حداکثر نقطه مشتق را بیابید. نقاط بحرانی یک تابع
همانطور که از درس علوم اجتماعی می دانیم، جامعه به معنای وسیع کلمه شکلی از سازماندهی و شیوه های تعامل با مردم است. در کنار پویایی، ثبات و گشاده رویی، یکی از مهم ترین ویژگی های یک جامعه یکپارچگی است. یکپارچگی جامعه به عنوان پیوند عناصر جامعه با یکدیگر درک می شود. عناصر جامعه شامل حوزه های سیاسی، اقتصادی، اجتماعی و معنوی است. همه آنها به هم مرتبط هستند. حذف یکی از حوزه های جامعه و آن، یعنی جامعه، احتمالاً متلاشی می شود. منظور سنکا از طاق سنگ ها همین بود.
من کاملا با گفته نویسنده موافقم. بیایید هر دولتی را که در حوزه سیاسی انقلاب می شود، چه انقلابی باشد و چه جنگ داخلی. در هر صورت، کل جامعه به عنوان یک کل آسیب می بیند، تمام حوزه های آن به طور عادی کار نمی کنند. برای مثال نیازی به جستجوی دور نیست، فقط کافی است درگیری های جاری در اوکراین را یادآوری کنیم.
یک مثال دیگر از رسانه ها می گیریم. مدام در اخبار به ما می گویند که رئیس جمهور یک قانون حمایت از حقوق مصرف کننده (سیاسی و اقتصادی) را امضا کرد، در حوزه سلامت (سیاست و اجتماعی) جلسه ای رفت، از حوزه آموزشی (سیاسی و معنوی) بازدید کرد. کره). همانطور که از نمونه اقدامات رئیس دولت برمی آید، سیاست با حوزه های معنوی، اقتصادی و اجتماعی ارتباط تنگاتنگی دارد. به همین ترتیب، تحصیل با سیاست و اقتصاد مرتبط است، همانطور که تولید ثروت با آن ارتباط دارد حوزه اجتماعیو سیاسی و غیره.
همه حوزه ها از نزدیک به هم مرتبط هستند و یک کل واحد، یک سیستم واحد - جامعه را تشکیل می دهند.
پشتیبانی زمانی است که به اشتراک می گذارید احساسات انسانی, روشن کنید که او در مشکلات خود تنها نیست. همه گاهی به آن نیاز دارند: مردم - موجودات اجتماعی، آنها بر زندگی گروهی و نزدیک شدن به هم نوعان خود متمرکز هستند. هیچ کس به تنهایی نمی تواند با همه سختی ها کنار بیاید، اما در سنت های فرهنگ ما حتی به چیزهایی که هیچ ربطی به آن ندارند، حمایت می گویند، مانند فراخوانی برای «جمع شدن» و «دست نگه داشتن»، سخنرانی، سخنرانی، نوحه، و حتی ارعاب ما متوجه می شویم که چگونه از دیگران حمایت کنیم و چگونه نه.
چگونه نمی شود
اگر شخصی به شما بگوید که بدون حمایت خوب است و اصلاً به آن نیاز ندارد، احتمالاً منظور او دقیقاً همین واکنش های سمی و مضر است. کسی که بیشتر در هنگام نیاز به کمک و پذیرش با آنها روبرو شده است، واقعاً ترجیح می دهد احساسات را برای خود نگه دارد و به تنهایی با آنها کنار بیاید. تفاوت بین واکنش های سمی و حمایت واقعی چیست؟ چگونه به درستی و شایستگی از یکدیگر حمایت کنیم؟ بیایید با این واقعیت شروع کنیم که پشتیبانی نیست، بلکه فقط خود را به عنوان آن پنهان می کند.
"خودت رو جمع و جور کن!"
عبارات «صبر کن»، «قوی باش»، «خوشحال باش» و دیگر فراخوان‌های استقامتی زیاد نیستند. راه خوبپشتیبانی. فردی که به دنبال حمایت است دقیقاً هدف معکوس دارد. او می‌خواهد بار عاطفی را با کسی تقسیم کند و فقط «نگه‌دار» نشود، اما حداقل کمی استراحت کند و احساس بهتری داشته باشد. کلمات "دست نگه دارید" یا "شجاعت داشته باشید" به او ترجمه می شود: "حمایت رد شد. همه چیز را خودتان تصمیم بگیرید، قوی باشید. جمعش کن."
"و گربه همسایه من توسط سگ های ولگرد گاز گرفته شد"
حتی در شرایط شدید هم نوحه به هیچ وجه کمکی به انسان نمی کند. آیا یکی از نزدیکان دوستش در بخش مراقبت های ویژه قرار گرفت، کیف پول او را دزدید، سگش را گم کرد؟ به او نگویید "چه کابوس است!" او از قبل می داند که این واقعا یک کابوس است. و موارد مشابهی را که با دوستانتان پیش آمده به او نگویید. این به هیچ وجه کمکی به او نمی کند، بلکه تنها باعث افزایش وحشت می شود. به طور کلی، اگر می خواهید همدردی کنید، نباید احساسات خود را در یک فرد بارگیری کنید. اکنون او خودش به دلداری نیاز دارد و قطعاً منبعی برای آرام کردن همکار ندارد. اشک ها و ناله های شما با روحیه "چه وحشتناک، حالا چه باید کرد؟" فقط یک فرد ترسیده را متقاعد می کند که همه چیز واقعاً بسیار بد است.
"راست می گویی، او یک احمق است"
اگر می‌خواهید به خشم یا نارضایتی طرف مقابل بپیوندید، مراقب باشید: تحریک احساسات منفی بیشتر باعث ناسازگاری می‌شود تا کمک به کنار آمدن با موقعیت. و شخصی که از عزیزانش شکایت می کند معمولاً احساسات متناقضی را تجربه می کند: کسانی که دوستشان دارد با او بد کردند. گفتن: آره شوهرت واقعا خودخواهه! یا "به نظر می رسد خواهر شما اصلاً قادر به تفکر منطقی نیست" - به نظر می رسد که شما بدترین ترس های او را تأیید می کنید.
هیچ کس واقعاً نمی خواهد فکر کند که عزیزانش هیولا هستند. حتی اگر موقعیت واقعاً نیاز به ارزیابی منفی شدید دارد (مثلاً در مورد سوء استفاده فیزیکی یا عاطفی)، بهتر است این اطلاعات را به روشی متعادل‌تر ارائه کنید: «می‌دانی، به نظر من چنین کلماتی هستند. آب خالصدستکاری»، «چنین عملی برای شما ناصادقانه به نظر می رسد»، «فکر می کنم آنچه در حال وقوع است برای شما خطرناک است».
"من یک هومیوپات فوق العاده می شناسم، او کمک خواهد کرد!"
مشاوره ناخواسته نیز ایده بدی است. «کودک هر چند وقت یک بار بیمار می شود؟ گوش کن، من با یک متخصص اطفال عالی تماس دارم، حالا به شما می گویم. شما باید آن را سفت کنید، من یک پیوند به مقاله ای در مورد نحوه انجام آن برای شما ارسال می کنم.
کمک عملی بسیار مهم است، اما به شرطی که از شما درخواست شود. تحمیل آن بدون درخواست نامطلوب است. اولا، این یک واقعیت نیست که فردی که در شرایط دشواری قرار گرفته است، در حال حاضر آماده اقدام فعال است - شاید برای این کار ابتدا باید بهبود یابد و افکار خود را جمع کند. ثانیاً معلوم نیست که آیا او به شکلی از کمکی که شما می خواهید ارائه دهید نیاز دارد یا خیر. فقط خود شخص می تواند تصمیم بگیرد که چه اقداماتی برای او مناسب است: کودک را سخت کنید، با یک پزشک معتمد مشورت کنید یا به سادگی منتظر دوره سرماخوردگی بی پایان دوران کودکی باشید. با تحمیل اقدامات مشخص به طرف مقابل، ما ایده درماندگی او را در آن قرار می دهیم: "شما خود قادر به مقابله با هیچ چیز نیستید، اکنون به شما می گویم چگونه عمل کنید."
"این اتفاق برای من نمی افتد"
کم حرف زدن، نشان دادن اینکه در این زمینه کاملاً خوب هستید، رفتاری ناصادقانه است که به هیچ وجه حمایت کننده نیست. مثلاً در موقعیتی که به فردی که تشخیص افسردگی دارد می گویید: «وای چقدر بدشانس هستی. اما من یک طرز فکر مثبت را تمرین می کنم و سعی می کنم از هر روز لذت ببرم و افسرده نمی شوم، "هیچ چیزی جز تمایل به احساس بهتر شدن به قیمت یک همکار که در شرایط دشواری است وجود ندارد.
"شما مقصر هستید!"
اتهامات، "لگدهای جادویی" و سایر ابزارهای روانشناسی "عامیانه" کاملاً غیرقابل قبول هستند - این مقصر دانستن و دقیقاً مخالف حمایت است. نمونه ای از چنین واکنش سمی، متأسفانه، اغلب توسط والدین کودکان و نوجوانان ارائه می شود: «آیا در کنترل چهارم شکست خوردید؟ و من به شما گفتم، کمتر باید پشت کامپیوتر بنشینید. اما تو گوش نمی کنی، تو باهوش ترین ما هستی! نمی‌دانم حالا چطور می‌خواهی نمره‌ات را تصحیح کنی.»
اعتقاد بر این است که چنین واکنشی به جمع شدن و عمل کردن و همچنین درک اشتباهات گذشته و عدم تکرار مجدد آنها کمک می کند. در واقع، نتیجه دقیقا برعکس خواهد بود: در شرایط استرس، هیچ کس قادر به تجزیه و تحلیل اشتباهات و نتیجه گیری برای آینده نیست، و اتهامات و شیوه تند گفتار فقط باعث افزایش آسیب می شود. برای مدت کوتاهی، شخص واقعاً می‌تواند خود را جمع و جور کند و عمل کند، نه به این دلیل که «لگد جادویی» کار می‌کند، بلکه به این دلیل که وقتی همه احساسات منجمد می‌شوند، واکنش استرسی است.
اما در دراز مدت، این روش بسیار سمی است. این پیام را دارد: «مشکلی داشتی؟ پس خودت بد هستی (خودت بد). توقع نداشته باش کمکت کنم." علاوه بر استرس اضافی برای فردی که مشکلی دارد، "لگدهای جادویی" روابط را از بین می برد. سخت است به کسی اعتماد کنیم که حرف یک دروغگو را تمام کند.
چگونه
حمایت در هسته آن پیامی برای شخص دیگری است: "من صدای شما را می شنوم، می فهمم، احساسات و موقعیت دشوار شما را می پذیرم و آماده هستم که در کنار شما باشم." شما می توانید به طرق مختلف با فردی در شرایط دشوار باشید - این بستگی به میزان نزدیکی با شخص و خود موقعیت و همچنین به نقاط قوت، منابع و تمایل به کمک شما دارد. چگونه در این مورد حمایت کنیم؟
هوشیارانه نقاط قوت خود را ارزیابی کنید
یک پشتیبانی کوچک اما صادقانه بهتر از شبیه سازی آن است. اغلب، دقیقاً به این دلیل که مخاطبی که از او حمایت می شود، قدرت یا منابع لازم برای آن را ندارد، اما از پذیرش آن می ترسد، به شکایات به شیوه های سمی واکنش نشان می دهند. نیازی به خجالت نیست: این کاملا طبیعی است که کسی را نخواهید یا نتوانید حمایت کنید. فقط آنچه را که واقعاً می توانید بدون خشونت علیه خود ارائه دهید، ارائه دهید. شاید اکنون بتوانید فقط پنج دقیقه و نه بیشتر به صحبت های طرف مقابل گوش دهید. یا می توانید نیم ساعت صحبت کنید، اما آمادگی ارائه کمک عملی را ندارید.
اگر حتی قدرت این را ندارید که در هنگام احساسات سخت در کنار یک نفر باشید، صادقانه ترین چیزی که می توانید در مورد آن بگویید این است: "متاسفم، لطفاً، اما در حال حاضر خیلی خسته هستم. اعصاب، کاملا خسته. اگر برایت راحت باشد، فردا می توانم با تو صحبت کنم.» این یک واقعیت نیست که طرف مقابل از شما رنجیده نشود - اما بهتر از این است که علیه خودتان خشونت کنید و سپس پرخاشگری را بر دیگری ریخته باشید.
بشنوید و به اشتراک بگذارید
احساسات دیگری
حمایت کلامی ممکن است ساده ترین راه به نظر برسد، اما در واقع بودن در کنار فردی که احساسات منفی شدیدی را تجربه می کند آسان نیست. ما می خواهیم از نظر احساسی خود را منزوی کنیم، از یک موضوع ناخوشایند "بیرون پرش" کنیم، و بنابراین اغلب به یکی از واکنش های سمی باز می گردیم.
برای حمایت از یک فرد در مکالمه، فقط باید آنجا باشید، احساسات طرف مقابل را به اشتراک بگذارید و او را از خود دور نکنید. بذار حرف بزنه از گوش دادن فعال استفاده کنید: سر تکان دهید، موافقت کنید، سوالات کوتاه روشن کننده بپرسید. فردی که تحت استرس، مضطرب یا عصبانی است، به شدت توسط یک ابراز کلامی ساده از همدردی حمایت می شود. در روسی، شکل "متاسفم" هنوز کمی ناشیانه به نظر می رسد، اما مناسب است - درست مانند "من همدردی می کنم" یا "چه حیف است که این اتفاق برای شما افتاده است." می توانید احساسات طرف مقابل را منعکس کنید: "به نظر می رسد واقعاً ناخوشایند است" ، "بسیار غم انگیز به نظر می رسد" ، "می فهمم که چرا با آنها اینقدر عصبانی هستید." از ارزیابی وضعیت، اعمال و اعمال خودداری کنید.
اگر به کمک نیاز دارید بپرسید
راه عالی دیگر برای حمایت این است که مستقیماً از فرد بپرسید که در این شرایط به چه چیزی نیاز دارد: «آیا می توانم کاری برای شما انجام دهم؟ اگر کاری می توانم برای کمک به شما انجام دهم به من بگویید." شاید صحبت کافی بود. یا معلوم می شود که کمک عملی، مشاوره، تماس مورد نیاز است - اگر شخص مستقیماً آن را درخواست کند، این کاملاً مناسب خواهد بود.
این بیانیه به مشکل تعامل عناصر سیستم جامعه اختصاص دارد. فیلسوفان دوره های مختلف به این موضوع می اندیشیدند و سعی می کردند حوزه پیشرو زندگی را تعیین کنند، به عنوان مثال، در قرون وسطی ایده اهمیت دین غالب بود، در دوران مدرن توجه اندیشمندان به دانش علمی جلب شد. بعدها مارکس برتری حوزه اقتصادی را فرض کرد. تمدن های باستانیمسیر کار هماهنگ همه حوزه ها را دنبال کرد و دولت های مدرن در تلاش هستند تا عملکرد طبیعی آنها را تضمین کنند.
نویسنده بیانیه می گوید در هر جامعه ای عناصر آن مکمل یکدیگرند و بدون پیوندها و روابطی که آنها را به هم پیوند می دهد، به زوال می رود. وحدت این عناصر تعیین کننده نحوه زندگی جامعه است.
من موضع خودم را در سطح نظری استدلال می کنم. جامعه به معنای وسیع، مجموعه ای از اشکال اجتماع افراد و شیوه های تعامل آنهاست.
همراه با پویایی و گشاده رویی، با ثبات و یکپارچگی مشخص می شود. به نوبه خود، جامعه مجموعه ای از عناصر جامعه است که تنها به عنوان بخشی از کل معنا می یابد و با پیوندهای پایدار متقابل متحد می شوند. ارکان نظام، گروه ها و نهادهای اجتماعی هستند. همچنین شامل یک زیر سیستم - 4 حوزه زندگی به عنوان مجموعه ای از روابط پایدار بین موضوعات اجتماعی است: معنوی، اجتماعی، سیاسی و اقتصادی. همه حوزه ها مکمل یکدیگر هستند و در هر جامعه ای می توان تأثیر متقابل آنها را ردیابی کرد. اگر حداقل یک عنصر کنار گذاشته شود، پیوندهای پایدار گسسته می‌شود و کارکردهای این عنصر ناتمام می‌ماند، یعنی می‌توان ادعا کرد که نظام جامعه پست می‌شود.
من نظر خودم را در سطح تجربی ثابت خواهم کرد. بیایید تضاد بین کلیسای ارتدکس روسیه و قدرت شوروی را در تاریخ روسیه در قرن بیستم به یاد بیاوریم. با روی کار آمدن بلشویک ها در نتیجه انقلاب اکتبر، تبلیغات فعال الحاد آغاز شد. در سال 1918، "فرمان جدایی کلیسا از دولت و مدرسه از کلیسا" به تصویب رسید که بر اساس آن کلیسا از حق داشتن هر گونه مالکیت محروم شد و معلوم شد که در زمینه شوروی غیرقانونی است. قوانین پاتریارک تیخون خیانت کرد قدرت شورویبسیاری از شخصیت های مذهبی سرکوب شدند. دولت جدید به طور فعال نوسازی و انشقاق در کلیسا را تشویق کرد. مربوط به سطح عمومیاخلاق و اخلاق مردم از نظر بی ثباتی سیاسی و اجتماعی داخلی سقوط کرد. با این حال، آزار و اذیت کلیسا به طور موقت با آغاز بزرگ متوقف شد جنگ میهنی، I.V. استالین به اهمیت دین در مبارزه با دشمن پی برد و تصمیم گرفت از آن به عنوان ابزاری برای بالا بردن روحیه ارتش و احساسات میهن پرستانه استفاده کند. همه اینها او را بر آن داشت تا سیاست خود را در قبال ROC تنظیم کند. این ثابت می کند که بدون حوزه معنوی، جامعه ناپایدار است و نمی تواند به طور عادی توسعه یابد.
شما همچنین می توانید کار فیلسوف انگلیسی تی هابز "لویاتان" را در نظر بگیرید. متفکر در آن به بحث از وضعیت پیش از وضعیت جامعه می پردازد. به نظر او می توان آن را «جنگ همه علیه همه» توصیف کرد. در ابتدا، یک فرد پرخاشگر است، هنجارهای اجتماعی را به نفع خود نقض می کند. بنابراین، مردم با منعقد کردن یک قرارداد اجتماعی، بخشی از آزادی خود را به حاکمیت منتقل کردند، که طبق قانون از حقوق آنها محافظت می کند. این معاهده برگشت ناپذیر است و ایجاد دولت را تایید می کند. این نظریه ثابت می کند که جامعه بدون حوزه سیاسی زندگی نمی تواند وجود داشته باشد.
بنابراین، می توان نتیجه گرفت که بدون کنش همزمان عناصر، جامعه به دلیل عدم رضایت اجزای آن قادر به عملکرد عادی نخواهد بود.
معنی
بزرگترین
معنی
کمترین
حداکثر امتیاز
نقطه پایین
وظایف یافتن نقاط انتهایی تابع طبق طرح استاندارد در 3 مرحله حل می شود.
مرحله 1. مشتق یک تابع را پیدا کنید
- برای یافتن مشتق، فرمول های مشتق توابع ابتدایی و قوانین اساسی تمایز را به خاطر بسپارید.
y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.
گام 2. صفرهای مشتق را پیدا کنید
- معادله حاصل را حل کنید تا صفرهای مشتق را پیدا کنید.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9،x2=9.
مرحله 3. نقاط افراطی را پیدا کنید
- از روش فاصله برای تعیین نشانه های مشتق استفاده کنید.
- در نقطه حداقل، مشتق صفر است و علامت از منفی به مثبت و در نقطه حداکثر، از مثبت به منفی تغییر می کند.
بیایید این رویکرد را برای حل مشکل زیر اعمال کنیم:
حداکثر نقطه تابع y=x3−243x+19 را پیدا کنید.
1) مشتق را بیابید: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) معادله y′(x)=0 را حل کنید: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) مشتق برای x>9 و x مثبت است<−9 и отрицательная при −9 چگونه بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع را پیدا کنیم برای حل مشکل یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع لازم است: در بسیاری از کارها کمک می کند قضیه: اگر فقط یک نقطه منتهی روی قطعه وجود داشته باشد و این حداقل نقطه باشد، کوچکترین مقدار تابع در آن به دست می آید. اگر این حداکثر نقطه باشد، در آن صورت به حداکثر مقدار می رسد. 14. مفهوم و ویژگی های اساسی انتگرال نامعین. اگر تابع f(ایکس ایکس، و ک- شماره، پس به طور خلاصه: ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد. اگر توابع f(ایکس) و g(ایکس) دارای ضد مشتقات در بازه ایکس، سپس به طور خلاصه: انتگرال مجموع برابر است با مجموع انتگرال ها. اگر تابع f(ایکس) دارای یک پاد مشتق در بازه ایکس، سپس برای نقاط داخلی این بازه: به طور خلاصه: مشتق انتگرال برابر با انتگرال است. اگر تابع f(ایکس) در بازه پیوسته است ایکسو در نقاط داخلی این بازه قابل تمایز است، سپس: به طور خلاصه: انتگرال دیفرانسیل یک تابع برابر با آن تابع به اضافه ثابت انتگرال است. اجازه دهید یک تعریف دقیق ریاضی ارائه کنیم مفاهیم انتگرال نامعین. بیان مهربان نامیده می شود انتگرال تابع f(x)
، جایی که f(x)
- تابع انتگرال، که داده شده است (معلوم)، dx
- دیفرانسیل ایکس
، با نماد همیشه حضور دارد dx
. تعریف. انتگرال نامعینتابع نامیده می شود F(x) + C
، حاوی یک ثابت دلخواه سی
، که دیفرانسیل آن برابر است با یکپارچهاصطلاح f(x)dx
، یعنی به یاد بیاورید که - دیفرانسیل عملکردو به صورت زیر تعریف می شود: پیدا کردن مشکل انتگرال نامعینیافتن یک تابع است مشتقکه برابر با انتگرال است. این تابع تا یک ثابت تعیین می شود، زیرا مشتق ثابت صفر است. به عنوان مثال، معلوم است که، سپس معلوم می شود که یافتن وظیفه انتگرال نامعیناز توابع به همان اندازه که در نگاه اول به نظر می رسد ساده و آسان نیست. در بسیاری از موارد، باید مهارت در کار با آن وجود داشته باشد انتگرال های نامعین،باید تجربه ای باشد که همراه با تمرین و مداوم باشد حل مثال برای انتگرال نامعینشایان توجه است که انتگرال های نامعیناز برخی توابع (تعداد زیادی از آنها وجود دارد) در توابع ابتدایی گرفته نمی شوند. 15. جدول انتگرال های نامعین اساسی. فرمول های پایه 16. انتگرال معین به عنوان حد مجموع انتگرال. معنای هندسی و فیزیکی انتگرال. اجازه دهید تابع y=ƒ(x) روی قطعه [a; باند< b. Выполним следующие действия. 1. با استفاده از نقاط x 0 \u003d a، x 1، x 2، ...، x n \u003d B (x 0 2. در هر بخش جزئی، i = 1,2,...,n، یک نقطه دلخواه را با i є انتخاب می کنیم و مقدار تابع را در آن محاسبه می کنیم، یعنی مقدار ƒ(با i). 3. مقدار یافت شده تابع ƒ (از i) را در طول ∆x i =x i -x i-1 قطعه جزئی مربوطه ضرب کنید: ƒ (از i) ∆х i. 4. مجموع S n همه این محصولات را بنویسید: مجموع شکل (35.1) را مجموع انتگرال تابع y \u003d ƒ (x) در بخش [a; ب]. طول بزرگترین بخش جزئی را با λ نشان دهید: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. حد مجموع انتگرال (35.1) را به صورت n → ∞ بیابید تا λ→0. علاوه بر این، اگر مجموع انتگرال S n دارای حد I باشد، که به روش پارتیشن بندی قطعه بستگی ندارد [a; b] به بخش‌های جزئی یا از انتخاب نقاط موجود در آنها، سپس عدد I را انتگرال معین تابع y = ƒ(x) در قطعه [a; b] و به این صورت نشان داده می شود، اعداد a و b به ترتیب حد پایین و بالای انتگرال نامیده می شوند، ƒ(x) - انتگرال، ƒ(x) dx - انتگرال، x - متغیر یکپارچه سازی، قطعه [a; ب] - ناحیه (بخش) ادغام. تابع y \u003d ƒ (x) که در بخش [a; ب) در این بازه یک انتگرال مشخص به نام انتگرال پذیر وجود دارد. حال اجازه دهید قضیه وجود را برای یک انتگرال معین فرمول بندی کنیم. قضیه 35.1 (کوشی). اگر تابع y = ƒ(x) بر روی قطعه [a; b]، سپس انتگرال معین توجه داشته باشید که تداوم یک تابع شرط کافی برای یکپارچگی آن است. با این حال، یک انتگرال معین می تواند برای برخی از توابع ناپیوسته نیز وجود داشته باشد، به ویژه برای هر تابعی که محدود به یک بازه است و تعداد محدودی از نقاط ناپیوستگی روی آن وجود دارد. اجازه دهید به برخی از خصوصیات انتگرال معین اشاره کنیم که مستقیماً از تعریف آن (35.2) ناشی می شود. 1. انتگرال معین مستقل از علامت گذاری متغیر یکپارچه سازی است: این از این واقعیت ناشی می شود که مجموع انتگرال (35.1) و در نتیجه حد آن (35.2) به این بستگی ندارد که چه حرفی بیانگر آرگومان این تابع باشد. 2. یک انتگرال معین با همان حدود ادغام برابر با صفر است: 3. برای هر عدد واقعی c. 17. فرمول نیوتن لایب نیتس. ویژگی های اساسی یک انتگرال معین اجازه دهید تابع y = f(x)پیوسته در بخش
و F(x)یکی از ضد مشتقات تابع در این بخش است، پس فرمول نیوتن لایب نیتس: فرمول نیوتن لایب نیتس نامیده می شود فرمول اصلی حساب انتگرال. برای اثبات فرمول نیوتن-لایبنیتس به مفهوم انتگرال با حد بالایی متغیر نیاز داریم. اگر تابع y = f(x)پیوسته در بخش
، سپس انتگرال فرم برای آرگومان تابعی از حد بالایی است. ما این تابع را نشان می دهیم در واقع، اجازه دهید افزایش تابع مربوط به افزایش آرگومان را بنویسیم و از خاصیت پنجم انتگرال معین و نتیجه از خاصیت دهم استفاده کنیم: اجازه دهید این برابری را در قالب بازنویسی کنیم محاسبه کنید F(a)با استفاده از اولین ویژگی انتگرال معین: افزایش یک تابع معمولاً به صورت نشان داده می شود برای اعمال فرمول نیوتن لایب نیتس کافی است یکی از پاد مشتق ها را بشناسیم y=F(x)یکپارچه y=f(x)در بخش
و افزایش این ضد مشتق را در این بخش محاسبه کنید. در این مقاله، روش‌های ادغام، راه‌های اصلی یافتن ضد مشتق مورد تجزیه و تحلیل قرار می‌گیرند. اجازه دهید مثال هایی از محاسبه انتگرال های معین را با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس برای روشن شدن بیان کنیم. مثال. مقدار انتگرال معین را با استفاده از فرمول نیوتن لایب نیتس محاسبه کنید. راه حل. ابتدا توجه داشته باشید که انتگرال در بازه پیوسته است
از این رو، روی آن قابل ادغام است. (در مورد توابع انتگرال پذیر در قسمت توابعی که انتگرال مشخصی برای آنها وجود دارد صحبت کردیم). از جدول انتگرال های نامعین می توان دریافت که برای یک تابع، مجموعه ضد مشتق ها برای همه مقادیر واقعی آرگومان (از این رو، برای) به صورت نوشته شده است. اکنون باید از فرمول نیوتن-لایبنیتس برای محاسبه انتگرال معین استفاده کنیم: 18. کاربردهای هندسی یک انتگرال معین. کاربردهای هندسی یک انتگرال معین محاسبه حجم بدن محاسبه حجم بدن از مناطق شناخته شده مقاطع موازی: حجم بدنه چرخشی: ; . مثال 1. مساحت شکل محدود شده با منحنی y=sinx، خطوط مستقیم را پیدا کنید راه حل:پیدا کردن مساحت شکل: مثال 2. مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید راه حل:بیایید ابسیساهای نقاط تقاطع نمودارهای این توابع را پیدا کنیم. برای این کار سیستم معادلات را حل می کنیم از اینجا پیدا می کنیم x 1 \u003d 0، x 2 \u003d 2.5. 19. مفهوم کنترل های دیفرانسیل. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول معادله دیفرانسیل- معادله ای که مقدار مشتق یک تابع را با خود تابع، مقادیر متغیر مستقل، اعداد (پارامترها) متصل می کند. ترتیب مشتقات موجود در معادله می تواند متفاوت باشد (به طور رسمی، با هیچ چیز محدود نمی شود). مشتقات، توابع، متغیرهای مستقل و پارامترها ممکن است در ترکیبات مختلف در معادله گنجانده شوند، یا ممکن است تمام مشتقات به جز حداقل یک مشتق به طور کلی وجود نداشته باشد. هیچ معادله ای حاوی مشتقات یک تابع مجهول معادله دیفرانسیل نیست. مثلا، معادلات دیفرانسیل جزئی(URCHP) معادلات حاوی توابع مجهول چندین متغیر و مشتقات جزئی آنها هستند. شکل کلی چنین معادلاتی را می توان به صورت زیر نشان داد: که در آن متغیرهای مستقل هستند و تابعی از این متغیرها هستند. ترتیب معادلات دیفرانسیل جزئی را می توان به همان روشی که برای معادلات دیفرانسیل معمولی تعیین کرد. یکی دیگر از طبقه بندی های مهم معادلات دیفرانسیل جزئی، تقسیم آنها به معادلات انواع بیضوی، سهموی و هذلولی، به ویژه برای معادلات مرتبه دوم است. معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل جزئی را می توان به دو دسته تقسیم کرد خطیو غیر خطی. یک معادله دیفرانسیل خطی است اگر تابع مجهول و مشتقات آن فقط به توان اول وارد معادله شوند (و در یکدیگر ضرب نشوند). برای چنین معادلاتی، جواب ها یک زیرفضای وابسته از فضای توابع را تشکیل می دهند. نظریه معادلات دیفرانسیل خطی بسیار عمیق تر از نظریه معادلات غیرخطی توسعه یافته است. شکل کلی معادله دیفرانسیل خطی n- مرتبه: جایی که پی(ایکس) توابع شناخته شده متغیر مستقل هستند که ضرایب معادله نامیده می شوند. عملکرد r(ایکس) سمت راست نامیده می شود عضو رایگان(تنها عبارتی که به تابع مجهول بستگی ندارد) یک کلاس خاص از معادلات خطی معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت. یک زیر کلاس از معادلات خطی هستند همگنمعادلات دیفرانسیل - معادلاتی که شامل یک عبارت آزاد نیستند: r(ایکس) = 0. برای معادلات دیفرانسیل همگن، اصل برهم نهی برقرار است: یک ترکیب خطی از راه حل های خاص چنین معادله ای نیز راه حل آن خواهد بود. تمام معادلات دیفرانسیل خطی دیگر نامیده می شوند ناهمگونمعادلات دیفرانسیل. معادلات دیفرانسیل غیرخطی در حالت کلی روش های حل توسعه یافته ای ندارند، به جز برخی از کلاس های خاص. در برخی موارد (با استفاده از تقریب های خاص) می توان آنها را به خطی کاهش داد. به عنوان مثال، معادله خطی یک نوسان ساز هارمونیک · یک معادله دیفرانسیل همگن مرتبه دوم با ضرایب ثابت است. راه حل خانواده ای از توابع است که در آن ثابت های دلخواه هستند که برای یک راه حل خاص از شرایط اولیه مشخص شده جداگانه تعیین می شوند. این معادله، به ویژه، حرکت یک نوسان ساز هارمونیک با فرکانس چرخه ای 3 را توصیف می کند. · قانون دوم نیوتن را می توان به شکل یک معادله دیفرانسیل نوشت · معادله دیفرانسیل بسل یک معادله همگن خطی معمولی از مرتبه دوم با ضرایب متغیر است: راه حل های آن توابع بسل هستند. مثالی از یک معادله دیفرانسیل معمولی غیرخطی غیر همگن مرتبه 1: در گروه مثال های زیر، تابع مجهول است توبه دو متغیر بستگی دارد ایکسو تییا ایکسو y. معادله دیفرانسیل جزئی خطی همگن مرتبه اول: معادله موج یک بعدی - یک معادله خطی همگن در مشتقات جزئی از نوع هذلولی مرتبه دوم با ضرایب ثابت، ارتعاش رشته را توصیف می کند، اگر - انحراف رشته در یک نقطه با مختصات ایکسبه هنگام تی، و پارامتر آویژگی های رشته را تنظیم می کند: معادله لاپلاس در فضای دو بعدی یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم خطی همگن از نوع بیضوی با ضرایب ثابت است که در بسیاری از مسائل فیزیکی مکانیک، هدایت گرما، الکترواستاتیک، هیدرولیک به وجود می آید: معادله Korteweg-de Vries، یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه سوم غیر خطی که امواج غیرخطی ثابت، از جمله سالیتون‌ها را توصیف می‌کند: 20. معادلات دیفرانسیل با قابل تفکیک قابل اجرا. معادلات خطی و روش برنولی. معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول معادله ای است که نسبت به یک تابع مجهول و مشتق آن خطی است. به نظر می رسد
یا 
تابع فراخوانی می شود عملکرد ضد مشتق. ضد مشتق یک تابع تا یک مقدار ثابت تعیین می شود.
، در اینجا یک ثابت دلخواه وجود دارد.
.
، و این تابع پیوسته و برابر است 
.
جایی که .
. اگر تعریف مشتق یک تابع را به خاطر بیاوریم و به حد حد در برویم، آنگاه می‌گیریم. یعنی یکی از ضد مشتقات تابع است y = f(x)در بخش
. بنابراین، مجموعه ای از تمام ضد مشتقات F(x)را می توان به صورت نوشت 
، جایی که از جانبیک ثابت دلخواه است.
، در نتیجه، . از این نتیجه برای محاسبه استفاده می کنیم F(b): ، به این معنا که 
. این برابری فرمول قابل اثبات نیوتن-لایبنیتس را به دست می دهد .
. با استفاده از این نماد، فرمول نیوتن-لایبنیتس شکل می گیرد 
.
. بیایید بدوی را در نظر بگیریم C=0: .
.مستطیل شکل S.K. تابع، به صورت پارامتری تعریف شده است Polyarnaya S.K.
محاسبه مساحت شکل های صفحه
محاسبه طول قوس منحنی مسطح
محاسبه مساحت سطح انقلاب
معادله دیفرانسیل نیست
را می توان به عنوان تقریبی از معادله غیر خطی یک آونگ ریاضی در نظر گرفت 
برای مورد دامنه های کوچک، زمانی که y≈ گناه y.
جایی که متر- جرم بدن، ایکس- مختصات آن، اف(ایکس, تی) نیرویی است که با مختصات بر جسم وارد می شود ایکسبه هنگام تی. راه حل آن مسیر حرکت جسم تحت اثر نیروی مشخص شده است.
