متغیر تصادفی با ردیف زیر توزیع داده می شود. قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته

قانون توزیع و خصوصیات

متغیرهای تصادفی

متغیرهای تصادفی، طبقه بندی آنها و روش های توصیف.

کمیت تصادفی کمیتی است که در نتیجه آزمایش می‌تواند یک یا مقدار دیگری به خود بگیرد، اما کدام یک از قبل مشخص نیست. بنابراین، برای یک متغیر تصادفی، فقط می‌توانید مقادیری را مشخص کنید که قطعاً در نتیجه آزمایش یکی از آنها را خواهد گرفت. در ادامه این مقادیر را مقادیر احتمالی متغیر تصادفی می نامیم. از آنجایی که یک متغیر تصادفی به طور کمی نتیجه تصادفی یک آزمایش را مشخص می کند، می توان آن را به عنوان یک مشخصه کمی یک رویداد تصادفی در نظر گرفت.

متغیرهای تصادفی معمولاً با حروف بزرگ الفبای لاتین مانند X..Y..Z و مقادیر احتمالی آنها با حروف کوچک مربوطه نشان داده می شوند.

سه نوع متغیر تصادفی وجود دارد:

گسسته؛ مداوم؛ مختلط.

گسستهیک متغیر تصادفی است که تعداد مقادیر ممکن آن مجموعه ای قابل شمارش را تشکیل می دهد. به نوبه خود، مجموعه ای که عناصر آن قابل شماره گذاری باشد، قابل شمارش نامیده می شود. کلمه "گسسته" از کلمه لاتین discretus به معنای "ناپیوسته، متشکل از بخش های جداگانه" گرفته شده است.

مثال 1. یک متغیر تصادفی گسسته تعداد قطعات معیوب X در یک دسته از n محصول است. در واقع، مقادیر ممکن این متغیر تصادفی یک سری اعداد صحیح از 0 تا n است.

مثال 2. یک متغیر تصادفی گسسته تعداد شلیک های قبل از اولین ضربه به هدف است. در اینجا، مانند مثال 1، مقادیر ممکن را می توان شماره گذاری کرد، اگرچه در حالت محدود، مقدار ممکن یک عدد بی نهایت بزرگ است.

مداومیک متغیر تصادفی است که مقادیر ممکن آن به طور مداوم یک بازه مشخص از محور عددی را پر می کند که گاهی اوقات فاصله وجود این متغیر تصادفی نامیده می شود. بنابراین، در هر بازه محدود وجود، تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی پیوسته بی نهایت زیاد است.

مثال 3. یک متغیر تصادفی پیوسته، مصرف برق ماهانه یک شرکت است.

مثال 4. یک متغیر تصادفی پیوسته خطا در اندازه گیری ارتفاع با استفاده از ارتفاع سنج است. از اصل عملکرد ارتفاع سنج معلوم شود که خطا در محدوده 0 تا 2 متر است بنابراین فاصله وجود این متغیر تصادفی فاصله بین 0 تا 2 متر است.

قانون توزیع متغیرهای تصادفی

یک متغیر تصادفی در صورتی کاملاً مشخص در نظر گرفته می شود که مقادیر ممکن آن در محور عددی نشان داده شود و قانون توزیع ایجاد شود.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی رابطه ای است که بین مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات مربوطه ارتباط برقرار می کند.

به یک متغیر تصادفی گفته می شود که بر اساس یک قانون معین توزیع می شود یا تابع یک قانون توزیع معین است. تعدادی از احتمالات، تابع توزیع، چگالی احتمال و تابع مشخصه به عنوان قوانین توزیع استفاده می شود.

قانون توزیع یک توصیف احتمالی کامل از یک متغیر تصادفی را ارائه می دهد. طبق قانون توزیع، می توان قبل از آزمایش قضاوت کرد که کدام مقادیر ممکن از یک متغیر تصادفی بیشتر و کدام کمتر ظاهر می شود.

برای یک متغیر تصادفی گسسته، قانون توزیع را می توان به صورت جدول، تحلیلی (به صورت فرمول) و گرافیکی مشخص کرد.

ساده ترین شکل تعیین قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته یک جدول (ماتریس) است که تمام مقادیر ممکن متغیر تصادفی و احتمالات مربوط به آنها را به ترتیب صعودی فهرست می کند.

به چنین جدولی سری توزیع یک متغیر تصادفی گسسته می گویند. 1

رویدادهای X 1، X 2،...، X n، شامل این واقعیت است که در نتیجه آزمایش، متغیر تصادفی X به ترتیب مقادیر x 1، x 2، ... x n را می گیرد. متناقض و تنها موارد ممکن (از آنجایی که جدول تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی را فهرست می کند)، به عنوان مثال. یک گروه کامل تشکیل دهید بنابراین، مجموع احتمالات آنها برابر با 1 است. بنابراین، برای هر متغیر تصادفی گسسته

(این واحد به نوعی بین مقادیر متغیر تصادفی توزیع می شود، از این رو اصطلاح "توزیع" نامیده می شود).

اگر مقادیر متغیر تصادفی در امتداد محور abscissa رسم شوند و احتمالات مربوطه آنها در امتداد محور ordinate رسم شود، سری توزیع را می توان به صورت گرافیکی به تصویر کشید. اتصال نقاط به دست آمده یک خط شکسته به نام چندضلعی یا چندضلعی توزیع احتمال را تشکیل می دهد (شکل 1).

مثالقرعه کشی شامل: یک ماشین به ارزش 5000 دکه می باشد. واحد، 4 تلویزیون به قیمت 250 den. واحد 5 دستگاه فیلمبرداری به ارزش 200 د. واحدها در مجموع 1000 بلیط به مدت 7 روز فروخته می شود. واحدها یک قانون توزیع برای برنده های خالص دریافت شده توسط یک شرکت کننده در قرعه کشی که یک بلیط خریداری کرده است، تهیه کنید.

راه حل. مقادیر احتمالی متغیر تصادفی X - برنده خالص هر بلیط - برابر است با 0-7 = -7 پول. واحدها (اگر بلیط برنده نشد)، 200-7 = 193، 250-7 = 243، 5000-7 = 4993 den. واحدها (اگر بلیت به ترتیب برنده یک VCR، تلویزیون یا ماشین باشد). با توجه به اینکه از 1000 بلیط تعداد غیر برنده ها 990 و برنده های مشخص شده به ترتیب 5، 4 و 1 می باشد و با استفاده از تعریف کلاسیک احتمال به دست می آوریم.

تصادفی گسستهمتغیرها متغیرهای تصادفی هستند که فقط مقادیری را می گیرند که از یکدیگر دور هستند و می توانند از قبل فهرست شوند.
قانون توزیع
قانون توزیع یک متغیر تصادفی رابطه ای است که بین مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات مربوط به آنها ارتباط برقرار می کند.
سری توزیع یک متغیر تصادفی گسسته فهرستی از مقادیر ممکن و احتمالات مربوطه است.
تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسسته تابع:
,
تعیین برای هر مقدار آرگومان x احتمال اینکه متغیر تصادفی X مقداری کمتر از این x بگیرد.

انتظار یک متغیر تصادفی گسسته
,
مقدار یک متغیر تصادفی گسسته کجاست. - احتمال اینکه یک متغیر تصادفی مقادیر X را بپذیرد.
اگر یک متغیر تصادفی مجموعه ای قابل شمارش از مقادیر ممکن را بگیرد، آنگاه:
.
انتظارات ریاضی تعداد وقوع یک رویداد در n آزمایش مستقل:
,

پراکندگی و انحراف معیار یک متغیر تصادفی گسسته
پراکندگی یک متغیر تصادفی گسسته:
یا .
واریانس تعداد وقوع یک رویداد در n کارآزمایی مستقل
,
که در آن p احتمال وقوع رویداد است.
انحراف استاندارد یک متغیر تصادفی گسسته:
.

مثال 1
یک قانون توزیع احتمال برای یک متغیر تصادفی گسسته (DRV) X ترسیم کنید - تعداد k وقوع حداقل یک "شش" در n = 8 پرتاب یک جفت تاس. یک چند ضلعی توزیع بسازید. مشخصه های عددی توزیع (حالت توزیع، انتظار ریاضی M(X)، پراکندگی D(X)، انحراف معیار s(X)) را بیابید. راه حل:اجازه دهید نماد را معرفی کنیم: رویداد A - "هنگام پرتاب یک جفت تاس، حداقل یک بار شش ظاهر می شود." برای یافتن احتمال P(A) = p رویداد A، راحت‌تر است ابتدا احتمال P(Ā) = q رویداد مقابل Ā را پیدا کنید - "هنگام پرتاب یک جفت تاس، یک شش هرگز ظاهر نشد."
از آنجایی که احتمال ظاهر نشدن "شش" هنگام پرتاب یک قالب 5/6 است، پس با توجه به قضیه ضرب احتمال
P(Ā) = q = = .
به ترتیب،
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
تست های موجود در مسئله از طرح برنولی پیروی می کنند، بنابراین d.s.v. اندازه ایکس- عدد کوقوع حداقل یک شش در هنگام پرتاب دو تاس از قانون دوجمله ای توزیع احتمال تبعیت می کند:

جایی که = تعداد ترکیبات است nتوسط ک.

محاسبات انجام شده برای این مشکل را می توان به راحتی در قالب یک جدول ارائه کرد:
توزیع احتمال d.s.v. ایکس º ک (n = 8; پ = ; q = )

ک

Pn(ک)

چند ضلعی (چند ضلعی) توزیع احتمال یک متغیر تصادفی گسسته ایکسدر شکل نشان داده شده است:

برنج. چند ضلعی توزیع احتمال d.s.v. ایکس=ک.
خط عمودی انتظارات ریاضی توزیع را نشان می دهد م(ایکس).

اجازه دهید ویژگی های عددی توزیع احتمال d.s.v را پیدا کنیم. ایکس. حالت توزیع 2 است (اینجا پ 8 (2) = 0.2932 حداکثر). انتظارات ریاضی طبق تعریف برابر است با:
م(ایکس) = = 2,4444,
جایی که xk = ک- ارزش گرفته شده توسط d.s.v. ایکس. واریانس D(ایکس) توزیع را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم:
D(ایکس) = = 4,8097.
انحراف استاندارد (RMS):
s( ایکس) = = 2,1931.

مثال 2
متغیر تصادفی گسسته ایکستوسط قانون توزیع ارائه شده است

تابع توزیع F(x) را پیدا کنید و آن را رسم کنید.

راه حل.اگر، پس (مشخصیت سوم).
اگر پس از آن. واقعا، ایکسمی تواند مقدار 1 را با احتمال 0.3 بگیرد.
اگر پس از آن. در واقع، اگر نابرابری را ارضا کند
، سپس برابر است با احتمال یک رویداد که می تواند رخ دهد زمانی که ایکسمقدار 1 (احتمال این رویداد 0.3 است) یا مقدار 4 (احتمال این رویداد 0.1 است) را می گیرد. از آنجایی که این دو رویداد ناسازگار هستند، پس طبق قضیه جمع، احتمال یک رویداد برابر است با مجموع احتمالات 0.3 + 0.1 = 0.4. اگر پس از آن. در واقع، واقعه مسلم است، بنابراین احتمال آن برابر با یک است. بنابراین، تابع توزیع را می توان به صورت تحلیلی به صورت زیر نوشت:

نمودار این تابع:
اجازه دهید احتمالات مربوط به این مقادیر را پیدا کنیم. طبق شرط، احتمال خرابی دستگاه ها برابر است: پس احتمال کارکرد دستگاه ها در طول دوره گارانتی برابر است:

قانون توزیع به شکل زیر است:

در کاربردهای نظریه احتمال، ویژگی های کمی آزمایش از اهمیت اولیه برخوردار است. کمیتی که بتوان آن را به صورت کمی تعیین کرد و در نتیجه آزمایش، بسته به مورد می تواند مقادیر متفاوتی به خود بگیرد، نامیده می شود. متغیر تصادفی

نمونه هایی از متغیرهای تصادفی:

1. تعداد دفعاتی که یک عدد زوج در ده پرتاب یک قالب ظاهر می شود.

2. تعداد ضربه های تیراندازی که یک سری شلیک می کند به هدف.

3. تعداد قطعات یک گلوله در حال انفجار.

در هر یک از مثال‌های ارائه شده، متغیر تصادفی فقط می‌تواند مقادیر جدا شده را بگیرد، یعنی مقادیری را که می‌توان با استفاده از یک سری طبیعی از اعداد شماره‌گذاری کرد.

به چنین متغیر تصادفی که مقادیر ممکن آن اعداد جدا شده منفرد است که این متغیر با احتمالات معینی می گیرد، نامیده می شود. گسسته.

تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی گسسته می تواند متناهی یا بی نهایت (قابل شمارش) باشد.

قانون توزیعیک متغیر تصادفی گسسته فهرستی از مقادیر ممکن و احتمالات مربوط به آن است. قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته را می توان به صورت جدول (سری توزیع احتمال)، تحلیلی و گرافیکی (چند ضلعی توزیع احتمال) مشخص کرد.

هنگام انجام یک آزمایش، ارزیابی مقدار مورد مطالعه "به طور متوسط" ضروری است. نقش میانگین مقدار یک متغیر تصادفی توسط یک مشخصه عددی به نام ایفا می شود انتظارات ریاضی،که با فرمول مشخص می شود

جایی که ایکس 1 ، ایکس 2 ,.. , ایکس n- مقادیر متغیر تصادفی ایکس، آ پ 1 ,پ 2 , ... , پ n- احتمالات این مقادیر (توجه داشته باشید که پ 1 + پ 2 +…+ پ n = 1).

مثال. تیراندازی به سمت هدف انجام می شود (شکل 11).

ضربه در I سه امتیاز می دهد، در II - دو امتیاز، در III - یک امتیاز. تعداد امتیازهای کسب شده در یک شوت توسط یک تیرانداز دارای قانون توزیع شکل است

برای مقایسه مهارت تیراندازان کافی است میانگین امتیازات کسب شده را با هم مقایسه کنید. انتظارات ریاضی م(ایکس) و م(Y):

م(ایکس) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

م(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

تیرانداز دوم به طور متوسط تعداد کمی بیشتر امتیاز می دهد، یعنی. در صورت شلیک مکرر نتایج بهتری خواهد داشت.

بیایید به ویژگی های انتظار ریاضی توجه کنیم:

1. انتظار ریاضی از یک مقدار ثابت برابر است با خود ثابت:

م(سی) = سی.

2. انتظار ریاضی از مجموع متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع انتظارات ریاضی عبارت‌ها:

M =(ایکس 1 + ایکس 2 +…+ ایکس n)= م(ایکس 1)+ م(ایکس 2)+…+ م(ایکس n).

3-انتظار ریاضی حاصل ضرب متغیرهای تصادفی مستقل متقابل با حاصلضرب انتظارات ریاضی عوامل برابر است.

م(ایکس 1 ایکس 2 … ایکس n) = م(ایکس 1)م(ایکس 2)… م(ایکس n).

4. نفی ریاضی توزیع دوجمله ای برابر است با حاصل ضرب تعداد آزمایش ها و احتمال وقوع یک رویداد در یک آزمایش (وظیفه 4.6).

م(ایکس) = pr.

برای ارزیابی اینکه چگونه یک متغیر تصادفی «به طور متوسط» از انتظارات ریاضی خود انحراف می‌یابد، یعنی. به منظور مشخص کردن گسترش مقادیر یک متغیر تصادفی در نظریه احتمال، از مفهوم پراکندگی استفاده می شود.

واریانسمتغیر تصادفی ایکسانتظار ریاضی انحراف مجذور نامیده می شود:

D(ایکس) = م[(ایکس - م(ایکس)) 2 ].

پراکندگی یک مشخصه عددی پراکندگی یک متغیر تصادفی است. از تعریف مشخص می شود که هرچه پراکندگی یک متغیر تصادفی کوچکتر باشد، مقادیر احتمالی آن در اطراف انتظارات ریاضی نزدیکتر است، یعنی مقادیر متغیر تصادفی با انتظارات ریاضی آن بهتر مشخص می شود. .

از تعریف به دست می آید که واریانس را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد

محاسبه واریانس با استفاده از فرمول دیگری راحت است:

D(ایکس) = م(ایکس 2) - (م(ایکس)) 2 .

پراکندگی دارای خواص زیر است:

1. واریانس ثابت صفر است:

D(سی) = 0.

2. ضریب ثابت را می توان با مربع کردن آن از علامت پراکندگی خارج کرد:

D(CX) = سی 2 D(ایکس).

3. واریانس مجموع متغیرهای تصادفی مستقل برابر است با مجموع واریانس عبارت‌ها:

D(ایکس 1 + ایکس 2 + ایکس 3 +…+ ایکس n)= D(ایکس 1)+ D(ایکس 2)+…+ D(ایکس n)

4. واریانس توزیع دوجمله ای برابر است با حاصل ضرب تعداد آزمایش و احتمال وقوع و عدم وقوع یک رویداد در یک آزمایش:

D(ایکس) = npq.

در نظریه احتمال، اغلب از یک مشخصه عددی برابر با جذر واریانس یک متغیر تصادفی استفاده می شود. این مشخصه عددی انحراف مربع میانگین نامیده می شود و با نماد نشان داده می شود

اندازه تقریبی انحراف یک متغیر تصادفی از مقدار متوسط آن را مشخص می کند و ابعادی مشابه با متغیر تصادفی دارد.

4.1. تیرانداز سه تیر به سمت هدف شلیک می کند. احتمال اصابت به هدف با هر شلیک 0.3 است.

یک سری توزیع برای تعداد بازدید بسازید.

راه حل. تعداد بازدیدها یک متغیر تصادفی گسسته است ایکس. هر مقدار ایکس n متغیر تصادفی ایکسبا احتمال خاصی مطابقت دارد پ n .

قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته در این مورد می تواند مشخص شود نزدیک توزیع.

در این مشکل ایکسمقادیر 0، 1، 2، 3 را می گیرد. طبق فرمول برنولی

بیایید احتمالات مقادیر ممکن متغیر تصادفی را پیدا کنیم:

آر 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

آر 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

آر 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

آر 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

با مرتب کردن مقادیر متغیر تصادفی ایکسبه ترتیب افزایش، سری توزیع را بدست می آوریم:

ایکس n

توجه داشته باشید که مقدار

به معنای احتمال اینکه متغیر تصادفی است ایکسحداقل یک مقدار از بین مقادیر ممکن خواهد گرفت، بنابراین این رویداد قابل اعتماد است

4.2 چهار توپ با اعداد از 1 تا 4 در ظرف وجود دارد. دو توپ خارج می شود. مقدار تصادفی ایکس- مجموع اعداد توپ یک سری توزیع از یک متغیر تصادفی بسازید ایکس.

راه حل.مقادیر متغیر تصادفی ایکس 3، 4، 5، 6، 7 هستند. بیایید احتمالات مربوطه را پیدا کنیم. مقدار متغیر تصادفی 3 ایکسدر تنها حالتی که یکی از توپ های انتخاب شده دارای عدد 1 و دیگری 2 باشد می توان پذیرفت.

با استفاده از فرمول احتمال کلاسیک به دست می آوریم

به همین ترتیب،

آر(ایکس= 4) =آر(ایکس= 6) =آر(ایکس= 7) = 1/6.

مجموع 5 می تواند در دو حالت ظاهر شود: 1 + 4 و 2 + 3، بنابراین

ایکسدارای فرم:

تابع توزیع را پیدا کنید اف(ایکس) متغیر تصادفی ایکسو آن را ترسیم کنید. محاسبه کنید برای ایکسانتظارات و واریانس ریاضی آن

راه حل. قانون توزیع یک متغیر تصادفی را می توان با تابع توزیع مشخص کرد

اف(ایکس) = پ(ایکس ایکس).

تابع توزیع اف(ایکس) یک تابع غیر نزولی و پیوسته چپ است که در کل خط اعداد تعریف شده است

اف (- )= 0,اف (+ )= 1.

برای یک متغیر تصادفی گسسته، این تابع با فرمول بیان می شود

بنابراین در این مورد

نمودار تابع توزیع اف(ایکس) یک خط پلکانی است (شکل 12)

	اف(ایکس)

ارزش مورد انتظارم(ایکس) میانگین حسابی وزنی مقادیر است ایکس 1 ، ایکس 2 ،……ایکس nمتغیر تصادفی ایکسبا ترازو ρ 1, ρ 2, …… , ρ n و مقدار میانگین متغیر تصادفی نامیده می شود ایکس. طبق فرمول

م(ایکس)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n

م(ایکس) = 3·0.14+5·0.2+7·0.49+11·0.17 = 6.72.

پراکندگیدرجه پراکندگی مقادیر یک متغیر تصادفی را از مقدار متوسط آن مشخص می کند و نشان می دهد D(ایکس):

D(ایکس)= م[(HM(ایکس)) 2 ]= م(ایکس 2) –[م(ایکس)] 2 .

برای یک متغیر تصادفی گسسته، واریانس شکل دارد

یا با استفاده از فرمول قابل محاسبه است

با جایگزینی داده های عددی مسئله به فرمول، دریافت می کنیم:

م(ایکس 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(ایکس) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. دو تاس همزمان دو بار ریخته می شود. قانون دوجمله ای توزیع یک متغیر تصادفی گسسته را بنویسید ایکس- تعداد تکرار تعداد کل امتیازات زوج روی دو تاس.

راه حل. اجازه دهید یک رویداد تصادفی را معرفی کنیم

آ= (دو تاس با یک پرتاب مجموعاً تعداد امتیازات زوج را به همراه داشت).

با استفاده از تعریف کلاسیک احتمال می یابیم

آر(آ)= ,

جایی که n - تعداد نتایج احتمالی آزمون طبق قانون پیدا می شود

ضرب:

n = 6∙6 =36,

متر - تعداد افراد طرفدار این رویداد آنتایج - برابر

متر= 3∙6=18.

بنابراین، احتمال موفقیت در یک آزمایش است

ρ = پ(آ)= 1/2.

مشکل با استفاده از طرح آزمون برنولی حل شده است. یک چالش در اینجا این است که یک بار دو تاس بیندازید. تعداد این آزمایشات n = 2. متغیر تصادفی ایکسمقادیر 0، 1، 2 را با احتمالات می گیرد

آر 2 (0) =,آر 2 (1) =∙,آر 2 (2) =

توزیع دو جمله ای مورد نیاز یک متغیر تصادفی ایکسرا می توان به عنوان یک سری توزیع نشان داد:

ایکس n
ρ n

4.5 . در یک دسته از شش قسمت، چهار قسمت استاندارد وجود دارد. سه قسمت به صورت تصادفی انتخاب شدند. یک توزیع احتمال از یک متغیر تصادفی گسسته بسازید ایکس- تعداد قطعات استاندارد در بین موارد انتخاب شده و انتظارات ریاضی آن را پیدا می کند.

راه حل.مقادیر متغیر تصادفی ایکساعداد 0،1،2،3 هستند. واضح است که آر(ایکس=0)=0، زیرا تنها دو بخش غیر استاندارد وجود دارد.

آر(ایکس=1) =
=1/5,

آر(X= 2) =
= 3/5,

آر(ایکس=3) =
= 1/5.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی ایکسبیایید آن را در قالب یک سری توزیع ارائه کنیم:

ایکس n
ρ n

ارزش مورد انتظار

م(ایکس)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . ثابت کنید که انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی گسسته است ایکس- تعداد وقوع رویداد آ V nآزمایشات مستقلی که در هر یک از آنها احتمال وقوع یک رویداد برابر است ρ - برابر حاصلضرب تعداد آزمایش‌ها با احتمال وقوع یک رویداد در یک آزمایش، یعنی ثابت کنیم که انتظار ریاضی از توزیع دوجمله‌ای

م(ایکس) =n . ρ ,

و پراکندگی

D(ایکس) =n.p. .

راه حل.مقدار تصادفی ایکسمی تواند مقادیر 0، 1، 2 ... را بگیرد، n. احتمال آر(ایکس= k) با استفاده از فرمول برنولی پیدا می شود:

آر(ایکس=k)= آر n(ک) = ρ به (1-ρ ) n-به

سری توزیع یک متغیر تصادفی ایکسدارای فرم:

ایکس n
ρ n	q n	ρq n- 1	ρq n- 2		ρ n

جایی که q= 1- ρ .

برای انتظارات ریاضی این عبارت را داریم:

م(ایکس)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

در مورد یک تست، یعنی با n= 1 برای متغیر تصادفی ایکس 1 - تعداد وقوع رویداد آ- سری توزیع به شکل زیر است:

ایکس n
ρ n

م(ایکس 1)= 0∙q + 1 ∙ پ = پ

D(ایکس 1) = پ – پ 2 = پ(1- پ) = pq.

اگر ایکس k - تعداد وقوع رویداد آپس در کدام آزمون آر(ایکس به)= ρ و

X=X 1 +X 2 +….+X n .

از اینجا می گیریم

م(ایکس)= م(ایکس 1 )+M(ایکس 2)+ … +M(ایکس n)= nρ,

D(ایکس)=D(ایکس 1)+دی(ایکس 2)+ ... +دی(ایکس n)=npq.

4.7. بخش کنترل کیفیت محصولات را از نظر استاندارد بودن بررسی می کند. احتمال استاندارد بودن محصول 0.9 است. هر بسته شامل 5 محصول است. انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی گسسته را پیدا کنید ایکس- تعداد دسته هایی که هر کدام شامل 4 محصول استاندارد می شود - در صورتی که 50 دسته مورد بازرسی قرار گیرند.

راه حل. احتمال وجود 4 محصول استاندارد در هر دسته به طور تصادفی ثابت است. بیایید آن را با علامت گذاری کنیم ρ .سپس انتظار ریاضی از متغیر تصادفی ایکسبرابر است م(ایکس)= 50∙ρ.

بیایید احتمال را پیدا کنیم ρ طبق فرمول برنولی:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

م(ایکس)= 50∙0,32=16.

4.8 . سه تاس انداخته می شود. انتظار ریاضی از مجموع امتیازهای کاهش یافته را پیدا کنید.

راه حل.می توانید توزیع یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس- مجموع امتیازهای کاهش یافته و سپس انتظار ریاضی آن. با این حال، این مسیر بیش از حد دست و پا گیر است. استفاده از تکنیک دیگری که یک متغیر تصادفی را نشان می دهد آسان تر است ایکس، که انتظارات ریاضی آن نیاز به محاسبه دارد، به صورت مجموع چند متغیر تصادفی ساده تر که محاسبه انتظارات ریاضی آن آسان تر است. اگر متغیر تصادفی ایکس منتعداد نقاطی است که روی آن قرار داده شده است من– استخوان های ام ( من= 1، 2، 3)، سپس مجموع امتیازات ایکسدر فرم بیان خواهد شد

X = X 1 + X 2 + X 3 .

برای محاسبه انتظارات ریاضی متغیر تصادفی اصلی، تنها چیزی که باقی می‌ماند استفاده از ویژگی انتظار ریاضی است.

م(ایکس 1 + X 2 + X 3 )= م(ایکس 1 )+ م(ایکس 2)+ م(ایکس 3 ).

بدیهی است که

آر(ایکس من = ک)= 1/6، به= 1, 2, 3, 4, 5, 6, من= 1, 2, 3.

بنابراین، انتظار ریاضی از متغیر تصادفی ایکس منبه نظر می رسد

م(ایکس من) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

م(ایکس) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. انتظارات ریاضی تعداد دستگاه هایی که در طول آزمایش شکست خورده اند را تعیین کنید اگر:

الف) احتمال خرابی برای همه دستگاه ها یکسان است آر، و تعداد دستگاه های مورد آزمایش برابر است با n;

ب) احتمال شکست برای من – دستگاه برابر است با پ من , من= 1, 2, … , n.

راه حل.اجازه دهید متغیر تصادفی ایکستعداد دستگاه های شکست خورده است

X = X 1 + X 2 +… + X n ,

ایکس من =

واضح است که

آر(ایکس من = 1)= آر من , آر(ایکس من = 0)= 1– آر من ,i= 1, 2, … ,n

م(ایکس من)= 1∙آر من + 0∙(1-ر من)= پ من ,

م(ایکس)= م(ایکس 1)+M(ایکس 2)+… +M(ایکس n)= پ 1 +ص 2 + … + پ n .

در مورد "الف" احتمال خرابی دستگاه یکسان است، یعنی

آر من =ص,i= 1, 2, … ,n.

م(ایکس)= n.p..

اگر متوجه شویم که متغیر تصادفی است، این پاسخ می تواند بلافاصله به دست آید ایکسدارای توزیع دو جمله ای با پارامترهای ( n, پ).

4.10. دو تاس به طور همزمان دو بار پرتاب می شود. قانون دوجمله ای توزیع یک متغیر تصادفی گسسته را بنویسید ایکس -تعداد پرتاب های زوج تعداد نقاط روی دو تاس.

راه حل. اجازه دهید

آ=(قرار دادن عدد زوج در اولین قالب)،

B =(پرتاب کردن یک عدد زوج روی تاس دوم).

بدست آوردن یک عدد زوج روی هر دو تاس در یک پرتاب با حاصل ضرب بیان می شود ABسپس

آر (AB) = آر(آ)∙آر(که در) =
.

نتیجه پرتاب دوم دو تاس به تاس اول بستگی ندارد، بنابراین فرمول برنولی زمانی اعمال می شود که

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

مقدار تصادفی ایکسمی تواند مقادیر 0، 1، 2 را بگیرد , احتمال آن را می توان با استفاده از فرمول برنولی پیدا کرد:

آر(X= 0)= پ 2 (0) = q 2 = 9/16,

آر(X= 1)= پ 2 (1)= سی ,آر∙q = 6/16,

آر(X= 2)= پ 2 (2)= سی , آر 2 = 1/16.

سری توزیع یک متغیر تصادفی ایکس:

4.11. این دستگاه شامل تعداد زیادی عنصر مستقل با کارکرد مستقل با همان احتمال بسیار کم خرابی هر عنصر در طول زمان است. تی. میانگین تعداد رد در طول زمان را بیابید تیعناصر، اگر احتمال اینکه حداقل یک عنصر در این مدت از کار بیفتد 0.98 باشد.

راه حل. تعداد افرادی که در طول زمان امتناع کردند تیعناصر - متغیر تصادفی ایکس، که طبق قانون پواسون توزیع می شود، از آنجایی که تعداد عناصر زیاد است، عناصر مستقل کار می کنند و احتمال خرابی هر عنصر کم است. میانگین تعداد وقوع یک رویداد در nتست ها برابر است

م(ایکس) = n.p..

از آنجایی که احتمال شکست وجود دارد بهعناصر از nبا فرمول بیان می شود

آر n (به)
,

کجا  = n.p.، پس احتمال اینکه هیچ عنصری در طول زمان خراب نشود تی می رسیم K = 0:

آر n (0)= e -  .

بنابراین احتمال وقوع عکس در زمان است تی حداقل یک عنصر از کار می افتد - برابر با 1 - ه -  . با توجه به شرایط مسئله، این احتمال 0.98 است. از معادله

1 - ه -  = 0,98,

ه -  = 1 – 0,98 = 0,02,

از اینجا  = -لوگاریتم 0,02  4.

بنابراین، در زمان تیعملکرد دستگاه، به طور متوسط 4 عنصر خراب می شود.

4.12 . تاس ها ریخته می شوند تا زمانی که یک "دو" ظاهر شود. میانگین تعداد پرتاب ها را بیابید.

راه حل. بیایید یک متغیر تصادفی معرفی کنیم ایکس- تعداد آزمایشاتی که باید انجام شود تا زمانی که رویداد مورد علاقه ما رخ دهد. احتمال اینکه ایکس= 1 برابر است با احتمال اینکه در طول یک پرتاب تاس یک "دو" ظاهر شود، یعنی.

آر(X= 1) = 1/6.

رویداد ایکس= 2 به این معنی است که در تست اول "دو" بالا نیامد، اما در تست دوم آمد. احتمال وقوع ایکس= 2 با قانون ضرب احتمالات رویدادهای مستقل پیدا می شود:

آر(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

به همین ترتیب،

آر(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, آر(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

و غیره. ما یک سری توزیع احتمال به دست می آوریم:


					(5/6) به ∙1/6

میانگین تعداد پرتاب ها (آزمایش) انتظار ریاضی است

م(ایکس) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + به (5/6) به -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + به (5/6) به -1 + …)

بیایید مجموع سریال را پیدا کنیم:

بهg به -1 = (g به) g 
.

از این رو،

م(ایکس) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

بنابراین، شما باید به طور متوسط 6 تاس پرتاب کنید تا زمانی که "دو" ظاهر شود.

4.13. آزمایش‌های مستقل با همان احتمال وقوع رویداد انجام می‌شوند آدر هر آزمون احتمال وقوع یک رویداد را بیابید آ، اگر واریانس تعداد وقوع یک رویداد در سه آزمایش مستقل 0.63 باشد .

راه حل.تعداد وقوع یک رویداد در سه آزمایش یک متغیر تصادفی است ایکس، طبق قانون دوجمله ای توزیع می شود. واریانس تعداد وقوع یک رویداد در کارآزمایی‌های مستقل (با احتمال یکسان وقوع رویداد در هر آزمایش) برابر است با حاصل ضرب تعداد آزمایش‌ها توسط احتمال وقوع و عدم وقوع رویداد. (مسئله 4.6)

D(ایکس) = npq.

با شرط n = 3, D(ایکس) = 0.63، بنابراین شما می توانید آراز معادله پیدا کنید

0,63 = 3∙آر(1-ر),

که دو راه حل دارد آر 1 = 0.7 و آر 2 = 0,3.

یک سری توزیع از یک متغیر تصادفی گسسته داده شده است. احتمال گمشده را پیدا کنید و تابع توزیع را رسم کنید. انتظارات ریاضی و واریانس این کمیت را محاسبه کنید.

متغیر تصادفی X فقط چهار مقدار را می گیرد: -4، -3، 1 و 2. هر یک از این مقادیر را با احتمال خاصی می گیرد. از آنجایی که مجموع همه احتمالات باید برابر با 1 باشد، احتمال گمشده برابر است با:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

بیایید تابع توزیع متغیر تصادفی X را بسازیم. مشخص است که تابع توزیع، سپس:

از این رو،

بیایید تابع را رسم کنیم اف(ایکس) .

انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی گسسته برابر است با مجموع حاصل از مقدار متغیر تصادفی و احتمال مربوطه، یعنی.

ما واریانس یک متغیر تصادفی گسسته را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم:

کاربرد

عناصر ترکیبیات

اینجا: - فاکتوریل یک عدد

اقدامات مربوط به رویدادها

رویداد هر واقعیتی است که ممکن است در نتیجه یک تجربه اتفاق بیفتد یا نباشد.

ادغام رویدادها آو که در- این رخداد باکه از یک ظاهر یا رویداد تشکیل شده است آ، یا رویدادها که در، یا هر دو رویداد به طور همزمان.

تعیین:
;

عبور از رویدادها آو که در- این رخداد با، که از وقوع همزمان هر دو رویداد تشکیل شده است.

تعیین:
;

تعریف کلاسیک احتمال

احتمال وقوع آنسبت تعداد آزمایشات است
، برای وقوع یک رویداد مساعد است آ، به تعداد کل آزمایش ها
:

فرمول ضرب احتمال

احتمال وقوع
را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

- احتمال رخداد آ،

- احتمال رخداد که در،

- احتمال رخداد که درمشروط بر اینکه رویداد آقبلا اتفاق افتاده است.

اگر رویدادهای A و B مستقل باشند (وقوع یکی بر وقوع دیگری تأثیر نمی گذارد)، احتمال وقوع آن برابر است با:

فرمول اضافه کردن احتمالات

احتمال وقوع یک رویداد را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

احتمال وقوع آ،

احتمال وقوع که در،

- احتمال وقوع همزمان حوادث آو که در.

اگر رویدادهای A و B ناسازگار باشند (نمی‌توانند به طور همزمان رخ دهند)، احتمال وقوع آن برابر است با:

فرمول احتمال کل

اجازه دهید رویداد آمی تواند همزمان با یکی از رویدادها اتفاق بیفتد
,
, …,
- بیایید آنها را فرضیه بنامیم. همچنین شناختهشده است
- احتمال اجرا من-فرضیه و
- احتمال وقوع رویداد A در هنگام اجرا من-فرضیه سپس احتمال رویداد آرا می توان با فرمول پیدا کرد:

طرح برنولی

اجازه دهید n آزمون مستقل وجود داشته باشد. احتمال وقوع (موفقیت) یک رویداد آدر هر یک از آنها ثابت و مساوی است پ، احتمال شکست (یعنی رخ ندادن رویداد آ) q = 1 - پ. سپس احتمال وقوع کموفقیت در nتست ها را می توان با استفاده از فرمول برنولی پیدا کرد: