곱셈기의 분해의 방법은 무엇입니까? 복잡한 복잡한 복잡한 복잡한 복잡한 복잡한 복잡한 복잡한 경우

이것은 표현식을 단순화하는 가장 기본적인 방법 중 하나입니다. 이 방법을 적용하려면 곱셈의 분배법을 추가 (이러한 단어를 두려워하지 마십시오, 당신은이 법을 분명히 알지 못합니다, 나는 그분의 이름을 잊을 수 있습니다).

이 법률은 다음과 같습니다. 두 숫자의 양을 세 번째 숫자로 곱하기 위해 각 정렬을이 번호로 곱하고 다른 단어로 얻은 결과가 접혀 있어야합니다.

당신은 또한 그 반대의 조작을 할 수 있습니다. 이것은 정확히 우리의 역순으로 우리와 관심사입니다. 샘플에서 볼 수 있듯이 일반적인 요소 A는 브래킷에서 꺼낼 수 있습니다.

이러한 동작은 예를 들어, 숫자와 같은 변수 모두를 수행 할 수 있습니다.

예, 이는 너무 숫자의 분해와 함께 모든 사람이 그 숫자를 알고 있고, 표현식을 더 복잡하게 만드는 경우에는 숫자의 분해와 함께 너무 초등 예입니다.

예를 들어, 숫자로 나누어 져 있는지 알아 보는 방법은 계산기와 함께 누구나 약하고 있지 않아도됩니다. 그리고이 부분에는 나눗셈의 징후가 있습니다. 이러한 표지판은 정말로 알고있는 가치가 있으며, 일반 배율이 브래킷에서 꺼내야하는지 여부를 신속하게 이해하는 데 도움이 될 것입니다.

나누기의 징후

그들은 기억하기가 어렵지 않으며, 대부분의 대부분은 그것에 익숙해졌으며, 뭔가 새로운 유용한 발견이 될 것입니다.

참고 : 테이블에는 나눗셈의 표시가 4로 부족합니다. 두 개의 마지막 그림이 4로 나뉘어지면 전체 숫자는 4로 나뉩니다.

그 기호는 어떻게 좋아하니? 나는 그녀가 기억하도록 조언한다!

글쎄, 표현으로 돌아가서 브래킷과 그와 충분히 충분할 수 있을까? 아니요, 수학자는 단순화하는 것이 일반적이며, 전체적으로, 무엇을 가져 왔는지!

그래서, igrek와 함께 모든 것이 분명하고 표현의 수치 부분은 무엇입니까? 두 숫자는 홀수이므로 나누기가 불가능합니다.

나눗셈의 표시, 숫자의 양, 숫자가 같고 분할되는 징후를 사용할 수 있으며 그로 나눌 수 있습니다.

그것을 알면, 수령시의 부문의 결과로, 당신은 칼럼으로 안전하게 나눌 수 있습니다 (나눗셈의 징후가 유용했습니다!). 따라서 우리가 y를 낼 수있는 숫자와 y와 우리가 가진 결과는 다음과 같습니다.

당신이 모든 것을 옳은 것을 확실히 할 수 있도록, 당신은 분해를 확인하고 곱하기!

또한, 일반 배율은 전력 표현식에서 꺼낼 수 있습니다. 예를 들어 일반적인 배율을 참조하십시오.

이 표현의 모든 구성원은 xers가 있습니다 - 우리는 견뎌냅니다. 모두가 나누어집니다 - 우리는 다시 일어난 일을 살펴 봅니다.

2. 축약 된 곱셈의 공식

약칭 된 곱셈의 수식은 이미 그것이 무엇인지 기억하지 못한다면 이론적으로 언급되어 왔으며, 메모리에서 새로 고침해야합니다.

그럼, 그런 정보 구름을 읽으려면 매우 영리하고 게으른 것을 매우 똑똑하고 더 게으른다면, 그냥 읽기, 공식을보고 즉시 예제를 시도하십시오.

이 분해의 본질은 당신 앞에 존재하는 기존 표정에서 특정 공식을 주목하고, 그것을 적용하고, 뭔가와 무언가의 산물, 그 모든 분해입니다. 다음은 수식입니다.

그리고 이제는 위의 수식을 사용하여 곱셈기에 다음 표현식을 확산 시도하십시오.

그러나 어떤 일이 일어날 것입니다 :

귀하가 알아 차릴 수 있듯이 이러한 수식은 곱셈기의 매우 효과적인 방법이며, 항상 적합하지는 않습니다. 그러나 매우 유용 할 수 있습니다!

3. 그룹화 또는 그룹화 방법

그리고 여기 또 다른 충실한 것입니다.

그래서 당신은 무엇을 할 것입니까? 그것은 무언가와 무언가로 나뉘어져있는 것 같습니다.

그러나 모두 함께 한 가지를 나누지 마십시오. 일반적인 요소가 없습니다어떻게 보지 않으려면 멀티 플라이어에 누워 있지 않고 떠나지 않습니까?

여기에서는 혼합물을 보여줄 필요가 있으며이 냄새의 이름은 그룹화입니다!

모든 회원들로부터 공통 제의자가없는 경우에만 적용됩니다. 그룹화의 경우 필요합니다 공통 분배기가있는 용어 그룹을 찾으십시오 및 각 그룹에서 하나의 곱셈기를 얻을 수 있도록 그 (것)들을 재정렬시키는 것.

어떤 곳에서는 재정렬 할 필요가 없지만 명확성을 제공합니다. 명확성을 제공합니다. 괄호 안의 표현의 일부를 취할 수있는 명확성을 위해서는 원하는만큼 많이 설치하는 것이 금지되어 있지 않습니다. 주요한 것은 협박하지 않습니다.

이 모든 것이 분명하지 않습니까? 이 예에서 설명 할 것입니다.

다항식에서 - 우리는 회원 이후 - 우리는 얻습니다.

우리는 별도의 브래킷에서 처음 두 명의 회원을 그룹화하고 세 번째와 네 번째 회원을 그룹화하고, 브래킷에 대한 "마이너스"표지판을 받게됩니다.

그리고 이제 우리는 우리가 괄호로 표현을 깨뜨린 것에 대해 2 개의 "더미"각각에 별도로 보입니다.

이 트릭은 최대 배율을 수행 할 수있는 이러한 버그를 끊 거나이 예제에서와 같이 괄호를위한 곱셈기의 시설을 만들어 낸 후에 우리는 동일한 표현식을 유지하도록 구성원을 그룹화하십시오.

두 브래킷에서 우리는 첫 번째 브래킷에서 멤버의 일반적인 승수를 수행하고 두 번째부터 우리는 다음과 같습니다.

그러나 이것은 분해가 아닙니다!

피당나귀 분해는 곱셈 만 남아 있어야합니다우리가 다항식을 가지고있는 한 두 부분으로 나누어줍니다 ...

그러나! 이 다항식은 일반적인 배율을 갖는다. 그것

브래킷을 위해 최종 작업을 받으십시오

빙고! 보시다시피, 이미 괄호 안팎이 있으며, 덧셈, 뺄셈, 분해가 완료되어 있기 때문에 우리는 괄호에 아무 것도 없습니다.

기적으로 보일 수 있습니다. 괄호를위한 승수를 만드는 것처럼 보이는 것처럼 보일 수 있으며, 우리는 괄호 안에 동일한 표현을 남겼습니다.

그리고 그것은 기적이 아닙니다.이 사실은 교과서의 예와 EE 시험에서의 예가 단순화를위한 작업에서 대부분의 표현식이 특별히 만들어 지거나 채권 차압 통고 올바른 접근 방식으로 버튼을 누르면 쉽게 단순화되고 급격하게 붕괴되어 각 표현식에서 동일한 버튼을 찾을 때 우산으로 붕괴됩니다.

내가 산만 한 것, 단순화로 우리는 무엇을 의미합니까? 복잡한 다항식은 더 간단한 형식을 취했습니다.

동의, 그렇게 번갈아가 아니라, 어땠어?

4. 전체 광장의 격리.

때로는 기존의 다항식을 변형시켜 약식 곱셈의 수식을 사용하여 합계 또는 2 명의 구성원의 차이의 형태로 용어 중 하나를 나타냅니다.

이 경우, 예제에서 배우려면 다음을 수행해야합니다.

이 양식의 다항식은 축약 된 곱셈의 수식을 사용하여 분해 될 수 없으므로 변환해야합니다. 아마도 처음에는 회원이 스매시하는 일이 무엇인지, 그러나 시간이 지남에 따라서는 완전히 없었던 것에도 불구하고 꽤 결정될지라도 약식 곱셈의 수식을 즉시 볼 것인지를 알게 될 것입니다. 완전한 공식을 충분히 정리하지만 지금은 학습, 학생 또는 오히려 모범생을 위해

대신 여기의 차이의 정사각형의 전체 공식. 세 번째 멤버가 차이로 상상해보십시오. 우리는 다음과 같습니다. 괄호 안의 표현에 차이의 제곱 공식을 적용 할 수 있습니다. (사각형의 차이와 혼동되지 않아야합니다 !!!)우리 :이 표현에, 당신은 사각형 차이의 공식을 적용 할 수 있습니다. (차이의 광장과 혼동되지 않아야합니다 !!!), 제출하는 방법, 우리는 다음과 같습니다.

이 형태가 분해하기 전에 쉽고 짧아지는 것보다 훨씬 쉽지 않은 식은 항상 펼쳐지는 것은 아니지만 징후와 다른 수학적 넌센스의 변화에 \u200b\u200b대해 증기 할 수 없다는 의미에서 더욱 움직일 수 있습니다. 글쎄, 여기서 독립적 인 결정을 위해 다음 표현식은 곱셈기에서 분해되어야합니다.

예 :

대답:

5. 멀티 플라이어의 광장 3 decar의 분해

사각형의 분해에 대해 세 가지 분해에 대한 요소는 분해의 예에서 더 많이 볼 수 있습니다.

다항식에 대한 다항식의 5 가지 방법의 5 가지 방법

1. 브래킷에 공통 요소 제거. 예.

유통 법이 무엇인지 기억하십니까? 이것은 규칙입니다.

예:

다항식을 배출하십시오.

결정:

다른 예시:

곱셈기에 퍼지십시오.

결정:

용어가 브래킷 뒤에 완전히 종료되면 장치는 대신 브래킷에 남아 있습니다!

2. 축약 된 곱셈의 공식. 예.

가장 자주, 우리는 정식의 정식, 큐브의 차이, 큐브의 양을 사용합니다. 이 수식을 기억합니까? 그렇지 않다면, 긴급히 주제를 반복하십시오!

예:

곱셈기에 대한 표현을 탐색하십시오.

결정:

이 표현식에서는 큐브의 차이를 쉽게 알 수 있습니다.

예:

결정:

3. 그룹화 방법. 예

때로는 동일한 배율이 각각의 이웃 용어로 할당 될 수있는 방식으로 장소에서 변경 될 수 있습니다. 이 공통 요소는 브래킷에 의해 도달 할 수 있으며 초기 다항식이 작업으로 변합니다.

예:

다중 복제업자를 확산시킵니다.

결정:

다음과 같이 구성 요소를 그라우징하십시오.
.

첫 번째 그룹에서는 브래킷에 대한 일반적인 배율을 가져올 것입니다.
.

이제 일반 공장은 중괄호로 제출할 수도 있습니다.
.

4. 높은 정사각형 격리 방법. 예.

다항식이 두 가지 표현식의 제곱의 제곱 형태로 표현 될 수 있으면, 축약 된 곱셈 (사각형의 차이)의 공식을 적용하기 위해서만 남아있을 것입니다.

예:

다중 복제업자를 확산시킵니다.

결정:예:

\\ 시작 (배열) (* (35) (l))
((x) ^ (2)) + 6 (x) -7 \u003d \\ undrebrace ((((x) ^ (2)) + 2 \\ CDOT 3 \\ CDOT x + 9) _ (square \\ 1 \\ (\\ left (x + 3 \\ 오른쪽)) ^ (2))) - 9-7 \u003d ((\\ left (x + 3 \\ righ)) ^ (2)) - 16 \u003d \\\\
\u003d \\ left (x + 3 + 4 \\ 오른쪽) \\ left (x + 3-4 \\ 오른쪽) \u003d \\ left (x + 7 \\ 오른쪽) \\ left (x-1 \\ 오른쪽) \\\\
\\ END (배열)

다중 복제업자를 확산시킵니다.

결정:

\\ 시작 (배열) (* (35) (l))
((x) ^ (4) - 4 ((x) ^ (2)) - 1 \u003d \\ underbrace (((x) ^ (4)) - 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT ((x) ^ (2) ) + 4) _ (사각형 \\ 차이 ((\\ left ((\\ left ((\\ left ((\\ left ((\\ left ((\\ left ((\\ left ((\\ left ((\\ left)) ^ (2))) - 4-1 \u003d ((\\ left ((((((((x) ^ (2)) - 2 \\ 오른쪽)) ^ (2)) - 5 \u003d \\\\
\u003d \\ left (((x) ^ (2)) - 2+ \\ sqrt (5) \\ 오른쪽) \\ left (((x) ^ (2)) - 2- \\ sqrt (5) \\ 오른쪽) \\\\
\\ END (배열)

5. 곱셈기에 3 decar의 광장의 분해. 예.

Square 3-melen은 알려지지 않은 부분이 일부 숫자 인 다항식보기입니다.

3-shred를 0으로 전환시키는 변수의 값을 3 신발의 뿌리라고합니다. 결과적으로 3 샷의 뿌리는 사각형 방정식의 뿌리입니다.

정리.

예:

멀티 플라이어 사각형 뇌척수에 퍼짐 :.

첫째, 우리는 사각형 방정식을 해결합니다. 이제이 광장의 분해를 기록 할 수 있습니다. 세 가지 분해 요소는 다음과 같습니다.

지금 당신의 의견은 ...

우리는 어떻게 그리고 곱셈기에 다항식을 어떻게 쌓아 놓았습니다.

우리는 많은 예를 실제로 수행하는 방법, 함정을 지적하고, 솔루션을주었습니다 ...

당신은 무엇을 말합니까?

이 기사는 어떻게 마음에 드십니까? 이 기술을 사용합니까? 당신은 그들의 본질을 이해합니까?

의견을 작성하고 ... 시험 준비!

지금까지, 그는 당신의 삶에서 가장 중요합니다.

시험에서 문제를 해결하는 과정에서 또는 수학의 입학 시험에서 귀하가 학교에 배운 표준 방법으로 승수를 분해 할 수없는 다항식을받을 수없는 경우 어떻게해야합니까? 이 기사에서는 수학 교사가 한 가지 효과적인 방법을 알려줍니다. 그 연구는 학교 프로그램을 넘어서서 다항식이 다항식을 분해하기가 훨씬 어렵지 않은 도움을 받아야합니다. 이 기사를 끝까지 가져 와서 응용 프로그램 자습서를 살펴보십시오. 당신이받을 것이라는 지식은 시험에 도움이 될 것입니다.

Division 방법에 대한 다항식의 분해

두 번째도 이상의 다항식을 받았고이 다항식이 0이되는 변수의 값을 추측 할 수있는 경우 (예를 들어,이 값은 같음), 알고 있습니다! 이 다항식은 잔류 물없이 나눌 수 있습니다.

예를 들어, 제 4도 다항식이 0으로 항소하는 것이 쉽습니다. 이는 3 학위의 다항식 (단위당 적은)의 다항식을 얻은 잔류 물없이 나누어 질 수 있음을 의미합니다. 즉, 상상 :

어디 ㅏ., 비., 씨. 과 디. - 일부 숫자. 리콜 브래킷 :

같은 학위가있는 계수가 동일해야하므로 다음과 같이 얻을 수 있습니다.

그래서, :

앞으로 나아가. 몇 가지 작은 정수를 정리하는 것으로 충분합니다. 이는 제 3도의 다항식이 다시 분할된다는 것을 보여줍니다. 이것은 두 번째도 다항식 (단위당 적은)을 얻습니다. 그런 다음 새 항목으로 이동하십시오.

어디 이자형., 에프. 과 지. - 일부 숫자. 우리는 괄호를 공개하고 다음 표현에옵니다.

우리가 동일한 정도의 계수의 평등 상태에서 다시 확인하십시오 :

그런 다음 우리는 다음과 같습니다.

즉, 초기 다항식은 다음과 같이 요인에 대해 분해 될 수 있습니다.

원칙적으로 원하는 경우 수식을 사용하여 제곱의 차이를 사용하여 다음과 같이 제출할 수도 있습니다.

이것은 곱셈기에서 다항식을 분해하는 간단하고 효과적인 방법입니다. 그는 그것을 기억하고, 그는 수학에서 시험이나 올림픽에 편리하게 올 수 있습니다. 이 방법을 사용하는 법을 배웠는지 확인하십시오. 다음과 같은 작업을 해결하십시오.

다항식을 승수에 퍼뜨립니다:

의견에 답을 씁니다.

재료 준비, Sergey Valerievich.

• 1. 브래킷 및 그룹화 방법에 대한 공통 인자 처리...에 경우에 따라 일부 구성원을 그러한 용어의 금액 (차이)을 대체하거나 상호 파괴 회원을 도입하는 것이 좋습니다.
• 2. 축약 된 곱셈의 공식의 사용.때로는 괄호, 그룹 구성원, 전체 광장을 할당하고 큐브의 양, 사각형의 차이 또는 큐브의 차이, 사각형의 차이 또는 작업의 형태로 표현할 큐브의 차이를 견뎌야합니다.
• 3. 깍지의 정리와 불확실한 계수의 방법을 사용하여.

예 ...에 곱셈기에 파견 :

P 3 (x) \u003d x 3 + 4x 2 + 5x + 2;

P 3 (-1) \u003d 0이기 때문에, 다항식 P3 (x)는 x + 1로 분할된다. 무기한 계수의 방법은 다항식의 나눗셈으로부터 비공개를 발견 할 것입니다.

p 3 (x) \u003d x 3 + 4x 2 + 5x + 2 송신 x + 1.

polynomial x 2 +를 사적인 것을 먹게하십시오. x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) · (x 2 +) \u003d

x 3 + (+ 1) · x 2 + () · x +, 우리는 시스템을 얻습니다.

어디에서. 결과적으로, p 3 (x) \u003d (x + 1) · (x 2 + 3x + 2).

x 2 + 3x + 2 \u003d x 2 + x + 2x + 2 \u003d x + x + 2x + 2 \u003d x · (x + 1) + 2 · (x + 1) \u003d (x + 1) · (x + 2), p 3 (x ) \u003d (x + 1) 2 · (x + 2).

4. "무대"의 진흙과 부서의 정리를 사용합니다.

예 ...에 승산기에서 분해된다

P 4 (x) \u003d 5 · x 4 + 9 · x 3 -2 · x 2 -4 · x -8.

결정 ...에 P 4 (1) \u003d 5 + 9-2-4-8 \u003d 0이기 때문에, P4 (x)는 (x-1)로 분할된다. Division "column"우리는 비공개를 찾을 것입니다

그 후,

P 4 (x) \u003d (x) · (5 · x 3 + 14x 2 + 12x + 8) \u003d

\u003d (x-1) · p 3 (x).

P3 (-2) \u003d -40 + 56-24 + 8 \u003d 0 이후, 다항식 P 3 (x) \u003d 5 × 3 + 14x2 + 12x + 8은 x + 2로 나눈 값이므로.

"무대"의 사설 부문을 찾으십시오.

그 후,

P 3 (x) \u003d (x + 2) · (5 · x 2 + 4x + 4).

정사각형의 판별자는 5 · x 2 + 4x + 4가 d \u003d -24가 감소하기 때문에<0, то этот

선형 곱셈기에 3 배에 광장이 분해되지 않습니다.

따라서, P 4 (x) \u003d (x-1) · (x + 2) · (5 · x 2 + 4x + 4)

5. Mouture 정리와 Gorner Scheme를 사용합니다. 이러한 방법으로 얻은 개인 방법은 곱셈기에 곱셈기에 곱하기와 같은 방식으로 삭제 될 수 있습니다.

예 ...에 곱셈기에 파견 :

P 3 (x) \u003d 2 · x 3 -5 · x 2 -196 · x + 99;

결정 .

이 다항식이 합리적인 뿌리를 가지면 1/2, 1, 3/2, 3, 9/2, 11/2, 9, 33, 99, 11이있을 수 있습니다.

이 다항식의 루트를 찾으려면 다음 문장을 사용합니다.

일부 세그먼트의 끝에있는 경우 다항식의 값은 서로 다른 징후를 가지고 있습니다. 그 다음 간격에서 (ㅏ; b)이 다항식의 적어도 하나의 근원이있다.

이 다항식 P3 (0) \u003d 99, P3 (1) \u003d -100에 대해, 간격 (0; 1) 상 에이 다항식의 적어도 하나의 루트가있다. 따라서 24 숫자 이상을 작성한 것들 중에서는 먼저 간격에 속한 숫자를 확인하는 것이 좋습니다.

(0; 1). 이 숫자 중 숫자만이 간격에 속합니다.

x \u003d 1/2의 P 3 (x)의 값은 직접 대체뿐만 아니라 다른 방식으로, 예를 들어, p ()는 나눗셈의 잔류 물과 동일하기 때문에 다항식 P (x)의 X--. 또한, 많은 예에서,이 방법은 모두가 동시에 위치된다.

이 예에서 산 계획에 따르면 우리는 다음을 얻습니다.

P3 (1/2) \u003d 0이기 때문에, x \u003d 1/2는 다항식 P 3 (x)의 루트이고, 다항식 P3 (x)는 x-1 / 2, 즉, 2 · x 3 -5 · x 2 -196 · x + 99 \u003d (x-1 / 2) · (2 \u200b\u200b· x 2 -4 · X-198).

2 · x 2 -4 · x-198 \u003d 2 · (x 2 -2 · x + 1-100) \u003d 2 · ((((x-1) 2) \u003d 2 · (x + 9) · ( X-11) 그때

P 3 (x) \u003d 2 · x 3 -5 · x 2 -196 · x + 99 \u003d 2 · (x-1 / 2) · (x-11).

반지 링의 개념

멎게 해줘 에과 엘. 전환 반지

정의 1. : 반지 에 간단한 반지 확장이라고합니다 케이. 요소를 사용합니다 엑스. 쓰기:

l \u003d k [x]조건이 만족되면 :

페이지 링

기본 설정 k [x]sMOUBS를 나타냅니다 l, k [x].

정의 2. : 간단한 확장 l \u003d k [x] 반지 케이. 통하다 엑스. - 간단한 초월 링 링 확장 케이. 통하다 엑스.조건이 만족되면 :

페이지 링

그렇다면

정의 3. : 요소 엑스. 링 위에 초월 렌드라고 불렀다 케이.조건이 만족되면 : If, Then.

문장...에 멎게 해줘 k [x] 간단한 초월적인 확장. 만약과 어디에서,

증거 ...에 조건에 따라 두 번째 표현식이 첫 번째 표현식에서 뺄 것입니다. 엑스. transcendentien nad. 케이., (3) 우리는 다음과 같습니다.

산출. 불평등 한 제로의 간단한 초월적인 확장의 모든 요소, 통근 반지 케이. 항목을 사용하십시오 엑스. 정수가 아닌 정수의 선형 조합의 형태로 유일한 표현을 허용합니다. 엑스.

정의: 알려지지 않은 것에서 다항식의 고리 엑스. 이상, 불평등 한 0, 반지 케이. 그것은 0이 아닌 전환 링의 간단한 초월적인 확장이라고합니다. 케이. 항목을 사용하십시오 엑스..

정리 ...에 어떤 제로 통근 반지가 없는지 케이, 요소를 사용하는 간단한 초월적 확장이 있습니다. x, k [x]

다항식에 대한 작업

k [x]가 정기적 인 반지가 아닌 다항식의 고리가되게하십시오. 케이.

정의 1 : k [x]에 속하는 다항식 F 및 G는 다항식 F와 G의 모든 식물이 서로 동일하다면, 알려지지 않은 일부도에 서있는 경우에 동등하고 쓸모가있다. 엑스.

추론 ...에 다항식의 기록에서, 정렬의 순서는 중요하지 않다. 역학 및 제외, 제로 계수가있는 구성 요소는 다항식을 변경하지 않습니다.

정의 2. 다항식 F 및 G의 양은 동일한 다항식 F + G라고하며, 평등에 의해 결정된다.

정의 3. : - 규칙에 의해 결정되는 다항식의 제품이 표시됩니다.

다항식의 정도

전환력이 울리게하십시오. K [x] 현장에서 다항식의 고리 케이. : ,

정의 : let - 모든 다항식. if, 전체 비 음수 N은 다항식의 정도입니다. 에프....에 동시에 그들은 n \u003d deg를 씁니다 에프..

숫자는 다항식의 계수입니다 - 수석 계수.

만약, 에프. - 표준화. 제로 다항식의 정도는 불확실합니다.

다항식 정도의 특성

케이. - 무결성 영역

증거 :

그처럼. 에 - 무결성 영역.

corollary 1. : k [x] 필드 위에 에 (무결성) 차례로 무결성 영역입니다. 무결성 영역의 경우 특정 범위가 있습니다.

corollary 2. : 무결성 영역에 대한 k [x] 에 개인 필드가 있습니다.

다항식의 바운스와 뿌리에 대한 부문.

요소를 다항식 값이라고 부르게하십시오 에프. 논쟁에서.

정리 베즈 : 다항식 및 요소의 경우 항목이 있습니다.

증거 : let - 모든 다항식

추론 : 다항식의 나눗셈으로부터의 잔류 물이 동일하다.

정의 : 요소를 다항식의 루트라고합니다. 에프., 만약.

정리 : 요소가 뿌리가되도록하십시오 에프. 그런 다음 그리고 diviseses 에프.

증거:

필요한 것. 정리에서, 그것은 그 나눗셈의 속성에서 그 부분에 이르치는 이론에서 뒤 따른다.

충분음. 그만 뒀어. ch.t.d.

무결성 영역에 걸쳐 다항식의 최대 뿌리 수.

정리 : k가 무결성 영역을 가라. 다항식의 뿌리 수 에프. 무결성 영역에서 케이. 더 이상의 정도 엔. 다항식 에프..

증거 :

다항식의 정도에 의한 유도. 다항식을합시다 에프. 그것은 뿌리가 0이고 그 숫자는 초과하지 않습니다.

이론이 어떤 것에 대해서도 입증되었다.

우리는 제 2 항에서 다항식의 정리의 승인의 진실이 따라 왔음을 보여줍니다.

두 가지 경우가 가능한 경우 :

• a) 다항식 에프. 뿌리가 없으므로 정리의 진술이 사실입니다.
• b) 다항식 에프. 적어도 뿌리가 있고, 이론적 인 이론적 인 이후 케이. - 무결성 면적, 재산 3 (다항식 정도)에 의해

같이, k - 무결성 영역.

따라서, 다항식의 모든 뿌리는 다항식의 근원이다. 지. 유도 가정에서, 다항식의 모든 뿌리의 수 지. 아니 더 엔., 그 후, 에프. 더 이상 ( n +.1) 뿌리.

추론 : 올라 케이. - 무결성 면적, 다항식의 뿌리 수 에프. 더 많은 숫자 엔,어디, 그거야 에프. - 제로 다항식.

다항식의 대수 및 기능적 평등

일부 종류의 다항식이되자, 일부 기능을 정의합니다.

일반적으로 다항식은 하나의 기능을 정의 할 수 있습니다.

정리 : 올라 케이.- 성실 영역은 정의 된 다항식과 평등 (동일한 평등 ())의 평등을 위해 정의됩니다.

증거 :

필요한 것. 둘 다 - 무결성 영역.

그거야

충분음. 그것을 가장합시다. 그것을 고려해야한다 케이. 무결성 영역, 다항식 하류 조사에서 뿌리 수가 있습니다. 하류 제로 다항식. 그래서, bt.t.

잔류 물과 토론

정의 : 유클리드 링 케이. 그런 무결성 영역이라고 불렀다 케이,이 함수가 함수를 결정합니다 h,인접한 정수가 아닌 음수 값이며 상태를 만족합니다.

이러한 요소에 대한 요소를 찾는 과정에서 잔류 물과의 부문이라고하는 것은 불완전한 비공개 인 - 부서의 균형입니다.

필드 위의 다항식의 반지.

정리 (잔류 물과의 부문) : 필드 위의 다항식의 고리와 단일 한 쌍의 다항식 쌍은 다항식이며, 조건이 만족되거나 조건이 만족되도록합니다. 또는

증거 : 다항식의 존재. 그거야. 정리는 0 또는 0 이후 또는 우리는 이론을 증명합니다. 다항식 정도의 유도에 의한 증거는 이론이 (고유성을 제외하고) 다항식을위한 것으로 판단된다고 가정합니다. 이 경우 정리의 승인은 이에 대한 승인을 보여줍니다. 실제로, 다항식의 장의 가장자리 계수는 다항식의 가장자리 계수를 가지므로 다항식은 동일한 수석 계수와 다항식을 갖는 정도의 정도를 가질 것이므로 다항식은 0을 가질 수 있거나 0 다항식을 갖는다. 그러므로 우리가 얻을 때 그러므로 유도 가정에, 그러므로, 즉, 우리가 얻거나 일 때. 다항식의 존재는 증명된다.

우리는 이러한 한 쌍의 다항식이 유일한 것임을 보여줍니다.

중 하나가 있도록하자 :. 두 가지 경우가 가능하거나.

다른 한편으로. 조건 또는 또는.

만약. 모순이 얻어졌습니다. 고유성이 증명됩니다.

corollary 1. : 현장에서 다항식의 고리는 유클리드 공간입니다.

corollary 2. : 다항식의 반지는 주요 이상의 반지입니다 (어떤 이상은 단일 발전기가 있습니다)

유클리드 링은 finderally : 다항식의 고리가 계승 링이라고합니다.

알고리즘 euclida. 두 개의 다항식의 노드

위의 다항식의 고리를 넣으십시오.

정의 1. : 다항식이있는 경우, 나누기의 잔류 물이 0이고, 다항식 분배기라고 불리고 표시된다 : ().

정의 2. : 다항식의 가장 큰 일반적인 분배기를 다항식이라고합니다.

그리고 (- 공통 분배기 및).

(공통 분배기 및).

다항식의 가장 큰 일반적인 분배기가 노드 (;)로 표시됩니다. 임의의 다항식의 일반적인 배포자는 0 도의 모든 다항식, 즉 0 필드가 없음을 포함한다. 다항식의 두 개의 데이터가 있고, 다항식이 아닌 일반적인 바이저가없는 것을 없앨 수 있습니다.

정의 : 다항식이 아닌 수많은 제로 수준의 일반적인짜리가없는 경우, 그들은 상호 간단하게 부른다.

lemma. : 다항식이 필드 위에있는 경우, 폴리 나메이션 및 노드의 가장 큰 공통 제수가 관련되어 있습니다. ~

기록 ( ~ B.) 정의에 의한 (들)을 의미합니다.

증거 : 내가 보내자.

따라서 우리는 다항식의 일반적인 분배기 인 것을 가르쳐 줄 것을 따릅니다.

일반 분배기와 얻기

알고리즘 euclida.

승수의 다항식의 다항식의 분해는 다항식이 여러 요인 - 다항식 또는 싱글 윙의 생성물로 변형되는 결과로 동일한 변형이다.

곱셈기에서 다항식을 분해하는 데는 여러 가지 방법이 있습니다.

방법 1. 브래킷에 대한 공통 요소를 변위.

이 변환은 곱셈의 분배법을 기반으로합니다 : AC + BC \u003d C (A + B). 변환의 본질은 일반적인 요소를 고려중인 두 가지 구성 요소와 괄호를 위해 "아웃"됩니다.

우리는 다항식 28x 3 - 35x 4의 다항식을 분해 할 것입니다.

결정.

1. 요소 28x 3 및 35x 4 일반적인 제수를 찾습니다. 28 및 35의 경우 7이 될 것입니다. x 3 및 x 4 - x 3의 경우 즉, 우리의 총 승수는 7x 3입니다.

2. 각 요소는 곱셈기의 작품을 나타냅니다.
7x 3 : 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. 우리는 괄호에 대한 일반적인 배율을 꺼냅니다
7x 3 : 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

의계 2. 축약 된 곱셈의 공식의 사용. 이 방법을 소지함으로써 "숙달"은 축약 된 곱셈의 수식 중 하나를 발견하는 것입니다.

다항식 x 6 - 1의 곱셈기에 확산.

결정.

1.이 표현에, 우리는 사각형의 차이에 대한 공식을 적용 할 수 있습니다. 이렇게하려면 x 6을 (x 3) 2, 1 2로 1 2로 상상해보십시오. 1. 표현식은 형식을 취합니다.
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. 결과적인 표현에, 우리는 큐브의 양과 차이의 공식을 적용 할 수 있습니다.
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

그래서,
x 6 - 1 \u003d (x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

방법 3. 그룹화. 그룹화 방법은 다항식의 구성 요소를 조치 (첨가, 빼기, total 배율)를 쉽게 수행 할 수있는 방식으로 결합하는 것입니다.

우리는 곱셈기에서 x 3-3x 2 + 5x - 15의 다항식을 분해 할 것입니다.

결정.

1. 이런 식으로 구성 요소를 그라우징하려면 다음과 같이하십시오. 제 2 회 및 제 4 회 제 3 회
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. 결과적으로 표현식에서 우리는 괄호에 대한 일반적인 승수를 수행합니다 : x 2는 첫 번째 경우와 두 번째 경우에 5 -
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. 우리는 괄호를 위해 일반적인 요소 x-3을 꺼내고 얻을 수 있습니다 :
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x-3) (x 2 + 5).

그래서,
x 3 - 3 x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3-3x2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5).

재료를 고정시킵니다.

다항식 A 2 - 7AB + 12B 2를 배출하십시오.

결정.

1. 7AB 7AB가 3AB + 4AB의 합으로 상상해보십시오. 표현식은 형식을 취합니다.
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2.

우리는 괄호를 드러내고 다음을 얻을 것입니다 :
2 - 3AB - 4AB + 12B 2.

2.이 방법으로 다항식의 구성 요소를 그라우징하십시오 : 제 2 회 및 제 3 회 제 4 회. 우리는 다음과 같습니다.
(A 2 - 3ab) - (4AB-12B 2).

3. 나는 괄호에 대한 일반적인 곱셈기를 가져올 것입니다 :
(2 - 3ab) - (4AB-12B 2) \u003d A (A - 3B) - 4B (A - 3B).

4. Brackets (A - 3B)에 대한 일반적인 배율을 가져올 것입니다.
a (A-3B) - 4B (A - 3B) \u003d (A - 3 B) ∙ (A - 4B).

그래서,
a 2 - 7AB + 12B 2 \u003d
\u003d A 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 \u003d
\u003d A 2 - 3AB - 4AB + 12B 2 \u003d
\u003d (a 2 - 3ab) - (4AB-12B 2) \u003d
\u003d A (A - 3B) - 4B (A - 3B) \u003d
\u003d (A - 3 b) ∙ (a - 4b).

원래 소스에 대한 재료 참조를 충분히 또는 부분적으로 복사하는 사이트가 필요합니다.

임의의 대수 다항식 N은 수석 단계 X에서 다항식 계수 인 종 및 일정한 수의 N- 선형 인자의 생성물로서 표현 될 수있다.

어디 - 다항식의 뿌리가 있습니다.

다항식의 뿌리는 다항식을 0으로 전환시킨 숫자 (실제 또는 복합체)를 호출합니다. 다항식의 뿌리는 유효한 뿌리와 복합체 - 복합체 뿌리가 될 수 있으며, 다항식은 다음 형태로 제공 될 수 있습니다.

"N"의 다항식의 다항식의 다항식의 다항식의 분해 방법을 제 1 및 제 2도 곱셈기에 고려한다.

방법 번호 1.불확실한 계수의 방법.

이러한 변환 된 발현의 계수는 불확실한 계수의 방법에 의해 결정됩니다. 이 방법의 본질은이 다항식이 분해되는 곱셈기의 사전 알려진 형태가 있다는 사실로 감소됩니다. 불확실한 계수의 방법을 사용할 때 다음 명령문이 유효합니다.

p.1. 두 개의 다항식은 계수가 동일한 ° X와 동일한 경우 동일한 경우 동일하게 동일합니다.

피. 3도의 다항식은 선형 및 사각형 곱셈기의 생성물로 분해됩니다.

p.3. 제 4도의 다항식은 2 차의 2 개 다항식의 작업으로 분해된다.

예 1.1. 곱셈기에서 큐빅 표현식을 분해해야합니다.

p.1. 입방 표현에 대한 채택 된 진술에 따라 동일한 평등은 공정하다 :

피. 표현식의 오른쪽 부분은 다음과 같이 구성 요소의 형태로 표시 될 수 있습니다.

p.3. 우리는 큐빅 표현식의 해당 정도에서 계수의 평등 상태에서 방정식 시스템을 컴파일합니다.

이 방정식 시스템은 계수 (간단한 학업 문제가있는 경우) 또는 비선형 시스템을 해결하는 방법을 선택하여 해결할 수 있습니다. 이러한 방정식 시스템을 해결하면 불확실한 계수가 다음과 같이 결정됩니다.

따라서 초기 표현식은 다음 형식의 승수로 감소합니다.

이 방법은 분석 계산 및 시스템 프로그래밍과 함께 방정식의 루트 검색 프로세스를 자동화하는 데 사용할 수 있습니다.

방법 번호 2.베레사 수식

Vieta 수식은 학위 N과 뿌리의 대수 방정식의 계수를 묶는 공식입니다. 이러한 수식은 프랑스 수학 Francois Vieta (1540 - 1603)의 작품에 암묵적으로 발표되었습니다. 베트가 긍정적 인 실제 뿌리를 고려했기 때문에 일반적으로 명시적인 형태로 이러한 수식을 쓸 수있는 기회가 없었기 때문입니다.

n-valit roots가있는 대수 다항식 N 이의 모든 대수적 인 다항식 학위 N에 대해서는,

공정한 다음과 같은 관계를 공정하여 다항식의 뿌리를 계수와 묶는 것 :

Vieta의 수식은 다항식의 뿌리의 정확성을 확인하는 데 편리하게 사용될뿐만 아니라 특정 뿌리에서 다항식을 컴파일 할 수 있습니다.

예 2.1. 다항식의 뿌리가 입방 방정식의 예에있는 계수와 연결되는 방법을 고려하십시오.

Vieta의 수식에 따라, 다항식의 뿌리의 뿌리와 계수의 관계는 다음과 같은 형태이다.

유사한 관계는 다항식 정도 n을 위해 이루어질 수 있습니다.

방법 번호 3. 합리적인 뿌리가있는 요인을위한 사각형 방정식의 분해

베레사의 마지막 공식에서 다항식의 뿌리가 자유 부재와 오래된 계수의 바수이어야합니다. 이와 관련하여, 문제의 조건에서 계수 전체가있는 다항식 정도 N을 설정한다면

이 다항식은 합리적인 뿌리 (눈에 띄지 않은 분수)가 있으며, P는 자유 부재 분배기이고 Q는 오래된 계수의 딜러입니다. 이 경우, N 개의 정도의 다항식은 형태로 표현 될 수있다 (moutitude의 정리) :

다항식, 초기 다항식의 정도보다 1 이하의 정도는, 예를 들어 산성 방식 또는 "컬럼"이되는 가장 쉬운 방법을 사용하여 정도의 다항식의 나누기에 의해 결정됩니다.

예 3.1. 다항식을 곱하기 위해 분해 할 필요가 있습니다

p.1. 고위 용어와 동일한 계수가 하나와 동일하다는 사실 때문에,이 다항식의 합리적인 뿌리는 표현의 자유 멤버의 바수이다. 정수 일 수 있습니다 ...에 우리는 제시된 숫자 각각을 초기 표현으로 대체하며, 우리는 다항식이 동일한 다항식의 루트가 동일하다는 것을 알게됩니다.

원래의 다항식의 부서를 바운스하려면 다음을 수행하십시오.

우리는 Gorner Scheme을 사용합니다

소스 다항식 계수가 최상선에 표시되고 최상선의 첫 번째 셀은 비어 있습니다.

두 번째 줄의 첫 번째 셀에서 발견 된 루트가 기록됩니다 (번호 2 "를 고려한 것에 따라 숫자"2 ")가 기록되고 셀의 다음 값은 특정 방식으로 계산되며 계수입니다. 다항식은 경비원에서 다항식의 부문을 초래할 것입니다. 알 수없는 계수는 다음과 같이 정의됩니다.

제 2 셀에서, 제 2 선은 제 1 라인의 대응 셀으로부터 전송된다 (예시의 예에서, 숫자 "1"이 기록된다).

제 2 라인의 제 3 라인은 제 2 선의 제 2 셀상의 제 1 셀의 값이 제 1 선의 제 3 셀의 값을 기록한다 (예 2 ∙ 1 -5 \u003d -3의 예에서).

제 2 라인의 제 4 셀에서, 제 1 셀의 값은 제 2 라인의 제 3 셀에 제 3 선의 제 4 셀 (실시 예 2 ∙ (-3) +7 \u003d 1의 값)에 기록된다 짐마자

따라서 초기 다항식은 승수로 거부됩니다.

방법 번호 4.축약 된 곱셈의 수식을 사용합니다

축약 된 곱셈의 공식은 계산을 단순화하는 데뿐만 아니라 승산기의 다항식의 분해를 단순화하는 데 사용됩니다. 곱셈 수식을 줄이면 개별 작업 솔루션을 단순화 할 수 있습니다.

쌓기를 분해하는 데 사용되는 수식