다른 사전에 "각도"가 무엇인지보십시오. 가열 파티가있는 모서리

이 물질은 두 개의 교차하는 직선 사이의 각도로서 이러한 개념에 헌신적입니다. 첫 번째 시점에서 우리는 그가 무엇인지 설명하고 그림을 보여줄 것입니다. 그런 다음 우리는 부비동을 발견 할 수있는 방법,이 각도의 코사인 및 각도 자체 (별도로 평면 및 3 차원 공간을 별도로 고려해보십시오)를 분석 할 것입니다. 우리는 필요한 수식을 제공하고 예제에 대한 예제를 보여줍니다. 실제로 적용됩니다.

두 가지 직접의 교차로에 의해 각도가 형성되는 것을 이해하기 위해, 우리는 각도, 수직도 및 교차점의 결정을 회상해야합니다.

정의 1.

하나의 공통점이있는 경우 두 개의 똑바로 교차합니다. 이 점을 2 개의 직선의 교차점이라고합니다.

각 직접은 광선의 교차점으로 구분됩니다. 동시에 두 모서리가 수직이고 2 개가 인접하여 두 개의 모서리가 모두 직접적으로 사용됩니다. 우리가 그 중 하나의 척도를 알고 있다면 우리는 다른 나머지를 식별 할 수 있습니다.

모서리 중 하나가 α와 같다는 것을 알고 있다고 가정 해보십시오. 이 경우, 그것과 관련하여 수직 인 각도도 α와 같습니다. 나머지 각도를 찾으려면 180 ° α의 차이를 계산해야합니다. α가 90도와 같으면 모든 각도가 똑바로 될 것입니다. 라인의 오른쪽 구석에서 교차하는 것은 수직 (개별 기사가 수직도의 개념에 헌신)이라고합니다.

도면을 살펴보십시오.

기본 정의의 공식화로 돌아 가자.

정의 2.

2 개의 교차하는 직선에 의해 형성된 각도는 이들 중 두 개를 형성하는 4 모서리가 작아지는 척도이다.

정의에서,이 경우 각도 크기는 간격 (0, 90]의 실수로 표현됩니다. 직접이 수직 인 경우, 그 사이의 각도는 90 학위.

2 개의 교차하는 직접 간의 각도를 측정하는 능력은 많은 실제 작업을 해결하는 데 유용합니다. 솔루션 메소드는 여러 옵션 중에서 선택할 수 있습니다.

시작을 위해 기하학적 방법을 취할 수 있습니다. 우리가 추가 모서리에 대해 뭔가를 알고 있다면, 동등하거나 유사한 모양의 속성을 사용하여 필요한 각도로 묶을 수 있습니다. 예를 들어, 삼각형의 측면을 알고 있고 직접 간의 각도를 계산 해야하는 경우이 파티가있는 직접 간의 각도를 계산 해야하는 경우, 솔루션의 경우 코사인 이론이 적합합니다. 우리가 직사각형 삼각형을 가지고 있다면 계산을 위해 우리는 또한 부비동, 코사인 및 접선 각도에 대한 지식을 사용합니다.

좌표 방법은 또한이 유형의 문제를 해결하기에 매우 편리합니다. 그것을 올바르게 사용하는 방법을 설명합시다.

우리는 2 개의 직선이 주어진 직사각형 (사망자) 좌표계 Ox Y를 갖추고 있습니다. 편지 A와 b로 표시합니다. 이를 사용하여 방정식을 사용하여 설명 할 수 있습니다. 소스 직선은 교차점을 가지고 있습니다. M. 이 직선 사이에서 원하는 각도 (α를 나타내는)를 결정하는 방법은 무엇입니까?

특정 조건에서 각도를 찾는 기본 원칙의 표현을 시작합시다.

우리는 가이드와 정상적인 벡터와 같은 개념이 직선의 개념을 가지고 있음을 알고 있습니다. 우리가 똑바로 방정식을 가지고 있다면,이 벡터의 좌표를 취할 수 있습니다. 우리는 두 개의 교차하는 직선을 위해 즉시 그것을 할 수 있습니다.

두 개의 교차하는 직선으로 형성된 각도는 다음을 사용하여 찾을 수 있습니다.

• 가이드 벡터 사이의 각도;
• 일반 벡터 사이의 각도;
• 정상 벡터 사이의 각도는 직선 및 전자 가이드 벡터입니다.

이제 각 방식을 별도로 고려하십시오.

1. 가이드 벡터 a → \u003d (Ax, A y) 및 가이드 벡터 B → (bx, b y)가있는 → 똑바로 B가있는 A와 직선 A가 있다고 가정합니다. 이제 2 개의 벡터를 연기하여 → 교차점에서 → → → 그 후, 우리는 그들이 각각 똑바로 위치 할 것이라는 것을 알게 될 것입니다. 그런 다음 우리는 상호 위치에 대해 4 가지 옵션이 있습니다. 그림보기 :

두 벡터 사이의 각도가 어리 석지가 아닌 경우, 우리가 교차하는 직선 A와 b 사이에 가야하는 각도가 될 것입니다. 그것이 어리 석다면 원하는 각도는 → b → ^의 각도에 인접한 모서리와 같습니다. 따라서, α \u003d a →, b → ^ a →, b → ^ ≤ 90 °, α \u003d 180 ° - a →, b → ^, a →, b → ^\u003e 90 °.

동일한 각도의 코사인이 동일하다는 사실을 바탕으로, 결과적인 평등을 다시 작성할 수 있습니다. cos α \u003d cos a →, b → ^, b → ^ ≤ 90 °; cos α \u003d cos 180 ° - a →, b → ^ \u003d - cos a → b → ^, a → b → ^\u003e 90 °.

두 번째 경우에는 공식이 사용되었습니다. 이런 식으로,

cos α cos a →, b → ^, cos a →, b → ^ ≥ 0 - cos a → b → ^, cos a → b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

우리는 마지막 수식을 단어로 씁니다 :

정의 3.

두 개의 교차하는 직선으로 형성된 각도의 코사인은 가이드 벡터 사이의 각도의 코사인 모듈과 동일합니다.

2 개의 벡터 사이의 각도의 코사인 공식의 일반적인 외관 a → \u003d (A x, a y) 및 b → \u003d (b x, b y)는 다음과 같습니다.

cos a →, b → ^ \u003d a →, b → ^ a → b → \u003d ax b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

IT에서 우리는 두 가지 직접 간의 각도의 코사인 공식을 유도 할 수 있습니다.

cos α \u003d A x 2 + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 \u003d Ax · b x + a y + b y x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

그런 다음 각도 자체는 다음 공식에서 찾을 수 있습니다.

α \u003d A rc cos a x · b x + a y + b y x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

여기서 A → \u003d (Ax, A) 및 B → \u003d (B x, B Y)는 지정된 직접의 가이드 벡터입니다.

문제를 해결하는 데 예를 보여주십시오.

예제 1.

평면의 직사각형 좌표계에서 2 개의 교차 직선 A와 B가 주어진다. 그들은 파라 메트릭 방정식 x \u003d 1 + 4 · λ y \u003d 2 + λ λ r 및 x 5 \u003d y - 6 - 3에 의해 기술 될 수있다. 이 직선 사이의 각도를 계산하십시오.

결정

우리의 상태에서 파라 메트릭 방정식이 있습니다. 즉,이 직선을 위해 우리는 즉시 가이드 벡터의 좌표를 쓸 수 있습니다. 이를 위해 매개 변수, 즉 계수의 값을 가져 가야합니다. 직접 x \u003d 1 + 4 · λ y \u003d 2 + λ λ r은 가이드 벡터 a → \u003d (4, 1)를 갖는다.

두 번째 직접은 정식 방정식 x 5 \u003d y - 6 - 3을 사용하여 설명됩니다. 여기서 우리는 분모의 좌표를 가져갈 수 있습니다. 따라서이 직접은 가이드 벡터 B → \u003d (5, - 3)가 있습니다.

다음으로 각도를 찾기 위해 직접 이동하십시오. 이를 위해, 우리는 위의 포맷에서 두 벡터의 사용 가능한 좌표를 단순히 대체합니다. α \u003d A r C cos A x 2 + a y y + b x 2 + a y 2 y + b x 2 + a 2. 우리는 다음을 얻습니다.

α \u003d A \u003d A cos 4 · 5 + 1 · (- 3) 4 2 + 1 2 · 5 2 + (- - 3) 2 \u003d Rc cos 17 17 · 34 \u003d rc cos 1 2 \u003d 45 °

대답: 데이터는 직접적인 45 도의 각도를 형성합니다.

우리는 정상적인 벡터 사이의 각도를 찾아서 그러한 일을 해결할 수 있습니다. 정상적인 NA → \u003d (NAX, NAX) 벡터와 직선 B를 정상 NB → \u003d (NBX, NBY) 벡터로 똑바로두면 NA → NB 사이의 각도가 동등합니다 → NA → NB → ^에 인접하게 될 코너. 이 방법은 그림에 표시됩니다.

정상적인 벡터의 좌표와 함께 교차하는 직선과 대부분의 각도의 코사인을 계산하는 수식은 다음과 같습니다.

cos α \u003d cos na →, nb → ^ \u003d n и x · nbx + nay + nbynax 2 + nby 2 · nbx 2 + nby 2 α \u003d 아크 cos nax · nbx + nay + nbynax 2 + nay 2 · nbx 2 + nby 2.

여기서 n a → nb → 두 세트의 직접의 정상 벡터를 나타냅니다.

예 2.

직사각형 좌표계에서는 방정식 3 x + 5 y - 30 \u003d 0 및 x + 4 y - 17 \u003d 0을 사용하여 두 개의 직선을 주어 듭니다. 부비동, 코사인 각도 와이 코너 자체의 크기를 찾으십시오.

결정

소스 직선은 직접 형식의 정상 방정식을 사용하여 X + B Y + C \u003d 0입니다. 일반 벡터는 n → \u003d (a, b)로 나타냅니다. 우리는 첫 번째 정상 벡터의 좌표를 하나의 똑바로 찾아 씁니다. n a → \u003d (3, 5). 두 번째 직접 x + 4 y - 17 \u003d 0에 대해 일반 벡터는 좌표 n b → \u003d (1, 4)를 갖습니다. 이제 획득 된 값을 수식에 추가하고 결과를 계산합니다.

cos α \u003d cos n a →, n b → ^ \u003d 3 · 1 + 5 · 4 3 2 + 5 2 · 1 2 + 4 2 \u003d 23 34 · 17 \u003d 23 2 34

우리가 코사인 각로 알려진 경우, 우리는 기본적인 삼각법 정체성을 사용하여 Sinus를 계산할 수 있습니다. 각도 α는 직선으로 형성되기 때문에 끈이 아니므로 SIN α \u003d 1 - COS 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

이 경우, α \u003d A rc cos 23 2 34 \u003d A rc sin 7 2 34.

답변 : cos α \u003d 23 2 34, sin α \u003d 7 2 34, α \u003d A r c cos 23 2 34 \u003d A r c sin 7 2 34

마지막 사례를 분석 할 것입니다. 다른 사람의 가이드 벡터의 좌표를 알고있는 경우, 다른 사람의 똑바로 또는 정상적인 벡터의 좌표를 알고 있습니다.

Direct A는 가이드 벡터 A → \u003d (Ax, A y) 및 직선 B가 정상 벡터 N B → \u003d (nbx, n b y)임을 가정 해 봅시다. 우리는 교차점 에서이 벡터를 연기하고 상호 위치에 대한 모든 옵션을 고려해야합니다. 그림 :

지정된 벡터 사이의 각도의 값이 90도 이하이면 A와 B 사이의 각도를 직접 각도로 보완 할 것이라는 점을 꺼집니다.

a → nb → ^ \u003d 90 ° α → A → n b → ^ ≤ 90 °.

90도 미만이면 다음을 얻을 것입니다 :

a → N B → ^\u003e 90 °, A →, N B → ^ \u003d 90 ° + α

동등한 코사인 등 각도의 규칙을 사용하여 쓰기 :

cos a → nb → ^ \u003d cos (90 °-α) \u003d \u003d → nb → ^ ≤ 90 °에서 α.

cOS A → N B → ^ \u003d COS 90 ° + α \u003d - → nb → ^\u003e 90 °에서 SIN α.

이런 식으로,

sIN α \u003d COS a →, NB → ^, a → nb → ^ ≤ 90 ° - CoS a →, nb → ^, a →, nb → ^\u003e 90 ° \u003d sin α \u003d cos a → nb → ^, a →, nb → ^\u003e 0 - cos a → nb → ^, a → nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

우리는 출력을 공식화합니다.

정의 4.

평면에서 교차하는 두 직선 사이의 사인 각도를 찾으려면 두 번째 똑바로 제 1 똑 바른 벡터의 가이드 벡터 사이의 코사인 모듈을 계산해야합니다.

우리는 필요한 수식을 씁니다. 사인 코너 찾기 :

sIN α \u003d COS A →, N B → ^ \u003d Ax · N B x + A y · n b y × 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

코너 찾기 :

α \u003d rc sin \u003d ax · n b x + a y · n b y x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

여기서 →는 첫 번째 라인 가이드 벡터이고, N B →는 정상적인 제 2 벡터이다.

예 3.

방정식 X-5 \u003d Y - 6 3 및 X + 4 y - 17 \u003d 0에 의해 두 개의 교차 선이 설정됩니다. 교차 각도를 찾으십시오.

결정

우리는 지정된 방정식에서 가이드와 정상 벡터의 좌표를 찍습니다. → \u003d (- 5, 3) 및 n → b \u003d (1, 4)를 꺼냅니다. 우리는 수식 α \u003d rc sin \u003d ax · n b x + a y · n b x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2를 고려해보십시오.

α \u003d A Rc Sin \u003d - 5 · 1 + 3 · 4 (- 5) 2 + 3 2 · 1 2 + 4 2 \u003d A rc sin 7 2 34

우리는 이전 작업에서 방정식을 가져 와서 동일한 결과를 똑같이 얻었지만 다른 방법으로.

대답: α \u003d rc sin 7 2 34.

지정된 직접의 각도 계수를 사용하여 원하는 각도를 찾는 또 다른 방법을 제공합니다.

우리는 y \u003d k 1 · x + b1 방정식 및 y \u003d k 2 · x + b 2로 주어진 직사각형 좌표계에 주어지는 직접 A를 갖는다. 이들은 각도 계수로 직접 방정식입니다. 교차 각도를 찾으려면 수식을 사용합니다.

α \u003d A cos cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, 여기서 k1 및 k2는 특정 직접의 각도 계수이다. 이 진입을 얻으려면 정상 벡터의 좌표를 통한 각도를 결정하기위한 수식이 사용되었습니다.

예 4.

방정식 y \u003d - 3 5 x + 6 및 y \u003d - 14 x + 17 4에 의해 주어진 평면에 2 개의 직선 교차가 있습니다. 교차 각의 크기를 계산하십시오.

결정

우리 선의 각도 계수는 k 1 \u003d-3 5 및 k 2 \u003d - 14와 같습니다. 우리는 이들을 수식 α \u003d A cos k 1 · k 2 + 1k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1에 추가하고 우리는 다음을 계산합니다.

α \u003d A cos - 3 5 ·-1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · 1 4 2 + 1 \u003d A R C cos 23 20 34 24 · 17 16 \u003d R C cos 23 2 34

대답: α \u003d A r C cos 23 2 34

이 항목의 결론에서, 여기에 주어진 공식은 반드시 심장에 의해 배우는 것이 아니라는 것을 알아야한다. 이렇게하려면 지정된 직접의 가이드 및 / 또는 정상 벡터의 좌표를 알고 다른 유형의 방정식에서이를 결정할 수 있습니다. 그러나 각도의 코사인을 계산하기위한 공식은 더 잘 기억되거나 기록됩니다.

공간에서 교차하는 직선 사이의 각도를 계산하는 방법

이러한 각도의 계산은 가이드 벡터의 좌표 및 이들 벡터에 의해 형성된 각도의 결정을 계산하기 위해 환원 될 수있다. 이러한 예제는 우리가 이끌어 낸 것과 동일한 주장이 사용됩니다.

3 차원 공간에있는 직사각형 좌표계가 있다고 가정 해보십시오. 교차점이있는 두 개의 직선 A와 B가 있습니다. m. 가이드 벡터의 좌표를 계산하려면 이러한 직접의 방정식을 알아야합니다. 가이드 벡터 A → \u003d (Ax, A, A z) 및 B → \u003d (B x, B Y, B z)를 나타냅니다. 그들 사이의 각도의 코사인을 계산하려면 공식을 사용합니다.

cos α \u003d cos a →, b → ^ \u003d a →, b → a → b → \u003d ax · b x + a y / b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

모서리 자체를 찾으려면이 수식이 필요합니다.

α \u003d A rc cos a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

예 5.

방정식 x 1 \u003d y - 3 \u003d z + 3 - 2를 사용하여 3 차원 공간에 주어진 직선이 있습니다. O Z 축과 교차하는 것으로 알려져 있습니다. 이 각도의 교차점과 코사인의 각도를 계산합니다.

결정

문자 α를 계산 해야하는 각도를 나타냅니다. 첫 번째 직접 - a → \u003d (1, - 3, - 2)에 대한 가이드 벡터의 좌표를 씁니다. Appliqué Axis의 경우 좌표 벡터 k → \u003d (0, 0, 1)을 가이드로 가져갈 수 있습니다. 우리는 필요한 데이터를 받았으며 원하는 공식에 추가 할 수 있습니다.

cos α \u003d Cos a →, k → ^ \u003d a →, k → a → k → \u003d 1 · 0 - 3 · 0 - 2 · 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 · 0 2 + 0 2 + 1 2 \u003d 2 8 \u003d 1 2

결과적으로, 우리는 우리가 필요로하는 각도가 Rc cos 1 2 \u003d 45 °와 같을 것이라는 것을 얻었습니다.

대답: cos α \u003d 1 2, α \u003d 45 °.

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이 공과에서는 온열 광선의 정의를 제공하고 가열 된 당사자가있는 각도의 평등에 대해 정리를 증명할 것입니다. 다음으로, 우리는 교차하는 직선과 교차하는 사이의 각도의 정의를 줄 것입니다. 두 직선 사이의 각도가 될 수있는 것이 무엇인지 생각해보십시오. 교훈이 끝나면 우리는 교차 살았던 똑바로 구석을 찾기 위해 여러 가지 작업을 결정합니다.

제목 : 직선과 비행기의 병렬 처리

수업 : 공기 냉각 측면. 두 직선 사이의 각도

모든 직접 oo 1. (그림 1), 2 개의 반면으로 비행기를 해부하십시오. 광선이있는 경우 oa. 과 o 1 A 1 평행하고 하나의 반면에 거짓말을하고, 그들은 호출됩니다. 그 소리를 낸다.

광선 o 2 A 2 과 oa. 공동 제어되지 않는다 (그림 1). 그들은 평행하지만 하나의 반면에 거짓말하지 않습니다.

두 개의 각도의 측면이 냉각되면 이러한 각도가 동일합니다.

증거

우리가 평행 광선을 주도록합시다 oa. 과 o 1 A 1 평행 광선 ov. 과 o 1 in 1 (그림 2). 즉, 우리는 두 개의 각도가 있습니다 아아 과 1 o 1에서 1 o 1가열 된 광선에 누구의 당사자가 누구의 당사자가 있는지. 우리는이 모서리가 동일하다는 것을 증명합니다.

빔의 측면에 oa. 과 o 1 A 1 포인트를 선택하십시오 그러나 과 1. 세그먼트 oa. 과 o 1 A 1 같았다. 마찬가지로, 시점 에 과 1에 세그먼트를 선택하십시오 ov. 과 o 1 in 1같았다.

사각형을 고려하십시오 A 1 O 1 OA. (그림 3) oa. 과 o 1 A 1 A 1 O 1 OA. A 1 O 1 OA. oo 1. 과 AA 1. 평행하고 평등합니다.

사각형을 고려하십시오 1 o 1 S....에 이 사각형에서 ov. 과 o 1 in 1 평행하고 평등합니다. 평행 사변형을 기반으로, 사변형 1 o 1 S. 그것은 평행 사변형입니다. 같이 1 o 1 S. - 평행 사변형, 그런 다음 oo 1. 과 BB 1. 평행하고 평등합니다.

그리고 똑바로 AA 1. 병렬 직접 oo 1.그리고 똑바로 BB 1. 병렬 직접 oo 1.그래서 직접 AA 1. 과 BB 1. 평행.

사각형을 고려하십시오 1 A 1 AV....에 이 사각형에서 AA 1. 과 BB 1. 평행하고 평등합니다. 평행 사변형을 기반으로, 사변형 1 A 1 AV. 그것은 평행 사변형입니다. 같이 1 A 1 AV. - 평행 사변형, 그런 다음 AU. 과 1 in 1 평행하고 평등합니다.

삼각형을 고려하십시오 아아 과 1 o 1 in 1.파티 oa. 과 o 1 A 1건설과 같습니다. 파티 ov. 과 o 1 in 1또한 건설과 같습니다. 그리고 우리가 증명하는 방법과 당사자 AU. 과 1 in 1 또한 동일합니다. 그래서 삼각형 아아 과 1 o 1에서 1 o 13면에서 동일합니다. 동등한 삼각형으로 동등한 각도는 동등한 당사자들에 대해 거짓말을합니다. 그래서 각도 아아 과 1 o 1에서 1 o 1증명 해야하는 것과 동일합니다.

1) 똑바로 교차합니다.

직접 교차하면 4 개의 다른 각도가 있습니다. 두 직선 사이의 각도, 가장 작은 모서리라고 불렀습니다. 교차하는 직선 사이의 각도 그러나 과 비. α (그림 4)로 표시합니다. 각도 α는

무화과. 4. 두 개의 교차하는 직선 사이의 각도

2) 교차 살았다

살아 가자 그러나 과 비. 횡단. 임의의 시점을 선택하십시오 약...에 시점을 통해 약 똑바로 보내자 1., 지시에 평행 그러나그리고 똑바로 b 1., 지시에 평행 비. (그림 5). 직진 1. 과 b 1. 시점에서 교차합니다 약...에 두 개의 교차하는 직선 사이의 각도 1. 과 b 1. , 코너 φ를 통해 똑바로 똑바로 살았습니다.

무화과. 5. 두 개의 크로스 컨트리 스트레이트 사이의 각도

선택한 점의 모서리가 의존합니까? 점을 선택하십시오 o 1....에 시점을 통해 o 1. 똑바로 보내자 2., 지시에 평행 그러나그리고 똑바로 b 2., 지시에 평행 비. (그림 6). 교차하는 직선 사이의 각도 2. 과 b 2. ...을 나타낸다 φ 1....에 그런 다음 각도 φ 과 Φ 1 -가열 된 파티가있는 모서리. 우리가 입증했듯이, 그러한 각도는 서로 같습니다. 그것은 크로스 컨트리 직접 간의 각도의 크기가 점의 선택에 의존하지 않는다는 것을 의미합니다. 약.

직진 ov. 과 CD. 평행 oa. 과 CD. 교차했다. 스트레이트 사이의 각도를 찾으십시오 oa. 과 CD., 만약:

1) ∠아아 \u003d 40 °.

점을 선택하십시오 에서...에 그것을 통과하십시오 CD....에 지출합시다 CA 1. 평행 oa. (그림 7). 그럼 코너 1 CD. - 횡단의 각도 oa. 과 CD....에 모서리에 의해 가열 된 당사자가있는 정리, 각도 1 CD. 구석과 동등한 것 아아, 즉 40 °입니다.

무화과. 7. 두 직선 사이의 각도를 찾으십시오

2) ∠아아 \u003d 135 °.

동일한 구성을 수행하겠습니다 (그림 8). 그런 다음 크로스 컨트리 간의 각도 oa. 과 CD. 직접을 건너면 얻은 모서리 중 가장 작은 45 °와 같습니다. CD. 과 CA 1..

3) ∠아아 \u003d 90 °.

동일한 구조 (그림 9)를 수행하겠습니다. 그런 다음 직접 횡단 할 때 얻은 모든 각도 CD. 과 CA 1. 90 °가 같습니다. 원하는 각도는 90 °입니다.

1) 공간 사변형의 중앙부가 평행 사변형의 정점이라는 것을 증명하십시오.

증거

공간 사각형을 주자 ABCD.. 미디엄,엔,케이,엘. - 중간 갈비 BD,기원 후,AC,기원전. 따라서 (그림 10). 그것을 증명해야합니다 Mnkl. - 평행 사변형.

삼각형을 고려하십시오 AVD. 엠. 엠. 평행 AU. 그리고 그녀의 절반과 같습니다.

삼각형을 고려하십시오 알파벳. l - 중간 선. 정중선의 특성에 의해, l 평행 AU. 그리고 그녀의 절반과 같습니다.

과 엠., I. l 평행 AU....에 그 뜻은 엠. 평행 l 3 개의 평행 한 직선에있는 정리에 의해.

우리는 사각형에서 그것을 얻습니다 Mnkl. - 파티 엠. 과 l 평행하고 평등하기 때문에 엠. 과 l 평등 반 AU....에 평행 사변형, 사변형에 기초하여 Mnkl. - 증명해야했던 평행 사변형.

2) 똑바로 사이의 각도를 찾으십시오 AU. 과 CD.모퉁이 한 경우 엠크 \u003d 135 °.

우리가 입증했듯이 엠. 병렬 직접 AU.. NK. - 삼각형의 중간 선 acd., 재산에 따르면, NK. 평행 DC....에 그래서, 시점을 통해 엔. 2 개의 직선을 통과하십시오 엠. 과 NK.교차 직접 직접과 평행 한 것입니다 AU. 과 DC. 각기. 그래서, 그 사이의 각도 엠. 과 NK. 크로스 컨트리 간의 각도입니다 AU. 과 DC....에 우리는 어리석은 각을주었습니다 엠크 \u003d 135 °. 똑바로 사이의 각도 엠. 과 NK. -이 직접의 교차로, 즉 45 °의 교차로로 얻은 모서리 중 가장 작은.

그래서, 우리는 가열 된 파티와 각도를 검토하고 평등을 증명했습니다. 교차 및 교차하는 각도와 두 가지 직접 간의 각도를 찾기 위해 여러 가지 작업을 해결했습니다. 다음 단원에서는 문제를 계속 해결하고 이론을 반복 할 것입니다.

1. 기하학. 10-11 클래스 : 일반 교육 기관의 학생을위한 교과서 (기본 및 프로필 수준) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5 번째 판, 개정 및 보충 - M .: Mnemozina, 2008. - 288 p. : il.

2. 기하학. 10-11 클래스 : 일반 교육 기관의 교과서 / Sharygin I. F. M. : DROP, 1999. - 208 p : 일.

3. 기하학. 10 학년 : 수학 공학의 심층 및 프로파일 연구가있는 일반 교육 기관의 교과서 / e. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6 판, 고정 관념. - m. : drop, 008. - 233 p. : il.

에) 기원전. 과 디. 1 1에.

무화과. 11. 직선 사이의 각도를 찾으십시오

4. 기하학. 10-11 클래스 : 일반 교육 기관의 학생을위한 교과서 (기본 및 프로필 수준) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5 번째 판, 수정 및 보충 - M .: Mnemozina, 2008. - 288 p. : 일.

작업 13, 14, 15 p. 54.

한 지점에서 나오는 두 가지 광선으로 구성됩니다. 광선이 불렀습니다. W.의 측면 및 그 전반적인 시작 - 정점 W.가 [ V.),[ 태양.) - 구석의 쪽 에 - 그의 꼭지점 - W. 그림의 측면에 의해 결정된 평면을 2 개의 그림으로 나눕니다. i \u003d\u003d L, 2, 또한 호출됩니다. U. 또는 평평한 구석. 평평한 U의 내부 면적
두 개의 각도가 호출됩니다. 각각의 당사자와 정점이 일치하도록 결합 될 수 있도록 동등한 (또는 일치 함). 이 방향으로 평면의 어떤 빔에서 유일한 U.는이 W의 비교와 같은 유일한 U입니다. W.는 두 가지 방법으로 수행됩니다. W.가 일반적인 시작으로 한 쌍의 광선으로 간주되면, 2 W의 일부를 명확히하기 위해 W로서 W의 정점과 한 쌍의 한 쌍의 한 평면에서 결합해야합니다 (그림 1 참조). 짐마자 1W의 두 번째면이 다른 W. 내부에 위치 할 것입니다. 그런 다음 그들은 첫 번째 W.가 두 번째 W.보다 작음을 말합니다. U의 두 번째 비교 방법은 각 W. 일부 Nome의 비교를 기반으로합니다. 동일한 W.는 동일한 각도 또는 (아래 참조), 더 큰 y. - 더 작은 것보다 더 작습니다.

두 U. 나즈. 그들이 총 정점과 한쪽이있는 경우 인접하고 다른두면은 직선을 형성합니다 (그림 2 참조). 일반적으로 W.는 총 정점과 하나의 공통 측면을 갖는 것입니다. 디지털. W. 나즈. 수직, 다른 W의 측면의 꼭대기 위의 측면이 서로 동일한 경우 서로 같다. W., Onward 측면에서 똑바로, 호출됩니다. 퍼지는. 절반 확장 된 U. Naz. Direct W. Direct U.는 인접한 인접한 것과 동일한 달리 : W.와 동일 할 수 있습니다. 직진. 배치 된 내부 플랫 U.는 평면의 볼록 영역입니다. W. 직접 U., Naz의 90 번째 점유율을 측정 한 단위의 경우. 정도.

사용, 등을 측정합니다. U의 라디안 측정 값의 수치는 단위 원주의 당사자가 새겨 져있는 아크의 길이와 같습니다. 하나의 라디안은 반경과 동일한 해당 아크 인 W.에 기인합니다. 배치 된 W.는 라디안과 같습니다.
동일한 평면에 두 개의 직선을 횡단 할 때, 제 3 직선은 U에 의해 형성된다 (도 3 참조) : 1 및 5, 2 및 6, 4 및 8, s 및 7th-naz. 각기; 2 및 5, 3 및 8 - 내부 일방향; 1 및 6, 4 및 7 - 외부 일방향; 3 및 5, 2 및 8 - 내부 오르막 누워; 1 및 7, 4 및 6 - 외부 통로가 누워 있습니다.

실제로. 작업은 W를 고려하는 것이 좋습니다. 주변의 고정 빔의 회전을 측정하는 방법은 주어진 위치로 시작됩니다. 이 경우와의 전환 방향에 따라 양성 및 음수가 모두 고려됩니다. 따라서,이 의미에서는 어떤 가치가 있는지 가치가 있습니다. W. 광선의 전환이 삼각법 이론에서 어떻게 고려되는지. 함수 : 인수 (U.)의 값에 대해 삼각 측정 값을 정의 할 수 있습니다. 함수. Geometrich에서 W.의 개념. 시스템은 K-ROY의 기초이며, 포인트 앤 벡터 axiomatics이고, 레이더는 W의 정의와 다르게 W입니다. W.는 W 에서이 공리학 분야에서 특정 메트릭을 이해합니다. 스칼라 곱셈 연산 동작을 사용하여 두 벡터와 관련된 크기. 각각의 AI 투표자의 각 쌍의 쌍 - 벡터 공식과 관련된 숫자

어디 ( a, B.) - 벡터의 스칼라 제품입니다.
평평한 그림으로서 W.의 개념은 다양한 Geometrich에서 사용됩니다. 작업, in-ry. 특별한 방법으로 정의됩니다. 그래서, 교차점에서 특정 접선을 갖는 교차하는 곡선 사이에서, U., 이들 접선에 의해 형성된다.
직선과 비행기 사이의 코너는 비행기상의 직선 및 직사각형 투영에 의해 형성되는 U.에 의해 허용됩니다. 0에서부터 측정됩니다

수학 백과 사전. - m. : 소비에트 백과 사전...에 I. M. Vinogradov. 1977-1985.

동의어:

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