사인, 코사인, 각도 탄젠트의 정의 및 기호. 숫자 원의 주요 점의 코사인 및 사인 값을 기억하는 방법 삼각 원 양수 및 음수

간단히 말해서 특별한 조리법에 따라 물에 익힌 야채입니다. 나는 두 가지 초기 구성 요소 (야채 샐러드와 물)와 완성 된 결과 - borscht를 고려할 것입니다. 기하학적으로 이것은 한 면이 상추를 나타내고 다른 면이 물을 나타내는 직사각형으로 나타낼 수 있습니다. 이 두 변의 합은 borscht를 나타냅니다. 이러한 "borscht"직사각형의 대각선과 면적은 순전히 수학적 개념이며 borscht 조리법에는 사용되지 않습니다.

양상추와 물은 수학적으로 어떻게 보르시로 변합니까? 두 세그먼트의 합은 어떻게 삼각법으로 바뀔 수 있습니까? 이것을 이해하려면 선형 각도 함수가 필요합니다.

수학 교과서에서 선형 각도 함수에 대한 내용을 찾을 수 없습니다. 그러나 그것들 없이는 수학도 있을 수 없습니다. 자연의 법칙과 마찬가지로 수학의 법칙은 존재하는지 여부에 관계없이 작동합니다.

선형 각도 함수는 덧셈의 법칙입니다.대수학이 기하학으로, 기하학이 삼각법으로 어떻게 변하는지 보십시오.

선형 각 함수 없이 할 수 있습니까? 수학자들은 여전히 그것들 없이도 관리하기 때문에 가능합니다. 수학자들의 속임수는 그들이 항상 스스로 풀 수 있는 문제에 대해서만 우리에게 이야기하고 그들이 풀지 못하는 문제에 대해서는 결코 우리에게 말하지 않는다는 사실에 있습니다. 보다. 덧셈과 한 항의 결과를 알고 있으면 빼기를 사용하여 다른 항을 찾습니다. 모든 것. 우리는 다른 문제를 알지 못하며 해결할 수 없습니다. 덧셈의 결과만 알고 두 항을 모두 모르는 경우 어떻게 해야 합니까? 이 경우 덧셈의 결과는 선형 각도 함수를 사용하여 두 항으로 분해되어야 합니다. 또한, 우리는 한 항이 될 수 있는 것을 스스로 선택하고 선형 각도 함수는 덧셈의 결과가 정확히 우리가 필요로 하는 것이 되기 위해 두 번째 항이 무엇이어야 하는지를 보여줍니다. 이러한 항의 쌍은 무한히 있을 수 있습니다. 일상생활에서 우리는 합을 분해하지 않고 아주 잘 하고, 우리는 빼기로 충분하다. 그러나 자연 법칙에 대한 과학적 연구에서 합을 용어로 확장하는 것은 매우 유용할 수 있습니다.

수학자들이 이야기하는 것을 좋아하지 않는 또 다른 덧셈 법칙(또 다른 속임수)은 항이 동일한 측정 단위를 가질 것을 요구합니다. 양상추, 물, 보르쉬의 경우 무게, 부피, 비용 또는 측정 단위가 될 수 있습니다.

그림은 수학에 대한 두 가지 수준의 차이를 보여줍니다. 첫 번째 수준은 표시된 숫자 필드의 차이입니다. ㅏ, 비, 씨. 이것이 수학자들이 하는 일입니다. 두 번째 수준은 대괄호로 표시되고 문자로 표시되는 측정 단위 영역의 차이입니다. 유. 이것이 물리학자들이 하는 일입니다. 우리는 세 번째 수준인 설명된 개체 범위의 차이를 이해할 수 있습니다. 다른 개체는 동일한 측정 단위의 동일한 수를 가질 수 있습니다. 이것이 얼마나 중요한지, 우리는 보르시 삼각법의 예에서 볼 수 있습니다. 다른 물체의 측정 단위에 대해 동일한 표기법에 첨자를 추가하면 특정 물체를 설명하는 수학적 양이 정확히 무엇이며 시간이 지남에 따라 또는 우리의 행동과 관련하여 어떻게 변하는지 말할 수 있습니다. 편지 여나는 문자로 물을 표시 할 것입니다 에스나는 편지로 샐러드를 표시 할 것입니다 비- 보쉬. borscht의 선형 각도 함수는 다음과 같습니다.

우리가 물의 일부와 샐러드의 일부를 취하면 함께 보르시 1인분으로 바뀔 것입니다. 여기서 나는 보르시에서 잠시 휴식을 취하고 먼 어린 시절을 기억할 것을 제안합니다. 우리가 토끼와 오리를 함께 놓는 법을 배웠던 것을 기억하십니까? 얼마나 많은 동물이 나올지 찾아야했습니다. 그러면 우리는 무엇을 하라고 배웠습니까? 우리는 숫자에서 단위를 분리하고 숫자를 더하는 방법을 배웠습니다. 예, 모든 번호를 다른 번호에 추가할 수 있습니다. 이것은 현대 수학의 자폐증에 대한 직접적인 경로입니다. 우리는 무엇을 이해하지 못하고, 그 이유가 명확하지 않으며, 이것이 현실과 어떻게 관련되는지 매우 잘 이해하지 못합니다. 세 가지 수준의 차이로 인해 수학자들은 한 가지 수준에서만 작동합니다. 한 측정 단위에서 다른 측정 단위로 이동하는 방법을 배우는 것이 더 정확할 것입니다.

그리고 토끼, 오리, 작은 동물은 조각으로 셀 수 있습니다. 서로 다른 개체에 대한 하나의 공통 측정 단위를 사용하면 함께 추가할 수 있습니다. 이것은 문제의 어린이 버전입니다. 성인을 위한 유사한 문제를 살펴보겠습니다. 토끼와 돈을 추가하면 무엇을 얻을 수 있습니까? 여기에 두 가지 가능한 솔루션이 있습니다.

첫 번째 옵션. 우리는 토끼의 시장 가치를 결정하고 사용 가능한 현금에 추가합니다. 우리는 돈의 관점에서 우리 부의 총 가치를 얻었습니다.

두 번째 옵션. 보유하고 있는 지폐 수에 토끼 수를 추가할 수 있습니다. 우리는 동산의 금액을 조각으로 얻을 것입니다.

보시다시피, 동일한 추가 법칙을 사용하면 다른 결과를 얻을 수 있습니다. 그것은 모두 우리가 정확히 알고 싶은 것에 달려 있습니다.

그러나 우리의 보르시로 돌아갑니다. 이제 우리는 선형 각도 함수의 각도 값에 따라 어떤 일이 일어날지 알 수 있습니다.

각도는 0입니다. 샐러드는 있지만 물은 없습니다. 우리는 보르시를 요리할 수 없습니다. borscht의 양도 0입니다. 이것은 0 보르시가 0 물과 같다는 것을 전혀 의미하지 않습니다. 제로 보쉬는 제로 샐러드(직각)에 있을 수도 있습니다.

개인적으로 이것은 . 0은 추가될 때 숫자를 변경하지 않습니다. 한 항만 있고 두 번째 항이 없으면 덧셈 자체가 불가능하기 때문입니다. 원하는 대로 이에 대해 설명할 수 있지만 기억하십시오. 0이 있는 모든 수학 연산은 수학자 자신이 발명한 것이므로 논리를 버리고 수학자가 발명한 정의를 어리석게 벼락치기로 밀어넣습니다. "0으로 나누는 것은 불가능합니다", "0을 곱한 모든 수 0과 같음", "0점 뒤에서" 및 기타 말도 안되는 소리입니다. 0은 숫자가 아니라는 것을 기억하는 것으로 충분합니다. 0이 자연수인지 아닌지에 대한 질문은 결코 없을 것입니다. 그러한 질문은 일반적으로 모든 의미를 잃기 때문입니다. 어떻게 숫자가 아닌 숫자를 고려할 수 있습니까? . 그것은 보이지 않는 색에 어떤 색을 부여할지 묻는 것과 같습니다. 숫자에 0을 더하는 것은 존재하지 않는 페인트로 그림을 그리는 것과 같습니다. 그들은 마른 붓을 흔들며 모두에게 "우리가 그렸습니다."라고 말했습니다. 그러나 나는 약간 빗나간다.

각도는 0보다 크고 45도 미만입니다. 우리는 상추를 많이 가지고 있지만 물은 적습니다. 결과적으로 우리는 두꺼운 보르시를 얻습니다.

각도는 45도입니다. 우리는 같은 양의 물과 양상추를 가지고 있습니다. 이것은 완벽한 보르시입니다.

각도는 45도보다 크고 90도보다 작습니다. 우리는 많은 물과 작은 상추를 가지고 있습니다. 액체 보르시를 얻으십시오.

직각. 물이 있습니다. 한때 양상추를 표시한 선에서 각도를 계속 측정하므로 양상추에 대한 기억만 남아 있습니다. 우리는 보르시를 요리할 수 없습니다. 보르시 양은 0입니다. 그런 경우에는 물이 있는 동안 잡고 마시십시오.)))

여기. 이 같은. 여기에서 적절하지 않은 다른 이야기를 할 수 있습니다.

두 친구는 공동 사업에서 지분을 가지고 있었습니다. 그들 중 하나가 살해 된 후 모든 것이 다른쪽으로 갔다.

우리 행성에서 수학의 출현.

이 모든 이야기는 선형 각도 함수를 사용하여 수학 언어로 설명됩니다. 다른 시간에 나는 수학 구조에서 이러한 함수의 실제 위치를 보여줄 것입니다. 그 동안 보르쉬의 삼각법으로 돌아가서 투영법을 생각해 봅시다.

2019년 10월 26일 토요일

에 대한 흥미로운 비디오를 보았습니다. 그란디의 행 하나 빼기 하나 더하기 하나 빼기 - Numberphile. 수학자들은 거짓말을 합니다. 그들은 추론에서 평등 테스트를 수행하지 않았습니다.

이것은 에 대한 나의 추론과 일치한다.

수학자들이 우리를 속이고 있다는 신호를 자세히 살펴보자. 추론의 맨 처음에 수학자들은 시퀀스의 합이 요소의 수가 짝수인지 아닌지에 따라 달라진다고 말합니다. 이것은 객관적으로 확립된 사실입니다. 다음에 무슨 일이?

다음으로 수학자들은 1에서 수열을 뺍니다. 이것은 무엇으로 이어지는가? 이로 인해 시퀀스의 요소 수가 변경됩니다. 짝수는 홀수로 변경되고 홀수는 짝수로 변경됩니다. 결국, 우리는 시퀀스에 1과 동일한 하나의 요소를 추가했습니다. 모든 외부 유사성에도 불구하고 변환 전의 순서는 변환 후의 순서와 같지 않습니다. 무한 수열에 대해 이야기하고 있더라도, 홀수개의 원소를 갖는 무한 수열은 짝수개의 원소를 갖는 무한 수열과 같지 않다는 것을 기억해야 합니다.

요소 수가 다른 두 시퀀스 사이에 등호를 넣으면 수학자들은 시퀀스의 합이 시퀀스의 요소 수에 의존하지 않는다고 주장하며, 이는 객관적으로 확립된 사실과 모순됩니다. 무한 수열의 합에 대한 추가 추론은 거짓 평등을 기반으로 하기 때문에 거짓입니다.

수학자들이 증명 과정에서 대괄호를 배치하고, 수학적 표현의 요소를 재정렬하고, 무언가를 추가하거나 제거하고, 매우 조심하십시오. 아마도 그들이 당신을 속이려고 할 가능성이 큽니다. 카드 마술사처럼 수학자들은 결국 잘못된 결과를 주기 위해 다양한 표현 조작으로 주의를 분산시킵니다. 부정 행위의 비밀을 모른 채 카드 트릭을 반복할 수 없다면 수학에서 모든 것이 훨씬 간단합니다. 부정 행위에 대해 전혀 의심하지 않지만 수학적 표현으로 모든 조작을 반복하면 다른 사람들에게 당신을 설득했을 때와 마찬가지로 결과의 정확성.

청중의 질문: 그리고 무한대(시퀀스 S의 요소 수)는 짝수입니까 아니면 홀수입니까? 패리티가 없는 항목의 패리티를 어떻게 변경할 수 있습니까?

수학자에게 무한은 성직자를위한 천국과 같습니다. 아무도 거기에 가본 적이 없지만 모든 사람은 모든 것이 어떻게 작동하는지 정확히 알고 있습니다.))) 동의합니다. 죽은 후에는 짝수 또는 홀수 일을 살았는지 여부에 관계없이 절대적으로 무관심할 것입니다. , 하지만 ... 인생이 시작될 때 하루를 추가하면 완전히 다른 사람이 생깁니다. 그의 성, 이름 및 후원은 정확히 동일하고 생년월일 만 완전히 다릅니다. 그는 태어났습니다. 하루 전에.

그리고 이제 요점으로))) 패리티가 있는 유한 시퀀스가 무한대로 갈 때 이 패리티를 잃는다고 가정합니다. 그러면 무한 시퀀스의 유한 세그먼트도 패리티를 잃어야 합니다. 우리는 이것을 관찰하지 않습니다. 무한 수열의 원소의 개수가 짝수인지 홀수인지 확실히 말할 수 없다는 사실이 패리티가 사라진 것을 의미하지는 않습니다. 패리티가 존재한다면, 카드의 슬리브가 샤프한 것처럼 흔적 없이 무한대로 사라질 수 없습니다. 이 경우에는 아주 좋은 비유가 있습니다.

시계 바늘이 회전하는 방향으로 시계에 앉아있는 뻐꾸기에게 물어 본 적이 있습니까? 그녀에게 화살표는 우리가 "시계 방향"이라고 부르는 것과 반대 방향으로 회전합니다. 역설적으로 들릴 수 있지만 회전 방향은 회전을 관찰하는 쪽에 전적으로 의존합니다. 그래서 회전하는 바퀴가 하나 있습니다. 회전 평면의 한쪽과 다른 쪽에서 모두 관찰할 수 있기 때문에 회전이 어느 방향으로 발생하는지 말할 수 없습니다. 우리는 회전이 있다는 사실만 증언할 수 있습니다. 무한 시퀀스의 패리티와 완전한 유추 에스.

이제 회전 평면이 첫 번째 회전 바퀴의 회전 평면과 평행한 두 번째 회전 바퀴를 추가해 보겠습니다. 우리는 여전히 이 바퀴가 어느 방향으로 회전하고 있는지 정확히 알 수 없지만 두 바퀴가 같은 방향으로 회전하는지 반대 방향으로 회전하는지 절대적으로 확실하게 알 수 있습니다. 두 개의 무한 시퀀스 비교 에스그리고 1-S, 나는 수학의 도움으로 이러한 시퀀스가 서로 다른 패리티를 가지고 있고 그들 사이에 등호를 넣는 것은 실수라는 것을 보여주었습니다. 개인적으로 나는 수학을 믿고 수학자를 믿지 않는다)) 그런데 무한 수열의 변환 기하학을 완전히 이해하려면 개념을 도입해야합니다 "동시성". 이것은 그려야 합니다.

2019년 8월 7일 수요일

에 대한 대화를 마치면서 무한 집합을 고려해야 합니다. "무한"의 개념은 토끼의 보아뱀처럼 수학자에게 작용합니다. 무한의 떨리는 공포는 수학자들의 상식을 박탈합니다. 다음은 예입니다.

원본 소스가 있습니다. 알파는 실수를 나타냅니다. 위 식에서 등호는 무한대에 숫자나 무한대를 더하면 아무 것도 변경되지 않고 결과가 동일한 무한대가 됨을 나타냅니다. 무한한 자연수의 집합을 예로 들면 고려된 예는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

그들의 경우를 시각적으로 증명하기 위해 수학자들은 다양한 방법을 생각해 냈습니다. 개인적으로 나는 이 모든 방법을 탬버린을 든 무당의 춤으로 본다. 본질적으로, 그들은 모두 방 중 일부가 점유되지 않고 새로운 손님이 그 안에 정착하거나 손님 중 일부가 손님을위한 공간을 만들기 위해 복도로 쫓겨났다는 사실로 귀결됩니다 (매우 인간적). 나는 금발에 관한 환상적인 이야기의 형태로 그러한 결정에 대한 나의 견해를 제시했습니다. 내 추론은 무엇을 기반으로 합니까? 무한한 수의 방문자를 이동하려면 무한한 시간이 걸립니다. 우리가 첫 번째 객실을 비운 후 방문자 중 한 명은 시간이 끝날 때까지 항상 복도를 따라 자신의 방에서 다음 방으로 걸어갈 것입니다. 물론 시간 요소는 어리석게 무시할 수 있지만 이것은 이미 "법은 바보를 위해 쓰여지지 않았습니다."라는 범주에 속합니다. 그것은 모두 우리가 하는 일에 달려 있습니다. 현실을 수학적 이론에 맞추거나 그 반대로 조정하는 것입니다.

"인피니트 호텔"이란 무엇입니까? 인피니티 인(infinity inn)은 방이 아무리 많아도 빈자리가 항상 있는 여관이다. "방문객을 위한" 끝없는 복도의 모든 방이 점유되어 있다면 "손님"을 위한 공간이 있는 또 다른 끝없는 복도가 있습니다. 그러한 복도는 무한히 많을 것입니다. 동시에 '무한 호텔'은 무한한 수의 신이 창조한 무한한 우주의 무한한 수의 행성, 무한한 수의 건물에 무한한 수의 층을 가지고 있다. 반면에 수학자들은 진부한 일상의 문제에서 벗어날 수 없습니다. 신-알라-부처는 항상 하나이고, 호텔은 하나이며, 복도는 하나입니다. 그래서 수학자들은 호텔 방의 일련 번호를 저글링하여 "밀어내지 않은 채 밀어내는" 것이 가능하다고 우리를 설득하고 있습니다.

나는 무한한 자연수 집합의 예를 사용하여 내 추론의 논리를 설명할 것입니다. 먼저 매우 간단한 질문에 답해야 합니다. 몇 개의 자연수 집합이 존재합니까 - 하나 또는 여러 개? 이 질문에 대한 정답은 없습니다. 우리 스스로 숫자를 발명했기 때문에 자연에는 숫자가 없습니다. 예, 자연은 완벽하게 계산하는 방법을 알고 있지만 이를 위해 우리에게 익숙하지 않은 다른 수학적 도구를 사용합니다. 자연이 생각하는 대로, 나는 또 다른 시간에 당신에게 말할 것입니다. 우리는 숫자를 발명했기 때문에 자연수의 집합이 몇 개인지 스스로 결정할 것입니다. 실제 과학자에게 적합한 두 가지 옵션을 모두 고려하십시오.

옵션 1. 선반 위에 고요히 놓여 있는 단일 세트의 자연수를 "주어진 것입니다." 우리는 선반에서 이 세트를 가져옵니다. 즉, 선반에 다른 자연수가 남아 있지 않으며 가져올 곳이 없습니다. 이미 가지고 있기 때문에 이 세트에 추가할 수 없습니다. 정말 하고 싶다면? 문제 없어요. 우리는 이미 가져온 세트에서 한 단위를 가져와 선반으로 되돌릴 수 있습니다. 그런 다음 선반에서 한 단위를 가져와 남은 항목에 추가할 수 있습니다. 결과적으로 우리는 다시 무한한 자연수 집합을 얻습니다. 다음과 같이 모든 조작을 작성할 수 있습니다.

나는 대수 표기법과 집합 이론 표기법으로 연산을 기록했으며 집합의 요소를 자세히 나열했습니다. 아래 첨자는 자연수 집합이 하나뿐임을 나타냅니다. 자연수 집합은 자연수에서 하나를 빼고 같은 수를 더하는 경우에만 변경되지 않은 상태로 유지됩니다.

옵션 2. 우리는 선반에 많은 다른 무한한 자연수 집합을 가지고 있습니다. 나는 그들이 실질적으로 구별 할 수 없다는 사실에도 불구하고 - DIFFERENT를 강조합니다. 우리는 이 세트 중 하나를 선택합니다. 그런 다음 다른 자연수 집합에서 하나를 가져와 이미 취한 집합에 더합니다. 두 세트의 자연수를 더할 수도 있습니다. 우리가 얻은 것은 다음과 같습니다.

아래 첨자 "one" 및 "two"는 이러한 요소가 다른 집합에 속함을 나타냅니다. 예, 무한 집합에 하나를 추가하면 결과도 무한 집합이 되지만 원래 집합과 같지는 않습니다. 다른 무한 집합이 하나의 무한 집합에 추가되면 결과는 처음 두 집합의 요소로 구성된 새로운 무한 집합입니다.

자연수 집합은 측정을 위한 자와 같은 방식으로 계산에 사용됩니다. 이제 눈금자에 1센티미터를 추가했다고 상상해 보십시오. 이것은 이미 원본과 같지 않은 다른 줄이 될 것입니다.

내 추론을 수락하거나 수락하지 않을 수 있습니다. 이것은 당신 자신의 일입니다. 그러나 수학적 문제에 부딪히게 된다면, 수 세대에 걸친 수학자들이 밟아온 잘못된 추론의 길을 걷고 있는지 생각해 보십시오. 결국, 수학 수업은 우선 우리의 사고에 대한 고정 관념을 형성하고 그 다음에야 우리에게 정신적 능력을 추가합니다 (또는 그 반대의 경우도 우리에게 자유로운 사고를 박탈합니다).

pozg.ru

2019년 8월 4일 일요일

나는 기사에 대한 포스트 스크립트를 작성하고 있었고 Wikipedia에서 다음과 같은 멋진 텍스트를 보았습니다.

우리는 다음과 같이 읽습니다. "... 바빌로니아 수학의 풍부한 이론적 기초는 전체론적 특성을 갖지 않았고 공통 시스템과 증거 기반이 없는 일련의 이질적인 기술로 축소되었습니다."

우와! 우리가 얼마나 똑똑하고 다른 사람들의 결점을 얼마나 잘 볼 수 있는지. 같은 맥락에서 현대 수학을 보는 것이 우리에게 약한가? 위의 텍스트를 약간 바꿔서 개인적으로 다음을 얻었습니다.

현대 수학의 풍부한 이론적 기초는 전체론적 성격을 갖지 않으며 공통 시스템과 증거 기반이 없는 일련의 이질적인 섹션으로 축소됩니다.

나는 내 말을 확인하기 위해 멀리 가지 않을 것입니다. 그것은 다른 많은 수학 분야의 언어 및 관례와 다른 언어와 관례를 가지고 있습니다. 수학의 다른 분야에서 같은 이름은 다른 의미를 가질 수 있습니다. 나는 현대 수학의 가장 명백한 실수에 대해 출판물의 전체 주기를 바치고 싶습니다. 곧 봐요.

2019년 8월 3일 토요일

집합을 부분 집합으로 나누는 방법은 무엇입니까? 이렇게 하려면 선택한 세트의 일부 요소에 있는 새 측정 단위를 입력해야 합니다. 예를 들어보겠습니다.

우리가 많이 가질 수 있기를 하지만 4명으로 구성. 이 집합은 "사람"을 기준으로 구성되어 있으며, 이 집합의 구성요소를 문자로 지정해 봅시다. ㅏ, 숫자가 있는 아래 첨자는 이 집합에 있는 각 사람의 서수를 나타냅니다. 새로운 측정 단위 "성적 특성"을 도입하고 문자로 표시합시다 비. 성적 특성은 모든 사람에게 내재되어 있으므로 집합의 각 요소를 곱합니다. 하지만성별에 비. "사람" 집합이 이제 "성별이 있는 사람" 집합이 되었습니다. 그 후, 우리는 성적 특성을 남성으로 나눌 수 있습니다 비엠그리고 여성용 bw성별 특성. 이제 수학적 필터를 적용할 수 있습니다. 이러한 성적 특성 중 하나를 선택합니다. 어느 것이 남성인지 여성인지는 중요하지 않습니다. 그것이 사람에게 있으면 1을 곱하고 그러한 표시가 없으면 0을 곱합니다. 그런 다음 일반적인 학교 수학을 적용합니다. 무슨 일이 일어 났는지보십시오.

곱셈, 축소 및 재배열 후에 우리는 두 개의 하위 집합을 얻었습니다. 남성 하위 집합 비엠그리고 여성의 하위 집합 bw. 수학자들이 집합론을 실제로 적용할 때 추론하는 것과 거의 같은 방식입니다. 그러나 그들은 우리에게 세부 사항을 알려주지 않고 최종 결과를 제공합니다. "많은 사람들이 남성의 부분 집합과 여성의 부분 집합으로 구성됩니다." 당연히 위의 변환에서 수학을 얼마나 올바르게 적용했는지에 대한 질문이 있을 수 있습니다. 사실 변환이 올바르게 수행되었음을 감히 확신합니다. 산술, 부울 대수 및 기타 수학 섹션의 수학적 정당성을 아는 것으로 충분합니다. 그것은 무엇입니까? 다른 시간에 나는 그것에 대해 말할 것입니다.

상위 집합의 경우 이 두 집합의 요소에 있는 측정 단위를 선택하여 두 집합을 하나의 상위 집합으로 결합할 수 있습니다.

보시다시피, 측정 단위와 일반적인 수학은 집합 이론을 과거의 것으로 만듭니다. 집합론이 옳지 않다는 신호는 수학자들이 집합론에 대한 고유한 언어와 표기법을 생각해 냈다는 것입니다. 수학자들은 한때 무당들이 했던 일을 했습니다. 샤먼만이 자신의 "지식"을 "올바르게" 적용하는 방법을 알고 있습니다. 이 "지식"은 우리에게 가르쳐줍니다.

결론적으로, 나는 수학자들이 어떻게 조작하는지 보여주고 싶습니다.
아킬레스가 거북이보다 10배 빠르고 거북이보다 1000보나 뒤진다고 가정해 봅시다. 아킬레우스가 이 거리를 달리는 동안 거북이는 같은 방향으로 100보를 기어갑니다. 아킬레우스가 100보를 달리면 거북이는 또 10보를 기어가고 이런 식으로 계속됩니다. 이 과정은 무기한 계속될 것이며 아킬레스는 거북이를 따라가지 못할 것입니다.

이 추론은 모든 후속 세대에게 논리적 충격이 되었습니다. 아리스토텔레스, 디오게네스, 칸트, 헤겔, 길베르트... 그들 모두는 어떤 식으로든 제노의 아포리아를 고려했습니다. 충격이 너무 강해서 " ... 토론은 현재 계속되고 있으며 과학계는 아직 역설의 본질에 대한 공통된 의견에 도달하지 못했습니다 ... 수학적 분석, 집합 이론, 새로운 물리적 및 철학적 접근이 문제 연구에 참여했습니다 ; 그들 중 누구도 문제에 대한 보편적인 해결책이 되지 못했습니다 ..."[위키피디아," Zeno's Aporias "]. 자신이 속고 있다는 것은 누구나 알지만 속임수가 무엇인지는 아무도 이해하지 못한다.

수학의 관점에서 Zeno는 그의 아포리아에서 가치에서 가치로의 전환을 분명히 보여주었습니다. 이 전환은 상수 대신 적용을 의미합니다. 내가 아는 한, 가변 측정 단위를 적용하는 수학적 장치는 아직 개발되지 않았거나 Zeno의 아포리아에 적용되지 않았습니다. 우리의 일반적인 논리를 적용하면 함정에 빠지게 됩니다. 우리는 사고의 관성에 의해 일정한 시간 단위를 역수에 적용합니다. 물리적인 관점에서 보면 아킬레스가 거북이를 따라잡는 순간에 시간이 완전히 멈추는 것처럼 보입니다. 시간이 멈추면 아킬레스는 더 이상 거북이를 따라갈 수 없습니다.

우리가 익숙한 논리를 바꾸면 모든 것이 제자리에 들어갑니다. 아킬레스는 일정한 속도로 달립니다. 경로의 각 후속 세그먼트는 이전 세그먼트보다 10배 더 짧습니다. 따라서 그것을 극복하는 데 소요되는 시간은 이전보다 10 배 적습니다. 이 상황에서 '무한'이라는 개념을 적용한다면 '아킬레스는 거북이를 무한히 빠르게 추월할 것이다'라고 말하는 것이 맞을 것이다.

이 논리적 함정을 피하는 방법은 무엇입니까? 일정한 시간 단위를 유지하고 상호 값으로 전환하지 마십시오. Zeno의 언어로 다음과 같이 보입니다.

아킬레우스가 천 걸음을 달리는 데 걸리는 시간에 거북이는 같은 방향으로 백 걸음을 기어갑니다. 첫 번째 시간과 동일한 다음 시간 간격 동안 아킬레스는 천 걸음을 더 달리고 거북이는 백 걸음을 기어갑니다. 이제 아킬레스는 거북이보다 800보 앞서 있습니다.

이 접근 방식은 논리적 역설 없이 현실을 적절하게 설명합니다. 그러나 이것은 문제에 대한 완전한 해결책이 아닙니다. 빛의 속도의 극복 불가능성에 대한 아인슈타인의 진술은 Zeno의 아포리아 "아킬레스와 거북이"와 매우 유사합니다. 우리는 아직 이 문제를 연구하고 재고하고 해결하지 못했습니다. 그리고 솔루션은 무한히 많은 숫자가 아니라 측정 단위로 찾아야 합니다.

Zeno의 또 다른 흥미로운 아포리아는 날아다니는 화살에 대해 다음과 같이 알려줍니다.

날아가는 화살은 움직이지 않는데, 그 이유는 매 순간 정지하고 있기 때문에, 매 순간 정지하고 있기 때문에 항상 정지하고 있기 때문입니다.

이 아포리아에서 논리적 역설은 매우 간단하게 극복됩니다. 비행 화살은 시간의 매 순간에 공간의 다른 지점에 놓여 있음을 명확히 하는 것으로 충분합니다. 이는 실제로 움직임입니다. 여기서 주목해야 할 또 다른 점이 있다. 도로 위의 한 장의 자동차 사진에서 그 움직임의 사실이나 거리를 결정하는 것은 불가능합니다. 자동차의 이동 사실을 확인하기 위해서는 같은 지점에서 다른 시점에 찍은 두 장의 사진이 필요하지만 거리를 판단하는 데 사용할 수는 없다. 자동차까지의 거리를 결정하려면 동시에 공간의 다른 지점에서 찍은 두 장의 사진이 필요하지만 이동 사실을 결정할 수는 없습니다(물론 계산을 위해 여전히 추가 데이터가 필요하며 삼각법이 도움이 될 것입니다). 특히 지적하고 싶은 것은 두 점의 시간과 공간은 서로 다른 탐색의 기회를 제공하므로 혼동해서는 안 되는 두 가지 점이다.
그 과정을 예시로 보여드리겠습니다. 우리는 "여드름에 붉은색 고체"를 선택합니다. 이것이 우리의 "전체"입니다. 동시에 우리는 이것들이 활이 있는 것과 활 없는 것이 있음을 봅니다. 그런 다음 "전체"의 일부를 선택하고 "활과 함께"세트를 형성합니다. 이것이 샤먼이 자신의 집합 이론을 현실에 연결하여 스스로를 먹여 살리는 방법입니다.

이제 약간의 트릭을 수행해 보겠습니다. "활이있는 여드름에 단단한"을 가져 와서 빨간색 요소를 선택하여 "전체"를 색상으로 결합합시다. 우리는 "빨간색"을 많이 얻었습니다. 이제 까다로운 질문입니다. 받은 세트가 "활 포함"과 "빨간색"이 같은 세트입니까 아니면 두 개의 다른 세트입니까? 샤먼만이 답을 알고 있습니다. 더 정확하게 말하면, 그들 자신은 아무것도 모르지만 그들이 말하는 것처럼 그렇게 될 것입니다.

이 간단한 예는 집합 이론이 현실에서 완전히 쓸모가 없다는 것을 보여줍니다. 비밀은 무엇입니까? 우리는 "활이있는 붉은 단단한 여드름"세트를 형성했습니다. 색상(빨간색), 강도(단색), 거칠기(범프), 장식(활 포함)의 네 가지 측정 단위에 따라 형성되었습니다. 측정 단위 집합만이 수학 언어로 실제 대상을 적절하게 설명하는 것을 가능하게 합니다.. 다음은 어떻게 생겼는지입니다.

인덱스가 다른 문자 "a"는 다른 측정 단위를 나타냅니다. 괄호 안에는 "전체"가 예비 단계에서 할당되는 측정 단위가 강조 표시됩니다. 세트가 형성되는 측정 단위는 브래킷에서 제거됩니다. 마지막 줄은 최종 결과인 집합의 요소를 보여줍니다. 보시다시피, 단위를 사용하여 집합을 구성하면 결과가 작업 순서에 따라 달라지지 않습니다. 그리고 이것은 수학이지 탬버린을 든 무당의 춤이 아닙니다. 샤먼은 측정 단위가 "과학적" 무기고에 포함되어 있지 않기 때문에 "직관적으로" 동일한 결과에 도달하여 "명백함"으로 주장할 수 있습니다.

측정 단위의 도움으로 하나를 나누거나 여러 세트를 하나의 상위 세트로 결합하는 것이 매우 쉽습니다. 이 과정의 대수학을 자세히 살펴보겠습니다.

마지막 수업에서 우리는 모든 삼각법의 핵심 개념을 성공적으로 마스터했습니다(또는 누구나 좋아할 때 반복). 그것 삼각원 , 원의 각도 , 이 각도의 사인과 코사인 또한 마스터 분기의 삼각 함수 기호 . 자세하게 배웠습니다. 손가락으로 말할 수 있습니다.

그러나 이것은 여전히 충분하지 않습니다. 이 모든 간단한 개념을 실제로 성공적으로 적용하려면 또 다른 유용한 기술이 필요합니다. 즉, 올바른 모서리 작업 삼각법에서. 삼각법에 대한 이 기술이 없으면 아무것도 아닙니다. 가장 원시적인 예에서도. 왜요? 예, 각도가 모든 삼각법에서 핵심적인 역할을 하기 때문입니다! 아니요, 삼각 함수가 아닙니다. 사인과 코사인이 아닌, 탄젠트와 코탄젠트가 아닌, 즉 코너 그 자체. 각도 없음 - 삼각 함수 없음, 예 ...

원의 모서리로 작업하는 방법은 무엇입니까? 이를 위해서는 아이러니하게도 두 가지 점을 배워야 합니다.

1) 어떻게원의 각도가 계산됩니까?

2) 뭐계산(측정)되었습니까?

첫 번째 질문에 대한 답이 오늘 수업의 주제입니다. 첫 번째 질문을 바로 지금 여기서 자세히 다루겠습니다. 두 번째 질문에 대한 답변은 여기에서 제공되지 않습니다. 상당히 발달되어 있기 때문입니다. 두 번째 질문 자체와 마찬가지로 매우 미끄럽습니다. 그렇습니다.) 지금은 자세히 설명하지 않겠습니다. 이것은 다음 개별 수업의 주제입니다.

시작 할까?

원에서 각도는 어떻게 계산됩니까? 양수 및 음수 각도.

단락의 제목을 읽는 사람들은 이미 머리가 끝나갈 수 있습니다. 어때요?! 네거티브 코너? 이것이 가능합니까?

부정적인 번호우리는 이미 그것에 익숙해져 있습니다. 우리는 수치적 축에 그것들을 표현할 수 있습니다: 0의 오른쪽에 양수, 0의 왼쪽에 음수. 예, 그리고 우리는 주기적으로 창 밖의 온도계를 봅니다. 특히 겨울, 서리에.) 그리고 전화의 돈은 "마이너스"(즉, 의무) 가끔 가세요. 모두 친숙합니다.

그러나 모서리는 어떻습니까? 수학에서 음의 각도가 나온다는 것이 밝혀졌습니다. 또한 발생!그것은 모두이 각도를 계산하는 방법에 달려 있습니다 ... 아니요, 숫자 선이 아니라 숫자 원에 있습니다! 내 말은, 원 안에. 원 - 삼각법의 숫자 선과 유사합니다!

그래서, 원의 각은 어떻게 계산됩니까?할 일이 없습니다. 먼저 바로 이 원을 그려야 합니다.

나는이 아름다운 그림을 그릴 것입니다 :

그것은 이전 수업의 그림과 매우 유사합니다. 축이 있고 원이 있고 각도가 있습니다. 그러나 새로운 정보도 있습니다.

또한 축에 0°, 90°, 180°, 270° 및 360°에 대한 숫자를 추가했습니다. 이제 이것은 더 흥미롭습니다.) 이 숫자는 무엇입니까? 바르게! 이것은 우리의 고정면에서 측정 된 각도 값입니다. 좌표축에.각도의 고정면은 항상 양의 반축 OX에 단단히 부착되어 있음을 기억합니다. 그리고 삼각법의 모든 각도는 이 반축에서 측정됩니다. 이 각도의 기본 기원은 아이러니하게도 염두에 두어야 합니다. 그리고 축은 직각으로 교차합니다. 맞죠? 따라서 각 분기에 90 °를 추가합니다.

그리고 더 추가됨 빨간색 화살표. 플러스. 빨간색은 일부러 시선을 사로잡는 것입니다. 그리고 그것은 내 기억에 잘 남아 있었다. 이것은 확실하게 기억해야 합니다.) 이 화살표는 무엇을 의미합니까?

그래서 우리가 모퉁이를 돌면 플러스 화살표(반시계 방향, 분기 번호 매기기 과정에서), 각도 긍정적으로 간주됩니다!그림은 예를 들어 +45°의 각도를 보여줍니다. 그건 그렇고, 축 각도 0°, 90°, 180°, 270° 및 360°도 정확하게 플러스로 되감습니다! 빨간색 화살표로.

이제 다른 그림을 보겠습니다.

여기에서는 거의 모든 것이 동일합니다. 축의 각도만 번호가 매겨집니다. 반전.시계 방향으로. 그리고 마이너스 기호가 있습니다.) 파란색 화살표. 또한 마이너스. 이 화살표는 원의 각도에 대한 음수 판독 방향입니다. 그녀는 우리가 모퉁이를 연기하면 시계 방향으로, 그 다음에 각도는 음수로 간주됩니다.예를 들어, -45°의 각도를 보여주었습니다.

그건 그렇고, 분기 번호는 절대 변경되지 않습니다! 우리가 모서리를 플러스 또는 마이너스로 감는 것은 중요하지 않습니다. 항상 시계 반대 방향으로 엄격하게 반대합니다.)

기억하다:

1. 각도 계산의 시작은 양의 반축 ОХ에서 시작됩니다. 시간 - "빼기", 시계 반대 - "플러스".

2. 4분의 1 숫자는 각도 계산 방향에 관계없이 항상 시계 반대 방향입니다.

그건 그렇고, 원을 그릴 때마다 0°, 90°, 180°, 270°, 360° 축의 각에 서명하는 것은 전혀 요구 사항이 아닙니다. 이것은 순전히 본질을 이해하기 위한 것입니다. 하지만 이 숫자가 있어야 합니다. 당신의 머리에삼각법 문제를 풀 때. 왜요? 예, 이 기본 지식이 모든 삼각법의 다른 많은 질문에 대한 답을 제공하기 때문입니다! 가장 중요한 질문은 우리가 관심을 갖는 각도는 어느 분기에 떨어지나요? 믿거나 말거나, 이 질문에 대한 정답은 삼각법과 관련된 다른 모든 문제의 가장 큰 몫을 해결합니다. 우리는 같은 수업에서 이 중요한 수업(4분의 1의 각도 분포)을 다룰 것이지만 조금 후에 다룰 것입니다.

좌표축(0°, 90°, 180°, 270° 및 360°)에 있는 각도 값을 기억해야 합니다! 자동으로 단단히 기억하십시오. 그리고 플러스와 마이너스 모두.

그러나 이 순간부터 첫 번째 놀라움이 시작됩니다. 그리고 그들과 함께 나에게 주어진 까다로운 질문, 예 ...) 원의 음의 각도가 있으면 어떻게됩니까? 긍정적으로 일치합니까?그것은 밝혀 같은 점원에 양의 각도와 음의 각도 ???

맞아요! 그렇습니다.) 예를 들어, +270°의 양의 각도는 원에서 차지합니다. 같은 위치 , 음의 각도 -90°입니다. 또는 예를 들어 원에서 +45°의 양의 각도는 같은 위치 , 음의 각도 -315°입니다.

우리는 다음 그림을 보고 모든 것을 봅니다.

유사하게, +150°의 양의 각도는 -210°의 음의 각도, +230°의 양의 각도가 -130°의 음의 각도와 같은 위치로 이동합니다. 등등…

이제 내가 무엇을 할 수 있습니까? 이 방법과 저 방법이 가능하다면 각도를 정확히 어떻게 계산합니까? 어때요?

대답: 어쨌든 맞다!수학은 각도를 세는 두 방향 중 어느 것도 금지하지 않습니다. 그리고 특정 방향의 선택은 전적으로 작업에 달려 있습니다. 작업에서 각도 기호에 대해 일반 텍스트로 아무 말도 하지 않는 경우(예: "가장 큰 것을 결정 부정적인모서리"등), 우리는 우리에게 가장 편리한 각도로 작업합니다.

물론 예를 들어 삼각 방정식 및 부등식과 같은 멋진 주제에서는 각도 계산 방향이 답에 큰 영향을 줄 수 있습니다. 그리고 관련 주제에서 이러한 함정을 고려할 것입니다.

기억하다:

원의 모든 점은 양의 각도와 음의 각도로 나타낼 수 있습니다. 누구나! 우리가 원하는 것.

이제 이것에 대해 생각해 봅시다. 우리는 45°의 각도가 -315°의 각도와 정확히 동일하다는 것을 알았습니다. 이 동일한 315에 대해 어떻게 알았습니까?° ? 당신은 추측할 수 없습니까? 예! 전체 회전을 통해.) 360 °에서. 45° 각도가 있습니다. 완전히 회전하기 전에 얼마나 많이 빠져 있습니까? 빼기 45° 360부터° - 여기에서 315를 얻습니다.° . 우리는 음의 방향으로 감고 -315 °의 각도를 얻습니다. 아직도 불분명? 그럼 위의 그림을 다시 보자.

그리고 이것은 양의 각도를 음의 각도로 변환할 때 항상 수행되어야 합니다. ~에 대한주어진 각도에서 완전히 회전하기 전에 몇 도가 누락되었는지 고려하고 결과 차이를 반대 방향으로 감습니다. 그리고 그게 다야.)

원에서 같은 위치를 차지하는 모서리에 대해 또 다른 흥미로운 점은 무엇이라고 생각합니까? 그리고 그러한 모서리가 정확히 같은 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트! 항상!

예를 들어:

Sin45° = sin(-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

CTG333° = CTG(-27°)

그리고 이제 이것은 매우 중요합니다! 무엇 때문에? 예, 모두 동일합니다!) 표현을 단순화합니다. 표현식의 단순화는 성공적인 솔루션을 위한 핵심 절차입니다. 어느수학 과제. 삼각법도 마찬가지입니다.

그래서 우리는 원의 각도를 계산하는 일반적인 규칙을 알아 냈습니다. 글쎄, 우리가 여기에서 완전한 회전, 약 4분의 1을 암시한다면, 바로 이 모서리를 비틀고 그릴 시간이 될 것입니다. 그려볼까요?)

시작하자 긍정적인모서리. 그들은 그리기가 더 쉬울 것입니다.

1회전(0° ~ 360°) 내에서 각도를 그립니다.

예를 들어 각도가 60°라고 가정해 보겠습니다. 여기에서는 모든 것이 단순합니다. 좌표축, 원을 그립니다. 나침반과 자 없이 손으로 직접 할 수 있습니다. 우리는 그립니다 개략적으로 A: 우리는 당신과 함께 초안을 가지고 있지 않습니다. GOST를 준수할 필요가 없으며 처벌되지 않습니다.)

(자신을 위해) 축의 각도 값을 표시하고 화살표를 방향으로 나타낼 수 있습니다 시계 반대.결국, 우리는 플러스로 돈을 절약 할 것입니다.) 당신은 이것을 할 수 없지만 모든 것을 머리에 보관해야합니다.

이제 모서리의 두 번째(이동 가능한) 면을 그립니다. 몇 분기? 물론 처음에! 60도의 경우 엄격하게 0°와 90° 사이입니다. 그래서 우리는 1분기에 무승부를 합니다. 비스듬히 ~에 대한고정된 측면으로 60도. 계산 방법 ~에 대한각도기 없이 60도? 용이하게! 60°는 직각의 2/3!우리는 정신적으로 원의 1/4을 세 부분으로 나누고 2/3를 스스로 차지합니다. 그리고 우리는 그립니다 ... 실제로 얼마나 많이 거기에 도달합니까 (각도기를 부착하고 측정하면) - 55도 또는 64 - 그것은 중요하지 않습니다! 여전히 어딘가에 있다는 것이 중요합니다. 약 60°.

우리는 이미지를 얻습니다.

그게 다야. 그리고 도구가 필요하지 않았습니다. 우리는 눈을 개발합니다! 기하학 문제에 유용할 것입니다.) 이 보기 흉한 그림은 아름다움에 대해 정말로 생각하지 않고 급하게 원과 각도를 긁어야 할 때 없어서는 안될 수 있습니다. 그러나 동시에 낙서 오른쪽, 오류 없이 필요한 모든 정보를 포함합니다. 예를 들어, 삼각 방정식과 부등식을 푸는 데 도움이 됩니다.

이제 각도(예: 265°)를 그려 보겠습니다. 그것이 어디에 있는지 맞춰보세요? 글쎄, 첫 번째 분기와 두 번째 분기도 아닌 것이 분명합니다. 90도와 180도에서 끝납니다. 265°는 180°에 85°를 더한 것이라고 생각할 수 있습니다. 즉, 음의 반축에 OX(여기서 180°)를 추가해야 합니다. ~에 대한 85°. 또는 265°가 일부 불행한 5°의 음의 반축 OY(여기서 270°)에 도달하지 않는다고 추측하는 것이 훨씬 더 쉽습니다. 한마디로 3분기에는 이 코너가 있을 것이다. 270도까지 음의 축 OY에 매우 가깝지만 여전히 세 번째입니다!

그리다:

다시 말하지만 절대 정밀도는 여기에 필요하지 않습니다. 실제로 이 각도는 263도로 밝혀졌습니다. 하지만 가장 중요한 질문은 (몇 분기?)우리는 올바르게 대답했습니다. 이것이 왜 가장 중요한 질문입니까? 예, 삼각법에서 각도에 대한 작업(이 각도를 그리든 그렇지 않든)은 바로 이 질문에 대한 답으로 시작하기 때문입니다! 항상. 이 질문을 무시하거나 정신적으로 대답하려고하면 실수가 거의 불가피합니다. 예 ... 필요합니까?

기억하다:

각도가 있는 모든 작업(원에 바로 이 각도 그리기 포함)은 항상 이 각도가 속하는 1/4을 결정하는 것으로 시작됩니다.

이제 182°, 88°, 280°와 같이 각도를 올바르게 그리시기 바랍니다. 에 옳은병사. 세 번째, 첫 번째, 네 번째, 만약 있다면...)

4/4 분기는 360° 각도로 끝납니다. 이것은 한 턴입니다. 페퍼는 이 각도가 원에서 0°(즉, 기준점)와 동일한 위치를 차지한다는 점을 분명히 합니다. 하지만 코너는 거기서 끝나지 않습니다, 예...

360°보다 큰 각도는 어떻게 해야 합니까?

"그런 것들이 존재합니까?"- 물어. 있다, 어떻게! 예를 들어 444 °의 각도에서 발생합니다. 그리고 때로는 1000 °의 각도를 말합니다. 온갖 앵글이 있다.) 시각적으로만 보면 이런 이국적인 앵글은 보통 앵글보다 한 턴 내에서 조금 더 복잡하게 느껴진다. 그러나 그러한 각도를 그리고 계산할 수 있어야 합니다. 그렇습니다.

원에 이러한 각도를 올바르게 그리려면 동일한 작업을 수행해야 합니다. 관심 각도는 어느 분기에 해당합니까? 여기서 1/4을 정확하게 결정하는 능력은 0 °에서 360 ° 사이의 각도보다 훨씬 더 중요합니다! 분기를 결정하는 바로 그 절차는 단 한 단계로 복잡합니다. 어느 쪽인지 곧 알게 될 것입니다.

예를 들어 각도 444°가 어느 4분의 1에 속하는지 알아내야 합니다. 우리는 회전하기 시작합니다. 어디에? 물론 플러스로! 그들은 우리에게 긍정적인 각도를 주었습니다! +444°. 우리는 비틀고, 비틀고 ... 우리는 한 바퀴를 비틀었습니다. 우리는 360 °에 도달했습니다.

444°까지 얼마나 남았습니까?우리는 나머지 꼬리를 계산합니다.

444°-360° = 84°.

따라서 444°는 한 바퀴(360°)에 84°를 더한 것입니다. 분명히 이것은 1분기입니다. 따라서 각도 444°는 1분기에.절반 완료.

이제 이 각도를 묘사하는 일만 남았습니다. 어떻게? 매우 간단합니다! 우리는 빨간색 (더하기) 화살표를 따라 한 바퀴 돌고 또 다른 84 °를 추가합니다.

이와 같이:

여기서 나는 그림을 어지럽히 지 않았습니다. 분기에 서명하고 축에 각도를 그립니다. 이 모든 선함은 오랫동안 내 머리 속에 있었어야 했습니다.)

그러나 나는 "달팽이"또는 나선형으로 360 °와 84 °의 각도에서 444 °의 각도가 얼마나 정확하게 형성되는지 보여주었습니다. 빨간 점선은 1회전입니다. 여기에 84°가 추가로 나사로 고정됩니다(실선). 그건 그렇고, 이 완전한 턴을 버리면 이것이 우리 코너의 위치에 어떤 식으로든 영향을 미치지 않습니다!

하지만 이것은 중요합니다! 각도 위치 444° 완전히 일치 84°의 각도 위치로. 기적은 없고 그저 일어날 뿐입니다.)

한 턴이 아니라 2턴 이상 버리는 것이 가능한가요?

왜 안 돼? 모서리가 무거우면 가능할 뿐만 아니라 필요합니다! 각도는 변하지 않습니다! 더 정확하게는 각도 자체가 물론 크기가 변경됩니다. 그러나 원에 대한 그의 위치 - 안 돼요!) 그래서 그들은 가득한모멘텀, 얼마나 많은 사본을 추가하든, 아무리 빼도 여전히 같은 지점에 도달할 것입니다. 좋아요, 맞죠?

기억하다:

각도에 추가(빼기)를 하면 전부의완전한 회전 수, 원의 원래 모서리 위치는 변경되지 않습니다!

예를 들어:

각 1000°는 어느 4분의 1에 해당합니까?

괜찮아요! 우리는 천도에 얼마나 많은 완전한 회전이 있는지 고려합니다. 한 회전은 360°, 다른 회전은 이미 720°, 세 번째 회전은 1080°... 그만! 흉상! 따라서 1000 ° 각도로 앉아 둘전체 회전율. 1000°에서 그것들을 버리고 나머지를 계산하십시오:

1000° - 2 360° = 280°

따라서 원에서 각도 1000°의 위치는 같은, 이는 280°의 각도와 같습니다. 누구와 함께 일하는 것이 훨씬 더 즐겁습니다.) 그리고이 코너는 어디에 있습니까? 4/4 분기에 해당합니다. 270°(음의 반축 OY)에 10을 더한 값입니다.

그리다:

여기서 나는 더 이상 점선으로 두 바퀴를 완전히 그리지 않았습니다. 그것은 고통스럽게 긴 것으로 판명되었습니다. 나머지 포니테일만 그렸어 제로에서, 폐기 모두추가 회전. 마치 존재하지도 않았던 것처럼.)

다시 한번. 좋은 의미에서 각도 444°와 84°, 1000°와 280°가 다릅니다. 그러나 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 경우 이러한 각도는 다음과 같습니다. 똑같다!

보시다시피 360°보다 큰 각도로 작업하려면 다음을 정의해야 합니다. 주어진 큰 각도에서 얼마나 많은 완전한 회전이 일어나는가. 이것은 이러한 각도로 작업할 때 미리 수행해야 하는 매우 추가 단계입니다. 복잡하지 않죠?

물론 전체 회전을 떨어뜨리는 것은 즐거운 경험입니다.) 그러나 실제로는 절대적으로 악몽 같은 각도로 작업할 때 어려움도 발생합니다.

예를 들어:

각도 31240°는 어느 4분의 1에 해당합니까?

그리고 우리는 360도를 여러 번 추가할 것입니다. 특히 타지 않으면 가능합니다. 그러나 우리는 더할 수 있을 뿐만 아니라 나눌 수도 있습니다!

그럼 우리의 거대한 각도를 360도로 나누어 봅시다!

이 작업을 통해 우리는 31240도에 얼마나 많은 전체 회전이 숨겨져 있는지 알아낼 수 있습니다. 모퉁이를 공유할 수 있고 계산기로 (귀에 속삭임) 할 수 있습니다.)

우리는 31240:360 = 86.777777…을 얻습니다.

숫자가 분수로 판명되었다는 사실은 무섭지 않습니다. 우리는 단지 전부의턴오버에 관심이 있습니다! 따라서 끝까지 나눌 필요가 없습니다.)

그래서, 우리의 얽히고 설킨 구석에는 86개의 완전한 회전이 있습니다. 공포…

도에서는 다음과 같이 될 것입니다.86 360° = 30960°

이와 같이. 그것은 31240 °의 주어진 각도에서 고통없이 몇 도를 던질 수 있는지입니다. 유적:

31240° - 30960° = 280°

모든 것! 각도 위치 31240°가 완전히 식별되었습니다! 280°와 같은 위치. 저것들. 4/4 분기.) 이 각도를 이미 전에 묘사한 것 같습니까? 1000° 각도는 언제 그려졌나요?) 거기에서 우리도 280도 갔습니다. 우연의 일치.)

따라서 이 이야기의 교훈은 다음과 같습니다.

우리에게 끔찍한 무거운 코너가 주어진다면:

1. 이 모서리에 완전히 회전하는 횟수를 결정합니다. 이렇게 하려면 원래 각도를 360으로 나누고 소수 부분을 버립니다.

2.받은 회전 수에 몇 도가 있는지 고려합니다. 이렇게하려면 회전 수에 360을 곱하십시오.

3. 원래 각도에서 이 회전을 빼고 0°에서 360° 범위의 일반적인 각도로 작업합니다.

음의 각도로 작업하는 방법?

괜찮아요! 긍정적 인 것과 같은 방식으로 한 가지 차이점 만 있습니다. 뭐? 예! 당신은 코너를 돌 필요가 반대쪽, 마이너스! 시계 방향으로.)

예를 들어 -200°의 각도를 그립니다. 처음에는 모든 것이 양의 각도(축, 원)에 대해 평소와 같습니다. 마이너스가 있는 파란색 화살표를 그리고 다른 방식으로 축의 각도에 서명해 보겠습니다. 물론 그들은 또한 음의 방향으로 계산되어야 합니다. 이들은 모두 동일한 각도로 90°씩 이동하지만 반대 방향으로 계산됩니다(0°, -90°, -180°, -270°, -360°).

그림은 다음과 같습니다.

네거티브 앵글로 작업할 때 종종 약간의 당혹감이 있습니다. 어때요?! 같은 축이 +90°와 -270°인 것으로 밝혀졌습니다. 아니, 뭔가 잘못됐어...

예, 모든 것이 깨끗하고 투명합니다! 결국, 우리는 이미 원의 모든 점을 양의 각도와 음의 각도라고 부를 수 있다는 것을 알고 있습니다! 절대적으로. 일부 좌표축을 포함합니다. 우리의 경우 필요합니다. 부정적인각도 계산. 그래서 우리는 모든 모서리를 마이너스로 스냅합니다.)

이제 -200°의 직각을 그리는 것은 문제가 되지 않습니다. 이것은 -180°이고 마이너스또 20°. 우리는 0에서 마이너스로 감기 시작합니다. 우리는 4/4 분기를 비행하고 세 번째도 지나고 -180 °에 도달합니다. 나머지 20개를 어디에서 감을 것인가? 네, 괜찮아요! 시계에 의해.) 총 각도 -200°에 해당합니다. 초 4분의 1.

이제 좌표축의 각도를 기억하는 것이 얼마나 중요한지 이해했습니까?

좌표축의 각도(0°, 90°, 180°, 270°, 360°)는 각도가 떨어지는 4분의 1을 정확하게 결정하기 위해 정확하게 기억해야 합니다!

그리고 각도가 크면 여러 번 완전히 회전합니까? 괜찮아! 이 최대 속도가 플러스 또는 마이너스로 바뀌면 어떤 차이가 있습니까? 원의 한 점은 위치를 변경하지 않습니다!

예를 들어:

각도 -2000°는 어느 사분면에 해당합니까?

모두 같은! 우선, 우리는 이 사악한 구석에 얼마나 많은 완전한 혁명이 있는지 고려합니다. 기호를 엉망으로 만들지 않기 위해 지금은 마이너스를 그대로 두고 2000을 360으로 나누겠습니다. 꼬리가 있는 5를 얻습니다. 꼬리는 아직 우리를 귀찮게하지 않습니다. 나중에 모서리를 그릴 때 계산할 것입니다. 우리는 믿습니다 다섯도 단위의 전체 회전:

5 360° = 1800°

투표. 그것이 건강에 해를 끼치 지 않고 우리 코너에서 안전하게 버릴 수있는 추가 학위입니다.

우리는 나머지 꼬리를 계산합니다.

2000° – 1800° = 200°

그리고 이제 마이너스에 대해서도 기억할 수 있습니다.) 꼬리를 200 ° 감는 곳은 어디입니까? 물론 단점! 음의 각도가 주어집니다.)

2000° = -1800° - 200°

따라서 추가 회전없이 -200 °의 각도를 그립니다. 방금 그렸지만, 한 번 더 칠하겠습니다. 손으로.

후추는 주어진 각도 -2000 °뿐만 아니라 -200 °가 2분기.

그래서 우리는 원에 몸을 감습니다 ... 죄송합니다 ... 콧수염에 :

매우 큰 음의 각도가 주어지면 작업의 첫 번째 부분(전체 회전 수를 찾아 버리는 작업)은 양의 각도로 작업할 때와 동일합니다. 빼기 기호는 솔루션의 이 단계에서 어떤 역할도 하지 않습니다. 기호는 전체 회전을 제거한 후 남은 각도로 작업할 때 맨 끝에서만 고려됩니다.

보시다시피 원에 음의 각도를 그리는 것은 양의 각도를 그리는 것보다 어렵지 않습니다.

모든 것이 동일합니다. 다른 방향에서만! 시간까지!

그리고 지금 - 가장 흥미로운! 우리는 포지티브 앵글, 네거티브 앵글, 큰 앵글, 작은 앵글 - 전체 범위를 다뤘습니다. 우리는 또한 원의 모든 지점이 양수 및 음수 각도라고 할 수 있다는 것을 알았습니다. 우리는 완전한 회전을 버렸고 ... 생각이 없습니까? 연기해야지...

예! 원의 어떤 점을 선택하든 끝없는 각도! 크고 그렇지 않고 긍정적이고 부정적입니다. 모두! 그리고 이 각도의 차이는 전부의 완전한 회전 수. 항상! 그래서 삼각 원이 배열됩니다 ...) 그래서 뒤집다작업은 알려진 사인/코사인/탄젠트/코탄젠트로 각도를 찾는 것입니다. 모호한. 그리고 훨씬 더 어렵습니다. 직접적인 문제와 달리 - 주어진 각도에 대한 삼각 함수의 전체 세트를 찾는 것. 그리고 삼각법의 더 심각한 주제에서( 아치, 삼각법 방정식그리고 불평등 ) 우리는 이 칩을 지속적으로 만날 것입니다. 익숙해지다.)

1. 각도 -345°는 몇 쿼터에 해당합니까?

2. 각 666°는 어느 4분의 1에 해당합니까?

3. 각 5555°는 몇 4분의 1에 해당합니까?

4. -3700° 각도는 몇 분기에 해당합니까?

5. 표시는 무엇입니까코사인999°?

6. 표시는 무엇입니까CTG999°?

그리고 효과가 있었나요? 아주 멋진! 문제가 있습니까? 그럼 당신.

답변:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

이번에는 전통을 깨고 순서대로 답을 제시한다. 사방이 네 개뿐이고 표시가 두 개뿐이기 때문입니다. 도망가지 않을거야...)

다음 수업에서는 라디안, 신비한 숫자 "pi"에 대해 이야기하고 라디안을 도 또는 그 반대로 쉽고 간단하게 변환하는 방법을 배웁니다. 그리고 우리는 이러한 간단한 지식과 기술로도 삼각법의 많은 사소하지 않은 문제를 성공적으로 풀기에 이미 충분하다는 사실에 놀랄 것입니다!

선형 각도 함수는 덧셈의 법칙입니다.대수학이 기하학으로, 기하학이 삼각법으로 어떻게 변하는지 보십시오.

첫 번째 옵션. 우리는 토끼의 시장 가치를 결정하고 사용 가능한 현금에 추가합니다. 우리는 돈의 관점에서 우리 부의 총 가치를 얻었습니다.

두 번째 옵션. 보유하고 있는 지폐 수에 토끼 수를 추가할 수 있습니다. 우리는 동산의 금액을 조각으로 얻을 것입니다.

보시다시피, 동일한 추가 법칙을 사용하면 다른 결과를 얻을 수 있습니다. 그것은 모두 우리가 정확히 알고 싶은 것에 달려 있습니다.

그러나 우리의 보르시로 돌아갑니다. 이제 우리는 선형 각도 함수의 각도 값에 따라 어떤 일이 일어날지 알 수 있습니다.

각도는 0보다 크고 45도 미만입니다. 우리는 상추를 많이 가지고 있지만 물은 적습니다. 결과적으로 우리는 두꺼운 보르시를 얻습니다.

각도는 45도입니다. 우리는 같은 양의 물과 양상추를 가지고 있습니다. 이것은 완벽한 보르시입니다.

각도는 45도보다 크고 90도보다 작습니다. 우리는 많은 물과 작은 상추를 가지고 있습니다. 액체 보르시를 얻으십시오.

여기. 이 같은. 여기에서 적절하지 않은 다른 이야기를 할 수 있습니다.

두 친구는 공동 사업에서 지분을 가지고 있었습니다. 그들 중 하나가 살해 된 후 모든 것이 다른쪽으로 갔다.

우리 행성에서 수학의 출현.

2019년 10월 26일 토요일

이것은 에 대한 나의 추론과 일치한다.

청중의 질문: 그리고 무한대(시퀀스 S의 요소 수)는 짝수입니까 아니면 홀수입니까? 패리티가 없는 항목의 패리티를 어떻게 변경할 수 있습니까?

2019년 8월 7일 수요일

pozg.ru

2019년 8월 4일 일요일

나는 기사에 대한 포스트 스크립트를 작성하고 있었고 Wikipedia에서 다음과 같은 멋진 텍스트를 보았습니다.

현대 수학의 풍부한 이론적 기초는 전체론적 성격을 갖지 않으며 공통 시스템과 증거 기반이 없는 일련의 이질적인 섹션으로 축소됩니다.

2019년 8월 3일 토요일

상위 집합의 경우 이 두 집합의 요소에 있는 측정 단위를 선택하여 두 집합을 하나의 상위 집합으로 결합할 수 있습니다.

이 논리적 함정을 피하는 방법은 무엇입니까? 일정한 시간 단위를 유지하고 상호 값으로 전환하지 마십시오. Zeno의 언어로 다음과 같이 보입니다.

Zeno의 또 다른 흥미로운 아포리아는 날아다니는 화살에 대해 다음과 같이 알려줍니다.

날아가는 화살은 움직이지 않는데, 그 이유는 매 순간 정지하고 있기 때문에, 매 순간 정지하고 있기 때문에 항상 정지하고 있기 때문입니다.

측정 단위의 도움으로 하나를 나누거나 여러 세트를 하나의 상위 세트로 결합하는 것이 매우 쉽습니다. 이 과정의 대수학을 자세히 살펴보겠습니다.

다양한. 그들 중 일부는 코사인이 양수와 음수인 분기, 사인이 양수와 음수인 분기에 관한 것입니다. 다른 각도에서 이러한 함수의 값을 계산하는 방법을 알고 그래프에 함수를 그리는 원리에 익숙하다면 모든 것이 간단해집니다.

코사인 값은 무엇입니까?

고려하면 다음과 같은 종횡비가 있으며 이를 결정합니다. 각도의 코사인 ㅏ인접한 다리 BC와 빗변 AB의 비율(그림 1): cos ㅏ= BC/AB.

같은 삼각형을 사용하여 각도, 탄젠트 및 코탄젠트의 사인을 찾을 수 있습니다. 사인은 빗변 AB에 대한 반대 다리 각도 AC의 비율입니다. 원하는 각도의 사인을 같은 각도의 코사인으로 나눈 경우 각도의 탄젠트를 찾습니다. 사인과 코사인을 찾기 위한 해당 공식을 대입하면 tg를 얻습니다. ㅏ\u003d AC / BC. 접선에 역함수인 코탄젠트는 다음과 같이 찾을 수 있습니다. ctg ㅏ= BC/AC.

즉, 동일한 각도 값에 대해 직각 삼각형에서 종횡비는 항상 동일하다는 것을 발견했습니다. 이 값이 어디에서 왔는지 분명해진 것처럼 보이지만 왜 음수를 얻습니까?

이렇게 하려면 양수 값과 음수 값이 모두 있는 데카르트 좌표계의 삼각형을 고려해야 합니다.

분기에 대해 명확하게, 어디가

데카르트 좌표란 무엇입니까? 2차원 공간에 대해 이야기하면 점 O에서 교차하는 두 개의 지시선이 있습니다. 이것은 가로축(Ox)과 세로축(Oy)입니다. 점 O에서 직선 방향은 양수이고 반대 방향은 음수입니다. 궁극적으로 코사인이 양수인 분기와 음수인 분기에 직접적으로 의존합니다.

1분기

x 및 y 축이 양수 값을 갖는 첫 번째 분기(0o에서 90o까지)에 직각 삼각형을 배치하는 경우(세그먼트 AO 및 BO는 값이 있는 축에 있습니다 "+"기호가 있음) 사인은 무엇이며 코사인도 양수 값을 가지며 더하기 기호가 있는 값이 할당됩니다. 그러나 삼각형을 2/4로 이동하면(90o에서 180o) 어떻게 될까요?

2분기

y축을 따라 AO가 음수 값을 받은 것을 볼 수 있습니다. 각도의 코사인 ㅏ이제 마이너스와 관련하여 이 측면이 있으므로 최종 값은 음수가 됩니다. 코사인이 양수인 분기는 데카르트 좌표계에서 삼각형의 위치에 따라 다릅니다. 그리고 이 경우 각도의 코사인 값은 음수입니다. 그러나 사인의 경우 부호를 결정하기 위해 OB의 측면이 필요하기 때문에 아무 것도 변경되지 않았습니다. 이 경우에는 더하기 기호가 남아 있습니다. 처음 두 분기를 요약해 보겠습니다.

코사인이 양수이고 어떤 부분이 음수인지 알아내려면(사인 및 기타 삼각 함수뿐만 아니라) 어느 기호가 하나 또는 다른 레그에 할당되었는지 확인해야 합니다. 각도의 코사인에 대해 ㅏ AO 다리는 부비동 - OB에 중요합니다.

첫 번째 분기는 지금까지 "사인과 코사인이 동시에 양수인 분기는 어느 분기입니까?"라는 질문에 답하는 유일한 분기가 되었습니다. 이 두 함수의 부호에 더 많은 우연의 일치가 있는지 더 살펴보겠습니다.

2분기에 AO 레그가 음수 값을 갖기 시작했는데, 이는 코사인이 음수가 되었음을 의미합니다. 사인에 대해 양수 값이 저장됩니다.

3 분기

이제 두 다리 AO와 OB가 음수가 되었습니다. 코사인과 사인의 비율을 기억하십시오.

Cos a \u003d AO / AB;

죄 a \u003d BO / AB.

AB는 축에 의해 정의된 두 측면 중 어느 쪽으로도 향하지 않기 때문에 주어진 좌표계에서 항상 양의 부호를 갖습니다. 그러나 다리가 음수가 되었기 때문에 두 기능의 결과도 모두 음수입니다. 숫자로 곱하기 또는 나누기 연산을 수행하면 그 중 하나만 빼기 기호가 있으면 결과도 이 기호로 표시되기 때문입니다. .

이 단계의 결과:

1) 코사인이 양수인 분기는 무엇입니까? 세 개 중 첫 번째.

2) 사인은 어느 분기에 양수입니까? 세 개 중 첫 번째와 두 번째.

4분기(270o에서 360o로)

여기서 AO 레그는 다시 더하기 기호를 획득하므로 코사인도 획득합니다.

사인의 경우 레그 OB가 시작점 O 아래에 남아 있기 때문에 상황은 여전히 "음수"입니다.

결론

코사인이 양수, 음수 등의 분기를 이해하려면 코사인 계산 비율을 기억해야 합니다. 각도에 인접한 다리를 빗변으로 나눈 값입니다. 일부 교사는 k (osine) \u003d (k) 모서리를 기억할 것을 제안합니다. 이 "치트"를 기억하면 사인이 빗변에 대한 다리 각도의 반대 비율이라는 것을 자동으로 이해하게 됩니다.

코사인이 양수이고 음수인 분기를 기억하는 것은 매우 어렵습니다. 많은 삼각 함수가 있으며 모두 고유한 값이 있습니다. 그러나 여전히 결과적으로 사인에 대한 양수 값 - 1, 2/4 (0 o에서 180 o까지); 코사인 1, 4/4의 경우(0o에서 90o 및 270o에서 360o). 나머지 분기에서 함수에는 마이너스 값이 있습니다.

아마도 기능의 이미지에 따라 어떤 기호가 어디에 있는지 기억하는 것이 더 쉬울 것입니다.

사인의 경우 0에서 180 o까지 마루가 사인(x) 값의 선 위에 있음을 알 수 있습니다. 이는 여기서 함수가 양수임을 의미합니다. 코사인의 경우 동일합니다. 1/4에서 코사인이 양수(사진 7)이고 음수인 경우 cos(x) 축 위아래로 선을 이동하여 볼 수 있습니다. 결과적으로 사인, 코사인 함수의 부호를 결정하는 두 가지 방법을 기억할 수 있습니다.

1. 반지름이 1인 가상의 원에서(사실 원의 반지름이 얼마인지는 중요하지 않지만 교과서에서는 이 예가 가장 자주 제공됩니다. 이렇게 하면 더 쉽게 인식할 수 있지만 동시에 이것이 중요하지 않다고 지정하지 않으면 아이들이 혼란스러워 할 수 있습니다).

2. 마지막 그림에서와 같이 인수 x 자체에 대한 (x)에 대한 함수 의존성의 이미지에 따르면.

첫 번째 방법을 사용하면 기호가 정확히 무엇에 의존하는지 이해할 수 있으며 위에서 자세히 설명했습니다. 이러한 데이터를 기반으로 구축된 그림 7은 결과 함수와 해당 부호 구성원을 가능한 한 최상의 방식으로 시각화합니다.

일반적으로이 문제는 특별한주의를 기울일 가치가 있지만 여기에서는 모든 것이 간단합니다. 각도에서 사인과 코사인이 모두 양수이고 (그림 참조) 더하기 기호를 사용합니다.

이제 위의 내용을 기반으로 각도의 사인과 코사인을 찾으십시오.

당신은 속일 수 있습니다: 특히 각도의 경우. 직각 삼각형의 한 각이 도와 같으면 두 번째 각도도 도와 같기 때문입니다. 이제 익숙한 공식이 적용됩니다.

그때부터, 그리고. 그 이후로 그리고. 도를 사용하면 훨씬 더 간단합니다. 따라서 직각 삼각형의 각 중 하나가 도와 같으면 다른 각도도 도와 같으므로 이러한 삼각형은 이등변입니다.

그래서 그의 다리는 평등합니다. 따라서 사인과 코사인은 같습니다.

이제 새로운 정의(x와 y를 통해!)에 따라 각도의 사인과 코사인을 도 및 도 단위로 찾으십시오. 여기에 그릴 삼각형이 없습니다! 너무 평평해!

당신은 가지고 있어야 :

다음 공식을 사용하여 탄젠트와 코탄젠트를 직접 찾을 수 있습니다.

0으로 나눌 수 없다는 점에 유의하세요!

이제 수신된 모든 숫자를 표로 요약할 수 있습니다.

다음은 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값입니다. 나는 분기. 편의상 각도는 도와 라디안으로 표시됩니다(그러나 이제 둘 사이의 관계를 알 수 있습니다!). 표에서 2개의 대시에 주의하십시오. 즉, 0의 코탄젠트와 도의 탄젠트입니다. 이것은 사고가 아닙니다!

특히:

이제 사인과 코사인의 개념을 완전히 임의의 각도로 일반화해 보겠습니다. 여기서는 두 가지 경우를 고려할 것입니다.

각도 범위는 ~도입니다.
도보다 큰 각도

일반적으로 말해서, 나는 "꽤 모든"코너에 대해 이야기하면서 내 영혼을 약간 비틀었습니다. 그들은 또한 부정적일 수 있습니다! 그러나 우리는 다른 기사에서 이 경우를 고려할 것입니다. 먼저 첫 번째 경우에 집중합시다.

각도가 1/4에 있으면 모든 것이 명확합니다. 우리는 이미이 경우를 고려하고 표를 그렸습니다.

이제 각도를 도보다 크지 않게 하십시오. 이는 2분기 또는 3분기 또는 4분기에 위치한다는 의미입니다.

일은 잘되고 있니? 예, 정확히 동일합니다!

고려하자 이런 것 대신에...

... 이와 같이:

즉, 2/4에 있는 각도를 고려하십시오. 우리는 그에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?

광선과 원의 교차점인 점은 여전히 2개의 좌표를 가지고 있습니다(초자연적인 것은 없습니까?). 이것은 좌표와

또한 첫 번째 좌표는 음수이고 두 번째 좌표는 양수입니다! 그 의미 2/4 분기의 모서리에서 코사인은 음수이고 사인은 양수입니다!

놀랍죠? 그 전에는 음의 코사인을 만난 적이 없습니다.

예, 원칙적으로 삼각 함수를 삼각형의 변의 비율로 간주할 때 이것은 불가능합니다. 그건 그렇고, 코사인이 같은 각도에 대해 생각해보십시오. 그리고 어느 것이 사인이 있습니까?

마찬가지로 다른 모든 분기의 각도를 고려할 수 있습니다. 각도는 시계 반대 방향으로 계산된다는 것을 상기시켜주세요! (마지막 사진과 같이!).

물론 다른 방향으로 셀 수도 있지만 그러한 각도에 대한 접근 방식은 다소 다릅니다.

위의 추론에 따라 사인, 코사인, 탄젠트(사인을 코사인으로 나눈 값) 및 코탄젠트(코사인을 사인으로 나눈 값)의 기호를 4개 분기 모두에 배치할 수 있습니다.

하지만 다시 한 번 말하지만 이 그림을 외워도 소용이 없습니다. 알아야 할 모든 것:

당신과 함께 약간의 연습을 합시다. 아주 간단한 퍼즐:

다음 수량에 어떤 부호가 있는지 알아보십시오.

점검 해보자?

도 - 이것은 더 크고 더 작은 각도로, 3/4에 놓여 있음을 의미합니다. 3/4에 임의의 각도를 그리고 어떤 종류의 y가 있는지 확인하십시오. 그것은 부정적인 것으로 판명 될 것입니다. 그 다음에.
도 - 각도 2/4. 사인은 양수이고 코사인은 음수입니다. 플러스를 마이너스로 나누면 마이너스입니다. 수단.
도 - 각도, 크고 작음. 그래서 그는 4쿼터에 속합니다. 4/4 분기 "X"의 모든 모서리는 양수입니다. 즉,
우리는 비슷한 방식으로 라디안을 사용합니다. 이것은 2/4의 각도입니다(및 이후. 2/4의 사인은 양수입니다.
.
, 이것은 4/4 분기의 코너입니다. 코사인은 양수입니다.
- 또 4쿼터 코너. 코사인은 양수이고 사인은 음수입니다. 그러면 탄젠트는 0보다 작습니다.

라디안 단위로 4분의 1을 결정하기 어려울 수도 있습니다. 이 경우 항상 학위를 받을 수 있습니다. 물론 대답은 완전히 똑같을 것입니다.

이제 저는 또 다른 요점에 대해 아주 간략하게 설명하고자 합니다. 기본 삼각법을 다시 기억해 봅시다.

내가 말했듯이 코사인을 통해 사인을 표현하거나 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

기호의 선택은 각도 알파가 있는 4분의 1에 의해서만 영향을 받습니다. 마지막 두 공식의 경우 시험에 많은 작업이 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

작업

인 경우를 찾으십시오.

사실 이것은 분기별 과제입니다! 해결 방법을 확인하세요.

해결책

이후, 우리는 여기에 값을 대입합니다. 이제 작은 것입니다. 기호를 처리하십시오. 이를 위해 무엇이 필요합니까? 우리 코너가 어느 분기에 있는지 알 수 있습니다. 문제의 상태에 따라: . 이게 무슨 분기에요? 네번째. 4사분면의 코사인 부호는 무엇입니까? 4사분면의 코사인은 양수입니다. 그런 다음 더하기 기호를 먼저 선택해야 합니다. , 그 다음에.

나는 지금 그러한 작업에 대해 이야기하지 않을 것이며 ""기사에서 자세한 분석을 찾을 수 있습니다. 나는 단지 분기에 따라 이 또는 저 삼각 함수가 취하는 부호의 중요성을 지적하고 싶었습니다.

도보다 큰 각도

이 기사에서 마지막으로 언급하고 싶은 것은 도보다 큰 각도를 처리하는 방법입니다.

질식하지 않도록 그것은 무엇이며 무엇으로 먹을 수 있습니까? 예를 들어 도(라디안) 단위의 각도를 취하여 반시계 방향으로 가봅시다 ...

그림에서 나는 나선을 그렸지만 사실 우리는 나선이 없다는 것을 이해합니다. 우리는 원만 있습니다.

특정 각도에서 시작하여 전체 원(도 또는 라디안)을 통과하면 어디를 얻을 수 있습니까?

어디로 가나요? 그리고 우리는 같은 코너에 올 것입니다!

물론 다른 각도에서도 마찬가지입니다.

임의의 각도를 취하고 전체 원을 통과하면 같은 각도로 돌아갑니다.

우리에게 무엇을 줄까요? 다음은 무엇입니까: 만약, 그렇다면

우리가 마침내 얻는 곳:

모든 정수에 대해. 그 의미 사인과 코사인은 마침표가 있는 주기적 함수입니다..

따라서 이제 임의의 각도의 부호를 찾는 데 문제가 없습니다. 모서리에 맞는 모든 "전체 원"을 버리고 나머지 모서리가 어느 분기에 있는지 알아내면 됩니다.

예를 들어 기호를 찾으려면 다음을 수행합니다.

우리는 다음을 확인합니다:

도 단위는 도 단위 시간에 맞습니다(도):
도 남았습니다. 4쿼터 앵글입니다. 음의 사인이 있으므로
. 학위. 3쿼터 앵글입니다. 코사인은 음수입니다. 그 다음에
. . 그 이후로 - 1/4 분기의 모퉁이. 코사인은 양수입니다. 그럼 cos
. . 그 이후로 우리의 각도는 사인이 양수인 2/4에 있습니다.

탄젠트와 코탄젠트에 대해서도 동일한 작업을 수행할 수 있습니다. 그러나 사실, 그것들을 사용하면 훨씬 더 쉽습니다. 또한 주기적인 함수이며 기간만 2배 적습니다.

따라서 삼각 원이 무엇이며 무엇을 위한 것인지 이해했습니다.

그러나 여전히 많은 질문이 있습니다.

음의 각도는 무엇입니까?
이 각도에서 삼각 함수 값을 계산하는 방법
1 분기의 알려진 삼각 함수 값을 사용하여 다른 분기의 함수 값을 찾는 방법 (테이블에 벼락치기가 정말 필요합니까?!)
삼각 방정식의 해를 단순화하기 위해 원을 사용하는 방법은 무엇입니까?

평균 수준

글쎄,이 기사에서 우리는 삼각 원을 계속 연구하고 다음 사항에 대해 논의 할 것입니다.

음의 각도는 무엇입니까?
이 각도에서 삼각 함수 값을 계산하는 방법은 무엇입니까?
1분기의 알려진 삼각 함수 값을 사용하여 다른 분기의 함수 값을 찾는 방법은 무엇입니까?
접선 축과 코탄젠트 축은 무엇입니까?

단위 원으로 작업하는 기본 기술을 제외하고는 추가 지식이 필요하지 않습니다(이전 기사). 음, 첫 번째 질문으로 내려가 보겠습니다. 음의 각도는 무엇입니까?

음의 각도

삼각법의 음각시계 방향 이동 방향으로 처음부터 아래로 삼각 원에 놓입니다.

이전에 삼각 원에 각도를 플로팅한 방법을 기억해 보겠습니다. 축의 양의 방향에서 이동했습니다. 시계 반대 방향으로:

그런 다음 우리 그림에서 와 같은 각도가 구성됩니다. 마찬가지로 모든 모서리를 만들었습니다.

그러나 축의 양의 방향에서 가는 것을 금지하는 것은 없습니다. 시계 방향으로.

다른 각도도 얻을 수 있지만 이미 음수입니다.

다음 그림은 절대값이 같지만 부호가 반대인 두 각도를 보여줍니다.

일반적으로 규칙은 다음과 같이 공식화할 수 있습니다.

우리는 시계 반대 방향으로 이동합니다 - 우리는 양의 각도를 얻습니다
우리는 시계 방향으로 간다 - 우리는 음의 각도를 얻는다

도식적으로 규칙은 다음 그림에 나와 있습니다.

상당히 합리적인 질문을 할 수 있습니다. 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값을 측정하려면 각도가 필요합니다.

그렇다면 우리가 양의 각도를 가질 때와 음의 각도를 가질 때 차이가 있습니까? 나는 당신에게 대답 할 것입니다 : 원칙적으로 있습니다.

그러나 항상 음의 각도에서 삼각 함수의 계산을 각도의 함수 계산으로 줄일 수 있습니다.긍정적인 .

다음 그림을 보십시오.

나는 두 각도를 플로팅했는데 절대 값은 같지만 부호가 반대입니다. 각 각도에 대해 축의 사인과 코사인에 유의하십시오.

당신과 나는 무엇을 봅니까? 다음은 다음과 같습니다.

사인은 모서리에 있으며 부호가 반대입니다! 그렇다면
모서리의 코사인과 일치합니다! 그렇다면
그때부터:
그때부터:

따라서 우리는 삼각 함수 내부의 음수 부호를 항상 제거할 수 있습니다. 코사인과 같이 단순히 소멸시키거나 사인, 탄젠트 및 코탄젠트와 같이 함수 앞에 배치하여 음수 기호를 제거할 수 있습니다.

그건 그렇고, 함수의 이름이 무엇인지 기억하십시오. 어떤 허용 가능한 경우에도 사실입니다. ?

이러한 기능을 홀수라고 합니다.

그리고 허용 가능한 사항이 충족되면: ? 이 경우 함수를 even이라고 합니다.

따라서 우리는 다음을 보여주었습니다.

사인, 탄젠트 및 코탄젠트는 홀수 함수이고 코사인은 짝수입니다.

따라서 이해하는 바와 같이 양의 각도에서 사인을 찾는지 음의 각도에서 사인을 찾는지에 차이가 없습니다. 마이너스를 다루는 것은 매우 간단합니다. 따라서 음의 각도에 대해 별도의 테이블이 필요하지 않습니다.

다른 한편으로, 첫 번째 사분의 일 각도의 삼각 함수만 알고 나머지 사분의 일에 대해 유사한 함수를 계산할 수 있는 것이 매우 편리하다는 것을 인정해야 합니다. 할 수 있습니까? 예, 당신은 확실히 할 수 있습니다! 최소한 2가지 방법이 있습니다. 첫 번째는 삼각형을 만들고 피타고라스 정리를 적용하는 것입니다(이것이 당신과 내가 1/4의 주각에 대한 삼각 함수 값을 찾은 방법입니다), 두 번째 - 첫 번째 분기의 각도에 대한 함수 값과 몇 가지 간단한 규칙을 기억하면 다른 모든 분기에 대한 삼각 함수를 계산할 수 있습니다.두 번째 방법은 삼각형과 피타고라스에 대한 많은 소란을 덜어줄 것이므로 더 유망하다고 생각합니다.

따라서이 방법 (또는 규칙)을 축소 공식이라고합니다.

캐스트 공식

대략적으로 말하면, 다음 공식은 그러한 표를 기억하지 않는 데 도움이 될 것입니다(그런데 98개의 숫자가 포함되어 있습니다!).

이것을 기억한다면(단 20개의 숫자):

즉, 완전히 불필요한 78 숫자로 자신을 귀찮게 할 수 없습니다! 예를 들어 계산해야 한다고 가정해 보겠습니다. 작은 테이블에는 그런 것이 없다는 것이 분명합니다. 우리는 무엇을해야합니까? 다음은 다음과 같습니다.

먼저 다음 지식이 필요합니다.

사인과 코사인에는 마침표(도)가 있습니다.
탄젠트(코탄젠트)에는 마침표(도)가 있습니다.

임의의 정수
사인과 탄젠트는 홀수 함수이고 코사인은 짝수입니다.

우리는 이미 첫 번째 진술을 당신과 함께 증명했고 두 번째 진술의 타당성은 아주 최근에 확립되었습니다.

실제 캐스팅 규칙은 다음과 같습니다.

음의 각도에서 삼각 함수의 값을 계산하면 공식 (2) 그룹을 사용하여 양수를 만듭니다. 예를 들어:
사인과 코사인의 기간은 (도 단위), 탄젠트의 경우 - (도)를 버립니다. 예를 들어:
나머지 "모서리"가 도보다 작으면 문제가 해결됩니다. "작은 테이블"에서 찾습니다.
그렇지 않으면, 우리는 우리의 코너가 어느 분기에 있는지 찾고 있습니다: 그것은 2, 3 또는 4 분기가 될 것입니다. 분기에서 원하는 기능의 부호를 봅니다. 이 표시를 기억하십시오!
다음 형식 중 하나로 각도를 나타냅니다.
(2분기일 경우)
(2분기일 경우)
(3분기일 경우)
(3분기일 경우)

(4분기일 경우)

나머지 각도는 0보다 크고 도보다 작습니다. 예를 들어:

원칙적으로 각 분기에 대한 두 가지 대체 형식 중 어느 것이 모서리를 나타내는지는 중요하지 않습니다. 이것은 최종 결과에 영향을 미치지 않습니다.
이제 우리가 얻은 것을 봅시다. 도를 더하거나 빼기를 선택한 경우 함수의 부호는 변경되지 않습니다. 또는 제거하고 나머지 각도의 사인, 코사인 또는 탄젠트를 기록하기만 하면 됩니다. 도를 통해 기록하기로 선택한 경우 사인을 코사인으로, 코사인을 사인으로, 탄젠트를 코탄젠트로, 코탄젠트를 탄젠트로 변경합니다.
결과 표현식 앞에 단락 4의 기호를 넣습니다.

위의 모든 것을 예제를 통해 보여드리겠습니다.

계산하다
계산하다
다음과 같은 의미를 찾으십시오.

순서대로 시작하겠습니다.

우리는 알고리즘에 따라 행동합니다. 다음에 대한 원의 정수를 선택하십시오.
일반적으로 우리는 전체가 5번 모서리에 놓였다고 결론지지만 얼마나 남았습니까? 왼쪽. 그 다음에

글쎄, 우리는 초과분을 버렸다. 이제 기호를 처리해 보겠습니다. 4쿼터에 있다. 4/4의 사인은 빼기 부호가 있는데 답에 넣는 것을 잊지 말아야 합니다. 또한 축소 규칙 5항의 두 가지 공식 중 하나에 따라 제시합니다. 나는 고를 것이다:

이제 우리는 무슨 일이 일어났는지 살펴봅니다. 우리는 도가 있는 케이스를 가지고 있으며, 그것을 버리고 사인을 코사인으로 변경합니다. 그리고 그 앞에 빼기 기호를 넣으십시오!

도는 1/4의 각도입니다. 우리는 그 의미를 알고 있습니다(당신은 나에게 작은 테이블을 배우겠다고 약속했습니다!!):

그런 다음 최종 답변을 얻습니다.

대답:
모든 것이 동일하지만 도 대신 라디안입니다. 괜찮아. 기억해야 할 주요 사항은
그러나 라디안을 각도로 바꿀 수는 없습니다. 그것은 당신의 취향의 문제입니다. 나는 아무것도 바꾸지 않을 것이다. 전체 서클을 삭제하여 다시 시작하겠습니다.

우리는 버립니다 - 이것은 두 개의 전체 원입니다. 계산하는 것이 남아 있습니다. 이 각도는 3/4입니다. 3/4 분기의 코사인은 음수입니다. 답에 빼기 기호를 넣는 것을 잊지 마십시오. 로 상상할 수 있습니다. 다시, 우리는 규칙을 기억합니다. "정수"숫자 (또는)의 경우가 있으면 기능이 변경되지 않습니다.

그 다음에.
대답: .
. 동일한 작업을 수행해야 하지만 두 가지 기능이 있습니다. 조금 더 간략하게 설명하겠습니다. 도는 2/4의 각도입니다. 2/4의 코사인에는 빼기 기호가 있고 사인에는 더하기 기호가 있습니다. 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 그러나 어떻게, 그러면
두 경우 모두 "전체의 절반"입니다. 그러면 사인은 코사인이 되고 코사인은 사인이 됩니다. 또한 코사인 앞에 빼기 기호가 있습니다.

대답: .

이제 다음 예제를 통해 스스로 연습하십시오.

솔루션은 다음과 같습니다.

먼저, 사인 앞으로 이동하여 마이너스를 제거합시다 (사인은 홀수 함수이기 때문에 !!!). 그런 다음 각도를 고려하십시오.
정수의 원, 즉 3개의 원()을 버립니다.
계산해야 합니다. .
두 번째 모서리에서도 동일하게 수행합니다.

정수의 원 - 3개의 원()을 삭제한 다음 다음을 수행합니다.

이제 우리는 생각합니다. 나머지 모서리는 몇 분기에 있습니까? 그는 모든 것에 "도달하지 않는다". 그렇다면 쿼터는 무엇일까요? 네번째. 4/4의 코사인 부호는 무엇입니까? 긍정적인. 이제 상상해 봅시다. 정수에서 빼기 때문에 코사인의 부호를 변경하지 않습니다.

수신된 모든 데이터를 다음 공식으로 대체합니다.

대답: .
표준: 사실을 사용하여 코사인에서 마이너스를 제거합니다.
도의 코사인을 계산해야합니다. 전체 원을 제거합시다: . 그 다음에
그 다음에.
대답: .
우리는 이전 예에서와 같이 행동합니다.
탄젠트의 주기는 2배 더 큰 코사인이나 사인과 (또는) 다르므로 정수를 제거합니다.

도는 2/4의 각도입니다. 2/4 분기의 접선은 음수이므로 끝에 "빼기"를 잊지 마십시오! 로 쓸 수 있습니다. 접선이 코탄젠트로 변경됩니다. 마지막으로 우리는 다음을 얻습니다.

그 다음에.
대답: .

자, 얼마 남지 않았습니다!

접선 축 및 코탄젠트 축

여기서 마지막으로 설명하고 싶은 것은 두 개의 추가 축에 대한 것입니다. 이미 논의한 바와 같이 두 개의 축이 있습니다.

축 - 코사인 축
축 - 사인 축

사실 좌표축이 부족하지 않습니까? 그러나 접선과 코탄젠트는 어떻습니까?

정말, 그들에게 그래픽 해석이 없습니까?

사실, 당신은 이 사진에서 그것을 볼 수 있습니다:

특히 이 사진에서 우리는 다음과 같이 말할 수 있습니다.

탄젠트와 코탄젠트는 분기 부호가 같습니다.
1분기와 3분기에는 긍정적이다.
2분기와 4분기에는 마이너스다.
각도로 정의되지 않은 접선
각도로 정의되지 않은 코탄젠트

이 사진들은 또 무엇을 위한 것인가? 삼각 원을 사용하여 삼각 방정식의 해를 단순화하는 방법을 알려줄 고급 수준에서 배우게 됩니다!

고급 레벨

이 기사에서는 방법을 설명합니다 단위원(삼각원)삼각 방정식을 푸는 데 유용할 수 있습니다.

유용할 수 있는 두 가지 경우를 강조할 수 있습니다.

대답에서 우리는 "아름다운"각도를 얻지 못했지만 그럼에도 불구하고 뿌리를 선택해야합니다
답은 너무 많은 계열의 루트입니다.

주제에 대한 지식을 제외하고는 특정 지식이 필요하지 않습니다.

원에 의지하지 않고 "삼각 방정식"이라는 주제를 쓰려고했습니다. 많은 사람들이 그러한 접근 방식에 대해 나를 칭찬하지 않을 것입니다.

그러나 나는 공식을 선호하므로 무엇을 할 수 있습니까? 그러나 어떤 경우에는 공식이 충분하지 않습니다. 다음 예는 이 기사를 작성하도록 동기를 부여했습니다.

방정식을 풉니다.

그럼. 방정식 자체를 푸는 것은 쉽습니다.

역교체:

따라서 우리의 원래 방정식은 4개의 가장 간단한 방정식과 같습니다! 4개의 루트 시리즈를 기록해야 합니까?

원칙적으로 이것은 중지될 수 있습니다. 그러나 일종의 "복잡성"이라고 주장하는 이 기사의 독자에게는 해당되지 않습니다!

먼저 첫 번째 계열의 뿌리를 살펴보겠습니다. 그래서, 우리는 단위 원을 취합니다. 이제 이 근을 원에 적용해 보겠습니다(각각 for와 for):

주의 : 모서리 사이에 어떤 각도가 나타났습니까? 여기가 코너입니다. 이제 시리즈에 대해 동일한 작업을 수행해 보겠습니다.

방정식의 근 사이에서 각도 c가 다시 얻어집니다. 이제 이 두 사진을 결합해 보겠습니다.

우리는 무엇을 봅니까? 그리고 우리의 뿌리 사이의 모든 각도는 동일합니다. 무슨 뜻인가요?

모서리에서 시작하여 동일한 각도(임의의 정수에 대해)를 취하면 항상 상단 원의 4개 점 중 하나에 부딪힐 것입니다! 따라서 2개의 루트 시리즈:

하나로 결합 가능:

아아, 일련의 뿌리:

이러한 인수는 더 이상 유효하지 않습니다. 그림을 그리고 이것이 왜 그런지 이해하십시오. 그러나 다음과 같이 결합할 수 있습니다.

그러면 원래 방정식에 근이 있습니다.

꽤 짧고 간결한 답변입니다. 그리고 간결함과 간결함은 무엇을 의미합니까? 당신의 수학 능력 수준에 대해.

이것은 삼각원의 사용이 유용한 결과를 가져온 첫 번째 예였습니다.

두 번째 예는 "추한 뿌리"가 있는 방정식입니다.

예를 들어:

방정식을 풉니다.
틈에 속하는 뿌리를 찾으십시오.

첫 번째 부분은 어렵지 않습니다.

당신은 이미 주제에 익숙하기 때문에 내 계산에 대해 간략하게 설명하겠습니다.

그때 또는

그래서 우리는 방정식의 근원을 찾았습니다. 복잡하지 않습니다.

마이너스 1/4의 아크코사인이 정확히 무엇과 같은지 모른 채 작업의 두 번째 부분을 해결하는 것이 더 어렵습니다(이것은 표 값이 아님).

그러나 우리는 발견된 일련의 근을 단위 원에 묘사할 수 있습니다.

우리는 무엇을 봅니까? 첫째, 그림은 아크코사인의 한계를 명확히 했습니다.

이 시각적 해석은 세그먼트에 속하는 루트를 찾는 데 도움이 됩니다. .

먼저 숫자 자체가 들어갑니다 (그림 참조).

도 세그먼트에 속합니다.

따라서 단위 원은 "추한" 모서리가 속하는 한계를 결정하는 데 도움이 됩니다.

적어도 하나의 질문이 더 남아 있어야 합니다. 그러나 접선과 코탄젠트는 어떻습니까?

사실, 약간 특정한 모양을 가지고 있지만 고유한 축도 있습니다.

그렇지 않으면 처리 방법은 사인 및 코사인과 동일합니다.

예시

방정식이 주어집니다.

이 방정식을 풉니다.
구간에 속하는 이 방정식의 근을 나타냅니다.

해결책:

우리는 단위 원을 그리고 그것에 우리의 솔루션을 표시합니다:

그림에서 다음과 같이 이해할 수 있습니다.

또는 그 이상: 이후, 이후

그런 다음 세그먼트에 속한 루트를 찾습니다.

, (왜냐하면)

나는 우리 방정식에 구간에 속하는 다른 근이 없는지 확인하기 위해 당신에게 맡깁니다.

요약 및 기본 공식

삼각법의 주요 도구는 삼각 원,각도를 측정하고 사인, 코사인 등을 찾을 수 있습니다.

각도를 측정하는 방법에는 두 가지가 있습니다.

학위를 통해
라디안을 통해

그리고 그 반대도 마찬가지입니다. 라디안에서 도:

각도의 사인과 코사인을 찾으려면 다음이 필요합니다.

중심이 꼭짓점과 일치하는 단위원을 그립니다.
이 각도와 원의 교차점을 찾으십시오.
"x" 좌표는 원하는 각도의 코사인입니다.
"게임" 좌표는 원하는 각도의 사인입니다.

캐스트 공식

삼각 함수의 복잡한 표현식을 단순화할 수 있는 공식입니다.

다음 공식은 이러한 표를 기억하지 않는 데 도움이 됩니다.

요약

범용 삼각법 스퍼를 만드는 방법을 배웠습니다.

문제를 훨씬 쉽고 빠르게 그리고 가장 중요하게는 오류 없이 해결하는 방법을 배웠습니다.

테이블에 벼락치기를 할 필요가 없고 일반적으로 벼락치기할 것이 거의 없다는 것을 깨달았습니다!

이제 당신의 말을 듣고 싶습니다!

이 복잡한 주제를 다룰 수 있었습니까?

무엇을 좋아했습니까? 무엇을 좋아하지 않았습니까?

아마도 당신은 실수를 발견 했습니까?

댓글에 적어주세요!

그리고 시험 잘 치세요!