»درس 12. رتبه ماتریس. محاسبه رتبه ماتریس. هنجار ماتریس

درس شماره 12. رتبه ماتریس. محاسبه رتبه ماتریس. هنجار ماتریس ها

اگر همه مینورهای ماتریسآسفارشکبرابر با صفر هستند، پس همه فرعی های مرتبه k + 1، در صورت وجود، نیز برابر با صفر هستند.
با رتبه ماتریس آ بزرگترین سفارشات مینورهای ماتریس است آ غیر صفر
حداکثر رتبه می تواند برابر با حداقل تعداد ردیف ها یا ستون های ماتریس باشد، یعنی. اگر ماتریس 4x5 باشد، حداکثر رتبه 4 خواهد بود.
حداقل رتبه یک ماتریس 1 است، مگر اینکه با ماتریس صفر سروکار داشته باشید، جایی که رتبه همیشه صفر است.

رتبه یک ماتریس مربع غیرمنحط از مرتبه n برابر با n است، زیرا تعیین کننده آن جزئی از مرتبه n است و ماتریس غیر منحط غیر صفر است.
هنگامی که یک ماتریس جابجا می شود، رتبه آن تغییر نمی کند.

بگذارید رتبه ماتریس باشد. سپس هر مرتبه جزئی غیر از صفر فراخوانی می شود پایه جزئی.
مثال.با توجه به ماتریس A.

تعیین کننده ماتریس صفر است.
جزئی از مرتبه دوم ... بنابراین، r (A) = 2 و مینور اصلی.
مینور پایه نیز مینور است .
جزئی از آنجا که = 0، بنابراین اساسی نخواهد بود.
ورزش: به طور مستقل بررسی کنید که کدام خردسالان درجه دوم پایه هستند و کدام نه.

یافتن رتبه یک ماتریس با محاسبه تمام مینورهای آن به کار محاسباتی زیادی نیاز دارد. (خواننده می تواند بررسی کند که در یک ماتریس مربع از مرتبه چهارم، 36 عدد فرعی مرتبه دوم وجود دارد.) بنابراین، از الگوریتم متفاوتی برای یافتن رتبه استفاده می شود. تعدادی اطلاعات اضافی برای توصیف آن مورد نیاز است.

بیایید اقدامات زیر روی ماتریس ها را تبدیل اولیه ماتریس ها بنامیم:
1) جایگشت سطرها یا ستون ها؛
2) ضرب سطر یا ستون در عددی غیر از صفر.
3) به یکی از سطرها سطر دیگری ضرب در یک عدد یا اضافه کردن به یکی از ستون های ستون دیگر ضرب در عدد.

تبدیل های ابتدایی رتبه ماتریس را تغییر نمی دهند.
الگوریتم محاسبه رتبه یک ماتریسشبیه به الگوریتم محاسبه تعیین کننده است و شامل این واقعیت است که با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس به شکل ساده ای کاهش می یابد که یافتن رتبه برای آن دشوار نیست. از آنجایی که رتبه با هر تبدیل تغییر نمی کند، پس با محاسبه رتبه ماتریس تبدیل شده، رتبه ماتریس اصلی را پیدا می کنیم.

اجازه دهید محاسبه رتبه ماتریس اندازه لازم باشد مترایکسn.

در نتیجه محاسبات، ماتریس A1 دارای فرم است

اگر تمام خطوطی که از سوم شروع می شوند صفر باشند، پس از صغیر ... در غیر این صورت، با مرتب کردن مجدد سطرها و ستون هایی با اعداد بزرگتر از دو، به غیر صفر بودن عنصر سوم ردیف سوم می رسیم. علاوه بر این، با افزودن ردیف سوم، ضرب در اعداد مربوطه، به ردیف های دارای اعداد بزرگ، صفرهایی در ستون سوم، از عنصر چهارم شروع می شود و به همین ترتیب.
در مرحله‌ای به ماتریسی می‌رسیم که در آن همه ردیف‌هایی که از (r + 1) شروع می‌شوند، برابر با صفر هستند (یا وجود ندارند)، و مینور در اولین سطرها و ستون‌های اول تعیین‌کننده یک است. ماتریس مثلثی با عناصر غیر صفر در قطر ... رتبه چنین ماتریسی است. بنابراین، Rang (A) = r.

در الگوریتم پیشنهادی برای یافتن رتبه یک ماتریس، تمام محاسبات باید بدون گرد کردن انجام شود. یک تغییر دلخواه کوچک در حداقل یکی از عناصر ماتریس های میانی می تواند منجر به این واقعیت شود که پاسخ به دست آمده با رتبه ماتریس اصلی چندین واحد متفاوت است.
اگر عناصر موجود در ماتریس اصلی اعداد صحیح بودند، انجام محاسبات بدون استفاده از کسری راحت است. بنابراین، در هر مرحله، توصیه می شود رشته ها را در اعداد ضرب کنید تا کسرها در محاسبات ظاهر نشوند.

در کارهای آزمایشگاهی عملی مثالی از یافتن رتبه یک ماتریس را در نظر بگیرید.

الگوریتم مکان استانداردهای ماتریس .
فقط سه هنجار ماتریسی وجود دارد.
اولین هنجار ماتریس= حداکثر اعداد به دست آمده با جمع کردن تمام عناصر هر ستون، مدول گرفته شده است.
مثال: اجازه دهید یک ماتریس 3x2 A داده شود (شکل 10). ستون اول شامل عناصر: 8، 3، 8 است. همه عناصر مثبت هستند. بیایید مجموع آنها را پیدا کنیم: 8 + 3 + 8 = 19. ستون دوم شامل عناصر: 8، -2، -8 است. دو عنصر منفی هستند، بنابراین، هنگام جمع کردن این اعداد، لازم است مدول این اعداد (یعنی بدون علائم "منهای") جایگزین شود. بیایید مجموع آنها را پیدا کنیم: 8 + 2 + 8 = 18. حداکثر این دو عدد 19 است. بنابراین اولین هنجار ماتریس 19 است.

شکل 10.

هنجار دوم ماتریسجذر مجموع مجذورات همه عناصر ماتریس است. و این بدان معناست که تمام عناصر ماتریس را مربع می کنیم، سپس مقادیر به دست آمده را اضافه می کنیم و ریشه دوم را از نتیجه استخراج می کنیم.
در مورد ما، هنجار 2 ماتریس برابر است با ریشه دوم 269. در نمودار، من تقریباً ریشه دوم 269 را استخراج کردم و در نتیجه حدود 16.401 به دست آوردم. اگر چه درست تر است که ریشه را استخراج نکنید.

هنجار سوم ماتریسحداکثر اعدادی است که با اضافه کردن تمام عناصر هر ردیف، مدول گرفته شده است.
در مثال ما: خط اول شامل عناصر: 8، 8 است. همه عناصر مثبت هستند. بیایید مجموع آنها را پیدا کنیم: 8 + 8 = 16. خط دوم شامل عناصر: 3، -2 است. یکی از عناصر منفی است، بنابراین هنگام جمع کردن این اعداد، باید مدول این عدد را جایگزین کرد. بیایید مجموع آنها را پیدا کنیم: 3 + 2 = 5. خط سوم شامل عناصر 8 و -8 است. یکی از عناصر منفی است، بنابراین هنگام جمع کردن این اعداد، باید مدول این عدد را جایگزین کرد. بیایید مجموع آنها را پیدا کنیم: 8 + 8 = 16. حداکثر این سه عدد 16 است. بنابراین هنجار سوم ماتریس 16 است.

گردآوری شده توسط: Saliy N.A.

یوتیوب دانشگاهی

1 / 1

✪ هنجار برداری. قسمت 4.

زیرنویس

تعریف

بگذارید K میدان زمین باشد (معمولا ک = آر یا ک = سی ) و فضای خطی همه ماتریس های دارای m ردیف و n ستون است که از عناصر K تشکیل شده است. در فضای ماتریس ها، اگر هر ماتریس با یک عدد واقعی غیر منفی مرتبط باشد، یک هنجار داده می شود. ‖ A ‖ (\ displaystyle \ | A \ |)، به نام هنجار آن، به طوری که

در مورد ماتریس های مربع (به عنوان مثال. متر = n، ماتریس ها را می توان بدون خروج از فضا ضرب کرد و بنابراین هنجارها در این فضاها معمولاً ویژگی را نیز برآورده می کنند. زیر چند برابری :

Submultiplicivity همچنین می تواند برای هنجارهای ماتریس های غیر مربعی انجام شود، اما برای چندین اندازه مورد نیاز در یک زمان تعریف شده است. یعنی اگر A یک ماتریس باشد ℓ  ×  مترو B ماتریس است متر ×  n، سپس A B- ماتریس ℓ  ×  n .

هنجارهای اپراتور

دسته مهمی از هنجارهای ماتریس هستند هنجارهای اپراتور، همچنین به عنوان زیردستان یا القاء شده ... هنجار اپراتور به طور منحصر به فرد بر اساس دو هنجار تعریف شده در و بر اساس این واقعیت ساخته شده است که هر ماتریس متر ×  nتوسط یک عملگر خطی از نشان داده می شود K n (\ displaystyle K ^ (n)) v K m (\ displaystyle K ^ (m))... به طور مشخص،

‖ A ‖ = sup (‖ A x ‖: x ∈ K n، ‖ x ‖ = 1) = sup (‖ A x ‖ ‖ x ‖: x ∈ K n، x ≠ 0). (\ displaystyle (\ شروع (تراز شده) \ | A \ | & = \ sup \ (\ | Ax \ |: x \ در K ^ (n)، \ \ | x \ | = 1 \) \\ & = \ sup \ چپ \ ((\ frac (\ | Ax \ |) (\ | x \ |)): x \ در K ^ (n)، \ x \ neq 0 \ راست \). \ انتهای (تراز شده)))

تحت شرایط مشخص کردن ثابت هنجارها در فضاهای برداری، چنین هنجاری زیر ضربی است (نگاه کنید به).

نمونه هایی از هنجارهای اپراتور

خواص هنجار طیفی:

1. هنجار طیفی یک عملگر برابر است با حداکثر عدد مفرد این عملگر.
2. هنجار طیفی یک عملگر نرمال برابر با قدر مطلق حداکثر مقدار ویژه این عملگر در مقدار مطلق است.
3. زمانی که ماتریس در یک ماتریس متعامد (واحد) ضرب می شود، هنجار طیفی تغییر نمی کند.

هنجارهای ماتریس غیر اپراتور

هنجارهای ماتریسی وجود دارند که هنجارهای عملگر نیستند. مفهوم هنجارهای غیر عامل ماتریس توسط Yu.I. Lyubich معرفی شد و توسط G.R.Belitskii مورد بررسی قرار گرفت.

نمونه ای از هنجارهای غیر اپراتور

به عنوان مثال، دو استاندارد عملگر متفاوت را در نظر بگیرید ‖ A ‖ 1 (\ displaystyle \ | A \ | _ (1))و ‖ A ‖ 2 (\ displaystyle \ | A \ | _ (2))مانند هنجارهای سطر و ستون. تشکیل یک هنجار جدید ‖ A ‖ = m a x (‖ A ‖ 1، ‖ A ‖ 2) (\ displaystyle \ | A \ | = حداکثر (\ | A \ | _ (1), \ | A \ | _ (2)))... هنجار جدید دارای خاصیت حلقه است ‖ A B ‖ ≤ ‖ A ‖ ‖ B ‖ (\ displaystyle \ | AB \ | \ leq \ | A \ | \ | B \ |)، وحدت را حفظ می کند ‖ I ‖ = 1 (\ displaystyle \ | I \ | = 1)و اپراتور نیست.

نمونه هایی از هنجارها

بردار p (\ displaystyle p)-هنجار

می توان در نظر گرفت m × n (\ displaystyle m \ بار n)ماتریس به عنوان بردار اندازه m n (\ displaystyle mn)و از هنجارهای برداری استاندارد استفاده کنید:

‖ A ‖ p = ‖ vec (A) ‖ p = (∑ i = 1 m ∑ j = 1 n | aij | p) 1 / p (\ displaystyle \ | A \ | _ (p) = \ | \ mathrm ( vec) (A) \ | _ (p) = \ چپ (\ مجموع _ (i = 1) ^ (m) \ جمع _ (j = 1) ^ (n) | a_ (ij) | ^ (p) \ راست) ^ (1 / p))

هنجار فروبنیوس

هنجار فروبنیوس، یا هنجار اقلیدسییک مورد خاص از p-norm برای است پ = 2 : ‖ A ‖ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 naij 2 (\ displaystyle \ | A \ | _ (F) = (\ sqrt (\ مجموع _ (i = 1) ^ (m) \ جمع _ (j = 1) ^ (n) a_ (ij) ^ (2)))).

هنجار فروبنیوس به راحتی قابل محاسبه است (مثلاً در مقایسه با هنجار طیفی). دارای خواص زیر است:

‖ A x ‖ 2 2 = ∑ i = 1 m | ∑ j = 1 n a i j x j | 2 ≤ ∑ i = 1 m (∑ j = 1 n | a i j | 2 ∑ j = 1 n | x j | 2) = ∑ j = 1 n | x j | 2 ‖ A ‖ F 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ x ‖ 2 2. (\ displaystyle \ | Ax \ | _ (2) ^ (2) = \ sum _ (i = 1) ^ (m) \ چپ | \ جمع _ (j = 1) ^ (n) a_ (ij) x_ ( j) \ راست | ^ (2) \ leq \ مجموع _ (i = 1) ^ (m) \ چپ (\ مجموع _ (j = 1) ^ (n) | a_ (ij) | ^ (2) \ جمع _ (j = 1) ^ (n) | x_ (j) | ^ (2) \ راست) = \ مجموع _ (j = 1) ^ (n) | x_ (j) | ^ (2) \ | A \ | _ (F) ^ (2) = \ | A \ | _ (F) ^ (2) \ | x \ | _ (2) ^ (2).)

• چندگانه فرعی: ‖ A B ‖ F ≤ ‖ A ‖ F ‖ B ‖ F (\ displaystyle \ | AB \ | _ (F) \ leq \ | A \ | _ (F) \ | B \ | _ (F))، زیرا ‖ A B ‖ F 2 = ∑ i، j | ∑ k a i k b k j | 2 ≤ ∑ i, j (∑ k | a i k | | b k j |) 2 ≤ ∑ i, j (∑ k | a i k | 2 ∑ k | b kj | 2) = ∑ i, k | a i k | 2 ∑ k، j | b k j | 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ B ‖ F 2 (\ displaystyle \ | AB \ | _ (F) ^ (2) = \ sum _ (i, j) \ چپ | \ جمع _ (k) a_ (ik) b_ (kj) \ راست | ^ (2) \ leq \ مجموع _ (i، j) \ چپ (\ مجموع _ (k) | a_ (ik) || b_ (kj) | \ راست) ^ (2) \ leq \ sum _ (i, j) \ چپ (\ sum _ (k) | a_ (ik) | ^ (2) \ sum _ (k) | b_ (kj) | ^ (2) \ راست) = \ جمع _ (i، k) | a_ (ik) | ^ (2) \ مجموع _ (k، j) | b_ (kj) | ^ (2) = \ | A \ | _ (F) ^ (2) \ | B \ | _ (F) ^ (2)).
• ‖ A ‖ F 2 = tr ⁡ A ∗ A = tr⁡ AA ∗ (\ displaystyle \ | A \ | _ (F) ^ (2) = \ mathop (\ rm (tr)) A ^ (*) A = \ mathop (\ rm (tr)) AA ^ (*))، جایی که t r ⁡ A (\ displaystyle \ mathop (\ rm (tr)) A)- ردیابی ماتریسی A (\ displaystyle A), A ∗ (\ displaystyle A ^ (*))یک ماتریس مزدوج هرمیتی است.
• ‖ A ‖ F 2 = ρ 1 2 + ρ 2 2 + ⋯ + ρ n 2 (\ displaystyle \ | A \ | _ (F) ^ (2) = \ rho _ (1) ^ (2) + \ rho _ (2) ^ (2) + \ نقطه + \ rho _ (n) ^ (2))، جایی که ρ 1، ρ 2،…، ρ n (\ نمایش سبک \ rho _ (1)، \ rho _ (2)، \ نقطه، \ rho _ (n))- مقادیر منفرد ماتریس A (\ displaystyle A).
• ‖ A ‖ F (\ displaystyle \ | A \ | _ (F))در ضرب ماتریس تغییر نمی کند A (\ displaystyle A)چپ یا راست به ماتریس های متعامد (یکپارچه).

حداکثر ماژول

هنجار حداکثر مدول یکی دیگر از موارد خاص p-norm برای است پ = ∞ .

‖ A ‖ حداکثر = حداکثر (| a i j |). (\ displaystyle \ | A \ | _ (\ متن (حداکثر)) = \ حداکثر \ (| a_ (ij) | \).)

هنجار شاتن

سازگاری هنجارهای ماتریس و برداری

هنجار ماتریس ‖ ⋅ ‖ a b (\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ (ab))بر K m × n (\ نمایش سبک K ^ (m \ بار n))تماس گرفت موافقت کردبا هنجارها ‖ ⋅ ‖ a (\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ (a))بر K n (\ displaystyle K ^ (n))و ‖ ⋅ ‖ b (\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ (b))بر K m (\ displaystyle K ^ (m))، اگر:

‖ A x ‖ b ≤ ‖ A ‖ a b ‖ x ‖ a (\ displaystyle \ | Ax \ | _ (b) \ leq \ | A \ | _ (ab) \ | x \ | _ (a))

برای هرچی A ∈ K m × n، x ∈ K n (\ نمایش سبک A \ در K ^ (m \ بار n)، x \ در K ^ (n))... هنجار عملگر از نظر ساخت با هنجار برداری اصلی سازگار است.

نمونه هایی از هنجارهای ماتریس توافق شده، اما نه فرعی:

هم ارزی هنجارها

همه هنجارها در فضا K m × n (\ نمایش سبک K ^ (m \ بار n))معادل هستند، یعنی برای هر دو هنجار ‖. ‖ Α (\ displaystyle \ |. \ | _ (\ آلفا))و ‖. ‖ Β (\ displaystyle \ |. \ | _ (\ بتا))و برای هر ماتریسی A ∈ K m × n (\ displaystyle A \ در K ^ (m \ ضربدر n))نابرابری مضاعف درست است.

هنجار ماتریسما عدد واقعی اختصاص داده شده به این ماتریس را فراخوانی می کنیم || A || به طوری که به عنوان یک عدد واقعی، از فضای n بعدی به هر ماتریس اختصاص داده می شود و 4 اصل را برآورده می کند:

1. || A || ³0 و || A || = 0 فقط اگر A یک ماتریس صفر باشد.

2. || αA || = | α | · || A ||، که در آن R;

3. || A + B || £ || A || + || B ||;

4. || A · ​​B || £ || A || · || B ||. (خاصیت ضربی)

هنجار ماتریس ها را می توان به روش های مختلفی وارد کرد. ماتریس A را می توان به صورت مشاهده کرد n 2 -بردار بعدی

این هنجار هنجار اقلیدسی ماتریس نامیده می شود.

اگر برای هر ماتریس مربع A و هر بردار x که ابعاد آن برابر با ترتیب ماتریس است، نابرابری || Ax || £ || A || · || x ||

سپس هنجار ماتریس A با هنجار بردار مطابقت دارد. توجه داشته باشید که در سمت چپ آخرین شرط هنجار بردار است (Ax یک بردار است).

هنجارهای مختلف ماتریس با هنجار برداری داده شده هماهنگ می شوند. بیایید از بین آنها کوچکترین را انتخاب کنیم. این خواهد بود

این هنجار ماتریس تابع یک هنجار برداری معین است. وجود حداکثر در این عبارت از تداوم هنجار ناشی می شود، زیرا همیشه یک بردار x -> || x || = 1 و || Ax || = || A || وجود دارد.

اجازه دهید نشان دهیم که هنجار N (A) تابع هیچ هنجار برداری نیست. هنجارهای ماتریس، با توجه به هنجارهای برداری معرفی شده قبلی، به صورت زیر بیان می شوند:

1. || A || ¥ = | a ij | (هنجار-حداکثر)

2. || A || 1 = | a ij | (مجموع هنجار)

3. || A || 2 =، (هنجار طیفی)

که در آن s 1 بزرگترین مقدار مناسب ماتریس متقارن A ¢ A است که حاصلضرب ماتریس های جابجا شده و اصلی است. T k ماتریس A ¢ A متقارن است، سپس تمام مقادیر ویژه آن واقعی و مثبت هستند. تعداد l -خواص مقدار است و بردار غیرصفر x بردار ویژه ماتریس A است (اگر با رابطه Ax = lx مرتبط باشند). اگر خود ماتریس A متقارن باشد، A ¢ = A، سپس A ¢ A = A 2 و سپس s 1 =، بزرگترین مقدار ویژه مدول ماتریس A کجاست. بنابراین، در این مورد ما = داریم.

مقادیر ویژه ماتریس از هیچ یک از هنجارهای توافق شده آن تجاوز نمی کند. با عادی سازی رابطه ای که مقادیر ویژه را تعریف می کند، به دست می آوریم || λx || = || Ax ||، | λ | · || x || = || Ax || £ || A || · || x || λ | £ || A ||

از آنجایی که || A || 2 پوند || A || e، در جایی که هنجار اقلیدسی به راحتی قابل محاسبه است، در برآوردها، به جای هنجار طیفی، می توان از هنجار اقلیدسی ماتریس استفاده کرد.

30. مشروط بودن سیستم های معادلات. عامل شرایط .

مشروط بودن- تأثیر تصمیم بر داده های اولیه. تبر = ب: برداری ببا تصمیم مطابقت دارد ایکس... بگذار باشد ببر اساس مقدار تغییر خواهد کرد. سپس بردار b +راه حل جدید مطابقت خواهد داشت x + : A (x + ) = b +... از آنجایی که سیستم خطی است، پس تبر + A = b +، سپس آ = ; = ; = ; b = تبر; = سپس؛ *، خطای نسبی اغتشاش راه حل کجاست، - عامل شرطشرط (A) (چند برابر خطای حل می تواند افزایش یابد)، آشفتگی نسبی بردار است ب. شرط (A) = ; شرط (A) *ویژگی های ضریب: به انتخاب هنجار ماتریس بستگی دارد. شرایط ( = cond (A); ضرب یک ماتریس در یک عدد بر فاکتور شرط تاثیری ندارد. هر چه ضریب بزرگتر باشد، خطا در داده های اولیه بیشتر بر حل SLAE تأثیر می گذارد. شماره شرط نمی تواند کمتر از 1 باشد.

31. روش جاروب برای حل سیستم های معادلات جبری خطی.

اغلب لازم است سیستم‌هایی را حل کنیم که ماتریس‌های آن‌ها به‌طور ضعیف پر شده‌اند، یعنی. حاوی بسیاری از عناصر غیر صفر است. ماتریس های چنین سیستم هایی معمولاً ساختار خاصی دارند که در میان آنها سیستم هایی با ماتریس های ساختار نواری وجود دارد. در آنها، عناصر غیر صفر در مورب اصلی و در چندین مورب جانبی قرار دارند. برای حل سیستم ها با ماتریس های نواری، روش گاوسی را می توان به روش های کارآمدتر تبدیل کرد. اجازه دهید ساده‌ترین حالت سیستم‌های نواری را در نظر بگیریم، که همانطور که بعداً خواهیم دید، حل مسائل گسسته‌سازی برای مسائل ارزش مرزی برای معادلات دیفرانسیل با روش‌های تفاوت محدود، اجزای محدود و غیره در مجاورت آن کاهش می‌یابد:

سه ماتریس مورب فقط (3n-2) ورودی غیر صفر دارند.

بیایید ضرایب ماتریس را تغییر نام دهیم:

سپس، در نماد کامپوننت، سیستم را می توان به صورت زیر نشان داد:

A i * x i-1 + b i * x i + c i * x i + 1 = d i , i = 1، 2، ...، n; (7)

a 1 = 0، c n = 0. (هشت)

ساختار سیستم فقط یک رابطه بین مجهولات همسایه را فرض می کند:

x i = x i * x i +1 + h i (9)

x i -1 = x i -1 * x i + h i -1 و در (7) جایگزین کنید:

A i (x i-1 * x i + h i-1) + b i * x i + c i * x i + 1 = d i

(a i * x i-1 + b i) x i = –c i * x i + 1 + d i –a i * h i-1

با مقایسه عبارت به دست آمده با نمایش (7)، دریافت می کنیم:

فرمول های (10) روابط عود را برای محاسبه ضرایب رفت و برگشت نشان می دهند. آنها نیاز به تنظیم مقادیر اولیه دارند. مطابق با شرط اول (8) برای i = 1 یک = 0 داریم و از این رو

علاوه بر این، ضرایب جابجایی باقیمانده طبق فرمول (10) برای i = 2،3، ...، n، محاسبه و ذخیره می شود و برای i = n با در نظر گرفتن شرط دوم (8)، xn = 0 به دست می آید. . بنابراین مطابق با فرمول (9) x n = h n.

پس از آن، طبق فرمول (9)، مجهولات x n -1، x n -2، ...، x 1 به ترتیب یافت می شوند. این مرحله از محاسبه را اجرا معکوس می نامند در حالی که محاسبه ضرایب رفت و برگشت را حرکت رو به جلو می نامند.

برای بکارگیری موفقیت آمیز روش جابجایی، لازم است که در فرآیند محاسبات، موقعیت هایی با تقسیم بر صفر وجود نداشته باشد و با ابعاد بزرگ سیستم ها، خطاهای گرد کردن سریع افزایش نیابد. ما اجرا را صدا می زنیم درستاگر مخرج ضرایب جابجایی (10) ناپدید نشود و پایداراگر ½ x من ½<1 при всех i=1,2,…, n. Достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях выполняются, определяются теоремой.

قضیه. بگذارید ضرایب a i و c i معادله (7) برای i = 2,3, ..., n-1 با صفر متفاوت باشد و اجازه دهید

½b i ½> ½a i ½ + ½c i ½ برای i = 1، 2، ...، n. (یازده)

سپس Sweep تعریف شده با فرمول های (10)، (9) صحیح و پایدار است.