किसी फ़ंक्शन की जांच कैसे करें और उसका ग्राफ़ कैसे प्लॉट करें?

ऐसा लगता है कि मैं विश्व सर्वहारा वर्ग के नेता के आत्मीय चेहरे को समझने लगा हूँ, जो 55 खंडों में एकत्रित कार्यों का लेखक है ...। लंबी यात्रा के बारे में प्राथमिक जानकारी के साथ शुरू हुआ कार्य और रेखांकन, और अब एक श्रमसाध्य विषय पर काम एक स्वाभाविक परिणाम के साथ समाप्त होता है - एक लेख पूर्ण कार्य अध्ययन के बारे में. लंबे समय से प्रतीक्षित कार्य निम्नानुसार तैयार किया गया है:

डिफरेंशियल कैलकुलस के तरीकों से फंक्शन की जांच करें और अध्ययन के परिणामों के आधार पर इसका ग्राफ बनाएं

या संक्षेप में: फ़ंक्शन की जांच करें और इसे प्लॉट करें।

एक्सप्लोर क्यों करें?सरल मामलों में, प्राथमिक कार्यों से निपटना हमारे लिए मुश्किल नहीं होगा, इसका उपयोग करके प्राप्त ग्राफ बनाएं प्रारंभिक ज्यामितीय परिवर्तनऔर इसी तरह। हालांकि, अधिक जटिल कार्यों के गुण और ग्राफिक प्रतिनिधित्व स्पष्ट से बहुत दूर हैं, यही वजह है कि एक संपूर्ण अध्ययन की आवश्यकता है।

समाधान के मुख्य चरणों को संदर्भ सामग्री में संक्षेपित किया गया है समारोह अध्ययन योजना, यह आपकी सेक्शन गाइड है। डमीज़ को विषय के चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण की आवश्यकता होती है, कुछ पाठकों को यह नहीं पता होता है कि अध्ययन कहाँ से शुरू करें और कैसे व्यवस्थित करें, और उन्नत छात्रों को केवल कुछ बिंदुओं में रुचि हो सकती है। लेकिन आप जो भी हैं, प्रिय आगन्तुक, विभिन्न पाठों की ओर इशारा करते हुए प्रस्तावित सारांश कम से कम संभव समय में आपको रुचि की दिशा में उन्मुख और निर्देशित करेगा। रोबोट ने आंसू बहाए =) मैनुअल को एक पीडीएफ फाइल के रूप में बनाया गया था और पेज पर अपना सही स्थान ले लिया था गणितीय सूत्र और तालिकाएँ.

मैं फ़ंक्शन के अध्ययन को 5-6 बिंदुओं में विभाजित करता था:

6) अध्ययन के परिणामों के आधार पर अतिरिक्त बिंदु और ग्राफ।

अंतिम कार्रवाई के लिए, मुझे लगता है कि हर कोई सब कुछ समझता है - यह बहुत निराशाजनक होगा यदि कुछ ही सेकंड में इसे पार कर लिया जाए और संशोधन के लिए कार्य वापस कर दिया जाए। समाधान का मुख्य परिणाम एक सही और सटीक आरेखण है! यह विश्लेषणात्मक निरीक्षणों को "कवर अप" करने की बहुत संभावना है, जबकि एक गलत और/या मैला कार्यक्रम पूरी तरह से आयोजित अध्ययन के साथ भी समस्याएं पैदा करेगा।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अन्य स्रोतों में, शोध वस्तुओं की संख्या, उनके कार्यान्वयन का क्रम और डिजाइन की शैली मेरे द्वारा प्रस्तावित योजना से काफी भिन्न हो सकती है, लेकिन ज्यादातर मामलों में यह काफी पर्याप्त है। समस्या के सबसे सरल संस्करण में केवल 2-3 चरण होते हैं और इसे कुछ इस तरह तैयार किया जाता है: "व्युत्पन्न और प्लॉट का उपयोग करके फ़ंक्शन का अन्वेषण करें" या "पहले और दूसरे व्युत्पन्न, प्लॉट का उपयोग करके फ़ंक्शन का अन्वेषण करें"।

स्वाभाविक रूप से, यदि आपके प्रशिक्षण मैनुअल में किसी अन्य एल्गोरिदम का विस्तार से विश्लेषण किया गया है या आपके शिक्षक को सख्ती से अपने व्याख्यानों का पालन करने की आवश्यकता है, तो आपको समाधान में कुछ समायोजन करना होगा। कांटे को चेनसॉ चम्मच से बदलने से ज्यादा मुश्किल नहीं है।

आइए सम/विषम के लिए फ़ंक्शन की जाँच करें:

इसके बाद एक टेम्प्लेट अनसब्सक्राइब होता है:
, इसलिए यह फलन न तो सम है और न ही विषम।

चूँकि फलन निरंतर है, कोई ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी रेखाएँ नहीं हैं।

कोई तिरछी अनन्तस्पर्शी रेखाएँ भी नहीं हैं।

टिप्पणी : मैं आपको याद दिलाता हूं कि उच्चतर वृद्धि का क्रमकी तुलना में, इसलिए अंतिम सीमा बिल्कुल " प्लसअनंतता।"

आइए जानें कि फ़ंक्शन अनंत पर कैसे व्यवहार करता है:

दूसरे शब्दों में, यदि हम दाईं ओर जाते हैं, तो ग्राफ असीम रूप से ऊपर की ओर जाता है, यदि हम बाईं ओर जाते हैं, तो असीम रूप से नीचे। हाँ, एक प्रविष्टि के अंतर्गत भी दो सीमाएँ होती हैं। यदि आपको संकेतों को समझने में कठिनाई हो रही है, तो कृपया इसके बारे में पाठ देखें अतिसूक्ष्म कार्य.

तो समारोह ऊपर से सीमित नहींऔर नीचे से सीमित नहीं. यह देखते हुए कि हमारे पास विराम बिंदु नहीं हैं, यह स्पष्ट हो जाता है और समारोह रेंज: भी कोई वास्तविक संख्या है।

उपयोगी तकनीक

प्रत्येक कार्य चरण फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बारे में नई जानकारी लाता है, इसलिए समाधान के दौरान एक प्रकार के लेआउट का उपयोग करना सुविधाजनक है। आइए ड्राफ्ट पर कार्टेशियन समन्वय प्रणाली बनाएं। निश्चित रूप से क्या जाना जाता है? सबसे पहले, ग्राफ में कोई स्पर्शोन्मुख नहीं है, इसलिए सीधी रेखाएँ खींचने की कोई आवश्यकता नहीं है। दूसरा, हम जानते हैं कि फलन अनंत पर कैसे व्यवहार करता है। विश्लेषण के अनुसार, हम पहला अनुमान लगाते हैं:

ध्यान दें कि प्रभाव में निरंतरताकार्य चालू है और तथ्य यह है कि ग्राफ को कम से कम एक बार अक्ष को पार करना चाहिए। या शायद चौराहे के कई बिंदु हैं?

3) फ़ंक्शन के शून्य और स्थिर चिह्न के अंतराल।

सबसे पहले, y-अक्ष के साथ ग्राफ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। यह आसान है। फ़ंक्शन के मान की गणना करना आवश्यक है जब:

आधा समुद्र तल से ऊपर।

अक्ष (फ़ंक्शन के शून्य) के साथ चौराहे के बिंदुओं को खोजने के लिए, आपको समीकरण को हल करने की आवश्यकता है, और यहाँ एक अप्रिय आश्चर्य की प्रतीक्षा है:

अंत में, एक नि: शुल्क सदस्य दुबक जाता है, जो कार्य को काफी जटिल करता है।

ऐसे समीकरण का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है, और बहुधा यह मूल अपरिमेय होता है। सबसे खराब परी कथा में, तीन छोटे सूअर हमारी प्रतीक्षा कर रहे हैं। तथाकथित का उपयोग करके समीकरण हल करने योग्य है कार्डानो के सूत्र, लेकिन कागजी क्षति की तुलना लगभग पूरे अध्ययन से की जा सकती है। इस संबंध में, कम से कम एक लेने की कोशिश करने के लिए यह मौखिक रूप से या एक मसौदे पर समझदार है पूराजड़। आइए देखें कि क्या ये संख्याएँ हैं:
- योग्य नहीं;
- वहाँ है!

यह यहाँ भाग्यशाली है। विफलता के मामले में, आप परीक्षण भी कर सकते हैं और, और यदि ये संख्याएँ फिट नहीं होती हैं, तो मुझे डर है कि समीकरण के लाभदायक समाधान के लिए बहुत कम संभावनाएँ हैं। फिर अनुसंधान बिंदु को पूरी तरह से छोड़ देना बेहतर है - शायद अंतिम चरण में कुछ स्पष्ट हो जाएगा, जब अतिरिक्त बिंदु टूटेंगे। और अगर जड़ (जड़ें) स्पष्ट रूप से "खराब" हैं, तो संकेतों की स्थिरता के अंतराल के बारे में मामूली रूप से चुप रहना और ड्राइंग को अधिक सटीक रूप से पूरा करना बेहतर है।

हालाँकि, हमारे पास एक सुंदर जड़ है, इसलिए हम बहुपद को विभाजित करते हैं कोई शेष नहीं के लिए:

पाठ के पहले उदाहरण में एक बहुपद को एक बहुपद द्वारा विभाजित करने के लिए एल्गोरिथ्म पर विस्तार से चर्चा की गई है। जटिल सीमाएँ.

नतीजतन, मूल समीकरण के बाईं ओर एक उत्पाद में फैलता है:

और अब थोड़ा स्वस्थ जीवन शैली के बारे में। बिल्कुल मैं समझता हूँ द्विघातीय समीकरणहर दिन हल करने की जरूरत है, लेकिन आज हम एक अपवाद करेंगे: समीकरण दो वास्तविक जड़ें हैं।

संख्या रेखा पर, हम पाए गए मानों को प्लॉट करते हैं और अंतराल विधिफ़ंक्शन के संकेतों को परिभाषित करें:


इस प्रकार, अंतराल पर चार्ट स्थित
एक्स-अक्ष के नीचे, और अंतराल पर - इस अक्ष के ऊपर।

परिणामी निष्कर्ष हमें अपने लेआउट को परिष्कृत करने की अनुमति देते हैं, और ग्राफ का दूसरा सन्निकटन इस तरह दिखता है:

कृपया ध्यान दें कि फ़ंक्शन में अंतराल पर कम से कम एक अधिकतम और अंतराल पर कम से कम एक न्यूनतम होना चाहिए। लेकिन हम नहीं जानते कि कितनी बार, कब और कब शेड्यूल "घूमेगा"। वैसे, एक फलन में अपरिमित रूप से अनेक हो सकते हैं चरम.

4) फलन का बढ़ता, घटता और चरम।

आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदु:

इस समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। आइए उन्हें संख्या रेखा पर रखें और व्युत्पन्न के चिह्न निर्धारित करें:


इसलिए, कार्य बढ़ता है और घट जाती है।
इस बिंदु पर समारोह अपने अधिकतम तक पहुँचता है: .
उस बिंदु पर फ़ंक्शन अपने न्यूनतम तक पहुँच जाता है: .

स्थापित तथ्य हमारे खाके को एक कठोर ढाँचे में ले जाते हैं:

कहने की जरूरत नहीं है, अंतर कलन एक शक्तिशाली चीज है। आइए अंत में ग्राफ के आकार से निपटें:

5) उत्तलता, अवतलता और विभक्ति बिंदु।

दूसरे व्युत्पन्न के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें:

आइए संकेतों को परिभाषित करें:


फ़ंक्शन ग्राफ़ उत्तल और अवतल पर है। आइए विभक्ति बिंदु के समन्वय की गणना करें: .

लगभग सब कुछ साफ हो गया।

6) यह अतिरिक्त बिंदु खोजने के लिए बनी हुई है जो ग्राफ को अधिक सटीक रूप से बनाने और आत्म-परीक्षण करने में मदद करेगी। इस मामले में, वे कम हैं, लेकिन हम उपेक्षा नहीं करेंगे:

आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

विभक्ति बिंदु को हरे रंग में चिह्नित किया गया है, अतिरिक्त बिंदुओं को क्रॉस के साथ चिह्नित किया गया है। एक घन फलन का ग्राफ इसके विभक्ति बिंदु के बारे में सममित है, जो हमेशा अधिकतम और न्यूनतम के बीच में स्थित होता है।

असाइनमेंट के दौरान, मैंने तीन काल्पनिक मध्यवर्ती रेखाचित्र दिए। व्यवहार में, यह एक समन्वय प्रणाली बनाने के लिए पर्याप्त है, पाए गए बिंदुओं को चिह्नित करें और अध्ययन के प्रत्येक बिंदु के बाद मानसिक रूप से समझें कि फ़ंक्शन का ग्राफ कैसा दिख सकता है। अच्छे स्तर की तैयारी करने वाले छात्रों के लिए बिना किसी मसौदे को शामिल किए केवल अपने दिमाग में इस तरह का विश्लेषण करना मुश्किल नहीं होगा।

स्टैंडअलोन समाधान के लिए:

उदाहरण 2

फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और एक ग्राफ बनाएं।

यहाँ सब कुछ तेज़ और अधिक मज़ेदार है, पाठ के अंत में समाप्त होने का एक अनुमानित उदाहरण।

आंशिक तर्कसंगत कार्यों के अध्ययन से बहुत सारे रहस्य सामने आते हैं:

उदाहरण 3

डिफरेंशियल कैलकुलस की विधियों का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन की जांच करें और, अध्ययन के परिणामों के आधार पर, इसके ग्राफ का निर्माण करें।

समाधान: परिभाषा क्षेत्र में एक छेद के अपवाद के साथ, अध्ययन का पहला चरण उल्लेखनीय रूप से भिन्न नहीं है:

1) बिंदु को छोड़कर संपूर्ण संख्या रेखा पर फलन परिभाषित और निरंतर है, कार्यक्षेत्र: .

, इसलिए यह फलन न तो सम है और न ही विषम।

जाहिर है, फ़ंक्शन गैर-आवधिक है।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ में दो निरंतर शाखाएँ होती हैं जो बाएँ और दाएँ अर्ध-विमान में स्थित होती हैं - यह शायद पहले पैराग्राफ का सबसे महत्वपूर्ण निष्कर्ष है।

2) अनन्तस्पर्शी, अनंत पर एक फलन का व्यवहार।

ए) एक तरफा सीमा की मदद से, हम संदिग्ध बिंदु के पास फ़ंक्शन के व्यवहार का अध्ययन करते हैं, जहां ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख स्पष्ट रूप से होना चाहिए:

दरअसल, कार्य सहन करते हैं अंतहीन अंतरालबिंदु पर
और सीधी रेखा (अक्ष) है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोटललित कलाएं ।

बी) जाँच करें कि क्या तिरछी अनंतस्पर्शी मौजूद हैं:

हाँ रेखा है तिरछा स्पर्शोन्मुखग्राफिक्स अगर।

सीमाओं का विश्लेषण करने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि यह पहले से ही स्पष्ट है कि फ़ंक्शन अपने तिरछे स्पर्शोन्मुख के साथ आलिंगन में है ऊपर से सीमित नहींऔर नीचे से सीमित नहीं.

अध्ययन के दूसरे बिंदु ने समारोह के बारे में बहुत सी महत्वपूर्ण जानकारी दी। आइए एक मोटा रेखाचित्र बनाते हैं:

निष्कर्ष संख्या 1 साइन स्थिरता के अंतराल से संबंधित है। "माइनस इन्फिनिटी" पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ अनन्य रूप से एक्स-अक्ष के नीचे स्थित होता है, और "प्लस इनफिनिटी" पर यह इस अक्ष के ऊपर होता है। इसके अलावा, एक तरफा सीमाओं ने हमें बताया कि बिंदु के बाईं और दाईं ओर, फ़ंक्शन भी शून्य से अधिक है। कृपया ध्यान दें कि बाएँ अर्ध-तल में, ग्राफ़ को x-अक्ष को कम से कम एक बार अवश्य पार करना चाहिए। दाहिने अर्ध-तल में फलन का कोई शून्य नहीं हो सकता है।

निष्कर्ष संख्या 2 यह है कि फ़ंक्शन बिंदु के बाईं ओर बढ़ता है ("नीचे से ऊपर की ओर जाता है")। इस बिंदु के दाईं ओर, फ़ंक्शन घटता है ("ऊपर से नीचे जाता है")। ग्राफ़ की दाहिनी शाखा में निश्चित रूप से कम से कम एक न्यूनतम होना चाहिए। बाईं ओर, चरम सीमा की गारंटी नहीं है।

निष्कर्ष संख्या 3 बिंदु के आसपास ग्राफ की अवतलता के बारे में विश्वसनीय जानकारी देता है। हम अभी तक अनंत पर उत्तलता/अवतलता के बारे में कुछ नहीं कह सकते हैं, क्योंकि रेखा को ऊपर और नीचे दोनों तरफ से इसके स्पर्शोन्मुख के खिलाफ दबाया जा सकता है। सामान्यतया, अभी इसका पता लगाने का एक विश्लेषणात्मक तरीका है, लेकिन "कुछ नहीं के लिए" चार्ट का आकार बाद के चरण में स्पष्ट हो जाएगा।

इतने सारे शब्द क्यों? बाद के शोध बिंदुओं को नियंत्रित करने और गलतियों से बचने के लिए! आगे की गणनाओं को निकाले गए निष्कर्षों का खंडन नहीं करना चाहिए।

3) समन्वय अक्षों के साथ ग्राफ के चौराहे के बिंदु, फ़ंक्शन के निरंतर संकेत के अंतराल।

फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष को पार नहीं करता है।

अंतराल विधि का उपयोग करते हुए, हम संकेत निर्धारित करते हैं:

, अगर ;
, अगर .

पैराग्राफ के परिणाम पूरी तरह से निष्कर्ष संख्या 1 के अनुरूप हैं। प्रत्येक चरण के बाद, मसौदे को देखें, मानसिक रूप से अध्ययन को देखें, और फ़ंक्शन के ग्राफ़ को आरेखित करना समाप्त करें।

इस उदाहरण में, अंश को भाजक द्वारा शब्द से विभाजित किया जाता है, जो भेदभाव के लिए बहुत फायदेमंद है:

वास्तव में, स्पर्शोन्मुख खोज करते समय यह पहले ही किया जा चुका है।

- महत्वपूर्ण बिन्दू।

आइए संकेतों को परिभाषित करें:

से बढ़ता है और घट जाती है

उस बिंदु पर फ़ंक्शन अपने न्यूनतम तक पहुँच जाता है: .

निष्कर्ष संख्या 2 के साथ भी कोई विसंगति नहीं थी, और सबसे अधिक संभावना है कि हम सही रास्ते पर हैं।

इसका मतलब यह है कि परिभाषा के पूरे डोमेन पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ अवतल है।

अति उत्कृष्ट - और आपको कुछ भी आरेखित करने की आवश्यकता नहीं है।

कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं।

समतलता निष्कर्ष संख्या 3 के अनुरूप है, इसके अलावा, यह इंगित करता है कि अनंत पर (वहां और वहां दोनों) फ़ंक्शन का ग्राफ स्थित है उच्चइसका तिरछा स्पर्शोन्मुख।

6) हम अतिरिक्त बिंदुओं के साथ कर्तव्यनिष्ठा से कार्य को पूरा करेंगे। यहां हमें कड़ी मेहनत करनी है, क्योंकि हम अध्ययन से केवल दो बिंदु जानते हैं।

और एक तस्वीर, जो शायद कई लोगों ने लंबे समय से प्रस्तुत की है:

असाइनमेंट के दौरान, यह सुनिश्चित करने के लिए ध्यान रखा जाना चाहिए कि अध्ययन के चरणों के बीच कोई विरोधाभास नहीं है, लेकिन कभी-कभी स्थिति अत्यावश्यक या सख्त गतिरोध भी होती है। यहाँ विश्लेषिकी "एकाग्र नहीं होती है" - और यही वह है। इस मामले में, मैं एक आपातकालीन तकनीक की सिफारिश करता हूं: हम ग्राफ से संबंधित जितने संभव हो उतने बिंदु ढूंढते हैं (कितना धैर्य पर्याप्त है), और उन्हें समन्वय विमान पर चिह्नित करें। ज्यादातर मामलों में पाए गए मूल्यों का ग्राफिकल विश्लेषण आपको बताएगा कि सच्चाई कहां है और झूठ कहां है। इसके अलावा, ग्राफ को कुछ प्रोग्राम का उपयोग करके पूर्व-निर्मित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, उसी एक्सेल में (यह स्पष्ट है कि इसके लिए कौशल की आवश्यकता होती है)।

उदाहरण 4

डिफरेंशियल कैलकुलस की विधियों का उपयोग करते हुए, फंक्शन की जांच करें और इसका ग्राफ प्लॉट करें।

यह स्वयं करने का उदाहरण है। इसमें, फ़ंक्शन की समरूपता से आत्म-नियंत्रण बढ़ाया जाता है - ग्राफ अक्ष के बारे में सममित है, और यदि आपके अध्ययन में कुछ इस तथ्य का खंडन करता है, तो एक त्रुटि की तलाश करें।

एक सम या विषम फलन की केवल के लिए जाँच की जा सकती है, और तब ग्राफ़ की सममिति का उपयोग किया जा सकता है। यह समाधान इष्टतम है, लेकिन यह, मेरी राय में, बहुत ही असामान्य दिखता है। व्यक्तिगत रूप से, मैं संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर विचार करता हूं, लेकिन मुझे अभी भी केवल दाईं ओर अतिरिक्त बिंदु मिलते हैं:

उदाहरण 5

फ़ंक्शन का पूरा अध्ययन करें और उसका ग्राफ़ बनाएं।

समाधान: जोर से दौड़े:

1) फ़ंक्शन पूरी वास्तविक रेखा पर परिभाषित और निरंतर है: .

इसका अर्थ है कि यह फलन विषम है, इसका ग्राफ मूल बिंदु के संबंध में सममित है।

जाहिर है, फ़ंक्शन गैर-आवधिक है।

2) अनन्तस्पर्शी, अनंत पर एक फलन का व्यवहार।

चूँकि फलन निरंतर है, कोई ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी रेखाएँ नहीं हैं

आमतौर पर एक्सपोनेंट वाले फ़ंक्शन के लिए अलग"प्लस" और "माइनस इनफिनिटी" का अध्ययन, हालांकि, हमारे जीवन को ग्राफ की समरूपता से सुगम बनाया गया है - या तो बाईं ओर और दाईं ओर एक स्पर्शोन्मुख है, या यह नहीं है। इसलिए, एक प्रविष्टि के तहत दोनों अनंत सीमाएँ व्यवस्थित की जा सकती हैं। समाधान के दौरान, हम उपयोग करते हैं L'hopital का नियम:

सीधी रेखा (अक्ष) पर ग्राफ का क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है।

इस बात पर ध्यान दें कि तिरछी स्पर्शोन्मुखता को खोजने के लिए मैंने चतुराई से पूर्ण एल्गोरिथ्म को कैसे टाला: सीमा काफी कानूनी है और अनंत पर कार्य के व्यवहार को स्पष्ट करती है, और क्षैतिज स्पर्शोन्मुख पाया गया "जैसे कि एक ही समय में।"

यह निरंतरता और एक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख के अस्तित्व का अनुसरण करता है जो कि कार्य करता है ऊपर से सीमितऔर नीचे से सीमित.

3) समन्वय अक्षों, निरंतरता के अंतराल के साथ ग्राफ के चौराहे के बिंदु।

यहाँ हम समाधान को छोटा भी करते हैं:
ग्राफ मूल बिंदु से होकर गुजरता है।

निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन का कोई अन्य बिंदु नहीं है। इसके अलावा, निरंतरता के अंतराल स्पष्ट हैं, और अक्ष को खींचा नहीं जा सकता है: जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन का चिह्न केवल "x" पर निर्भर करता है:
, अगर ;
, अगर ।

4) कार्य का बढ़ना, घटना, चरम होना।


क्रिटिकल प्वाइंट हैं।

अंक शून्य के बारे में सममित हैं, जैसा कि होना चाहिए।

आइए व्युत्पन्न के संकेतों को परिभाषित करें:


कार्य अंतराल पर बढ़ता है और अंतराल पर घटता है

इस बिंदु पर समारोह अपने अधिकतम तक पहुँचता है: .

संपत्ति के कारण (समारोह की विषमता) न्यूनतम छोड़ा जा सकता है:

चूंकि समारोह अंतराल पर घटता है, तो जाहिर है, ग्राफ "शून्य से अनंत" पर स्थित है अंतर्गतइसके स्पर्शोन्मुख के साथ। अंतराल पर, फ़ंक्शन भी घटता है, लेकिन यहां विपरीत सच है - अधिकतम बिंदु से गुजरने के बाद, रेखा ऊपर से अक्ष तक पहुंचती है।

ऊपर से यह भी पता चलता है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ "माइनस इनफिनिटी" पर उत्तल है और "प्लस इनफिनिटी" पर अवतल है।

अध्ययन के इस बिंदु के बाद, फ़ंक्शन के मूल्यों का क्षेत्र भी तैयार किया गया था:

यदि आपको किसी बिंदु की गलतफहमी है, तो मैं एक बार फिर आपसे आग्रह करता हूं कि आप अपनी नोटबुक में समन्वय अक्ष बनाएं और अपने हाथों में एक पेंसिल लेकर असाइनमेंट के प्रत्येक निष्कर्ष का फिर से विश्लेषण करें।

5) ग्राफ की उत्तलता, अवतलता, विभक्ति।

क्रिटिकल प्वाइंट हैं।

अंकों की समरूपता संरक्षित है, और, सबसे अधिक संभावना है, हम गलत नहीं हैं।

आइए संकेतों को परिभाषित करें:


फ़ंक्शन का ग्राफ़ उत्तल है और अवतल .

अत्यधिक अंतराल पर उत्तलता/अवतलता की पुष्टि की गई।

सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं पर ग्राफ़ में विभक्तियाँ हैं। फ़ंक्शन की विषमता का उपयोग करते हुए, गणनाओं की संख्या को फिर से कम करते हुए, विभक्ति बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें:

यदि कार्य में इसके ग्राफ के निर्माण के साथ फ़ंक्शन f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 का पूर्ण अध्ययन करना आवश्यक है, तो हम इस सिद्धांत पर विस्तार से विचार करेंगे।

इस प्रकार की समस्या को हल करने के लिए, मुख्य प्राथमिक कार्यों के गुणों और आलेखों का उपयोग करना चाहिए। अनुसंधान एल्गोरिथ्म में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

परिभाषा का डोमेन ढूँढना

चूंकि अनुसंधान फलन के क्षेत्र पर किया जाता है, इसलिए इस चरण से प्रारंभ करना आवश्यक है।

उदाहरण 1

दिए गए उदाहरण में डीपीवी से उन्हें बाहर करने के लिए हर के शून्य का पता लगाना शामिल है।

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2 ; + ∞

नतीजतन, आप जड़ें, लघुगणक और बहुत कुछ प्राप्त कर सकते हैं। फिर असमानता g (x) ≥ 0 द्वारा g (x) 4 प्रकार की एक समान डिग्री की जड़ के लिए ODZ को असमानता g (x) > 0 द्वारा लघुगणक log a g (x) के लिए खोजा जा सकता है।

ODZ सीमाओं की जांच और ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख खोजना

फ़ंक्शन की सीमाओं पर ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख होते हैं, जब ऐसे बिंदुओं पर एक तरफा सीमाएं अनंत होती हैं।

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, सीमा बिंदुओं को x = ± 1 2 के बराबर मानें।

फिर एक तरफा सीमा खोजने के लिए फलन का अध्ययन करना आवश्यक है। तब हमें वह मिलता है: लिम x → - 1 2 - 0 f (x) = लिम x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = लिम x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ लिम x → - 1 2 + 0 f (x) = लिम x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = लिम x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ लिम x → 1 2 - 0 f (x) = लिम x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = लिम x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ लिम x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (+ 0) 2 = + ∞

इससे पता चलता है कि एकतरफा सीमाएँ अनंत हैं, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ x = ± 1 2 ग्राफ़ के ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी हैं।

समारोह की जांच और सम या विषम के लिए

जब स्थिति y (- x) = y (x) मिलती है, तो फलन सम माना जाता है। इससे पता चलता है कि ग्राफ O y के संबंध में सममित रूप से स्थित है। जब स्थिति y (- x) = - y (x) मिलती है, तो फलन विषम माना जाता है। इसका मतलब यह है कि निर्देशांक की उत्पत्ति के संबंध में समरूपता जाती है। यदि कम से कम एक असमानता विफल हो जाती है, तो हमें सामान्य रूप का एक फलन प्राप्त होता है।

समानता y (- x) = y (x) की पूर्ति इंगित करती है कि फलन सम है। निर्माण करते समय, यह ध्यान रखना आवश्यक है कि O y के संबंध में समरूपता होगी।

असमानता को हल करने के लिए, वृद्धि और कमी के अंतराल क्रमशः शर्तों f "(x) ≥ 0 और f" (x) ≤ 0 के साथ उपयोग किए जाते हैं।

परिभाषा 1

स्थिर बिंदुवे बिंदु हैं जो व्युत्पन्न को शून्य में बदल देते हैं।

महत्वपूर्ण बिंदुडोमेन से आंतरिक बिंदु हैं जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है।

निर्णय लेते समय, निम्नलिखित बिंदुओं को ध्यान में रखा जाना चाहिए:

• फॉर्म की असमानता की वृद्धि और कमी के मौजूदा अंतराल के लिए f "(x)> 0, महत्वपूर्ण बिंदुओं को समाधान में शामिल नहीं किया गया है;
• जिन बिंदुओं पर फ़ंक्शन को परिमित व्युत्पन्न के बिना परिभाषित किया गया है, उन्हें वृद्धि और कमी के अंतराल में शामिल किया जाना चाहिए (उदाहरण के लिए, y \u003d x 3, जहां बिंदु x \u003d 0 फ़ंक्शन को परिभाषित करता है, व्युत्पन्न में अनंत का मान होता है इस बिंदु पर, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 वृद्धि अंतराल में शामिल है);
• असहमति से बचने के लिए, गणितीय साहित्य का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है, जिसकी सिफारिश शिक्षा मंत्रालय द्वारा की जाती है।

घटना के बढ़ने और घटने के अंतराल में महत्वपूर्ण बिंदुओं को शामिल करना कि वे फ़ंक्शन के डोमेन को संतुष्ट करते हैं।

परिभाषा 2

के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि और कमी के अंतराल को निर्धारित करना, खोजना आवश्यक है:

• व्युत्पन्न;
• महत्वपूर्ण बिंदु;
• महत्वपूर्ण बिंदुओं की सहायता से परिभाषा के क्षेत्र को अंतरालों में विभाजित कर सकेंगे;
• प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करें, जहां + एक वृद्धि है और - एक कमी है।

उदाहरण 3

डोमेन f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) पर व्युत्पन्न खोजें 2 .

समाधान

हल करने के लिए आपको चाहिए:

• स्थिर बिंदु खोजें, इस उदाहरण में x = 0 है;
• हर के शून्य का पता लगाएं, उदाहरण x = ± 1 2 पर मान शून्य लेता है।

प्रत्येक अंतराल पर डेरिवेटिव निर्धारित करने के लिए हम संख्यात्मक अक्ष पर अंक प्रदर्शित करते हैं। ऐसा करने के लिए, अंतराल से किसी भी बिंदु को लेना और गणना करना पर्याप्त है। यदि परिणाम सकारात्मक है, तो हम ग्राफ़ पर + बनाते हैं, जिसका अर्थ है फ़ंक्शन में वृद्धि, और - का अर्थ है इसकी कमी।

उदाहरण के लिए, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, जिसका अर्थ है कि बाईं ओर के पहले अंतराल में + चिन्ह है। संख्या पर विचार करें पंक्ति।

उत्तर:

• अंतराल पर फ़ंक्शन में वृद्धि होती है - ∞ ; - 1 2 और (- 1 2 ; 0 ] ;
• अंतराल पर कमी है [ 0 ; 1 2) और 1 2; +∞ .

आरेख में, + और - का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन की सकारात्मकता और नकारात्मकता को दर्शाया गया है, और तीर घटते और बढ़ते हुए इंगित करते हैं।

किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु वे बिंदु होते हैं जहां फ़ंक्शन को परिभाषित किया जाता है और जिसके माध्यम से व्युत्पन्न परिवर्तन चिन्हित होते हैं।

उदाहरण 4

यदि हम एक उदाहरण पर विचार करते हैं जहां x \u003d 0 है, तो इसमें फ़ंक्शन का मान f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0 है। जब व्युत्पन्न का चिह्न + से - में बदलता है और बिंदु x \u003d 0 से होकर गुजरता है, तो निर्देशांक (0; 0) वाले बिंदु को अधिकतम बिंदु माना जाता है। जब चिह्न को - से + में बदला जाता है, तो हमें न्यूनतम अंक प्राप्त होता है।

उत्तलता और उत्तलता f "" (x) ≥ 0 और f "" (x) ≤ 0 के रूप की असमानताओं को हल करके निर्धारित की जाती है। कम अक्सर वे अवतलता के बजाय उभार नीचे नाम का उपयोग करते हैं, और उभार के बजाय उभार ऊपर।

परिभाषा 3

के लिए अवतलता और उत्तलता के अंतराल का निर्धारणज़रूरी:

• दूसरा व्युत्पन्न खोजें;
• दूसरे व्युत्पन्न के कार्य के शून्य का पता लगाएं;
• अंतराल में दिखाई देने वाले बिंदुओं द्वारा परिभाषा के क्षेत्र को तोड़ना;
• अंतर का संकेत निर्धारित करें।

उदाहरण 5

परिभाषा के डोमेन से दूसरा व्युत्पन्न खोजें।

समाधान

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "= = (- 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

हम अंश और हर के शून्यक ज्ञात करते हैं, जहाँ, हमारे उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि हर के शून्य x = ± 1 2

अब आपको संख्या रेखा पर अंक डालने और प्रत्येक अंतराल से दूसरे व्युत्पन्न के चिह्न को निर्धारित करने की आवश्यकता है। हमें वह मिल गया

उत्तर:

• फलन अंतराल से उत्तल है - 1 2 ; 12;
• समारोह अंतराल से अवतल है - ∞ ; - 1 2 और 1 2; +∞ .

परिभाषा 4

संक्रमण का बिन्दु x 0 के रूप का एक बिंदु है; च(x0) । जब इसमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए स्पर्शरेखा होती है, तो जब यह x 0 से गुजरता है, तो फ़ंक्शन विपरीत दिशा में साइन बदलता है।

दूसरे शब्दों में, यह एक ऐसा बिंदु है जिसके माध्यम से दूसरा व्युत्पन्न गुजरता है और हस्ताक्षर बदलता है, और बिंदुओं पर स्वयं शून्य के बराबर होता है या मौजूद नहीं होता है। सभी बिंदुओं को फ़ंक्शन का डोमेन माना जाता है।

उदाहरण में, यह देखा गया था कि कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं, क्योंकि दूसरा अवकलज बिंदु x = ± 1 2 से गुजरते समय चिन्ह बदलता है। बदले में, वे परिभाषा के क्षेत्र में शामिल नहीं हैं।

क्षैतिज और तिरछे स्पर्शोन्मुख ढूँढना

अनंत पर किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करते समय, किसी को क्षैतिज और तिरछे स्पर्शोन्मुखों की तलाश करनी चाहिए।

परिभाषा 5

तिर्यक स्पर्शोन्मुखसमीकरण y = k x + b, जहाँ k = lim x → ∞ f (x) x और b = lim x → ∞ f (x) - k x द्वारा दी गई रेखाओं का उपयोग करके खींचे गए हैं।

k = 0 और b के लिए अनंत के बराबर नहीं है, हम पाते हैं कि तिरछी अनंतस्पर्शी बन जाती है क्षैतिज.

दूसरे शब्दों में, स्पर्शोन्मुख वे रेखाएँ हैं जो फ़ंक्शन के ग्राफ़ को अनंत तक पहुँचाती हैं। यह फ़ंक्शन के ग्राफ़ के तेज़ी से निर्माण में योगदान देता है।

यदि कोई स्पर्शोन्मुख नहीं हैं, लेकिन फ़ंक्शन को दोनों अनन्तताओं पर परिभाषित किया गया है, तो यह समझने के लिए कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसे व्यवहार करेगा, इन अनन्तताओं पर फ़ंक्शन की सीमा की गणना करना आवश्यक है।

उदाहरण 6

उदाहरण के तौर पर, उस पर विचार करें

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

एक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है। फ़ंक्शन का शोध करने के बाद, आप इसे बनाना शुरू कर सकते हैं।

मध्यवर्ती बिंदुओं पर किसी फ़ंक्शन के मान की गणना करना

प्लॉटिंग को सबसे सटीक बनाने के लिए, मध्यवर्ती बिंदुओं पर फ़ंक्शन के कई मान खोजने की अनुशंसा की जाती है।

उदाहरण 7

हमारे द्वारा विचार किए गए उदाहरण से, फ़ंक्शन के मानों को बिंदुओं x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 पर खोजना आवश्यक है। चूँकि फ़ंक्शन सम है, हम पाते हैं कि मान इन बिंदुओं पर मानों से मेल खाते हैं, अर्थात, हमें x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4 मिलते हैं।

आइए लिखें और हल करें:

एफ (- 2) = एफ (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 एफ (- 1) - एफ (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

फ़ंक्शन के मैक्सिमा और मिनिमा को निर्धारित करने के लिए, विभक्ति बिंदु, मध्यवर्ती बिंदु, स्पर्शोन्मुख बनाना आवश्यक है। सुविधाजनक पदनाम के लिए, वृद्धि, कमी, उत्तलता, अवतलता के अंतराल तय किए गए हैं। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

चिह्नित बिंदुओं के माध्यम से ग्राफ लाइनें खींचना आवश्यक है, जो आपको तीरों का अनुसरण करते हुए स्पर्शोन्मुख के करीब लाने की अनुमति देगा।

यह फ़ंक्शन के पूर्ण अध्ययन का निष्कर्ष निकालता है। कुछ प्राथमिक कार्यों के निर्माण के मामले हैं जिनके लिए ज्यामितीय परिवर्तनों का उपयोग किया जाता है।

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रेशेबनिक कुज़नेत्सोव।
III रेखांकन

टास्क 7. फंक्शन का पूरा अध्ययन करें और उसका ग्राफ बनाएं।

        इससे पहले कि आप अपने विकल्पों को डाउनलोड करना शुरू करें, विकल्प 3 के लिए नीचे दिए गए नमूने के अनुसार समस्या को हल करने का प्रयास करें। कुछ विकल्पों को .rar प्रारूप में संग्रहित किया गया है

        7.3 फलन का संपूर्ण अध्ययन करें और उसका आलेखन करें

समाधान।

        1) कार्यक्षेत्र:         या         यानी        ।
.
इस प्रकार:         ।

        2) ऑक्स अक्ष के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं। दरअसल, समीकरण       का कोई समाधान नहीं है।
ओए अक्ष के साथ चौराहे के कोई बिंदु नहीं हैं क्योंकि        ।

      3) समारोहन तो सम और न ही विषम। y-अक्ष के बारे में कोई समरूपता नहीं है। उत्पत्ति के बारे में भी कोई समरूपता नहीं है। क्योंकि
.
हम देखते हैं कि         और      ।

        4) कार्य डोमेन में निरंतर है
.

; .

; .
इसलिए, बिंदु         दूसरी तरह का एक विच्छिन्न बिंदु है (अनंत असांतत्य)।

5) लंबवत अनंतस्पर्शी रेखाएँ:       

तिरछी स्पर्शरेखा का पता लगाएं        । यहाँ

;
.
इसलिए, हमारे पास एक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है: वाई = 0. कोई तिरछी अनन्तस्पर्शी रेखाएँ नहीं हैं।

      6) पहला डेरिवेटिव खोजें। पहला व्युत्पन्न:
.
और यही कारण है
.
आइए स्थिर बिंदु खोजें जहां व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, अर्थात
.

      7) दूसरा व्युत्पन्न खोजें। दूसरा व्युत्पन्न:
.
और यह सत्यापित करना आसान है, क्योंकि