기하학적 진행 예. 기하학적 진행
산술 및 기하학적 진행
이론 정보
이론 정보
산술 진행 |
기하학적 진행 |
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정의 |
산술 진행 NS시퀀스가 호출되며, 각 항은 두 번째 항목부터 시작하여 동일한 번호가 추가된 이전 항과 같습니다. NS (NS- 진행 차이) |
기하학적 진행 비앤 0이 아닌 숫자의 시퀀스이며, 각 항은 두 번째부터 시작하여 이전 항에 동일한 숫자를 곱한 값과 같습니다. NS (NS는 진행의 분모입니다) |
반복 공식 |
어떤 자연의 경우 NS |
어떤 자연의 경우 NS |
N번째 항 공식 |
엔 = 에이 1 + d (n - 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| 특성 속성 |  |
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| n번째 멤버의 합 |  |
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주석이 있는 작업의 예
연습 1
산술 진행에서 ( NS) 1 = -6, 2
n번째 항의 공식에 따르면:
22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21일
조건별:
1= -6, 그래서 22= -6 + 21 d.
진행 간의 차이점을 찾을 필요가 있습니다.
d = 에이 2 - 에이 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
답변 : 22 = -48.
과제 2
기하학적 진행의 다섯 번째 항을 찾으십시오. -3; 6; ....
첫 번째 방법(n항 공식 사용)
기하학적 진행의 n번째 멤버의 공식에 따르면:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
NS 나 1 = -3,
두 번째 방법(재귀 수식 사용)
진행의 분모가 -2(q = -2)이므로 다음을 수행합니다.
나 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
나 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
ㄴ 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
답변 : ㄴ 5 = -48.
과제 3
산술 진행에서 ( n) 74 = 34; 76= 156. 이 진행의 75번째 항을 찾으십시오.
산술 진행의 경우 특성 속성은 다음과 같습니다. 
.
그러므로:
.
데이터를 공식에 대입해 보겠습니다.
답: 95.
과제 4
산술 진행에서 ( ㄴ) ㄴ= 3n - 4. 처음 17개 항의 합을 구합니다.
산술 진행의 처음 n개 항의 합을 찾기 위해 두 가지 공식이 사용됩니다.
.
이 경우 어느 것이 더 편리합니까?
조건에 따라 원래 진행의 n항에 대한 공식이 알려져 있습니다( NS) NS= 3n - 4. 즉시 찾을 수 있고 1, 그리고 16찾지 않고 d. 따라서 첫 번째 공식을 사용합니다.
답: 368.
과제 5
산술 진행에서 ( NS) 1 = -6; 2= -8. 진행에서 22번째 항을 찾으십시오.
n번째 항의 공식에 따르면:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = 1+ 21일.
조건에 따라 1= -6, 그러면 22= -6 + 21d. 진행 간의 차이점을 찾을 필요가 있습니다.
d = 에이 2 - 에이 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
답변 : 22 = -48.
과제 6
기하학적 진행의 여러 연속 구성원은 다음과 같이 작성됩니다.
문자 x로 표시된 진행에서 용어를 찾으십시오.
풀 때 n번째 항에 대한 공식을 사용합니다. b n = b 1 ∙ q n - 1기하학적 진행을 위해. 진행의 첫 번째 멤버. 진행 q의 분모를 찾으려면 진행의 주어진 멤버 중 하나를 가져와 이전 멤버로 나누어야 합니다. 이 예에서는 취하여 나눌 수 있습니다. q = 3을 얻습니다. 공식에서 n 대신 3을 대입합니다. 기하학적 진행에 의해 주어진 세 번째 항을 찾아야 하기 때문입니다.
찾은 값을 공식에 대입하면 다음을 얻습니다.
.
답변 : .
과제 7
n번째 항의 공식에 의해 주어진 산술 진행에서 조건에 대한 것을 선택하십시오. 27 > 9:
주어진 조건은 진행의 27번째 항에 대해 충족되어야 하므로 4개의 진행 각각에서 n 대신 27을 대체합니다. 4차 진행에서는 다음을 얻습니다.
.
답: 4.
과제 8
산술 진행에서 1= 3, d = -1.5. 부등식을 충족하는 가장 큰 n-값 지정 NS > -6.
주제에 대한 수업 및 프레젠테이션 : "수열. 기하학적 진행"
추가 자료
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9학년을 위한 Integral 온라인 상점의 교육 보조 도구 및 시뮬레이터
도 및 근 함수 및 그래프
여러분, 오늘 우리는 또 다른 유형의 진행에 대해 알게 될 것입니다.
오늘 수업의 주제는 기하학적 진행입니다.
기하학적 진행
정의. 두 번째부터 시작하여 각 항이 이전 숫자와 고정된 숫자의 곱과 같은 숫자 시퀀스를 기하학적 진행이라고 합니다.시퀀스를 재귀적으로 설정해 보겠습니다. $ b_ (1) = b $, $ b_ (n) = b_ (n-1) * q $,
여기서 b와 q는 주어진 숫자입니다. 숫자 q를 진행의 분모라고 합니다.
예. 1,2,4,8,16 ... 첫 번째 항이 1이고 $ q = 2 $인 기하학적 진행.
예. 8,8,8,8 ... 첫 번째 항이 8인 기하학적 진행,
및 $ q = 1 $.
예. 3, -3.3, -3.3 ... 첫 번째 항이 3인 기하학적 진행,
및 $ q = -1 $.
기하학적 진행은 단조로움의 속성을 가지고 있습니다.
$ b_ (1)> 0 $, $ q> 1 $,
그런 다음 시퀀스가 오름차순입니다.
$ b_ (1)> 0 $이면 $ 0 시퀀스는 일반적으로 $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $로 표시됩니다.
산술 진행과 마찬가지로 기하학적 진행에서 요소의 수가 유한하면 진행을 유한 기하 진행이라고 합니다.
$ b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n) $.
시퀀스가 기하학적 진행이면 멤버의 제곱 시퀀스도 기하학적 진행입니다. 두 번째 수열의 경우 첫 번째 항은 $ b_ (1) ^ 2 $이고 분모는 $ q ^ 2 $입니다.
기하 진행의 n번째 항의 공식
기하학적 진행은 분석 형식으로 지정할 수도 있습니다. 이 작업을 수행하는 방법을 살펴보겠습니다.$ b_ (1) = b_ (1) $.
$ b_ (2) = b_ (1) * q $.
$ b_ (3) = b_ (2) * q = b_ (1) * q * q = b_ (1) * q ^ 2 $.
$ b_ (4) = b_ (3) * q = b_ (1) * q ^ 3 $.
$ b_ (5) = b_ (4) * q = b_ (1) * q ^ 4 $.
우리는 $ b_ (n) = b_ (1) * q ^ (n-1) $ 패턴을 쉽게 알 수 있습니다.
우리의 공식은 "기하학적 진행의 n번째 항에 대한 공식"이라고 합니다.
우리의 예로 돌아가 봅시다.
예. 1,2,4,8,16 ... 첫 번째 항이 1과 같은 기하학적 진행,
및 $ q = 2 $.
$ b_ (n) = 1 * 2 ^ (n) = 2 ^ (n-1) $.
예. 16,8,4,2,1,1 / 2 ... 첫 번째 항이 16이고 $ q = \ frac (1) (2) $인 기하학적 진행.
$ b_ (n) = 16 * (\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.
예. 8,8,8,8 ... 첫 번째 항이 8이고 $ q = 1 $인 기하학적 진행.
$ b_ (n) = 8 * 1 ^ (n-1) = 8 $.
예. 3, -3.3, -3.3 ... 첫 번째 항이 3이고 $ q = -1 $인 기하학적 진행.
$ b_ (n) = 3 * (-1) ^ (n-1) $.
예. 기하학적 진행 $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n),… $가 주어집니다.
a) $ b_ (1) = 6, q = 3 $인 것으로 알려져 있습니다. $ b_ (5) $를 찾으십시오.
b) $ b_ (1) = 6, q = 2, b_ (n) = 768 $인 것으로 알려져 있습니다. n을 찾으십시오.
c) $ q = -2, b_ (6) = 96 $인 것으로 알려져 있습니다. $ b_ (1) $를 찾으십시오.
d) $ b_ (1) = - 2, b_ (12) = 4096 $로 알려져 있습니다. q를 찾으십시오.
해결책.
a) $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 = 6 * 3 ^ 4 = 486 $.
b) $ b_n = b_1 * q ^ (n-1) = 6 * 2 ^ (n-1) = 768 $.
$ 2 ^ (n-1) = \ frac (768) (6) = 128 $ 이후 $ 2 ^ 7 = 128 => n-1 = 7; n = 8 $.
c) $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 = b_ (1) * (-2) ^ 5 = -32 * b_ (1) = 96 => b_ (1) = - 3 $.
d) $ b_ (12) = b_ (1) * q ^ (11) = - 2 * q ^ (11) = 4096 => q ^ (11) = - 2048 => q = -2 $.
예. 기하학적 진행의 7번째와 5번째 항의 차이는 192이고, 진행의 5번째와 6번째 항의 합은 192입니다. 이 진행의 10번째 항을 찾으십시오.
해결책.
우리는 $ b_ (7) -b_ (5) = 192 $ 및 $ b_ (5) + b_ (6) = 192 $를 알고 있습니다.
우리는 또한 알고 있습니다: $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) = b_ (1) * q ^ 6 $.
그 다음에:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 = 192 $.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 = 192 $.
우리는 방정식 시스템을 얻었습니다.
$ \ 시작 (케이스) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = 192 \\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) = 192 \ 끝 (케이스) $.
방정식을 동일시하면 다음을 얻습니다.
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 = q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 = 0 $.
우리는 $ q_ (1) = 2, q_ (2) = - 1 $의 두 가지 솔루션 q를 얻었습니다.
두 번째 방정식에 순차적으로 대입합니다.
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 = 192 => b_ (1) = 4 $.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 = 192 => $ 솔루션이 없습니다.
우리는 $ b_ (1) = 4, q = 2 $를 얻었습니다.
열 번째 항을 찾으십시오. $ b_ (10) = b_ (1) * q ^ 9 = 4 * 2 ^ 9 = 2048 $.
유한 기하학적 진행의 합
유한한 기하학적 진행이 있다고 가정합니다. 산술 진행뿐만 아니라 해당 구성원의 합계를 계산해 보겠습니다.유한한 기하학적 진행이 주어졌다고 하자: $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n-1), b_ (n) $.
$ S_ (n) = b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $의 합에 대한 표기법을 소개하겠습니다.
$ q = 1 $인 경우. 기하학적 진행의 모든 구성원은 첫 번째 항과 같으며 $ S_ (n) = n * b_ (1) $입니다.
이제 $ q ≠ 1 $인 경우를 고려하십시오.
위의 합계에 q를 곱합니다.
$ S_ (n) * q = (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q = b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q = b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
메모:
$ S_ (n) = b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.
$ S_ (n) * q-S_ (n) = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) = b_ (n) * q-b_ (1) $.
$ S_ (n) (q-1) = b_ (n) * q-b_ (1) $.
$ S_ (n) = \ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.
$ S_ (n) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.
유한 기하 진행의 합에 대한 공식을 얻었습니다.
예.
첫 번째 항이 4이고 분모가 3인 기하 수차의 처음 7개 항의 합을 구합니다.
해결책.
$ S_ (7) = \ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) = 2 * (3 ^ (7) -1) = 4372 $.
예.
알려진 기하학적 진행의 다섯 번째 항을 찾으십시오. $ b_ (1) = - 3 $; $ b_ (n) = - 3072 $; $ S_ (n) = - 4095 $.
해결책.
$ b_ (n) = (-3) * q ^ (n-1) = - 3072 $.
$ q ^ (n-1) = 1024 $.
$ q ^ (n) = 1024q $.
$ S_ (n) = \ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) = - 4095 $.
$ -4095 (q-1) = - 3 * (q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (q-1) = - 3 * (1024q-1) $.
$ 1365q-1365 = 1024q-1 $.
$ 341q = $ 1364.
$ q = 4 $.
$ b_5 = b_1 * q ^ 4 = -3 * 4 ^ 4 = -3 * 256 = -768 $.
기하학적 진행의 특성
여러분, 기하학적 진행이 주어집니다. $ b_ (n-1), b_ (n), b_ (n + 1) $의 세 연속 멤버를 고려해 보겠습니다.우리는 다음을 알고 있습니다.
$ \ frac (b_ (n)) (q) = b_ (n-1) $.
$ b_ (n) * q = b_ (n + 1) $.
그 다음에:
$ \ frac (b_ (n)) (q) * b_ (n) * q = b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
$ b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
진행이 유한한 경우 이 평등은 첫 번째와 마지막을 제외한 모든 구성원에 대해 적용됩니다.
어떤 종류의 수열인지 미리 알지 못하지만 $ b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $로 알려져 있습니다.
그러면 이것이 기하학적 진행이라고 안전하게 말할 수 있습니다.
숫자 시퀀스는 각 요소의 제곱이 진행의 인접한 두 요소의 곱과 같을 때만 기하학적 진행입니다. 유한 진행의 경우 이 조건이 첫 번째 및 마지막 구성원에 대해 충족되지 않는다는 것을 잊지 마십시오.
$ \ sqrt (b_ (n) ^ (2)) = \ sqrt (b_ (n-1) * b_ (n + 1)) $의 항등식을 살펴보겠습니다.
$ | b_ (n) | = \ sqrt (b_ (n-1) * b_ (n + 1)) $.
$ \ sqrt (a * b) $는 숫자와 b의 기하 평균이라고 합니다.
기하 진행의 모든 구성원의 계수는 인접한 두 구성원의 기하 평균과 같습니다.
예.
$ x + 2가 되도록 x를 찾으십시오. 2x + 2; 3x + 3 $는 3개의 연속적인 지수 멤버였습니다.
해결책.
특성 속성을 사용합시다.
$ (2x + 2) ^ 2 = (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 = 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $.
$ x ^ 2-x-2 = 0 $.
$ x_ (1) = 2 $ 및 $ x_ (2) = - 1 $.
원래 표현식에 순차적으로 대입하면 다음과 같은 솔루션이 제공됩니다.
$ x = 2 $로 시퀀스: 4, 6, 9 - $ q = 1.5 $인 기하학적 진행.
$ x = -1 $로 1, 0, 0 시퀀스를 얻었습니다.
답: $ x = 2. $
독립 솔루션을 위한 작업
1. 기하급수 16, -8, 4, -2…의 여덟 번째 첫 번째 항을 구합니다.2. 기하 진행 11,22,44…의 10번째 항을 찾습니다.
3. $ b_ (1) = 5, q = 3 $인 것으로 알려져 있습니다. $ b_ (7) $를 찾으십시오.
4. $ b_ (1) = 8, q = -2, b_ (n) = 512 $로 알려져 있습니다. n을 찾으십시오.
5. 기하급수 3, 12, 48…의 처음 11개 항의 합을 구합니다.
6. $ 3x + 4와 같은 x를 찾으십시오. 2x + 4; x + 5 $는 세 개의 연속 지수 멤버입니다.
기하학적 진행의 예: 2, 6, 18, 54, 162.
여기서 첫 번째 이후의 각 항은 이전 항보다 3배 더 큽니다. 즉, 각 후속 항은 이전 항에 3을 곱한 결과입니다.
2 3 = 6
6 3 = 18
18 3 = 54
54 3 = 162 .
이 예에서 두 번째 항을 첫 번째 항으로 나눌 때 세 번째 항을 두 번째 항으로 나눌 때 등입니다. 우리는 3을 얻습니다. 숫자 3은 이 기하학적 진행의 분모입니다.
예:
기하학적 진행 2, 6, 18, 54, 162로 돌아가 보겠습니다. 네 번째 항을 가져와 제곱합니다.
54 2 = 2916.
이제 숫자 54의 왼쪽과 오른쪽에 있는 항을 곱합니다.
18 162 = 2916.
보시다시피, 세 번째 항의 제곱은 인접한 두 번째 및 네 번째 항의 곱과 같습니다.
실시예 1: 첫 번째 항이 2이고 기하학적 진행의 분모가 1.5인 특정 기하 진행을 취합니다. 이 진행의 4항을 찾아야 합니다.
주어진:
NS 1 = 2
NS = 1,5
NS = 4
————
NS 4 - ?
해결책.
우리는 공식을 적용합니다 비앤= b 1 q NS- 1, 적절한 값 삽입:
NS 4 = 2 · 1.5 4 - 1 = 2 · 1.5 3 = 2 · 3.375 = 6.75.
답변: 주어진 기하학적 진행의 네 번째 항은 숫자 6.75입니다.
실시예 2: 첫 번째 항과 세 번째 항이 각각 12와 192일 때 기하수차의 다섯 번째 항을 구해봅시다.
주어진:
NS 1 = 12
NS 3 = 192
————
NS 5 - ?
해결책.
1) 먼저 기하학적 진행의 분모를 찾아야 하는데, 그것 없이는 문제를 풀 수 없습니다. 첫 번째 단계로 공식을 사용하여 b 3에 대한 공식을 도출합니다.
NS 3 = b 1 q 3 - 1 = b 1 q 2
이제 기하학적 진행의 분모를 찾을 수 있습니다.
NS 3 192
NS 2 = —— = —— = 16
NS 1 12
NS= √16 = 4 또는 -4.
2) 가치를 찾아야 한다 NS 5 .
만약에 NS= 4, 그럼
NS 5 = NS 1 q 5 - 1 = 12 4 4 = 12 256 = 3072
~에 NS= -4 결과는 동일합니다. 따라서 문제에는 하나의 솔루션이 있습니다.
답변: 주어진 기하학적 진행의 다섯 번째 항은 숫자 3072입니다.
예: 기하학적 진행의 처음 5개 항의 합을 구합니다( 비앤), 여기서 첫 번째 항은 2이고 기하학적 진행의 분모는 3입니다.
주어진:
NS 1 = 2
NS = 3
NS = 5
————
NS 5 - ?
해결책.
위의 두 가지 중 두 번째를 적용합니다.
NS 1 (NS 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 (243 - 1) 484
NS 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
NS - 1 3 - 1 2 2
답변: 주어진 기하학적 진행의 처음 5개 요소의 합은 242입니다.
무한한 기하학적 진행의 합.
"무한한 기하학적 진행의 합"과 "합계"의 개념을 구별할 필요가 있습니다. NS기하학적 진행의 구성원 ". 두 번째 개념은 모든 기하학적 진행을 의미하고 첫 번째 개념은 분모가 절대값이 1보다 작은 경우에만 해당합니다.
기하학적 진행은 우리가 알아야 할 새로운 종류의 수열입니다. 성공적인 지인을 위해 적어도 알고 이해하는 것은 아프지 않습니다. 그러면 기하학적 진행에 문제가 없을 것입니다.)
기하학적 진행이란 무엇입니까? 기하학적 진행 개념입니다.
우리는 평소와 같이 기본적인 것들로 여행을 시작합니다. 나는 끝나지 않은 일련의 숫자를 쓰고 있습니다.
1, 10, 100, 1000, 10000, …
패턴을 잡고 다음으로 갈 숫자를 말할 수 있습니까? 후추가 깨끗하고 숫자 100,000, 1,000,000 등은 더 멀리 갈 것입니다. 정신적인 스트레스를 많이 받지 않아도 모든 것이 맑아지죠?)
좋아요. 또 다른 예. 나는 이 순서를 쓰고 있다:
1, 2, 4, 8, 16, …
번호 16 이후에 어떤 번호가 더 갈 것인지 말할 수 있습니다. 여덟 번째시퀀스의 멤버? 이것이 숫자 128일 것이라는 것을 알았다면 아주 좋은 것입니다. 이해의 싸움은 절반입니다. 의미그리고 키 포인트기하학적 진행은 이미 완료되었습니다. 더 성장할 수 있습니다.)
그리고 이제 우리는 감각에서 엄격한 수학으로 다시 전환합니다.
기하학적 진행의 요점.
요점 # 1
기하학적 진행은 일련의 숫자.진행도 그렇고. 까다롭지 않습니다. 이 시퀀스 만 정렬됩니다. 다르게.따라서 물론 다른 이름이 있습니다. 예 ...
요점 # 2
두 번째 요점을 사용하면 질문이 더 교활해질 것입니다. 조금 돌아가서 산술 진행의 핵심 속성을 기억합시다. 여기있어: 각 용어는 이전과 다릅니다. 같은 금액으로.
기하학적 진행에 대해 유사한 핵심 속성을 공식화하는 것이 가능합니까? 조금 생각하십시오 ... 주어진 예를 자세히 살펴보십시오. 짐작하셨나요? 예! 기하학적 진행(any!)에서 각 구성원은 이전과 다릅니다. 같은 횟수로.언제나!
첫 번째 예에서 이 숫자는 10입니다. 당신이 취하는 시퀀스의 어떤 멤버가 이전 멤버보다 더 큽니다. 십배.
두 번째 예에서 이것은 2입니다. 각 항은 이전 항보다 큽니다. 두 배.
기하학적 진행이 산술적 진행과 다른 것이 바로 이 요점입니다. 산술 진행에서 각 다음 항을 얻습니다. 첨가이전 항과 동일한 값입니다. 그리고 여기 - 곱셈같은 금액으로 이전 기간. 그것이 바로 차이다.)
요점 # 3
이 키 포인트는 산술 진행의 키 포인트와 완전히 동일합니다. 즉: 기하학적 진행의 각 구성원은 그 자리에 서 있습니다.모든 것이 산술 진행과 정확히 동일하며 주석은 불필요하다고 생각합니다. 첫 번째 용어가 있고 백 첫 번째 용어가 있습니다. 최소한 두 개의 항을 재배열합시다. 규칙성(그리고 기하학적 진행과 함께)은 사라질 것입니다. 아무런 논리도 없이 일련의 숫자만 있을 것입니다.
그게 다야. 이것이 기하학적 진행의 요점입니다.
용어 및 명칭.
그러나 이제 기하학적 진행의 의미와 요점을 파악했으므로 이론으로 넘어갈 수 있습니다. 그렇지 않으면 의미를 이해하지 못하는 이론이 무엇입니까?
기하학적 진행을 나타내는 방법은 무엇입니까?
기하학적 진행은 일반적인 용어로 어떻게 작성됩니까? 괜찮아요! 진행의 각 구성원은 또한 편지로 작성됩니다. 산술 진행의 경우에만 일반적으로 문자가 사용됩니다. "하지만", 기하학적 문자의 경우 "NS". 회원 번호, 평소와 같이 표시됩니다 오른쪽 하단의 인덱스... 쉼표나 세미콜론으로 구분된 진행률의 구성원을 나열하기만 하면 됩니다.
이와 같이:
b 1,NS 2 , NS 3 , NS 4 , NS 5 , NS 6 , …
간략하게 이러한 진행은 다음과 같이 작성됩니다. (비앤) .
또는 이와 같이 유한 진행의 경우:
b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.
b 1, b 2, ..., b 29, b 30.
또는 간단히 말해서:
(비앤), NS=30 .
그것은 실제로 모든 지정입니다. 모든 것이 동일하고 문자 만 다릅니다. 예) 이제 정의로 직접 전달합니다.
기하학적 진행의 정의.
기하학적 진행은 첫 번째 항이 0이 아닌 숫자 시퀀스이며 각 후속 항은 이전 항에 동일한 0이 아닌 숫자를 곱한 것과 같습니다.
이것이 전체 정의입니다. 대부분의 단어와 구문은 명확하고 친숙합니다. 물론 "손가락"과 일반적으로 기하학적 진행의 의미를 이해한다면. 그러나 특별히 주목하고 싶은 몇 가지 새로운 문구도 있습니다.
첫째, 단어: "첫 번째 멤버는 0이 아닌".
첫 번째 용어에 대한 이러한 제한은 우연히 도입된 것이 아닙니다. 첫 번째 용어가 발생하면 어떻게 될 것이라고 생각합니까? NS 1 0과 같을 것인가? 각 항이 이전 항보다 크면 두 번째 항은 얼마입니까? 같은 횟수로?세 번 말해볼까요? 보자 ... 첫 번째 항(즉, 0)에 3을 곱하고 ... 0을 얻습니다! 그리고 3학기? 역시 제로! 그리고 네 번째 항도 0입니다! 등…
일련의 0인 베이글 한 봉지를 얻습니다.
0, 0, 0, 0, …
물론 그러한 시퀀스에는 생명권이 있지만 실질적인 관심은 없습니다. 모든 것이 분명하다. 모든 구성원은 0입니다. 회원 수의 합도 0입니다 ... 그것으로 어떤 흥미로운 일을 할 수 있습니까? 아무것도 아님…
다음 키워드: "동일한 0이 아닌 숫자로 곱함".
바로 이 숫자에도 고유한 이름이 있습니다. 기하학적 진행의 분모... 우리의 친분을 시작합시다.)
기하학적 진행의 분모.
모든 것이 배 껍질을 벗기는 것만큼 쉽습니다.
기하학적 진행의 분모는 다음을 나타내는 0이 아닌 숫자(또는 크기)입니다.몇 번이나진행의 각 구성원 이전 것보다 더.
다시 말하지만, 산술 진행과 유추하여 이 정의에서 주목해야 할 핵심 단어는 "더"... 기하 진행의 각 항을 얻는다는 것을 의미합니다. 곱셈이 같은 분모에 전 멤버.
설명하겠습니다.
계산을 위해 말하자면 두번째회원가입하셔야 합니다 첫 번째회원과 곱하다분모에 있습니다. 계산을 위해 제십회원가입하셔야 합니다 제구회원과 곱하다분모에 있습니다.
기하학적 진행 자체의 분모는 원하는 무엇이든 될 수 있습니다. 절대적으로 누구라도! 전체, 분수, 양수, 음수, 비합리성 - 무엇이든. 제로를 제외하고. 이것이 정의의 "0이 아닌"이라는 단어가 우리에게 알려주는 것입니다. 이 단어가 필요한 이유는 나중에 자세히 설명합니다.
기하학적 진행의 분모대부분 문자로 표시 NS.
이것을 찾는 방법은 매우 NS? 괜찮아요! 진행 및 이전 용어로 나누기... 부문은 분수... 따라서 이름은 "진행의 분모"입니다. 분모, 일반적으로 분수에 앉습니다. 예 ...) 논리적으로 값은 NS불려야 한다 사적인기하학적 진행 차이점산술 진행을 위해. 그러나 전화하기로 동의 분모... 그리고 우리는 바퀴를 재발명하지도 않을 것입니다.)
예를 들어 수량을 정의합시다. NS이러한 기하학적 진행을 위해:
2, 6, 18, 54, …
모든 것이 기본입니다. 우리는 어느시퀀스 번호. 우리는 우리가 원하는 것을 가져갑니다. 맨 처음을 제외하고. 예를 들어, 18. 다음으로 나눕니다. 이전 번호... 즉, 6.
우리는 다음을 얻습니다:
NS = 18/6 = 3
그게 다야. 이것이 정답입니다. 주어진 기하학적 진행에서 분모는 3입니다.
이제 분모를 찾아보자 NS또 다른 기하학적 진행을 위해. 예를 들면 다음과 같습니다.
1, -2, 4, -8, 16, …
모두 같은. 멤버들 자신이 가지고 있는 징후가 무엇이든, 우리는 여전히 어느시퀀스 번호(예: 16) 및 다음으로 나눕니다. 이전 번호(즉, -8).
우리는 다음을 얻습니다.
NS = 16/(-8) = -2
그게 다야.) 이번에는 진행의 분모가 음수로 판명되었습니다. 마이너스 2. 발생합니다.)
이제 다음 진행 상황을 살펴보겠습니다.
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
그리고 다시 말하지만, 시퀀스의 숫자 유형(짝수 정수, 심지어 분수, 심지어 음수, 비합리적이지만)에 관계없이 임의의 숫자(예: 1/9)를 취하고 이전 숫자(1/3)로 나눕니다. 물론 분수를 다루는 규칙에 따르면.
우리는 다음을 얻습니다.
그게 다야.) 여기에서 분모는 분수로 판명되었습니다. NS = 1/3.
그러나 당신과 같은 "진보"?
3, 3, 3, 3, 3, …
분명히 여기 NS = 1 ... 공식적으로 이것은 또한 기하학적 진행입니다. 동등한 구성원.) 그러나 그러한 진행은 연구 및 실제 적용을 위해 흥미롭지 않습니다. 솔리드 0이 있는 진행과 동일합니다. 따라서 우리는 그것들을 고려하지 않을 것입니다.
보시다시피, 진행의 분모는 전체, 분수, 양수, 음수 등 무엇이든 될 수 있습니다! 그것은 단지 제로가 될 수 없습니다. 이유를 짐작하지 못하셨나요?
글쎄, 우리가 분모로 취하면 어떤 일이 일어나는지보기 위해 구체적인 예를 들어 봅시다. NS 0.) 예를 들어, NS 1 = 2 , 하지만 NS = 0 ... 그러면 두 번째 항은 무엇과 같습니까?
우리는 다음을 고려합니다:
NS 2 = NS 1 · NS= 2 0 = 0
그리고 세 번째 임기는?
NS 3 = NS 2 · NS= 0 0 = 0
기하학적 진행의 유형과 행동.
모든 것이 다소 명확해지면 진행 상황의 차이가 NS양성이면 진행이 증가합니다. 차이가 음수이면 진행이 감소합니다. 두 가지 옵션만 있습니다. 세 번째는 없습니다.)
그러나 기하학적 진행의 동작으로 모든 것이 훨씬 더 흥미롭고 다양해질 것입니다!)
용어가 여기에서 작동하지 않는 즉시: 둘 다 증가 및 감소하고 제한 없이 0에 접근하고 기호를 변경하여 교대로 "플러스"로 던진 다음 "마이너스"로 던집니다! 그리고 이 모든 다양성 속에서 당신은 잘 이해할 수 있어야 합니다. 그렇습니다...
이해?) 가장 간단한 경우부터 시작합니다.
분모는 양수( NS >0)
양의 분모를 사용하면 먼저 기하학적 진행의 구성원이 다음으로 갈 수 있습니다. 플러스 무한대(즉, 무한정 증가) 마이너스 무한대(즉, 무기한 감소). 우리는 이미 이러한 진행 방식에 익숙해져 있습니다.
예를 들어:
(비앤): 1, 2, 4, 8, 16, …
여기에서는 모든 것이 간단합니다. 진행의 각 구성원이 나타납니다. 이전보다... 게다가 각 멤버들은 곱셈이전 회원 긍정적 인숫자 +2(즉. NS = 2 ). 그러한 진행의 행동은 명백합니다. 진행의 모든 구성원은 무한히 성장하여 우주로 이동합니다. 게다가 무한...
이제 진행 상황이 다음과 같습니다.
(비앤): -1, -2, -4, -8, -16, …
여기에서도 진행의 각 구성원이 나타납니다. 곱셈이전 회원 긍정적 인숫자 +2. 그러나 그러한 진행의 행동은 이미 정반대입니다. 진행의 각 구성원은 이전보다 적은, 모든 구성원이 무한히 감소하여 마이너스 무한대로 이동합니다.
이제 생각해 봅시다. 이 두 진행의 공통점은 무엇입니까? 맞습니다, 분모입니다! 여기 저기에 NS = +2 . 양수입니다.듀스. 그리고 여기 행동이 두 진행은 근본적으로 다릅니다! 이유를 짐작하지 못하셨나요? 예! 모든 것이 다 첫 학기!그들이 말했듯이 곡을 부르는 사람은 바로 그 사람입니다.) 직접보십시오.
첫 번째 경우 진행의 첫 번째 기간 긍정적 인(+1) 및 따라서 다음을 곱하여 얻은 모든 후속 항 긍정적 인분모 NS = +2 도 될 것입니다 긍정적 인.
그러나 두 번째 경우에는 첫 번째 항 부정적인(-하나). 따라서 다음을 곱하여 얻은 진행의 모든 후속 항 긍정적 인 NS = +2 또한 얻을 것이다 부정적인."빼기"에서 "더하기"는 항상 "빼기"를 제공하기 때문에 그렇습니다.)
보시다시피, 산술 진행과 달리 기하학적 진행은 분모에서NS, 그러나 또한 의존 첫 번째 멤버부터, 예.)
기억하십시오: 기하학적 진행의 동작은 첫 번째 항에 의해 고유하게 결정됩니다. NS 1 그리고 분모NS .
이제 덜 친숙하지만 훨씬 더 흥미로운 사례에 대한 분석을 시작합니다!
예를 들어 다음 시퀀스를 살펴보십시오.
(비앤): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
이 시퀀스도 기하학적 진행입니다! 이 진행의 각 구성원은 다음과 같이 밝혀졌습니다. 곱셈같은 번호로 이전 회원. 숫자만 - 분수: NS = +1/2 ... 또는 +0,5 ... 게다가 (중요!) 숫자, 하나 미만:NS = 1/2<1.
이 기하학적 진행에서 흥미로운 점은 무엇입니까? 회원들은 어디에서 노력합니까? 살펴보겠습니다.
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
여기서 흥미로운 점은 무엇입니까? 첫째, 진행 구성원의 감소가 즉시 분명합니다. 각 구성원 더 적은정확히 이전 2 배.또는 기하학적 진행의 정의에 따라 각 항은 더이전 1/2배~부터 진행의 분모 NS = 1/2 ... 그리고 1보다 작은 양수를 곱하면 결과가 일반적으로 감소합니다. 예 ...
뭐 더이 진행의 동작에서 볼 수 있습니까? 구성원이 감소하고 있습니까? 제한 없는마이너스 무한대로 간다? 아니요! 그들은 특별한 방식으로 감소합니다. 처음에는 오히려 빠르게 감소하고 점점 더 천천히 감소합니다. 그리고 머무는 내내 긍정적 인... 아주 아주 작긴 하지만. 그리고 그들은 무엇을 위해 노력하고 있습니까? 짐작하지 못하셨습니까? 예! 그들은 제로 경향이 있습니다!) 게다가, 우리의 진행에서 매우 제로 멤버에주의하십시오. 절대 닿지 않아!뿐 다가오는 그에게 무한히 가까이. 매우 중요합니다.)
비슷한 상황이 다음과 같이 진행됩니다.
(비앤): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
여기 NS 1 = -1 , 하지만 NS = 1/2 ... 모든 것이 동일합니다. 이제 용어는 아래에서 반대쪽에서 0에 접근합니다. 항상 머물다 부정적인.)
이러한 기하학적 진행, 그 구성원은 무기한 0에 접근(긍정적이든 부정적이든 상관없음) 수학에서는 특별한 이름이 있습니다. 무한히 감소하는 기하학적 진행.이 진행 상황은 매우 흥미롭고 이례적이어서 별도의 수업 .)
그래서 우리는 가능한 모든 것을 고려했습니다 긍정적 인분모는 큰 것도 있고 작은 것도 있습니다. 위에서 언급한 이유로 단위 자체를 분모로 간주하지 않습니다.
요약하자면:
긍정적 인그리고 하나 이상 (NS> 1), 다음 진행의 구성원:
NS) 무기한 증가 (만약NS 1 >0);
b) 무기한 감소(만약NS 1 <0).
분모가 기하급수인 경우 긍정적 인 그리고 하나 미만 (0< NS<1), то члены прогрессии:
a) 0에 무한히 가깝다 ~ 위에(만약NS 1 >0);
b) 0에 무한히 가깝다 밑에서부터(만약NS 1 <0).
이제 사례를 검토하는 일만 남았습니다. 음의 분모.
분모는 음수( NS <0)
우리는 예를 들어 멀리 가지 않을 것입니다. 왜, 사실, 얽히고 설킨 할머니?!) 예를 들어 진행의 첫 번째 구성원이 NS 1 = 1 , 분모를 취하십시오. q = -2.
다음 시퀀스를 얻습니다.
(비앤): 1, -2, 4, -8, 16, …
등등.) 진행의 각 구성원이 밝혀졌습니다. 곱셈이전 회원 음수-2. 이 경우 홀수 자리(첫 번째, 세 번째, 다섯 번째 등)에 있는 모든 구성원은 긍정적 인, 그리고 짝수 위치(두 번째, 네 번째 등) - 부정적인.표지판은 엄격하게 바뀝니다. 플러스 마이너스 플러스 마이너스 ... 이 기하학적 진행을 - 증가 기호 교대로.
회원들은 어디에서 노력하고 있습니까? 그리고 아무데도.) 네, 절대값(즉, 모듈로)진행의 구성원은 무한정 성장합니다(따라서 "증가"라는 이름). 그러나 동시에 진행의 각 구성원은 번갈아 가며 더위에 던졌습니다. 그런 다음 추위에 던졌습니다. 이제 "플러스"에서 "마이너스"로. 우리의 진도가 요동치고... 게다가, 요동의 범위는 걸음을 내디딜 때마다 급격하게 커지죠. 그렇습니다.) 그러므로 진도의 구성원들의 염원은 어딘가로 가 있습니다. 구체적으로여기 아니요.더하기 무한대도, 빼기 무한대도, 0도 아닙니다. 아무데도 없습니다.
이제 0과 -1 사이의 분수 분모를 고려하십시오.
예를 들어 NS 1 = 1 , 하지만 q = -1/2.
그런 다음 진행률을 얻습니다.
(비앤): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
그리고 다시 우리는 표지판의 교대를 가지고 있습니다! 하지만 앞의 예와 달리 이미 멤버들이 0에 접근하는 경향이 분명히 있습니다.) 이번에야말로 우리의 항은 위나 아래에서 엄밀히 말하면 0에 접근하는 것이 아니라 다시 0에 접근합니다. 망설이다... 양수 값과 음수 값을 번갈아 사용합니다. 그러나 동시에 그들의 모듈소중한 제로에 점점 가까워지고 있다.)
이러한 기하학적 진행을 무한히 감소하는 부호가 번갈아 나타납니다.
이 두 가지 예가 흥미로운 이유는 무엇입니까? 그리고 두 경우 모두 표지판의 교대!이러한 기능은 음의 분모가 있는 진행에만 해당됩니다. 그렇습니다.) 따라서 일부 작업에서 용어가 번갈아 나타나는 기하학적 진행을 본 경우 해당 분모가 100% 음수라는 것을 이미 확실히 알고 있으며 실수하지 않을 것입니다. 그 신호.)
그건 그렇고, 음의 분모의 경우 첫 번째 항의 부호는 진행 자체의 행동에 절대 영향을 미치지 않습니다. 진행의 첫 번째 구성원이 아무리 친숙하더라도 어떤 경우에도 구성원의 교체가 관찰됩니다. 전체 질문은 단지 어떤 장소에서(짝수 또는 홀수) 특정 기호가 있는 멤버가 있습니다.
기억하다:
분모가 기하급수인 경우 부정적인 , 그러면 진행 구성원의 표시는 항상 번갈아 하는.
또한 회원 스스로:
a) 무기한 증가모듈로, 만약NS<-1;
b) -1이면 무한히 0에 접근< NS<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
그게 다야. 일반적인 경우는 모두 정리합니다.)
기하학적 진행의 다양한 예를 구문 분석하는 과정에서 나는 주기적으로 다음과 같은 단어를 사용했습니다. "제로 경향", "무한을 더하는 경향이 있습니다", "마이너스 무한대 경향"... 괜찮습니다.) 이 문구(및 구체적인 예)는 행동다양한 수열. 기하학적 진행의 예.
왜 우리는 진행의 행동을 알아야 합니까? 그것이 어디로 가는지 무슨 차이가 있습니까? 0으로 할지, 더하기 무한대로, 빼기 무한대로 할지... 그게 우리에게 무슨 상관입니까?
문제는 이미 대학에서 고등 수학 과정에서 다양한 숫자 수열(단순한 진행이 아닌 모든 수열 포함)을 사용할 수 있는 능력과 이 또는 그 수열이 어떻게 작동하는지 정확히 상상할 수 있는 능력이 필요하다는 것입니다. - 무제한으로 증가하는지, 감소하는지, 특정 숫자로 경향이 있는지(반드시 0이 아닐 수도 있음) 또는 전혀 경향이 없는지 여부 ... 전체 섹션이 수학 과정에서 이 주제에 전념합니다. 분석 - 한계 이론.그리고 조금 더 구체적으로 - 개념 수열의 한계.매우 흥미로운 주제입니다! 대학에 가서 알아보는 것이 합리적입니다.)
이 섹션의 몇 가지 예(제한이 있는 시퀀스) 및 특히, 무한히 감소하는 기하학적 진행학교에서 마스터하기 시작합니다. 익숙해지자.)
더욱이, 미래에 시퀀스의 행동을 잘 연구하는 능력은 위대한 사람들의 손에 들어갈 것이며 매우 유용할 것입니다. 기능 연구.가장 다양합니다. 그러나 기능을 능숙하게 사용하는 능력(도함수 계산, 전체 연구, 그래프 작성)은 이미 수학적 수준을 극적으로 향상시킵니다! 의심? 필요 없음. 또한 내 말을 기억하십시오.)
삶의 기하학적 진행을 살펴 볼까요?
우리 주변의 삶에서 우리는 기하급수적인 진행을 매우 자주 접합니다. 본인도 모르는 사이.)
예를 들어 우리를 둘러싼 수많은 미생물과 현미경 없이는 볼 수 없는 다양한 미생물은 기하급수적으로 정확하게 증식합니다.
하나의 박테리아가 반으로 나누어 증식하여 2개의 박테리아를 낳는다고 가정해 봅시다. 차례로, 번식하는 각각은 반으로 나누어 총 4 개의 박테리아 자손을 제공합니다. 다음 세대는 8개의 박테리아를, 그 다음에는 16개의 박테리아, 32, 64개의 박테리아를 제공합니다. 세대가 거듭될 때마다 박테리아의 수는 두 배가 됩니다. 기하학적 진행의 전형적인 예입니다.)
또한 일부 곤충은 기하 급수적으로 번식합니다 - 진딧물, 파리. 그리고 가끔 토끼도 있습니다.)
이미 일상 생활에 더 가까운 기하학적 진행의 또 다른 예는 소위 복리.이러한 흥미로운 현상은 종종 은행 예금에서 발견되며 이자 대문자.그것은 무엇입니까?
물론 당신 자신은 아직 젊습니다. 은행에 가지 말고 학교에서 공부하십시오. 그러나 당신의 부모는 성인이며 독립적인 사람들입니다. 그들은 일하러 가서 일용할 양식을 위해 돈을 벌고, 그 돈의 일부를 은행에 넣어 저축을 한다.)
아버지가 터키에서 가족 휴가를 위해 일정 금액을 저축하고 3년 동안 연 10%로 은행에 50,000루블을 예금하고 싶어한다고 가정해 봅시다. 연간 이자 자본으로.또한이 전체 기간 동안 보증금으로 아무 것도 할 수 없습니다. 예금을 보충하거나 계좌에서 돈을 인출할 수 없습니다. 그는 이 3년 동안 어떤 이익을 얻을 것입니까?
음, 우선, 연간 10%가 무엇인지 파악해야 합니다. 그 의미 1년에은행은 초기 입금 금액에 10%를 추가합니다. 에서 무엇을? 물론 부터 보증금의 초기 금액.
우리는 1년에 계정의 크기를 계산합니다. 예금의 초기 금액이 50,000루블(즉, 100%)인 경우 1년 동안 계정에 얼마의 이자가 있습니까? 맞아요 110%! 50,000 루블에서.
따라서 우리는 50,000 루블의 110 %를 고려합니다.
50,000 1.1 = 55,000 루블.
값의 110%를 찾는 것은 해당 값에 1.1을 곱한다는 의미라는 것을 이해하시기 바랍니다. 왜 그런지 이해가 되지 않는다면 5학년과 6학년을 기억하십시오. 즉 - 분수 및 부분과 백분율의 연결.)
따라서 첫해의 증가는 5,000 루블이 될 것입니다.
2년 동안 계좌에 얼마나 많은 돈이 있을 것입니까? 6만 루블? 불행히도 (또는 오히려 다행스럽게도) 상황은 그렇게 간단하지 않습니다. 이자 자본화의 전체 초점은 각각의 새로운 이자 발생과 함께 이러한 동일한 이익이 이미 고려된다는 것입니다. 새로운 금액에서!누구로부터 이미카운트 현재.그리고 이전 기간 동안 발생한 이자는 원래 예금 금액에 추가되므로 그들 스스로 새로운 이자의 계산에 참여합니다! 즉, 그들은 일반 계정의 본격적인 일부가됩니다. 또는 일반 수도.따라서 이름 - 이자 대문자.
이것은 경제에 있습니다. 그리고 수학에서는 이러한 백분율을 복리.또는 이자율.) 그들의 트릭은 순차 계산에서 백분율이 매번 계산된다는 것입니다. 새로운 가치에서그리고 원본이 아닌 ...
따라서 다음을 통해 금액을 계산하려면 이년, 계정에 있을 금액의 110%를 계산해야 합니다. 1년 안에.즉, 55,000 루블에서.
우리는 55,000 루블의 110 %를 고려합니다.
55,000 1.1 = 60,500 루블.
이것은 두 번째 해의 백분율 증가가 이미 5500 루블이 될 것이며 2 년 후에는 10500 루블이 될 것임을 의미합니다.
이제 3 년 안에 계정의 금액이 60,500 루블의 110 %가 될 것이라고 이미 추측 할 수 있습니다. 다시 110%다. 작년(작년)부터금액.
그래서 우리는 다음을 고려합니다.
60,500 1.1 = 66,550 루블.
이제 몇 년 동안의 금액을 순서대로 나열합니다.
50000;
55,000 = 50,000 1.1;
60,500 = 55,000 1.1 = (50,000 1.1) 1.1;
66550 = 60500 1.1 = ((50,000 1.1) 1.1) 1.1
그래서 방법? 기하학적 진행 아닌가요? 첫 학기 NS 1 = 50000 , 그리고 분모 NS = 1,1 ... 각 항은 이전 항보다 엄격하게 1.1배 큽니다. 모든 것은 정의에 엄격하게 따릅니다.)
그리고 50,000루블이 3년 동안 은행 계좌에 있는 동안 아빠가 얼마나 많은 추가이자 보너스를 "드립"할까요?
우리는 다음을 고려합니다:
66,550 - 50,000 = 16,550루블
물론 드물게. 단, 초기입금액이 적은 경우입니다. 그리고 더 많은 경우? 50이 아니라 200,000 루블이라고 말합니까? 그런 다음 3 년 동안의 증가는 이미 66200 루블이 될 것입니다 (세는 경우). 어느 쪽이 이미 매우 좋습니다.) 그리고 기여도가 더 크다면? 그게 다야...
결론: 초기 기여가 높을수록 이자 자본화의 수익성이 높아집니다. 그래서 은행에서 장기간에 걸쳐 이자 자본화 예금을 제공합니다. 5년 동안 말해보자.
또한 독감, 홍역, 더 무서운 질병(2000년대 초반 같은 비정형 폐렴이나 중세 페스트)과 같은 온갖 나쁜 질병이 기하급수적으로 퍼지는 것을 좋아합니다. 따라서 전염병의 규모는 그렇습니다 ...) 그리고 모든 것은 기하학적 진행이 전체 양의 분모 (NS>1) - 매우 빠르게 성장하는 것! 박테리아의 증식을 기억하십시오. 하나의 박테리아에서 두 개, 2-4 개, 4-8 개 등 ... 감염이 퍼지면 모든 것이 동일합니다.)
기하학적 진행의 가장 간단한 문제.
언제나처럼 간단한 문제부터 시작하겠습니다. 순전히 의미를 이해하기 위한 것입니다.
1. 기하 진행의 두 번째 항은 6이고 분모는 -0.5인 것으로 알려져 있습니다. 첫 번째, 세 번째, 네 번째 멤버를 찾습니다.
그래서 우리는 주어진 끝없는기하학적 진행, 그러나 알려진 두 번째 항이 진행:
b 2 = 6
또한, 우리는 또한 알고 있습니다 진행의 분모:
q = -0.5
그리고 당신은 찾아야합니다 첫째, 셋째그리고 네번째이번 진행의 멤버.
그래서 우리는 행동합니다. 문제의 조건에 따라 순서를 기록합니다. 직접 일반적으로 두 번째 항이 6인 경우:
b 1, 6,NS 3 , NS 4 , …
이제 검색을 시작하겠습니다. 우리는 언제나처럼 가장 단순한 것부터 시작합니다. 예를 들어 세 번째 용어를 셀 수 있습니다. 나 3? 할 수있다! 우리는 이미 (기하학적 진행의 의미에서 직접적으로) 세 번째 항이 (나 3)두 번째 이상 (NS 2 ) 입력 "NS"한번!
그래서 우리는 다음과 같이 씁니다.
b 3 =NS 2 · NS
우리는 대신 6을 대체합니다. 나 2및 -0.5 대신 NS그리고 카운트. 물론 마이너스도 무시하지 않습니다 ...
b 3 = 6(-0.5) = -3
이와 같이. 세 번째 용어는 부정적이었습니다. 당연하지: 우리의 분모 NS- 부정적인. 그리고 플러스에 마이너스를 곱하면 분명히 마이너스가 됩니다.)
이제 진행의 다음 네 번째 기간을 고려합니다.
b 4 =NS 3 · NS
b 4 = -3(-0.5) = 1.5
네 번째 기간 - 다시 플러스. 다섯 번째 항은 다시 마이너스로, 여섯 번째 항은 플러스로 표시되는 식입니다. 신호가 번갈아 나타납니다!
그래서 세 번째와 네 번째 멤버를 찾았습니다. 다음 순서가 밝혀졌습니다.
나 1; 6; -삼; 1.5; ...
이제 첫 번째 항을 찾는 일만 남았습니다. 나 1잘 알려진 두 번째에 따르면. 이를 위해 우리는 다른 방향인 왼쪽으로 갑니다. 즉, 이 경우 진행의 두 번째 항에 분모를 곱할 필요는 없지만 공유하다.
나누고 다음을 얻습니다.
그게 다야.) 문제에 대한 답은 다음과 같습니다.
-12; 6; -3; 1,5; …
보시다시피 솔루션의 원리는 in과 동일합니다. 우린 알아 어느회원과 분모기하학적 진행 - 다른 구성원을 찾을 수 있습니다. 우리가 원하는 것을 찾을 것입니다.) 유일한 차이점은 덧셈/뺄셈이 곱셈/나눗셈으로 대체된다는 것입니다.
기억하십시오. 기하학적 진행의 용어와 분모를 하나 이상 알고 있다면 항상 이 진행의 다른 구성원을 찾을 수 있습니다.
전통에 따르면 실제 버전의 OGE에서 다음 문제가 발생합니다.
2.
...; 150; NS; 6; 1.2; ...
그래서 방법? 이번에는 첫 번째 항도 분모도 없습니다. NS, 일련의 숫자가 주어집니다 ... 이미 친숙한 것입니까? 예! 산술 진행에서 비슷한 문제가 이미 이해되었습니다!
그래서 우리는 두려워하지 않습니다. 모두 같은. 우리는 머리를 켜고 기하학적 진행의 기본 의미를 기억합니다. 우리는 시퀀스를 자세히 살펴보고 세 가지 주요 요소(첫 번째 용어, 분모, 용어 번호)의 기하학적 진행 매개변수가 그 안에 숨겨져 있는지 알아냅니다.
회원번호? 회원번호는 없습니다만.. 네.. 연이은번호. 이 말이 무슨 뜻인지 현 단계에서 설명할 요지는 모르겠다.) 두 개가 있는가? 이웃의 알려진 숫자?있다! 6과 1.2입니다. 그래서 우리는 찾을 수 있습니다 진행의 분모.그래서 우리는 숫자 1.2를 취하고 나눕니다. 이전 번호로.육.
우리는 다음을 얻습니다:
우리는 다음을 얻습니다.
NS= 150 0.2 = 30
답변: NS = 30 .
보시다시피 모든 것이 매우 간단합니다. 주요 어려움은 계산에만 있습니다. 음수 및 분수 분모의 경우 특히 어렵습니다. 그래서 문제가 있는 사람들을 위해 산술을 반복하십시오! 분수로 작업하는 방법, 음수로 작업하는 방법 등 ... 그렇지 않으면 여기에서 무자비하게 속도가 느려집니다.
이제 문제를 조금 바꿔보자. 이제 흥미로울 것입니다! 마지막 숫자 1.2를 제거해 보겠습니다. 이제 이 문제를 해결해 보겠습니다.
3. 기하학적 진행의 여러 연속 구성원이 작성되었습니다.
...; 150; NS; 6; ...
문자 x로 표시된 진행에서 용어를 찾으십시오.
모든 것이 동일하고 인접한 두 개만 유명한이제 진행의 구성원이 없습니다. 이것이 주요 문제입니다. 크기 때문에 NS두 개의 인접한 용어를 통해 우리는 이미 쉽게 결정할 수 있습니다. 우리는 할 수 없습니다.우리는 그 일에 대처할 기회가 있습니까? 확신하는!
무명의 멤버 싸인하자" NS"기하학적 진행의 의미에서 직접! 일반적으로.
예 예! 분모를 알 수 없는 스트레이트!
한편으로 x에 대해 다음 비율을 쓸 수 있습니다.
NS= 150NS
다른 한편으로, 우리는 이 동일한 X를 그릴 권리가 있습니다. 다음여섯을 통해 회원! 6을 분모로 나눕니다.
이와 같이:
NS = 6/ NS
분명히, 이제 이 두 비율을 동일시할 수 있습니다. 표현하고 있기 때문에 똑같다크기(x), 그러나 2 다른 방법들.
우리는 방정식을 얻습니다.
모든 것을 곱하면 NS, 단순화, 축소, 우리는 방정식을 얻습니다.
q 2 = 1/25
우리는 해결하고 다음을 얻습니다.
q = ± 1/5 = ± 0.2
앗! 분모는 2배! +0.2 및 -0.2. 그리고 어떤 것을 선택해야 할까요? 막 다른 골목?
침착 한! 예, 작업에는 실제로 두 가지 솔루션!문제가 없습니다. 그것은 일어납니다.) 예를 들어 두 개의 뿌리를 얻었을 때 보통의 문제를 해결할 때 놀라지 않습니까? 여기도 같은 이야기입니다.)
을위한 q = +0.2우리는 얻을 것이다:
X = 150 0.2 = 30
그리고 NS = -0,2 될거야:
X = 150(-0.2) = -30
우리는 이중 답변을 얻습니다. NS = 30; NS = -30.
이 흥미로운 사실은 무엇을 의미합니까? 그리고 존재하는 것은 두 가지 진행문제의 조건을 만족!
다음과 같이:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
둘 다 맞습니다.) 반응이 엇갈린 이유가 무엇이라고 생각하십니까? 6 뒤에 오는 진행(1,2)의 특정 멤버가 제거되었기 때문입니다. 그리고 기하학적 진행의 이전 (n-1) 번째 및 후속 (n + 1) 번째 항만 알고 있기 때문에 더 이상 그 사이에 있는 n 번째 항에 대해 명확하게 말할 수 없습니다. 플러스와 마이너스의 두 가지 옵션이 있습니다.
하지만 그것은 중요하지 않습니다. 일반적으로 기하학적 진행 작업에는 명확한 답변을 제공하는 추가 정보가 있습니다. 다음과 같이 말합시다. "교차 진행"또는 "양의 분모 진행"등등... 단서로 삼아야 할 것은 이 단어들인데, 최종 답을 할 때 플러스나 마이너스 중 어떤 기호를 선택해야 하는지. 그러한 정보가 없으면 예, 작업에는 다음이 포함됩니다. 두 가지 솔루션.)
그리고 이제 우리는 스스로 결정합니다.
4. 숫자 20이 기하학적 진행의 구성원인지 확인합니다.
4 ; 6; 9; …
5. 교대로 기하학적 진행이 주어집니다.
…; 5; NS ; 45; …
문자로 표시된 진행에서 용어를 찾으십시오. NS .
6. 기하학적 진행의 네 번째 양수 항을 찾으십시오.
625; -250; 100; …
7. 기하 진행의 두 번째 항은 -360이고 다섯 번째 항은 23.04입니다. 이 진행 상황의 첫 번째 구성원을 찾으십시오.
답변(무질서한 상태): -15; 900; 아니요; 2.56.
모든 것이 잘 되었다면 축하합니다!
뭔가 어울리지 않나요? 어딘가에서 이중 응답을 받았습니까? 우리는 과제의 조건을 주의 깊게 읽었습니다!
마지막 문제가 나오지 않습니까? 복잡한 것은 없습니다.) 우리는 기하학적 진행의 의미에서 직접 작업합니다. 글쎄, 당신은 그림을 그릴 수 있습니다. 도움이 됩니다.)
보시다시피 모든 것이 기본입니다. 진행이 짧은 경우. 그리고 길다면? 아니면 원하는 멤버의 수가 너무 많습니까? 산술 진행에 비유하여 어떻게든 쉽게 찾을 수 있는 편리한 공식을 얻고 싶습니다. 어느모든 기하학적 진행의 구성원 그의 번호로.여러 번 곱하지 않고 NS... 그리고 그런 공식이 있습니다!) 자세한 내용은 다음 강의에 있습니다.
수학은 이에 의해사람들은 자연과 자신을 통제합니다.
소비에트 수학자, 학자 A.N. 콜모고로프
기하학적 진행.
산수 진행 문제와 함께 기하 진행 개념과 관련된 문제도 수학 입학 시험에서 흔히 볼 수 있습니다. 이러한 문제를 성공적으로 해결하려면 기하 진행의 속성을 알고 이를 사용하는 데 능숙해야 합니다.
이 기사는 기하학적 진행의 기본 속성을 제시하는 데 전념합니다. 또한 일반적인 작업을 해결하는 예를 제공합니다., 수학 입학 시험 과제에서 차용했습니다.
사전에 우리는 기하학적 진행의 주요 속성에 주목하고 가장 중요한 공식과 진술을 회상합니다., 이 개념과 관련이 있습니다.
정의.숫자 시퀀스는 두 번째부터 시작하여 각 숫자가 이전 숫자와 같으며 동일한 숫자를 곱한 경우 기하학적 진행이라고 합니다. 숫자를 기하학적 진행의 분모라고 합니다.
기하학적 진행을 위해공식이 유효하다
, (1)
어디 . 공식 (1)은 기하 수차의 일반 항에 대한 공식이라고하며 식 (2)는 기하 수차의 주요 속성입니다. 진행의 각 항은 인접 요소의 기하 평균과 일치합니다.
메모, 고려된 진행이 "기하학적"이라고 불리는 것은 바로 이 속성 때문입니다.
위의 식 (1)과 (2)는 다음과 같이 일반화됩니다.
, (3)
금액을 계산하려면첫번째 기하학적 진행의 구성원공식이 적용됩니다
우리가 나타내면,
어디 . 따라서 식 (6)은 식 (5)를 일반화한 것입니다.
경우와, 기하학적 진행무한히 감소하고 있다. 금액을 계산하려면무한히 감소하는 기하학적 진행의 모든 구성원 중 공식이 사용됩니다.
. (7)
예를 들어 , 공식 (7)을 사용하여 다음을 나타낼 수 있습니다., 뭐라고 요
어디 . 이러한 등식은 (첫 번째 등식) 및 (두 번째 등식)을 조건으로 식 (7)에서 얻습니다.
정리.그렇다면
증거. 그렇다면,
정리가 증명되었습니다.
"기하학적 진행" 주제에 대한 문제 해결의 예를 고려해 보겠습니다.
예 1.주어진: 그리고. 찾다 .
해결책.식 (5)를 적용하면,
답변: .
예 2.하자 그리고. 찾다 .
해결책.그리고, 우리는 공식 (5), (6)을 사용하고 방정식 시스템을 얻을 것입니다
시스템 (9)의 두 번째 방정식을 첫 번째 방정식으로 나누면, 그런 다음 또는. 따라서 다음과 같이 ... 두 가지 경우를 생각해보자.
1. 만약, 그런 다음 시스템 (9)의 첫 번째 방정식에서 우리는.
2. 그렇다면.
예 3.하자, 그리고. 찾다 .
해결책.식 (2)에서 또는 다음을 따릅니다. 그 이후로 또는.
조건으로 . 그러나 따라서. 이후로, 여기에 방정식 시스템이 있습니다.
시스템의 두 번째 방정식을 첫 번째 방정식으로 나누면 또는.
그 이후로 방정식은 하나의 적합한 근을 갖습니다. 이 경우 시스템의 첫 번째 방정식을 따릅니다.
공식 (7)을 고려하면, 우리는 얻습니다.
답변: .
예 4.주어진: 그리고. 찾다 .
해결책.그때부터.
그 이후로 또는
공식 (2)에 따르면, 우리는 있습니다. 이와 관련하여 평등 (10)에서 우리는 또는를 얻습니다.
그러나 조건에 따라.
예 5.라고 알려져 있습니다. 찾다 .
해결책. 정리에 따르면 두 개의 평등이 있습니다.
그 이후로 또는. 그때부터.
답변: .
예 6.주어진: 그리고. 찾다 .
해결책.공식 (5)를 고려하면, 우리는
그때부터. 이후, 그리고, 이후.
예 7.하자 그리고. 찾다 .
해결책.식 (1)에 따라 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
따라서 우리는 또는. 그것은 그리고, 그러므로, 그리고.
답변: .
예 8.다음과 같은 경우 무한 감소 기하 진행의 분모를 찾으십시오.
그리고 .
해결책. 식 (7)로부터 다음과 같다.그리고 ... 이것과 문제의 조건에서 우리는 방정식 시스템을 얻습니다.
시스템의 첫 번째 방정식을 제곱하면, 그런 다음 결과 방정식을 두 번째 방정식으로 나눕니다., 그러면 우리는 얻는다
또는 .
답변: .
예 9.시퀀스가 기하학적 진행인 모든 값을 찾으십시오.
해결책.하자, 그리고. 기하학적 진행의 주요 속성을 정의하는 공식 (2)에 따라 또는를 쓸 수 있습니다.
이것으로부터 우리는 이차 방정식을 얻습니다., 그 뿌리는그리고 .
여부를 확인하자, 그리고, 그리고; 그렇다면, 그리고.
첫 번째 경우에는그리고, 그리고 두 번째 - 그리고.
답변: , .
예 10.방정식 풀기
, (11)
어디와.
해결책. 방정식 (11)의 왼쪽은 무한 감소 기하 진행의 합이며, 여기서 and는 다음을 따릅니다.
식 (7)로부터 다음과 같다., 뭐라고 요 ... 이와 관련하여 식 (11)은 다음과 같은 형식을 취합니다.또는 ... 적합한 루트 이차 방정식은
답변: .
예 11. NS 양수 시퀀스산술 진행을 형성, 하지만 - 기하학적 진행, 그것 과 무슨 관련 이 있습니다 . 찾다 .
해결책. NS 산술 시퀀스, 그 다음에 (산술 진행의 주요 속성). 왜냐하면, 다음 또는. 이것은 , 기하학적 진행은 다음과 같은 형태를 갖는다.... 식 (2)에 따르면, 우리는 그것을 씁니다.
이후로, 그리고 나서 ... 이 경우 식또는 형식을 취합니다. 조건으로 , 따라서 방정식에서우리는 고려된 문제의 고유한 솔루션을 얻습니다., 즉. ...
답변: .
예 12.금액을 계산
. (12)
해결책. 우리는 평등 (12)의 양쪽에 5를 곱하고 다음을 얻습니다.
얻어진 식에서 빼면 (12), 그 다음에
또는 .
계산하기 위해 공식 (7)의 값을 대입하면 얻습니다. 그때부터.
답변: .
여기에 제시된 문제 해결 사례는 입학 시험을 준비하는 지원자에게 유용할 것입니다. 문제 해결 방법에 대한 더 깊은 연구를 위해, 기하급수적으로 관련된, 권장 읽기 목록의 자습서를 사용할 수 있습니다.
1. 전문대학 지원자를 위한 수학문제집 / Ed. 미. 스카나비. - M .: 평화와 교육, 2013 .-- 608 p.
2. 수프런 V.P. 고등학생을 위한 수학: 학교 커리큘럼의 추가 섹션. - M .: Lenand / URSS, 2014 .-- 216 p.
3. 메딘스키 M.M. 문제와 연습에서 초등 수학의 전체 과정. 제 2권: 수열과 진행. - 남 : 에디투스, 2015 .-- 208p.
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