논리 함수의 결합 정규형. 논리 함수의 일반 형태

표준 기준. 기본 공식은 리터럴입니다. 기본 결합(분리). 접속사(접속사) 일반형과 완료형. 정리: 0(1부터) 이외의 모든 부울 함수는 SDNF(SKNF)로 나타낼 수 있습니다. 표준 기반의 완전성. 완전한 베이스의 예: Zhegalkin 베이스, Schaeffer의 스트로크, Peirce의 화살표.

표준 기준 덧셈(합집합), 곱셈(교집합) 및 부정의 세 가지 초기 부울 대수 연산의 집합입니다.

여기에서 우리는 전화 할 것입니다 정확한 변수 x 또는 그 부정 x는 xИ를 나타냅니다. 서로 다른 변수로 정의된 여러 리터럴의 부울 교차점, 즉 형식 X = xИ 1 xИ 2의 표현. ... ... xИ л이 호출됩니다. 기본 접속사 ... 모든 변수가 달라야 한다는 요구 사항은 다음과 같은 조건을 따릅니다. 결합에 여러 개의 동일한 리터럴이 포함된 경우 결합의 가환성, 결합성 및 멱등성 덕분에 등가 수식으로 전달하여 하나의 리터럴만 남길 수 있습니다(예: x 1 x 1 = x 1). 결합에 변수와 그 부정이 포함되어 있으면 x x = 0이고 모든 공식 Y에 대해 Y x x = 0이므로 공식은 상수 0과 같습니다.

몇 가지 기본 접속사를 분리하는 것을 분리정규형 , 또는 DNF ... 예를 들어,

x 1 x 3 + x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 5.

주어진 DNF의 각 기본 접속사에서 변수의 구성이 같으면 DNF를 호출합니다. 완벽한 ... 주어진 예는 완벽하지 않은 DNF입니다. 이에 반해 공식은

x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 4

완벽한 형태가 있습니다.

부울 대수에서 덧셈과 곱셈은 대칭 연산이며 항상 덧셈을 곱셈으로 해석하고 곱셈을 덧셈으로 해석할 수 있으므로 이중 개념도 있습니다. 결합 정규형 (CNF ), 이는 기본 분리의 결합이며, 완전한 접속사 (SKNF ). 대칭 반고리에 대한 이중성 원리로부터 DNF에 대한 모든 진술은 CNF에 대한 이중 진술에 해당하며, 이는 덧셈(분리)을 곱셈으로, 곱셈(접합)을 덧셈으로, 상수 0을 상수 1로, 상수 1을 상수 0, 이중(역) 차수에 의한 차수 관계. 따라서 앞으로는 DNF만 연구하는 데 집중할 것입니다.

정리 1.4.상수 0 이외의 모든 부울 함수는 SDNF로 나타낼 수 있습니다.

◀ σ = 1이면 공식 x를 의미하고 공식 x는 σ = 0이면 공식 x를 의미하는 x σ로 합의합시다. 함수 f(y 1,..., Yn)가 벡터(t 1 ,..., Tn ) (이러한 벡터를 유닛의 구성 ). 그러면 기본 결합도 이 집합에서 값 1을 취하지만 다른 모든 n차원 부울 벡터에서는 사라집니다. 공식을 고려하십시오

여기서 합(합집합)은 주어진 함수가 값 1을 취하는 인수 값의 모든 집합(t 1,..., tn)으로 확장됩니다. 이러한 집합의 집합이 비어 있지 않다는 점에 유의하십시오. 합계에 최소한 하나의 항이 포함되도록 합니다.

공식 Φ는 고려된 함수가 1이 되는 변수의 값에 대해서만 1이 됨을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 공식 Ψ는 함수 f를 나타냅니다.

결론 1.1.표준 기반이 완성되었습니다.

◀ 실제로 함수가 상수 0이 아닌 경우 표준 기반에 대한 공식인 SDNF의 형태로 나타낼 수 있습니다. 상수 0은 예를 들어 공식 f(x 1, x 2,..., X n) = x 1 x 1로 나타낼 수 있습니다.

예 1.2.라고 불리는 3개의 변수 m(x 1, x 2, x 3)(표 1.4)의 함수를 고려하십시오. 대다수 기능 ㅇ. 이 함수는 인수의 절반 이상이 1이면 1로 평가됩니다. 따라서 종종 투표 함수라고 합니다. 이를 위한 SDNF를 구축해 보겠습니다.

표준 기반의 완전성은 다른 완전한 기능 시스템의 선택을 허용합니다. 집합 F의 완전성은 다음을 고려하여 설정할 수 있습니다. 세 가지 표준 비즈니스 기능 각각이 F에 대한 공식으로 표현될 수 있다고 가정합니다. 그런 다음 정리 1.3에 의해 집합 F가 완성됩니다.

예 1.3.덧셈 모듈로 2, 곱셈 및 상수 1의 연산 세트를 호출합니다. 제갈킨 기초 ... 모듈로 2 덧셈과 곱셈은 링 Z2의 기본 연산이며, 도움으로 구성된 표현식은 링 Z2에 대한 다항식입니다. 이 경우 상수 1은 자유 멤버를 작성하는 데 필요합니다. xx = x이므로 다항식의 모든 인수는 차수가 1입니다. 따라서 다항식을 작성할 때 차수의 개념 없이 할 수 있습니다. Zhegalkin 기반 공식의 예:

xy⊕x⊕y, x⊕1, xyz⊕xz⊕x⊕y⊕1.

이러한 공식을 Zhegalkin 다항식이라고 합니다. 사실, Zhegalkin 다항식은 링 Z2에 대한 다항식입니다.

표준 기반의 덧셈과 부정 연산을 나타내는 Zhegalkin 기반에 대한 공식을 구성하는 것은 어렵지 않습니다(두 개의 기반의 곱셈은 일반적임).

x + y = x⊕y⊕xy, x = x⊕1.

따라서 Zhegalkin 기초는 완전한 세트입니다.
모든 부울 함수에 대해 Zhegalkin 다항식이 고유하게 결정됨을 나타낼 수 있습니다.

(더 정확하게는 용어의 순서까지). 소수의 변수에 대한 Zhegalkin 다항식의 계수는 정의되지 않은 계수 방법으로 찾을 수 있습니다.

예 1.4.단일 함수 집합인 Schaeffer 스트로크 *를 고려하십시오. 이 세트는 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있는 ID로 완성됩니다.

x = x | x, xy = x | y = (x | y) | (x | y), x + y = x | y = (x | x) | (y | y).

예 1.5.피어싱 화살표라는 단일 기능으로 구성된 기초도 완성됩니다. 이에 대한 검증은 Schaeffer 뇌졸중의 경우와 유사합니다. 그러나 이러한 결론은 대칭 반고리에 대한 이중성 원리에 기초하여 이루어질 수도 있습니다.

* Schaeffer의 스트로크는 이진법이지만 연관 연산이 아닙니다. 따라서 중위어 형식을 사용할 때 주의해야 합니다. 결과는 작업이 수행되는 순서에 따라 달라집니다. 이 경우 괄호를 사용하여 작업 순서를 명시적으로 나타내는 것이 좋습니다(예: write (x | y) | z가 아니라 x | 와 | z, 두 형식이 동일하지만.

결합 정규형은 자동 정리 증명에 편리합니다. 모든 부울 공식을 CNF로 변환할 수 있습니다. 이를 위해 이중 부정의 법칙, 드 모르간의 법칙, 분포를 사용할 수 있습니다.

대학 유튜브

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방식 KNF에서:

¬ A ∧ (B ∨ C), (\ displaystyle \ 부정 A \ 웨지 (B \ vee C),) (A ∨ B) ∧ (¬ B ∨ C ∨ ¬ D) ∧ (D ∨ ¬ E), (\ displaystyle (A \ vee B) \ wedge (\ 부정 B \ vee C \ vee \ 부정 D) \ wedge ( D \ ve \ 부정 E),) ㄱ ∧ 나. (\ displaystyle A \ 웨지 B.)

방식 KNF에 없음:

¬ (B ∨ C), (\ displaystyle \ 부정 (B \ vee C),) (A ∧ B) ∨ C, (\ displaystyle (A \ wedge B) \ vee C,) A ∧ (B ∨ (D ∧ E)). (\ displaystyle A \ 웨지 (B \ vee (D \ 웨지 E)).)

그러나 CNF에 없는 이 3개의 공식은 CNF의 다음 공식과 동일합니다.

¬ B ∧ ¬ C, (\ displaystyle \ 부정 B \ 쐐기 \ 부정 C,) (A ∨ C) ∧ (B ∨ C), (\ displaystyle (A \ vee C) \ wedge (B \ vee C),) A ∧ (B ∨ D) ∧ (B ∨ E). (\ displaystyle A \ wedge (B \ vee D) \ wedge (B \ vee E).)

CNF 구성

CNF 구성 알고리즘

1) 공식에 포함된 모든 논리 연산을 제거하고 주요 연산인 결합, 분리, 부정으로 대체합니다. 이는 동등한 공식을 사용하여 수행할 수 있습니다.

A → B = ¬ A ∨ B, (\ displaystyle A \ rightarrow B = \ 부정 A \ vee B,) A ↔ B = (¬ A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬ B). (\ displaystyle A \ leftrightarrow B = (\ 부정 A \ vee B) \ 쐐기 (A \ vee \ 부정 B).)

2) 전체 표현식을 참조하는 부정 기호를 다음 공식을 기반으로 하는 개별 변수 설명을 참조하는 부정 기호로 교체합니다.

¬ (A ∨ B) = ¬ A ∧ ¬ B, (\ displaystyle \ 네거티브 (A \ vee B) = \ 네거티브 A \ 웨지 \ 네거티브 B,) ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B. (\ displaystyle \ 네거티브 (A \ 웨지 B) = \ 네거 A \ ve \ 네거 B.)

3) 이중 부정 기호를 제거하십시오.

4) 필요한 경우, 분포의 성질과 흡수식의 결합과 분리의 연산에 적용한다.

CNF 구축의 예

CNF에 공식을 가져오자

F = (X → Y) ∧ ((¬ Y → Z) → ¬ X). (\ displaystyle F = (X \ 오른쪽 화살표 Y) \ 쐐기 ((\ 음 Y \ 오른쪽 화살표 Z) \ 오른쪽 화살표 \ 음 X).)

공식을 바꿔보자 F(\ 표시 스타일 F)포함하지 않는 공식으로 → (\ displaystyle \ 오른쪽 화살표):

F = (¬ X ∨ Y) ∧ (¬ (¬ Y → Z) ∨ ¬ X) = (¬ X ∨ Y) ∧ (¬ (¬ ¬ Y ∨ Z) ∨ ¬ X). (\ displaystyle F = (\ 음수 X \ vee Y) \ 쐐기 (\ 음수 (\ 음수 Y \ 오른쪽 화살표 Z) \ vee \ 음수 X) = (\ 음수 X \ vee Y) \ 쐐기 (\ 음수 (\ 음수 \ 음 Y \ vee Z) \ vee \ 음 X).)

결과 공식에서 부정을 변수로 옮기고 이중 부정을 줄입니다.

F = (¬ X ∨ Y) ∧ ((¬ Y ∧ ¬ Z) ∨ ¬ X). (\ displaystyle F = (\ 음수 X \ vee Y) \ 쐐기 ((\ 음수 Y \ 쐐기 \ 음수 Z) \ vee \ 음수 X).)

예를 들어, 다음 수식은 2-CNF로 작성됩니다.

(A ∨ B) ∧ (¬ B ∨ C) ∧ (B ∨ ¬ C). (\ displaystyle (A \ lor B) \ 땅 (\ 부정 B \ lor C) \ 땅 (B \ lor \ 부정 C).)

일반형 논리 공식에는 기본이 아닌 공식의 함축, 등가 및 부정의 기호가 포함되어 있지 않습니다.

일반 형식은 두 가지 형식으로 제공됩니다.

결합 정규형(CNF)- 예를 들어 $ \ 왼쪽 (A \ vee \ overline (B) \ vee C \ right) \ wedge \ left (A \ vee C \ right) $와 같은 여러 분리의 결합;

이접정규형(DNF)- 여러 접속사의 분리, 예를 들어 $ \ 왼쪽 (A \ wedge \ overline (B) \ wedge C \ right) \ vee \ left (B \ wedge C \ right) $.

SKNF

완전 결합 정규형(SKNF) 는 세 가지 조건을 충족하는 CNF입니다.

동일한 기본 분리를 포함하지 않습니다.

어떤 절도 동일한 변수를 포함하지 않습니다.

각 기본 분리는 주어진 CNF의 각 변수를 포함합니다.

동일하게 참이 아닌 부울 공식은 SKNF로 나타낼 수 있습니다.

진리표에 따른 SKNF 구성 규칙

함수가 0인 각 변수 세트에 대해 합계가 기록되고 값이 1인 변수는 부정으로 사용됩니다.

SDNF

완전 분리 정규형(SDNF) 는 다음 세 가지 조건을 충족하는 DNF입니다.

동일한 기본 접속사를 포함하지 않습니다.

어떤 접속사도 동일한 변수를 포함하지 않습니다.

또한 각 기본 접속사는 동일한 순서로 주어진 DNF의 각 변수를 포함합니다.

동일하게 거짓이 아닌 모든 부울 공식은 SDNF에서 고유한 방식으로 표현될 수 있습니다.

진리표에 따른 SDNF 구성 규칙

함수가 1인 각 변수 세트에 대해 곱이 작성되고 값이 0인 변수는 부정으로 사용됩니다.

SKNF 및 SDNF 찾기의 예

실시예 1

진리표에 따라 논리 함수를 작성하십시오.

그림 1.

해결책:

SDNF를 구성하는 규칙을 사용합시다.

그림 2.

우리는 SDNF를 얻습니다:

SKNF를 구성하는 규칙을 사용합시다.

단순 분리(포함 분리) 또는 분리(English disjunct)는 하나 이상의 변수 또는 그 부정의 분리이며 각 변수는 한 번만 발생합니다.

단순 분리

완벽한각 변수(또는 그 부정)가 정확히 한 번 나타나는 경우;
단조로운가변 음수를 포함하지 않는 경우.

결합 정규형, CNF(eng. conjunctive normal form, CNF) 부울 함수가 몇 개의 간단한 절의 접합 형태를 갖는 정규형.

CNF 예:$ f (x, y) = (x \ lor y) \ 토지 (y \ lor \ 음수 (z)) $

SKNF

완전 결합 정규형 SKNF(완전 결합 정규형, PCNF)는 다음 조건을 충족하는 CNF입니다.

동일한 단순 분리가 없습니다.
모든 간단한 분리가 완료되었습니다.

SKNF 예:$ f (x, y, z) = (x \ lor \ 음수 (y) \ lor z) \ 토지 (x \ lor y \ lor \ 음수 (z)) $

정리:항등식과 같지 않은 모든 부울 함수 $ f (\ vec (x)) $에 대해 이를 정의하는 SKNF가 있습니다.

증거:$ \ neg (f) (\ vec x) $ 함수의 역함수는 $ f (\ vec x) $가 0인 튜플에서 1과 같기 때문에 $ \ neg (f)에 대한 SDNF는 (\ vec x) $는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$ \ 부정 (f) (\ vec x) = \ bigvee \ limits_ (f (x ^ (\ sigma_ (1)), x ^ (\ sigma_ (2)), ..., x ^ (\ sigma_ (n ))) = 0) (x_ (1) ^ (\ 시그마_ (1)) \ 웨지 x_ (2) ^ (\ 시그마_ (2)) \ 웨지 ... \ 웨지 x_ (n) ^ (\ 시그마_ (n) ))) $, 여기서 $ \ sigma_ (i) $는 $ x_ (i) $에 대한 부정의 유무를 나타냅니다.

식의 좌변과 우변의 역수를 구해 봅시다.

$ f (\ vec x) = \ 부정 ((\ bigvee \ limits_ (f (x ^ (\ sigma_ (1))), x ^ (\ sigma_ (2)), ..., x ^ (\ sigma_ (n ))) = 0) (x_ (1) ^ (\ sigma_ (1)) \ 쐐기 x_ (2) ^ (\ sigma_ (2)) \ 쐐기 ... \ 쐐기 x_ (n) ^ (\ sigma_ (n) ))))) $

오른쪽에서 얻은 식에 드모르간 법칙을 두 번 적용하면 $ f (\ vec x) = \ bigwedge \ limits_ (f (x ^ (\ sigma_1), x ^ (\ sigma_2), \ dots, x ^ (\ sigma_n)) = 0) $ $ (\ 음수 (x_1 ^ (\ sigma_1)) \ vee \ 음수 (x_2 ^ (\ sigma_2)) \ vee \ 점 \ vee \ 음수 (x_n ^ (\ sigma_n)) ) $

마지막 표현은 SKNF입니다. SKNF는 동일하게 0이 아닌 함수에 대해 구성될 수 있는 SDNF에서 얻어지기 때문에 정리가 증명됩니다.

진리표에 따라 SKNF를 구성하는 알고리즘

진리표에서 우리는 함수의 값이 $ 0 $와 같은 변수 세트를 표시합니다.
표시된 각 집합에 대해 다음 규칙에 따라 모든 변수의 분리를 작성합니다. 일부 변수의 값이 $ 0 $이면 변수 자체를 분리에 포함하고 그렇지 않으면 부정을 포함합니다.
우리는 결합 연산에 의해 모든 결과 분리를 연결합니다.

중앙값에 대한 SKNF 구성의 예

하나). 진리표에서 우리는 함수의 값이 $ 0 $와 같은 변수 세트를 표시합니다.

NS	와이	지	$ \ 랭글 x, y, z \ 랭글 $
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

2). 표시된 각 집합에 대해 다음 규칙에 따라 모든 변수의 결합을 작성합니다. 일부 변수의 값이 $ 0 $이면 변수 자체를 분리에 포함하고 그렇지 않으면 부정을 포함합니다.

NS	와이	지	$ \ 랭글 x, y, z \ 랭글 $
0	0	0	0	$ (x \ lor y \ lor z) $
0	0	1	0	$ (x \ lor y \ lor \ 음수(z)) $
0	1	0	0	$ (x \ lor \ 음수 (y) \ lor z) $
0	1	1	1
1	0	0	0	$ (\ 음수 (x) \ lor y \ lor z) $
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

삼). 우리는 결합 연산으로 모든 결과 분리를 연결합니다.

$ \ langle x, y, z \ rangle = (x \ lor y \ lor z) \ 토지 (\ 음 (x) \ lor y \ lor z) \ 토지 (x \ lor \ 음 (y) \ lor z) \ 토지 (x \ lor y \ lor \ 음(z)) $

일부 기능에 대한 SKNF 예

피어스의 화살: $ x \ 아래쪽 화살표 y = (\ 음(x) \ lor(y)) \ 땅((x) \ lor \ 음(y)) \ 땅(\ 음(x) \ lor \ 음(y) ) $

배타적 또는: $ x \ oplus y \ oplus z = (\ 부정 (x) \ lor \ 부정 (y) \ lor z) \ 토지 (\ 부정 (x) \ lor y \ lor \ 부정 (z)) \ 토지 (x \ lor \ 음수 (y) \ lor \ 음수 (z)) \ 토지 (x \ lor y \ lor z) $

예. CNF 공식 찾기

~ ~

다음 알고리즘을 사용하여 SDNF의 완전 분리 정규 형식을 구성할 수 있습니다.

1. = 1. DNF 알고리즘

2. = 2. DNF 알고리즘

3. = 3.DNF 알고리즘

4. = 4. DNF 알고리즘

5. 동일하게 잘못된 용어, 즉 형식의 용어를 삭제합니다.

6. 누락된 변수로 나머지 항 채우기

7. 4단계를 반복합니다.

예. SDNF 공식을 찾으십시오.

SKNF를 구성하려면 다음 구성표를 사용할 수 있습니다.

예. SDNF 공식을 찾으십시오.

SDNF와 SKNF는 공식에 의해 고유하게 결정되므로 공식의 진리표에서 구성할 수 있다는 것이 알려져 있습니다(정리 2.11, 2.12).

진리표에 따라 SDNF와 SKNF를 구성하는 방식은 다음과 같습니다. ~ :

			~
			1 0 1 0 1 1 0 1	SDNF; SKNF.

2.2. 작업.

2.2.1 다음은 논리식입니다. Boole의 논리 법칙을 사용하여 변형의 표현을 최대한 단순화하십시오. 그런 다음 진리표를 사용하여 단순화된 표현을 원본과 비교합니다.

2.2.2. f 1 과 f 2 를 SDNF로 줄여서 동등성에 대한 질문을 명확히 하십시오(표 1).

2.2.3. 일반화 및 부울 원리에 따라 f 3 에 대한 이중 함수를 찾습니다(표 1). 결과를 비교합니다.

№	f 1	f 2	f 3

2.3. 테스트 질문.

2.3.1. 진술의 정의를 제공하십시오.

2.3.2. 발화에 대한 기본 작업을 나열합니다.

2.3.3. 진리표 란 무엇입니까?

2.3.4. 다음 공식에 대한 진리표를 만듭니다.

~ ~ ~ ;

2.3.5. 작업 순서에 대한 규칙을 고려하여 수식에서 "추가" 괄호와 "" 기호를 생략합니다.

;

2.3.6. 등가 변환을 사용하여 공식의 동일한 진리를 증명합니다.

2.3.7. 이중 공식 찾기:

)

2.3.8. 다음 공식을 완벽한 DNF(SDNF) 형식으로 가져옵니다.

2.3.9. 다음 공식을 완벽한 CNF(SKNF) 형식으로 가져오세요.

실험실 작업 3번

주제:“Boolean 함수의 최소화. 논리"

표적:불리언 함수를 최소화하는 방법으로 작업하는 실용적인 기술 습득.

3.1. 이론적 정보.

최소한의 형태

그림에서 볼 수 있듯이 모든 부울 함수는 완전 정규형(접합 또는 접합)으로 표현할 수 있습니다. 게다가, 그러한 표현은 함수의 테이블 정의에서 분석적 표현으로의 전환의 첫 번째 단계입니다. 이하에서는 이원법칙에 근거하여 접속형에 대응하는 결과를 구한다.

Boolean 기반으로 논리 회로를 합성하는 표준 문제는 Boolean 함수를 최소화하는 것으로 축소됩니다. 가장 적은 수의 문자(변수와 그 부정)를 포함하는 이접적 정규 형식으로 표현합니다. 이러한 형태를 최소형이라고 합니다. 표준 합성에서는 신호와 신호의 반전이 모두 회로의 입력에 공급된다고 가정합니다.

결합 정규 형태로 제시된 공식은 접착 작업과 흡수 작업을 여러 번 적용하여 단순화되었습니다. 여기에서 는 부울 대수의 모든 공식으로 이해될 수 있습니다. 결과적으로 우리는 더 이상의 변환이 이미 불가능할 때 그러한 분석적 표현에 도달합니다. 우리는 막다른 형태를 얻습니다.

막다른 형태들 중에는 최소한의 이접형이 있으며, 고유하지 않을 수 있습니다. 주어진 막다른 모양이 최소인지 확인하려면 모든 막힌 모양을 찾아 포함된 문자 수로 비교해야 합니다.

예를 들어, 함수를 완전 정규 분리 형태로 제공한다고 가정합니다.

구성원을 그룹화하고 접착 작업을 적용하면 있습니다.

다른 그룹화 방법으로 다음을 얻습니다.

두 막다른 형태 모두 최소가 아닙니다. 최소 모양을 얻으려면 원래 공식에서 한 항을 반복하도록 추측해야 합니다(이는 항상 수행될 수 있기 때문에). 첫 번째 경우에는 그러한 구성원이 될 수 있습니다. 그 다음에 . 구성원을 추가하면 다음을 얻을 수 있습니다. 가능한 모든 옵션을 살펴본 후 마지막 두 가지 양식이 최소인지 확인할 수 있습니다.

이 수준에서 수식으로 작업하는 것은 어둠 속에서 방황하는 것과 같습니다. 이 목적을 위해 특별히 설계된 일부 그래픽 및 분석 표현과 기호를 사용하면 최소한의 형태를 찾는 과정이 보다 시각적이고 목적적입니다.

다차원 큐브

-차원 큐브의 각 꼭짓점은 단위의 구성 요소와 연관될 수 있습니다. 따라서 표시된 꼭짓점의 하위 집합은 완전 분리 정규 형식의 변수의 부울 함수의 -차원 큐브에 대한 매핑입니다. 그림에서. 3.1은 섹션 3.7의 함수에 대한 이러한 매핑을 보여줍니다.

그림 3.1 SDNF에서 제시하는 함수의 3차원 큐브에 표시

임의의 이접적 정규 형식으로 제시된 변수의 함수를 표시하려면 해당 최소항과 -차원 입방체의 요소 사이의 대응 관계를 설정해야 합니다.

(-1) 순위의 Minitherm은 - 순위의 두 개의 최소 항(단위의 구성 요소)을 붙인 결과로 간주될 수 있습니다. 차원 정육면체에서 이것은 이 꼭짓점을 연결하는 좌표 값만 다른 두 꼭짓점을 가장자리로 대체하는 것에 해당합니다(가장자리는 입사 꼭짓점을 덮는다고 함). 따라서 (-1) 차의 최소항은 -차원 정육면체의 모서리에 해당합니다. 유사하게, (-2) 차의 최소항의 대응은 각각 4개의 꼭짓점(및 4개의 모서리)을 포함하는 -차원 정육면체의 면에 대해 설정됩니다.

차원을 특징으로 하는 -차원 큐브의 요소를 -큐브라고 합니다. 따라서 정점은 0큐브, 모서리는 1큐브, 면은 2큐브 등입니다. 위의 추론을 요약하면 변수의 함수에 대한 이접정규형에서 () 번째 순위의 최소항이 a -cube로 표시되고 각 -cube는 다음과 같은 가장 낮은 차원의 모든 -cube를 포함한다고 가정할 수 있습니다. 정점과 연결됩니다. 예를 들어, Fig. 3.2 세 변수의 함수 매핑이 제공됩니다. 여기에서 최소항은 1-cube()에 해당하며 최소항은 2-cube()로 표시됩니다.

그림 3.2 기능 적용 범위

따라서 모든 이접법칙 형식은 단위(0-큐브)의 구성 요소에 해당하는 모든 정점을 덮는 -큐브 세트에 의해 -차원 큐브에 표시됩니다. 그 반대도 마찬가지입니다. -cubes의 일부 컬렉션이 함수의 단위 값에 해당하는 모든 꼭짓점 집합을 포함하는 경우 이러한 -cubes에 해당하는 최소항의 분리는 이 함수를 결합적 정규 형식으로 표현한 것입니다. . 그런 -큐브 세트(또는 대응하는 최소항)가 함수의 적용 범위를 형성한다고 합니다.

최소한의 형태를 추구하는 것은 그러한 덮개를 찾는 것으로 직관적으로 이해되며, 큐브의 수는 더 적고 그 차원은 더 커질 것입니다. 최소 모양에 해당하는 적용 범위를 최소 적용 범위라고 합니다. 예를 들어, 그림 1의 기능 범위에 대해 3.3은 최소한의 모양과 일치합니다. 그리고 .

쌀. 3.3 기능 커버.

왼쪽 – ; 오른쪽에 –

-차원 큐브에 함수를 표시하는 것은 명확하고 간단합니다. 그림과 같이 4차원 정육면체를 그릴 수 있습니다. 3.4, 여기서 4개의 변수의 기능과 식에 해당하는 최소 범위 ... 이 방법을 사용하려면 모든 장점이 손실되는 복잡한 구조가 필요합니다.

쌀. 3.4 기능 표시 4차원 큐브에

카르노 지도

부울 함수를 그래프로 표시하는 또 다른 방법은 다음을 사용합니다. 카르노 지도특별히 구성된 조회 테이블입니다. 테이블의 열과 행은 두 개 이하의 변수에 대한 가능한 모든 값 집합에 해당하며, 이러한 집합은 각 후속 집합이 이전 집합과 변수 중 하나의 값만 다른 순서로 정렬됩니다. . 이로 인해 테이블의 가로 및 세로로 인접한 셀은 하나의 변수 값만 다릅니다. 테이블의 가장자리에 있는 셀도 인접한 것으로 간주되며 이 속성이 있습니다. 그림에서. 3.5는 2개, 3개, 4개 변수에 대한 Karnaugh 차트를 보여줍니다.

쌀. 3.5 2개, 3개, 4개 변수에 대한 Karnot 맵

일반 진리표에서와 같이 함수가 값 1을 취하는 집합의 셀은 1로 채워집니다(0은 일반적으로 적합하지 않으며 빈 셀에 해당함). 예를 들어 그림에서 3.6, 하지만는 기능에 대한 Karnot 맵을 보여주며, 4차원 큐브에 대한 매핑은 그림 1에 나와 있습니다. 3.4. 단순화를 위해 변수의 값 1에 해당하는 행과 열은 해당 변수를 지정하는 중괄호로 묶습니다.

쌀. 3.6 Karnot 차트에 4개 변수의 함수 표시

(a) 및 최소 보장 (b)

에 대한 함수 매핑 사이 NS-차원 큐브와 Karnot 맵에는 일대일 대응이 있습니다. 카르노 지도에서 NS-cube는 행, 열, 정사각형 또는 직사각형에 위치한 2개의 인접 셀 세트에 해당합니다(지도의 반대쪽 가장자리의 근접성을 고려함). 따라서 위의 모든 조항(p. 다차원 큐브)는 Karnot 맵에 유효합니다. 따라서 그림에서. 3.6, NS최소 분리 형태에 해당하는 맵 단위의 적용 범위가 표시됩니다. 고려중인 기능.

Karnot 카드에서 최소 용어 읽기는 간단한 규칙에 따라 수행됩니다. 형성하는 세포 NS-큐브, 미니터 제공 (n – s)-위를 포함하는 순위 (n – s)이것에 동일한 값을 저장하는 변수 NS-cube, 여기서 값 1은 변수 자체에 해당하고 값 0은 해당 부정에 해당합니다. 값을 저장하지 않는 변수 NS-큐브, 최소 기간에는 결석합니다. 다른 읽기 방식은 이접적 정규 형식(가장 오른쪽이 최소)에서 함수의 다른 표현으로 이어집니다(그림 3.7).

Karnaugh 지도를 사용하려면 다음 매핑보다 더 간단한 구성이 필요합니다. NS-차원 큐브, 특히 4개 변수의 경우. 5개 변수의 함수를 표시하기 위해 4개 변수에 대한 2개의 Karnot 맵을 사용하고 6개 변수의 함수에 대해 4개의 이러한 맵을 사용합니다. 변수 수가 추가로 증가하면 Karnot 맵을 실제로 사용할 수 없게 됩니다.

문학에서 알려진 바이치 지도변수 값 집합의 순서만 다르며 Karnot 맵과 동일한 속성을 갖습니다.

큐브 컴플렉스

변수가 많은 그래픽 방법의 불일치는 Boolean 함수를 나타내는 다양한 분석 방법으로 보완됩니다. 그러한 표현 중 하나는 큐브의 복합체특별히 설계된 기호와 함께 다차원 논리 공간의 용어를 사용합니다.

). 1의 구성 요소에 해당하는 0-큐브는 함수가 1과 같은 변수 값 세트로 표시됩니다. 분명히 기록에

쌀. 3.8 세 변수의 함수 세제곱의 복소수( 하지만) 및 그 상징적 표현( NS)

큐브 형태의 복합체 최대 기능 범위... 그 모든 것을 제외하고 NS- 가장 높은 차원의 큐브로 덮인 큐브는 막다른 형태에 해당하는 덮개를 얻습니다. 따라서 고려 중인 예(그림 3.8)의 경우 막다른 덮개가 있습니다.

기능에 해당하는 ... 이 경우 이 범위도 최소화됩니다.

두 개의 부울 함수에 대해 분리 연산은 큐브 복소수의 합집합에 해당하고 결합 연산은 입방체 복소수의 교집합에 해당합니다. 함수의 부정은 입방체의 복소수의 보수에 해당합니다. 즉, 함수가 값 0을 취하는 모든 정점에 의해 결정됩니다. 따라서 대수 사이에는 일대일 대응(동형)이 있습니다. 부울 함수 및 큐브의 복소수를 나타내는 부울 세트.

정육면체의 복잡한 형태로 함수의 표현은 덜 명확하지만 가장 중요한 장점은 변수의 수에 대한 제한을 제거하고 컴퓨터를 사용할 때 정보를 쉽게 인코딩할 수 있다는 것입니다.

부울 함수 최소화

문제의 공식화. Boolean 기반으로 회로를 최소화하는 것은 최소 적용 범위에 해당하는 최소 disjunctive 형태를 찾는 것으로 축소됩니다. 일반형에 포함된 총 글자수는 표지의 가격으로 표현 , 여기서 n 변수에서 주어진 함수의 덮개를 형성하는 - 큐브의 수입니다. 최소 적용 범위는 가격의 가장 낮은 값이 특징입니다.

일반적으로 최소화 문제는 두 단계로 해결됩니다. 먼저, 최대 차원의 모든 큐브를 포함하지만 이 적용 범위의 큐브로 덮인 큐브는 포함하지 않는 축소된 적용 범위를 찾습니다. 해당하는 이접정규형을 약어라고 하고, 그 최소항을 단순 함축이라고 합니다. 이 기능의 경우 컷 적용 범위가 유일한 것이지만 일부 큐브가 다른 큐브 모음에 의해 덮여 있기 때문에 중복될 수 있습니다.

두 번째 단계에서는 축소형에서 막다른 이접정규형으로의 전환이 수행되며 이 중에서 최소형이 선택됩니다. 막다른 형태는 축약된 적용 범위에서 모든 중복 큐브를 제외하여 형성되며, 이 없이 나머지 큐브 세트는 여전히 주어진 기능의 적용 범위를 형성하지만 큐브 중 하나를 추가로 제외하면 더 이상 모든 세트를 포함하지 않습니다. 함수의 단위 값에 해당하는 정점, 즉, 적용 범위가 중단됩니다 ...

다른 큐브에 의해 포함되지 않는 이 함수의 정점을 포함하는 축소된 적용 범위 큐브는 중복될 수 없으며 항상 최소 적용 범위에 포함됩니다. 이러한 정육면체는 해당 함의와 마찬가지로 극단(필수 함축)이라고 하며, 포함하는 꼭짓점을 취소된 꼭짓점이라고 합니다. 극단 집합이 적용 범위의 핵심을 형성하므로 축소된 적용 범위에서 최소 적용 범위로 이동할 때 우선 모든 극단값을 선택해야 합니다. 극값 세트가 덮개를 형성하지 않으면 축소 된 덮개의 큐브로 덮도록 보완됩니다.

이러한 정의는 그림 1에 나와 있습니다. 3.9, 여기서 감소된 적용 범위(그림 3.9a 참조, ) 최소 적용 범위(그림 3.9b)와 (그림 3.9, b 참조)는 다음과 같이 표현됩니다.