حل معادلات خطی با مثال معادلات خطی

معادله برابری است که در آن یک عبارت مجهول وجود دارد - x. باید معنای آن را پیدا کرد.

کمیت مجهول را ریشه معادله می گویند. حل معادله به معنای یافتن ریشه آن است و برای این کار باید خواص معادلات را بدانید. معادلات کلاس 5 ساده است، اما اگر یاد بگیرید چگونه آنها را به درستی حل کنید، در آینده با آنها مشکلی نخواهید داشت.

ویژگی اصلی معادلات

وقتی دو طرف معادله را به یک اندازه تغییر دهید، همان معادله با همان ریشه ادامه می یابد. برای درک بهتر این قانون چند مثال را حل می کنیم.

نحوه حل معادلات: جمع یا تفریق

فرض کنید معادله ای از شکل زیر داریم:

• a + x = b - در اینجا a و b اعداد هستند و x یک جمله مجهول در معادله است.

اگر مقدار c را به دو طرف معادله اضافه (یا کم) کنیم، تغییری نمی کند:

• a + x + c = b + c
• a + x - c = b - c.

مثال 1

بیایید از این ویژگی برای حل معادله استفاده کنیم:

• 37 + x = 51

از هر دو قسمت 37 کم کنید:

• 37 + x-37 = 51-37

ما گرفتیم:

• x = 51-37.

ریشه معادله x = 14 است.

اگر به آخرین معادله دقت کنیم می بینیم که همان معادله اول است. ما به سادگی عبارت 37 را از یک طرف معادله به طرف دیگر منتقل کردیم و به جای مثبت، منفی را جایگزین کردیم.

معلوم می شود که هر عددی را می توان با علامت مخالف از یک طرف معادله به سمت دیگر منتقل کرد.

مثال 2

• 37 + x = 37 + 22

بیایید همین عمل را انجام دهیم، عدد 37 را از سمت چپ معادله به سمت راست منتقل کنیم:

• x = 37 - 37 + 22

از آنجایی که 37-37 = 0، ما به سادگی این را کاهش می دهیم و به دست می آوریم:

• x = 22.

عبارت های یکسان معادله با علامت یکسان که در قسمت های مختلف معادله هستند قابل لغو (حذف) می باشند.

ضرب و تقسیم معادلات

هر دو طرف تساوی را نیز می توان در یک عدد ضرب یا تقسیم کرد:

اگر تساوی a = b در c تقسیم یا ضرب شود، تغییر نمی کند:

• a / c = b / c،
• ac = قبل از میلاد

مثال 3

• 5x = 20

دو طرف معادله را بر 5 تقسیم کنید:

• 5x / 5 = 20/5.

از آنجایی که 5/5 = 1 است، پس این ضریب و مقسوم علیه سمت چپ معادله را لغو می کنیم و به دست می آید:

• x = 20/5، x = 4

مثال 4

• 5x = 5a

اگر هر دو طرف معادله بر 5 تقسیم شود، به دست می آید:

• 5x / 5 = 5a / 5.

5 در صورت و مخرج سمت چپ و راست لغو می شود، معلوم می شود x = a. این بدان معنی است که عوامل مشابه در سمت چپ و راست معادلات خنثی می شوند.

بیایید یک مثال دیگر را حل کنیم:

• 13 + 2x = 21

عبارت 13 را با علامت مخالف از سمت چپ معادله به سمت راست حرکت دهید:

• 2x = 21 - 13
• 2x = 8.

هر دو طرف معادله را بر 2 تقسیم می کنیم، به دست می آید:

• x = 4.

Makarova T.P., GBOU دبیرستان شماره 618 آموزش "معادلات" کلاس 5

آموزش کلاس پنجم با موضوع معادلات در 2 نسخه

ماکاروا تاتیانا پاولونا،

معلم GBOU دبیرستان شماره 618، مسکو

گروه: کلاس پنجم

این آموزش با هدف آزمون دانش و مهارت دانش آموزان در موضوع "معادلات" برگزار می شود. این آموزش برای دانش آموزان کلاس پنجم برای کتاب درسی N.Ya Vilenkin، V.I. Zhokhova و دیگران در نظر گرفته شده است. کتاب درسی کلاس 5. - M .: Mnemosina, 2013 .-- 288p. این آزمون شامل دو نوع موازی با دشواری مساوی، هر کدام 9 کار است (4 کار با یک پاسخ انتخابی، 3 کار با یک پاسخ کوتاه، 2 کار با یک راه حل دقیق).

این آموزش به طور کامل با استاندارد آموزشی ایالتی فدرال (نسل دوم) مطابقت دارد، می تواند در کنترل کلاس درس استفاده شود، و همچنین می تواند توسط دانش آموزان کلاس 5 برای کار مستقل روی موضوع مورد استفاده قرار گیرد.

برای تکمیل آزمون 15 تا 25 دقیقه زمان درس اختصاص داده شده است. کلیدها گنجانده شده است.

آموزش کلاس پنجم با موضوع معادلات. انتخاب 1.

№p / p

ورزش

پاسخ

معادله را حل کنید

574

1124

1114

1024

ریشه معادله را بیابید

(156-ایکس )+43=170.

1) ریشه معادله معنای حرف است.

2) ریشه معادله (23 - NS) - 21 = 2 یک عدد طبیعی نیست.

3) برای یافتن مجهول تفریق شده، باید تفاوت را از کاهش یافته کم کرد.

4) معادله x - x= 0 دقیقاً یک ریشه دارد.

پتیا یک عدد را تصور کرد. اگر 43 را به این عدد اضافه کنیم و 77 را به کل اضافه کنیم، 258 به دست می آید. Petya چه عددی را برنامه ریزی می کند؟

1) (NS + 43) – 77 = 258

2) (NS + 43) + 77 = 258

3) (NS – 43) + 77 = 258

4) (NS – 43) – 77 = 258

معادله را حل کنید: (5 با – 8) : 2 = 121: 11.

حل معادله: 821 - ( متر + 268) = 349.

معنی عدد را پیدا کنید آاگر 8 آ + 9NS= 60 و NS=4.

با استفاده از یک معادله مسئله را حل کنید. این کتابخانه دارای 125 کتاب در زمینه ریاضیات بود. بعد از اینکه دانش آموزان چندین کتاب گرفتند و بعد 3 کتاب برگشتند، 116 کتاب بود، دانش آموزان چند کتاب گرفتند؟

معادله را حل کنید:

456 + (NS – 367) – 225 =898

آموزش کلاس پنجم با موضوع معادلات. گزینه 2.

№p / p

ورزش

پاسخ

بخش 1. تکلیف با چند پاسخ

معادله را حل کنید

525

1081

535

1071

ریشه معادله را بیابید

942 – (y + 142) = 419.

391

481

1219

381

اعداد عبارات صحیح را مشخص کنید:

1) معادله برابری است حاوی یک حرف که مقدار آن را باید پیدا کرد.

2) هر عدد طبیعی یک ریشه معادله است

3) ریشه معادله مقدار حرفی است که در آن عبارت عددی صحیح از معادله به دست می آید.

4) برای یافتن سود ناشناخته، باید یک مقسوم علیه به ضریب اضافه کنید.

داشا یک عدد را تصور کرد. اگر به این عدد 43 اضافه کنیم و عدد 77 را از مقدار دریافتی کم کنیم عدد 258 بدست می آید. داشا چه عددی را مد نظر دارد؟

1) (NS + 43) – 77 = 258

2) (NS + 43) + 77 = 258

3) (NS – 43) + 77 = 258

4) (NS – 43) – 77 = 258

قسمت 2. کار با یک پاسخ کوتاه

معادله 63 را حل کنید (2 NS – 1) = 21: 3.

حل معادله: 748 - ( ب +248) = 300.

معنی عدد را پیدا کنید آاگر 7 آ – 3NS= 41 و NS=5.

بخش 3. وظایف با یک راه حل دقیق

با استفاده از یک معادله مسئله را حل کنید. 197 دستگاه در انبار وجود داشت. پس از فروخته شدن تعدادی و آوردن 86 دستگاه دیگر، 115 دستگاه دیگر در انبار باقی ماند. در کل چند دستگاه فروخته اید؟

معادلات خطی راه حل، مثال

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی ..." هستند
و برای کسانی که "بسیار حتی ...")

معادلات خطی

معادلات خطی دشوارترین مبحث در ریاضیات مدرسه نیستند. اما ترفندهایی وجود دارد که می تواند حتی یک دانش آموز آموزش دیده را نیز متحیر کند. بفهمیم؟)

به طور معمول، یک معادله خطی به عنوان معادله ای از شکل زیر تعریف می شود:

تبر + ب = 0 جایی که الف و ب- هر عدد

2x + 7 = 0. در اینجا a = 2، b = 7

0.1x - 2.3 = 0 در اینجا a = 0.1، b = -2.3

12x + 1/2 = 0 در اینجا a = 12، b = 1/2

هیچ چیز پیچیده ای نیست، درست است؟ به خصوص اگر متوجه کلمات زیر نباشید: "جایی که a و b هر عددی هستند"... و اگر متوجه شدید، اما بی دقت فکر کنید؟) پس از همه، اگر a = 0، b = 0(هر عددی ممکن است؟)، سپس یک عبارت خنده دار دریافت می کنید:

اما این همه ماجرا نیست! اگر بگو a = 0،آ b = 5،چیزی کاملاً غیرعادی به نظر می رسد:

که اعتماد به نفس در ریاضیات را تحت فشار قرار می دهد و تضعیف می کند، بله ...) به خصوص در امتحانات. اما از بین این عبارات عجیب باید X را هم پیدا کرد! که اصلا وجود ندارد. و در کمال تعجب، یافتن این X بسیار آسان است. ما یاد خواهیم گرفت که چگونه این کار را انجام دهیم. در این آموزش

چگونه یک معادله خطی را از روی ظاهر آن تشخیص دهید؟ این بستگی به ظاهر دارد.) ترفند این است که معادلات خطی نه تنها معادلات فرم نامیده می شوند تبر + ب = 0 ، بلکه هر معادله ای که با تبدیل و ساده سازی به این شکل کاهش می یابد. و چه کسی می داند که آیا می توان آن را کاهش داد یا نه؟)

یک معادله خطی در برخی موارد به وضوح قابل تشخیص است. بگو، اگر معادله ای داریم که در آن فقط مجهولات درجه اول و اعداد وجود دارد. و در معادله وجود ندارد کسری تقسیم بر ناشناس , مهم است! و تقسیم بر عدد،یا کسری عددی - لطفا! مثلا:

این یک معادله خطی است. در اینجا کسری وجود دارد، اما هیچ x در مربع، در مکعب و غیره وجود ندارد، و هیچ x در مخرج وجود ندارد، یعنی. خیر تقسیم بر x... و این معادله است

نمی توان خطی نامید. در اینجا x ها همه در درجه اول هستند، اما وجود دارد تقسیم بر عبارت با x... پس از ساده سازی ها و تبدیل ها، می توانید یک معادله خطی و یک درجه دوم و هر چیزی که دوست دارید بدست آورید.

معلوم می شود که تا زمانی که تقریباً آن را حل نکنید، یافتن یک معادله خطی در برخی مثال های پیچیده غیرممکن است. این ناراحت کننده است. اما تکالیف معمولاً در مورد نوع معادله سؤال نمی کنند، درست است؟ در تکالیف، معادلات دستور داده می شوند تصميم گرفتن.این باعث خوشحالی من می شود.)

حل معادلات خطی مثال ها.

کل حل معادلات خطی از تبدیل معادلات یکسان تشکیل شده است. به هر حال، این دگرگونی ها (به اندازه دو!) زیربنای راه حل ها هستند تمام معادلات ریاضیبه عبارت دیگر راه حل هرمعادله با همین دگرگونی ها آغاز می شود. در مورد معادلات خطی، آن (راه حل) بر اساس این تبدیل ها است و با یک پاسخ کامل به پایان می رسد. منطقی است که پیوند را دنبال کنید، درست است؟) علاوه بر این، نمونه هایی از حل معادلات خطی نیز وجود دارد.

بیایید با ساده ترین مثال شروع کنیم. بدون هیچ تله ای. فرض کنید باید این معادله را حل کنیم.

x - 3 = 2 - 4x

این یک معادله خطی است. X همه در درجه اول است، تقسیم بر X وجود ندارد. اما، در واقع، برای ما مهم نیست که چه معادله ای است. ما باید آن را حل کنیم. این طرح در اینجا ساده است. همه چیز را با x در سمت چپ برابری، همه چیز بدون x (عدد) در سمت راست را جمع آوری کنید.

برای انجام این کار، باید انتقال دهید - 4 برابر سمت چپ، البته با تغییر علامت، اما - 3 - به سمت راست. به هر حال، این است اولین تبدیل یکسان معادلات.تعجب کردی؟ بنابراین، ما پیوند را دنبال نکردیم، اما بیهوده ...) دریافت می کنیم:

x + 4x = 2 + 3

ما موارد مشابه را ارائه می دهیم، معتقدیم:

برای خوشبختی کامل چه چیزی کم داریم؟ بله، به طوری که یک X تمیز در سمت چپ وجود داشت! پنج در راه است. خلاص شدن از شر پنج با دومین تبدیل یکسان معادلات.یعنی هر دو طرف معادله را بر 5 تقسیم می کنیم. جواب آماده می گیریم:

البته یک مثال ابتدایی. این برای گرم کردن است.) خیلی واضح نیست که چرا من تغییرات یکسان را در اینجا به یاد می آوردم؟ خوب. ما از شاخ گاو نر می گیریم.) بیایید چیزی تاثیرگذارتر تصمیم بگیریم.

به عنوان مثال، این معادله است:

از کجا شروع کنیم؟ با x - به سمت چپ، بدون x - به سمت راست؟ میتونه اینطور باشه در گام های کوچک در طول جاده طولانی. یا می توانید بلافاصله، به روشی جهانی و قدرتمند. اگر، البته، در زرادخانه شما تبدیلات یکسان معادلات وجود دارد.

من از شما یک سوال کلیدی می پرسم: چه چیزی را در این معادله بیشتر دوست ندارید؟

95 نفر از 100 نفر پاسخ خواهند داد: کسری ! پاسخ درست است. پس بیایید از شر آنها خلاص شویم. بنابراین، ما بلافاصله شروع می کنیم تغییر هویت دوم... برای ضرب کسری سمت چپ به چه چیزی نیاز دارید تا مخرج به طور کامل کاهش یابد؟ سمت راست، در 3. و در سمت راست؟ در 4. اما ریاضیات به ما اجازه می دهد که هر دو طرف را در ضرب کنیم همان تعداد... چطوری بریم بیرون و بیایید هر دو طرف را در 12 ضرب کنیم! آن ها توسط یک مخرج مشترک سپس هر دو سه و چهار کاهش می یابد. فراموش نکنید که باید هر قسمت را ضرب کنید. کاملا... این چیزی است که مرحله اول به نظر می رسد:

گسترش براکت ها:

توجه داشته باشید! صورت کسر (x + 2)داخل پرانتز گذاشتم! این به این دلیل است که وقتی کسرها را ضرب می کنید، صورت حساب به طور کامل، به طور کامل ضرب می شود! و اکنون کسرها را می توان کاهش داد:

براکت های باقی مانده را باز کنید:

نمونه نیست، اما لذت محض!) حالا ما طلسم کلاس های ابتدایی را به یاد می آوریم: با x - به سمت چپ، بدون x - به سمت راست!و این تبدیل را اعمال کنید:

در اینجا موارد مشابه وجود دارد:

و هر دو قسمت را بر 25 تقسیم می کنیم، یعنی. تبدیل دوم را دوباره اعمال کنید:

همین. پاسخ: NS=0,16

توجه داشته باشید: برای اینکه معادله اشتباه اصلی را به شکل دلپذیری برسانیم، از دو (فقط دو!) استفاده کردیم. تحولات یکسان- انتقال چپ به راست با تغییر علامت و ضرب-تقسیم معادله بر همان عدد. این یک راه جهانی است! با این روش کار خواهیم کرد هر معادلات! مطلقا هر. به همین دلیل است که من همیشه این تغییرات یکسان را تکرار می کنم.)

همانطور که می بینید، اصل حل معادلات خطی ساده است. معادله را می گیریم و با کمک تبدیل های یکسان آن را ساده می کنیم تا به جواب برسیم. مشکلات اصلی در اینجا در محاسبات است، نه در اصل راه حل.

اما ... در فرآیند حل ابتدایی ترین معادلات خطی چنین شگفتی هایی وجود دارد که می توانند شما را به یک گیجی شدید سوق دهند ...) خوشبختانه فقط دو شگفتی از این دست وجود دارد. بیایید آنها را موارد خاص بنامیم.

موارد خاص هنگام حل معادلات خطی.

سورپرایز اول

فرض کنید با یک معادله ابتدایی روبرو می شوید، چیزی شبیه به:

2x + 3 = 5x + 5 - 3x - 2

کمی حوصله اش را با x به چپ منتقل می کنیم، بدون x به راست ... با تغییر علامت، همه چیز چانه چینار است ...

2x-5x + 3x = 5-2-3

ما فکر می کنیم و ... اوه لعنتی !!! ما گرفتیم:

این برابری فی نفسه ایرادی ندارد. صفر واقعاً صفر است. اما X رفته است! و ما موظفیم در جواب بنویسیم که برابر با x است.در غیر این صورت، تصمیم به حساب نمی آید، بله ...) بن بست؟

آرام! در چنین موارد مشکوک، کلی ترین قوانین صرفه جویی می کنند. چگونه معادلات را حل کنیم؟ حل معادله به چه معناست؟ این یعنی، تمام مقادیر x را پیدا کنید که وقتی در معادله اصلی جایگزین شوند، برابری صحیح را به ما می دهند.

اما ما برابری واقعی داریم قبلا، پیش از ایناتفاق افتاد! 0 = 0، چقدر دقیق تر؟! باقی مانده است که بفهمیم در چه xx به نظر می رسد. چه مقادیری از x را می توان جایگزین کرد اولیهمعادله اگر این x ها باشد به هر حال به صفر می رسد؟بیا دیگه؟)

آره!!! X ها را می توان جایگزین کرد هر!آنچه شما می خواهید. حداقل 5، حداقل 0.05، حداقل -220. به هر حال کوچک خواهند شد. اگر من را باور ندارید، می توانید بررسی کنید.) هر مقدار x را جایگزین کنید اولیهمعادله و شمارش در تمام مدت، حقیقت محض به دست می آید: 0 = 0، 2 = 2، -7.1 = -7.1 و غیره.

در اینجا پاسخ است: x - هر عدد.

پاسخ را می توان با نمادهای مختلف ریاضی نوشت، ماهیت تغییر نمی کند. این یک پاسخ کاملا صحیح و کامل است.

سورپرایز دوم

بیایید همان معادله خطی ابتدایی را در نظر بگیریم و فقط یک عدد را در آن تغییر دهیم. این چیزی است که ما حل خواهیم کرد:

2x + 1 = 5x + 5 - 3x - 2

پس از همان دگرگونی های یکسان، چیز جالبی دریافت می کنیم:

مثل این. یک معادله خطی حل کرد، یک برابری عجیب به دست آورد. از نظر ریاضی، متوجه شدیم برابری کاذبو به زبان ساده، این درست نیست. دیوانه. اما با این وجود، این مزخرف دلیل بسیار خوبی برای حل صحیح معادله است.)

باز هم بر اساس قوانین کلی فکر می کنیم. هنگامی که x در معادله اصلی جایگزین شود، چه چیزی به ما می دهد درست است، واقعیبرابری؟ بله، هیچ کدام! چنین x هایی وجود ندارد. هر چیزی را جایگزین کنید، همه چیز کاهش می یابد، هذیان باقی می ماند.)

در اینجا پاسخ است: بدون راه حل

این نیز یک پاسخ کاملاً کامل است. در ریاضیات، چنین پاسخ هایی اغلب یافت می شود.

مثل این. حالا امیدوارم از دست دادن x در فرآیند حل هر معادله (نه فقط خطی) شما را به هیچ وجه گیج نکند. موضوع از قبل آشناست.)

اکنون که تمام مشکلات موجود در معادلات خطی را کشف کرده ایم، حل آنها منطقی است.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست اعتبار سنجی فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

یکی از مهم ترین مهارت ها در پذیرش در کلاس 5توانایی حل ساده ترین معادلات است. از آنجایی که کلاس 5 هنوز با مدرسه ابتدایی فاصله زیادی ندارد، تعداد زیادی معادله وجود ندارد که دانش آموز بتواند آن را حل کند. ما شما را با تمام انواع اصلی معادلات آشنا می کنیم که اگر بخواهید بتوانید آنها را حل کنید در مدرسه فیزیک و ریاضی ثبت نام کنید.

نوع 1: "پیازدار"
اینها معادلاتی هستند که تقریباً به احتمال زیاد برای شما پیش می آیند پذیرش در هر مدرسهیا یک دایره کلاس 5 به عنوان یک کار جداگانه. آنها به راحتی از دیگران متمایز می شوند: متغیر فقط یک بار در آنها وجود دارد. به عنوان مثال، یا.
آنها بسیار ساده حل می شوند: شما فقط باید به ناشناخته "رسیدن" کنید، به تدریج همه چیزهای غیر ضروری را که اطراف آن را احاطه کرده اند "حذف کنید" - گویی یک پیاز را پوست بگیرید - از این رو نام آن است. برای حل آن کافی است چند قانون از کلاس دوم را به خاطر بسپارید. بیایید همه آنها را فهرست کنیم:

اضافه

1. term1 + term2 = جمع
2. term1 = جمع - term2
3. term2 = جمع - term1

منها کردن

1. تفریق - تفریق = تفاوت
2. تفریق = تفریق + تفاوت
3. تفریق = تفریق - تفاوت

ضرب

1. فاکتور 1 * فاکتور 2 = محصول
2. فاکتور 1 = محصول: فاکتور 2
3. فاکتور 2 = محصول: فاکتور 1

بخش

1. سود: مقسوم = نصاب
2. سود = مقسوم علیه * ضریب
3. مقسم = سود سهام: نسبی

بیایید مثالی بزنیم که چگونه این قوانین را اعمال کنیم.

توجه داشته باشید که ما در حال تقسیم هستیم در و ما دریافت می کنیم. در این وضعیت مقسوم علیه و ضریب را می شناسیم. برای پیدا کردن سود تقسیمی، باید مقسوم علیه را در ضریب ضرب کنید:

کمی به خودمان نزدیک شدیم. اکنون می بینیم که به اضافه و به دست آمد. بنابراین، برای پیدا کردن یکی از جمله ها، باید عبارت شناخته شده را از مجموع کم کنید:

و یک "لایه" دیگر از ناشناخته حذف می شود! اکنون وضعیتی با مقدار مشخص محصول () و یک عامل شناخته شده () می بینیم.

اکنون وضعیت "کاهش - کم = تفاوت"

و آخرین مرحله محصول شناخته شده () و یکی از عوامل () است.

نوع 2: معادلات با براکت
معادلات از این نوع اغلب در مسائل مواجه می شوند - 90٪ از همه مسائل برای پذیرش در کلاس 5... بر خلاف "معادلات پیاز"متغیر می تواند چندین بار در اینجا ظاهر شود، بنابراین حل آن با استفاده از روش های پاراگراف قبلی غیرممکن است. معادلات معمولی: یا
مشکل اصلی این است که براکت ها را به درستی باز کنید. پس از اینکه توانستیم این کار را به درستی انجام دهیم، باید اصطلاحات مشابه (اعداد به اعداد، متغیرها به متغیرها) را بیاوریم و پس از آن ساده ترین را بدست آوریم. "معادله پیازی"که می دانیم چگونه آن را حل کنیم. اما اول از همه.

براکت های در حال گسترش... ما چند قانون را ارائه خواهیم داد که باید در این مورد استفاده شود. اما، همانطور که تمرین نشان می دهد، دانش آموز تنها پس از 70-80 مشکل حل شده شروع به باز کردن صحیح براکت ها می کند. قاعده اصلی این است: هر عاملی که خارج از پرانتز است باید در هر جمله داخل پرانتز ضرب شود. و منهای جلوی پرانتز علامت تمام عبارات داخل را تغییر می دهد. بنابراین، قوانین اساسی افشا:

آوردن مشابه... همه چیز در اینجا بسیار ساده تر است: شما باید با انتقال شرایط از طریق علامت مساوی اطمینان حاصل کنید که در یک طرف فقط اصطلاحات با مجهول وجود دارد و از طرف دیگر - فقط اعداد. قانون اساسی این است: هر عبارت منتقل شده علامت خود را تغییر می دهد - اگر با آن بود، تبدیل به c می شود و بالعکس. پس از انتقال موفقیت آمیز، باید تعداد مجهول ها را بشمارید، عدد نهایی که در سمت دیگر برابری قرار دارد، به جای متغیرها، و عدد اول را حل کنید. "معادله پیازی".

در این ویدئو، مجموعه کاملی از معادلات خطی را که با استفاده از همان الگوریتم حل شده اند، تجزیه و تحلیل خواهیم کرد - به همین دلیل است که آنها را ساده ترین آنها می نامند.

برای شروع، اجازه دهید تعریف کنیم: معادله خطی چیست و ساده ترین آنها چیست؟

معادله خطی معادله ای است که در آن فقط یک متغیر و فقط در درجه اول وجود داشته باشد.

ساده ترین معادله به معنای ساخت است:

تمام معادلات خطی دیگر با استفاده از الگوریتم به ساده ترین معادلات کاهش می یابد:

1. در صورت وجود، پرانتزها را گسترش دهید.
2. عبارت‌های حاوی متغیر را به یک طرف علامت مساوی و عبارت‌های بدون متغیر را به طرف دیگر منتقل کنید.
3. عبارت های مشابه را در سمت چپ و راست علامت مساوی بیاورید.
4. معادله به دست آمده را بر ضریب متغیر $ x $ تقسیم کنید.

البته این الگوریتم همیشه کمک نمی کند. واقعیت این است که گاهی اوقات، پس از تمام این دستکاری ها، ضریب متغیر $ x $ صفر می شود. در این مورد، دو گزینه ممکن است:

1. معادله اصلاً راه حلی ندارد. به عنوان مثال، وقتی چیزی شبیه 0 $ \ cdot x = 8 $ دریافت می کنید، یعنی. یک صفر در سمت چپ و یک عدد غیر صفر در سمت راست وجود دارد. در ویدیوی زیر چندین دلیل را به طور همزمان بررسی خواهیم کرد که چرا چنین وضعیتی ممکن است.
2. راه حل همه اعداد است. تنها موردی که این امکان وجود دارد - معادله به ساختار $ 0 \ cdot x = 0 $ کاهش یافته است. کاملاً منطقی است که صرف نظر از اینکه چه $ x $ را جایگزین کنیم، باز هم "صفر برابر با صفر" خواهد بود، یعنی. برابری عددی صحیح

اکنون بیایید ببینیم که چگونه همه اینها بر روی مثال مشکلات واقعی کار می کند.

نمونه هایی از حل معادلات

امروز ما با معادلات خطی و فقط ساده ترین آنها سر و کار داریم. به طور کلی، معادله خطی به معنای هر برابری است که دقیقاً یک متغیر داشته باشد و فقط به درجه اول می رود.

چنین سازه هایی تقریباً به همین روش حل می شوند:

1. اول از همه، شما باید پرانتزها را در صورت وجود گسترش دهید (مانند نمونه آخر ما).
2. سپس مشابه بیاورید
3. در نهایت، متغیر را ضبط کنید، i.e. هر چیزی که با یک متغیر مرتبط است - اصطلاحاتی که در آن وجود دارد - باید در یک جهت منتقل شود و هر چیزی که بدون آن باقی می ماند باید به طرف دیگر منتقل شود.

سپس، به عنوان یک قاعده، باید موارد مشابه را در هر طرف برابری به دست آمده بیاورید، و پس از آن فقط تقسیم بر ضریب "x" باقی می ماند و ما پاسخ نهایی را خواهیم گرفت.

از نظر تئوری، این کار زیبا و ساده به نظر می‌رسد، اما در عمل، حتی دانش‌آموزان با تجربه دبیرستانی نیز می‌توانند در معادلات خطی نسبتاً ساده مرتکب اشتباهات تهاجمی شوند. معمولاً یا هنگام باز کردن پرانتزها یا هنگام محاسبه "مضافات" و "منهای" اشتباه می شود.

علاوه بر این، این اتفاق می افتد که یک معادله خطی اصلاً راه حلی نداشته باشد، یا به طوری که راه حل کل خط اعداد باشد، یعنی. هر عددی این ظرافت ها را در درس امروز تحلیل خواهیم کرد. اما همانطور که قبلاً فهمیدید ما با ساده ترین کارها شروع خواهیم کرد.

طرحی برای حل ساده ترین معادلات خطی

برای شروع، اجازه دهید یک بار دیگر کل طرح حل ساده ترین معادلات خطی را بنویسم:

1. در صورت وجود، براکت ها را باز کنید.
2. ما متغیرها را ترشح می کنیم، i.e. هر چیزی که حاوی "x" باشد به یک طرف و بدون "x" - به طرف دیگر منتقل می شود.
3. ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم.
4. همه چیز را به ضریب "x" تقسیم می کنیم.

البته این طرح همیشه جواب نمی دهد، ظرافت ها و ترفندهای خاصی در آن وجود دارد و اکنون با آنها آشنا می شویم.

حل مثال های واقعی از معادلات خطی ساده

مشکل شماره 1

در مرحله اول باید براکت ها را گسترش دهیم. اما آنها در این مثال نیستند، بنابراین از این مرحله می گذریم. در مرحله دوم باید متغیرها را در دست بگیریم. لطفا توجه داشته باشید: ما فقط در مورد شرایط فردی صحبت می کنیم. بیا بنویسیم:

ما اصطلاحات مشابهی را در سمت چپ و راست ارائه می کنیم، اما این قبلا انجام شده است. بنابراین به مرحله چهارم می رویم: تقسیم بر ضریب:

\ [\ فراک (6x) (6) = - \ فراک (72) (6) \]

پس جواب گرفتیم.

مشکل شماره 2

در این مشکل می‌توانیم پرانتزها را رعایت کنیم، پس بیایید آنها را بسط دهیم:

هم در سمت چپ و هم در سمت راست، تقریباً یک ساختار را می بینیم، اما بیایید طبق الگوریتم پیش برویم، i.e. ما متغیرها را ترشح می کنیم:

در اینجا موارد مشابه وجود دارد:

در چه ریشه هایی اجرا می شود. پاسخ: برای هر. بنابراین، می توانیم بنویسیم که $ x $ هر عددی است.

مشکل شماره 3

معادله خطی سوم در حال حاضر جالب تر است:

\ [\ چپ (6-x \ راست) + \ چپ (12 + x \ راست) - \ چپ (3-2x \ راست) = 15 \]

در اینجا چند پرانتز وجود دارد، اما در هیچ چیزی ضرب نمی شوند، فقط علائم متفاوتی در مقابل خود دارند. بیایید آنها را باز کنیم:

ما مرحله دوم را که قبلاً برای ما شناخته شده است انجام می دهیم:

\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]

بیا بشماریم:

ما آخرین مرحله را انجام می دهیم - همه چیز را بر ضریب "x" تقسیم می کنیم:

\ [\ فراک (2x) (x) = \ فراک (0) (2) \]

نکاتی که در حل معادلات خطی باید به خاطر بسپارید

جدا از کارهای خیلی ساده، موارد زیر را می خواهم بگویم:

• همانطور که در بالا گفتم، هر معادله خطی راه حلی ندارد - گاهی اوقات به سادگی هیچ ریشه ای وجود ندارد.
• حتی اگر ریشه ها وجود داشته باشد، ممکن است در بین آنها صفر وجود داشته باشد - هیچ اشکالی در آن وجود ندارد.

صفر همان عدد بقیه است، به هیچ وجه نباید نسبت به آن تبعیض قائل شوید یا فرض کنید که اگر به صفر رسیدید، کار اشتباهی انجام داده اید.

ویژگی دیگر مربوط به گسترش پرانتز است. لطفا توجه داشته باشید: وقتی یک "منفی" در مقابل آنها وجود دارد، آن را حذف می کنیم، اما در پرانتز علائم را به مقابل... و سپس می توانیم آن را با استفاده از الگوریتم های استاندارد باز کنیم: آنچه را که در محاسبات بالا دیدیم به دست می آوریم.

درک این واقعیت ساده به شما این امکان را می دهد که از اشتباهات احمقانه و آزاردهنده در دبیرستان، زمانی که چنین اقداماتی بدیهی تلقی می شوند، اجتناب کنید.

حل معادلات خطی پیچیده

بیایید به معادلات پیچیده تر برویم. اکنون ساختارها پیچیده تر می شوند و هنگام انجام تبدیل های مختلف یک تابع درجه دوم ظاهر می شود. با این حال، شما نباید از این بترسید، زیرا اگر طبق قصد نویسنده، ما یک معادله خطی را حل کنیم، در فرآیند تبدیل، همه یکپارچه های حاوی تابع درجه دوم لزوماً لغو می شوند.

مثال شماره 1

بدیهی است که اولین قدم گسترش پرانتز است. بیایید این کار را با دقت انجام دهیم:

حالا برای حفظ حریم خصوصی:

\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]

در اینجا موارد مشابه وجود دارد:

بدیهی است که این معادله هیچ راه حلی ندارد، بنابراین در پاسخ به صورت زیر می نویسیم:

\ [\ varnothing \]

یا بدون ریشه

مثال شماره 2

ما همین مراحل را دنبال می کنیم. گام اول:

همه چیز را با متغیر به سمت چپ و بدون آن به راست حرکت دهید:

در اینجا موارد مشابه وجود دارد:

بدیهی است که این معادله خطی راه حلی ندارد، بنابراین آن را به این صورت می نویسیم:

\ [\ varnothing \]،

یا هیچ ریشه ای وجود ندارد.

تفاوت های ظریف راه حل

هر دو معادله کاملاً حل شده است. با استفاده از این دو عبارت به عنوان مثال، ما یک بار دیگر مطمئن شدیم که حتی در ساده ترین معادلات خطی ممکن است همه چیز چندان ساده نباشد: می تواند یک یا هیچ یا بی نهایت ریشه باشد. در مورد ما، ما دو معادله را در نظر گرفتیم، در هر دو به سادگی هیچ ریشه ای وجود ندارد.

اما توجه شما را به یک واقعیت دیگر جلب می کنم: نحوه کار با پرانتز و نحوه باز کردن آنها در صورت وجود علامت منفی در مقابل آنها. این عبارت را در نظر بگیرید:

قبل از افشای، باید همه چیز را در "X" ضرب کنید. نکته: ضرب می شود هر ترم جداگانه... در داخل دو عبارت وجود دارد - به ترتیب، دو جمله و ضرب.

و تنها پس از انجام این دگرگونی های به ظاهر ابتدایی، اما بسیار مهم و خطرناک، می توانید پرانتز را از این نظر گسترش دهید که بعد از آن یک علامت منفی وجود دارد. بله، بله: فقط اکنون، هنگامی که تبدیل ها کامل شد، به یاد می آوریم که یک علامت منفی در جلوی پرانتز وجود دارد، به این معنی که هر چیزی که پایین می آید فقط علائم را تغییر می دهد. در همان زمان، خود براکت ها ناپدید می شوند و از همه مهمتر، "منهای" جلو نیز ناپدید می شوند.

با معادله دوم هم همین کار را می کنیم:

تصادفی نیست که توجه من را به این حقایق کوچک و به ظاهر کم اهمیت جلب می کنم. از آنجا که حل معادلات همیشه دنباله ای از تبدیل های ابتدایی است، جایی که ناتوانی در انجام واضح و شایسته اقدامات ساده منجر به این واقعیت می شود که دانش آموزان دبیرستانی به سراغ من می آیند و دوباره حل چنین معادلات ساده ای را یاد می گیرند.

البته، روزی فرا می رسد و شما این مهارت ها را به سمت خودکارسازی ارتقا می دهید. دیگر لازم نیست هر بار این همه تبدیل انجام دهید، همه چیز را در یک خط خواهید نوشت. اما در حالی که تازه در حال یادگیری هستید، باید هر عمل را جداگانه بنویسید.

حل معادلات خطی حتی پیچیده تر

آنچه که اکنون می خواهیم حل کنیم، در حال حاضر دشوار است که ساده ترین کار را نام ببریم، اما معنی همان است.

مشکل شماره 1

\ [\ چپ (7x + 1 \ راست) \ چپ (3x-1 \ راست) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

بیایید تمام عناصر قسمت اول را ضرب کنیم:

بیایید انزوا را انجام دهیم:

در اینجا موارد مشابه وجود دارد:

ما آخرین مرحله را انجام می دهیم:

\ [\ فراک (-4x) (4) = \ فراک (4) (- 4) \]

در اینجا پاسخ نهایی ما است. و علیرغم اینکه در فرآیند حل ضرایب با تابع درجه دوم، آنها متقابلاً از بین می روند که باعث می شود معادله دقیقاً خطی باشد نه مربع.

مشکل شماره 2

\ [\ چپ (1-4x \ راست) \ چپ (1-3x \ راست) = 6x \ چپ (2x-1 \ راست) \]

بیایید مرحله اول را به طور منظم انجام دهیم: هر عنصر در براکت اول را در هر عنصر در دومی ضرب کنید. در مجموع، باید چهار عبارت جدید پس از تبدیل وجود داشته باشد:

حالا بیایید ضرب را در هر جمله با دقت انجام دهیم:

بیایید اصطلاحات را با "x" به سمت چپ و بدون - به راست منتقل کنیم:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:

یک بار دیگر جواب نهایی را دریافت کردیم.

تفاوت های ظریف راه حل

مهم ترین نکته در مورد این دو معادله به این صورت است: به محض اینکه شروع به ضرب پرانتزهایی کنیم که در آنها از یک جمله بیشتر است، این کار طبق قانون زیر انجام می شود: جمله اول را از اولی می گیریم و با هر عنصر از عنصر دوم ضرب کنید. سپس عنصر دوم را از اولی می گیریم و به طور مشابه در هر عنصر از دومی ضرب می کنیم. در نتیجه، چهار ترم دریافت می کنیم.

جمع جبری

با مثال آخر، می خواهم به دانش آموزان یادآوری کنم که جمع جبری چیست. در ریاضیات کلاسیک، منظور از 1 تا 7 دلار، یک ساختار ساده است: هفت را از یک کم کنید. منظور ما در جبر این است: به عدد "یک" عدد دیگری به نام "منهای هفت" اضافه می کنیم. این است که چگونه مجموع جبری با حساب معمولی متفاوت است.

هنگامی که هنگام انجام همه تبدیل ها، هر جمع و ضرب، شروع به دیدن ساختارهای مشابه آنچه در بالا توضیح داده شد، می کنید، به سادگی هنگام کار با چند جمله ای ها و معادلات هیچ مشکلی در جبر نخواهید داشت.

در پایان، بیایید به چند مثال دیگر نگاه کنیم که حتی پیچیده‌تر از نمونه‌هایی هستند که اخیراً به آنها نگاه کردیم، و برای حل آنها باید کمی الگوریتم استاندارد خود را گسترش دهیم.

حل معادلات با کسری

برای حل چنین مشکلاتی باید یک مرحله دیگر به الگوریتم خود اضافه کنیم. اما ابتدا الگوریتم خود را یادآوری می کنم:

1. براکت ها را باز کنید.
2. متغیرهای مجزا
3. موارد مشابه را بیاورید.
4. تقسیم بر فاکتور

افسوس که این الگوریتم عالی، با همه کارایی اش، وقتی با کسری مواجه می شویم، معلوم می شود که کاملاً مناسب نیست. و در آنچه در زیر خواهیم دید، در هر دو معادله یک کسری در سمت چپ و راست داریم.

در این مورد چگونه باید کار کرد؟ همه چیز خیلی ساده است! برای انجام این کار، باید یک مرحله دیگر به الگوریتم اضافه کنید که هم قبل از اولین اقدام و هم بعد از آن، یعنی خلاص شدن از شر کسری، قابل انجام است. بنابراین، الگوریتم به صورت زیر خواهد بود:

1. از شر کسری خلاص شوید.
2. براکت ها را باز کنید.
3. متغیرهای مجزا
4. موارد مشابه را بیاورید.
5. تقسیم بر فاکتور

"رهایی از کسری" به چه معناست؟ و چرا می توان این کار را هم بعد و هم قبل از اولین مرحله استاندارد انجام داد؟ در واقع، در مورد ما، همه کسرها از نظر مخرج عددی هستند، یعنی. همه جا در مخرج فقط یک عدد است. بنابراین، اگر هر دو طرف معادله را در این عدد ضرب کنیم، از شر کسر خلاص می شویم.

مثال شماره 1

\ [\ فراک (\ چپ (2x + 1 \ راست) \ چپ (2x-3 \ راست)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

بیایید از کسرهای این معادله خلاص شویم:

\ [\ frac (\ چپ (2x + 1 \ راست) \ چپ (2x-3 \ راست) \ cdot 4) (4) = \ چپ (((x) ^ (2)) - 1 \ راست) \ cdot 4\]

توجه کنید: همه چیز یک بار در "چهار" ضرب می شود، یعنی. فقط به این دلیل که دو پرانتز دارید به این معنی نیست که باید هر یک از آنها را در چهار ضرب کنید. بیایید بنویسیم:

\ [\ چپ (2x + 1 \ راست) \ چپ (2x-3 \ راست) = \ چپ (((x) ^ (2)) - 1 \ راست) \ cdot 4 \]

حالا بیایید باز کنیم:

جداسازی متغیر را انجام می دهیم:

ما کاهش شرایط مشابه را انجام می دهیم:

\ [- 4x = -1 \ چپ | : \ چپ (-4 \ راست) \ راست. \]

\ [\ فراک (-4x) (- 4) = \ فراک (-1) (- 4) \]

راه حل نهایی را گرفتیم، به معادله دوم می رویم.

مثال شماره 2

\ [\ فراک (\ چپ (1-x \ راست) \ چپ (1 + 5x \ راست)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

در اینجا ما همه اقدامات مشابه را انجام می دهیم:

\ [\ frac (\ چپ (1-x \ راست) \ چپ (1 + 5x \ راست) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ فراک (4x) (4) = \ فرک (4) (4) \]

مشکل حل شده است.

این در واقع تمام چیزی است که امروز می خواستم بگویم.

امتیاز کلیدی

یافته های کلیدی به شرح زیر است:

• الگوریتم حل معادلات خطی را بشناسید.
• قابلیت باز کردن براکت ها
• اگر در جایی توابع درجه دوم دارید، نگران نباشید، به احتمال زیاد در روند تحولات بعدی کوچک می شوند.
• ریشه‌ها در معادلات خطی، حتی ساده‌ترین آنها، بر سه نوع هستند: یک ریشه واحد، خط اعداد کامل یک ریشه است و اصلاً ریشه وجود ندارد.

امیدوارم این درس به شما در تسلط بر یک مبحث ساده اما بسیار مهم برای درک بیشتر تمامی ریاضیات کمک کند. اگر چیزی واضح نیست، به سایت بروید، نمونه های ارائه شده در آنجا را حل کنید. با ما همراه باشید، چیزهای جالب دیگری در انتظار شما هستند!