지연이 있는 미분 방정식. 지연이 있는 상미분 방정식에 의한 동적 시스템 모델링

지연이 있는 시스템은 하나 이상의 링크에서 출력 값 변경 시작 시간(입력 변경 시작 후)에 값 t만큼 지연이 있다는 점에서 앞서 고려한 시스템과 다릅니다. , 지연 시간이라고 하며, 이 지연 시간은 프로세스 동안 계속해서 일정하게 유지됩니다.

예를 들어 링크가 방정식으로 설명되는 경우

(1차 비주기적 링크), 지연이 있는 해당 링크의 방정식은 다음 형식을 갖습니다.

(지연된 첫 번째 주문의 비주기적 링크). 이러한 유형의 방정식을 지연된 인수가 있는 방정식이라고 합니다.

그런 다음 방정식 (6.31)은 일반 형식으로 작성됩니다.

0에서 1로 갑자기 변경됩니다(그림 6.20,

링크 방정식의 오른쪽에 서서,

). 일반적인 경우 (6.31)과 같이 지연이 있는 링크의 역학 방정식은 두 가지로 나눌 수 있습니다.

이는 지연이 있는 링크(그림 6.21, a)를 두 가지로 조건부 분해에 해당합니다. 즉, 동일한 차수와 동일한 계수와 그 앞에 오는 지연 요소(그림 6.21.6)의 일반 링크.

롤에서 두께 게이지까지 금속이 이동하는 시간을 의미합니다. 마지막 두 예에서 m 값을 전송 지연이라고 합니다.

첫 번째 근사에서 시스템의 링크에 포함된 파이프라인 또는 긴 전선은 특정 지연 값 t로 특성화될 수 있습니다.

그림에 나와 있습니다. 6.22, b, 그러면 이 링크는 실험 곡선에서 m, r 및 k 값을 취하여 지연(6.31)이 있는 1차 비주기적 링크로 대략 설명할 수 있습니다(그림 6.22, b).

또한 그림 4의 그래프에 따른 동일한 실험 곡선에 유의하십시오. 6.22, in은 방정식과 함께 일반 2차 비주기적 링크의 시간 특성으로 해석될 수도 있습니다.

k는 주어진 링크에 대해 § 4.5에 기록된 비율, 실험 곡선의 일부 측정 또는 다른 방법으로 계산할 수 있습니다.

기능(6.36)은 지연 링크(6.35)의 전달 기능과 거의 다릅니다.

지연이 있는 선형 링크의 방정식(6.33)은 이제 다음 형식으로 작성됩니다.

지연이 있는 선형 링크의 전달 함수는 다음과 같습니다.

지연 없이 해당 일반 링크의 전달 함수가 표시됩니다.

- 지연 없는 링크의 주파수 전달 함수의 모듈러스 및 위상.

따라서 우리는 다음 규칙을 얻습니다.

지연이 있는 링크의 진폭-위상 특성을 구축하려면 해당 일반 링크의 특성을 취하고 원을 따라 각 점을 다음 각도만큼 시계 방향으로 이동해야 합니다. 여기서 w는 다음에서 발진 주파수의 값입니다. 특성의 주어진 지점 (그림 6.23, a).

시작점은 변경되지 않고 유지되고 특성의 끝은 원점을 중심으로 점근적으로 감습니다(연산자 다항식 B의 차수가 다항식 C의 차수보다 작은 경우).

위에서 그림 1과 같은 형태의 실제 과도 과정(시간적 특성)을 언급했습니다. 6.22b는 종종 방정식 (6.31)과 (6.34) 둘 다에 의해 동일한 정도의 근사로 설명될 수 있습니다. 방정식 (6.31)과 (6.34)에 대한 진폭-위상 특성은 그림 1에 나와 있습니다. 6.23, a 및 b. 첫 번째 것과 근본적인 차이점은 축과 교차하는 점 D가 있다는 것입니다(/. 두 특성을 서로 비교하고 실제 링크의 실험적 진폭-위상 특성과 비교할 때 곡선의 모양뿐만 아니라 그녀를 따라 주파수 표시 ω 분포의 특성.

지연 없는 개방형 시스템의 함수 전달.

폐쇄 시스템의 특성 방정식은 다음과 같습니다. 5 형식이 있습니다

방정식은 무한 수의 근을 가질 수 있습니다.

주파수 전달 함수로 구성되지만 개방 회로의 진폭-위상 특성의 모양이 크게 변합니다.

또한 시스템의 개방은 아래에 주어진 특정 규칙에 따라 수행됩니다.

결과적으로 지연이 있는 1차 및 2차 선형 시스템의 안정성에 대해서는 계수의 양수만 더 이상 충분하지 않으며 지연이 있는 3차 이상 시스템의 경우 안정성 기준은 다음과 같습니다. Vyshnegradsky, Routh 및 Hurwitz는 적용할 수 없습니다.

아래에서는 이 노래에 대한 사용이 가장 간단하기 때문에 Nyquist 기준에 의한 안정성 결정만 고려할 것입니다.

1 Nyquist 기준에 따른 진폭 위상 특성의 구성과 안정성 연구는 개루프 시스템의 전달 함수가 (6.38) 형식으로 표시되는 경우 가장 잘 수행됩니다. 이를 얻으려면 시스템을 제대로 열어야 합니다.

그림에 표시된 경우. 6.24, a, 개방은 예를 들어 그림과 같이 주회로의 어느 곳에서나 할 수 있습니다. 그러면 열린 시스템의 전달 함수는 (6.41) 형식과 일치합니다.

그림에 표시된 경우. 6.24, b, 주회로를 열면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

개방 루프 기능, 추가 연구에 편리하지 않음:

마지막으로 그림 1과 같은 경우입니다. 6.24, c, 시스템이 표시된 장소에서 열리면 (6.41)과 일치하는 표현을 얻습니다.

주파수 전달 함수(6.41)는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

따라서 식 (6.41)을 형식으로 제시하면

지연이 있는 선형 시스템은 일반적으로 일반 선형 시스템(섹션 II)과 구조가 동일하지만 하나 이상의 링크에서 시작 시간에 지연이 있다는 점에서 후자와 다른 자동 시스템입니다. 지연 시간이라는 값만큼 출력량(입력 변경 시작 후)이 변경되며 이 지연 시간은 후속 프로세스 과정에서 일정하게 유지됩니다.

예를 들어, 일반 선형 링크가 다음 방정식으로 설명되는 경우

(1차 비주기적 링크), 지연이 있는 해당 선형 링크의 방정식은 다음 형식을 갖습니다.

(지연된 첫 번째 주문의 비주기적 링크). 이러한 유형의 방정식을 지연된 인수가 있는 방정식 또는 미분 미분 방정식이라고 합니다.

다음 방정식 (14.2)은 일반 형식으로 작성됩니다.

따라서 입력 값이 0에서 1로 갑자기 변경되면(그림 14.1, a) 연결 방정식의 오른쪽에 서 있는 값의 변화가 그림 4의 그래프로 표시됩니다. 14.1b(1초 후 점프). 이제 방정식 (14.3)에 적용된 일반 주기 링크의 과도 응답을 사용하여 그림 4의 그래프 형태로 출력 값의 변화를 얻습니다. 14.1, 다. 이것은 지연이 있는 1차 주기 링크의 과도 응답입니다(비주기적 "관성" 속성은 시간 상수 T에 의해 결정되고 지연은 값에 의해 결정됩니다.

지연이 있는 선형 링크. 일반적으로 (14.2)와 같이 지연이 있는 선형 링크의 역학 방정식은 다음과 같습니다.

둘로 나눕니다:

이는 지연이 있는 선형 링크(그림 14.2, a)를 두 개로 조건부 분해에 해당합니다. 즉, 동일한 차수와 동일한 계수를 갖는 일반 선형 링크와 그 앞에 오는 지연 요소(그림 14.2, b).

따라서 지연이 있는 링크의 시간 특성은 해당 일반 링크의 시간 특성과 동일하지만 시간 축을 따라 오른쪽으로 만 이동합니다.

"순수한" 지연 링크의 예는 음향 통신 회선(음향 전달 시간)입니다. 다른 예로는 벨트 컨베이어로 움직이는 물질의 자동 주입 시스템(벨트가 특정 영역에서 움직이는 시간)과 압연된 금속의 두께를 조절하는 시스템(금속이 움직이는 시간을 의미함)이 있습니다. 롤에서 두께 게이지까지

마지막 두 예에서 수량을 운송 지연이라고 합니다.

첫 번째 근사값에서 시스템의 링크에 포함된 파이프라인 또는 긴 전기선은 일정량의 지연을 특징으로 할 수 있습니다(자세한 내용은 § 14.2 참조).

링크의 지연 값은 시간 특성을 제거하여 실험적으로 결정할 수 있습니다. 예를 들어, 어떤 값을 1로 간주하여 링크의 입력에 적용하면 출력에서 ​​그림 1과 같은 실험 곡선이 얻어진다. 14.3, b, 이 링크는 실험 곡선에서 값을 취하여 지연(14.2)이 있는 1차 비주기적 링크로 대략적으로 설명할 수 있습니다(그림 14.3, b).

또한 그림 4의 그래프에 따른 동일한 실험 곡선에 유의하십시오. 14.3, c는 방정식과 함께 일반 2차 비주기적 링크의 시간 특성으로 해석될 수도 있습니다.

또한 k는 실험 곡선의 일부 측정에 따라 또는 다른 방식으로 주어진 링크에 대해 § 4.5에 작성된 관계에서 계산할 수 있습니다.

따라서 시간 특성의 관점에서 보면 지연된 인수(14.2)가 있는 1계 방정식으로 대략적으로 설명되는 실제 연결은 종종 2차 상미분 방정식에 의해 동일한 정도의 근사로 설명될 수 있습니다. (14.5). 주어진 방정식 중 어느 것이 가장 잘 맞는지 결정하려면

실제 링크에서 진폭 위상 특성을 실험적으로 취한 링크의 진폭 위상 특성과 비교할 수도 있습니다. 링크는 강제 진동 동안의 동적 특성을 나타냅니다. 지연이 있는 링크의 진폭-위상 특성의 구성은 아래에서 고려됩니다.

방정식을 작성할 때 통일성을 위해 지연 요소에 대한 두 번째 관계식(14.4)을 연산자 형식으로 나타냅니다. Taylor 급수에서 우변을 확장하면 다음을 얻습니다.

또는 이전에 허용된 기호 연산자 표기법에서

이 식은 함수 이미지에 대한 지연 정리의 공식과 일치합니다(표 7.2). 따라서 순수 지연 링크의 경우 다음 형식의 전달 함수를 얻습니다.

어떤 경우에는 제어 시스템에 많은 수의 작은 시간 상수가 존재하는 것을 이러한 시간 상수의 합과 동일한 일정한 지연의 형태로 고려할 수 있습니다. 실제로, 시스템이 1과 동일한 전달 계수 및 각 시간 상수의 값을 갖는 1차 직렬 연결된 비주기적 링크를 포함한다고 가정하면 결과 전달 함수는 다음과 같습니다.

그렇다면 우리는 한계에 도달합니다. 이미 전달 함수(14.8)에서 지연이 있는 링크의 전달 함수(14.6)와 거의 다릅니다.

지연이 있는 선형 링크의 방정식(14.4)은 이제 다음 형식으로 작성됩니다.

지연이 있는 선형 링크의 전달 함수는 다음과 같습니다.

여기서 는 지연 없는 해당 일반 선형 링크의 전달 함수를 나타냅니다.

주파수 전달 함수는 다음을 대체하여 (14.10)에서 얻습니다.

여기서 지연 없는 링크의 주파수 전달 함수의 모듈러스와 위상입니다. 따라서 우리는 다음 규칙을 얻습니다.

지연이 있는 선형 링크의 진폭-위상 특성을 구축하려면 해당 일반 선형 링크의 특성을 취하고 원을 따라 각 점을 시계 방향으로 각도만큼 이동해야 합니다. 여기서 는 에서 발진 주파수의 값입니다. 특성의 주어진 지점 (그림 14.4, a).

진폭 위상 특성의 시작 부분과 끝 부분에서 초기 점은 변경되지 않고 특성의 끝은 점근적으로 원점으로 향하기 때문에(연산자 다항식의 차수가 다항식보다 작은 경우

위에서 그림 1과 같은 형태의 실제 과도 과정(시간적 특성)을 언급했습니다. 14.3, b는 종종 방정식 (14.2)와 (14.5)에 의해 동일한 정도의 근사로 설명될 수 있습니다. 방정식 (14.2) 및 (14.5)에 대한 진폭-위상 특성은 그림 1에 나와 있습니다. 14.4, a 및 각각. 첫 번째 것의 근본적인 차이점은 축과 교차하는 점 D가 있다는 것입니다.

두 특성을 서로 비교하고 실제 링크의 실험적 진폭-위상 특성과 비교할 때 곡선의 모양뿐만 아니라 곡선을 따라 분포하는 주파수 표시의 특성도 고려해야 합니다.

지연이 있는 선형 시스템.

단일 회로 또는 다중 회로 자동 시스템에 링크 사이에 지연이 있는 하나의 링크가 있다고 가정합니다. 그러면 이 링크의 방정식은 (14.9) 형식을 갖습니다. 이러한 링크가 여러 개 있는 경우 지연 값이 다를 수 있습니다. 5장에서 파생된 자동 제어 시스템의 방정식 및 전달 함수에 대한 모든 일반 공식은 전달 함수의 값만 있는 경우 지연이 있는 모든 선형 시스템에 유효합니다. ( 14.10) 형식으로 이러한 공식으로 대체됩니다.

예를 들어, 직렬 연결된 링크의 개방 회로에 대해 각각 지연이 있는 두 개의 링크가 있는 경우 개방 시스템의 전달 함수는 다음 형식을 갖습니다.

여기서 지연을 고려하지 않은 개방 회로의 전달 함수는 직렬로 연결된 링크의 전달 함수의 곱과 같습니다.

따라서 직렬 연결된 링크의 개방 회로의 역학을 연구할 때 전체 지연이 하나의 링크에 집중될 것인지 아니면 다른 링크로 확산될 것인지는 중요하지 않습니다. 다중 루프 회로의 경우 더 복잡한 관계가 얻어집니다.

지연이 있는 음의 피드백이 있는 링크가 있는 경우 방정식으로 설명됩니다.

소개

러시아 연방 교육부

국제 교육 컨소시엄 "열린 교육"

모스크바 주립 경제, 통계 및 정보 대학

ANO "유라시아 오픈 인스티튜트"

E.A. 게보르키안

지연 미분 방정식

학문의 연구에 대한 교과서 가이드

학과별 과제집 학과 커리큘럼

모스크바 2004

게보르키안 E.A. 지연 인수가 있는 미분 방정식: 교과서, 분야 연구에 대한 가이드, 분야에 대한 작업 모음, 해당 분야에 대한 커리큘럼 / Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics - M .: 2004. - 79 p.

Gevorkyan E.A., 2004

모스크바 주립 경제, 통계 및 정보 대학, 2004

지도 시간
소개 .................................................................. . ........................................................................... ...........................................
1.1 미분방정식의 분류
일탈 주장. 초기 문제에 대한 설명 .................................................................. .................. .
1.2 지연된 인수가 있는 미분 방정식. 단계 방법. ........
1.3 분리 가능한 미분 방정식
변수 및 후행 인수 .................................................................. ...........................................................
1.4 지연 인수가 있는 선형 미분 방정식 ..................................................
1.5 지연된 인수가 있는 베르누이 미분 방정식. ..............
1.6 총 미분의 미분 방정식
지연된 인수 .................................................................. ........................................................... ...........................
2장. 선형 미분 방정식의 주기적 솔루션
지연된 인수 .................................................................. ........................................................... ...........................
2.1. 선형 동차 미분 방정식의 주기적 솔루션
상수 계수 및 후행 인수 .................................................................. ....
2.2. 선형 불균일 미분의 주기적 솔루션
..................
2.3. 푸리에 급수의 복잡한 형태 .................................................................. ........................................................... ...
2.4. 선형 불균일의 특정 주기 솔루션 찾기
상수 계수 및 지연된 미분 방정식
푸리에 급수에서 방정식의 우변을 확장하여 인수 .................................................. ...........................................
3장. 미분 방정식을 푸는 대략적인 방법
지연된 인수 .................................................................. ........................................................... ...........................
3.1. 알 수 없는 기능에 대한 대략적인 확장 방법
지연 정도에 따라 지연된 인수 포함 ........................................................... ...........................................
3.2. 대략적인 푸앵카레 방법. .................................................................................. . ...........................................
제4장. 지연 미분 방정식,
일부 경제적 문제의 해결에 등장
시간 지연을 고려하여 .................................................................. ........................................................... ...........................................

4.1. Koletsky의 경제주기. 미분 방정식

~와 함께 변경 사항을 설명하는 후행 인수

현금 자본 .................................................................................. ........................................................... ...........................
4.2. 특성 방정식. 실제의 경우
특성 방정식의 근 .................................................................................. ........................................................... ....
4.3. 특성방정식의 복소근의 경우 .................................................................. .......
4.4. 지연 미분 방정식,
(국민소득에 비례한 소비) ........................................................... ...........
4.5. 지연 미분 방정식,
시차 모델에서 국민 소득의 역학 설명
(소비는 성장률에 따라 기하급수적으로 증가합니다)........................................... ...........................................
문학................................................. .................................................................................. . ...........................

규율 연구 안내
2. 주요 주제 목록 .................................................................. ........................................................................... ........
2.1. 주제 1. 기본 개념 및 정의. 분류
편차가 있는 미분 방정식.
지연 미분 방정식. ..................................................................
2.2. 주제 2. 초기 문제에 대한 설명. 솔루션 단계 방법
지연된 인수가 있는 미분 방정식. 예 ..................................
2.3. 주제 3. 분리 가능한 미분 방정식
변수 및 지연된 인수. 예. .................................................................................. . .
2.4. 주제 4. 선형 미분 방정식
2.5. 주제 5. 베르누이 미분 방정식
지연된 논쟁으로. 예. .................................................................................. . ...........................................
2.6. 주제 6. 총 미분의 미분 방정식
지연된 논쟁으로. 필요충분조건. 예 ............
2.7. 주제 7. 선형 동차 미분의 주기적 솔루션
상수 계수와 지연된 인수가 있는 방정식.
2.8. 주제 8. 선형 불균일 미분의 주기적 해
상수 계수와 지연된 인수가 있는 방정식.
예. .................................................................................. . ........................................................................... ...........................................
2.9. 주제 9. 푸리에 급수의 복잡한 형태. 개인 정기 찾기
일정한 계수를 갖는 선형 비균일 방정식의 해
방정식의 우변을 푸리에 급수로 확장하여 지연된 인수.
예. .................................................................................. . ........................................................................... ...........................................
2.10. 주제 10. 미분방정식의 근사해
지연에서 함수를 분해하는 지연 인수 방법
지연 정도에 따라. 예 .................................................................................. ...........................................
2.11. 주제 11. 주기를 찾는 대략적인 푸앵카레 방법
매개변수가 작은 준선형 미분방정식의 해와
지연된 논쟁으로. 예. .................................................................................. . ...........................................

2.12. 주제 12. Koletsky의 경제주기. 미분 방정식

~와 함께 함수 K(t)에 대한 후행 인수, 현금 재고 표시

시간 t의 고정 자본 ........................................................... .................................................................. ...
2.13. 주제 13. 에 해당하는 특성 방정식의 분석
함수 K(t)에 대한 미분 방정식. .................................................................................. . ............
2.14. 주제 14. 특성방정식의 복소해의 경우
(ρ = α ± ιω )..................................................................................................................................
2.15. 주제 15. 함수 y(t)에 대한 미분 방정식, 다음을 보여줍니다.
소비 함수의 형식은 c(t -τ ) = (1 - α ) y(t -τ )이며, 여기서 α는 일정 비율입니다.
생산 축적 .................................................................. ........................................................................... ............
2.16. 주제 16. 함수 y(t)에 대한 미분 방정식, 다음을 보여줍니다.
자본 투자 시차가 있는 모델의 국민 소득
소비자 함수의 형식은 c (t − τ ) = c (o ) er (t − τ ) ........................ ...........................................
분야에 대한 작업 수집 .................................................................. ...........................................................................
분야별 커리큘럼 ........................................................... ........................................................... ....

지도 시간

소개

소개

이 튜토리얼은 일부 기술 및 경제 문제에서 직면하는 지연된 인수와 미분 방정식을 통합하는 방법을 제시하는 데 전념합니다.

위의 방정식은 일반적으로 후유증이 있는 모든 프로세스(지연된 프로세스, 시간 지연 포함)를 설명합니다. 예를 들어, 연구 중인 프로세스에서 시간 t에서 관심 수량의 값은 시간 t-τ에서의 값 x에 따라 달라지며, 여기서 τ는 시간 지연(y(t)=f)입니다. 또는, 시간 t에서의 수량 y의 값이 시간에서의 동일한 수량의 값에 의존할 때

작은 t-τ(y(t)=f).

지연 미분 방정식으로 설명되는 과정은 자연 과학과 경제 과학 모두에서 볼 수 있습니다. 후자의 경우 이는 사회적 생산 주기의 대부분의 링크에 시차가 존재하고 투자 시차가 있기 때문입니다(물체 설계 시작부터 최대 용량 시운전까지의 기간), 인구 통계학적 시차( 출생부터 근로연령에 진입하고 졸업 후 취업이 시작될 때까지의 기간).

기술 및 경제 문제를 해결할 때 시간 지연을 고려하는 것이 중요합니다. 지연이 있으면 얻은 솔루션의 특성에 상당한 영향을 미칠 수 있기 때문입니다(예: 특정 조건에서 솔루션이 불안정해질 수 있음).

와 함께 후행 인수

CHAPTER I. 미분방정식을 푸는 단계의 방법

~와 함께 후행 인수

1.1. 편차가 있는 미분 방정식의 분류. 초기 문제 진술

정의 1 . 편차 인수가 있는 미분 방정식을 미지수 함수 X(t)가 인수의 다른 값에 대해 입력하는 미분 방정식이라고 합니다.

X(t) = f(t, x(t), x ) ,

X(t) = f [ t, x(t), x(t - τ 1 ), x(t - τ 2 )] ,
X(t) = f t, x(t), x(t), x [ t -τ (t )] , x [ t − τ
X(t) = ft, x(t), x(t), x(t/2), x(t/2) .

(티)]

정의 2. 지연된 인수가있는 미분 방정식은 인수가 다른 미분 방정식으로, 알 수없는 함수의 최고 차수 도함수가 인수의 동일한 값에 나타나고이 인수는 모든 인수보다 작지 않습니다. 방정식에 포함된 미지의 함수와 그 도함수.

정의 2에 따르면 τ(t) ≥ 0, t − τ(t) ≥ 0 조건에서 방정식 (1) 및 (3)은 지연된 인수가 있는 방정식이 되고 방정식 (2)는 방정식이 됩니다.

후행 인수가 있는 경우 τ 1 ≥ 0, τ 2 ≥ 0, t ≥ τ 1, t ≥ τ 2, 방정식 (4)는 t ≥ 0이므로 후행 인수가 있는 방정식입니다.

정의 3. 선행 인수가있는 미분 방정식은 인수가 다른 미분 방정식으로, 알 수없는 함수의 최고 차수 도함수가 인수의 동일한 값에 나타나고이 인수가 나머지 인수보다 크지 않습니다. 방정식에 포함된 미지의 함수와 그 도함수의 인수.

선행 인수가 있는 미분 방정식의 예:

X(t)=

X(t)=

X(t)=

f ( t, x(t), x[ t + τ(t) ] ) ,

f [ t , x(t ), x(t + τ 1 ), x(t + τ 2 )] ,

f t , x(t ), x . (t ), x [ t + τ (t )] , x . [ t + τ

(t)] .

나. 미분 방정식을 풀기 위한 단계 방법

와 함께 후행 인수

정의 4. 지연 또는 선행 인수가 있는 방정식이 아닌 편차 인수가 있는 미분 방정식을 중립 유형의 미분 방정식이라고 합니다.

중립 유형의 편차 인수가 있는 미분 방정식의 예:

X(t) = f t, x(t) , x(t − τ ) , x(t − τ )

X (t) = f t, x(t) , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] .

유사한 분류가 "함수"라는 단어를 "벡터 함수"라는 단어로 대체하여 편차가 있는 인수가 있는 미분 방정식 시스템에도 사용됩니다.

편차가 있는 인수가 있는 가장 간단한 미분 방정식을 고려하십시오.

X(t) = f [ t, x(t) , x(t − τ ) ] ,

여기서 τ ≥ 0이고 t − τ ≥ 0입니다(사실, 우리는 지연된 인수가 있는 미분 방정식을 고려합니다). 방정식(10)을 푸는 주요 초기 작업은 다음과 같습니다. t > t 0(t 0 -

고정 시간) X (t ) = ϕ 0 (t ) 일 때 t 0 − τ ≤ t ≤ t 0 , 여기서 ϕ 0 (t )는 주어진 연속 초기 함수입니다. 세그먼트 [ t 0 − τ , t 0 ]을 초기 세트라고 하고, t 0을 초기점이라고 합니다. X(t 0 + 0) = ϕ 0(t 0 )이라고 가정한다(Fig. 1).

X(t) \u003d ϕ 0(t)

	t 0 - τ		t0 + τ		0 + τ
지연 τ		방정식 (10)에서 시간 t에 의존		(τ = τ (t )) , 초기

문제는 다음과 같이 공식화됩니다. 초기 함수 X (t ) = ϕ 0 t 가 t 0 − τ (t 0 ) ≤ t ≤ t 0 에 대해 알려진 경우 t > t 0 에 대한 방정식 (10)의 해를 찾습니다.

예시. 방정식의 해를 구합니다.

X(t) = f [ t, x(t) , x(t − cos 2 t) ]
t > t 0 = 0인 경우 초기 함수 X(t ) = ϕ 0 (t ) for (t 0 − cos2 t 0 ) |	t ≤ t0
t0 = 0

- 1 ≤ t ≤ 0).

나. 미분 방정식을 풀기 위한 단계 방법

와 함께 후행 인수

예시. 방정식의 해 찾기

	X(t) = f [ t, x(t) , x(t / 2 ) ]			(t	-t	/ 2) |
	초기 함수 X(t ) = ϕ t인 경우 t > t 0 = 1						≤ t ≤ t
						t=1			t=1

1/ 2 ≤ t ≤ 1).

초기 기능은 일반적으로 실험적으로 지정되거나 발견됩니다(주로 기술 문제에서).

1.2. 지연 미분 방정식. 단계 방법

지연된 인수가 있는 미분 방정식을 고려하십시오.

t ≥ t 0 에 대한 식 (13)의 해를 찾아야 합니다.

t ≥ t 0에 대한 식 (13)의 해를 찾기 위해 단계적 방법(연속 적분 방법)을 사용할 것입니다.

단계 방법의 핵심은 먼저 t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ 에 대해 방정식 (13)에 대한 해를 찾은 다음 t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ 등에 대해 찾는 것입니다. 동시에, 예를 들어 t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ 영역에서 인수 t − τ는 t 0 − τ ≤ t − τ ≤ t 0 내에서 변경되므로 방정식에서

(13) 이 영역에서 x(t − τ ) 대신 초기 함수 ϕ 0 (t − τ ) 을 사용할 수 있습니다. 그 다음에

우리는 t 0 ≤ t ≤ t 0 영역에서 방정식 (13)에 대한 솔루션을 찾기 위해 다음을 얻습니다.		+ τ 다시 필요
다음과 같은 형식으로 지연 없이 상미분 방정식을 꿰매십시오.
	[ t, x(t) , ϕ 0 (t − τ ) ] ,
X(t) = f
t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ에 대해	초기 조건 X(t 0 ) = ϕ(t 0 )(그림 1 참조).
	이 초기 문제에 대한 해를 X(t) = ϕ 1 (t) 형식으로 찾는 것,	우리는 게시할 수 있습니다-

세그먼트 t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ 등에서 솔루션을 찾는 문제를 해결합니다.

그래서 우리는 다음을 가지고 있습니다:

			0(t - τ)] ,
	X(t) = f [ t, x(t) , ϕ
t 0에서	≤ t ≤ t0 + τ , X(t0 )		= ϕ 0 (t 0 ) ,
	X(t) = f [ t, x(t) , ϕ 1 (t − τ ) ] ,
t 0 +τ ≤ t ≤ t 0 + 2 τ에 대해,			X(t 0 + τ ) = ϕ 1(t 0 + τ ) ,
	X(t) = f [ t, x(t) , ϕ 2 (t − τ ) ] ,
t 0 + 2τ ≤ t ≤ t 0 + 3τ에 대해,			X (t 0 + 2 τ ) = ϕ 2 (t 0 + 2 τ ) ,
	X(t) = f [ t, x(t) , ϕ n (t − τ ) ] ,
t 0 + n τ ≤ t ≤ t 0 + (n +1) τ , X (t 0 + n τ ) = ϕ n (t 0 + n τ ),
	ϕ 나는 (t )는	고려된 초기의 솔루션		세그먼트의 작업
t 0 + (i −1 ) ≤ t ≤ t 0 +i τ		(I=1,2,3…n,…).

나. 미분 방정식을 풀기 위한 단계 방법

와 함께 후행 인수

지연된 인수로 미분 방정식을 푸는 이 단계 방법(13)을 통해 t의 특정 유한 변화 구간에서 해 X(t)를 결정할 수 있습니다.

예 1. 단계 방법을 사용하여 지연된 인수가 있는 1계 미분 방정식의 해 찾기

	(t) = 6 X (t - 1 )
0 ≤ t ≤ 1에 대한 초기 함수가 X(t) = ϕ 0(t) = t 형식이면 1 ≤ t ≤ 3 영역에서
결정. 먼저 1 ≤ t ≤ 2 영역에서 수학식 19의 해를 구해봅시다. 이를 위해
(19) X(t − 1)를 ϕ 0(t − 1), 즉,
X (t − 1 ) = ϕ 0 (t − 1 ) = t| t → t − 1 = t − 1
고려 X (1) = ϕ 0 (1) = t |
따라서 영역 1 ≤ t ≤ 2에서 다음 형식의 상미분 방정식을 얻습니다.
	(t )= 6 (t − 1 )
또는 dx(t)	6(t -1 ) .
(20)을 고려하여 풀면 다음과 같은 형식으로 1 ≤ t ≤ 2에 대한 식 (19)의 해를 얻습니다.
X(t) = 3 t 2 − 6 t + 4 = 3 (t − 1 ) 2 + 1.
방정식 (19)에서 영역 2 ≤ t ≤ 3에서 솔루션을 찾기 위해 X(t − 1)를 다음과 같이 바꿉니다.
ϕ 1 (t −1 ) = 3 (t −1 ) 2 +1 | t → t - 1		3(t − 2) 2 + 1. 그런 다음 일반		미분
방정식:
	(t ) = 6[ 3(t − 2) 2 + 1] , 엑스( 2) = ϕ 1 ( 2) = 4 ,
솔루션의 형태는 (그림 2)
엑스 (티 ) = 6 (티 − 2 ) 3 + 6 티 − 8 .

시간 지연이 있는 물류 방정식은 포식자-피식자 상호작용 연구에 적용 가능 - 물류 방정식에 따른 안정적인 한계 주기.
시간 지연의 존재는 포식자-피식자 관계의 간단한 시스템을 모델링하는 다른 방법을 적용하는 것을 가능하게 합니다.

이 방법은 로지스틱 방정식(섹션 6.9)을 기반으로 합니다.

표 10.1. 한편으로는 Lotka-Volterra 모델(및 일반적으로 육식 동물 유형의 모델에서)에서 얻은 인구 역학의 근본적인 유사성과 시간 지연이 있는 물류 모델에서 얻은 기본 유사성. 두 경우 모두 먹이 풍부의 최대(및 최소)에 이어 포식자 풍부의 최대(및 최소)가 있는 4단계 주기가 있습니다.

이 방정식에서 포식자 개체군의 성장률은 초기 풍부도(C)와 특정 성장률, r-(K-C) I Kf에 따라 달라집니다. 여기서 K는 포식자 개체군의 포화 밀도입니다. 상대 속도는 차례로 환경 과소 활용(C-S) 정도에 따라 달라지며, 이는 포식자 개체군의 경우 먹이의 가용성으로 인해 포식자의 필요가 초과되는 정도로 간주될 수 있습니다. 그러나 먹이의 이용 가능성, 따라서 포식자 개체군의 상대 성장률은 종종 일부 이전 기간의 포식자 개체군의 밀도를 반영합니다(6.8.4절). 다시 말해, 포식자 개체군이 자체 밀도에 반응하는 데 시간 지연이 있을 수 있습니다.
dC`l (Know-Iag\
- - G. 노우 j.
이 지연이 작거나 포식자가 너무 느리게 번식하는 경우(즉, r 값이 작음), 그러한 개체군의 역학은 간단한 물류 방정식으로 설명된 것과 크게 다르지 않을 것입니다(1981년 5월 참조). Ho 지연 시간과 번식 속도의 중간 또는 높은 값에서 인구는 안정적인 한계 사이클로 진동합니다. 또한, 이러한 안정적인 한계 주기가 시간 지연이 있는 로지스틱 방정식에 따라 발생하면 지속 시간(또는 "기간")이 지속 시간보다 약 4배 더 깁니다.

숫자의 변동 메커니즘을 이해하기 위해 희생자.
포식자와 먹이의 수의 규칙적인 변동을 발견할 수 있는 자연 개체군에서 얻은 많은 예가 있습니다. 그들은 섹션에서 논의됩니다. 15.4; 여기에서는 한 가지 예만 유용할 것입니다(Keith, 1983 참조). 토끼 개체수 변동은 20세기부터 생태학자들에 의해 논의되어 왔으며 사냥꾼들은 100년 전에 이를 발견했습니다. 예를 들어, 북미 아한대 숲에 사는 미국 토끼(Lepus americanus)는 "10년 개체군 주기"를 가지고 있습니다(사실 기간은 8년에서 11년까지 다양하지만 그림 B). 이 지역의 초식 동물 중에는 흰토끼가 우세합니다. 그것은 수많은 관목과 작은 나무의 싹 끝을 먹습니다. 풍부함의 변동은 스라소니(Lynx canadensis)를 포함한 많은 포식자의 풍부함의 변동에 해당합니다. 10년 개체군 주기는 또한 일부 다른 초식 동물, 즉 칼라 개암 뇌조와 미국 야생 뇌조의 특징입니다. 토끼 개체군에서는 풍부하게 10~30배의 변화가 자주 발생하며, 유리한 조건에서는 100배의 변화도 관찰할 수 있습니다. 이러한 변동은 알래스카에서 뉴펀들랜드에 이르는 광대한 지역에서 거의 동시에 발생할 때 특히 인상적입니다.
흰토끼의 감소는 낮은 출산율, 낮은 청소년 생존, 체중 감소 및 낮은 성장률을 동반합니다. 이 모든 현상은 실험에서 재현되어 영양 상태를 악화시킬 수 있습니다. 또한, 직접적인 관찰은 토끼가 최대로 풍부한 기간 동안 식량 가용성의 감소를 확인합니다. 아마도 더 중요하게도 식물은 독성 물질 함량이 높은 새싹을 형성하여 강한 섭식에 반응하여 토끼를 먹을 수 없게 만듭니다. 그리고 식물을 심하게 갉아먹은 후에도 2-3년 동안 이러한 방식으로 식물을 보호하는 것이 특히 중요합니다. 이것은 토끼 수의 감소 시작과 식량 비축량의 회복 사이에 약 2.5 년에 해당하는 지연으로 이어집니다. 2년 반 - 한 주기의 1/4에 해당하는 동일한 시간 지연이 있으며 이는 단순 모델에 대한 예측과 정확히 일치합니다. 따라서 분명히 토끼 개체군과 식물 개체군 사이에 상호 작용이 있어 토끼 수를 줄이고 시간 지연으로 발생하여 주기적인 변동을 일으킵니다.
반면에 포식자는 대부분 토끼 수의 변동을 따르고 발생하지 않습니다. 그럼에도 불구하고 산토끼의 수가 감소하는 기간 동안 포식자의 수와 먹이의 수의 비율이 높기 때문에 변동이 더 뚜렷하고 최소 수 이후 기간에는 비율이 낮기 때문일 것입니다. 토끼가 포식자보다 앞서서 숫자를 복원할 때(그림 10.5). 또한, 스라소니 수와 토끼 수의 비율이 높으면 육식 동물은 고지대 게임을 많이 먹고 비율이 낮 으면 소량을 먹습니다. 이것은 분명히 이 작은 초식 동물의 수에 변동을 일으킵니다(그림 10.5). 따라서 토끼와 식물의 상호 작용은 토끼의 개체수에 변동을 일으키고 포식자는 개체 수의 변동을 반복하며 초식 조류의 개체수 주기는 포식자의 압력 변화로 인해 발생합니다. 분명히 간단한 모델은 자연 조건에서 인구 변동의 메커니즘을 이해하는 데 유용하지만 이러한 모델은 이러한 변동의 발생을 결코 완전히 설명하지 못합니다.

지연 방정식의 문제. 지연 방정식에 대한 코시 문제에 의해 제어 장치가 시스템의 위상 궤적을 결정하는 변형 문제를 고려하십시오.

문헌에서 이러한 시스템은 종종 연립 방정식의 시스템이라고 하며, 이는 여기서 한 방정식의 종속 변수가 하나 이상의 다른 방정식에서 변수로 동시에(그러나 이미 독립 변수로) 나타날 수 있음을 의미합니다. 이 경우 종속 변수와 독립 변수의 전통적인 구분이 의미를 잃습니다. 대신 두 종류의 변수를 구분합니다. 이들은 첫째, 공동 종속 변수(내생적)이며, 서로에 대한 영향을 조사해야 합니다(위의 방정식 시스템의 Ay t 항에서 행렬 A). 둘째, 첫 번째 변수에 영향을 줄 것으로 예상되지만 영향을 받지 않는 미리 정의된 변수는 지연 변수입니다. 시차(두 번째 항) 및 주어진 방정식 시스템 외부에서 정의된 외생 변수.

그러나 일반적인 유형의 지연과 다소 광범위한 나머지 사양을 포함하는 방정식의 경우 추정값의 속성과 관련하여 여전히 충분히 신뢰할 수 있는 결과가 없습니다. 따라서 일반 다항식 시차 형태의 회귀 방정식에 대한 추정값은 일관성 속성만 가지며 시차 외생 변수 및 내생 변수가 있는 방정식에 대한 추정값은 3단계 최소 자승법(첫 번째- 차수 Markov 잔차 자기상관)은 이 속성조차 갖지 않습니다(그림 의 등급 분석 참조).

따라서 최대 안정성의 고속 시스템을 합성할 때 먼저 조건 (4), ng 및 ω, (1=1, n)의 충족을 보장하는 최적의 bj 값을 결정해야 합니다. 그런 다음 (10)에서 с/를 찾고 마지막으로 주어진 C 값에 대한 조건 (12)에서 dj를 선택합니다. 논평. 고려된 경우로부터 최적해의 구조, 즉 극우근의 실수 및 복소수 켤레 쌍의 수, 이들의 조합, 다중도, 결과적으로 X에서 최적해의 호도그래프 유형 평면은 제어 m(1.2)의 차원에 의존하고 충분히 더 높은 차수 n(1.1)에 대해 n 자체의 값에 의존하지 않습니다. 즉, 각각의 주어진 m은 자체적으로 잘 정의된 구조 수에 해당합니다. 최적의 솔루션의 새로운 최적의 솔루션. 따라서 n -> QO의 경우 최대 안정성 수준의 시스템을 합성할 가능성이 남아 있고 최적 솔루션의 구조는 m에 의해서만 결정됩니다. 즉, 모든 m에 대해 최적 솔루션의 구조는 지연.

문제는 각 지표에 대한 시차 값을 결정하는 방법입니다.적절한 시차를 결정하기 위해 데이터 시계열의 상관 분석을 사용합니다. 시차를 결정하는 주요 기준은 인플레이션율에 미치는 영향의 시차 기간이 다른 지표의 시계열에 대한 교차 상관 계수의 가장 큰 값입니다. 결과적으로 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

또한 S. d. 방법을 사용하면 하나의 모델 프레임워크 내에서 수많은 흐름(물리적, 통제 및 정보)과 이러한 흐름을 축적하는 자금의 자본 투자 및 처분 수준을 기본 수준과 연결할 수 있습니다. 자본, 인구의 연령 구조 등 다양한 연령 그룹의 출생 및 사망률 -rykh는 모델 자체의 매개 변수와 구조에 따라 안정성에 대한 상당히 간단한 실험적 연구에 적합합니다.

규칙은 다른 기준에 따라 그룹화될 수도 있습니다. 예를 들어, 규칙의 방정식에 경제 변수 예측의 포함에 따라 대외 경제 관계(개방 경제 또는 폐쇄 경제)의 존재에 따라 통화 정책 수단(환율, 이자율 또는 통화 총액)에 따라( 지연의 양(지연 유무에 관계없이) 등에 따라 예측 및 적응 규칙)

발사체의 비행 시간과 발사 지연을 고려한 모델은 적의 미사일 공격에 대한 조기 경보 시스템과 핵 미사일의 우주 감시 시스템의 지연을 고려할 수 있습니다. 힘. 이 모델은 다음 방정식으로 정의됩니다.

일정한 지연 블록 BPZ-2M은 아날로그 컴퓨팅 장치에서 지연 인수가 있는 기능을 재현하도록 설계되었으며 복잡한 다중 용량 개체의 방정식을 근사할 때 물질 또는 에너지 전달과 관련된 프로세스의 전기적 모델링에 사용할 수 있습니다. 지연이 있는 1차 및 2차 방정식에 의해.

결정 기능은 수준에 대한 사용 가능한 정보가 현재 유량 값과 관련된 결정을 선택하는 방법을 결정하는 행동 라인의 공식화입니다. 솔루션 함수는 한 수준 또는 두 수준의 상태에 대한 물질 흐름의 가장 간단한 반응을 결정하는 간단한 방정식의 형태를 취할 수 있습니다(예를 들어, 운송 시스템의 성능은 종종 운송 중인 상품의 수로 적절하게 표현될 수 있습니다. , 수준 및 상수 - 운송 시간에 대한 평균 지연) . 반면에 결정 기능은 여러 추가 조건의 변경을 고려하여 수행되는 길고 정교한 계산 체인이 될 수 있습니다.

현재로서는 추운 기간에 바이칼에 규조류가 없는 주된 이유가 무엇인지 완전히 명확하지 않습니다. [Grachev et al., 1997]에서는 산악 빙하의 작용으로 인한 물의 탁도 증가가 결정적 요인으로 간주되며, [Gavshin et al., 1998]에서는 침식 퇴색으로 인한 규소 농도의 저하가 주요 원인으로 간주됩니다. 바이칼 배수지에서. 첫 번째 방정식이 규소 농도의 역학을 설명하고 두 번째 방정식이 부유 물질의 침강 역학을 설명하는 모델(2.6.7)의 수정을 통해 이 두 가지 요인 중 어느 것이 주요 요인인지 식별하는 접근 방식을 제안할 수 있습니다. . 거대한 물 덩어리로 인해 바이칼의 생물군은 호수의 배수 분지에서 식물 군집의 반응에 비해 약간의 지연으로 기후 변화에 반응할 것이 분명합니다. 따라서 규조류 신호는 palynological 신호보다 늦어야 합니다. 추운 기간 동안 규조류가 사라지는 주요 원인이 규소 농도의 감소라면, 온난화에 대한 이러한 반응 지연은 냉각 지연보다 커야 합니다. 규조류 억제의 주요 요인이 빙하로 인한 탁도라면 냉각에 대한 반응 지연은 온난화보다 거의 같거나 더 커야 합니다.

독자가 알 수 있듯이 마지막 방정식은 비례 지연이 있는 가장 간단한 자체 조정 메커니즘의 동작을 설명합니다. 부록 A는 다음을 보여주는 블록 다이어그램을 제공합니다.

이 경우 PERRON97 절차는 중단 날짜를 1999 07로 결정합니다. 중단 날짜의 선택이 가능한 모든 중단점을 차지하는 단위 루트 기준 ta=i의 최소 통계에 따라 수행됩니다. 동시에 ta= = - 3.341로 임계수준 - 5.59의 5% 이상이며 단위근 가설은 기각되지 않는다. 10% 유의수준으로 모형을 축소하기 위해 GS 절차를 적용하는 틀에서 방정식의 우변에 포함된 차이의 가장 큰 지연은 12로 선택됩니다.