ریشه x. تابع y = جذر x، خواص و نمودار آن

درس و ارائه با موضوع: "توابع توان. ریشه مکعب. خواص ریشه مکعب"

مواد اضافی
کاربران گرامی، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال کلاس نهم
مجتمع آموزشی 1C: "مسائل جبری با پارامترها، پایه های 9-11" محیط نرم افزار "1C: Mathematical Constructor 6.0"

تعریف تابع توان - ریشه مکعب

بچه ها، ما به مطالعه توابع قدرت ادامه می دهیم. امروز در مورد تابع "ریشه مکعب x" صحبت خواهیم کرد.
ریشه مکعبی چیست؟
اگر برابری $y^3=x$ وجود داشته باشد، عدد y را ریشه مکعب x می نامند (ریشه درجه سوم).
با $\sqrt(x)$ نشان داده می شود، جایی که x یک عدد رادیکال است، 3 یک توان است.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
همانطور که می بینیم، ریشه مکعب را می توان از اعداد منفی نیز استخراج کرد. معلوم می شود که ریشه ما برای همه اعداد وجود دارد.
ریشه سوم یک عدد منفی برابر با یک عدد منفی است. هنگامی که به یک توان فرد بالا می رود، علامت حفظ می شود؛ توان سوم فرد است.

بیایید برابری را بررسی کنیم: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
اجازه دهید $\sqrt((-x))=a$ و $\sqrt(x)=b$. بیایید هر دو عبارت را به قدرت سوم برسانیم. $–x=a^3$ و $x=b^3$. سپس $a^3=-b^3$ یا $a=-b$. با استفاده از نماد برای ریشه ها، هویت مورد نظر را به دست می آوریم.

خواص ریشه های مکعبی

الف) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
ب) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

بیایید خاصیت دوم را ثابت کنیم. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
دریافتیم که عدد $\sqrt(\frac(a)(b))$ مکعبی برابر با $\frac(a)(b)$ است و سپس برابر $\sqrt(\frac(a)(b))$ است. ، که و نیاز به اثبات داشت.

بچه ها، بیایید یک نمودار از عملکرد خود بسازیم.
1) دامنه تعریف مجموعه اعداد حقیقی است.
2) تابع فرد است، زیرا $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. سپس، تابع ما را برای $x≥0$ در نظر بگیرید، سپس نمودار را نسبت به مبدا نمایش دهید.
3) وقتی $x≥0$ تابع افزایش می یابد. برای تابع ما، مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار بزرگتر تابع مطابقت دارد که به معنای افزایش است.
4) عملکرد از بالا محدود نمی شود. در واقع، از یک عدد دلخواه بزرگ می‌توانیم ریشه سوم را محاسبه کنیم، و می‌توانیم به طور نامحدود به سمت بالا حرکت کنیم و مقادیر بزرگ‌تری از آرگومان را پیدا کنیم.
5) برای $x≥0$ کوچکترین مقدار 0 است. این ویژگی واضح است.
بیایید یک نمودار از تابع با نقاط x≥0 بسازیم.

بیایید نمودار خود را از تابع در کل دامنه تعریف بسازیم. به یاد داشته باشید که تابع ما فرد است.

ویژگی های عملکرد:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) تابع فرد.
3) با (-∞;+∞) افزایش می یابد.
4) نامحدود
5) هیچ مقدار حداقل یا حداکثر وجود ندارد.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) محدب رو به پایین توسط (-∞;0)، محدب رو به بالا توسط (0;+∞).

نمونه هایی از حل توابع قدرت

مثال ها
1. معادله $\sqrt(x)=x$ را حل کنید.
راه حل. بیایید دو نمودار در یک صفحه مختصات $y=\sqrt(x)$ و $y=x$ بسازیم.

همانطور که می بینید، نمودارهای ما در سه نقطه قطع می شوند.
پاسخ: (-1;-1)، (0;0)، (1;1).

2. یک نمودار از تابع بسازید. $y=\sqrt((x-2))-3$.
راه حل. نمودار ما از نمودار تابع $y=\sqrt(x)$ با ترجمه موازی دو واحد به سمت راست و سه واحد پایین به دست می آید.

3. تابع را رسم کنید و آن را بخوانید. $\begin(موارد)y=\sqrt(x)، x≥-1\\y=-x-2، x≤-1 \end(موارد)$.
راه حل. بیایید با در نظر گرفتن شرایط خود، دو نمودار از توابع در یک صفحه مختصات بسازیم. برای $x≥-1$ نموداری از ریشه مکعب می سازیم، برای $x≤-1$ نموداری از یک تابع خطی می سازیم.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) تابع نه زوج است و نه فرد.
3) با (-∞;-1) کاهش می یابد، با (-1;+∞) افزایش می یابد.
4) نامحدود از بالا، محدود از پایین.
5) بزرگترین ارزش وجود ندارد. کوچکترین مقدار منهای یک است.
6) تابع در کل خط اعداد پیوسته است.
7) E(y)= (-1;+∞).

مشکلاتی که باید به طور مستقل حل شوند

1. معادله $\sqrt(x)=2-x$ را حل کنید.
2. نموداری از تابع $y=\sqrt((x+1))+1$ بسازید.
3. نموداری از تابع رسم کنید و آن را بخوانید. $\begin(موارد)y=\sqrt(x)، x≥1\\y=(x-1)^2+1، x≤1 \end(موارد)$.

آیا به دنبال x ریشه x مساوی بودید؟ . یک راه حل دقیق با توضیحات و توضیحات به شما کمک می کند تا حتی با پیچیده ترین مشکل مقابله کنید و x ریشه y است، بدون استثنا. ما به شما کمک می کنیم تا برای تکالیف، آزمون ها، المپیادها و همچنین برای ورود به دانشگاه آماده شوید. و مهم نیست چه مثالی، مهم نیست که چه پرس و جوی ریاضی را وارد می کنید، ما قبلاً یک راه حل داریم. به عنوان مثال، "x ریشه x برابر است."

استفاده از مسائل مختلف ریاضی، ماشین حساب، معادلات و توابع در زندگی ما گسترده است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. بشر از زمان های بسیار قدیم از ریاضیات استفاده می کرده و از آن زمان تاکنون استفاده از آنها افزایش یافته است. با این حال، اکنون علم ثابت نمی‌ماند و می‌توان از ثمره فعالیت آن لذت برد، مانند یک ماشین حساب آنلاین که می‌تواند مسائلی مانند x ریشه x مساوی، x ریشه y، ریشه x، ریشه x برابر است. x، ریشه x برابر با x، ریشه x برابر با x، تابع y ریشه منهای x، تابع y منهای ریشه x، x ریشه y، x ریشه x برابر است با. در این صفحه یک ماشین حساب پیدا خواهید کرد که به شما کمک می کند هر سوالی را حل کنید، از جمله x ریشه x برابر است. (مثلاً ریشه x).

کجا می توانید هر مسئله ای را در ریاضیات حل کنید و همچنین x ریشه x معادل آنلاین است؟

شما می توانید مشکل x ریشه x برابر است در وب سایت ما حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما این امکان را می دهد که یک مشکل آنلاین با هر پیچیدگی را در عرض چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که به سادگی داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید دستورالعمل های ویدیویی را تماشا کنید و یاد بگیرید که چگونه وظیفه خود را به درستی در وب سایت ما وارد کنید. و اگر هنوز سؤالی دارید، می توانید آنها را در چت پایین سمت چپ صفحه ماشین حساب بپرسید.

اهداف اساسی:

1) با استفاده از مثال کمیت های مرتبط با رابطه y = ایده ای در مورد امکان سنجی یک مطالعه تعمیم یافته از وابستگی های مقادیر واقعی ایجاد کنید.

2) توسعه توانایی ساخت نمودار y= و خصوصیات آن.

3) تکنیک های محاسبات شفاهی و کتبی، مربع کردن، استخراج ریشه های مربع را تکرار و ادغام کنید.

تجهیزات، مواد نمایشی: جزوات.

1. الگوریتم:

2. نمونه برای انجام کار به صورت گروهی:

3. نمونه برای خودآزمایی کار مستقل:

4. کارت برای مرحله بازتاب:

1) من متوجه شدم که چگونه تابع y= را نمودار کنم.

2) می توانم ویژگی های آن را با استفاده از نمودار فهرست کنم.

3) در کار مستقل اشتباه نکردم.

4) من در کار مستقل خود اشتباه کردم (این اشتباهات را فهرست کنید و دلیل آنها را ذکر کنید).

در طول کلاس ها

1. خودتعیین برای فعالیت های آموزشی

هدف صحنه:

1) شامل دانش آموزان در فعالیت های آموزشی.

2) محتوای درس را تعیین کنید: ما به کار با اعداد واقعی ادامه می دهیم.

سازماندهی فرآیند آموزشی در مرحله 1:

- در درس آخر چه مطالعه ای داشتیم؟ (ما مجموعه اعداد واقعی ، عملیات با آنها را مورد مطالعه قرار دادیم ، الگوریتمی را برای توصیف خصوصیات یک تابع ، توابع مکرر مورد مطالعه در کلاس 7) ساختیم.

- امروز ما به کار با مجموعه ای از اعداد واقعی، یک تابع ادامه خواهیم داد.

2. به روز رسانی دانش و ثبت مشکلات در فعالیت ها

هدف صحنه:

1) محتوای آموزشی را که لازم و کافی برای درک مطالب جدید است به روز کنید: عملکرد ، متغیر مستقل ، متغیر وابسته ، نمودارها

y = kx + m، y = kx، y =c، y =x 2، y = - x 2،

2) به روز رسانی عملیات ذهنی لازم و کافی برای درک مطالب جدید: مقایسه، تجزیه و تحلیل، تعمیم.

3) تمام مفاهیم و الگوریتم های تکرار شده را در قالب نمودارها و نمادها ثبت کنید.

4) یک مشکل فردی در فعالیت را ثبت کنید و در سطح شخصی قابل توجهی ناکافی بودن دانش موجود را نشان دهید.

سازماندهی فرآیند آموزشی در مرحله 2:

1. به یاد بیاوریم که چگونه می توان وابستگی ها را بین کمیت ها تنظیم کرد؟ (با استفاده از متن، فرمول، جدول، نمودار)

2. یک تابع چه نامیده می شود؟ (رابطه بین دو کمیت، که در آن هر مقدار یک متغیر با یک مقدار واحد از متغیر دیگر y = f(x) مطابقت دارد).

نام x چیست؟ (متغیر مستقل - آرگومان)

نام y چیست؟ (متغیر وابسته).

3. در کلاس هفتم توابع مطالعه کردیم؟ (y = kx + m، y = kx، y =c، y =x 2، y = - x 2،).

تکلیف فردی:

نمودار توابع y = kx + m، y =x 2، y = چیست؟

3. شناسایی علل دشواری ها و تعیین اهداف برای فعالیت ها

هدف صحنه:

1) سازماندهی تعامل ارتباطی ، که در طی آن خاصیت متمایز وظیفه ای که باعث ایجاد دشواری در فعالیتهای یادگیری شده است ، شناسایی و ثبت می شود.

2) در مورد هدف و موضوع درس توافق کنید.

سازماندهی فرآیند آموزشی در مرحله 3:

-این کار چه ویژگی خاصی دارد؟ (وابستگی با فرمول y = که ما هنوز با آن مواجه نشده ایم به دست می آید.)

- هدف از درس چیست؟ (با عملکرد y = ، خصوصیات و نمودار آن آشنا شوید. از عملکرد در جدول برای تعیین نوع وابستگی استفاده کنید ، یک فرمول و نمودار بسازید.)

- آیا می توانید موضوع درس را فرموله کنید؟ (تابع y= خصوصیات و نمودار آن).

- موضوع را در دفترچه یادداشت خود بنویسید.

4. ساخت پروژه برای برون رفت از دشواری

هدف صحنه:

1) سازماندهی تعامل ارتباطی برای ایجاد یک روش جدید اقدام که علت مشکل شناسایی شده را از بین می برد.

2) روش جدیدی از عمل را به صورت نمادین، شفاهی و با کمک یک استاندارد تثبیت کنید.

سازماندهی فرآیند آموزشی در مرحله 4:

کار در این مرحله می تواند به صورت گروهی سازماندهی شود و از گروه ها بخواهد نمودار y = بسازند، سپس نتایج را تجزیه و تحلیل کنند. همچنین می‌توان از گروه‌ها خواسته شد که ویژگی‌های یک تابع معین را با استفاده از یک الگوریتم توصیف کنند.

5. تحکیم اولیه در گفتار بیرونی

هدف از مرحله: ثبت محتوای آموزشی مورد مطالعه در گفتار بیرونی.

سازماندهی فرآیند آموزشی در مرحله 5:

نموداری از y= - بسازید و ویژگی های آن را شرح دهید.

خواص y= - .

1. دامنه تعریف یک تابع.

2. محدوده مقادیر تابع.

3. y = 0، y> 0، y<0.

y = 0 اگر x = 0.

y<0, если х(0;+)

4. افزایش، کاهش توابع.

تابع با x کاهش می یابد.

بیایید یک نمودار از y= بسازیم.

بیایید قسمت آن را در بخش انتخاب کنیم. توجه داشته باشید که داریم = 1 برای x = 1 و y حداکثر. = 3 در x = 9.

پاسخ: به نام ما = 1، y حداکثر. =3

6. کار مستقل با خودآزمایی طبق استاندارد

هدف از مرحله: برای آزمایش توانایی خود در استفاده از محتوای آموزشی جدید در شرایط استاندارد بر اساس مقایسه راه حل خود با استانداردی برای خودآزمایی.

سازماندهی فرآیند آموزشی در مرحله 6:

دانش آموزان تکلیف را به طور مستقل انجام می دهند، یک خودآزمایی در برابر استاندارد انجام می دهند، تجزیه و تحلیل می کنند و خطاها را تصحیح می کنند.

بیایید یک نمودار از y= بسازیم.

با استفاده از یک نمودار، کوچکترین و بزرگترین مقادیر تابع را در بخش پیدا کنید.

7. گنجاندن در نظام دانش و تکرار

هدف از مرحله: آموزش مهارت های استفاده از مطالب جدید به همراه قبلاً مورد مطالعه: 2) محتوای آموزشی را که در دروس بعدی مورد نیاز است ، تکرار کنید.

سازماندهی فرآیند آموزشی در مرحله 7:

معادله را به صورت گرافیکی حل کنید: = x – 6.

یک دانش آموز پشت تخته سیاه است، بقیه در دفترچه هستند.

8. بازتاب فعالیت

هدف صحنه:

1) محتوای جدید آموخته شده در درس را ضبط کنید.

2) فعالیت های خود را در درس ارزیابی کنید.

3) از همکلاسی هایی که به نتیجه درس کمک کردند تشکر کنید.

4) ثبت مشکلات حل نشده به عنوان دستورالعمل برای فعالیت های آموزشی آینده.

5) در مورد تکالیف خود بحث کنید و یادداشت کنید.

سازماندهی فرآیند آموزشی در مرحله 8:

- بچه ها هدف ما امروز چی بود؟ (تابع y=، خواص و نمودار آن را مطالعه کنید).

- چه دانشی به ما در رسیدن به هدف کمک کرد؟ (قابلیت جستجوی الگوها، توانایی خواندن نمودارها.)

- فعالیت های خود را در کلاس تجزیه و تحلیل کنید. (کارت با بازتاب)

مشق شب

بند 13 (قبل از مثال 2) № 13.3, 13.4

معادله را به صورت گرافیکی حل کنید.

درس و ارائه با موضوع: "نمودار تابع جذر. حوزه تعریف و ساخت نمودار"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، نقدها، خواسته های خود را فراموش نکنید. تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال کلاس 8
کتاب درسی الکترونیکی برای کتاب درسی توسط موردکوویچ A.G.
کتاب کار جبر الکترونیکی پایه هشتم

نمودار تابع جذر

بچه ها، ما قبلاً با ساختن نمودارهای توابع و بیش از یک بار ملاقات کرده ایم. ما توابع خطی و سهمی های زیادی ساختیم. به طور کلی، نوشتن هر تابع به صورت $y=f(x)$ راحت است. این یک معادله با دو متغیر است - برای هر مقدار x ما y را دریافت می کنیم. پس از انجام برخی عملیات مفروض f، مجموعه تمام x های ممکن را به مجموعه y نگاشت می کنیم. تقریباً هر عملیات ریاضی را می توانیم به صورت تابع f بنویسیم.

معمولاً هنگام ترسیم توابع از جدولی استفاده می کنیم که در آن مقادیر x و y را ثبت می کنیم. به عنوان مثال، برای تابع $y=5x^2$ استفاده از جدول زیر راحت است: نقاط به دست آمده را در سیستم مختصات دکارتی علامت گذاری کنید و آنها را با دقت با یک منحنی صاف به هم وصل کنید. عملکرد ما محدود نیست. فقط با این نقاط می‌توانیم مطلقاً هر مقدار x را از دامنه تعریف شده جایگزین کنیم، یعنی آن x را که عبارت برای آنها معنی دارد.

در یکی از درس های قبل، عملیات جدیدی برای استخراج جذر را یاد گرفتیم. این سوال مطرح می شود: آیا می توانیم با استفاده از این عملیات، تابعی را تعریف کنیم و نمودار آن را بسازیم؟ بیایید از شکل کلی تابع $y=f(x)$ استفاده کنیم. y و x را به جای خود رها می کنیم و به جای f عمل جذر را معرفی می کنیم: $y=\sqrt(x)$.
با دانستن عملیات ریاضی، توانستیم تابع را تعریف کنیم.

نمودار تابع ریشه مربع

بیایید این تابع را نمودار کنیم. بر اساس تعریف جذر، می‌توانیم آن را فقط از روی اعداد غیر منفی، یعنی $x≥0$ محاسبه کنیم.
بیایید یک جدول درست کنیم:
بیایید نقاط خود را در صفحه مختصات علامت گذاری کنیم.

تنها کاری که باید انجام دهیم این است که نقاط به دست آمده را با دقت به هم وصل کنیم.

بچه ها توجه کنید: اگر نمودار تابع ما در سمت خود چرخانده شود، شاخه سمت چپ سهمی را می گیریم. در واقع، اگر خطوط جدول مقادیر مبادله شوند (خط بالایی با پایین)، آنگاه مقادیری را فقط برای سهمی بدست می آوریم.

دامنه تابع $y=\sqrt(x)$

با استفاده از نمودار یک تابع، توصیف خواص بسیار آسان است.
1. محدوده تعریف: $$.
ب) $$.

راه حل.
ما می توانیم مثال خود را به دو صورت حل کنیم. در هر نامه روش های مختلفی را شرح خواهیم داد.

الف) به نمودار تابع ساخته شده در بالا برگردیم و نقاط مورد نیاز قطعه را علامت گذاری کنیم. به وضوح مشاهده می شود که برای $x=9$ این تابع از همه مقادیر دیگر بزرگتر است. این بدان معنی است که در این نقطه به بیشترین ارزش خود می رسد. وقتی $ x = 4 $ مقدار عملکرد پایین تر از سایر نقاط باشد ، به این معنی که این کوچکترین مقدار است.

$y_(most)=\sqrt(9)=3$، $y_(بیشترین)=\sqrt(4)=2$.

ب) می دانیم که عملکرد ما در حال افزایش است. این بدان معنی است که هر مقدار آرگومان بزرگتر با یک مقدار عملکرد بزرگتر مطابقت دارد. بالاترین و کمترین مقادیر در انتهای بخش حاصل می شود:

$y_(بیشترین)=\sqrt(11)$، $y_(بیشترین)=\sqrt(2)$.

مثال 2.
معادله را حل کنید:

$\sqrt(x)=12-x$.

راه حل.
ساده ترین راه ساخت دو نمودار از یک عملکرد و یافتن نقطه تقاطع آنها است.
نقطه تقاطع با مختصات $ (9 ؛ 3) $ به وضوح در نمودار قابل مشاهده است. این بدان معنی است که $ x = 9 $ راه حل معادله ما است.
پاسخ: $x=9$.

بچه ها ، آیا می توانیم مطمئن باشیم که این مثال راه حل دیگری ندارد؟ یکی از توابع افزایش می یابد ، دیگری کاهش می یابد. به طور کلی ، آنها یا نقاط مشترک ندارند یا فقط در یک تقاطع می کنند.

مثال 3.

نمودار تابع را بسازید و بخوانید:

$\begin (موارد) -x، x 9. \end (موارد)$

ما باید سه نمودار جزئی از عملکرد را بسازیم که هر کدام در فاصله زمانی خود هستند.

بیایید ویژگی های تابع خود را شرح دهیم:
1. دامنه تعریف: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ برای $x=0$ و $x=12$; $у>0$ برای $хϵ(-∞;12)$; $ y 3. عملکرد در فواصل $ (-∞ ؛ 0) U (9 ؛+∞) $ کاهش می یابد. تابع در بازه $(0;9)$ در حال افزایش است.
4. تابع در کل دامنه تعریف پیوسته است.
5. هیچ مقدار حداکثر یا حداقل وجود ندارد.
6. محدوده مقادیر: $(-∞;+∞)$.

مشکلاتی که باید به طور مستقل حل شوند

1. بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع جذر را در قسمت پیدا کنید:
الف) $$؛
ب) $$.
2. معادله را حل کنید: $\sqrt(x)=30-x$.
3. نمودار تابع را بسازید و بخوانید: $\begin (موارد) 2-x, x 4. \end (موارد)$
4. نمودار تابع را بسازید و بخوانید: $y=\sqrt(-x)$.

ریشه مربع به عنوان یک تابع ابتدایی.

ریشه دومیک تابع ابتدایی و یک مورد خاص از یک تابع توان برای . جذر حسابی برابر است و در صفر درست استمراری است اما قابل تمایز نیست.

به عنوان یک تابع، یک ریشه متغیر مختلط یک تابع دو مقدار است که برگ های آن در صفر همگرا می شوند.

نمودار تابع جذر.

1. پر کردن جدول داده ها:

ایکس
در

2. نقاطی را که دریافت کردیم در صفحه مختصات رسم می کنیم.

3. این نقاط را به هم متصل کنید و نموداری از تابع جذر بگیرید:

تبدیل نمودار تابع جذر.

بگذارید تعیین کنیم که برای ساختن نمودارهای عملکرد ، چه تحولات عملکردی باید انجام شود. بیایید انواع تبدیل ها را تعریف کنیم.

	نوع تبدیل	تبدیل
		انتقال تابع در امتداد یک محور OYبرای 4 واحد بالا
	درونی؛ داخلی	انتقال تابع در امتداد یک محور گاو نربرای 1 واحد به سمت راست.
	درونی؛ داخلی	نمودار به محور نزدیک می شود OY 3 بار و در امتداد محور فشرده می شود اوه.
		نمودار از محور دور می شود گاو نر OY.
	درونی؛ داخلی	نمودار از محور دور می شود OY 2 بار و در امتداد محور کشیده شده است اوه.

اغلب، تبدیل های تابع ترکیب می شوند.

مثلا، باید تابع را رسم کنید . این یک نمودار ریشه مربع است که باید یک واحد را به پایین محور منتقل کند OYو یک واحد به سمت راست در امتداد محور اوهو در عین حال 3 بار در امتداد محور کشیده شده است OY.

این اتفاق می افتد که بلافاصله قبل از ساخت نمودار یک تابع، تبدیل هویت اولیه یا ساده سازی توابع مورد نیاز است.