도함수의 최대값 2.1.1 2. 함수의 도함수

문제 B9는 다음 수량 중 하나를 결정하는 데 필요한 함수 또는 도함수의 그래프를 제공합니다.

1. 어떤 지점 x 0에서의 도함수 값,
2. 최대 또는 최소 포인트(극점),
3. 함수의 증가 및 감소 간격(단조성 간격).

이 문제에 제시된 함수와 도함수는 항상 연속적이므로 풀이가 훨씬 쉬워집니다. 이 작업은 수학적 분석 섹션에 속한다는 사실에도 불구하고 여기에는 깊은 이론적 지식이 필요하지 않기 때문에 가장 약한 학생도 할 수 있습니다.

도함수, 극점 및 단조성 간격의 값을 찾으려면 간단하고 보편적인 알고리즘이 있습니다. 이에 대해서는 모두 아래에서 설명합니다.

어리석은 실수를 피하기 위해 문제 B9의 조건을 주의 깊게 읽으십시오. 때로는 꽤 긴 텍스트를 접하게 되지만 해결 과정에 영향을 미치는 중요한 조건은 거의 없습니다.

미분 값 계산. 2점 방법

문제에 x 0 지점에서 이 그래프에 접하는 함수 f(x)의 그래프가 주어지고 이 지점에서 도함수 값을 찾아야 하는 경우 다음 알고리즘이 적용됩니다.

1. 접선 그래프에서 두 개의 "적절한" 점을 찾습니다. 해당 점의 좌표는 정수여야 합니다. 이 점을 A(x 1 ; y 1) 및 B(x 2 ; y 2)로 표시하겠습니다. 좌표를 올바르게 기록하십시오. 이것이 솔루션의 핵심이며 여기에 실수가 있으면 잘못된 답변으로 이어질 것입니다.
2. 좌표를 알면 인수 Δx = x 2 − x 1 의 증분과 함수 Δy = y 2 − y 1 의 증분을 쉽게 계산할 수 있습니다.
3. 마지막으로, 도함수 D = Δy/Δx의 값을 찾습니다. 즉, 함수의 증가분을 인수의 증가분으로 나누어야 하며 이것이 답이 될 것입니다.

다시 한 번 주목하자: 점 A와 B는 자주 발생하는 것처럼 함수 f(x)의 그래프가 아니라 접선에서 정확하게 찾아야 합니다. 접선에는 반드시 최소한 두 개의 점이 포함되어야 합니다. 그렇지 않으면 문제가 올바르게 공식화되지 않습니다.

점 A(−3; 2)와 B(−1; 6)를 고려하고 증분값을 찾습니다.
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

도함수 값을 찾아봅시다: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

일. 그림은 함수 y = f(x)의 그래프와 가로좌표 x 0이 있는 점에서의 접선을 보여줍니다. x 0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 구합니다.

점 A(0; 3)와 B(3; 0)를 고려하여 증분값을 찾습니다.
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

이제 도함수 값을 구합니다: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

일. 그림은 함수 y = f(x)의 그래프와 가로좌표 x 0이 있는 점에서의 접선을 보여줍니다. x 0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 구합니다.

점 A(0; 2)와 B(5; 2)를 고려하여 증분값을 찾습니다.
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

도함수 값 D = Δy/Δx = 0/5 = 0을 찾는 것이 남아 있습니다.

마지막 예에서 규칙을 공식화할 수 있습니다. 접선이 OX 축에 평행하면 접선 지점에서 함수의 미분은 0입니다. 이 경우 아무것도 계산할 필요가 없습니다. 그래프만 보세요.

최대 및 최소 포인트 계산

때때로 문제 B9에서는 함수 그래프 대신 도함수 그래프를 제시하고 함수의 최대점 또는 최소점을 찾아야 합니다. 이 상황에서는 2점 방법은 쓸모가 없지만 더 간단한 또 ​​다른 알고리즘이 있습니다. 먼저 용어를 정의해 보겠습니다.

1. x 0 지점을 함수 f(x)의 최대 지점이라고 합니다. 이 지점 근처에서 f(x 0) ≥ f(x) 부등식이 성립하는 경우입니다.
2. x 0 지점을 함수 f(x)의 최소 지점이라고 합니다. 이 지점 근처에서 다음 부등식이 성립하면 f(x 0) ≤ f(x)입니다.

미분 그래프에서 최대점과 최소점을 찾으려면 다음 단계를 따르세요.

1. 불필요한 정보를 모두 제거하여 미분 그래프를 다시 그립니다. 실습에서 알 수 있듯이 불필요한 데이터는 결정에만 방해가 됩니다. 따라서 우리는 좌표축에 미분의 0을 표시합니다. 그게 전부입니다.
2. 0 사이의 간격에서 미분의 부호를 알아보세요. 어떤 점 x 0에 대해 f'(x 0) ≠ 0이라고 알려진 경우 f'(x 0) ≥ 0 또는 f'(x 0) ≤ 0이라는 두 가지 옵션만 가능합니다. 미분의 부호는 다음과 같습니다. 원래 그림에서 쉽게 결정할 수 있습니다. 도함수 그래프가 OX 축 위에 있으면 f'(x) ≥ 0입니다. 반대로, 도함수 그래프가 OX 축 아래에 있으면 f'(x) ≤ 0입니다.
3. 미분의 0과 부호를 다시 확인합니다. 부호가 마이너스에서 플러스로 바뀌는 지점이 최소 지점입니다. 반대로 도함수의 부호가 플러스에서 마이너스로 바뀌면 이것이 최대점이다. 계산은 항상 왼쪽에서 오른쪽으로 이루어집니다.

이 방식은 연속 함수에만 적용됩니다. 문제 B9에는 다른 방식이 없습니다.

일. 그림은 구간 [−5; 5]. 이 세그먼트에서 함수 f(x)의 최소점을 찾습니다.

불필요한 정보는 없애고 경계만 남겨두자 [-5; 5] 및 도함수 x = −3 및 x = 2.5의 0입니다. 우리는 또한 다음과 같은 징후에 주목합니다.

분명히, x = −3 지점에서 도함수의 부호는 마이너스에서 플러스로 변경됩니다. 이것이 최소점입니다.

일. 그림은 구간 [−3; 7]. 이 세그먼트에서 함수 f(x)의 최대점을 찾습니다.

경계만 남기고 그래프를 다시 그리겠습니다 [−3; 7] 및 도함수 x = −1.7 및 x = 5의 0입니다. 결과 그래프에서 도함수의 부호를 살펴보겠습니다. 우리는:

분명히 x = 5 지점에서 도함수의 부호는 플러스에서 마이너스로 변경됩니다. 이것이 최대 포인트입니다.

일. 그림은 구간 [−6; 4]. 세그먼트 [−4; 삼].

문제의 조건에 따르면 세그먼트 [-4; 삼]. 따라서 경계만 표시하는 새 그래프를 작성합니다. [-4; 3] 그리고 그 안에 있는 도함수의 0입니다. 즉, 점 x = −3.5이고 x = 2입니다. 우리는 다음을 얻습니다.

이 그래프에는 단 하나의 최대점 x = 2가 있습니다. 이 지점에서 도함수의 부호가 플러스에서 마이너스로 변경됩니다.

정수가 아닌 좌표를 가진 점에 대한 간단한 참고 사항입니다. 예를 들어, 마지막 문제에서는 점 x = −3.5가 고려되었지만 동일한 성공으로 x = −3.4를 취할 수 있습니다. 문제가 올바르게 작성되었다면 "고정된 거주지 없음" 포인트가 문제 해결에 직접적으로 참여하지 않기 때문에 이러한 변경 사항은 답변에 영향을 주어서는 안됩니다. 물론 이 트릭은 정수 포인트에서는 작동하지 않습니다.

함수의 증가 및 감소 간격 찾기

이러한 문제에서는 최대점과 최소점과 마찬가지로 미분 그래프를 사용하여 함수 자체가 증가하거나 감소하는 영역을 찾는 것이 제안됩니다. 먼저 증가와 감소가 무엇인지 정의해 보겠습니다.

1. 이 세그먼트의 임의의 두 점 x 1 및 x 2에 대해 다음 진술이 참인 경우 함수 f(x)는 세그먼트에서 증가한다고 합니다. x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . 즉, 인수 값이 클수록 함수 값도 커집니다.
2. 함수 f(x)는 이 세그먼트의 두 점 x 1 및 x 2에 대해 다음 진술이 참인 경우 세그먼트에서 감소한다고 합니다. x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). 저것들. 더 큰 인수 값은 더 작은 함수 값에 해당합니다.

증가 및 감소에 대한 충분조건을 공식화해 보겠습니다.

1. 세그먼트 에서 연속 함수 f(x)가 증가하려면 세그먼트 내부의 도함수가 양수이면 충분합니다. 즉, f'(x) ≥ 0.
2. 연속 함수 f(x)가 세그먼트 에서 감소하려면 세그먼트 내부의 도함수가 음수이면 충분합니다. 즉 f'(x) ≤ 0.

증거 없이 이러한 진술을 받아들입시다. 따라서 우리는 극점 계산 알고리즘과 여러 면에서 유사한 증가 및 감소 간격을 찾는 체계를 얻습니다.

1. 불필요한 정보를 모두 제거하세요. 도함수의 원래 그래프에서 우리는 주로 함수의 0에 관심이 있으므로 0만 남겨 두겠습니다.
2. 0 사이의 간격에 미분의 부호를 표시하십시오. f'(x) ≥ 0이면 함수가 증가하고 f'(x) ≤ 0이면 함수가 감소합니다. 문제가 변수 x에 대한 제한을 설정하는 경우 이를 새 그래프에 추가로 표시합니다.
3. 이제 우리는 함수의 동작과 제약 조건을 알았으므로 문제에 필요한 수량을 계산해야 합니다.

일. 그림은 구간 [−3; 7.5]. 함수 f(x)의 감소 간격을 구합니다. 답에 이 간격에 포함된 정수의 합을 표시하십시오.

평소처럼 그래프를 다시 그리고 경계를 표시해 보겠습니다. [−3; 7.5], 도함수의 영점 x = −1.5 및 x = 5.3. 그런 다음 파생 상품의 표시를 확인합니다. 우리는:

(− 1.5) 구간에서 도함수가 음수이므로 이것이 감소함수의 구간입니다. 이 간격 안에 있는 모든 정수를 합산해야 합니다.
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

일. 그림은 구간 [−10; 4]. 함수 f(x)의 증가 간격을 구합니다. 답에 가장 큰 것의 길이를 표시하십시오.

불필요한 정보는 없애자. 경계만 남겨두자 [-10; 4] 및 도함수의 0(이번에는 x = −8, x = −6, x = −3 및 x = 2)이 4개가 있었습니다. 도함수의 부호를 표시하고 다음 그림을 얻습니다.

우리는 함수가 증가하는 간격에 관심이 있습니다. 여기서 f'(x) ≥ 0입니다. 그래프에는 (−8; −6) 및 (−3; 2)라는 두 가지 간격이 있습니다. 길이를 계산해 봅시다:
내가 1 = - 6 - (-8) = 2;
내가 2 = 2 − (−3) = 5.

가장 큰 간격의 길이를 찾아야 하므로 값 l 2 = 5를 답으로 적습니다.

그 사이에 ( ㅏ,비), ㅏ 엑스- 주어진 간격 내에서 무작위로 선택된 지점입니다. 주장을 해보자 엑스 증가Δx(양수 또는 음수).

함수 y =f(x)는 다음과 같은 증분 Δу를 받습니다.

Δy = f(x + Δx)-f(x).

무한한 Δx에서 증가Δy도 무한히 작습니다.

예를 들어:

자유 낙하하는 물체의 예를 사용하여 함수의 미분을 해결하는 것을 고려해 보겠습니다.

t 2 = t l + Δt이므로,

.

한도를 계산하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

함수의 극한을 계산할 때 t의 불변성을 강조하기 위해 t 1 표기법이 도입되었습니다. t 1 은 임의의 시간 값이므로 인덱스 1은 폐기될 수 있습니다. 그러면 우리는 다음을 얻습니다:

속도가 빨라지는 것을 알 수 있다 V,그 길처럼 에스, 있다 기능시간. 기능 유형 V전적으로 함수 유형에 따라 다릅니다. 에스, 그래서 함수는 에스마치 함수를 "생성"하는 것처럼 V. 그러므로 이름은 " 미분 함수».

다른 것을 고려해보세요 예.

함수의 도함수 값을 찾습니다.

와이 = x 2~에 엑스 = 7.

해결책. ~에 엑스 = 7우리는 y=7 2 = 49. 주장을 해보자 엑스증가 Δ 엑스. 논쟁은 평등해질 것입니다 7 + Δ 엑스, 함수는 값을 수신합니다 (7 + Δ x) 2.

친애하는 친구! 도함수와 관련된 작업 그룹에는 작업이 포함됩니다. 조건은 함수 그래프, 이 그래프의 여러 점을 제공하며 질문은 다음과 같습니다.

도함수가 가장 큰(가장 작은) 지점은 어디입니까?

간단히 반복해보자:

한 점에서의 도함수는 통과하는 접선의 기울기와 같습니다.그래프의 이 지점.

유접선의 전체 계수는 이 접선의 경사각의 접선과 같습니다.

*접선과 x축 사이의 각도를 나타냅니다.

1. 함수가 증가하는 간격에서 도함수는 양의 값을 갖습니다.

2. 감소 간격으로 미분 값은 음수 값을 갖습니다.

다음 스케치를 고려하십시오.

지점 1,2,4에서 함수의 도함수는 음수 값을 갖습니다. 왜냐하면 이 지점은 감소하는 구간에 속하기 때문입니다.

지점 3,5,6에서 함수의 도함수는 양수 값을 갖습니다. 왜냐하면 이 지점은 증가하는 구간에 속하기 때문입니다.

보시다시피, 미분의 의미로 모든 것이 명확합니다. 즉, 그래프의 특정 지점에 어떤 부호(양수 또는 음수)가 있는지 결정하는 것이 전혀 어렵지 않습니다.

또한, 이 점에서 정신적으로 접선을 구성하면 점 3, 5, 6을 통과하는 직선이 oX 축과 0에서 90o 범위의 각도를 형성하고 점 1, 2, 4를 통과하는 직선이 형성된다는 것을 알 수 있습니다. oX 축의 각도 범위는 90o ~ 180o입니다.

*관계는 명확합니다. 증가 함수 구간에 속하는 점을 통과하는 접선은 oX 축과 예각을 형성하고, 감소 함수 구간에 속하는 점을 통과하는 접선은 oX 축과 둔각을 형성합니다.

이제 중요한 질문!

파생상품의 가치는 어떻게 변하나요? 결국, 연속 함수의 그래프에서 서로 다른 지점의 접선은 그래프의 어느 지점을 통과하는지에 따라 서로 다른 각도를 형성합니다.

*또는 간단히 말해서 접선이 더 "수평" 또는 "수직"에 위치합니다. 바라보다:

직선은 0에서 90o 범위의 oX 축과 각도를 형성합니다.

직선은 oX 축과 90°~180° 범위의 각도를 형성합니다.

따라서 질문이 있는 경우:

— 그래프의 주어진 지점 중 어느 지점에서 도함수가 가장 작은 값을 갖습니까?

- 그래프의 주어진 지점 중 어느 지점에서 도함수가 가장 큰 값을 갖습니까?

대답하려면 접선 각도의 접선 값이 0에서 180o 범위에서 어떻게 변하는지 이해해야합니다.

*이미 언급한 바와 같이, 한 점에서 함수의 미분 값은 oX 축에 대한 접선의 경사각의 접선과 같습니다.

탄젠트 값은 다음과 같이 변경됩니다.

직선의 경사각이 0°에서 90°로 변경되면 접선 값과 이에 따른 도함수도 그에 따라 0에서 +무한대까지 변경됩니다.

직선의 경사각이 90°에서 180°로 변경되면 접선 값과 그에 따른 도함수도 그에 따라 –무한대에서 0으로 변경됩니다.

이는 접선 함수의 그래프에서 명확하게 볼 수 있습니다.

간단히 말하면:

0° ~ 90°의 접선 경사각에서

0o에 가까울수록 도함수 값은 0에 가까워집니다(양수 측).

각도가 90°에 가까울수록 도함수 값은 +를 향해 더 많이 증가합니다.

90° ~ 180°의 접선 경사각

90o에 가까울수록 도함수 값은 –무한대 방향으로 더 많이 감소합니다.

각도가 180°에 가까울수록 도함수 값은 0에 가까워집니다(음수 측).

317543. 그림은 함수 y =의 그래프를 보여줍니다. 에프(엑스) 그리고 포인트가 표시되어 있어요-2, -1, 1, 2. 다음 중 어느 지점에서 도함수가 가장 크나요? 답변에 이 점을 표시해 주십시오.

네 개의 점이 있습니다. 그 중 두 개는 함수가 감소하는 구간(포인트 –1과 1)에 속하고 두 개는 함수가 증가하는 구간(포인트 –2와 2)에 속합니다.

우리는 -1과 1 지점에서 도함수가 음수 값을 갖고, -2와 2 지점에서 양수 값을 갖는다는 결론을 즉시 내릴 수 있습니다. 따라서 이 경우에는 -2번과 2번 지점을 분석하여 어느 지점이 가장 큰 값을 갖는지 판단하는 것이 필요합니다. 표시된 점을 통과하는 접선을 구성해 보겠습니다.

직선 a와 가로축 사이의 각도의 탄젠트 값은 직선 b와 이 축 사이의 각도의 탄젠트 값보다 큽니다. 이는 –2 지점의 미분 값이 가장 크다는 것을 의미합니다.

다음 질문에 답해 봅시다. -2, -1, 1 또는 2 중 어느 지점이 가장 음수인 도함수의 값입니까? 답변에 이 점을 표시해 주십시오.

도함수는 감소하는 구간에 속하는 지점에서 음수 값을 가지므로 지점 -2와 1을 고려해 보겠습니다. 이를 통과하는 접선을 구성해 보겠습니다.

직선 b와 oX축 사이의 둔각이 180°에 "더 가깝다"는 것을 알 수 있습니다.영형 따라서 접선은 직선 a와 oX축이 이루는 각도의 접선보다 커집니다.

따라서 x = 1 지점에서 도함수 값은 가장 큰 음수가 됩니다.

317544. 그림은 함수 y =의 그래프를 보여줍니다. 에프(엑스) 그리고 포인트가 표시되어 있어요-2, -1, 1, 4. 다음 중 어느 지점에서 도함수가 가장 작습니까? 답변에 이 점을 표시해 주십시오.

네 개의 점이 있습니다. 그 중 두 개는 함수가 감소하는 간격(점 -1과 4)에 속하고 두 개는 함수가 증가하는 간격(점 -2와 1)에 속합니다.

우리는 -1과 4 지점에서 도함수가 음수 값을 갖고, -2와 1 지점에서 양수 값을 갖는다는 결론을 즉시 내릴 수 있습니다. 따라서 이 경우 -1번과 4번 지점을 분석하여 어느 지점이 가장 작은 값을 갖는지 판단해야 합니다. 표시된 점을 통과하는 접선을 구성해 보겠습니다.

직선 a와 가로축 사이의 각도의 탄젠트 값은 직선 b와 이 축 사이의 각도의 탄젠트 값보다 큽니다. 이는 x = 4 지점에서의 도함수 값이 가장 작다는 것을 의미합니다.

답: 4

글의 양이 당신에게 "과부하"되지 않았기를 바랍니다. 실제로 모든 것이 매우 간단합니다. 도함수의 속성, 기하학적 의미 및 각도의 탄젠트 값이 0에서 180o로 어떻게 변하는지 이해하면 됩니다.

1. 먼저 이 점(+ 또는 -)에서 도함수의 부호를 결정하고 필요한 점을 선택합니다(제시된 질문에 따라).

2. 이 지점에서 접선을 구성합니다.

3. Tangesoid 그래프를 이용하여 각도를 개략적으로 표시하고 표시합니다.알렉산더.

추신: 소셜 네트워크 사이트에 대해 알려주시면 감사하겠습니다.

안녕하세요! 과학의 화강암을 갈고 닦는 고품질의 체계적인 준비와 끈기로 다가오는 통합 국가 시험을 치르자!!! 안에게시물 끝에 경쟁 과제가 있습니다. 가장 먼저 참여하세요! 이 섹션의 기사 중 하나에서 함수 그래프가 제공되고 극값, 증가(감소) 간격 등에 관한 다양한 질문이 제기된 기사입니다.

이 기사에서는 함수의 도함수 그래프가 제공되고 다음 질문이 제기되는 수학 통합 상태 시험에 포함된 문제를 고려할 것입니다.

1. 주어진 세그먼트의 어느 지점에서 함수가 가장 큰(또는 가장 작은) 값을 취합니까?

2. 주어진 세그먼트에 속하는 기능의 최대(또는 최소) 포인트 수를 찾습니다.

3. 주어진 세그먼트에 속하는 함수의 극점 수를 찾습니다.

4. 해당 세그먼트에 속하는 함수의 극점을 찾습니다.

5. 증가(또는 감소) 함수의 간격을 찾고 답에 이 간격에 포함된 정수점의 합을 표시합니다.

6. 함수의 증가(또는 감소) 간격을 찾습니다. 답에 이 구간 중 가장 큰 구간의 길이를 표시하십시오.

7. 함수 그래프의 접선이 y = kx + b 형식의 선과 평행하거나 일치하는 점의 수를 찾습니다.

8. 함수 그래프의 접선이 가로축과 평행하거나 일치하는 점의 가로좌표를 찾습니다.

다른 질문이 있을 수 있지만 이해하시면 문제가 발생하지 않습니다. (해결 방법에 필요한 정보를 제공하는 기사에 대한 링크가 제공되므로 반복하는 것이 좋습니다.)

기본 정보(간단히):

1. 증가하는 간격의 도함수는 양의 부호를 갖습니다.

특정 구간의 특정 지점에서 도함수가 양수 값을 가지면 해당 구간의 함수 그래프가 증가합니다.

2. 감소하는 간격에서 도함수는 음의 부호를 갖습니다.

특정 구간의 특정 지점에서 도함수가 음수 값을 가지면 해당 구간에서 함수 그래프가 감소합니다.

3. 점 x에서의 도함수는 같은 점에서 함수 그래프에 그려진 접선의 기울기와 같습니다.

4. 함수의 극한점(최대-최소)에서 도함수는 0과 같습니다. 이 지점에서 함수 그래프의 접선은 x축과 평행합니다.

이것을 분명히 이해하고 기억해야 합니다!!!

파생 그래프는 많은 사람들을 "혼란"시킵니다. 어떤 사람들은 이를 함수 자체의 그래프로 착각합니다. 따라서 그래프가 표시되는 건물에서는 주어진 조건, 즉 함수 그래프 또는 함수 도함수 그래프에 즉시주의를 집중하십시오.

함수의 도함수 그래프인 경우 함수 자체의 "반사"로 처리하여 해당 함수에 대한 정보만 제공합니다.

작업을 고려하십시오.

그림은 그래프를 보여줍니다 와이 =에프'(엑스)- 함수의 파생물 에프(엑스), 간격(–2;21)에 정의됩니다.

우리는 다음 질문에 대답할 것입니다:

1. 세그먼트의 어느 지점에 기능이 있습니까? 에프(엑스)가장 큰 가치를 취합니다.

주어진 구간에서 함수의 도함수는 음수입니다. 즉, 이 구간의 함수는 감소합니다(구간의 왼쪽 경계에서 오른쪽으로 감소함). 따라서 함수의 가장 큰 값은 세그먼트의 왼쪽 경계, 즉 지점 7에서 달성됩니다.

답: 7

2. 세그먼트의 어느 지점에 기능이 있습니까? 에프(엑스)

이 파생 그래프에서 우리는 다음과 같이 말할 수 있습니다. 주어진 구간에서 함수의 도함수는 양수입니다. 즉, 이 구간의 함수가 증가한다는 의미입니다(구간의 왼쪽 경계에서 오른쪽으로 증가함). 따라서 함수의 가장 작은 값은 세그먼트의 왼쪽 경계, 즉 x = 3 지점에서 달성됩니다.

답: 3

3. 함수의 최대 포인트 수를 찾으십시오. 에프(엑스)

최대점은 도함수 기호가 양수에서 음수로 변경되는 점에 해당합니다. 이런 식으로 부호가 바뀌는 곳을 생각해 봅시다.

세그먼트(3;6)에서 도함수는 양수이고, 세그먼트(6;16)에서는 음수입니다.

세그먼트(16;18)에서 도함수는 양수이고, 세그먼트(18;20)에서는 음수입니다.

따라서 주어진 세그먼트에서 함수는 두 개의 최대 지점 x = 6과 x = 18을 갖습니다.

답: 2

4. 함수의 최소 포인트 수를 찾으십시오. 에프(엑스), 세그먼트에 속합니다.

최소점은 미분 기호가 음수에서 양수로 변경되는 점에 해당합니다. 도함수는 구간 (0;3)에서는 음수이고 구간 (3;4)에서는 양수입니다.

따라서 세그먼트에서 함수는 단 하나의 최소 점 x = 3을 갖습니다.

*답안 작성 시 주의사항 - x값이 아닌 점수가 기록되므로 부주의로 인해 이런 실수가 발생할 수 있습니다.

답: 1

5. 함수의 극점 개수 찾기 에프(엑스), 세그먼트에 속합니다.

찾아야 할 사항을 참고하세요. 수량극한점(최대점과 최소점 모두)

극점은 도함수의 부호가 변경되는 지점(양수에서 음수로 또는 그 반대로)에 해당합니다. 조건에 제공된 그래프에서 이는 함수의 0입니다. 도함수는 3, 6, 16, 18 지점에서 사라집니다.

따라서 이 함수는 세그먼트에 4개의 극점을 갖습니다.

답: 4

6. 증가하는 함수의 구간을 찾아보세요 에프(엑스)

이 기능의 증가 간격 에프(엑스)도함수가 양수인 구간, 즉 구간 (3;6)과 (16;18)에 해당합니다. 간격의 경계는 포함되지 않습니다(둥근 괄호 - 경계는 간격에 포함되지 않음, 대괄호 - 포함). 이 간격에는 정수 포인트 4, 5, 17이 포함됩니다. 그 합은 4 + 5 + 17 = 26입니다.

답: 26

7. 감소하는 함수의 구간 찾기 에프(엑스)주어진 간격으로. 답에 이 구간에 포함된 정수점의 합을 표시하십시오.

함수의 간격 감소 에프(엑스)함수의 도함수가 음수인 구간에 해당합니다. 이 문제에서는 간격 (–2;3), (6;16), (18:21)이 있습니다.

이러한 간격에는 –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20과 같은 정수 포인트가 포함됩니다. 해당 합계는 다음과 같습니다.

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

답: 140

*조건에 주의하세요: 경계가 간격에 포함되는지 여부. 경계가 포함된 경우 솔루션 프로세스에서 고려되는 간격에서 이러한 경계도 고려해야 합니다.

8. 증가하는 함수의 구간 찾기 에프(엑스)

함수 증가 간격 에프(엑스)함수의 도함수가 양수인 구간에 해당합니다. 우리는 이미 (3;6)과 (16:18)을 표시했습니다. 그 중 가장 큰 것은 간격(3;6)이고 길이는 3입니다.

답: 3

9. 감소하는 함수의 구간 찾기 에프(엑스). 답에 가장 큰 것의 길이를 표시하십시오.

함수의 간격 감소 에프(엑스)함수의 도함수가 음수인 구간에 해당합니다. 우리는 이미 그것들을 표시했는데 이것은 간격 (–2;3), (6;16), (18;21)이고 길이는 각각 5, 10, 3입니다.

가장 큰 것의 길이는 10이다.

답: 10

10. 함수 그래프에 접하는 점의 수를 찾으십시오. 에프(엑스)직선 y = 2x + 3과 평행하거나 일치합니다.

접선점에서의 도함수 값은 접선의 기울기와 같습니다. 접선은 직선 y = 2x + 3과 평행하거나 일치하므로 각도 계수는 2와 같습니다. 이는 y′(x 0) = 2가 되는 점의 수를 찾아야 함을 의미합니다. 기하학적으로 이는 도함수 그래프와 직선 y = 2의 교차점 수에 해당합니다. 이 구간에는 이러한 점이 4개 있습니다.

답: 4

11. 함수의 극점 찾기 에프(엑스), 세그먼트에 속합니다.

함수의 극점은 함수의 도함수가 0과 같은 지점이며, 이 지점 근처에서 도함수의 부호가 변경됩니다(양수에서 음수로 또는 그 반대로). 세그먼트에서 도함수 그래프는 x축과 교차하고 도함수는 부호를 음수에서 양수로 변경합니다. 따라서 점 x = 3은 극점입니다.

답: 3

12. 그래프 y = f (x)의 접선이 가로축과 평행하거나 일치하는 점의 가로좌표를 찾습니다. 귀하의 답변에 그 중 가장 큰 것을 표시하십시오.

그래프 y = f (x)의 접선은 도함수가 0인 지점에서만 가로축과 평행하거나 일치할 수 있습니다. 기호를 변경하지 마십시오). 이 그래프는 3, 6, 16,18 지점에서 도함수가 0임을 보여줍니다. 가장 큰 것은 18입니다.

추론을 다음과 같이 구성할 수 있습니다.

접선점에서의 도함수 값은 접선의 기울기와 같습니다. 접선은 x축과 평행하거나 일치하므로 기울기는 0입니다(실제로 각도 0도의 접선은 0입니다). 따라서 우리는 기울기가 0과 같고 도함수가 0인 점을 찾고 있습니다. 도함수는 그래프가 x축과 교차하는 지점에서 0과 같으며 이러한 지점은 3, 6, 16,18입니다.

답: 18

그림은 그래프를 보여줍니다 와이 =에프'(엑스)- 함수의 파생물 에프(엑스), 간격(–8;4)에 정의됩니다. 세그먼트 [–7;–3]의 어느 지점에 함수가 있습니까? 에프(엑스)가장 작은 값을 취합니다.

그림은 그래프를 보여줍니다 와이 =에프'(엑스)- 함수의 파생물 에프(엑스), 간격(–7;14)에 정의됩니다. 함수의 최대 포인트 수 찾기 에프(엑스), 세그먼트 [-6;9]에 속합니다.

그림은 그래프를 보여줍니다 와이 =에프'(엑스)- 함수의 파생물 에프(엑스), 간격(–18;6)에 정의됩니다. 함수의 최소 포인트 수 찾기 에프(엑스), 세그먼트 [-13;1]에 속합니다.

그림은 그래프를 보여줍니다 와이 =에프'(엑스)- 함수의 파생물 에프(엑스), 간격(–11; –11)에 정의됩니다. 함수의 극점 개수 찾기 에프(엑스), 세그먼트 [-10; -10].

그림은 그래프를 보여줍니다 와이 =에프'(엑스)- 함수의 파생물 에프(엑스), 간격(–7;4)에 정의됩니다. 증가하는 함수의 구간 찾기 에프(엑스). 답에 이 구간에 포함된 정수점의 합을 표시하십시오.

그림은 그래프를 보여줍니다 와이 =에프'(엑스)- 함수의 파생물 에프(엑스), 간격(–5;7)에 정의됩니다. 감소하는 함수의 구간 찾기 에프(엑스). 답에 이 구간에 포함된 정수점의 합을 표시하십시오.

그림은 그래프를 보여줍니다 와이 =에프'(엑스)- 함수의 파생물 에프(엑스), 간격(–11;3)에 정의됩니다. 증가하는 함수의 구간 찾기 에프(엑스). 답에 가장 큰 것의 길이를 표시하십시오.

F 그림은 그래프를 보여줍니다.

문제의 조건은 동일합니다(우리가 고려한). 세 숫자의 합을 구합니다:

1. 함수 f(x)의 극값의 제곱의 합.

2. 함수 f(x)의 최대점 합계와 최소점 합계의 제곱 간의 차이입니다.

3. 직선 y = –3x + 5에 평행한 f(x)에 대한 접선의 수.

먼저 정답을 맞춘 사람에게는 150루블의 인센티브 상금이 지급됩니다. 댓글에 답을 적어주세요. 블로그의 첫 번째 댓글인 경우 즉시 표시되지 않고 조금 후에 표시됩니다(댓글이 작성된 시간이 기록되므로 걱정하지 마세요).

행운을 빕니다!

감사합니다, Alexander Krutitsikh.

추신: 소셜 네트워크 사이트에 대해 알려주시면 감사하겠습니다.

세르게이 니키포로프

함수의 도함수가 구간에서 상수 부호이고 함수 자체가 경계에서 연속인 경우 경계점은 증가하는 구간과 감소하는 구간 모두에 추가됩니다. 이는 증가하는 함수와 감소하는 함수의 정의와 완전히 일치합니다.

파릿 야마예프 26.10.2016 18:50

안녕하세요. 도함수가 0과 같은 지점에서 함수가 증가한다고 어떻게 (어떤 기준으로) 말할 수 있습니까? 이유를 대라. 그렇지 않으면 그것은 단지 누군가의 변덕일 뿐입니다. 어떤 정리로? 그리고 증거도요. 감사합니다.

지원하다

한 점의 도함수 값은 구간에 따른 함수의 증가와 직접적인 관련이 없습니다. 예를 들어 함수를 생각해 보세요. 함수는 모두 간격에 따라 증가합니다.

블라들렌 피사레프 02.11.2016 22:21

함수가 구간 (a;b)에서 증가하고 지점 a와 b에서 정의되고 연속적인 경우 구간 에서 증가합니다. 저것들. x=2 지점이 이 구간에 포함됩니다.

일반적으로 증가 및 감소는 세그먼트가 아닌 간격으로 간주됩니다.

그러나 x=2 지점 자체에서 함수는 국소 최소값을 갖습니다. 그리고 아이들이 증가(감소) 지점을 찾을 때 국지적 극점을 계산하지 않고 증가(감소) 간격에 들어간다는 것을 설명하는 방법.

통합 국가 시험의 첫 번째 부분이 "유치원 중간 그룹"을 대상으로한다는 점을 고려하면 그러한 뉘앙스가 너무 많을 것입니다.

이와 별도로 훌륭한 가이드인 "통합 상태 시험 해결"에 대해 모든 직원에게 많은 감사를 드립니다.

세르게이 니키포로프

증가/감소 함수의 정의부터 시작하면 간단한 설명을 얻을 수 있습니다. 다음과 같이 들린다는 점을 상기시켜 드리겠습니다. 함수의 더 큰 인수가 함수의 더 크거나 작은 값에 해당하는 경우 함수는 간격에 따라 증가/감소라고 합니다. 이 정의는 미분의 개념을 전혀 사용하지 않기 때문에 미분이 소멸되는 지점에 대한 의문이 생길 수 없습니다.

이리나 이슈마코바 20.11.2017 11:46

좋은 오후에요. 여기 댓글에서 나는 경계가 포함되어야 한다는 믿음을 봅니다. 내가 이에 동의한다고 가정 해 봅시다. 그러나 문제 7089에 대한 해결책을 살펴보십시오. 거기에서 증가하는 간격을 지정할 때 경계는 포함되지 않습니다. 그리고 이것은 대답에 영향을 미칩니다. 저것들. 작업 6429와 7089에 대한 솔루션이 서로 모순됩니다. 이 상황을 명확히 해주세요.

알렉산더 이바노프

작업 6429와 7089에는 완전히 다른 질문이 있습니다.

하나는 간격 증가에 관한 것이고, 다른 하나는 양의 도함수가 있는 간격에 관한 것입니다.

모순이 없습니다.

극값은 증가 및 감소 구간에 포함되지만 도함수가 0인 점은 도함수가 양수인 구간에 포함되지 않습니다.

AZ 28.01.2019 19:09

동료 여러분, 어느 순간 늘어나는 개념이 있어요.

(예를 들어 Fichtenholtz 참조)

그리고 x=2에서의 증가에 대한 당신의 이해는 고전적인 정의에 위배됩니다.

증가하고 감소하는 것은 하나의 과정이며 저는 이 원칙을 고수하고 싶습니다.

x=2 점을 포함하는 모든 구간에서는 함수가 증가하지 않습니다. 그러므로 주어진 점 x=2를 포함시키는 것은 특별한 과정입니다.

일반적으로 혼동을 피하기 위해 간격의 끝 부분을 포함하는 것은 별도로 논의됩니다.

알렉산더 이바노프

함수 y=f(x)는 이 구간에서 인수의 더 큰 값이 함수의 더 큰 값에 해당하는 경우 특정 구간에 걸쳐 증가한다고 합니다.

x=2 지점에서 함수는 미분 가능하고 구간 (2; 6)에서 도함수는 양수입니다. 이는 구간을 의미합니다.