Jetzt schauen wir uns die Ungleichung an und erinnern uns, dass wir ursprünglich gedacht haben willkürlich-Nachbarschaft, d.h. Epsilon kann gleich sein irgendein eine positive Zahl.

Ausgabe: für jede beliebig kleine -Nachbarschaft des Punktes der Wert ... Somit ist die Zahl per Definition die Grenze der Folge. Q.E.D.

Übrigens, aus dem erhaltenen Ergebnis eine natürliche Regelmäßigkeit ist deutlich sichtbar: je kleiner die Nachbarschaft, desto größer die Zahl, nach der ALLE Glieder der Folge in der gegebenen Nachbarschaft liegen. Aber egal wie klein das "Epsilon" ist, es wird immer einen "endlosen Schwanz" drinnen und draußen geben - auch wenn er groß ist der endgültige Anzahl der Mitglieder.

Wie sind Ihre Eindrücke? =) Ich stimme zu, dass es seltsam ist. Aber streng! Bitte alles nochmal durchlesen und verstehen.

Schauen wir uns ein ähnliches Beispiel an und erkunden Sie andere Techniken:

Beispiel 2

Lösung: durch die Definition der Folge ist zu beweisen, dass (wir sagen es laut!!!).

Erwägen willkürlich-die Umgebung des Punktes und prüfen Sie, ob existiert es natürliche Zahl - so dass für alle großen Zahlen folgende Ungleichung erfüllt ist:

Um die Existenz eines solchen zu zeigen, müssen Sie "en" durch "epsilon" ausdrücken. Vereinfachen wir den Ausdruck unter dem Modulzeichen:

Das Modul zerstört das Minuszeichen:

Der Nenner ist für jedes "en" positiv, daher können die Stäbchen entfernt werden:

Mischen:

Jetzt müssen wir die Quadratwurzel ziehen, aber der Haken ist, dass bei einigen Epsilonen die rechte Seite negativ ist. Um dieses Problem zu vermeiden wird stärken Modulungleichung:

Warum ist dies möglich? Wenn sich bedingt herausstellt, dass die Bedingung noch mehr erfüllt ist. Das Modul kann nur erhöhen gesuchte Nummer, und die wird uns auch passen! Grob gesagt, wenn der Hundertstel passt, dann reicht der 200er! Gemäß der Definition muss gezeigt werden die Tatsache der Existenz der Zahl(zumindest einige), danach befinden sich alle Mitglieder der Sequenz in der -Nachbarschaft. Aus diesem Grund haben wir übrigens keine Angst vor dem abschließenden Runden der rechten Seite nach oben.

Extrahieren Sie die Wurzel:

Und runden Sie das Ergebnis ab:

Ausgabe: schon seit der Wert "epsilon" wurde willkürlich gewählt, dann wurde für jede beliebige kleine Umgebung des Punktes der Wert gefunden , so dass für alle großen Zahlen die Ungleichung ... Auf diese Weise, a-prior. Q.E.D.

Beraten besonders die Verstärkung und Abschwächung von Ungleichheiten zu verstehen - das sind typische und sehr gebräuchliche Methoden der mathematischen Analyse. Das einzige, was Sie überwachen müssen, ist die Richtigkeit dieser oder jener Aktion. Also zum Beispiel die Ungleichung keinesfalls lösen indem man, sagen wir, eins subtrahiert:

Nochmals bedingt: Wenn die Nummer genau passt, dann passt die vorherige möglicherweise nicht mehr.

Das folgende Beispiel ist für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 3

Beweisen Sie mit der Definition einer Folge, dass

Eine kurze Lösung und Antwort am Ende des Tutorials.

Wenn die Sequenz unendlich toll, dann wird die Definition des Grenzwertes in ähnlicher Weise formuliert: ein Punkt heißt Grenzwert der Folge, falls überhaupt, so groß wie du willst Zahl gibt es eine Zahl, so dass für alle größeren Zahlen die Ungleichung gilt. Die Nummer wird angerufen die Nähe des Punktes "plus unendlich":

Mit anderen Worten, egal wie groß der Wert ist, der "unendliche Schwanz" der Folge wird notwendigerweise in die -Nachbarschaft des Punktes gehen, so dass nur eine endliche Anzahl von Mitgliedern auf der linken Seite verbleibt.

Aufgabenbeispiel:

Und die Abkürzung: wenn

Notieren Sie sich die Definition bei Gelegenheit selbst. Die richtige Version steht am Ende der Lektion.

Nachdem Sie praktische Beispiele in die Finger bekommen und herausgefunden haben, wie Sie den Grenzwert einer Folge definieren, können Sie in der Literatur zur mathematischen Analyse und / oder Ihrem Vorlesungsbuch nachschlagen. Ich empfehle den 1. Band von Bohan . herunterzuladen (einfacher - für außeruniversitäre Studierende) und Fichtengolts (ausführlicher und ausführlicher)... Unter anderem berate ich Piskunov, dessen Studiengang auf technische Universitäten ausgerichtet ist.

Versuchen Sie, die Sätze, die den Grenzwert der Folge, ihren Beweis, das Korollar betreffen, gewissenhaft zu studieren. Die Theorie mag zunächst "unscharf" erscheinen, aber das ist in Ordnung - es ist nur gewöhnungsbedürftig. Und viele werden sogar auf den Geschmack kommen!

Strenge Definition des Grenzwertes einer Funktion

Beginnen wir mit dem gleichen - wie formuliert man dieses Konzept? Die verbale Definition des Grenzwertes einer Funktion ist viel einfacher formuliert: „Eine Zahl ist der Grenzwert einer Funktion, wenn mit“ x ”zu (sowohl links als auch rechts), tendieren die entsprechenden Werte der Funktion zu " (Zeichnung sehen)... Alles scheint normal zu sein, aber Wörter sind Wörter, Bedeutung ist Bedeutung, ein Symbol ist ein Symbol, und es gibt nicht genügend strenge mathematische Notationen. Und im zweiten Absatz werden wir zwei Ansätze zur Lösung dieses Problems kennenlernen.

Die Funktion sei auf einem Intervall definiert, außer möglicherweise einem Punkt. In der Bildungsliteratur wird allgemein akzeptiert, dass die Funktion da ist nicht definiert:

Diese Wahl unterstreicht Funktionsgrenzen Essenz: "X" unendlich nah Ansätze, und die entsprechenden Funktionswerte sind - unendlich nah Zu . Mit anderen Worten, der Begriff der Grenze impliziert keine "genaue Annäherung" an die Punkte, nämlich unendlich nahe Näherung, spielt es keine Rolle, ob die Funktion an der Stelle definiert ist oder nicht.

Die erste Definition des Grenzwertes einer Funktion wird, wenig überraschend, unter Verwendung von zwei Folgen formuliert. Erstens werden die Konzepte verwandt, und zweitens werden die Grenzen von Funktionen meist nach den Grenzen von Folgen studiert.

Betrachten Sie die Sequenz Punkte (nicht in der Zeichnung dargestellt) zum Intervall gehören und außer welcher konvergiert Zu . Dann bilden auch die entsprechenden Werte der Funktion eine Zahlenfolge, deren Mitglieder sich auf der Ordinatenachse befinden.

Heine-Funktionsgrenze für jeden Punktfolgen (gehört zu und anders als) der gegen einen Punkt konvergiert, gegen den die entsprechende Wertefolge der Funktion konvergiert.

Eduard Heine ist ein deutscher Mathematiker. ... Und an sowas muss man nicht denken, es gibt nur einen Schwulen in Europa - das ist Gay Lussac =)

Die zweite Definition der Grenze wurde gebaut ... ja, Sie haben Recht. Aber werfen wir zunächst einen Blick auf sein Design. Betrachten Sie eine beliebige -Nachbarschaft des Punktes ("Schwarze" Nachbarschaft)... Basierend auf dem vorherigen Absatz bedeutet die Notation, dass eine Bedeutung die Funktion befindet sich innerhalb der Epsilon-Nachbarschaft.

Jetzt finden wir die -Nachbarschaft, die der gegebenen -Nachbarschaft entspricht (Zeichne gedanklich schwarze gepunktete Linien von links nach rechts und dann von oben nach unten)... Beachten Sie, dass der Wert abgerufen wird entlang der Länge des kleineren Segments, in diesem Fall - entlang der Länge des kürzeren linken Segments. Darüber hinaus kann die „karmesinrote“ Umgebung des Punktes sogar reduziert werden, da in der folgenden Definition die Tatsache der Existenz ist wichtig diese Nachbarschaft. In ähnlicher Weise bedeutet Notation, dass sich ein Wert innerhalb der "Delta"-Nachbarschaft befindet.

Der Cauchy-Limit einer Funktion: eine Zahl heißt Grenzwert einer Funktion an einem Punkt, wenn für jeden vorausgewählt Nachbarschaft (wenn auch klein), existiert-die Umgebung des Punktes, EINE SOLCHE dass: ALS NUR Werte (gehört) in dieser Nachbarschaft enthalten: (rote Pfeile)- SO SOFORT gehen die entsprechenden Werte der Funktion garantiert in die -Nachbarschaft: (blaue Pfeile).

Ich muss Sie warnen, dass ich aus Gründen der Übersichtlichkeit ein wenig improvisiert habe, also nicht überbeanspruchen =)

Kurzeintrag: if

Was ist das Wesen der Definition? Bildlich gesprochen, indem wir die -Nachbarschaft unendlich verkleinern, "begleiten" wir die Werte der Funktion bis an ihre Grenze und lassen ihnen keine Alternative, sich woanders anzunähern. Ziemlich ungewöhnlich, aber wieder streng! Um die Idee richtig zu machen, lesen Sie den Wortlaut noch einmal.

! Beachtung: wenn Sie nur formulieren müssen Heine-Definition oder nur Cauchy-Definition bitte nicht vergessen notwendig Vorbemerkung: "Betrachten Sie eine Funktion, die in einem bestimmten Intervall definiert ist, mit der möglichen Ausnahme eines Punktes."... Ich habe das ganz am Anfang einmal angedeutet und nicht jedes Mal wiederholt.

Nach dem entsprechenden Theorem der mathematischen Analysis sind die Definitionen nach Heine und nach Cauchy äquivalent, aber die bekannteste ist die zweite Version (würde es immer noch!), die auch als "Zungengrenze" bezeichnet wird:

Beispiel 4

Beweisen Sie mit der Definition des Grenzwertes, dass

Lösung: Die Funktion wird auf der ganzen Zahlengeraden mit Ausnahme des Punktes definiert. Mit der Definition beweisen wir die Existenz eines Grenzwertes an einem bestimmten Punkt.

Notiz : der Wert der "delta" -Nachbarschaft hängt von "epsilon" ab, daher die Notation

Erwägen willkürlich-Nachbarschaft. Die Aufgabe besteht darin, anhand dieses Wertes zu prüfen, existiert es-Nachbarschaft, EINE SOLCHE, die aus der Ungleichung die Ungleichung folgt .

Angenommen, wir transformieren die letzte Ungleichung:
(zerlegt ein quadratisches Trinom)

Mathematik ist die Wissenschaft, die die Welt baut. Sowohl ein Wissenschaftler als auch ein gewöhnlicher Mensch - niemand kann auf sie verzichten. Erst wird kleinen Kindern das Zählen beigebracht, dann addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren, Buchstabenbezeichnungen kommen von der Mittelschule ins Spiel, und in der Älteren kann man nicht darauf verzichten.

Aber heute werden wir darüber sprechen, worauf alle bekannte Mathematik basiert. Über die Zahlengemeinschaft nennt man "Folgegrenzen".

Was sind Sequenzen und wo liegt ihre Grenze?

Die Bedeutung des Wortes "Sequenz" ist nicht schwer zu interpretieren. Dies ist eine solche Konstruktion von Dingen, bei der jemand oder etwas in einer bestimmten Reihenfolge oder Warteschlange angeordnet ist. Zum Beispiel ist die Schlange für Tickets für den Zoo eine Sequenz. Außerdem kann es nur einen geben! Wenn Sie sich zum Beispiel die Warteschlange im Laden anschauen, ist dies eine Sequenz. Und wenn eine Person plötzlich diese Warteschlange verlässt, dann ist dies eine andere Warteschlange, eine andere Reihenfolge.

Das Wort "Grenze" ist auch leicht zu interpretieren - es ist das Ende von etwas. In der Mathematik sind die Grenzen von Folgen jedoch diejenigen Werte auf dem Zahlenstrahl, zu denen eine Zahlenfolge tendiert. Warum streben und nicht enden? Es ist einfach, der Zahlenstrahl hat kein Ende und die meisten Sequenzen, wie Strahlen, haben nur einen Anfang und sehen so aus:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Daher ist die Definition einer Folge eine Funktion eines natürlichen Arguments. Einfacher ausgedrückt handelt es sich um eine Reihe von Mitgliedern einer Menge.

Wie ist die Zahlenfolge aufgebaut?

Das einfachste Beispiel für eine Zahlenfolge könnte so aussehen: 1, 2, 3, 4, ... n ...

In den meisten Fällen werden Sequenzen aus praktischen Gründen aus Zahlen aufgebaut, und jedes nächste Mitglied der Reihe, nennen wir es mit X, hat seinen eigenen Namen. Zum Beispiel:

x 1 - das erste Mitglied der Sequenz;

x 2 - das zweite Mitglied der Sequenz;

x 3 - dritter Begriff;

x n ist der n-te Term.

Bei praktischen Methoden wird die Reihenfolge durch eine allgemeine Formel angegeben, in der es eine Variable gibt. Zum Beispiel:

X n = 3n, dann sieht die Zahlenreihe selbst so aus:

Vergessen Sie nicht, dass Sie bei der allgemeinen Aufzeichnung von Sequenzen alle lateinischen Buchstaben verwenden können, nicht nur X. Zum Beispiel: y, z, k usw.

Arithmetische Progression als Teil von Sequenzen

Bevor man nach den Grenzen von Sequenzen sucht, ist es ratsam, tiefer in das Konzept einer ähnlichen Zahlenreihe einzutauchen, die jeder in der Mittelschicht kennengelernt hat. Eine arithmetische Folge ist eine Reihe von Zahlen, bei denen die Differenz zwischen benachbarten Termen konstant ist.

Problem: „Es sei a 1 = 15 und der Schritt der Zahlenreihenfolge d = 4. Erstellen Sie die ersten 4 Mitglieder dieser Reihe "

Lösung: a 1 = 15 (nach Bedingung) - das erste Glied der Progression (Zahlenreihe).

und 2 = 15 + 4 = 19 ist der zweite Term der Progression.

und 3 = 19 + 4 = 23 ist der dritte Term.

und 4 = 23 + 4 = 27 ist der vierte Term.

Allerdings ist es mit dieser Methode schwierig, auf große Werte zu kommen, beispielsweise auf einen 125.. Speziell für solche Fälle wurde eine geeignete Formel abgeleitet: a n = a 1 + d (n-1). In diesem Fall ist a 125 = 15 + 4 (125-1) = 511.

Sequenztypen

Die meisten Sequenzen sind endlos und es lohnt sich, sich ein Leben lang daran zu erinnern. Es gibt zwei interessante Arten von Zahlenreihen. Die erste ist durch die Formel à n = (- 1) n gegeben. Mathematiker bezeichnen diese Sequenz oft als Blitzlicht. Wieso den? Lassen Sie uns seine numerische Reihe überprüfen.

1, 1, -1, 1, -1, 1 usw. An diesem Beispiel wird deutlich, dass die Zahlen in den Folgen leicht wiederholt werden können.

Faktorielle Reihenfolge. Es ist leicht zu erraten - es gibt eine Fakultät in der Formel, die die Reihenfolge definiert. Zum Beispiel: und n = (n + 1)!

Dann sieht die Reihenfolge so aus:

a2 = 1x2x3 = 6;

a3 = 1x2x3x4 = 24 usw.

Eine durch eine arithmetische Folge gegebene Folge heißt unendlich fallend, wenn die Ungleichung -1

a 3 = - 1/8 usw.

Es gibt sogar eine Folge mit der gleichen Nummer. Also, und n = 6 besteht aus einer unendlichen Menge von Sechsen.

Bestimmen des Limits einer Sequenz

Sequenzgrenzen gibt es in der Mathematik schon lange. Natürlich verdienen sie ihr eigenes cleveres Design. Es ist also an der Zeit, die Definition von Sequenzgrenzen herauszufinden. Betrachten Sie zunächst den Grenzwert für eine lineare Funktion im Detail:

Alle Grenzen werden mit lim abgekürzt.
Die Grenzwertschreibweise besteht aus der Abkürzung lim, jeder Variablen, die gegen eine bestimmte Zahl, Null oder Unendlich strebt, sowie der Funktion selbst.

Es ist leicht verständlich, dass die Definition des Grenzwertes einer Folge wie folgt formuliert werden kann: Es ist eine bestimmte Zahl, der sich alle Glieder der Folge unendlich nähern. Ein einfaches Beispiel: a x = 4x + 1. Dann sieht die Sequenz selbst so aus.

5, 9, 13, 17, 21 ... x ...

Somit wird diese Folge unendlich zunehmen, und daher ist ihr Grenzwert gleich unendlich als x → ∞, und dies sollte wie folgt geschrieben werden:

Wenn wir eine ähnliche Folge nehmen, aber x gegen 1 strebt, erhalten wir:

Und die Zahlenreihe sieht so aus: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 usw. Jedes Mal müssen Sie die Zahl näher an eins ersetzen (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Aus dieser Reihe ist ersichtlich, dass der Grenzwert der Funktion fünf beträgt.

In diesem Teil lohnt es sich, sich daran zu erinnern, was der Grenzwert einer Zahlenfolge ist, die Definition und Methode zur Lösung einfacher Probleme.

Allgemeine Notation für Grenzfolgen

Nachdem Sie die Grenze einer Zahlenfolge, ihre Definition und Beispiele zerlegt haben, können Sie zu einem komplexeren Thema übergehen. Absolut alle Grenzen von Sequenzen lassen sich mit einer Formel formulieren, die meist im ersten Semester analysiert wird.

Wofür steht dieser Satz von Buchstaben, Modulen und Ungleichungszeichen?

∀ ist ein universeller Quantor, der die Phrasen „für alle“, „für alles“ usw. ersetzt.

∃ ist ein existenzieller Quantor, in diesem Fall bedeutet dies, dass es einen Wert N gibt, der zur Menge der natürlichen Zahlen gehört.

Ein langer vertikaler Stick nach N bedeutet, dass die gegebene Menge N „so dass“ ist. In der Praxis kann es "so das", "so das" usw. bedeuten.

Um das Material zu festigen, lesen Sie die Formel laut vor.

Unsicherheit und Sicherheit der Grenze

Die oben betrachtete Methode zum Auffinden der Grenze von Folgen ist einfach anzuwenden, aber in der Praxis nicht so rational. Versuchen Sie, den Grenzwert für eine Funktion wie diese zu finden:

Wenn wir verschiedene Werte von "x" ersetzen (jedes Mal aufsteigend: 10, 100, 1000 usw.), dann erhalten wir ∞ im Zähler, aber auch ∞ im Nenner. Es stellt sich ein ziemlich seltsamer Bruch heraus:

Aber ist es wirklich so? Die Berechnung des Grenzwerts einer Zahlenfolge scheint in diesem Fall einfach genug. Man könnte alles so lassen, wie es ist, weil die Antwort fertig ist und zu vernünftigen Bedingungen eingegangen ist, aber es gibt einen anderen Weg speziell für solche Fälle.

Suchen wir zunächst den höchsten Grad im Zähler des Bruchs - dieser ist 1, da x als x 1 dargestellt werden kann.

Suchen wir nun den höchsten Grad im Nenner. Auch 1.

Dividiere sowohl den Zähler als auch den Nenner in höchstem Maße durch die Variable. In diesem Fall teilen wir den Bruch durch x 1.

Als nächstes finden wir den Wert, zu dem jeder Term, der die Variable enthält, tendiert. In diesem Fall werden Brüche berücksichtigt. Für x → ∞ geht der Wert jedes der Brüche gegen Null. Bei der schriftlichen Anmeldung eines Werkes lohnt es sich, folgende Fußnoten zu machen:

Es ergibt sich folgender Ausdruck:

Brüche, die x enthalten, werden natürlich nicht zu Nullen! Ihr Wert ist jedoch so gering, dass er bei den Berechnungen nicht berücksichtigt werden darf. Tatsächlich wird x in diesem Fall nie gleich 0 sein, da Sie nicht durch Null teilen können.

Was ist eine Nachbarschaft?

Angenommen, der Professor verfügt über eine komplexe Folge, die offensichtlich durch eine ebenso komplexe Formel gegeben ist. Der Professor hat die Antwort gefunden, aber ist sie richtig? Schließlich liegen alle Menschen falsch.

Auguste Cauchy hat sich einmal eine großartige Möglichkeit einfallen lassen, die Grenzen von Sequenzen zu beweisen. Seine Methode hieß die Umgebung operieren.

Angenommen, es gibt einen Punkt a, dessen Nachbarschaft in beiden Richtungen auf der Zahlengeraden ("Epsilon") ist. Da die letzte Variable die Distanz ist, ist ihr Wert immer positiv.

Nun definieren wir eine Folge x n und nehmen an, dass der zehnte Term der Folge (x 10) in die Umgebung von a eintritt. Wie schreibt man diese Tatsache in mathematischer Sprache?

Angenommen, x 10 liegt rechts von Punkt a, dann ist der Abstand x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Jetzt ist es an der Zeit, die oben genannte Formel in der Praxis zu erklären. Es ist fair, eine Zahl a den Endpunkt der Folge zu nennen, wenn die Ungleichung ε> 0 für einen ihrer Grenzwerte gilt und die gesamte Umgebung ihre natürliche Zahl N hat, so dass alle Mitglieder der Folge mit höherwertigen Zahlen darin liegen die Folge |xn - a |< ε.

Mit diesem Wissen ist es leicht, die Lösung der Grenzen der Folge zu implementieren, die fertige Antwort zu beweisen oder zu widerlegen.

Sätze

Folgegrenzsätze sind ein wichtiger Bestandteil der Theorie, ohne die die Praxis nicht möglich ist. Es gibt nur vier Hauptsätze, an die Sie sich den Lösungs- oder Beweisverlauf erheblich erleichtern können:

Eindeutigkeit des Sequenzlimits. Jede Sequenz kann nur eine Grenze haben oder gar nicht. Das gleiche Beispiel mit einer Warteschlange, die nur ein Ende haben kann.
Wenn der Zahlenbereich begrenzt ist, ist die Reihenfolge dieser Zahlen begrenzt.
Der Grenzwert der Summe (Differenz, Produkt) von Folgen ist gleich der Summe (Differenz, Produkt) ihrer Grenzwerte.
Der Quotientengrenzwert der Division zweier Folgen ist genau dann gleich dem Quotienten der Grenzwerte, wenn der Nenner nicht verschwindet.

Nachweis von Sequenzen

Manchmal ist es erforderlich, ein inverses Problem zu lösen, um einen gegebenen Grenzwert einer Zahlenfolge zu beweisen. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beweisen Sie, dass der Grenzwert der durch die Formel gegebenen Folge gleich Null ist.

Nach der oben betrachteten Regel gilt für jede Folge die Ungleichung | x n - a |<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Lassen Sie uns n durch Epsilon ausdrücken, um die Existenz einer Zahl zu zeigen und zu beweisen, dass es einen Grenzwert für die Folge gibt.

Zu diesem Zeitpunkt ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass "epsilon" und "en" positive Zahlen sind und nicht gleich Null sind. Die Transformation kann nun mit dem in der High School erlernten Wissen um Ungleichheiten fortgesetzt werden.

Daraus ergibt sich, dass n> -3 + 1 / . Da es sich um natürliche Zahlen handelt, kann das Ergebnis durch Einfügen in eckige Klammern gerundet werden. Somit wurde bewiesen, dass es für jeden Wert der Umgebung "epsilon" des Punktes a = 0 einen Wert gibt, bei dem die anfängliche Ungleichung gilt. Daher können wir sicher behaupten, dass die Zahl a der Grenzwert einer gegebenen Folge ist. Q.E.D.

Mit einer so bequemen Methode können Sie den Grenzwert einer Zahlenfolge beweisen, egal wie kompliziert sie auf den ersten Blick sein mag. Die Hauptsache ist, beim Anblick des Auftrags nicht in Panik zu geraten.

Oder ist er es vielleicht nicht?

Das Vorhandensein einer Sequenzgrenze ist in der Praxis nicht erforderlich. Es ist leicht, solche Zahlenreihen zu finden, die wirklich kein Ende haben. Zum Beispiel derselbe "Blinker" x n = (-1) n. Es ist offensichtlich, dass eine Folge, die nur aus zwei Ziffern besteht und sich zyklisch wiederholt, keine Begrenzung haben kann.

Die gleiche Geschichte wiederholt sich mit Folgen, die aus einer Zahl bestehen, gebrochene Einsen, die im Laufe der Berechnungen eine Unsicherheit beliebiger Ordnung (0/0, ∞ / ∞, ∞ / 0 usw.) haben. Es ist jedoch zu beachten, dass auch eine falsche Berechnung stattfindet. Manchmal hilft es Ihnen, die Grenze der Sequenzen zu finden, indem Sie Ihre eigene Lösung erneut überprüfen.

Monotone Sequenz

Oben haben wir einige Beispiele für Folgen und Methoden zu ihrer Lösung betrachtet, und jetzt werden wir versuchen, einen spezifischeren Fall zu nehmen und ihn als "monotone Folge" zu bezeichnen.

Definition: Es ist fair, jede Folge monoton steigend zu nennen, wenn die strikte Ungleichung x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >xn+1.

Neben diesen beiden Bedingungen gibt es auch ähnlich schwache Ungleichungen. Dementsprechend gilt x n x n +1 (nicht abnehmende Folge) und x n ≥ x n +1 (nicht ansteigende Folge).

Aber es ist einfacher, dies mit Beispielen zu verstehen.

Die durch die Formel x n = 2 + n gegebene Folge bildet die folgende Zahlenreihe: 4, 5, 6 usw. Dies ist eine monoton ansteigende Folge.

Und wenn wir x n = 1 / n nehmen, dann erhalten wir eine Reihe: 1/3, ¼, 1/5 usw. Dies ist eine monoton fallende Folge.

Konvergente und beschränkte Folgengrenze

Eine begrenzte Folge ist eine Folge, die ein Limit hat. Eine konvergente Folge ist eine Reihe von Zahlen mit einem infinitesimalen Grenzwert.

Somit ist der Grenzwert einer beschränkten Folge eine beliebige reelle oder komplexe Zahl. Denken Sie daran, dass es nur eine Grenze geben kann.

Der Grenzwert einer konvergierenden Folge ist ein infinitesimaler Wert (reell oder komplex). Wenn Sie ein Sequenzdiagramm zeichnen, wird es an einem bestimmten Punkt sozusagen konvergieren und sich in einen bestimmten Wert verwandeln. Daher der Name - konvergente Sequenz.

Monotone Sequenzgrenze

Eine solche Sequenz kann eine Grenze haben oder nicht. Zunächst ist es nützlich zu verstehen, wann dies der Fall ist. Von hier aus können Sie beginnen, das Fehlen einer Grenze nachzuweisen.

Unter den monotonen Folgen werden konvergierende und divergierende Folgen unterschieden. Konvergent ist eine Folge, die von einer Menge x gebildet wird und in dieser Menge einen reellen oder komplexen Grenzwert hat. Divergent - eine Folge, deren Menge keine Grenze hat (weder reell noch komplex).

Außerdem konvergiert die Folge, wenn in einem geometrischen Bild ihre oberen und unteren Grenzen konvergieren.

Der Grenzwert einer konvergierenden Folge kann in vielen Fällen Null sein, da jede infinitesimale Folge einen bekannten Grenzwert (Null) hat.

Welche konvergierende Folge Sie auch nehmen, sie sind alle begrenzt, aber nicht alle begrenzten Folgen konvergieren.

Die Summe, Differenz, Produkt zweier konvergierender Folgen ist ebenfalls eine konvergierende Folge. Der Quotient kann aber auch konvergent sein, wenn er definiert ist!

Verschiedene Aktionen mit Grenzen

Die Grenzen der Folgen sind (in den meisten Fällen) die gleiche wesentliche Größe, ebenso wie die Zahlen und Zahlen: 1, 2, 15, 24, 362 usw. Es stellt sich heraus, dass einige Operationen mit den Grenzen durchgeführt werden können.

Erstens können wie bei Zahlen und Zahlen die Grenzen einer beliebigen Folge addiert und subtrahiert werden. Basierend auf dem dritten Satz über die Grenzen von Folgen gilt folgende Gleichheit: Der Grenzwert der Summe von Folgen ist gleich der Summe ihrer Grenzwerte.

Zweitens gilt aufgrund des vierten Satzes über die Grenzen von Folgen folgende Gleichheit: Der Grenzwert des Produkts der n-ten Anzahl von Folgen ist gleich dem Produkt ihrer Grenzwerte. Das gleiche gilt für die Division: Der Quotientengrenzwert zweier Folgen ist gleich dem Quotienten ihrer Grenzwerte, sofern der Grenzwert nicht Null ist. Immerhin, wenn die Grenze der Folgen gleich Null ist, wird eine Division durch Null resultieren, was unmöglich ist.

Eigenschaften der Sequenzquantität

Es scheint, dass die Grenze der Zahlenfolge bereits ausführlich analysiert wurde, aber Phrasen wie "unendlich kleine" und "unendlich große" Zahlen werden mehr als einmal erwähnt. Wenn es eine Folge 1 / x gibt, mit x → ∞, dann ist ein solcher Bruch natürlich unendlich klein, und wenn dieselbe Folge, aber der Grenzwert gegen Null geht (x → 0), dann wird der Bruch unendlich groß. Und diese Mengen haben ihre eigenen Eigenschaften. Die Eigenschaften des Grenzwerts einer Folge mit kleinen oder großen Werten sind wie folgt:

Die Summe beliebig vieler beliebig kleiner Mengen wird auch kleine Mengen sein.
Die Summe beliebig vieler großer Mengen wird unendlich groß sein.
Das Produkt beliebig kleiner Mengen ist unendlich klein.
Das Produkt beliebig vieler großer Zahlen ist unendlich groß.
Wenn die ursprüngliche Folge gegen eine unendlich große Zahl strebt, dann ist der ihr entgegengesetzte Wert unendlich klein und geht gegen Null.

Tatsächlich ist die Berechnung des Grenzwerts einer Sequenz keine so schwierige Aufgabe, wenn Sie einen einfachen Algorithmus kennen. Aber die Grenzen der Sequenzen sind ein Thema, das höchste Aufmerksamkeit und Ausdauer erfordert. Natürlich reicht es aus, die Essenz der Lösung solcher Ausdrücke zu erfassen. Wenn Sie klein anfangen, können Sie mit der Zeit große Gipfel erreichen.