شکل نمودارهای y kx b را نشان می دهد. تابع خطی

تکالیف برای خواص و نمودارها تابع درجه دومهمانطور که تمرین نشان می دهد باعث مشکلات جدی می شود. این نسبتاً عجیب است، زیرا تابع درجه دوم در کلاس هشتم تصویب می شود و سپس کل سه ماهه اول کلاس نهم توسط ویژگی های سهمی "اخاذی" می شود و نمودارهای آن برای پارامترهای مختلف ساخته می شود.

این به دلیل این واقعیت است که دانش آموزان را مجبور به ساخت سهمی می کنند، آنها عملاً زمانی را به "خواندن" نمودارها اختصاص نمی دهند، یعنی درک اطلاعات دریافت شده از تصویر را تمرین نمی کنند. ظاهراً فرض بر این است که با ساختن دوجین نمودار، خود یک دانش آموز باهوش رابطه بین ضرایب موجود در فرمول و ظاهر نمودار را کشف و فرموله خواهد کرد. در عمل، این کار نمی کند. برای چنین تعمیم، تجربه جدی در تحقیقات کوچک ریاضی لازم است که البته اکثر دانش آموزان پایه نهم این تجربه را ندارند. در همین حال ، در GIA آنها پیشنهاد می کنند که علائم ضرایب را دقیقاً طبق برنامه تعیین کنند.

ما از دانش آموزان غیرممکن را مطالبه نخواهیم کرد و به سادگی یکی از الگوریتم های حل چنین مشکلاتی را ارائه می دهیم.

بنابراین، تابعی از فرم است y=ax2+bx+cدرجه دوم نامیده می شود، نمودار آن سهمی است. همانطور که از نام آن پیداست، جزء اصلی است تبر 2. یعنی ولینباید برابر با صفر باشد، ضرایب باقی مانده ( بو از جانب) می تواند برابر با صفر باشد.

بیایید ببینیم که چگونه علائم ضرایب آن بر ظاهر سهمی تأثیر می گذارد.

ساده ترین وابستگی برای ضریب ولی. اکثر دانش آموزان با اطمینان پاسخ می دهند: "اگر ولی> 0، سپس شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند و اگر ولی < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой ولی > 0.

y = 0.5x2 - 3x + 1

که در این مورد ولی = 0,5

و اکنون برای ولی < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

در این مورد ولی = - 0,5

تاثیر ضریب از جانبهمچنین به اندازه کافی آسان برای دنبال کردن. تصور کنید که می خواهیم مقدار یک تابع را در یک نقطه پیدا کنیم ایکس= 0. صفر را جایگزین فرمول کنید:

y = آ 0 2 + ب 0 + ج = ج. معلوم می شود که y = c. یعنی از جانبمنتخب نقطه تقاطع سهمی با محور y است. به عنوان یک قاعده، یافتن این نقطه در نمودار آسان است. و تعیین کنید که بالای صفر است یا پایین. یعنی از جانب> 0 یا از جانب < 0.

از جانب > 0:

y=x2+4x+3

از جانب < 0

y = x 2 + 4x - 3

بر این اساس، اگر از جانب= 0، پس سهمی لزوماً از مبدأ عبور می کند:

y=x2+4x

با پارامتر مشکل تر است ب. نقطه ای که ما آن را پیدا خواهیم کرد نه تنها به آن بستگی دارد ببلکه از ولی. این قسمت بالای سهمی است. آبسیسا آن (مختصات محور ایکس) با فرمول پیدا می شود x اینچ \u003d - b / (2a). به این ترتیب، b = - 2ax in. یعنی به این صورت عمل می کنیم: در نمودار بالای سهمی را پیدا می کنیم، علامت آبسیسا آن را تعیین می کنیم، یعنی به سمت راست صفر نگاه می کنیم ( x در> 0) یا به سمت چپ ( x در < 0) она лежит.

با این حال، این همه نیست. باید به علامت ضریب هم توجه کنیم ولی. یعنی ببینیم شاخه های سهمی به کجا هدایت می شوند. و تنها پس از آن، طبق فرمول b = - 2ax inتعیین علامت ب.

یک مثال را در نظر بگیرید:

شاخه ها به سمت بالا هستند ولی> 0، سهمی از محور عبور می کند درزیر صفر یعنی از جانب < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x در> 0. بنابراین b = - 2ax in = -++ = -. ب < 0. Окончательно имеем: ولی > 0, ب < 0, از جانب < 0.

تابع خطیتابع فرم نامیده می شود y = kx + b، بر روی مجموعه تمام اعداد واقعی تعریف شده است. اینجا ک- ضریب زاویه ای (عدد واقعی) ب – عضو رایگان (شماره واقعی)، ایکسیک متغیر مستقل است.

در یک مورد خاص، اگر k = 0، یک تابع ثابت به دست می آوریم y=b، که نمودار آن یک خط مستقیم موازی با محور Ox است که از نقطه ای با مختصات می گذرد. (0; ب).

اگر b = 0، سپس تابع را دریافت می کنیم y=kx، که است به نسبت مستقیم

ب – طول قطعه، که خط را در امتداد محور Oy قطع می کند، با شمارش از مبدا.

معنای هندسی ضریب ک – زاویه شیبمستقیم به جهت مثبت محور Ox خلاف جهت عقربه های ساعت در نظر گرفته می شود.

ویژگی های تابع خطی:

1) دامنه یک تابع خطی کل محور واقعی است.

2) اگر k ≠ 0، سپس محدوده تابع خطی کل محور واقعی است. اگر k = 0، سپس محدوده تابع خطی از عدد تشکیل شده است ب;

3) یکنواختی و عجیب بودن یک تابع خطی به مقادیر ضرایب بستگی دارد کو ب.

آ) b ≠ 0، k = 0،در نتیجه، y = b زوج است.

ب) b = 0، k ≠ 0،در نتیجه y = kx فرد است.

ج) b ≠ 0، k ≠ 0،در نتیجه y = kx + b یک تابع کلی است.

د) b = 0، k = 0،در نتیجه y = 0 هم یک تابع زوج و هم یک تابع فرد است.

4) تابع خطی خاصیت تناوب را ندارد.

5) نقاط تقاطع با محورهای مختصات:

گاو: y = kx + b = 0، x = -b/k، در نتیجه (-b/k؛ 0)- نقطه تقاطع با محور آبسیسا.

اوه: y=0k+b=b، در نتیجه (0; ب)نقطه تقاطع با محور y است.

توجه داشته باشید.اگر b = 0و k = 0، سپس تابع y=0برای هر مقدار از متغیر ناپدید می شود ایکس. اگر b ≠ 0و k = 0، سپس تابع y=bبرای هیچ مقداری از متغیر ناپدید نمی شود ایکس.

6) فواصل ثبات علامت به ضریب k بستگی دارد.

آ) k > 0; kx + b > 0، kx > -b، x > -b/k.

y = kx + b- مثبت در ایکساز جانب (-b/k؛ +∞),

y = kx + b- منفی در ایکساز جانب (-∞؛ -b/k).

ب) ک< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- مثبت در ایکساز جانب (-∞؛ -b/k),

y = kx + b- منفی در ایکساز جانب (-b/k؛ +∞).

ج) k = 0، b > 0; y = kx + bمثبت در سراسر حوزه تعریف،

k = 0، b< 0; y = kx + b در سراسر حوزه تعریف منفی است.

7) فواصل یکنواختی یک تابع خطی به ضریب بستگی دارد ک.

k > 0، در نتیجه y = kx + bدر کل دامنه تعریف افزایش می یابد،

ک< 0 ، در نتیجه y = kx + bدر کل دامنه تعریف کاهش می یابد.

8) نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است. برای کشیدن یک خط مستقیم، دانستن دو نقطه کافی است. موقعیت خط مستقیم در صفحه مختصات به مقادیر ضرایب بستگی دارد کو ب. در زیر جدولی وجود دارد که به وضوح این موضوع را نشان می دهد.

یک تابع خطی تابعی به شکل y=kx+b است که x یک متغیر مستقل است، k و b هر عددی هستند.
نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است.

1. ساختن نمودار تابع, به مختصات دو نقطه متعلق به نمودار تابع نیاز داریم. برای پیدا کردن آنها، باید دو مقدار x بگیرید، آنها را در معادله تابع جایگزین کنید و مقادیر y مربوطه را از آنها محاسبه کنید.

به عنوان مثال، برای رسم تابع y= x+2، راحت است که x=0 و x=3 را بگیریم، سپس مختصات این نقاط برابر با y=2 و y=3 خواهد بود. امتیاز A(0;2) و B(3;3) را بدست می آوریم. بیایید آنها را به هم وصل کنیم و نمودار تابع y= x+2 را بدست آوریم:

2. در فرمول y=kx+b عدد k را ضریب تناسب می نامند:
اگر k>0 باشد، تابع y=kx+b افزایش می یابد
اگر ک
ضریب b تغییر نمودار تابع را در امتداد محور OY نشان می دهد:
اگر b>0 باشد، نمودار تابع y=kx+b از نمودار تابع y=kx با جابجایی b واحد به بالا در امتداد محور OY به دست می آید.
اگر ب
شکل زیر نمودارهای توابع y=2x+3 را نشان می دهد. y= ½x+3; y=x+3

توجه داشته باشید که در تمامی این توابع ضریب k بالای صفر،و توابع هستند افزایش می یابد.علاوه بر این، هر چه مقدار k بیشتر باشد، زاویه تمایل خط مستقیم به جهت مثبت محور OX بیشتر است.

در همه توابع b=3 - و می بینیم که تمام نمودارها محور OY را در نقطه (0;3) قطع می کنند.

حال نمودارهای توابع y=-2x+3 را در نظر بگیرید. y=- ½ x+3; y=-x+3

این بار در تمامی توابع ضریب k کمتر از صفرو ویژگی ها نزول کردن.ضریب b=3 و نمودارها مانند حالت قبل از محور OY در نقطه (0;3) عبور می کنند.

نمودار توابع y=2x+3 را در نظر بگیرید. y=2x; y=2x-3

حال در تمام معادلات توابع ضرایب k برابر با 2 است و سه خط موازی به دست آوردیم.

اما ضرایب b متفاوت است و این نمودارها محور OY را در نقاط مختلف قطع می کنند:
نمودار تابع y=2x+3 (b=3) از محور OY در نقطه (0;3) عبور می کند.
نمودار تابع y=2x (b=0) از محور OY در نقطه (0;0) - مبدا عبور می کند.
نمودار تابع y=2x-3 (b=-3) از محور OY در نقطه (0;-3) عبور می کند.

بنابراین، اگر نشانه های ضرایب k و b را بدانیم، بلافاصله می توانیم تصور کنیم که نمودار تابع y=kx+b چگونه است.
اگر k 0

اگر k>0 و b>0، سپس نمودار تابع y=kx+b به شکل زیر است:

اگر k>0 و b، سپس نمودار تابع y=kx+b به شکل زیر است:

اگر k، سپس نمودار تابع y=kx+b به نظر می رسد:

اگر k=0، سپس تابع y=kx+b به تابع y=b تبدیل می شود و نمودار آن به شکل زیر است:

مختصات تمام نقاط نمودار تابع y=b برابر است با b اگر b=0، سپس نمودار تابع y=kx (نسبت مستقیم) از مبدأ عبور می کند:

3. به طور جداگانه نمودار معادله x=a را یادداشت می کنیم.نمودار این معادله یک خط مستقیم موازی با محور OY است که تمام نقاط آن دارای یک ابسیسا x=a هستند.

برای مثال نمودار معادله x=3 به شکل زیر است:
توجه!معادله x=a یک تابع نیست، بنابراین یک مقدار آرگومان با آن مطابقت دارد معانی مختلفتابع، که با تعریف تابع مطابقت ندارد.

4. شرط موازی بودن دو خط:

نمودار تابع y=k 1 x+b 1 با نمودار تابع y=k 2 x+b 2 موازی است اگر k 1 =k 2

5. شرط عمود بودن دو خط مستقیم:

نمودار تابع y=k 1 x+b 1 بر نمودار تابع y=k 2 x+b 2 عمود است اگر k 1 *k 2 =-1 یا k 1 =-1/k 2

6. نقاط تلاقی نمودار تابع y=kx+b با محورهای مختصات.

با محور OY آبسیسا هر نقطه متعلق به محور OY برابر با صفر است. بنابراین، برای یافتن نقطه تقاطع با محور OY، باید به جای x در معادله تابع، صفر را جایگزین کنید. y=b می گیریم. یعنی نقطه تقاطع با محور OY مختصات (0;b) دارد.

با محور x: ترتیب هر نقطه متعلق به محور x صفر است. بنابراین، برای یافتن نقطه تقاطع با محور OX، باید به جای y در معادله تابع، صفر را جایگزین کنید. 0=kx+b می گیریم. بنابراین x=-b/k. یعنی نقطه تقاطع با محور OX دارای مختصاتی است (-b / k؛ 0):

5. یکنواختحاصل ضرب فاکتورهای عددی و الفبایی نامیده می شود. ضریبعامل عددی تک جمله نامیده می شود.

6. برای نوشتن مونومیال به شکل استاندارد، شما نیاز دارید: 1) ضرایب عددی را ضرب کنید و حاصل ضرب آنها را در وهله اول قرار دهید. 2) توان ها را با پایه های یکسان ضرب کرده و حاصل ضرب را بعد از ضریب عددی قرار دهید.

7. چند جمله ای نامیده می شودمجموع جبری چند تک جمله ای

8. برای ضرب یک تک جمله ای در یک چند جمله ای،لازم است تک جمله ای را در هر جمله چند جمله ای ضرب کنیم و محصولات حاصل را جمع کنیم.

9. برای ضرب یک چند جمله ای در یک چند جمله ای،لازم است که هر جمله یک چند جمله ای را در هر جمله چند جمله ای دیگر ضرب کنیم و حاصل را جمع کنیم.

10. کشیدن یک خط مستقیم از میان هر دو نقطه و فقط یک نقطه امکان پذیر است.

11. دو خط یا فقط یک نقطه مشترک دارند یا هیچ نقطه مشترکی ندارند.

12. دو شکل هندسی را اگر بتوان روی هم قرار داد، مساوی می نامند.

13. به نقطه ای از قطعه که آن را به دو نیم تقسیم می کند، یعنی به دو قسمت مساوی، نقطه وسط پاره می گویند.

14. پرتویی که از راس یک زاویه ساطع می شود و آن را به دو زاویه مساوی تقسیم می کند نیمساز زاویه نامیده می شود.

15. زاویه توسعه یافته 180 درجه است.

16. زاویه ای که 90 درجه باشد، زاویه قائمه نامیده می شود.

17. زاویه ای حاد نامیده می شود که کمتر از 90 درجه باشد، یعنی کمتر از زاویه قائمه.

18. اگر زاویه ای بزرگتر از 90 درجه، اما کمتر از 180 درجه باشد، یعنی بیشتر از زاویه قائمه، اما کمتر از زاویه مستقیم باشد، کج نامیده می شود.

19. دو زاویه که یک ضلع مشترک و دو ضلع دیگر امتداد یکدیگر باشند مجاور نامیده می شوند.

20. مجموع زوایای مجاور 180 درجه است.

21. اگر اضلاع یک زاویه امتداد اضلاع دیگری باشد به دو زاویه عمودی می گویند.

22. زوایای عمودی برابر هستند.

23. دو خط متقاطع را عمود (یا متقابل) می نامند

عمود بر هم باشند) اگر چهار زاویه قائمه تشکیل دهند.

24. دو خط عمود بر یک سوم همدیگر را قطع نمی کنند.

25. یک چند جمله ای را فاکتورسازی کنیدبه این معنی است که آن را به عنوان حاصل ضرب چند تک جمله ای و چند جمله ای نشان دهیم.

26. روشهای فاکتورگیری چند جمله ای:

الف) براکت کردن عامل مشترک،

ب) استفاده از فرمول های ضرب اختصاری،

ج) گروه بندی

27. برای فاکتورسازی یک چند جمله ای با خارج کردن عامل مشترک از پرانتز، شما نیاز دارید:

الف) این عامل مشترک را پیدا کنید،

ب) آن را از پرانتز خارج کنید،

ج) هر جمله چند جمله ای را بر این ضریب تقسیم کرده و نتایج به دست آمده را اضافه کنید.

نشانه های تساوی مثلث ها

1) اگر دو ضلع و زاویه بین یک مثلث به ترتیب برابر با دو ضلع و زاویه بین آنها با مثلث دیگر باشد، این مثلث ها متجانس هستند.

2) اگر یک ضلع و دو زاویه مجاور یک مثلث به ترتیب با یک ضلع و دو زاویه مجاور آن مثلث دیگر برابر باشند، این مثلث ها متجانس هستند.

3) اگر سه ضلع یک مثلث به ترتیب برابر با سه ضلع مثلث دیگر باشد، چنین مثلث هایی همسو هستند.

حداقل آموزشی

1. فاکتورسازی با فرمول ضرب اختصاری:

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

2. فرمول ضرب اختصاری:

(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2

(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

3. پاره خطی که راس مثلث را به وسط ضلع مقابل وصل می کند نامیده می شود میانهمثلث.

4. عمود رسم شده از راس مثلث به خط حاوی ضلع مقابل نامیده می شود بلند قدمثلث.

5. در مثلث متساوی الساقین، زوایای قاعده با هم برابرند.

6. در مثلث متساوی الساقین، نیمساز کشیده شده به قاعده، میانه و ارتفاع است.

7. دایره کنیدتماس گرفت شکل هندسی، شامل تمام نقاط صفحه است که در یک فاصله معین از یک نقطه معین قرار دارند.

8. پاره خطی که مرکز را با نقطه ای روی دایره می پیوندد نامیده می شود شعاعحلقه ها .

9. پاره خطی که دو نقطه روی یک دایره را به هم متصل می کند نامیده می شود وتر

وتر عبور از مرکز دایره نامیده می شود قطر

10. تناسب مستقیم y = kx ، جایی که ایکس یک متغیر مستقل است، به عددی غیر صفر است ( به ضریب تناسب است).

11. نمودار تناسب مستقیمخط مستقیمی است که از مبدا می گذرد.

12. تابع خطیتابعی است که با فرمول قابل ارائه است y = kx + b ، جایی که ایکس یک متغیر مستقل است، به و ب - تعدادی اعداد

13. نمودار یک تابع خطی- یک خط مستقیم است.

14 ایکس - آرگومان تابع (متغیر مستقل)

در - مقدار تابع (متغیر وابسته)

15. در b=0تابع شکل می گیرد y=kx، نمودار آن از مبدا عبور می کند.

در k=0تابع شکل می گیرد y=b، نمودار آن یک خط افقی است که از نقطه عبور می کند ( 0; ب).

مطابقت بین نمودارهای یک تابع خطی و علائم ضرایب k و b

1. دو خط مستقیم در یک صفحه نامیده می شود موازی،اگر تلاقی نکنند