삼각형이 같다는 표시는 무엇입니까? 삼각형의 평등의 첫 번째 신호

동일한 직선에 속하지 않는 세 점을 연결하는 세 개의 선분으로 이루어진 기하학적 도형입니다.

삼각형의 변은 삼각형의 꼭지점에서 세 개의 각을 이룹니다. 의역하자면, 삼각형세 개의 각을 가진 다각형이다 .

실질적인 중요성 삼각형의 평등의 징후다음과 같이 요약됩니다. 문구에 따르면 삼각형은 같다, 일치하도록 서로 중첩하는 것이 가능한 경우; 그러나 삼각형 중첩을 구현하는 것은 때로는 어려울 수도 있고 때로는 불가능할 수도 있습니다.

삼각형의 동일성 테스트를 통해 개별 기본 구성 요소(변 및 각도)를 찾아 비교하여 삼각형의 겹침을 대체할 수 있으므로 삼각형의 동일성을 정당화할 수 있습니다.

3. 세 면 모두:

그들은 또한 강조한다 네 번째 기호, 이는 이전 세 가지만큼 학교 수학 과정에서 광범위하게 다루어지지 않습니다. 이는 다음과 같이 공식화됩니다:

첫 번째 삼각형의 두 변이 각각 두 번째 삼각형의 두 변과 같고 첫 번째 삼각형에서 이들 변 중 더 큰 변의 반대각이 두 번째 삼각형의 해당 변의 반대각과 같으면 다음은 다음과 같습니다. 삼각형은 같다.

삼각형의 평등의 징후

대응하는 변의 크기가 같은 삼각형을 합동이라고 합니다.

정리(삼각형의 평등의 첫 번째 기호).
한 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도가 각각 다른 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도와 같으면, 그러한 삼각형은 합동입니다.

정리(삼각형의 동등성에 대한 두 번째 기준).
한 삼각형의 한 변과 두 인접한 각이 각각 다른 삼각형의 한 변과 두 인접한 각과 같으면 그러한 삼각형은 합동입니다.

정리(삼각형의 동등성에 대한 세 번째 기준).
한 삼각형의 세 변이 각각 다른 삼각형의 세 변과 같으면 해당 삼각형은 합동입니다.

삼각형의 유사성 징후

각도가 동일하고 비슷한 변이 비례하는 삼각형을 유사하다고 합니다. , 유사성 계수는 ​​어디에 있습니까?

나는 삼각형의 유사성을 표시합니다.한 삼각형의 두 각도가 각각 다른 삼각형의 두 각도와 같으면 이 삼각형은 유사합니다.

II 삼각형의 유사성 기호입니다.한 삼각형의 세 변이 다른 삼각형의 세 변에 비례하면 두 삼각형은 닮음입니다.

III 삼각형의 유사성 기호.한 삼각형의 두 변이 다른 삼각형의 두 변에 비례하고 두 변 사이의 각도가 같으면 두 삼각형은 닮음입니다.

1) 양면과 그 사이의 각도

증거:

삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1의 각도 A는 각도 A 1, AB는 A 1 B 1, AC는 A 1 C 1과 같습니다. 삼각형이 합동임을 증명해보자.

삼각형 ABC를 부과하자 (또는 대칭)각도 A가 각도 A 1 과 정렬되도록 삼각형 A 1 B 1 C 1 위에 놓습니다. AB=A 1 B 1이고 AC=A 1 C 1이므로 B는 B 1과 일치하고 C는 C 1과 일치합니다. 이는 삼각형 A 1 B 1 C 1이 삼각형 ABC와 일치하므로 다음과 같습니다. 삼각형 ABC와 같습니다.

정리가 입증되었습니다.

2) 측면과 인접한 모서리를 따라

증거:

ABC와 A 1 B 1 C 1은 AB가 A 1 B 1과 같고 각도 A가 각도 A 1과 같고 각도 B가 각도 B 1과 같은 두 개의 삼각형이라고 가정합니다. 그들이 동등하다는 것을 증명해 봅시다.

삼각형 ABC를 부과하자 (또는 대칭) AB가 A 1 B 1과 일치하도록 삼각형 A 1 B 1 C 1 위에 올려 놓습니다. ∠BAC =∠B 1 A 1 C 1 및 ∠ABC=∠A 1 B 1 C 1이므로 광선 AC는 A 1과 일치합니다. C 1 및 BC는 B 1 C 1과 일치합니다. 정점 C는 C 1과 일치합니다. 이는 삼각형 A 1 B 1 C 1이 삼각형 ABC와 일치하므로 삼각형 ABC와 동일하다는 것을 의미합니다.

정리가 입증되었습니다.

3) 3면에

증거 :

AB = A 1 B 1, BC = B l C 1 CA = C 1 A 1인 삼각형 ABC와 A l B l C 1을 생각해 보세요. ΔABC = ΔA 1 B 1 C 1임을 증명해 보겠습니다.

삼각형 ABC를 적용해보자 (또는 대칭)꼭지점 A는 꼭지점 A 1 과 정렬되고, 꼭지점 B는 꼭지점 B 1 과 정렬되며, 꼭지점 C와 C 1 은 직선 A 1 B 1 의 반대편에 있도록 삼각형 A 1 B 1 C 1 로 변환됩니다. 3가지 경우를 고려해 보겠습니다.

1) 광선 C 1 C는 각도 A 1 C 1 B 1 내부를 통과합니다. 정리의 조건에 따라 변 AC와 A 1 C 1, BC 및 B 1 C 1이 동일하므로 삼각형 A 1 C 1 C 및 B 1 C 1 C는 이등변입니다. 이등변삼각형의 각도 성질에 관한 정리에 따르면 ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4이므로 ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 입니다.

2) Ray C 1 C는 이 각도의 변 중 하나와 일치합니다. A는 CC 1에 거짓말을 하고 있습니다. AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, C 1 BC - 이등변, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1.

3) 광선 C 1 C는 각도 A 1 C 1 B 1 외부를 통과합니다. AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, 이는 ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1을 의미합니다.

따라서 AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, ∠C=∠C 1입니다. 따라서 삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1은 다음과 같습니다.
삼각형의 동등성에 대한 첫 번째 기준.

정리가 입증되었습니다.

2. 세그먼트를 n개의 동일한 부분으로 나눕니다.

A를 통해 광선을 그리고 그 위에 n개의 동일한 세그먼트를 배치합니다. B와 A n을 통과하는 직선을 그리고 점 A 1 - An -1을 통과하는 평행선을 그립니다. AB와의 교차점을 표시해 보겠습니다. 탈레스의 정리에 따라 동일한 n개의 세그먼트를 얻습니다.

탈레스의 정리. 여러 개의 동일한 세그먼트가 두 선 중 하나에 연속적으로 배치되고 평행선이 두 번째 선과 교차하는 끝을 통해 그려지면 두 번째 선에서 동일한 세그먼트가 잘립니다.

증거. AB=CD

1. 점 A와 C를 지나 각도의 반대편에 평행한 직선을 그립니다. 두 개의 평행사변형 AB 2 B 1 A 1과 CD 2 D 1 C 1을 얻습니다. 평행사변형의 속성에 따르면: AB ​​2 = A 1 B 1 및 CD 2 = C 1 D 1.

2. ΔABB 2 =ΔCDD 2 ABB 2 CDD 2 BAB 2 DCD 2 이며 삼각형의 동일성에 대한 두 번째 기준에 따라 동일합니다.
정리에 따르면 AB = CD,
대응하는 것으로, 평행한 BB 1과 DD 1 직선 BD의 교차점에 형성됩니다.

3. 마찬가지로, 각 각도는 할선의 교차점에서 꼭지점과의 각도와 동일한 것으로 나타납니다. 합동 삼각형의 해당 요소인 AB 2 = CD 2.

4. A 1 B 1 = AB 2 = CD 2 = C 1 D 1

포드고르니 맥심

연구 논문 자료는 7학년 기하학 동아리에 사용될 수 있습니다.

다운로드:

시사:

로스토프나도누시의 MBU DO "어린이와 청소년의 창의성의 궁전"

젊은 연구자를 위한 돈 아카데미(Don Academy of Sciences for Young Researchs)의 이름을 따서 명명되었습니다. A. Zhdanova

수학

주제: "삼각형의 평등에 관한 비표준 정리"

Podgorny Maxim, 7학년,

MBOU 중등학교 3호,

감독자:

올레이니코바 류드밀라 알렉산드로브나,

수학 선생님,

MBOU 중등학교 3호,

살스크, 로스토프 지역

로스토프나도누

2017년

소개..........................................................................................................3

주요 부분

삼각형의 등식 기호................................................................ 4

비표준 삼각형 평등 기호 ..............7

결론.......................................................................................................... 10

참고문헌.......................................................................... 11

애플리케이션

소개.

관련성:

삼각형은 면적 측정의 주요 수치 중 하나입니다. 고등학생들로부터 통합 국가 시험을 준비할 때 삼각형의 동등성을 증명해야 하는 경우가 많다는 말을 많이 들었습니다. 그리고 기본 징후에 대한 지식이 부족한 것으로 나타났습니다. 다른 매개변수를 사용하여 삼각형의 동일성을 증명하는 것이 가능한지 알고 싶었습니다. 우리 학교 학생들이 공부하는 기하학 교과서 (저자 L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov 등 기하학 7-9)에서는 삼각형의 평등 기호 3 개만 고려됩니다. 나는 다른 작가들의 교육 키트를 살펴보았습니다. 그러나 그들 속에서도 단지 세 가지 잘 알려진 정리만이 연구를 위해 제안되었습니다.

가설:

잘 알려진 세 가지 기준 외에 삼각형의 동등성에 대한 다른 기준을 공식화하는 것이 가능합니까?

이 질문에 대한 답이 저뿐만 아니라 7~11학년 학생들을 대상으로 사회학적 조사를 실시했습니다(부록 1 참조).

내 가정이 확인되었습니다. 대부분의 학생들은 삼각형이 같음을 나타내는 세 가지 기호만 알고 있습니다.

따라서 내 연구의 목표는 삼각형의 평등에 대한 새로운 신호를 찾는 것이었습니다.

작업:

Θ연구 중인 주제에 관한 문헌을 연구합니다.

Θ삼각형이 같음을 나타내는 부호의 수를 지정합니다.

Θ우리 학교의 급우와 학생들에게 삼각형의 평등을 나타내는 다른 기호의 존재와 그 증명 가능성을 보여줍니다.

연구 대상:

삼각형의 평등 기호를 연구합니다.

연구 주제. 삼각형은 면적 측정의 주요 수치 중 하나입니다.

연구 방법:이론(연구, 분석 및 종합), 시스템 검색, 실습(정리 증명).

역사적 참고자료

삼각형은 모든 기하학의 중심 도형 중 하나입니다.

문제를 해결할 때 다양한 속성이 사용됩니다.

삼각형의 속성은 실제로 건축에서 널리 사용됩니다. 건물 도면을 개발할 때, 미래 아파트를 계획할 때; 산업, 다양한 부품 설계, 건축 자재 제조, 선박 및 항공기 건설; 정확하고 가장 정확한 경로를 찾기 위한 탐색 점성술과 천문학에서 삼각형은 매우 중요한 숫자입니다. 삼각형은 고전압 전력선과 철도 교량의 구조를 안정적으로 만듭니다.

또한 삼각형의 다양한 속성이 사용되는 다른 영역도 많이 있습니다. 당구 게임을 시작할 때 공을 삼각형 형태로 배열해야 합니다. 이를 위해 특수 장치를 사용합니다. 볼링 게임에서 핀 배치도 정삼각형 형태입니다. 삼각형은 아름다운 쪽모이 세공 마루 바닥을 만드는 데 사용됩니다. 파스칼의 삼각형 장치: 각 숫자는 그 위에 있는 두 숫자의 합과 같습니다(세 숫자에 삼각형으로 원을 그리세요). 모든 것이 초보적이지만 그 안에는 얼마나 많은 기적이 숨겨져 있습니까! 컴퓨터는 파스칼의 삼각형을 색깔의 언어로 번역했습니다.

삼각형의 주제는 무한정 계속될 수 있습니다.

세상에는 삼각형이 너무 많아요!

이 그림에는 비유적인 의미도 있습니다. 예를 들어, "황금 삼각형"의 규칙은 구매자의 심리에 기반을 두고 있습니다. 즉, 필요한 제품을 찾은 구매자는 서둘러 결제하러 갑니다. 판매자의 임무는 구매자가 필요로하는 상품을 가상 삼각형의 꼭지점에 배치하여 구매자를 "고정"시켜 상점에 더 오래 머물게 만드는 것입니다. 삼각형의 면적이 클수록 성공적인 매장 레이아웃이라 할 수 있습니다. 식료품점에서 이러한 핵심 제품은 요리법, 유제품 및 빵입니다. 판매 구역의 뒤쪽 벽은 두 번째로 중요한 장소이며 구매자가 매장 전체 둘레를 통과하도록 강요하기 위해 앵커 제품을 배치하는 것이 가장 권장되는 곳입니다.

잘 알려진 버뮤다 삼각지대는 대서양에서 선박과 항공기의 신비한 실종이 발생하는 것으로 알려진 지역입니다. 이 지역은 플로리다에서 버뮤다, 푸에르토리코, 바하마를 거쳐 플로리다로 연결되는 노선으로 경계를 이루고 있습니다.

따라서 삼각형과 그 모든 속성에 대한 연구는 매우 관련성이 높은 주제입니다.

이 연구의 목적은 삼각형의 가장 중요한 속성 중 하나인 평등의 표시에 대해 이야기하는 것입니다.

삼각형의 동일성을 테스트하는 것은 다음 중 일부를 증명할 수 있는 정리입니다.삼각형 같다.

기하학에서는 삼각형의 등호를 나타내는 세 가지 기호가 사용됩니다.

이 주제는 실제로 연구되어 왔습니다. 오늘날에는 해당 정리를 사용하여 증명할 수 있는 삼각형의 동등성에 대한 세 가지 기준이 있기 때문입니다.

고대에는 천문학과 함께 삼각법이 등장했습니다. "삼각법"이라는 단어는 그리스어 "삼각형"과 "측정"에서 파생되었습니다. 문자 그대로의 의미는 "삼각형을 측정하는 과학"입니다.

이집트 성직자들은 3, 4, 5 단위 길이의 늘어진 로프를 사용하여 사원 등을 지을 때 직각을 얻었습니다.

사물을 평면에 그리는 예술은 고대부터 사람들의 관심을 끌었으며, 사람들은 바위, 벽, 그릇 및 기타 생활용품에 다양한 장식품, 식물, 동물을 그렸습니다. 사람들은 이미지가 사물의 자연스러운 형태를 정확하게 반영하도록 노력했습니다.

관계와 비율 이론에 기초한 도형의 유사성에 대한 교리는 기원전 5~4세기 고대 그리스에서 창안되었으며 오늘날에도 여전히 존재하고 발전하고 있습니다. 예를 들어, 성인 세계의 품목과 유사한 어린이 장난감이 많고, 같은 스타일의 신발과 옷이 다양한 크기로 제공됩니다. 이러한 예는 더 계속될 수 있습니다. 결국 모든 사람은 서로 비슷하며, 성경에서 말하는 것처럼 하나님은 그들을 자신의 형상과 모양대로 창조하셨습니다.

수많은 정리의 증명이 특정 삼각형의 동등성을 증명하는 것으로 축소되었기 때문에 삼각형의 동등성에 대한 테스트는 오랫동안 기하학에서 매우 중요했습니다. 피타고라스학파는 이미 삼각형의 등호를 증명하는 데 참여했습니다. Proclus에 따르면, Rhodes의 Eudemus는 Miletus의 Thales에게 동일한 변과 인접한 두 개의 각도를 갖는 두 삼각형의 동등성에 대한 증거를 부여했습니다(삼각형의 동등성의 두 번째 기호).

탈레스는 이 정리를 사용하여 해안에서 해상 선박까지의 거리를 결정했습니다.탈레스가 이를 수행하기 위해 어떤 방법을 사용했는지는 정확히 알려져 있지 않습니다.

삼각형의 평등 신호.

정의부터 시작하겠습니다. 삼각형 ABC와 A1B1C1은 겹쳐서 결합할 수 있으면 동일하다고 합니다.

삼각형은 6개의 요소, 즉 세 개의 각도와 세 개의 변으로 구성됩니다.

이는 "두 삼각형의 동등성을 확립하는 데 필요한 최소 개수의 삼각형 요소는 무엇입니까?"라는 질문을 제기합니다.

"나머지 요소가 동일할까요?"라는 사실을 알 수 없기 때문에 한 요소를 기반으로 두 삼각형의 동일성을 설정할 수 없습니다.

또한 동등성을 확립하기 위한 정보가 부족하기 때문에 두 요소를 사용하여 두 삼각형의 동등성을 확립하는 것도 불가능합니다.

세 가지 요소를 사용하여 두 삼각형의 동일성을 확립하는 것이 가능합니다. 그러나 이는 "삼각형의 동등성을 확립하기 위해 정확히 어떤 세 요소의 이름을 지정해야 합니까?"라는 질문을 제기합니다.

이 문제를 연구하면서 저는 다양한 작가들의 학교 기하학 교과서와 사전, 참고서를 살펴보았습니다. 7학년 교과서에는 삼각형의 동등성에 대한 세 가지 기준만 연구용으로 제안되어 있습니다.

Θ1 부호 : 한 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도가 각각 다른 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도와 같으면 두 삼각형은 합동입니다. 그림 1

증거. 삼각형을 고려해보세요 ABC와 A 1 B 1 C 1 , (그림 1) AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 . ΔABC = ΔA임을 증명해보자. 1비 1씨 1 .

∠A = ∠A 1이므로 , 그러면 삼각형 ABC가 삼각형 A에 겹쳐질 수 있습니다. 1비 1씨 1 꼭지점 A가 꼭지점 A와 일치하도록 1 , 측면 AB와 AC는 각각 광선 A와 겹칩니다. 1 B 1 및 A 1 C 1 . AB = A 1 B 1이므로 AC = A 1 C 1 , 그러면 AB면이 A면과 정렬됩니다. 1에 1 측면 AC는 측면 A와 함께 있습니다. 1C 1 ; 특히 B점과 B점은 일치합니다. 1, C 및 C 1 . 따라서 BC변과 B변은 일치한다. 1C 1 . 따라서 삼각형 ABC와 A는 1비 1씨 1 완전히 호환 가능합니다. 즉, 동일하다는 의미입니다.

그리고 고대 이집트에서 삼각형의 평등의 첫 번째 기호가 사용된 방법은 다음과 같습니다. (양면과 그 사이의 각도), 밀레투스의 탈레스는 피라미드의 높이를 측정하기 위해 창조자로 간주됩니다. 우리가 거대한 피라미드 앞에 서 있다고 상상해보십시오. 높이를 어떻게 측정할 수 있습니까? 결국 측정 장비를 부착할 수 없습니다! 그리고 여기서 삼각형의 평등에 대한 첫 번째 표시는 밀레투스의 탈레스의 도움을 받습니다. 그는 그림자가 높이와 정확히 일치할 때까지 기다렸다가 정리를 적용하여 피라미드의 높이가 그림자와 같다는 것이 밝혀졌습니다(그림 1). 2).

쌀. 2

Θ2 부호: 한 삼각형의 한 변과 두 인접한 각이 각각 다른 삼각형의 한 변과 두 인접한 각과 같으면 그러한 삼각형은 합동입니다.

증명: △ABC와 △A에 있는 경우 1비 1씨 1 다음과 같은 평등 AB=A가 발생합니다 1 B 1, ∠BAC=∠B 1 A 1 C 1, ∠АВС= ∠А 1 B 1 C 1 . 삼각형 A를 서로 겹쳐 놓자 1비 1씨 1 ABC와 같은 변 AB와 A가 일치하도록 1에 1 그리고 그에 인접한 모서리. 이미 논의한 이전 예에서와 같이 필요한 경우 삼각형 A 1비 1씨 1 "뒤집어 반대편에 놓을 수 있습니다." 삼각형은 일치하므로 동일한 것으로 간주될 수 있습니다.

Θ3 부호 : 한 삼각형의 세 변이 각각 다른 삼각형의 세 변과 같으면 두 삼각형은 합동입니다. 증명: △ABC와 △A에 대해 보자 1비 1씨 1 평등 A는 유효합니다 1 B 1 =AB, B 1 C 1 =BC, C 1 A 1 =SA. 삼각형 A를 움직여보자 1비 1씨 1 그럼 A쪽 1에 1 변 AB 및 꼭지점 B와 일치합니다. 1과 B, A 1 그리고 A는 일치할 것이다. 중심 A와 반경 AC를 가진 원과 중심 B와 반경 BC를 가진 두 번째 원을 선택합니다. 이 원은 세그먼트 AB를 기준으로 대칭인 두 점(점 C와 점 C)에서 교차합니다. 2 . 이는 삼각형 A1B1C1을 이동한 후 C1이 점 C 또는 C2와 일치해야 함을 의미합니다. 어쨌든 이는 평등 △ABC=ΔA를 의미합니다. 1비 1씨 1 , 삼각형 △ABC=ΔABC 이후 2 (결국 이 삼각형은 세그먼트 AB에 대해 대칭입니다.)

이 속성(삼각형의 강성)은 실제로 널리 사용됩니다. 따라서 기둥을 수직 위치로 고정하기 위해 기둥 위에 지지대가 배치됩니다. 브래킷을 설치할 때도 동일한 원리가 사용됩니다.

삼각형 강성의 특성은 실제로 철 구조물 건설에 널리 사용됩니다.

삼각형의 동등성에 대한 세 번째 기준에서 삼각형은 단단한 도형이라는 결론이 나옵니다. 왜냐하면: 우리는 두 개의 칸막이를 상상할 수 있는데, 그 두 끝은 못으로 고정되어 있습니다. 이 디자인은 단단하지 않지만 슬랫의 자유 끝을 이동하거나 펼쳐서 슬랫 사이의 각도를 변경할 수 있습니다. 이제 또 다른 칸막이를 가져와 처음 두 칸막이의 자유 끝 부분으로 끝을 고정해 보겠습니다. 결과 구조인 삼각형은 이미 단단합니다. 두 측면을 이동하거나 분리하는 것은 불가능합니다. 즉, 모서리 하나도 변경할 수 없습니다. 실제로 이것이 가능하다면 원래 삼각형과 같지 않은 새로운 삼각형을 얻게 될 것입니다. 그러나 이것은 불가능합니다. 새 삼각형은 세 번째 삼각형의 원래 삼각형과 동일해야 하기 때문입니다.

Vygodsky의 초등 수학 참고서에서 또 다른 표시를 발견했습니다.

Θ4 기호: 한 삼각형의 두 변과 큰 삼각형의 반대각이 각각 다른 삼각형의 두 변과 반대각과 같으면 이러한 삼각형은 합동입니다.

나는 이 표시를 증명할 것이다.

주어진 : ΔABC , ΔA1B1C1 , AB=A1B1,AC=A1C1,∠ B= ∠ B1

증명: ΔABC=A1B1C1.

그림 1과 같이 삼각형을 배열해 보겠습니다. B와 B1을 연결한 다음 ΔАВВ1을 연결해 보겠습니다.

이등변이란 뜻∠ 1= ∠ 2. ∠ 3= ∠ 4는 동일한 각도의 나머지입니다.

우리는 ΔВСВ1 - 이등변이므로 ВС=В1С1을 얻습니다. ΔАВС = 3면의 ΔА1В1С1.

또한 학교 과정에서는 직각삼각형의 평등을 나타내는 4가지 기호에 대해 논의합니다.

Θ1 . 한 직각삼각형의 다리가 다른 직각삼각형의 다리와 대응적으로 같으면 그러한 삼각형은 합동입니다.

Θ2 . 한 직각 삼각형의 다리와 인접한 예각이 각각 다른 직각 삼각형의 다리 및 인접한 예각과 같으면 그러한 삼각형은 합동입니다.

Θ3 . 한 직각삼각형의 빗변과 예각이 각각 다른 직각삼각형의 빗변과 예각과 같으면, 그러한 삼각형은 합동입니다.

Θ4 . 한 직각삼각형의 빗변과 변이 각각 다른 직각삼각형의 빗변과 변과 같으면, 그러한 삼각형은 합동입니다.

나는 삼각형의 동등성에 대한 고전적인 테스트에 사용되는 변과 각도에 이등분선, 중앙값 및 높이와 같은 다른 구성 요소를 추가하여 삼각형의 동등성 기준에 대한 이론적 기초를 해결했습니다.

삼각형의 합동에 대한 비표준 기준.

1) 양면과 그 중 하나에 높이가 그려져 있습니다.

주어진 경우: AB=A1B1 , BC=B1C1 , AK=A1K1 ,

증명: ΔABC= ΔA1B1C1.

증명: 빗변과 다리에 의한 ΔABK=ΔA1B1K1, 그러면∠ B= ∠ B1이고 첫 번째 기호에 따라 ΔABC= ΔA1B1C1을 얻습니다.

2) 두 변 중 하나에 중앙값이 그려져 있음

주어진 경우: AB=A1B1, BC=B1C1, AK=A1K1, AK 및 A1K1은 중앙값입니다.

증명: ΔABC= ΔA1B1C1.

증명: 3면의 ΔABK=ΔA1B1K1, 즉∠ B= ∠ 첫 번째 기호에 따라 B1 및 ΔABC= ΔA1B1C1입니다.

3) 세 번째 모서리에서 그려진 두 측면 및 높이를 따라.

주어진 경우: ∠ B= ∠ B1 , ∠ C= ∠ C1 , AK=A1K1 .

증명: ΔABC= ΔA1B1C1.

증명: 다리와 예각을 따라 ΔABK=ΔA1B1K1, 이는 BK=B1K1을 의미합니다.

다리와 예각에 의한 ΔACK=ΔA1C1K1. 이는 KC=K1C1을 의미하므로 BC=B1C1이고 두 번째 기호에 의한 ΔABC= ΔA1B1C1입니다.

4) 한 변과 이 변에 인접한 각도에서 그려진 두 개의 높이를 따라.

주어진 값: AC=A1C1, SM=C1M1, AK=A1K1.

증명: ΔСC= ΔA1B1C1.

증명: 다리와 빗변을 따라 ΔAMC= ΔA1М1C1, 즉∠ A= ∠ 다리와 빗변을 따라 A1 및 ΔAКC= ΔA1К1C1입니다. 이는∠ C= ∠ C1.

따라서 두 번째 기준에 따라 ΔABC= ΔA1B1C1이 됩니다.

5) 양면에 높이가 그려져 있으며 세 번째 면에 그려져 있습니다.

주어진: AB=A1B1,BC=B1C1,BK=B1K1.

증명: ΔABC= ΔA1B1C1.

증거: 빗변과 다리의 ΔABK=ΔA1B1K1, 즉 AK=A1K1을 의미합니다.

다리와 빗변을 따라 ΔBКC= ΔB1К1C1이며 이는 KC=K1C1을 의미합니다.

따라서 세 변의 ΔABC= ΔA1B1C1이 됩니다.

6) 측면을 따라 이 측면에 인접한 각도 중 하나와 이 각도의 이등분선입니다.

주어진 값: AC=A1C1, AK=A1K1,∠ A ∠ A1.

증명: ΔABC= ΔA1B1C1.

증명: 첫 번째 기호에 따르면 ΔКАС=ΔК1А1С1, 이는 다음을 의미합니다.∠ C= ∠ C1,

두 번째 특성에 따르면 ΔABC= ΔA1B1C1입니다.

7) 두 개의 높이와 높이 중 하나가 그려지는 각도.

주어진 경우: SM=S1M1, AK=A1K1, ∠ A ∠ A1.

증명: ΔABC= ΔA1B1C1.

증명: 다리와 예각의 ΔAMC= ΔA1М1C1, 다리와 빗변의 ΔКАС=ΔК1А1С1, 두 번째 기호의 ΔABC= ΔA1B1C1.

결론.

연구 중에 나는 삼각형의 평등을 나타내는 세 가지 주요 기호 외에도 다른 많은 기호를 나타낼 수 있음을 발견했습니다. 나는 세 가지 요소의 존재를 고수하면서 삼각형의 중앙값, 고도, 이등분선과 삼각형의 변과 각도를 결합하여 삼각형의 동등성을 정식화하고 증명했습니다. 이제 나는 우리 학교 학생들에게 삼각형이 동일하다는 다른 신호가 있다는 것을 말할 수 있습니다. 이를 통해 학교 졸업생은 통합 상태 시험 및 통합 상태 시험을 준비하면서 내 연구 결과를 적용하고 이러한 기능을 사용하여 기하학적 문제를 쉽게 해결할 수 있습니다.

내 연구 결과: 학교 기하학 과목에서 공부하지 않는 삼각형의 동등성에 대한 몇 가지 기준이 입증되었습니다.

서지

1. Vygodsky M.Ya. 초등수학 핸드북.
2. 기하학. 7-9학년: 교과서. 일반 교육용 기관/L.S.Atanasyan, V.F.Butuzov, S.B. Kadomtsev 외 – 19판. – M.: 교육, 2009.
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5. 2. 위키피디아는 무료 백과사전입니다.
6. 3. 글레이저 G.I. "학교 수학의 역사", 모스크바, Prosveshchenie, 1982.
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8. 5. 포고렐로프 A.V. "기하학 등급 7-9"모스크바, 교육, 2003

부록 1

1. 삼각형이 같다고 생각하는 기호는 몇 개입니까?

A) 3개 B) 3개 이상 C) 3개 미만

2. 삼각형의 합동에 대한 새로운 기호를 배우고 싶습니까?

A) 네 B) 아니오

두 삼각형을 겹쳐서 합칠 수 있으면 합동이라고 합니다. 그림 1은 등각삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1을 보여줍니다. 이러한 각 삼각형은 완전히 호환되도록 서로 겹쳐질 수 있습니다. 즉, 꼭지점과 변이 쌍으로 일치합니다. 이 삼각형의 각도도 쌍으로 일치할 것이 분명합니다.

따라서 두 삼각형이 합동이면 한 삼각형의 요소(즉, 변과 각도)는 각각 다른 삼각형의 요소와 같습니다. 참고하세요 상응하는 동일한 변에 대한 동일한 삼각형(즉, 겹쳐질 때 겹쳐짐) 각도가 같은 거짓말그리고 뒤로: 같은 변은 각각 같은 각도 반대편에 놓여 있습니다.

예를 들어, 그림 1에 표시된 등각삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1에서 동일한 변 AB와 A 1 B 1의 반대쪽은 각각 동일한 각도 C와 C 1에 있습니다. 삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1의 동일성을 다음과 같이 표시합니다. Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. 두 삼각형의 동등성은 일부 요소를 비교하여 확립할 수 있다는 것이 밝혀졌습니다.

정리 1. 삼각형의 평등의 첫 번째 신호입니다.한 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도가 각각 다른 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도와 같으면 그러한 삼각형은 합동입니다(그림 2).

증거. AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1인 삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1을 생각해 보세요(그림 2 참조). Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 임을 증명해 보겠습니다.

∠ A = ∠ A 1이므로 삼각형 ABC는 삼각형 A 1 B 1 C 1에 중첩될 수 있으므로 정점 A는 정점 A 1과 정렬되고 변 AB와 AC는 각각 광선 A 1 B 1 및 A 1에 중첩됩니다. 다 1 . AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1이므로 변 AB는 변 A 1 B 1에 정렬되고 변 AC는 변 A 1 C 1에 정렬됩니다. 특히 점 B와 B 1, C와 C 1이 일치합니다. 결과적으로 변 BC와 B 1 C 1이 정렬됩니다. 따라서 삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1은 완전히 호환 가능하며 이는 동일하다는 것을 의미합니다.

정리 2는 중첩법으로 유사하게 증명됩니다.

정리 2. 삼각형의 평등의 두 번째 기호입니다.한 삼각형의 한 변과 두 개의 인접한 각도가 각각 다른 삼각형의 변과 두 개의 인접한 각도와 같으면 그러한 삼각형은 합동입니다(그림 34).

논평. 정리 2를 바탕으로 정리 3이 성립된다.

정리 3. 삼각형의 두 내각의 합은 180°보다 작습니다.

정리 4는 마지막 정리를 따릅니다.

정리 4. 삼각형의 외각은 삼각형에 인접하지 않은 내각보다 크다.

정리 5. 삼각형의 평등의 세 번째 기호입니다.한 삼각형의 세 변이 각각 다른 삼각형의 세 변과 같으면 해당 삼각형은 합동입니다().

예시 1.삼각형 ABC와 DEF에서 (그림 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20cm, AC = 18cm, DE = 18cm, EF = 20cm 삼각형 ABC와 DEF를 비교하세요. 삼각형 DEF의 각은 각 B와 같습니다.

해결책. 이 삼각형은 첫 번째 기호에 따라 동일합니다. 삼각형 DEF의 각 F는 삼각형 ABC의 각 B와 같습니다. 왜냐하면 이 각은 각각 동일한 변 DE와 AC 반대편에 놓여 있기 때문입니다.

예시 2.세그먼트 AB와 CD(그림 5)는 각각의 중간인 점 O에서 교차합니다. AC 부분이 6m라면 BD 부분의 길이는 얼마입니까?

해결책. 삼각형 AOC와 BOD는 동일합니다(첫 번째 기준에 따라): ∠ AOC = ∠ BOD(세로), AO = OB, CO = OD(조건별).
이 삼각형의 동등성으로부터 그 변이 동일하다는 것이 나옵니다. 즉, AC = BD입니다. 그러나 AC = 6m 조건에 따르면 BD = 6m입니다.