एक मैट्रिक्स का व्युत्क्रम एक मैट्रिक्स है। उलटा मैट्रिक्स ढूँढना

मैट्रिक्स $A^(-1)$ को वर्ग मैट्रिक्स $A$ का व्युत्क्रम कहा जाता है यदि $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, जहां $E $ पहचान मैट्रिक्स है, जिसका क्रम मैट्रिक्स $A$ के क्रम के बराबर है।

एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसका निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है। तदनुसार, एक पतित मैट्रिक्स वह है जिसका निर्धारक शून्य के बराबर है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स $A^(-1)$ मौजूद है यदि और केवल अगर मैट्रिक्स $A$ गैर-एकवचन है। यदि व्युत्क्रम मैट्रिक्स $A^(-1)$ मौजूद है, तो यह अद्वितीय है।

मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को खोजने के कई तरीके हैं, और हम उनमें से दो को देखेंगे। यह पृष्ठ एडजॉइंट मैट्रिक्स पद्धति पर चर्चा करेगा, जिसे अधिकांश उच्च गणित पाठ्यक्रमों में मानक माना जाता है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स (प्राथमिक परिवर्तनों की विधि) को खोजने का दूसरा तरीका, जिसमें गॉस विधि या गॉस-जॉर्डन पद्धति का उपयोग शामिल है, दूसरे भाग में माना जाता है।

संयुक्त (संघ) मैट्रिक्स विधि

मैट्रिक्स $A_(n\times n)$ दिया जाए। उलटा मैट्रिक्स $A^(-1)$ खोजने के लिए, तीन चरणों की आवश्यकता है:

1. मैट्रिक्स $A$ के सारणिक का पता लगाएं और सुनिश्चित करें कि $\Delta A\neq 0$, यानी। कि मैट्रिक्स ए नॉनडिजेनरेट है।
2. मैट्रिक्स $A$ के प्रत्येक तत्व के बीजगणितीय पूरक $A_(ij)$ लिखें और मैट्रिक्स $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ लिखें। बीजीय पूरक।
3. सूत्र $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ को ध्यान में रखते हुए उलटा मैट्रिक्स लिखें।

मैट्रिक्स $(A^(*))^T$ को अक्सर $A$ के आसन्न (आपसी, संबद्ध) मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है।

यदि निर्णय मैन्युअल रूप से किया जाता है, तो पहली विधि केवल अपेक्षाकृत छोटे आदेशों के मैट्रिसेस के लिए अच्छी होती है: दूसरा (), तीसरा (), चौथा ()। एक उच्च क्रम मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए, अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, गॉस विधि, जिसकी चर्चा दूसरे भाग में की गई है।

उदाहरण 1

मैट्रिक्स के विपरीत मैट्रिक्स खोजें $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 और 0 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $।

चूंकि चौथे कॉलम के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो $\Delta A=0$ (यानी मैट्रिक्स $A$ पतित है)। चूंकि $\Delta A=0$, $A$ के विपरीत कोई मैट्रिक्स नहीं है।

उत्तर: मैट्रिक्स $A^(-1)$ मौजूद नहीं है।

उदाहरण #2

मैट्रिक्स $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ मैट्रिक्स के विपरीत मैट्रिक्स खोजें। एक चेक चलाएँ।

हम आसन्न मैट्रिक्स विधि का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, आइए दिए गए मैट्रिक्स $A$ के निर्धारक को खोजें:

$$ \डेल्टा ए=\बाएं| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

चूंकि $\Delta A \neq 0$, तो उलटा मैट्रिक्स मौजूद है, इसलिए हम समाधान जारी रखते हैं। बीजीय पूरक ढूँढना

\begin(गठबंधन) और A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(संरेखित)

बीजगणितीय पूरक का एक मैट्रिक्स लिखें: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$।

परिणामी मैट्रिक्स को स्थानांतरित करें: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (परिणामस्वरूप मैट्रिक्स को अक्सर मैट्रिक्स $A$ के लिए आसन्न या संघ मैट्रिक्स कहा जाता है)। सूत्र $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\बाएं(\शुरू(सरणी) (सीसी) -8/103 और 7/103\\ 9/103 और 5/103 \end(सरणी)\दाएं) $$

तो उलटा मैट्रिक्स पाया जाता है: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 और 5/103 \end(array) \ दाएँ) $। परिणाम की सच्चाई की जांच करने के लिए, समानता में से एक की सच्चाई की जांच करने के लिए पर्याप्त है: $A^(-1)\cdot A=E$ या $A\cdot A^(-1)=E$। आइए समानता $A^(-1)\cdot A=E$ की जांच करें। भिन्नों के साथ कम काम करने के लिए, हम मैट्रिक्स $A^(-1)$ को $\left(\begin(array) (cc) -8/103 और 7/103\\ 9/103 के रूप में प्रतिस्थापित नहीं करेंगे। & 5/103 \ अंत (सरणी)\दाएं)$ लेकिन $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ के रूप में अंत (सरणी)\दाएं)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( सरणी) \ दाएँ) \ cdot \ बाएँ (\ start (सरणी) (cc) -5 और 7 \\ 9 और 8 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) = - \ frac (1) (103) \ cdot \ बाएँ ( \ शुरू (सरणी) (सीसी) -103 और 0 \\ 0 और -103 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) = \ बाएँ (\ start (सरणी) (सीसी) 1 और 0 \\ 0 और 1 \ अंत (सरणी) )\दाएं) =ई $$

उत्तर: $A^(-1)=\left(\ start(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 और 5/103 \end(array)\right)$।

उदाहरण #3

मैट्रिक्स के व्युत्क्रम का पता लगाएं $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$। एक चेक चलाएँ।

आइए मैट्रिक्स $A$ के निर्धारक की गणना करके शुरू करें। तो, मैट्रिक्स $A$ का निर्धारक है:

$$ \डेल्टा ए=\बाएं| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26। $$

चूंकि $\Delta A\neq 0$, तो उलटा मैट्रिक्स मौजूद है, इसलिए हम समाधान जारी रखते हैं। हम दिए गए मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व के बीजीय पूरक पाते हैं:

$$ \begin(गठबंधन) और A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(array)(cc) 9 & 4\\ 3 & 2\end(array)\right| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 &4 \\ 0 & 2\end(array)\right|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 & 9\\ 0 & 3\end(array)\right|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 3 & 2\end(array)\right|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ 0 & 2\end(array)\right|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ 0 & 3\end(array)\right|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\बाएं|\शुरू(सरणी)(सीसी) 7 और 3\\ 9 और 4\अंत (सरणी)\दाएं|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ -4 & 4\end(array)\right|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ -4 & 9\end(array)\right|=37. \end(गठबंधन) $$

हम बीजीय योगों का एक मैट्रिक्स बनाते हैं और इसे स्थानांतरित करते हैं:

$$ ए ^ * = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) 6 और 8 और -12 \\ -5 और 2 और -3 \\ 1 और -16 और 37 \ अंत (सरणी) \ दाएं); \; (ए ^ *) ^ टी = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) 6 और -5 और 1 \\ 8 और 2 और -16 \\ -12 और -3 और 37 \ अंत (सरणी) \ दाएं) . $$

सूत्र $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 और 37\अंत (सरणी) \दाएं)= \बाएं(\शुरू(सरणी) (सीसीसी) 3/13 और -5/26 और 1/26 \\ 4/13 और 1/13 और -8/13 \ \ -6/13 और -3/26 और 37/26 \end(सरणी) \दाएं) $$

तो $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 और -3/26 और 37/26 \end(सरणी) \दाएं)$। परिणाम की सच्चाई की जांच करने के लिए, समानता में से एक की सच्चाई की जांच करने के लिए पर्याप्त है: $A^(-1)\cdot A=E$ या $A\cdot A^(-1)=E$। आइए समानता $A\cdot A^(-1)=E$ की जाँच करें। भिन्नों के साथ कम काम करने के लिए, हम मैट्रिक्स $A^(-1)$ को $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ के रूप में प्रतिस्थापित नहीं करेंगे। \ 4/13 और 1/13 और -8/13 \\ -6/13 और -3/26 और 37/26 \end(array) \right)$, लेकिन $\frac(1)(26)\ के रूप में सीडीओटी \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) 6 और -5 और 1 \\ 8 और 2 और -16 \\ -12 और -3 और 37 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(array)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ अंत (सरणी) \ दाएँ) = \ frac (1) (26) \ cdot \ बाएँ (\ start (सरणी) (ccc) 26 और 0 और 0 \\ 0 और 26 और 0 \\ 0 और 0 और 26 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) = \ बाएँ (\ start (सरणी) (ccc) 1 और 0 और 0 \\ 0 और 1 और 0 \\ 0 और 0 और 1 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) = ई $$

चेक सफलतापूर्वक पारित किया गया था, उलटा मैट्रिक्स $A^(-1)$ सही ढंग से पाया गया था।

उत्तर: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 और -3/26 और 37/26 \end(सरणी) \दाएं)$।

उदाहरण #4

$A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 का मैट्रिक्स उलटा खोजें & -8 और -3 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $।

चौथे क्रम के मैट्रिक्स के लिए, बीजीय योगों का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजना कुछ मुश्किल है। हालाँकि, ऐसे उदाहरण नियंत्रण कार्यों में पाए जाते हैं।

उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए, पहले आपको मैट्रिक्स $A$ के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है। इस स्थिति में ऐसा करने का सबसे अच्छा तरीका है कि सारणिक को एक पंक्ति (स्तंभ) में विस्तारित किया जाए। हम किसी भी पंक्ति या स्तंभ का चयन करते हैं और चयनित पंक्ति या स्तंभ के प्रत्येक तत्व का बीजगणितीय पूरक पाते हैं।

उदाहरण के लिए, पहली पंक्ति के लिए हमें मिलता है:

$$ A_(11)=\बाएं|\शुरू(सरणी)(सीसीसी) 7 और 5 और 2\\ 5 और 3 और 7\\ 8 और -8 और -3 \end(सरणी)\दाएं|=556; \; ए_(12)=-\बाएं|\शुरू(सरणी)(सीसीसी) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(सरणी)\दाएं|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\बाएं|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(array)\right|= -536;\; ए_(14)=-\बाएं|\शुरू(सरणी)(सीसीसी) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(सरणी)\दाएं|=-112. $$

मैट्रिक्स $A$ के निर्धारक की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती है:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14 )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \शुरू (गठबंधन) और A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ और A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(गठबंधन) $$

बीजीय पूरक मैट्रिक्स: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 और -250 और -463 और -96 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $।

संलग्न मैट्रिक्स: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 और -463\\ -112 और 4 और 36 और -96\end(सरणी)\दाएं)$।

उलटा मैट्रिक्स:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 और 87 और 83 और -463 \\ -112 और 4 और 36 और -96 \ अंत (सरणी) \ दाएं) = \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) (सीसीसीसी) 139/25 और -77/100 & -93/100 और 473/100 \\ -3 और 1/2 और 1/2 और -5/2 \\ -134/25 और 87/100 और 83/100 और -463/100 \\ -28/ 25 और 1/25 और 9/25 और -24/25 \end(सरणी) \दाएं) $$

जाँच, यदि वांछित हो, तो पिछले उदाहरणों की तरह ही की जा सकती है।

उत्तर: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 और 87/100 और 83/100 और -463/100 \\ -28/25 और 1/25 और 9/25 और -24/25 \end(सरणी) \दाएं) $.

दूसरे भाग में, व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने का एक और तरीका माना जाएगा, जिसमें गॉस विधि या गॉस-जॉर्डन विधि के परिवर्तनों का उपयोग शामिल है।

हम मैट्रिसेस के साथ क्रियाओं के बारे में बात करना जारी रखते हैं। अर्थात्, इस व्याख्यान के अध्ययन के दौरान, आप सीखेंगे कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स कैसे खोजें। सीखना। भले ही गणित कड़ा हो।

उलटा मैट्रिक्स क्या है? यहां हम पारस्परिक के साथ एक सादृश्य बना सकते हैं: उदाहरण के लिए, आशावादी संख्या 5 और इसके पारस्परिक पर विचार करें। इन संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर है: . मैट्रिक्स के साथ भी ऐसा ही है! मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम है - पहचान मैट्रिक्स, जो संख्यात्मक इकाई का मैट्रिक्स एनालॉग है। हालाँकि, सबसे पहले, हम एक महत्वपूर्ण व्यावहारिक मुद्दे को हल करेंगे, अर्थात्, हम सीखेंगे कि यह बहुत ही उलटा मैट्रिक्स कैसे खोजा जाए।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए आपको क्या जानने और सक्षम होने की आवश्यकता है? आपको निर्णय लेने में सक्षम होना चाहिए निर्धारकों. आपको समझना चाहिए कि क्या है आव्यूहऔर उनके साथ कुछ कार्य करने में सक्षम हो।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए दो मुख्य विधियाँ हैं:
का उपयोग करके बीजीय जोड़तथा प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करना.

आज हम पहले, आसान तरीके का अध्ययन करेंगे।

आइए सबसे भयानक और समझ से बाहर शुरू करें। विचार करना वर्गआव्यूह । व्युत्क्रम मैट्रिक्स को निम्न सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है::

मैट्रिक्स का निर्धारक कहाँ है, मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजीय पूरक का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की अवधारणा केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद है, मैट्रिसेस "दो बटा दो", "तीन बटा तीन", आदि।

नोटेशन: जैसा कि आप शायद पहले ही देख चुके हैं, मैट्रिक्स का व्युत्क्रम एक सुपरस्क्रिप्ट द्वारा दर्शाया गया है

आइए सबसे सरल मामले से शुरू करें - एक दो-दो मैट्रिक्स। सबसे अधिक बार, निश्चित रूप से, "तीन से तीन" की आवश्यकता होती है, लेकिन, फिर भी, मैं समाधान के सामान्य सिद्धांत को सीखने के लिए एक सरल कार्य का अध्ययन करने की दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं।

उदाहरण:

मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए

हमने निर्णय किया। क्रियाओं का क्रम आसानी से बिंदुओं में विघटित हो जाता है।

1) सबसे पहले हम मैट्रिक्स के सारणिक का पता लगाते हैं.

यदि इस क्रिया की समझ अच्छी नहीं है, तो सामग्री पढ़ें निर्धारक की गणना कैसे करें?

महत्वपूर्ण!यदि मैट्रिक्स का सारणिक है शून्य- उलटा मैट्रिक्स मौजूद नहीं.

विचाराधीन उदाहरण में, जैसा कि यह निकला, जिसका अर्थ है कि सब कुछ क्रम में है।

2) अवयस्कों का आव्यूह ज्ञात कीजिए.

हमारी समस्या का समाधान करने के लिए यह जानना आवश्यक नहीं है कि नाबालिग क्या है, हालांकि, लेख को पढ़ने की सलाह दी जाती है निर्धारक की गणना कैसे करें.

नाबालिगों के मैट्रिक्स में मैट्रिक्स के समान आयाम होते हैं, यानी इस मामले में।
मामला छोटा है, तारांकन के बजाय चार नंबर ढूंढना और उन्हें लगाना बाकी है।

हमारे मैट्रिक्स पर वापस जाएं
आइए पहले ऊपरी बाएँ तत्व को देखें:

इसे कैसे खोजें नाबालिग?
और यह इस तरह किया जाता है: मानसिक रूप से उस पंक्ति और स्तंभ को पार करें जिसमें यह तत्व स्थित है:

शेष संख्या है दिए गए तत्व का अवयस्क, जो हम अपने अवयस्कों के मैट्रिक्स में लिखते हैं:

निम्नलिखित मैट्रिक्स तत्व पर विचार करें:

मानसिक रूप से उस पंक्ति और स्तंभ को काट दें जिसमें यह तत्व स्थित है:

इस तत्व का माइनर क्या रहता है, जिसे हम अपने मैट्रिक्स में लिखते हैं:

इसी तरह, हम दूसरी पंक्ति के तत्वों पर विचार करते हैं और उनके अवयव पाते हैं:


तैयार।

यह आसान है। नाबालिगों के मैट्रिक्स में, आपको चाहिए संकेत बदलेंदो नंबरों के लिए:

ये वो नंबर हैं जिनकी मैंने परिक्रमा की है!

मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजीय पूरक का मैट्रिक्स है।

और बस कुछ…

4) बीजीय योगों का स्थानान्तरित आव्यूह ज्ञात कीजिए.

मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजीय पूरक का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स है।

5) उत्तर.

याद रखें हमारा फॉर्मूला
सब मिल गया!

तो उलटा मैट्रिक्स है:

उत्तर को वैसे ही छोड़ना सबसे अच्छा है। कोई ज़रुरत नहीं हैआव्यूह के प्रत्येक अवयव को 2 से भाग दें, क्योंकि भिन्नात्मक संख्याएँ प्राप्त होंगी। इस बारीकियों पर उसी लेख में अधिक विस्तार से चर्चा की गई है। मैट्रिसेस के साथ क्रिया.

समाधान की जांच कैसे करें?

मैट्रिक्स गुणन या तो किया जाना चाहिए

इंतिहान:

पहले ही उल्लेख किया पहचान मैट्रिक्सइकाइयों के साथ एक मैट्रिक्स है मुख्य विकर्णऔर शून्य कहीं और।

इस प्रकार, उलटा मैट्रिक्स सही ढंग से पाया जाता है।

यदि आप कोई क्रिया करते हैं, तो परिणाम भी एक पहचान मैट्रिक्स होगा। यह उन कुछ मामलों में से एक है जहां मैट्रिक्स गुणन क्रमीय है, अधिक जानकारी लेख में मिल सकती है मैट्रिसेस पर संचालन के गुण। मैट्रिक्स अभिव्यक्ति. यह भी ध्यान दें कि चेक के दौरान, स्थिरांक (अंश) को आगे लाया जाता है और बहुत अंत में संसाधित किया जाता है - मैट्रिक्स गुणन के बाद। यह एक मानक टेक है।

आइए व्यवहार में एक अधिक सामान्य मामले की ओर बढ़ते हैं - थ्री-बाय-थ्री मैट्रिक्स:

उदाहरण:

मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए

एल्गोरिथ्म बिल्कुल दो-दो-दो मामले के समान है।

हम सूत्र द्वारा उलटा मैट्रिक्स पाते हैं: मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजीय पूरक के ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स कहां है।

1) मैट्रिक्स निर्धारक खोजें.

यहाँ निर्धारक प्रकट होता है पहली पंक्ति पर.

इसके अलावा, यह मत भूलो, जिसका अर्थ है कि सब कुछ ठीक है - उलटा मैट्रिक्स मौजूद है.

2) अवयस्कों का आव्यूह ज्ञात कीजिए.

नाबालिगों के मैट्रिक्स का आयाम "तीन बटा तीन" है , और हमें नौ नंबर खोजने होंगे।

मैं कुछ नाबालिगों को विस्तार से देखूंगा:

निम्नलिखित मैट्रिक्स तत्व पर विचार करें:

मानसिक रूप से उस पंक्ति और स्तंभ को काट दें जिसमें यह तत्व स्थित है:

शेष चार संख्याएं "दो बटा दो" सारणिक में लिखी गई हैं

यह दो-दो-दो निर्धारक और दिए गए तत्व का अवयस्क है. इसकी गणना करने की आवश्यकता है:


सब कुछ, नाबालिग पाया जाता है, हम इसे अपने नाबालिगों के मैट्रिक्स में लिखते हैं:

जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, गणना करने के लिए नौ दो-दो-दो निर्धारक हैं। प्रक्रिया, बेशक, नीरस है, लेकिन मामला सबसे कठिन नहीं है, यह बदतर हो सकता है।

खैर, समेकित करने के लिए - चित्रों में एक और नाबालिग ढूंढना:

शेष अवयस्कों की गणना स्वयं करने का प्रयास करें।

अंतिम परिणाम:
मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के नाबालिगों का मैट्रिक्स है।

यह तथ्य कि सभी नाबालिग निगेटिव निकले, शुद्ध संयोग है।

3) बीजीय योगों का आव्यूह ज्ञात कीजिए.

नाबालिगों के मैट्रिक्स में, यह आवश्यक है संकेत बदलेंनिम्नलिखित तत्वों के लिए कड़ाई से:

इस मामले में:

"चार बाय फोर" मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने पर विचार नहीं किया जाता है, क्योंकि केवल एक परपीड़क शिक्षक ही ऐसा कार्य दे सकता है (छात्र के लिए एक "चार बाय चार" निर्धारक और 16 "तीन बाय तीन" निर्धारक की गणना करने के लिए) . मेरे अभ्यास में, केवल एक ही ऐसा मामला था, और परीक्षण के ग्राहक ने मेरी पीड़ा के लिए काफी महंगा भुगतान किया =)।

कई पाठ्यपुस्तकों, मैनुअल में, आप उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए थोड़ा अलग दृष्टिकोण पा सकते हैं, लेकिन मैं उपरोक्त समाधान एल्गोरिदम का उपयोग करने की सलाह देता हूं। क्यों? क्योंकि गणना और चिन्हों में भ्रमित होने की संभावना बहुत कम होती है।

यह विषय छात्रों के बीच सबसे ज्यादा नफरत करने वाला है। इससे भी बदतर, शायद, केवल निर्धारक।

चाल यह है कि व्युत्क्रम तत्व की अवधारणा (और मैं अभी केवल मैट्रिक्स के बारे में बात नहीं कर रहा हूं) हमें गुणन के संचालन के लिए संदर्भित करता है। स्कूली पाठ्यक्रम में भी, गुणन को एक जटिल ऑपरेशन माना जाता है, और मैट्रिक्स गुणन आम तौर पर एक अलग विषय होता है, जिसके लिए मेरे पास एक पूरा पैराग्राफ और एक वीडियो पाठ समर्पित होता है।

आज हम मैट्रिक्स गणनाओं के विवरण में नहीं जाएंगे। बस याद रखें: मैट्रिक्स को कैसे निरूपित किया जाता है, उन्हें कैसे गुणा किया जाता है और इससे क्या होता है।

समीक्षा करें: मैट्रिक्स गुणन

सबसे पहले, आइए अंकन पर सहमत हों। एक मैट्रिक्स $A$ आकार का $\left[m\times n \right]$ बिल्कुल $m$ पंक्तियों और $n$ कॉलम वाली संख्याओं की एक तालिका है:

\=\अंडरब्रेस(\बाएं[ \शुरू(मैट्रिक्स) ((ए)_(11)) और ((ए)_(12)) और ... और ((ए)_(1एन)) \\ (( a)_(21)) और ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((ए)_(एम1)) और ((ए)_(एम2)) और ... और ((ए)_(एमएन)) \\\end(मैट्रिक्स) \right])_(एन)\]

स्थानों में पंक्तियों और स्तंभों को गलती से भ्रमित न करने के लिए (मेरा विश्वास करो, परीक्षा में आप एक को ड्यूस के साथ भ्रमित कर सकते हैं - हम वहां कुछ पंक्तियों के बारे में क्या कह सकते हैं), बस चित्र पर एक नज़र डालें:

मैट्रिक्स कोशिकाओं के लिए अनुक्रमणिका का निर्धारण

क्या हो रहा है? यदि हम मानक समन्वय प्रणाली $OXY$ को ऊपरी बाएँ कोने में रखते हैं और अक्षों को निर्देशित करते हैं ताकि वे पूरे मैट्रिक्स को कवर कर सकें, तो इस मैट्रिक्स के प्रत्येक सेल को निर्देशांक $\left(x;y \right) के साथ विशिष्ट रूप से जोड़ा जा सकता है। $ - यह पंक्ति संख्या और स्तंभ संख्या होगी।

निर्देशांक तंत्र ठीक ऊपरी बाएँ कोने में क्यों रखा गया है? हां, क्योंकि वहीं से हम किसी भी ग्रंथ को पढ़ना शुरू करते हैं। याद रखना बहुत आसान है।

क्यों $x$ अक्ष नीचे की ओर इशारा कर रहा है और दाईं ओर नहीं? फिर से, यह सरल है: मानक समन्वय प्रणाली लें ($x$ अक्ष दाईं ओर जाता है, $y$ अक्ष ऊपर जाता है) और इसे घुमाएं ताकि यह मैट्रिक्स को घेर ले। यह 90 डिग्री दक्षिणावर्त घुमाव है - हम इसका परिणाम चित्र में देखते हैं।

सामान्य तौर पर, हमने यह पता लगाया कि मैट्रिक्स तत्वों के सूचकांकों को कैसे निर्धारित किया जाए। अब चलो गुणा से निपटते हैं।

परिभाषा। मैट्रिक्स $A=\left[ m\times n \right]$ और $B=\left[ n\times k \right]$, जब पहले कॉलम की संख्या दूसरे में पंक्तियों की संख्या से मेल खाती है, हैं सुसंगत कहा जाता है।

यह उस क्रम में है। कोई अस्पष्ट हो सकता है और कह सकता है कि मैट्रिक्स $A$ और $B$ एक क्रमबद्ध जोड़ी बनाते हैं $\left(A;B \right)$: यदि वे इस क्रम में सुसंगत हैं, तो यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है कि $B $ और $ ए $, वो। जोड़ी $\बाएं(बी;ए \दाएं)$ भी सुसंगत है।

केवल संगत मेट्रिसेस को गुणा किया जा सकता है।

परिभाषा। सुसंगत मैट्रिक्स का उत्पाद $A=\left[m\times n \right]$ और $B=\left[ n\times k \right]$ नया मैट्रिक्स है $C=\left[ m\times k \right ]$ , जिसके अवयव $((c)_(ij))$ की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

दूसरे शब्दों में: मैट्रिक्स $C=A\cdot B$ के तत्व $((c)_(ij))$ प्राप्त करने के लिए, आपको पहले मैट्रिक्स की $i$-row लेने की आवश्यकता है, $j$ दूसरे मैट्रिक्स का -वां कॉलम, और फिर इस पंक्ति और कॉलम से जोड़े तत्वों में गुणा करें। परिणाम जोड़ें।

हाँ, यह एक कठोर परिभाषा है। इसके तुरंत बाद कई तथ्य सामने आते हैं:

1. मैट्रिक्स गुणन, आम तौर पर बोल रहा है, गैर-कम्यूटेटिव है: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. हालांकि, गुणा सहयोगी है: $\बाएं(ए\cdot बी \दाएं)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. और यहां तक ​​कि वितरण: $\बाएं(ए+बी \दाएं)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. और फिर से वितरण: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$।

गुणन के वितरण को बाएँ और दाएँ गुणक-योग के लिए अलग-अलग वर्णित किया जाना था, क्योंकि गुणन संक्रिया की गैर-कम्यूटेटिविटी थी।

यदि, फिर भी, यह पता चलता है कि $A\cdot B=B\cdot A$, ऐसे मैट्रिक्स को क्रमपरिवर्तनीय कहा जाता है।

उन सभी आव्यूहों में, जिन्हें किसी चीज़ से गुणा किया जाता है, उनमें विशेष गुण होते हैं - वे जो, किसी भी आव्यूह $A$ से गुणा करने पर, फिर से $A$ देते हैं:

परिभाषा। एक मैट्रिक्स $E$ को पहचान कहा जाता है यदि $A\cdot E=A$ या $E\cdot A=A$। एक वर्ग मैट्रिक्स $A$ के मामले में हम लिख सकते हैं:

पहचान मैट्रिक्स मैट्रिक्स समीकरणों को हल करने में लगातार अतिथि है। और सामान्य तौर पर, मैट्रिसेस की दुनिया में लगातार मेहमान। :)

और इस $E$ की वजह से, किसी के पास वह सारा खेल आया जो आगे लिखा जाएगा।

उलटा मैट्रिक्स क्या है

चूंकि मैट्रिक्स गुणन एक बहुत समय लेने वाला ऑपरेशन है (आपको पंक्तियों और स्तंभों का एक गुच्छा गुणा करना होगा), व्युत्क्रम मैट्रिक्स की अवधारणा भी सबसे तुच्छ नहीं है। और इसे कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है।

मुख्य परिभाषा

खैर, सच्चाई जानने का समय आ गया है।

परिभाषा। मैट्रिक्स $B$ को मैट्रिक्स $A$ का व्युत्क्रम कहा जाता है यदि

उलटा मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ द्वारा दर्शाया गया है (डिग्री के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए!), इसलिए परिभाषा को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

ऐसा लगता है कि सब कुछ बेहद सरल और स्पष्ट है। लेकिन ऐसी परिभाषा का विश्लेषण करते समय, कई प्रश्न तुरंत उठते हैं:

1. क्या व्युत्क्रम मैट्रिक्स हमेशा मौजूद होता है? और यदि हमेशा नहीं, तो कैसे निर्धारित करें: यह कब मौजूद है और कब नहीं?
2. और किसने कहा कि ऐसा मैट्रिक्स बिल्कुल एक है? क्या होगा यदि कुछ मूल मैट्रिक्स $A$ के लिए व्युत्क्रमों की पूरी भीड़ हो?
3. ये सभी "रिवर्स" कैसा दिखते हैं? और आप वास्तव में उन्हें कैसे गिनते हैं?

गणना एल्गोरिदम के लिए - हम इस बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे। लेकिन बाकी सवालों के जवाब हम अभी देंगे। आइए हम उन्हें अलग-अलग अभिकथन-लेम्मा के रूप में व्यवस्थित करें।

मूल गुण

आइए शुरू करते हैं कि $((A)^(-1))$ होने के लिए मैट्रिक्स $A$ कैसा दिखना चाहिए। अब हम यह सुनिश्चित करेंगे कि ये दोनों मैट्रिक्स वर्गाकार और समान आकार के हों: $\बाएं[ n\times n \right]$।

लेम्मा 1. एक मैट्रिक्स $A$ और इसके व्युत्क्रम $((A)^(-1))$ को देखते हुए। तब ये दोनों आव्यूह वर्गाकार हैं और इनका क्रम $n$ समान है।

सबूत। सब कुछ सरल है। मैट्रिक्स $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$ चलो। चूंकि उत्पाद $A\cdot ((A)^(-1))=E$ परिभाषा के अनुसार मौजूद है, मैट्रिक्स $A$ और $((A)^(-1))$ उस क्रम में संगत हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं[एम\बार एन \दाएं]\cdot \बाएं[ए\बार बी \दाएं]=\बाएं[एम\बार बी \दाएं] \\ और एन=ए \अंत( संरेखित करें)\]

यह मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिथ्म का प्रत्यक्ष परिणाम है: गुणांक $n$ और $a$ "पारगमन" हैं और समान होना चाहिए।

साथ ही, व्युत्क्रम गुणन को भी परिभाषित किया गया है: $((A)^(-1))\cdot A=E$, इसलिए मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ और $A$ हैं इस क्रम में भी सुसंगत:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं[ए\बार बी \दाएं]\सीडीओटी संरेखित करें)\]

इस प्रकार, व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मान सकते हैं कि $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$। हालांकि, $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ की परिभाषा के अनुसार, इसलिए मैट्रिक्स के आयाम बिल्कुल समान हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं[एम\बार एन \दाएं]=\बाएं[एन\बार एम \दाएं] \\ और एम=एन \अंत (संरेखित)\]

तो यह पता चला है कि सभी तीन मैट्रिक्स - $A$, $((A)^(-1))$ और $E$ - आकार में वर्गाकार हैं $\left[ n\times n \right]$। लेम्मा सिद्ध होता है।

अच्छा, यह पहले से ही अच्छा है। हम देखते हैं कि केवल वर्ग आव्यूह व्युत्क्रमणीय होते हैं। अब आइए सुनिश्चित करें कि उलटा मैट्रिक्स हमेशा समान होता है।

लेम्मा 2. एक मैट्रिक्स $A$ और इसके व्युत्क्रम $((A)^(-1))$ को देखते हुए। तब यह व्युत्क्रम मैट्रिक्स अद्वितीय है।

सबूत। आइए इसके विपरीत से शुरू करें: मैट्रिक्स $A$ में व्युत्क्रम के कम से कम दो उदाहरण हैं - $B$ और $C$। फिर, परिभाषा के अनुसार, निम्नलिखित समानताएँ सत्य हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ए\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

लेम्मा 1 से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी चार मैट्रिक्स $A$, $B$, $C$ और $E$ एक ही क्रम के वर्ग हैं: $\बाएं[ n\times n \right]$। इसलिए, उत्पाद परिभाषित किया गया है:

चूंकि मैट्रिक्स गुणन साहचर्य है (लेकिन कम्यूटेटिव नहीं!), हम लिख सकते हैं:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

हमें एकमात्र संभव विकल्प मिला: व्युत्क्रम मैट्रिक्स की दो प्रतियां समान हैं। लेम्मा सिद्ध होता है।

उपरोक्त तर्क लगभग शब्दशः सभी वास्तविक संख्याओं $b\ne 0$ के लिए व्युत्क्रम तत्व की विशिष्टता के प्रमाण को दोहराता है। केवल महत्वपूर्ण जोड़ मैट्रिसेस के आयाम को ध्यान में रख रहा है।

हालाँकि, हम अभी भी इस बारे में कुछ नहीं जानते हैं कि क्या कोई वर्ग मैट्रिक्स उलटा है। यहां निर्धारक हमारी सहायता के लिए आता है - यह सभी वर्ग मैट्रिक्स के लिए एक प्रमुख विशेषता है।

लेम्मा 3. एक मैट्रिक्स $A$ दिया गया। यदि मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ इसके विपरीत मौजूद है, तो मूल मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य है:

\[\बाएं| ए \दाएं|\ne 0\]

सबूत। हम पहले से ही जानते हैं कि $A$ और $((A)^(-1))$ $\left[ n\times n \right]$ आकार के वर्ग मैट्रिक्स हैं। इसलिए, उनमें से प्रत्येक के लिए निर्धारक की गणना करना संभव है: $\बाएं| ए \दाएं|$ और $\बाएं| ((ए)^(-1)) \right|$। हालांकि, उत्पाद का निर्धारक निर्धारकों के उत्पाद के बराबर है:

\[\बाएं| ए\सीडॉट बी \दाएं|=\बाएं| ए \दाएं|\cdot \बाएं| बी \दाएं|\दायां तीर \बाएं| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\बाएं| ए \दाएं|\cdot \बाएं| ((ए)^(-1)) \right|\]

लेकिन $A\cdot ((A)^(-1))=E$ की परिभाषा के अनुसार, और $E$ का सारणिक हमेशा 1 के बराबर होता है, इसलिए

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ और \बाएं| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\बाएं| ई\दाएं|; \\ और \बाएं| ए \दाएं|\cdot \बाएं| ((ए)^(-1)) \right|=1. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

दो संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर होता है यदि इनमें से प्रत्येक संख्या शून्य से भिन्न हो:

\[\बाएं| ए \राइट|\ने 0;\क्वाड \बाएं| ((ए)^(-1)) \right|\ne 0.\]

तो यह पता चला है कि $\बाएं| ए \right|\ne 0$। लेम्मा सिद्ध होता है।

वास्तव में, यह आवश्यकता काफी तार्किक है। अब हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करेंगे - और यह पूरी तरह से स्पष्ट हो जाएगा कि, सिद्धांत रूप में, शून्य निर्धारक के साथ कोई उलटा मैट्रिक्स क्यों मौजूद नहीं हो सकता है।

लेकिन पहले, आइए एक "सहायक" परिभाषा तैयार करें:

परिभाषा। एक पतित मैट्रिक्स आकार का एक वर्ग मैट्रिक्स है $\बाएं[ n\times n \right]$ जिसका निर्धारक शून्य है।

इस प्रकार, हम यह दावा कर सकते हैं कि कोई भी उलटा मैट्रिक्स नॉनडिजेनरेट है।

उलटा मैट्रिक्स कैसे खोजें

अब हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एक सार्वभौमिक एल्गोरिथ्म पर विचार करेंगे। सामान्य तौर पर, दो आम तौर पर स्वीकृत एल्गोरिदम होते हैं, और हम आज दूसरे पर भी विचार करेंगे।

अब जिस पर विचार किया जाएगा, वह आकार $\बाएं[2\बार 2 \दाएं]$ और - आंशिक रूप से - आकार $\बाएं[ 3\गुना 3 \दाएं]$ आकार के मैट्रिक्स के लिए बहुत कुशल है। लेकिन $\left[4\times 4 \right]$ आकार से शुरू करना बेहतर है कि इसका उपयोग न करें। क्यों - अब आप सब कुछ समझ जाएंगे।

बीजीय जोड़

तैयार कर। अब दर्द होगा। नहीं, चिंता न करें: स्कर्ट में एक सुंदर नर्स, फीता के साथ स्टॉकिंग्स आपके पास नहीं आती हैं और आपको नितंब में इंजेक्शन नहीं देगी। सब कुछ बहुत अधिक नीरस है: बीजीय जोड़ और महामहिम "यूनियन मैट्रिक्स" आपके पास आ रहे हैं।

आइए मुख्य से शुरू करें। मान लें कि $A=\left[ n\times n \right]$ आकार का एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसके तत्वों को $((a)_(ij))$ नाम दिया गया है। फिर, ऐसे प्रत्येक तत्व के लिए, कोई एक बीजीय पूरक परिभाषित कर सकता है:

परिभाषा। बीजगणितीय पूरक $((A)_(ij))$ तत्व $((a)_(ij))$ को $i$-th पंक्ति में और $j$-th कॉलम मैट्रिक्स $A=\बाएं [ n \times n \right]$ फॉर्म का एक निर्माण है

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

जहां $M_(ij)^(*)$ उसी $i$-th पंक्ति और $j$-th कॉलम को हटाकर मूल $A$ से प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक है।

फिर से। निर्देशांक के साथ मैट्रिक्स तत्व के बीजगणितीय पूरक $\left(i;j \right)$ को $((A)_(ij))$ के रूप में दर्शाया जाता है और योजना के अनुसार गणना की जाती है:

1. सबसे पहले, हम मूल मैट्रिक्स से $i$-row और $j$-th कॉलम को हटाते हैं। हमें एक नया वर्ग मैट्रिक्स मिलता है, और हम इसके सारणिक को $M_(ij)^(*)$ के रूप में निरूपित करते हैं।
2. फिर हम इस सारणिक को $((\left(-1 \right))^(i+j))$ से गुणा करते हैं - पहले तो यह व्यंजक मनमोहक लग सकता है, लेकिन वास्तव में हम केवल $ के सामने चिह्न का पता लगाते हैं एम_ (आईजे) ^ (*) $।
3. हम गिनते हैं - हमें एक विशिष्ट संख्या मिलती है। वे। बीजगणितीय जोड़ सिर्फ एक संख्या है, कुछ नया मैट्रिक्स नहीं है, और इसी तरह।

मैट्रिक्स $M_(ij)^(*)$ को ही तत्व $((a)_(ij))$ का पूरक नाबालिग कहा जाता है। और इस अर्थ में, एक बीजीय पूरक की उपरोक्त परिभाषा एक अधिक जटिल परिभाषा का एक विशेष मामला है - जिसे हमने निर्धारक के बारे में पाठ में माना था।

महत्वपूर्ण लेख। दरअसल, "वयस्क" गणित में, बीजीय योगों को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

1. हम वर्ग मैट्रिक्स में $k$ पंक्तियाँ और $k$ कॉलम लेते हैं। उनके चौराहे पर, हमें आकार का एक मैट्रिक्स मिलता है $\left[ k\times k \right]$ - इसके निर्धारक को ऑर्डर $k$ का नाबालिग कहा जाता है और इसे $((M)_(k))$ द्वारा दर्शाया जाता है।
2. फिर हम इन "चयनित" $k$ पंक्तियों और $k$ स्तंभों को पार करते हैं। फिर, हमें एक वर्ग मैट्रिक्स मिलता है - इसके निर्धारक को पूरक नाबालिग कहा जाता है और इसे $M_(k)^(*)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
3. $M_(k)^(*)$ को $((\left(-1 \right))^(t))$ से गुणा करें, जहां $t$ है (अभी ध्यान दें!) सभी चयनित पंक्तियों की संख्या का योग और कॉलम। यह बीजगणितीय जोड़ होगा।

तीसरे चरण पर एक नज़र डालें: वास्तव में $2k$ की शर्तें हैं! एक और बात यह है कि $k=1$ के लिए हमें केवल 2 शब्द मिलते हैं - ये वही $i+j$ होंगे - तत्व $((a)_(ij))$ के "निर्देशांक", जिसके लिए हम हैं एक बीजीय पूरक की तलाश में।

इसलिए आज हम थोड़ी सरलीकृत परिभाषा का उपयोग करते हैं। लेकिन जैसा कि हम बाद में देखेंगे, यह पर्याप्त से अधिक होगा। बहुत अधिक महत्वपूर्ण निम्नलिखित है:

परिभाषा। संघ मैट्रिक्स $S$ से वर्ग मैट्रिक्स $A=\बाएं[ n\times n \right]$ आकार का एक नया मैट्रिक्स है $\बाएं[ n\times n \right]$, जो $A$ से प्राप्त होता है $((a)_(ij))$ को बीजगणितीय पूरक $((A)_(ij))$ द्वारा प्रतिस्थापित करके:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( ए)_(21)) और ((ए)_(22)) और ... और ((ए)_(2एन)) \\ ... और ... और ... और ... \\ ((ए)_(एन1)) और ((ए)_(एन2)) और ... और ((ए)_(एनएन)) \\\end(मैट्रिक्स) \right]\]

इस परिभाषा को साकार करने के क्षण में जो पहला विचार उत्पन्न होता है, वह यह है कि "आपको कुल कितना गिनना है!" आराम करें: आपको गिनना है, लेकिन इतना नहीं। :)

खैर, यह सब तो बहुत अच्छा है, लेकिन यह क्यों जरूरी है? लेकिन क्यों।

मुख्य प्रमेय

चलो थोड़ा पीछे चलते हैं। याद रखें, लेम्मा 3 ने कहा है कि एक उलटा मैट्रिक्स $A$ हमेशा गैर-एकवचन होता है (अर्थात, इसका निर्धारक गैर-शून्य होता है: $\बाएं| ए \दाएं|\ne 0$)।

तो, विलोम भी सत्य है: यदि मैट्रिक्स $A$ पतित नहीं है, तो यह हमेशा उलटा होता है। और एक खोज योजना भी है $((A)^(-1))$। इसकी जांच - पड़ताल करें:

उलटा मैट्रिक्स प्रमेय। एक वर्ग मैट्रिक्स $A=\left[ n\times n \right]$ दिया जाना चाहिए, और इसका निर्धारक गैर-शून्य है: $\बाएं| ए \right|\ne 0$। फिर उलटा मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ मौजूद है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

और अब - सभी समान, लेकिन सुपाठ्य लिखावट में। उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए, आपको चाहिए:

1. सारणिक की गणना करें $\बाएं| A \right|$ और सुनिश्चित करें कि यह गैर-शून्य है।
2. संघ मैट्रिक्स $S$ संकलित करें, अर्थात। 100500 बीजगणितीय योग $((A)_(ij))$ गिनें और उन्हें $((a)_(ij))$ के स्थान पर रखें।
3. इस मैट्रिक्स $S$ को स्थानांतरित करें और फिर इसे किसी संख्या $q=(1)/(\left| A \right|)\;$ से गुणा करें।

और बस! उलटा मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ पाया जाता है। आइए उदाहरण देखें:

\[\बाएं[ \शुरू (मैट्रिक्स) 3 और 1 \\ 5 और 2 \\\अंत (मैट्रिक्स) \दाएं]\]

समाधान। आइए प्रतिवर्तीता की जांच करें। आइए निर्धारक की गणना करें:

\[\बाएं| ए \दाएं|=\बाएं| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

सारणिक शून्य से भिन्न है। तो मैट्रिक्स उलटा है। आइए एक यूनियन मैट्रिक्स बनाएं:

आइए बीजीय योगों की गणना करें:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\दाएं|=2; \\ और ((ए)_(12))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(1+2))\cdot \बाएं| 5\दाएं|=-5; \\ और ((ए)_(21))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(2+1))\cdot \बाएं| 1 \दाएं|=-1; \\ और ((ए)_(22))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(2+2))\cdot \बाएं| 3\दाएं|=3. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

ध्यान दें: निर्धारक |2|, |5|, |1| और |3| आकार के मैट्रिक्स के निर्धारक हैं $\left[ 1\times 1 \right]$, मॉड्यूल नहीं। वे। यदि निर्धारकों में ऋणात्मक संख्याएँ थीं, तो "ऋण" को हटाना आवश्यक नहीं है।

कुल मिलाकर, हमारा संघ मैट्रिक्स इस तरह दिखता है:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\ बाएँ [ \ start (सरणी) (* (35) (r)) 2 और -5 \\ -1 और 3 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ]) ^ (T)) = \ बाएँ [ \ start (सरणी)(*(35)(आर)) 2 और -1 \\ -5 और 3 \\\ अंत (सरणी) \right]\]

ठीक है अब सब खत्म हो गया है। समस्या हल हो गई।

उत्तर। $\बाएं [ \ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) 2 और -1 \\ -5 और 3 \\\ अंत (सरणी) \ दायां] $

एक कार्य। उलटा मैट्रिक्स खोजें:

\[\बाएं[ \शुरू(सरणी)(*(35)(आर)) 1 और -1 और 2 \\ 0 और 2 और -1 \\ 1 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \दाएं] \]

समाधान। फिर से, हम निर्धारक पर विचार करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix) ) \बाएं(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\बाएं (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\बाएं(2+1+0 \दाएं)-\बाएं(4+0+0 \दाएं)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

निर्धारक शून्य से भिन्न होता है - मैट्रिक्स उलटा होता है। लेकिन अब यह सबसे अधिक तीखा होगा: आपको 9 (नौ, धिक्कार है!) बीजगणितीय परिवर्धन के रूप में गिनना होगा। और उनमें से प्रत्येक में $\left[ 2\times 2 \right]$ क्वालीफायर होगा। उड़ गया:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((ए)_(12))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(1+2))\cdot \बाएं| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((ए)_(13))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(1+3))\cdot \बाएं| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((ए)_(33))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(3+3))\cdot \बाएं| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \अंत (मैट्रिक्स)\]

संक्षेप में, संघ मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा:

इसलिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स होगा:

\[((ए)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 और 1 और 2 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ] = \ बाएँ [ \ start (सरणी) (* (35) (r)) -2 और -1 और 3 \\ 1 और 1 और -1 \ \ 2 और 1 और -2 \\\ अंत (सरणी) \दाएं]\]

अच्छा यही सब है। यहाँ उत्तर है।

उत्तर। $\बाएं [\ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) -2 और -1 और 3 \\ 1 और 1 और -1 \\ 2 और 1 और -2 \\\ अंत (सरणी) \ सही ]$

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रत्येक उदाहरण के अंत में, हमने एक जाँच की। इस संबंध में एक महत्वपूर्ण नोट:

जाँच करने में आलस न करें। पाए गए व्युत्क्रम से मूल मैट्रिक्स को गुणा करें - आपको $E$ मिलना चाहिए।

आगे की गणना में त्रुटि की तलाश करने की तुलना में यह जांच करना बहुत आसान और तेज़ है, उदाहरण के लिए, जब आप मैट्रिक्स समीकरण को हल करते हैं।

वैकल्पिक तरीका

जैसा कि मैंने कहा, उलटा मैट्रिक्स प्रमेय आकार के लिए ठीक काम करता है $\left[2\times 2 \right]$ और $\left[3\times 3 \right]$ (बाद के मामले में, यह इतना "सुंदर" नहीं है अब और)। ”), लेकिन बड़े मैट्रिसेस के लिए उदासी शुरू होती है।

लेकिन चिंता न करें: एक वैकल्पिक एल्गोरिथम है जिसका उपयोग $\left[ 10\times 10 \right]$ मैट्रिक्स के लिए भी शांतिपूर्वक उलटा खोजने के लिए किया जा सकता है। लेकिन, जैसा कि अक्सर होता है, इस एल्गोरिथम पर विचार करने के लिए, हमें थोड़ी सैद्धांतिक पृष्ठभूमि की आवश्यकता है।

प्राथमिक परिवर्तन

मैट्रिक्स के विभिन्न परिवर्तनों में, कई विशेष हैं - उन्हें प्राथमिक कहा जाता है। ऐसे तीन परिवर्तन हैं:

1. गुणन। आप $i$-वें पंक्ति (स्तंभ) ले सकते हैं और इसे किसी भी संख्या $k\ne 0$ से गुणा कर सकते हैं;
2. योग। $i$-th पंक्ति (कॉलम) में किसी भी अन्य $j$-th पंक्ति (कॉलम) को किसी भी संख्या $k\ne 0$ से गुणा करें (बेशक, $k=0$ भी संभव है, लेकिन बात क्या है उसमें से? ?हालांकि कुछ भी नहीं बदलेगा)।
3. क्रमपरिवर्तन। $i$-th और $j$-th पंक्तियां (कॉलम) लें और उन्हें स्वैप करें।

इन परिवर्तनों को प्राथमिक क्यों कहा जाता है (बड़े मैट्रिक्स के लिए वे इतने प्राथमिक नहीं दिखते) और उनमें से केवल तीन ही क्यों हैं - ये प्रश्न आज के पाठ के दायरे से बाहर हैं। इसलिए, हम विवरण में नहीं जाएंगे।

एक और बात महत्वपूर्ण है: हमें इन सभी विकृतियों को संबंधित मैट्रिक्स पर करना होगा। जी हां, आपने सही सुना। अब एक और परिभाषा होगी - आज के पाठ में अंतिम।

संलग्न मैट्रिक्स

निश्चित रूप से आपने विद्यालय में योग पद्धति का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल किया है। ठीक है, वहाँ, एक पंक्ति से दूसरी घटाएँ, किसी पंक्ति को किसी संख्या से गुणा करें - बस।

तो: अब सब कुछ वैसा ही होगा, लेकिन पहले से ही "वयस्क तरीके से"। तैयार?

परिभाषा। मान लीजिए मैट्रिक्स $A=\left[ n\times n \right]$ और समान आकार के $n$ के पहचान मैट्रिक्स $E$ दिए गए हैं। फिर संबंधित मैट्रिक्स $\बाएं[ ए\बाएं| ई \ सही। \right]$ एक नया $\left[n\times 2n \right]$ मैट्रिक्स है जो इस तरह दिखता है:

\[\बाएं[ ए\बाएं| ई \ सही। \ दाएँ] = \ बाएँ [ \ start (सरणी) (rrrr | rrrr) ((a)_(11)) और ((a)_(12)) और ... और ((a)_(1n)) और 1 और 0 और ... और 0 \\ ((ए)_(21)) और ((ए)_(22)) और ... और ((ए)_(2एन)) और 0 और 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

संक्षेप में, हम मैट्रिक्स $A$ लेते हैं, दाईं ओर हम इसे आवश्यक आकार के पहचान मैट्रिक्स $E$ को असाइन करते हैं, हम उन्हें सुंदरता के लिए एक लंबवत बार से अलग करते हैं - यहां संलग्न एक है। :)

क्या चालबाजी है? और यहाँ क्या है:

प्रमेय। मैट्रिक्स $A$ को उलटा होने दें। आसन्न मैट्रिक्स पर विचार करें $\बाएं[ ए\बाएं| ई \ सही। \दाएं]$. यदि उपयोग कर रहे हैं प्राथमिक स्ट्रिंग परिवर्तनइसे फॉर्म में लाएं $\बाएं[ ई\बाएं| चमकदार। \दाएं]$, यानी। गुणा, घटाना और पंक्तियों को फिर से व्यवस्थित करके $A$ मैट्रिक्स $E$ से दाईं ओर प्राप्त करने के लिए, फिर बाईं ओर प्राप्त मैट्रिक्स $B$ $A$ का व्युत्क्रम है:

\[\बाएं[ ए\बाएं| ई \ सही। \दाएं]\से \बाएं[ई\बाएं| चमकदार। \दाएं]\दायां तीर बी=((ए)^(-1))\]

यह इत्ना आसान है! संक्षेप में, उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम इस तरह दिखता है:

1. संबंधित मैट्रिक्स $\बाएं[ A\बाएं| . लिखें ई \ सही। \ दाएँ] $;
2. प्राथमिक स्ट्रिंग रूपांतरण तब तक करें जब तक कि $A$ के बजाय दाईं ओर $E$ दिखाई न दे;
3. बेशक, बाईं ओर भी कुछ दिखाई देगा - एक निश्चित मैट्रिक्स $B$। यह उल्टा होगा;
4. लाभ! :)

बेशक, करने से कहीं ज्यादा आसान कहा। तो आइए कुछ उदाहरण देखें: आकार के लिए $\बाएं[3\गुना 3 \दाएं]$ और $\बाएं[4\गुना 4 \दाएं]$।

एक कार्य। उलटा मैट्रिक्स खोजें:

\[\बाएं[ \शुरू(सरणी)(*(35)(आर)) 1 और 5 और 1 \\ 3 और 2 और 1 \\ 6 और -2 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\ ]

समाधान। हम संलग्न मैट्रिक्स की रचना करते हैं:

\[\बाएं[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\]

चूंकि मूल मैट्रिक्स का अंतिम कॉलम लोगों से भरा है, इसलिए पहली पंक्ति को बाकी से घटाएं:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 और 1 और 0 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) \ downarrow \\ -1 \\ -1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं] \\ \अंत (संरेखित करें)\]

पहली पंक्ति को छोड़कर कोई और इकाइयाँ नहीं हैं। लेकिन हम इसे छूते नहीं हैं, अन्यथा नई हटाई गई इकाइयाँ तीसरे कॉलम में "गुणा" करना शुरू कर देंगी।

लेकिन हम दूसरी पंक्ति को पिछले एक से दो बार घटा सकते हैं - हमें निचले बाएं कोने में एक इकाई मिलती है:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 और 0 और -1 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) \ \\ \ downarrow \\ -2 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ बाएँ [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं] \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अब हम अंतिम पंक्ति को पहली से और दूसरी से दो बार घटा सकते हैं - इस तरह हम पहले कॉलम को "शून्य" कर देंगे:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) -1 \\ -2 \\ \ uparrow \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \बाएं [ \ start (सरणी) (rrr | rrr) 0 और 6 और 1 और 0 और 2 और -1 \\ 0 और -1 और 0 और -3 और 5 और -2 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करें और फिर इसे पहली से 6 गुना घटाएं और आखिरी में 1 बार जोड़ें:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ start (मैट्रिक्स) \ \\ \ बाएँ| \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\ \ \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएं [ \ start (सरणी) (rrr | rrr) 0 और 6 और 1 और 0 और 2 और -1 \\ 0 और 1 और 0 & 3 और -5 और 2 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दायां] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) -6 \\ \ updownarrow \\ +1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [ \ start (सरणी) (rrr | rrr) 0 और 0 और 1 और -18 और 32 और -13 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और -5 और 2 \\ 1 और 0 और 0 और 4 और -7 और 3 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

यह केवल लाइन 1 और 3 को स्वैप करने के लिए बनी हुई है:

\[\बाएं[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 और 32 और -13 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\]

तैयार! दाईं ओर आवश्यक उलटा मैट्रिक्स है।

उत्तर। $\बाएं [\ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) 4 और -7 और 3 \\ 3 और -5 और 2 \\ -18 और 32 और -13 \\\ अंत (सरणी) \ सही ]$

एक कार्य। उलटा मैट्रिक्स खोजें:

\[\बाएं[ \शुरू (मैट्रिक्स) 1 और 4 और 2 और 3 \\ 1 और -2 और 1 और -2 \\ 1 और -1 और 1 और 1 \\ 0 और -10 और -2 और -5 \\\अंत (मैट्रिक्स) \दाएं]\]

समाधान। फिर से हम संलग्न एक की रचना करते हैं:

\[\बाएं[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 और -1 और 1 और 1 और 0 और 0 और 1 और 0 \\ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \right]\]

चलो थोड़ा उधार लेते हैं, इस बात की चिंता करते हैं कि हमें अभी कितना गिनना है... और गिनना शुरू करें। आरंभ करने के लिए, हम पंक्ति 2 और 3 से पंक्ति 1 घटाकर पहले कॉलम को "शून्य" करते हैं:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 और 0 और 0 \\ 1 और -1 और 1 और 1 और 0 और 0 और 1 और 0 \\ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \दाएं]\शुरू(मैट्रिक्स) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \\\\end(मैट्रिक्स)\से \\ और \से \बाएं[ \शुरू (सरणी)(rrrr|rrrr) 1 & 4 और 2 और 3 और 1 और 0 और 0 और 0 \\ 0 और -6 और -1 और -5 और -1 और 1 और 0 और 0 \\ 0 और -5 और -1 और -2 और -1 और 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

हम 2-4 पंक्तियों में बहुत अधिक "माइनस" देखते हैं। सभी तीन पंक्तियों को -1 से गुणा करें, और फिर तीसरे कॉलम को बाकी से पंक्ति 3 घटाकर जला दें:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 और 1 और 0 और 0 \\ 0 और -5 और -1 और -2 और -1 और 0 और 1 और 0 \\ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\ \अंत (सरणी) \दाएं]\शुरू (मैट्रिक्स) \ \\ \बाएं| \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\ \बाएं| \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\ \बाएं| \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 और 1 और -1 और 0 और 0 \\ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 10 और 2 और 5 और 0 और 0 और 0 और -1 \\ \ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ शुरू (मैट्रिक्स) -2 \\ -1 \\ \ updownarrow \\ -2 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [ \ start (सरणी) ( rrrr|rrrr) 1 और -6 और 0 और -1 और -1 और 0 और 2 और 0 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और 0 और -1 और 1 और 0 \\ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\ अंत (सरणी) \ सही] \\ \ अंत (संरेखण) \]

अब मूल मैट्रिक्स के अंतिम कॉलम को "तलना" करने का समय है: पंक्ति 4 को बाकी से घटाएं:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 और -1 और 1 और 0 \\ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\ अंत (सरणी ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 और -6 और 0 और 0 और -3 और 0 और 4 और -1 \\ 0 और 1 और 0 और 0 और 6 और -1 और -5 और 3 \\ 0 और 5 और 1 और 0 और 5 और 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

अंतिम रोल: पंक्ति 1 और 3 से पंक्ति 2 घटाकर दूसरे कॉलम को "बर्न आउट" करें:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 और -1 और -5 और 3 \\ 0 और 5 और 1 और 0 और 5 और 0 और -5 और 2 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\ अंत ( सरणी) \ दाएँ] \ शुरू (मैट्रिक्स) 6 \\ \ updownarrow \\ -5 \\ \ \\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [ \ start (सरणी) (rrrr | rrrr) 1 और 0 और 0 और 0 और 33 और -6 और -26 और -17 \\ 0 और 1 और 0 और 0 और 6 और -1 और -5 और 3 \\ 0 और 0 और 1 और 0 और -25 और 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

और फिर, बाईं ओर पहचान मैट्रिक्स, तो दाईं ओर उलटा। :)

उत्तर। $\बाएं[ \शुरू (मैट्रिक्स) 33 और -6 और -26 और 17 \\ 6 और -1 और -5 और 3 \\ -25 और 5 और 20 और -13 \\ -2 और 0 और 2 और - 1 \\\अंत (मैट्रिक्स) \दाएं]$

ठीक है अब सब खत्म हो गया है। स्वयं जांच करें - मुझे हटा दिया गया है। :)

एक वर्ग मैट्रिक्स पर विचार करें। इसका सारणिक = det A से निरूपित करें। एक वर्ग बी उसी क्रम के वर्ग ए के लिए (ओएम) है यदि उनका उत्पाद ए * बी = बी * ए = ई, जहां ई ए और बी के समान क्रम का पहचान मैट्रिक्स है।

एक वर्ग ए को गैर-पतित, या गैर-एकवचन कहा जाता है, यदि इसका निर्धारक गैर-शून्य है, और पतित, या विशेष, यदि Δ = 0 है।

प्रमेय। A का व्युत्क्रम होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसका सारणिक शून्य से भिन्न हो।

(ओएम) ए, ए -1 द्वारा निरूपित, ताकि बी \u003d ए -1 और सूत्र द्वारा गणना की जाए

, (1)

जहाँ i j - तत्वों के बीजगणितीय पूरक a i j , = detA।

उच्च-क्रम वाले मैट्रिक्स के लिए सूत्र (1) द्वारा ए -1 की गणना करना बहुत श्रमसाध्य है, इसलिए व्यवहार में प्राथमिक परिवर्तनों (ईपी) की विधि का उपयोग करके ए -1 को खोजना सुविधाजनक है। केवल कॉलम (या केवल पंक्तियों) के ईपी के माध्यम से किसी भी गैर-एकवचन ए को इकाई ई में घटाया जा सकता है। यदि मैट्रिक्स ए पर किए गए ईपी को उसी क्रम में इकाई ई पर लागू किया जाता है, तो परिणाम ए -1 होगा। ए और ई पर एक ही समय में एक ईपी करना सुविधाजनक है, दोनों तरफ लाइन ए | ई के माध्यम से लिखना। यदि आप A -1 खोजना चाहते हैं, तो आपको अपने रूपांतरणों में केवल पंक्तियों या केवल स्तंभों का उपयोग करना चाहिए।

बीजगणितीय पूरकों का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढना

उदाहरण 1. के लिये ए -1 खोजें।

समाधान।हम सबसे पहले सारणिक A . ज्ञात करते हैं
इसलिए, (OM) मौजूद है और हम इसे सूत्र द्वारा ज्ञात कर सकते हैं: , जहां A i j (i,j=1,2,3) - मूल A के तत्वों a i j के बीजगणितीय पूरक।

तत्व a ij का बीजगणितीय पूरक निर्धारक या लघु M ij है। यह कॉलम I और पंक्ति j को हटाकर प्राप्त किया जाता है। फिर अवयस्क को (-1) i+j से गुणा किया जाता है, अर्थात्। एक ij =(-1) i+j एम ij

कहाँ पे .

प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढना

उदाहरण 2. प्राथमिक परिवर्तनों की विधि का उपयोग करते हुए, ए -1 के लिए: ए \u003d खोजें।

समाधान।हम मूल ए को उसी क्रम की एक इकाई के दाईं ओर विशेषता देते हैं: . प्राथमिक स्तंभ परिवर्तनों की मदद से, हम बाएं "आधे" को इकाई एक में कम करते हैं, साथ ही साथ "आधे" पर बिल्कुल ऐसे परिवर्तनों का प्रदर्शन करते हैं।
ऐसा करने के लिए, पहले और दूसरे कॉलम को स्वैप करें: ~. हम पहले को तीसरे कॉलम में जोड़ते हैं, और पहले को -2 से दूसरे से गुणा करते हैं: . पहले कॉलम से हम दुगुने दूसरे को घटाते हैं, और तीसरे से - दूसरे को 6 से गुणा करते हैं; . आइए तीसरे कॉलम को पहले और दूसरे में जोड़ें: . अंतिम कॉलम को -1 से गुणा करें: . लम्बवत दंड के दायीं ओर प्राप्त वर्गाकार मेज A-1 का व्युत्क्रम है। इसलिए,
.

किसी दिए गए के लिए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स है, जो मूल के गुणन से एक पहचान मैट्रिक्स देता है: एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स की उपस्थिति के लिए एक अनिवार्य और पर्याप्त शर्त मूल के निर्धारक की असमानता है (जो बदले में तात्पर्य है कि मैट्रिक्स वर्ग होना चाहिए)। यदि किसी मैट्रिक्स का सारणिक शून्य के बराबर है, तो उसे degenerate कहा जाता है और ऐसे मैट्रिक्स का कोई व्युत्क्रम नहीं होता है। उच्च गणित में, व्युत्क्रम मैट्रिक्स महत्वपूर्ण होते हैं और कई समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, पर उलटा मैट्रिक्स ढूँढनासमीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एक मैट्रिक्स विधि का निर्माण किया जाता है। हमारी सेवा साइट अनुमति देती है ऑनलाइन मैट्रिक्स उलटा गणना करेंदो विधियाँ: गॉस-जॉर्डन विधि और बीजीय योगों के मैट्रिक्स का उपयोग करना। पहला मैट्रिक्स के भीतर बड़ी संख्या में प्राथमिक परिवर्तनों का तात्पर्य है, दूसरा - सभी तत्वों के लिए निर्धारक और बीजीय जोड़ की गणना। ऑनलाइन मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए, आप हमारी अन्य सेवा का उपयोग कर सकते हैं - मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना ऑनलाइन

.

साइट पर उलटा मैट्रिक्स खोजें

वेबसाइटआपको खोजने की अनुमति देता है उलटा मैट्रिक्स ऑनलाइनतेज और मुफ्त। साइट पर, गणना हमारी सेवा द्वारा की जाती है और परिणाम खोजने के लिए एक विस्तृत समाधान के साथ प्रदर्शित किया जाता है उलटा मैट्रिक्स. सर्वर हमेशा सटीक और सही उत्तर देता है। परिभाषा के अनुसार कार्यों में उलटा मैट्रिक्स ऑनलाइन, यह आवश्यक है कि निर्धारक मैट्रिक्सशून्य से भिन्न था, अन्यथा वेबसाइटइस तथ्य के कारण उलटा मैट्रिक्स खोजने की असंभवता की रिपोर्ट करेगा कि मूल मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है। कार्य ढूँढना उलटा मैट्रिक्सगणित की कई शाखाओं में पाया जाता है, जो बीजगणित की सबसे बुनियादी अवधारणाओं में से एक है और व्यावहारिक समस्याओं में गणितीय उपकरण है। स्वतंत्र उलटा मैट्रिक्स परिभाषागणना में एक पर्ची या एक छोटी सी त्रुटि न करने के लिए काफी प्रयास, बहुत समय, गणना और बहुत सावधानी की आवश्यकता होती है। इसलिए, हमारी सेवा व्युत्क्रम मैट्रिक्स ऑनलाइन ढूँढनाआपके कार्य को बहुत आसान कर देगा और गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए एक अनिवार्य उपकरण बन जाएगा। भले ही तुम उलटा मैट्रिक्स खोजेंस्वयं, हम अनुशंसा करते हैं कि आप हमारे सर्वर पर अपने समाधान की जाँच करें। हमारी गणना व्युत्क्रम मैट्रिक्स ऑनलाइन पर अपना मूल मैट्रिक्स दर्ज करें और अपना उत्तर जांचें। हमारा सिस्टम कभी गलत नहीं होता और पाता है उलटा मैट्रिक्समोड में दिया गया आयाम ऑनलाइनहाथों हाथ! स्थल पर वेबसाइटतत्वों में चरित्र प्रविष्टियों की अनुमति है मैट्रिक्स, इस मामले में उलटा मैट्रिक्स ऑनलाइनसामान्य प्रतीकात्मक रूप में प्रस्तुत किया जाएगा।