А именно, о том, что вы видите в заголовке. По существу, это «пространственный аналог» задачи нахождения касательной и нормали к графику функции одной переменной, и поэтому никаких трудностей возникнуть не должно.

Начнём с базовых вопросов: ЧТО ТАКОЕ касательная плоскость и ЧТО ТАКОЕ нормаль? Многие осознают эти понятия на уровне интуиции. Самая простая модель, приходящая на ум – это шар, на котором лежит тонкая плоская картонка. Картонка расположена максимально близко к сфере и касается её в единственной точке. Кроме того, в точке касания она закреплена торчащей строго вверх иголкой.

В теории существует довольно остроумное определение касательной плоскости. Представьте произвольную поверхность и принадлежащую ей точку . Очевидно, что через точку проходит много пространственных линий , которые принадлежат данной поверхности. У кого какие ассоциации? =) …лично я представил осьминога. Предположим, что у каждой такой линии существует пространственная касательная в точке .

Определение 1 : касательная плоскость к поверхности в точке – это плоскость , содержащая касательные ко всем кривым, которые принадлежат данной поверхности и проходят через точку .

Определение 2 : нормаль к поверхности в точке – это прямая , проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости.

Просто и изящно. Кстати, чтобы вы не померли со скуки от простоты материала, чуть позже я поделюсь с вами одним изящным секретом, который позволяет РАЗ И НАВСЕГДА забыть о зубрёжке различных определений.

С рабочими формулами и алгоритмом решения познакомимся прямо на конкретном примере. В подавляющем большинстве задач требуется составить и уравнение касательной плоскости, и уравнения нормали:

Пример 1

Решение :если поверхность задана уравнением (т.е. неявно) , то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке можно найти по следующей формуле:

Особое внимание обращаю на необычные частные производные – их не следует путать с частными производными неявно заданной функции (хотя поверхность задана неявно) . При нахождении этих производных нужно руководствоваться правилами дифференцирования функции трёх переменных , то есть, при дифференцировании по какой-либо переменной, две другие буквы считаются константами:

Не отходя от кассы, найдём частную производную в точке:

Аналогично:

Это был самый неприятный момент решения, в котором ошибка если не допускается, то постоянно мерещится. Тем не менее, здесь существует эффективный приём проверки, о котором я рассказывал на уроке Производная по направлению и градиент .

Все «ингредиенты» найдены и теперь дело за аккуратной подстановкой с дальнейшими упрощениями:

– общее уравнение искомой касательной плоскости.

Настоятельно рекомендую проконтролировать и этот этап решения. Сначала нужно убедиться, что координаты точки касания действительно удовлетворяют найденному уравнению:

– верное равенство.

Теперь «снимаем» коэффициенты общего уравнения плоскости и проверяем их на предмет совпадения либо пропорциональности с соответствующими значениями . В данном случае пропорциональны. Как вы помните из курса аналитической геометрии , – это вектор нормали касательной плоскости, и он же – направляющий вектор нормальной прямой. Составим канонические уравнения нормали по точке и направляющему вектору :

В принципе, знаменатели можно сократить на «двойку», но особой надобности в этом нет

Ответ :

Уравнения не возбраняется обозначить какими-нибудь буквами, однако, опять же – зачем? Здесь и так предельно понятно, что к чему.

Следующие два примера для самостоятельного решения. Небольшая «математическая скороговорка»:

Пример 2

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

И задание, интересное с технической точки зрения:

Пример 3

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

В точке .

Тут есть все шансы не только запутаться, но и столкнуться с трудностями при записи канонических уравнений прямой . А уравнения нормали, как вы, наверное, поняли, принято записывать именно в таком виде. Хотя, по причине забывчивости либо незнания некоторых нюансов более чем приемлема и параметрическая форма.

Примерные образцы чистового оформления решений в конце урока.

В любой ли точке поверхности существует касательная плоскость? В общем случае, конечно же, нет. Классический пример – это коническая поверхность и точка – касательные в этой точке непосредственно образуют коническую поверхность, и, разумеется, не лежат в одной плоскости. В неладах легко убедиться и аналитически: .

Другим источником проблем является факт несуществования какой-либо частной производной в точке. Однако это ещё не значит, что в данной точке нет единой касательной плоскости.

Но то была, скорее, научно-популярная, нежели практически значимая информация, и мы возвращаемся к делам насущным:

Как составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке,
если поверхность задана явной функцией ?

Перепишем её в неявном виде :

И по тем же принципам найдём частные производные:

Таким образом, формула касательной плоскости трансформируется в следующее уравнение:

И соответственно, канонические уравнения нормали:

Как нетрудно догадаться, – это уже «настоящие» частные производные функции двух переменных в точке , которые мы привыкли обозначать буквой «зет» и находили 100500 раз.

Заметьте, что в данной статье достаточно запомнить самую первую формулу, из которой в случае необходимости легко вывести всё остальное (понятно, обладая базовым уровнем подготовки) . Именно такой подход следует использовать в ходе изучения точных наук, т.е. из минимума информации надо стремиться «вытаскивать» максимум выводов и следствий. «Соображаловка» и уже имеющиеся знания в помощь! Этот принцип полезен ещё и тем, что с большой вероятностью спасёт в критической ситуации, когда вы знаете очень мало.

Отработаем «модифицированные» формулы парой примеров:

Пример 4

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Небольшая тут накладка получилась с обозначениями – теперь буква обозначает точку плоскости , но что поделать – такая уж популярная буква….

Решение : уравнение искомой касательной плоскости составим по формуле:

Вычислим значение функции в точке :

Вычислим частные производные 1-го порядка в данной точке:

Таким образом:

аккуратно, не спешим:

Запишем канонические уравнения нормали в точке :

Ответ :

И заключительный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Заключительный – потому, что фактически все технические моменты я разъяснил и добавить особо нечего. Даже сами функции, предлагаемые в данном задании, унылы и однообразны – почти гарантированно на практике вам попадётся «многочлен», и в этом смысле Пример №2 с экспонентой смотрится «белой вороной». Кстати, гораздо вероятнее встретить поверхность, заданную уравнением и это ещё одна причина, по которой функция вошла в статью «вторым номером».

И напоследок обещанный секрет: так как же избежать зубрёжки определений? (я, конечно, не имею в виду ситуацию, когда студент что-то лихорадочно зубрит перед экзаменом)

Определение любого понятия/явления/объекта, прежде всего, даёт ответ на следующий вопрос: ЧТО ЭТО ТАКОЕ? (кто/такая/ такой/такие) . Осознанно отвечая на данный вопрос, вы должны постараться отразить существенные признаки, однозначно идентифицирующие то или иное понятие/явление/объект. Да, поначалу это получается несколько косноязычно, неточно и избыточно (препод поправит =)), но со временем развивается вполне достойная научная речь.

Потренируйтесь на самых отвлечённых объектах, например, ответьте на вопрос: кто такой Чебурашка? Не так-то всё просто;-) Это «сказочный персонаж с большими ушами, глазами и коричневой шерстью»? Далеко и очень далеко от определения – мало ли существует персонажей с такими характеристиками…. А вот это уже гораздо ближе к определению: «Чебурашка – это персонаж, придуманный писателем Эдуардом Успенским в 1966 г, который …(перечисление основных отличительных признаков)» . Обратите внимание, как грамотно начата

1°

1°. Уравнения касательной плоскости и нормали для случая явного задания поверхности.

Рассмотрим одно из геометрических приложений частных производных функции двух переменных. Пусть функция z = f (x ; y ) дифференцируема в точке (x 0 ; у 0) некоторой области D Î R 2 . Рассечем поверхность S , изображающую функцию z, плоскостями х = х 0 и у = у 0 (рис. 11).

Плоскость х = x 0 пересекает поверхность S по некоторой линии z 0 (y ), уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функции z = =f (x ; y ) вместо х числа x 0 . Точка M 0 (x 0 ; y 0, f (x 0 ; y 0)) принадлежит кривой z 0 (y ). В силу дифференцируемой функции z в точке М 0 функция z 0 (y ) также является дифференцируемой в точке у =у 0 . Следовательно, в этой точке в плоскости х = х 0 к кривой z 0 (y ) может быть проведена касательная l 1 .

Проводя аналогичные рассуждения для сечения у = у 0 , построим касательную l 2 к кривой z 0 (x ) в точке х = x 0 - Прямые 1 1 и 1 2 определяют плоскость , которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке М 0 .

Составим ее уравнение. Так как плоскость проходит через точку Mo (x 0 ; y 0 ; z 0), то ее уравнение может быть записано в виде

А(х - хо) + В(у - уо) + C (z - zo ) = 0,

которое можно переписать так:

z -z 0 = A 1 (x – х 0) + B 1 (y – у 0) (1)

(разделив уравнение на -С и обозначив ).

Найдем A 1 и B 1 .

Уравнения касательных 1 1 и 1 2 имеют вид

соответственно.

Касательная l 1 лежит в плоскости a , следовательно, координаты всех точек l 1 удовлетворяют уравнению (1). Этот факт можно записать в виде системы

Разрешая эту систему относительно B 1 , получим, что .Проводя аналогичные рассуждения для касательной l 3 , легко установить, что .

Подставив значения А 1 и B 1 в уравнение (1), получаем искомое уравнение касательной плоскости:

Прямая, проходящая через точку М 0 и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется еенормалью.

Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости, легко получить канонические уравнения нормали:

Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности получены для обыкновенных, т. е. не особых, точек поверхности. Точка М 0 поверхности называется особой, если в этой точке все частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.

Пример. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в ее точке М(2; -1; 1).

Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке М

Отсюда, применяя формулы (2) и (3), будем иметь: z-1=2(х-2)+2(у+1) или 2х+2у-z-1=0 - уравнение касательной плоскости и - уравнения нормали.

2°. Уравнения касательной плоскости и нормали для случая неявного задания поверхности.

Если поверхность S задана уравнением F (x ; у; z ) = 0, то уравнения (2) и (3), с учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные неявной функции.

Уравнение нормальной плоскости

1.

4.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть дана некоторая поверхность, A — фиксированная точка поверхности и B — переменная точка поверхности,

(рис. 1).

Ненулевой вектор

→

n

называется нормальным вектором к поверхности в точке A , если

lim B → A j = π 2 .

Точка поверхности F (x , y , z) = 0 называется обыкновенной , если в этой точке

1. частные производные F " x , F " y , F " z непрерывны;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

При нарушении хотя бы одного из этих условий точка поверхности называется особой точкой поверхности .

Теорема 1. Если M (x 0 , y 0 , z 0 ) — обыкновенная точка поверхности F (x , y , z) = 0 , то вектор

→ n = grad F (x 0 , y 0 , z 0 ) = F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) → i + F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) → j + F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) → k

(1)

является нормальным к этой поверхности в точке M (x 0 , y 0 , z 0 ) .

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова ``Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МЭИ, 2002 (стр. 128).

Нормалью к поверхности в некоторой ее точке называется прямая, направляющий вектор которой является нормальным к поверхности в этой точке и которая проходит через эту точку.

Канонические уравнения нормали можно представить в виде

x − x 0 F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) = y − y 0 F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) .

(2)

Касательной плоскостью к поверхности в некоторой точке называется плоскость, которая проходит через эту точку перпендикулярно нормали к поверхности в этой точке.

Из этого определения следует, что уравнение касательной плоскости имеет вид:

(3)

Если точка поверхности является особой, то в этой точке нормальный к поверхности вектор может не существовать, и, следовательно, поверхность может не иметь нормали и касательной плоскости.

Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных

Пусть функция z = f (x , y) дифференцируема в точке a (x 0 , y 0 ) . Ее графиком является поверхность

f (x , y) − z = 0.

Положим z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Тогда точка A (x 0 , y 0 , z 0 ) принадлежит поверхности.

Частные производные функции F (x , y , z) = f (x , y) − z суть

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

и в точке A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. они непрерывны;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0 .

Следовательно, A — обыкновенная точка поверхности F (x , y , z) и в этой точке существует касательная плоскость к поверхности. Согласно (3), уравнение касательной плоскости имеет вид:

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

Вертикальное смещение точки на касательной плоскости при переходе из точки a (x 0 , y 0 ) в произвольную точку p (x , y) есть B Q (рис. 2). Соответствующее приращение аппликаты есть

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

Здесь в правой части стоит дифференциалd z функции z = f (x , y) в точке a (x 0 , x 0 ). Следовательно,
d f (x 0 , y 0 ). есть приращение аппликаты точки плоскости касательной к графику функции f (x , y) в точке (x 0 , y 0 , z 0 = f (x 0 , y 0 )).

Из определения дифференциала следует, что расстояние между точкой P на графике функции и точкой Q на касательной плоскости есть бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние от точки p до точки a .

Определение. Точка , лежащая на поверхности второго порядка, заданной относительно ОДСК общим уравнением (1) называется неособой, если среди трёх чисел: есть хотя бы одно, не равное нулю.

Таким образом, точка , лежащая на поверхности второго порядка, является не особой тогда и только тогда, когда она является её центром, иначе, когда поверхность коническая, а точка - вершина этой поверхности.

Определение. Касательной прямой к поверхности второго порядка в данной на ней не особой точке называется прямая, проходящая через эту точку, пересекающая поверхность второго порядка в дву-кратной точке или являющаяся прямолинейной образующей поверхности.

Теорема 3. Касательные прямые к поверхности второго порядка в данной на ней не особой точке лежат в одной плоскости, называемой касательной плоскостью к поверхности в рассматриваемой точке. Уравнение касательной плоскости имеет

Доказательство. Пусть , , параметрические уравнения прямой, проходящей через неособую точку по-верхности второго порядка, заданной уравнением (1). Подставляя в уравнение (1) , , вместо , , , получим:

Так как точка лежит на поверхности (1), то и из уравнения (3) находим (это значение соответствует точке ). Для того, чтобы точка пересечения прямой с поверхностью (1) была двойной, или чтобы прямая целиком лежала на поверхности, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

Если при этом:

То точка пересечения прямой линии с поверхностью (1) двойная. А если:

То прямая целиком лежит на поверхности (1).

Из соотношений (4) и , , следует, что координаты , , любой точки , лежащей на любой касательной к поверхности (1) удовлетворяют уравнению:

Обратно, если координаты какой-нибудь точки , отличной от , удовлетворяют этому уравнению, то координаты , , вектора , удовлетворяют соотношению (4), а это значит, что прямая - касательная к рассматриваемой поверхности.

Так как точка - неособая точка поверхности (1), то среди чисел , , есть по крайней мере одно, не равное нулю; значит уравнение (5) есть уравнение первой степени относительно . Это и есть уравнение плоскости, касательной к поверхности (1) в данной на ней не особой точке .

Исходя из канонических уравнений поверхностей второго порядка легко составить уравнения касательных плоскостей к эллипсоиду, гиперболоиду и т.д. в данной на них точке .

1). Касательная плоскость к эллипсоиду:

2). Касательная плоскость к одно и двуполостному гиперболоидам:

3). Касательная плоскость к эллиптическому и гиперболическому параболоидам:

§ 161.Пересечение касательной плоскости с поверхностью второго порядка.

Примем неособую точку поверхности второго порядка за начало координат ОДСК, оси и расположим в плоскости касательной к поверхности в точке . Тогда в общем уравнении поверхности (1) свободный член равен нулю: , а уравнение плос-кости, касающейся поверхности в начале координат, должно иметь вид: .

Но уравнение плоскости, проходящей через начало координат имеет вид: .

И, так как это уравнение должно быть эквивалентно уравнению , то , , .

Итак, в выбранной системе координат уравнение поверхности (1) должно иметь вид:

Обратно, если , то уравнение (6) является уравнением поверхности, проходящей через начало координат , а плоскость - касательная плоскость к этой поверхности в точке . Уравнение линии, по которой касательная плоскость к поверхности в точке пересекает поверхность (6) имеет вид:

Если . Это инвариант в теории инвариантов для линий второго порядка. Уравнение (7)

Это же линия второго порядка. По виду этой линии инвариант , поэтому:

При здесь две мнимые пересекающиеся прямые.

При - две действительные пересекающиеся прямые.

Если , но хотя бы один из коэффициентов , , не равен нулю, то линия пересечения (7) - две совпадающие прямые.

Наконец, если , то плоскость

входит в состав данной поверхности, а сама поверхность распадается, следовательно, на пару плоскостей

§ 162.Эллиптические, гиперболические или параболические точки поверхности второго порядка.

1. Пусть касательная плоскость к поверхности второго порядка в точке пересекает её по двум мни-мым пересекающимся прямым. В этом случае точка называется эллиптической точкой поверхности.

2. Пусть касательная плоскость к поверхности второго порядка в точке пересекает её по двум действительным прямым, пересекающимся в точке касания. В этом случае точка называется гиперболической точкой поверхности.

3. Пусть касательная плоскость к поверхности второго порядка в точке пересекает её по двум совпадающим прямым. В этом случае точка называется параболической точкой поверхности.

Теорема 4. Пусть поверхность второго порядка относительно ОДСК задана уравнением (1) и данное уравнение (1) является уравнением действительной нераспадающейся поверхностью второго порядка. Тогда, если ; то все точки поверхности эллиптические.

Доказательство. Введём новую систему координат , выбирая за начало координат любую неособую точку данной поверхности и располагая оси и в плоскости, касательной к поверхности в точке . Уравнение (1) в новой системе координат преобразуется к виду:

Где . Вычислим инвариант для этого уравнения .

Так как при переходе от одной ОДСК к другой ОДСК знак не меняется, то знаки и противоположны, поэтому, если , то ; и, как следует из классификации (см. § 161) касательная плоскость к поверхности в точке пересекает поверхность по двум мнимым пересекающимся прямым, т.е. - эллиптическая точка.

2) Однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид состоят из гиперболических точек.

3) Действительный конус второго порядка (вершина исключается), эллиптический (действительный), гиперболический и параболический цилиндры состоят из параболических точек.

Параболический цилиндр .

Чтобы определить расположение параболического цилиндра, достаточно знать:

1) плоскость симметрии, параллельную образующим цилиндра;

2) касательную плоскость к цилиндру, перпендикулярную к этой плоскости симметрии;

3) вектор, перпендикулярный к этой касательной плоскости и направленный в сторону вогнутости цилиндра.

В случае, если общее уравнение определяет параболический цилиндр, оно может быть переписано в виде:

Подберем m так, чтобы плоскости

были бы взаимно перпендикулярными:

При этом значении m плоскость

будет плоскостью симметрии, параллельной образующим цилиндра.

Плоскость

будет касательной плоскостью к цилиндру, перпендикулярной к указанной плоскости симметрии, а вектор

будет перпендикулярен к найденной касательной плоскости и направлен в сторону вогнутости цилиндра.

Касательные плоскости играют большую роль в геометрии. Построение касательных плоскостей в практическом отношении имеет важное значение, так как наличие их позволяет определить направление нормали к поверхности в точке касания. Эта задача находит широкое применение в инженерной практике. К помощи касательных плоскостей обращаются также для построения очерков геометрических фигур, ограниченных замкнутыми поверхностями. В теоретическом плане плоскости, касательные к поверхности, используются в дифференциальной геометрии при изучении свойств поверхности в районе точки касания.

Основные понятия и определения

Плоскость, касательную к поверхности, следует рассматривать как предельное положение секущей плоскости (по аналогии с прямой, касательной к кривой, которая также определяется как предельное положение секущей).

Плоскость, касательная к поверхности в заданной на поверхности точке, есть множество всех прямых - касательных, проведенных к поверхности через заданную точку.

В дифференциальной геометрии доказывается, что псе касательные к поверхности, проведенные в обыкновенной точке, компланарны (принадлежат одной плоскости).

Выясним, как проводится прямая, касательная к поверхности. Касательная t к поверхности β в заданной на поверхности точке М (рис. 203) представляет предельное положение секущей l j , пересекающей поверхность в двух точках (ММ 1 , ММ 2 , ..., ММ n), когда точки пересечения совпадают (М ≡ М n , l n ≡ l M). Очевидно {M 1 , М 2 , ..., М n } ∈ g, так как g ⊂ β. Из сказанного выше вытекает следующее определение: касательной к поверхности называется прямая, касательная к какой-либо кривой, принадлежащей поверхности .

Так как плоскость определяется двумя пересекающимися прямыми, то для задания плоскости, касательной к поверхности в заданной точке, достаточно провести через эту точку две произвольные линии, принадлежащие поверхности (желательно простые по форме), и к каждой из них построить касательные в точке пересечения этих линий. Построенные касательные однозначно определяют касательную плоскость. Наглядное представление о проведении плоскости α, касательной к поверхности β в заданной точке М, дает рис. 204. На этом рисунке показана также нормаль n к поверхности β.

Нормлью к поверхности в заданной точке называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Линию пересечении поверхности плоскостью, проходящей через нормаль, называют нормальным сечением поверхности. В зависимости от вида поверхности касательная плоскость может иметь, с поверхностью как одну, так и множество точек (линию). Линия касания может быть в то же время и линией пересечения поверхности с плоскостью.

Возможны также случаи, когда на поверхности имеются точки, на которых невозможно провести касательную к поверхности; такие точки называют особыми. В качестве примера особых точек можно привести точки, принадлежащие ребру возврата торсовой поверхности, или точку пересечения меридиана поверхности вращения с ее осью, если меридиан и ось пересекаются не под прямым углом.

Виды касания зависят от характера кривизны поверхности.

Кривизна поверхности

Вопросы кривизны поверхности были исследованы французским математиком Ф. Дюпеном (1784- 1873), который предложил наглядный способ изображения изменения кривизны нормальных сечений поверхности.

Для этого в плоскости, касательной к рассматриваемой поверхности в точке М (рис. 205, 206), на касательных к нормальным сечениям по обе стороны от данной точки откладываются отрезки, равные корням квадратным из величин соответствующих радиусов кривизны этих сечений. Множество точек - концов отрезков задают кривую, называемую индикатрисой Дюпена . Алгоритм построения индикатрисы Дюпена (рис. 205) можно записать:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

где R - радиус кривизны.

(A 1 ∪ А 2 ∪ ... ∪ А n) - индикатриса Дюпена.

Если индикатриса Дюпена поверхности - эллипс, то точка М называется эллиптической, а поверхность - поверхностью с эллиптическими точками (рис. 206). В этом случае касательная плоскость имеет с поверхностью только одну общую точку, а все линии, принадлежащие поверхности и пересекающиеся в рассматриваемой точке, расположены по одну сторону от касательной плоскости. Примером поверхностей с эллиптическими точками могут служить: параболоид вращения, эллипсоид вращения, сфера (в этом случае индикатриса Дюпена - окружность и др.).

При проведении касательной плоскости к торсовой поверхности плоскость будет касаться этой поверхности по прямой образующей. Точки этой прямой называются параболическими, а поверхность - поверхностью с параболическими точками . Индикатриса Дюпена в этом случае - две параллельные прямые (рис. 207*).

На рис. 208 показана поверхность, состоящая из точек, в кото

* Кривая второго порядка - парабола - при определенных условиях может распадаться на две действительные параллельные прямые, две мнимые параллельные прямые, две совпадающие прямые. На рис. 207 мы имеем дело с двумя действительными параллельными прямыми.

рых касательная плоскость пересекает поверхность. Такая поверхность называется гиперболической , а принадлежащие ей точки - гиперболическими точками. Индикатриса Дюпена в данном случае - гипербола.

Поверхность, все точки которой являются гиперболическими, имеет форму седла (косая плоскость, однополостный гиперболоид, вогнутые поверхности вращения и др.).

Одна поверхность может иметь точки разных видов, например, у торсовой поверхности (рис. 209) точка М эллиптическая; точка N - параболическая; точка К - гиперболическая.

В курсе дифференциальной геометрии доказывается, что нормальные сечения, в которых величины кривизны K j = 1/ R j (где R j радиус кривизны рассматриваемого сечения) имеют экстремальные значения, расположены в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

Такие кривизны К 1 = 1/R max . К 2 = 1/R min называются главными, а значения Н = (К 1 + К 2)/2 и К = К 1 К 2 - соответственно средней кривизной поверхности и полной (гауссовой) кривизной поверхности в рассматриваемой точке. Для эллиптических точек К > 0, гиперболических К

Задание плоскости касательной к поверхности на эпюре Монжа

Ниже на конкретных примерах покажем построение плоскости, касательной к поверхности с эллиптическими (пример 1), параболическими (пример 2) и гиперболическими (пример 3) точками.

ПРИМЕР 1. Построить плоскость α, касательную к поверхности вращения β, с эллиптическими точками. Рассмотрим два варианта решения этой задачи, а) точка М ∈ β и б) точка М ∉ β

Вариант а (рис. 210).

Касательная плоскость определяется двумя касательными t 1 и t 2 , проведенными в точке М к параллели и меридиану поверхности β.

Проекции касательной t 1 к параллели h поверхности β будут t" 1 ⊥ (S"M") и t" 1 || оси х. Горизонтальная проекция касательной t" 2 к меридиану d поверхности β, проходящему через точку М, совпадет с горизонтальной проекцией меридиана. Чтобы найти фронтальную проекцию касательной t" 2 , меридиональную плоскость γ(γ ∋ М) путем вращения вокруг оси поверхности β переводим в положение γ 1 , параллельное плоскости π 2 . В этом случае точка М → M 1 (М" 1 , М" 1).Проекция касательной t" 2 rarr; t" 2 1 определяется (M" 1 S"). Если мы теперь возвратим плоскость γ 1 в первоначальное положение, то точка S" останется на месте (как принадлежащая оси вращения), а М" 1 → М" и фронтальная проекция касательной t" 2 определится (M"S")

Две пересекающиеся в точке М ∈ β касательные t 1 и t 2 определяют плоскость α, касательную к поверхности β.

Вариант б (рис. 211)

Для построения плоскости, касательной к поверхности проходящей через точку, не принадлежащую поверхности, нужно исходить из следующих соображений: через точку вне поверхности, состоящей из эллиптических точек, можно провести множество плоскостей, касательных к поверхности. Огибающей этих поверхностей будет некоторая коническая поверхность. Поэтому, если нет дополнительных указаний, то задача имеет множество решений и в таком случае сводится к проведению конической поверхности γ, касательной к данной поверхности β.

На рис. 211 показано построение конической поверхности γ, касательной к сфере β. Любая плоскость α, касательная к конической поверхности γ, будет касательной к поверхности β.

Для построения проекций поверхности γ из точек М" и М" проводим касательные к окружностям h" и f" - проекциям сферы. Отмечаем точки касания 1 (1" и 1"), 2 (2" и 2"), 3 (3" и 3") и 4 (4" и 4"). Горизонтальная проекция окружности - линия касания конической поверхности и сферы спроецируется в [ 1"2"] Для нахождения точек эллипса, в который эта окружность спроецируется на фронтальную плоскость проекций, воспользуемся параллелями сферы.

На рис. 211 таким способом определены фронтальные проекции точек Е и F (Е" и F"). Имея коническую поверхность γ, строим к ней касательную плоскость α. Характер и последовательность графичес-

ких построений, которые необходимо для этого выполнить, приведены в следующем примере.

ПРИМЕР 2 Построить плоскость α, касательную к поверхности β с параболическими точками

Как в примере 1 рассмотрим два варианта решения.а) точка N ∈ β; б) точка N ∉ β

Вариант а (рис 212) .

Коническая поверхность относится к поверхностям с параболическими точками (см. рис. 207.) Плоскость, касательная к конической поверхности, касается ее по прямолинейной образующёи.Для ее построения необходимо:

1) через данную точку N провести образующую SN (S"N" и S"N") ;

2) отметить точку пересечения образующей (SN) с направляющей d: (SN) ∩ d = А;

3) провеет и к асательную t к d в точке А.

Образующая (SA) и пересекающая ее касательная t определяютплоскостъ α , касательную к конической поверхности β в данной точке N*.

Для проведения плоскости α, касательной к конической поверхности β и проходящей через точку N, не принадле

* Так как поверхность β состоит из параболических точек (кроме вершины S), то касательная к ней плоскость α будет иметь общую с ней не одну точку N, а прямую (SN).

жащую заданной поверхности, необходимо:

1) через данную точку N и вершину S конической поверхности β провести прямую а (а" и а") ;

2) определить горизонтальный след этой прямой Н a ;

3) через Н a провести касательные t" 1 и t" 2 кривой h 0β - горизонтальному следу конической поверхности;

4) точки касания А (А" и А") и В (В" и В") соединить с вершиной конической поверхности S (S" и S").

Пересекающиеся прямые t 1 , (AS) и t 2 , (BS) определяют искомые касательные плоскости α 1 и α 2

ПРИМЕР 3. Построить плоскость α, касательную к поверхности β с гиперболическими точками.

Точка К (рис. 214) находится на поверхности глобоида (внутренняя поверхность кольца).

Для определения положения касательной плоскости α необходимо:

1) провести через точку К параллель поверхности β h(h", h") ;

2) через точку К" провести касательную t" 1 (t" 1 ≡ h") ;

3) для определения направлений проекций касательной к меридиональному сечению необходимо провести через точку К и ось поверхности плоскость γ, горизонтальная проекция t" 2 совпадет с h 0γ ; для построения фронтальной проекции касательной t" 2 предварительно переведем плоскость γ путем вращения ее вокруг оси поверхности вращения в положение γ 1 || π 2 . В этом случае меридиональное сечение плоскостью γ совместится с левой очерковой дугой фронтальной проекции - полуокружностью g".

Точка К (К", К"), принадлежащая кривой меридионального сечения, переместится в положение K 1 (К" 1 , К" 1). Через К" 1 проводим фронтальную проекцию касательной t" 2 1 , в совмещенном с плоскостью γ 1 || π 2 положении и отмечаем точку ее пересечения с фронтальной проекцией оси вращения S" 1 . Возвращаем плоскость γ 1 в исходное положение, точка К" 1 → К" (точка S" 1 ≡ S"). Фронтальная проекция касательной t" 2 определится точками К" и S".

Касательные t 1 и t 2 определяют искомую касательную плоскость α, которая пересекает поверхность β по кривой l .

ПРИМЕР 4. Построить плоскость α, касательную к поверхности β в точке К. Точка К находится на поверхности однополостного гиперболоида вращения (рис. 215).

Эту задачу можно решить, придерживаясь алгоритма, использованного в предыдущем примере, но учитывая, что поверхность однополостного гиперболоида вращения является линейчатой поверхностью, которая имеет два семейства прямолинейных образующих, причем каждая из образующих одного семейства пересекает все образующие другого семейства (см. § 32, рис. 138). Через каждую точку этой поверхности можно провести две пересекающиеся прямые - образующие, которые будут одновременно касательными к поверхности однополостного гиперболоида вращения.

Эти касательные определяют касательную плоскость, т е. плоскость, касательная к поверхности однополостного гиперболоида вращения,пересекает эту поверхность по двум прямым g 1 и g 2 . Для построения проекций этих прямых достаточно ит горизонтальной проекции точки К пронести касательные t" 1 и t" 2 к горизон-

тальной проекции окружности d" 2 - горла поверхности однополостного гиперболоида вращения; определить точки 1" и 2 , в которых t" 1 и t" 2 пересекают одну ит направляющих поверхности d 1 . По 1" и 2" находим 1" и 2" , которые совместно с К" определяют фронтальные проекции искомых прямых.