بردار عادی صفحه، مختصات بردار عادی صفحه. بردار معمولی خط (بردار نرمال) بردار معمولی خط x 3 مختصاتی دارد

هنگام مطالعه معادلات یک خط مستقیم در یک صفحه و در فضای سه بعدی، بر جبر بردارها تکیه می کنیم. در این حالت بردار جهت دهنده خط مستقیم و بردار عادی خط مستقیم از اهمیت ویژه ای برخوردار است. در این مقاله نگاهی دقیق تر به بردار معمولی یک خط مستقیم خواهیم داشت. بیایید با تعریف بردار معمولی یک خط مستقیم شروع کنیم، مثال ها و تصاویر گرافیکی را بیاوریم. در مرحله بعد، به یافتن مختصات بردار معمولی یک خط مستقیم با استفاده از معادلات شناخته شده یک خط مستقیم می پردازیم، در حالی که راه حل های دقیق برای مسائل را نشان می دهیم.

پیمایش صفحه.

بردار معمولی یک خط مستقیم - تعریف، مثال ها، تصاویر.

برای درک مطالب، باید درک روشنی از یک خط مستقیم، یک صفحه داشته باشید و همچنین تعاریف اولیه مرتبط با بردارها را بدانید. بنابراین، توصیه می کنیم ابتدا حافظه مطالب مقالات، خط مستقیم در صفحه، خط مستقیم در فضا، ایده هواپیما و غیره را تجدید کنید.

اجازه دهید تعریف بردار معمولی یک خط مستقیم را ارائه دهیم.

تعریف.

بردار معمولی یک خط مستقیمهر بردار غیرصفری است که روی هر خط عمود بر آن قرار دارد.

از تعریف بردار معمولی یک خط مستقیم، مشخص است که مجموعه بی نهایتی از بردارهای عادی یک خط مستقیم وجود دارد.

تعریف بردار معمولی خط مستقیم و تعیین بردار جهت خط مستقیم به ما این امکان را می دهد که نتیجه بگیریم که هر بردار نرمال یک خط مستقیم معین بر هر بردار جهت این خط مستقیم عمود است.

اجازه دهید مثالی از بردار معمولی یک خط مستقیم بیاوریم.

اجازه دهید Oxy در هواپیما داده شود. یکی از مجموعه بردارهای عادی خط مختصات Ox بردار مختصات است. در واقع، بردار غیر صفر است و روی خط مختصات Oy قرار دارد که بر محور Ox عمود است. مجموعه تمام بردارهای معمولی خط مختصات Ox در سیستم مختصات مستطیلی Oxy را می توان به صورت مشخص کرد. .

در یک سیستم مختصات مستطیلی Oxyz در فضای سه بعدی، بردار عادی خط مستقیم Oz یک بردار است. بردار مختصات نیز بردار عادی خط مستقیم Oz است. بدیهی است که هر بردار غیر صفر که در هر صفحه ای عمود بر محور اوز قرار گیرد، بردار عادی خط Oz خواهد بود.

مختصات بردار معمولی یک خط مستقیم - یافتن مختصات بردار عادی یک خط مستقیم با استفاده از معادلات شناخته شده این خط مستقیم.

اگر یک خط مستقیم را در یک سیستم مختصات مستطیلی Oxy در نظر بگیریم، آنگاه معادله یک خط مستقیم در یک صفحه از نوعی با آن مطابقت دارد و بردارهای عادی خط مستقیم با مختصات آنها تعیین می شوند (به مقاله مراجعه کنید). این سؤال را ایجاد می کند: "وقتی معادله این خط مستقیم را می دانیم، چگونه مختصات بردار عادی یک خط مستقیم را پیدا کنیم؟"

بیایید پاسخ سؤالی را که برای خطوط مستقیم داده شده در صفحه توسط معادلات انواع مختلف مطرح شده است، پیدا کنیم.

اگر یک خط مستقیم در یک صفحه با معادله کلی یک خط مستقیم از فرم تعیین شود ، سپس ضرایب A و B نشان دهنده مختصات مربوط به بردار نرمال این خط مستقیم است.

مثال.

مختصات برخی از بردارهای معمولی یک خط مستقیم را بیابید .

راه حل.

از آنجایی که خط مستقیم با معادله کلی داده می شود، می توانیم بلافاصله مختصات بردار نرمال آن را بنویسیم - آنها ضرایب متناظر قبل از متغیرهای x و y هستند. یعنی بردار معمولی یک خط مستقیم دارای مختصاتی است.

پاسخ:

یکی از اعداد A یا B در معادله کلی خط می تواند صفر باشد. این نباید شما را گیج کند. بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال.

هر بردار خط معمولی را انتخاب کنید.

راه حل.

یک معادله کلی ناقص خط به ما داده می شود. می توان آن را به عنوان بازنویسی کرد ، از جایی که مختصات بردار عادی این خط مستقیم بلافاصله قابل مشاهده است:.

پاسخ:

معادله یک خط مستقیم در پاره های شکل یا معادله یک خط مستقیم با شیب به راحتی به معادله کلی یک خط مستقیم کاهش می یابد که از آن مختصات بردار عادی این خط مستقیم پیدا می شود.

مثال.

مختصات بردار معمولی یک خط مستقیم را پیدا کنید.

راه حل.

عبور از معادله یک خط مستقیم در قطعات به معادله کلی یک خط مستقیم بسیار آسان است: ... بنابراین بردار عادی این خط دارای مختصاتی است.

پاسخ:

اگر خط مستقیم با معادله متعارف خط مستقیم در صفحه فرم یا معادلات پارامتری خط مستقیم در صفحه فرم تعریف شود. ، به دست آوردن مختصات بردار معمولی کمی دشوارتر است. از این معادلات، مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم بلافاصله قابل مشاهده است -. مختصات بردار معمولی این خط مستقیم را بیابید و اجازه دهید.

اگر معادله متعارف یک خط مستقیم یا معادلات پارامتریک یک خط مستقیم را به معادله کلی بیاورید، می توانید مختصات بردار معمولی یک خط مستقیم را نیز بدست آورید. برای این، تبدیل های زیر انجام می شود:

به عنوان راهی برای ترجیح - این به شما بستگی دارد.

بیایید راه حل هایی از مثال ها را نشان دهیم.

مثال.

چند بردار خط معمولی پیدا کنید .

راه حل.

بردار جهت خط مستقیم یک بردار است. بردار معمولی یک خط مستقیم عمود بر بردار است، سپس برابر با صفر است: ... از این برابری، با دادن n x یک مقدار واقعی غیر صفر دلخواه، n y را پیدا می کنیم. پس فرض کنید n x = 1 باشد بنابراین، بردار معمولی خط اصلی دارای مختصاتی است.

راه حل دوم

از معادله متعارف خط مستقیم به معادله کلی گذر می کنیم:. اکنون مختصات بردار معمولی این خط قابل مشاهده است.

پاسخ:

برای مطالعه معادلات یک خط مستقیم، باید درک خوبی از جبر برداری داشته باشید. مهم است که بردار جهت و بردار معمولی خط مستقیم را پیدا کنید. در این مقاله اگر معادلات خطوط مستقیم مشخص باشد، بردار عادی یک خط مستقیم را با مثال ها و شکل ها در نظر می گیریم و مختصات آن را پیدا می کنیم. یک راه حل دقیق در نظر گرفته خواهد شد.

برای آسان کردن مواد برای جذب، باید مفاهیم خط، صفحه و تعاریف مرتبط با بردارها را درک کنید. ابتدا با مفهوم بردار خط مستقیم آشنا می شویم.

تعریف 1

بردار معمولی خط مستقیمهر بردار غیرصفری که روی هر خطی عمود بر آن قرار گیرد نامیده می شود.

واضح است که مجموعه ای نامتناهی از بردارهای عادی در یک خط مستقیم مشخص وجود دارد. شکل زیر را در نظر بگیرید.

دریافتیم که خط بر یکی از دو خط موازی داده شده عمود است، سپس عمود بودن آن تا خط موازی دوم گسترش می یابد. از این رو، متوجه می شویم که مجموعه بردارهای عادی این خطوط موازی بر هم منطبق هستند. وقتی خطوط مستقیم a و a 1 موازی باشند و n → بردار عادی خط مستقیم a در نظر گرفته شود، برای خط مستقیم a 1 نیز بردار نرمال در نظر گرفته می شود. هنگامی که خط a دارای بردار مستقیم است، بردار t · n → برای هر مقدار پارامتر t غیر صفر است و برای خط a نیز نرمال است.

با استفاده از تعریف بردارهای نرمال و جهت می توان نتیجه گرفت که بردار نرمال عمود بر جهت است. بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

اگر صفحه O x y داده شود، مجموعه بردارها برای O x بردار مختصات j → است. غیر صفر در نظر گرفته می شود و متعلق به محور مختصات O y عمود بر O x است. کل مجموعه بردارهای نرمال با توجه به Ox را می توان به صورت t j →، t ∈ R، t ≠ 0 نوشت.

سیستم مستطیلی O x y z دارای بردار نرمال i → مربوط به خط O z است. بردار j → نیز نرمال در نظر گرفته می شود. از این رو مشاهده می شود که هر بردار غیرصفری که در هر صفحه و عمود بر O z قرار گیرد برای O z نرمال در نظر گرفته می شود.

مختصات بردار معمولی یک خط مستقیم - پیدا کردن مختصات بردار عادی یک خط مستقیم با استفاده از معادلات شناخته شده یک خط مستقیم

وقتی یک سیستم مختصات مستطیلی O x y را در نظر می گیریم، متوجه می شویم که معادله یک خط مستقیم در یک صفحه با آن مطابقت دارد و تعیین بردارهای نرمال با مختصات انجام می شود. اگر معادله یک خط مستقیم مشخص است، اما لازم است مختصات بردار نرمال را پیدا کنیم، باید از معادله A x + B y + C = 0 ضرایب مربوط به مختصات را شناسایی کنیم. بردار عادی یک خط مستقیم داده شده

مثال 1

یک خط مستقیم به شکل 2 x + 7 y - 4 = 0 _ داده شده است، مختصات بردار نرمال را پیدا کنید.

راه حل

با شرط، داریم که خط مستقیم با معادله کلی داده شده است، به این معنی که لازم است ضرایبی را که مختصات بردار نرمال هستند، یادداشت کنیم. این بدان معنی است که مختصات بردار 2، 7 است.

پاسخ: 2 , 7 .

مواقعی وجود دارد که A یا B از معادله برابر با صفر است. بیایید با استفاده از یک مثال راه حل چنین کاری را در نظر بگیریم.

مثال 2

بردار نرمال را برای خط داده شده y - 3 = 0 مشخص کنید.

راه حل

بر اساس فرضیه، معادله کلی خط مستقیم به ما داده می شود، بنابراین آن را به این صورت 0 x + 1 y - 3 = 0 می نویسیم. اکنون می‌توانیم ضرایب را که مختصات بردار معمولی هستند، به وضوح ببینیم. بنابراین، دریافت می کنیم که مختصات بردار نرمال 0، 1 است.

پاسخ: 0، 1.

اگر معادله ای در بخش هایی به شکل xa + yb = 1 یا معادله ای با شیب y = kx + b داده شود، باید به معادله کلی یک خط مستقیم کاهش داد، جایی که می توانید مختصات را پیدا کنید. بردار عادی یک خط مستقیم داده شده

مثال 3

مختصات بردار نرمال را با توجه به معادله خط مستقیم x 1 3 - y = 1 بیابید.

راه حل

ابتدا باید از معادله در بخش های x 1 3 - y = 1 به معادله کلی بروید. سپس دریافت می کنیم که x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0.

از اینجا می توان دریافت که مختصات بردار نرمال دارای مقدار 3، - 1 است.

پاسخ: 3 , - 1 .

اگر خط با معادله متعارف خط در صفحه x - x 1 ax = y - y 1 ay یا با پارامتری x = x 1 + ax · λ y = y 1 + ay · λ تعریف شود، مختصات بدست می آید. دشوارتر می شود. با توجه به این معادلات می توان دریافت که مختصات بردار جهت a → = (a x, a y) خواهد بود. امکان یافتن مختصات بردار نرمال n → به دلیل عمود بودن بردارهای n → و a → امکان پذیر است.

می توان مختصات یک بردار معمولی را با کاهش معادلات متعارف یا پارامتریک یک خط مستقیم به کلی بدست آورد. سپس دریافت می کنیم:

x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = تبر (y - y 1) ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 x = x 1 + تبر λ y = y 1 + ay λ ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 = 0

برای راه حل، می توانید هر روش راحت را انتخاب کنید.

مثال 4

بردار معمولی یک خط معین x - 2 7 = y + 3 - 2 را بیابید.

راه حل

از خط مستقیم x - 2 7 = y + 3 - 2 مشخص است که بردار جهت دارای مختصات a → = (7، - 2) خواهد بود. بردار نرمال n → = (n x, n y) یک خط معین عمود بر → = (7, - 2) است.

بیایید دریابیم که حاصل ضرب نقطه برابر است. برای یافتن حاصل ضرب اسکالر بردارهای a → = (7, - 2) و n → = (n x, n y) a →, n → = 7 n x - 2 n y = 0 می نویسیم.

مقدار n x دلخواه است، شما باید n y را پیدا کنید. اگر n x = 1، از این نتیجه می گیریم که 7 1 - 2 n y = 0 ⇔ n y = 7 2.

بنابراین، بردار عادی دارای مختصات 1، 7 2 است.

راه دوم حل به این واقعیت کاهش می یابد که لازم است به شکل کلی معادله از حالت متعارف برسیم. برای این ما تبدیل می کنیم

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 (y + 3) = - 2 (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

نتیجه حاصل از مختصات بردار نرمال 2، 7 است.

پاسخ: 2، 7یا 1 , 7 2 .

مثال 5

مختصات بردار معمولی خط راست را مشخص کنید x = 1 y = 2 - 3 · λ.

راه حل

ابتدا باید یک تبدیل انجام دهید تا به شکل کلی یک خط مستقیم بروید. اجرا کنیم:

x = 1 y = 2 - 3 λ ⇔ x = 1 + 0 λ y = 2 - 3 λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 (x - 1) = 0 (y - 2) ⇔ - 3 x + 0 y + 3 = 0

از اینجا می توان دریافت که مختصات بردار معمولی - 3، 0 است.

پاسخ: - 3 , 0 .

اجازه دهید روش هایی را برای یافتن مختصات یک بردار معمولی با معادله یک خط مستقیم در فضا که توسط یک سیستم مختصات مستطیلی Ox y z ارائه می شود در نظر بگیریم.

وقتی خطی با استفاده از معادلات صفحات متقاطع A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 و A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 تعریف می شود، بردار نرمال صفحه به A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 و A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 اشاره دارد، سپس بردارها را به شکل n 1 → = می گیریم. (A 1, B 1, C 1) و n 2 → = (A 2, B 2, C 2).

وقتی خط با استفاده از معادله متعارف فضا تعریف می شود که به شکل x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az یا پارامتریک است که به شکل x = x 1 + ax λ y = است. y 1 + ay λ z = z 1 + az · λ، از این رو ax، ay و az مختصات بردار جهت خط مستقیم داده شده در نظر گرفته می شوند. هر بردار غیر صفر می تواند برای یک خط مستقیم معین نرمال باشد و بر بردار a → = (a x, a y, a z) عمود باشد. بدین ترتیب مختصات نرمال با معادلات پارامتری و متعارف با استفاده از مختصات بردار عمود بر بردار معین a → = (a x, a y, a z) به دست می‌آید.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

بردار معمولی

سطح صاف با دو حالت عادی

در هندسه دیفرانسیل، طبیعییک خط مستقیم متعامد (عمود) به یک خط مماس بر یک منحنی خاص یا یک صفحه مماس بر یک سطح خاص است. همچنین در مورد جهت عادی.

بردار معمولیبه یک سطح در یک نقطه معین، بردار واحد اعمال شده به یک نقطه معین و موازی با جهت عادی است. برای هر نقطه روی یک سطح صاف، می توانید دو بردار معمولی را که در جهت متفاوت هستند، مشخص کنید. اگر بتوان یک میدان پیوسته از بردارهای نرمال را روی یک سطح مشخص کرد، آنگاه گفته می شود که این میدان تعریف می کند گرایشسطح (یعنی یکی از اضلاع را برجسته می کند). اگر این کار انجام نشد، سطح نامیده می شود بی جهت.

بنیاد ویکی مدیا 2010.

ببینید «بردار عادی» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

بردار معمولی- normalės vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. وکتور عادی vok. Normalenvektor, m rus. بردار معمولی، m pranc. vecteur de la normale, m; vecteur normal, m ... Fizikos terminų žodynas

این مقاله یا بخش نیاز به بازبینی دارد. لطفاً مقاله را مطابق با قوانین مقاله نویسی بهبود ببخشید. بردار داربوکس بردار جهت محور چرخش لحظه ای است که سه ضلعی منحنی L حول آن می چرخد ​​... ... ویکی پدیا

الکترودینامیک رسانه پیوسته الکترودینامیک رسانه پیوسته ... ویکی پدیا

بردار داربوکس بردار هدایت کننده محور لحظه ای چرخش است که وقتی نقطه M به طور یکنواخت در امتداد منحنی L حرکت می کند، سه ضلعی منحنی L حول آن می چرخد. بردار داربو در صفحه یکسو کننده منحنی L قرار دارد و از طریق آن بیان می شود. واحد ... ... ویکی پدیا

گرادیان (از lat. Gradiens، جنس. Case gradientis walking)، برداری که جهت تندترین تغییر مقداری را نشان می دهد، که مقدار آن از یک نقطه در فضا به نقطه دیگر تغییر می کند (به نظریه فیلدز مراجعه کنید). اگر مقدار بیان شود ... ...

بردار جهت d محور لحظه ای چرخش حول ازدحام همراه با سه ضلعی منحنی L با حرکت یکنواخت نقطه M در امتداد منحنی L. D. c می چرخد. در صفحه یکسو کننده منحنی L قرار دارد و از طریق بردارهای واحد نرمال اصلی بیان می شود. دایره المعارف ریاضیات

این مقاله یا بخش نیاز به بازبینی دارد. لطفاً مقاله را مطابق با قوانین مقاله نویسی بهبود ببخشید. هایپر تاپ ... ویکی پدیا

Graphics Pipeline یک مجموعه سخت افزاری-نرم افزاری برای تجسم گرافیک سه بعدی است. محتویات 1 عناصر یک صحنه سه بعدی 1.1 سخت افزار 1.2 رابط های برنامه نویسی ... ویکی پدیا

یک رشته ریاضی که در آن ویژگی های عملیات بردارهای فضای اقلیدسی مورد مطالعه قرار می گیرد. در این مورد، مفهوم بردار یک انتزاع ریاضی از مقادیر است که نه تنها با یک مقدار عددی مشخص می شود، بلکه ... ... دایره المعارف بزرگ شوروی

این اصطلاح معانی دیگری دارد، به هواپیما مراجعه کنید. اینجاست که درخواست Flatness هدایت می شود. مقاله جداگانه ای در مورد این موضوع مورد نیاز است ... ویکی پدیا

برای استفاده از روش مختصات باید فرمول ها را به خوبی بشناسید. سه تا از آنها وجود دارد:

در نگاه اول، تهدید کننده به نظر می رسد، اما فقط کمی تمرین و همه چیز عالی خواهد بود.

وظیفه. کسینوس زاویه بین بردارهای a = (4؛ 3؛ 0) و b = (0؛ 12؛ 5) را بیابید.

راه حل. از آنجایی که مختصات بردارها به ما داده شده است، آنها را در فرمول اول جایگزین می کنیم:

وظیفه. برای صفحه ای که از نقاط M = (2; 0; 1)، N = (0; 1; 1) و K = (2; 1; 0) می گذرد، معادله ای بسازید، اگر مشخص باشد که از نقاط عبور نمی کند. خاستگاه.

راه حل. معادله کلی صفحه: Ax + By + Cz + D = 0، اما از آنجایی که صفحه مورد نظر از مبدا مختصات عبور نمی کند - نقطه (0; 0; 0) - D = 1 قرار می دهیم. صفحه از نقاط M، N و K عبور می کند، سپس مختصات این نقاط باید معادله را به تساوی عددی صحیح تبدیل کند.

به جای x، y و z مختصات نقطه M = (2; 0; 1) را جایگزین کنید. ما داریم:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

به طور مشابه، برای نقاط N = (0; 1; 1) و K = (2; 1; 0) معادلات را به دست می آوریم:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

بنابراین، ما سه معادله و سه مجهول داریم. بیایید سیستم معادلات را بسازیم و حل کنیم:

دریافتیم که معادله هواپیما به شکل: - 0.25x - 0.5y - 0.5z + 1 = 0 است.

وظیفه. صفحه با معادله 7x - 2y + 4z + 1 = 0 به دست می آید. مختصات بردار عمود بر صفحه داده شده را بیابید.

راه حل. با استفاده از فرمول سوم، n = (7; - 2; 4) به دست می آوریم - همین!

محاسبه مختصات بردارها

اما اگر هیچ بردار در مشکل وجود نداشته باشد - فقط نقاطی روی خطوط مستقیم وجود دارد، و شما باید زاویه بین این خطوط مستقیم را محاسبه کنید؟ ساده است: با دانستن مختصات نقاط - ابتدا و انتهای بردار - می توانید مختصات خود بردار را محاسبه کنید.

برای یافتن مختصات یک بردار، مختصات ابتدا را از مختصات انتهای آن کم کنید.

این قضیه هم در صفحه و هم در فضا به یک شکل عمل می کند. عبارت "تفریق مختصات" به این معنی است که مختصات x نقطه دیگر از مختصات x یک نقطه کم می شود، سپس با مختصات y و z نیز باید همین کار را کرد. در اینجا چند نمونه آورده شده است:

وظیفه. سه نقطه در فضا وجود دارد که با مختصات آنها داده می شود: A = (1؛ 6؛ 3)، B = (3؛ - 1؛ 7) و C = (- 4؛ 3؛ - 2). مختصات بردارهای AB، AC و BC را بیابید.

بردار AB را در نظر بگیرید: مبدأ آن در نقطه A و انتهای آن در نقطه B است بنابراین برای یافتن مختصات آن باید مختصات نقطه A را از مختصات نقطه B کم کرد:
AB = (3 - 1؛ - 1 - 6؛ 7 - 3) = (2؛ - 7؛ 4).

به طور مشابه، ابتدای بردار AC همچنان همان نقطه A است، اما انتهای آن نقطه C است. بنابراین، داریم:
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

در نهایت، برای یافتن مختصات بردار BC، باید مختصات نقطه B را از مختصات نقطه C کم کنید:
قبل از میلاد = (- 4 - 3؛ 3 - (- 1؛ - 2 - 7) = (- 7؛ 4؛ - 9).

پاسخ: AB = (2; - 7; 4); AC = (- 5; - 3; - 5); قبل از میلاد = (- 7; 4; - 9)

به محاسبه مختصات آخرین بردار BC توجه کنید: بسیاری از افراد هنگام کار با اعداد منفی اشتباه می کنند. این به متغیر y مربوط می شود: نقطه B دارای y = - 1 و نقطه C y = 3 است. ما دقیقاً 3 - (- 1) = 4، و نه 3 - 1، همانطور که بسیاری معتقدند، دریافت می کنیم. چنین اشتباهات احمقانه ای را مرتکب نشوید!

محاسبه بردارهای جهت برای خطوط مستقیم

اگر مسئله C2 را با دقت بخوانید، از اینکه هیچ بردار در آنجا وجود ندارد، شگفت زده خواهید شد. فقط خطوط مستقیم و هواپیما وجود دارد.

بیایید با خطوط مستقیم شروع کنیم. همه چیز در اینجا ساده است: در هر خط مستقیم حداقل دو نقطه متفاوت وجود دارد و برعکس، هر دو نقطه متفاوت یک خط مستقیم را مشخص می کنند ...

آیا کسی متوجه می شود که در پاراگراف قبل چه نوشته شده است؟ من خودم آن را متوجه نشدم، بنابراین به روشی ساده تر توضیح می دهم: در مسئله C2، خطوط مستقیم همیشه با یک جفت نقطه ارائه می شوند. اگر یک سیستم مختصات معرفی کنیم و یک بردار با ابتدا و انتها در این نقاط در نظر بگیریم، به اصطلاح بردار جهت را برای یک خط مستقیم بدست می آوریم:

چرا این وکتور مورد نیاز است؟ نکته این است که زاویه بین دو خط مستقیم، زاویه بین بردارهای جهت آنها است. بنابراین، ما از خطوط مستقیم نامفهوم به بردارهای خاصی گذر می کنیم که مختصات آنها به راحتی محاسبه می شود. چقدر آسان است؟ به نمونه ها دقت کنید:

وظیفه. در مکعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 خطوط AC و BD 1 رسم شده است. مختصات بردارهای جهت این خطوط را بیابید.

از آنجایی که طول لبه‌های مکعب در شرط مشخص نشده است، ما AB = 1 را تنظیم می‌کنیم. یک سیستم مختصات با مبدا در نقطه A و محورهای x، y، z در امتداد خطوط AB، AD و AA 1 معرفی می‌کنیم. به ترتیب. قطعه واحد برابر با AB = 1 است.

حالا مختصات بردار جهت خط AC را پیدا می کنیم. ما به دو نقطه نیاز داریم: A = (0; 0; 0) و C = (1; 1; 0). از اینجا مختصات بردار AC = (1 - 0؛ 1 - 0؛ 0 - 0) = (1؛ 1؛ 0) را بدست می آوریم - این بردار جهت است.

حالا بیایید به خط مستقیم BD 1 بپردازیم. همچنین دارای دو نقطه است: B = (1; 0; 0) و D 1 = (0; 1; 1). ما بردار جهت BD 1 = (0 - 1؛ 1 - 0؛ 1 - 0) = (- 1؛ 1؛ 1) را دریافت می کنیم.

پاسخ: AC = (1; 1; 0)؛ BD 1 = (- 1; 1; 1)

وظیفه. در یک منشور مثلثی منظم ABCA 1 B 1 C 1 که تمام لبه های آن برابر با 1 است، خطوط AB 1 و AC 1 رسم می شوند. مختصات بردارهای جهت این خطوط را بیابید.

اجازه دهید یک سیستم مختصات را معرفی کنیم: مبدأ در نقطه A است، محور x منطبق بر AB، محور z منطبق بر AA 1، محور y صفحه OXY را با محور x تشکیل می دهد که منطبق با ABC است. سطح.

ابتدا به خط مستقیم AB 1 می پردازیم. همه چیز در اینجا ساده است: ما نقاط A = (0؛ 0؛ 0) و B 1 = (1؛ 0؛ 1) داریم. بردار جهت AB 1 = (1 - 0؛ 0 - 0؛ 1 - 0) = (1؛ 0؛ 1) را دریافت می کنیم.

اکنون بردار جهت AC 1 را پیدا خواهیم کرد. همه یکسان - تنها تفاوت این است که نقطه C 1 دارای مختصات غیر منطقی است. بنابراین، A = (0؛ 0؛ 0)، بنابراین داریم:

پاسخ: AB 1 = (1; 0; 1);

یک نکته کوچک اما بسیار مهم در مورد آخرین مثال. اگر مبدأ بردار با مبدا منطبق باشد، محاسبات بسیار ساده می شود: مختصات بردار به سادگی با مختصات پایان برابر است. متأسفانه، این فقط برای بردارها صادق است. به عنوان مثال، هنگام کار با هواپیما، وجود مبدا روی آنها فقط محاسبات را پیچیده می کند.

محاسبه بردارهای عادی برای هواپیماها

بردارهای معمولی بردارهایی نیستند که خوب عمل کنند یا انجام دهند. طبق تعریف، یک بردار معمولی (نرمال) برای یک صفحه، بردار عمود بر آن صفحه است.

به عبارت دیگر، یک نرمال بردار عمود بر هر بردار در یک صفحه معین است. مطمئناً شما با چنین تعریفی روبرو شده اید - با این حال، به جای بردارها، ما در مورد خطوط مستقیم صحبت می کردیم. با این حال، درست بالاتر از آن نشان داده شد که در مسئله C2 می توانید با هر شی مناسب - حتی یک خط مستقیم، حتی یک بردار - کار کنید.

اجازه دهید یک بار دیگر به شما یادآوری کنم که هر صفحه ای در فضا با معادله Ax + By + Cz + D = 0 تعریف می شود که A، B، C و D برخی از ضرایب هستند. بدون از دست دادن کلیت راه حل، اگر صفحه از مبدأ عبور نمی کند، می توانیم D = 1 یا در صورت عبور D = 0 فرض کنیم. در هر صورت، مختصات بردار نرمال به این صفحه n = (A; B; C) است.

بنابراین، هواپیما همچنین می تواند با موفقیت با یک بردار جایگزین شود - همان عادی. هر صفحه ای در فضا با سه نقطه تعریف می شود. چگونگی پیدا کردن معادله هواپیما (و از این رو نرمال ها) را قبلاً در ابتدای مقاله مورد بحث قرار داده ایم. با این حال، این فرآیند برای بسیاری مشکلات ایجاد می کند، بنابراین من چند مثال دیگر می زنم:

وظیفه. بخش A 1 BC 1 در مکعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ترسیم شده است. اگر مبدا در نقطه A باشد و محورهای x، y و z به ترتیب با یال های AB، AD و AA 1 منطبق باشند، بردار نرمال صفحه این بخش را بیابید.

از آنجایی که هواپیما از مبدا عبور نمی کند، معادله آن به این صورت است: Ax + By + Cz + 1 = 0، یعنی. ضریب D = 1. از آنجایی که این صفحه از نقاط A 1، B و C 1 می گذرد، مختصات این نقاط، معادله صفحه را به تساوی عددی صحیح تبدیل می کند.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

به طور مشابه، برای نقاط B = (1؛ 0؛ 0) و C 1 = (1؛ 1؛ 1) معادلات را به دست می آوریم:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

اما ما قبلاً ضرایب A = - 1 و C = - 1 را می دانیم، بنابراین باید ضریب B را پیدا کنیم:
B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

معادله صفحه را به دست می آوریم: - A + B - C + 1 = 0، بنابراین، مختصات بردار نرمال برابر است با n = (- 1؛ 1؛ - 1).

وظیفه. بخش AA 1 C 1 C در مکعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 C رسم شده است. اگر مبدأ در نقطه A باشد و محورهای x، y و z منطبق بر صفحه این بخش باشند، بردار نرمال را پیدا کنید. لبه های AB، AD و AA 1 به ترتیب.

در این حالت، صفحه از مبدأ عبور می کند، بنابراین ضریب D = 0، و معادله صفحه به این صورت است: Ax + By + Cz = 0. از آنجایی که صفحه از نقاط A1 و C می گذرد، مختصات این نقاط معادله صفحه را به برابری عددی صحیح تبدیل کنید.

به جای x، y و z مختصات نقطه A 1 = (0; 0; 1) را جایگزین کنید. ما داریم:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

به طور مشابه، برای نقطه C = (1; 1; 0) معادله را بدست می آوریم:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

ما B = 1 را قرار می دهیم. سپس A = - B = - 1، و معادله کل صفحه به شکل زیر است: - A + B = 0، بنابراین، مختصات بردار نرمال برابر است با n = (- 1; 1؛ 0).

به طور کلی، در مسائل فوق باید یک سیستم معادلات ایجاد کرد و آن را حل کرد. سه معادله و سه متغیر وجود خواهد داشت، اما در حالت دوم یکی از آنها آزاد خواهد بود، یعنی. مقادیر دلخواه را بگیرید به همین دلیل است که ما حق داریم B = 1 - بدون لطمه به کلیت راه حل و درستی پاسخ قرار دهیم.

اغلب در مسئله C2 باید با نقاطی کار کرد که بخش را به نصف تقسیم می کنند. مختصات چنین نقاطی به راحتی محاسبه می شود اگر مختصات انتهای قطعه مشخص باشد.

بنابراین، اجازه دهید بخش با انتهای آن تعریف شود - نقاط A = (x a; y a; z a) و B = (x b; y b; z b). سپس مختصات نقطه وسط قطعه - ما آن را با نقطه H نشان می دهیم - می توان با فرمول پیدا کرد:

به عبارت دیگر، مختصات نقطه میانی یک پاره، میانگین حسابی مختصات انتهای آن است.

وظیفه. مکعب واحد ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 در سیستم مختصات قرار می گیرد به طوری که محورهای x، y و z به ترتیب در امتداد لبه های AB، AD و AA 1 هدایت می شوند و مبدأ با نقطه A منطبق است. نقطه K نقطه وسط لبه A 1 B 1 است. مختصات این نقطه را بیابید.

از آنجایی که نقطه K نقطه وسط قطعه A 1 B 1 است، مختصات آن برابر است با میانگین حسابی مختصات انتهایی. بیایید مختصات انتهای آن را بنویسیم: A 1 = (0; 0; 1) و B 1 = (1; 0; 1). حالا مختصات نقطه K را پیدا می کنیم:

وظیفه. مکعب واحد ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 در سیستم مختصات قرار می گیرد به طوری که محورهای x، y و z به ترتیب در امتداد لبه های AB، AD و AA 1 هدایت می شوند و مبدأ با نقطه A منطبق است. مختصات نقطه L که در آن قطرهای مربع A 1 B 1 C 1 D 1 را قطع می کنند.

از درس پلان سنجی مشخص می شود که نقطه تلاقی قطرهای یک مربع از تمام رئوس آن فاصله دارد. به طور خاص، A 1 L = C 1 L، i.e. نقطه L نقطه وسط قطعه A 1 C 1 است. اما A 1 = (0; 0; 1)، C 1 = (1; 1; 1)، بنابراین داریم:

پاسخ: L = (0.5; 0.5; 1)

بردار عادی صفحه برداری است که بر یک صفحه معین عمود باشد. بدیهی است که هر صفحه ای دارای بی نهایت بردارهای عادی است. اما یکی برای ما برای حل مشکلات کافی خواهد بود.

اگر هواپیما با معادله کلی داده شود ، سپس بردار بردار نرمال صفحه داده شده است... فقط ظالمانه تنها کاری که باید انجام دهید این است که ضرایب را از معادله صفحه "حذف" کنید.

سه صفحه در انتظار موعود هستند، پس بیایید به مثال شماره 1 برگردیم و آن را بررسی کنیم. به شما یادآوری می کنم که در آنجا باید معادله هواپیما را با استفاده از یک نقطه و دو بردار ساخته می شد. در نتیجه حل، معادله را به دست آوردیم. بررسی می کنیم:

ابتدا مختصات نقطه را در معادله به دست آمده جایگزین می کنیم:

برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که نقطه واقعاً در این صفحه نهفته است.

در مرحله دوم، بردار نرمال را از معادله صفحه حذف می کنیم. از آنجایی که بردارها موازی با صفحه هستند و بردار عمود بر صفحه است، حقایق زیر باید رخ دهد: ... بررسی عمود بردارها آسان است محصول نقطه ای:

نتیجه گیری: معادله هواپیما به درستی پیدا شد.

در حین راستی‌آزمایی، من در واقع عبارت تئوری زیر را نقل کردم: بردار موازی با هواپیما اگر و تنها اگر .

بیایید یک مشکل مهم را که مربوط به درس است حل کنیم:

مثال 5

واحد بردار نرمال هواپیما را پیدا کنید .

راه حل: بردار واحد برداری است که طول آن یک باشد. اجازه دهید این بردار را با علامت گذاری کنیم. اساساً منظره به این صورت است:

کاملاً واضح است که بردارها خطی هستند.

ابتدا بردار نرمال را از معادله صفحه حذف می کنیم.

چگونه بردار واحد را پیدا کنم؟ برای یافتن بردار واحد ، لازم است هرمختصات برداری تقسیم بر طول بردار .

بیایید بردار معمولی را به شکل بازنویسی کنیم و طول آن را پیدا کنیم:

با توجه به مطالب فوق:

پاسخ:

تأیید: چیزی است که ما می خواستیم تأیید کنیم.

خوانندگانی که پاراگراف آخر درس را به دقت مطالعه کرده اند حاصل ضرب نقطه ای بردارهااحتمالا متوجه شده است مختصات بردار واحد دقیقاً جهت کسینوس بردار هستند :

بیایید از مسئله تحلیل شده دور شویم: وقتی یک بردار غیر صفر دلخواه به شما داده می شود، و طبق شرط لازم است کسینوس های جهت آن را پیدا کند (آخرین وظایف درس حاصل ضرب نقطه ای بردارها) سپس در واقع یک بردار واحد هم خط با بردار داده شده پیدا می کنید.

در واقع دو کار در یک بطری.

نیاز به یافتن بردار نرمال واحد در برخی مسائل تحلیل ریاضی مطرح می شود.

ما متوجه شدیم که چگونه بردار معمولی را ماهیگیری کنیم، اکنون به سوال مخالف پاسخ خواهیم داد.