Примеры сокращаем алгебраическую дробь. Преобразование выражений

Прежде чем перейти к изучению алгебраических дробей рекомендуем вспомнить, как работать с обыкновенными дробями.

Любая дробь, в которой есть буквенный множитель, называется алгебраической дробью.

Примеры алгебраических дробей .

Как и у обыкновенной дроби, в алгебраической дроби есть числитель (наверху) и знаменатель (внизу).

Сокращение алгебраической дроби

Алгебраическую дробь можно сокращать . При сокращении пользуются правилами сокращения обыкновенных дробей.

Напоминаем, что при сокращении обыкновенной дроби мы делили и числитель, и знаменатель на одно и тоже число.

Алгебраическую дробь сокращают таким же образом, но только числитель и знаменатель делят на один и тот же многочлен.

Рассмотрим пример сокращения алгебраической дроби .

Определим наименьшую степень, в которой стоит одночлен « a » . Наименьшая степень для одночлена « a » находится в знаменателе - это вторая степень.

Разделим, и числитель, и знаменатель на « a 2 ». При делении одночленов используем свойство степени частного.

Напоминаем, что любая буква или число в нулевой степени - это единица.

Нет необходимости каждый раз подробно записывать, на что сокращали алгебраическую дробь. Достаточно держать в уме степень, на которую сокращали, и записывать только результат.

Краткая запись сокращения алгебраической дроби выглядит следующим образом.

Сокращать можно только одинаковые буквенные множители.

Нельзя сокращать

Можно сокращать

Другие примеры сокращения алгебраических дробей.

Как сократить дробь с многочленами

Рассмотрим другой пример алгебраической дроби. Требуется сократить алгебраическую дробь, у которой в числителе стоит многочлен.

Сокращать многочлен в скобках можно только с точно таким же многочленом в скобках!

Ни в коем случае нельзя сокращать часть многочлена внутри скобок!

Неправильно

Определить, где заканчивается многочлен, очень просто. Между многочленами может быть только знак умножения. Весь многочлен находится внутри скобок.

После того, как мы определили многочлены алгебраической дроби, сократим многочлен « (m − n) » в числителе с многочленом « (m − n) » в знаменателе.

Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами.

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

Чтобы в алгебраических дробях появились одинаковые многочлены иногда нужно вынести общий множитель за скобки.

В таком виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как многочлен
« (3f + k) » можно сократить только со многочленом « (3f + k) ».

Поэтому, чтобы в числителе получить « (3f + k) », вынесем общий множитель « 5 ».

Сокращение дробей с помощью формул сокращенного умножения

В других примерах для сокращения алгебраических дробей требуется
применение формул сокращенного умножения.

В первоначальном виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как нет одинаковых многочленов.

Но если применить формулу разности квадратов для многочлена « (a 2 − b 2) », то одинаковые многочлены появятся.

Другие примеры сокращения алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения.

Сокращение алгебраических (рациональных) дробей основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Сокращать можно только множители!

Члены многочленов сокращать нельзя!

Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.

Рассмотрим примеры сокращения дробей.

В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.

Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это - 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 - 3.

Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь - значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а при делении степеней показатели вычитаем.

a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.

b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.

c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ - единица (ее не пишем). Таким образом,

Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби - многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо многочлены разложить на множители. В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:

И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе - 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.

Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.

В числителе - полный квадрат суммы, в знаменателе - разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:

Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):

В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе - формула разности кубов:

В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:

Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. Группируем первое слагаемое со вторым, третье - с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:

В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):

Сокращаем дробь на (x+2):

Сокращать можем только множители! Чтобы сократить данную дробь, нужно стоящие в числителе и знаменателе многочлены разложить на множители. В числителе общий множитель a³, в знаменателе - a⁵. Вынесем их за скобки:

Множители - степени с одинаковым основанием a³ и a⁵ - сокращаем на a³. От a³ остается 1, мы ее не пишем, от a⁵ остается a². В числителе выражение в скобках можно разложить как разность квадратов:

Сокращаем дробь на общий делитель (1+a):

А как сокращать дроби вида

в которых стоящие в числителе и знаменателе выражения отличаются только знаками?

Примеры сокращения таких дробей мы рассмотрим в следующий раз.

2 комментария

Очень хороший сайт,каждый день им пользуюсь, и помогает.
До того как я наткнулся на этот сайт,я не умел многое решать по алгебре, геометрии,но благодаря этому сайту мои оценки а 3 поднялись на 4-5.
Теперь я могу смело сдавать ОГЭ,и нн боятся что его не сдам!
Учитесь,и у Вас все получится!

Витя, желаю Вам успехов в учебе и высоких результатов на экзаменах!

www.algebraclass.ru

Сокращение алгебраических дробей правило

Сокращение алгебраических дробей

Новое понятие в математике редко возникает «из ничего», «на пустом месте». Оно появляется тогда, когда в нем ощущается объективная необходимость. Именно так появились в математике отрицательные числа, так появились обыкновенные и десятичные алгебраической дроби .

Предпосылки для введения нового понятия «алгебраическая дробь» у нас имеются. Давайте вернемcя к § 12. Обсуждая там деление одночлена на одночлен, мы рассмотрели ряд примеров. Выделим два из них.

1. Разделить одночлен 36а 3 b 5 на одночлен 4ab 2 (см. пример 1в) из §12).
Решали мы его так. Вместо записи 36а 3 b 5: 4аb 2 использовали черту дроби:

Это позволило вместо записей 36: 4, а 3: а, b 5: b 2 также использовать черту дроби, что сделало решение примера более наглядным:

2. Разделить одночлен 4x 3 на одночлен 2ху (см. пример 1 д) из § 12). Действуя по тому же образцу, мы получили:

В § 12 мы отметили, что одночлен 4x 3 не удалось разделить на одночлен 2ху так, чтобы получился одночлен . Но ведь математические модели реальных ситуаций могут содержать операцию деления любых одночленов, не обязательно таких, что один делится на другой. Предвидя это, математики ввели новое понятие - понятие алгебраической дроби. В частности, алгебраическая дробь. Теперь вернемся к § 18. Обсуждая там операцию деления многочлена на одночлен, мы отметили, что она не всегда выполнима. Так, в примере 2 из § 18 речь шла о делении двучлена 6х 3 — 24x 2 на одночлен 6х 2 . Эта операция оказалась выполнимой и в результате мы получили двучлен х — 4. Значит, Иными словами, алгебраическое выражение удалось заменить более простым выражением - многочленом х — 4.

В то же время в примере 3 из § 18 не удалось разделить многочлен 8a 3 + Ьа 2b — b на 2а 2 , т. е. выражение не удалось заменить более простым выражением, пришлось так и оставить его в виде алгебраической дроби.

Что же касается операции деления многочлена на многочлен , то мы о ней фактически ничего не говорили. Единственное, что мы можем сейчас сказать: один многочлен можно разделить на другой, если этот другой многочлен является одним из множителей в разложении первого многочлена на множители.

Например, х 3 — 1 = (х — 1) (х 2 + х + 1). Значит, х 3 — 1 можно разделить на х 2 + х + 1, получится х — 1; х 3 — 1 можно разделить на х — 1,

получится х 2 + х + 1.
многочленов Р и Q. При этом используют запись
где Р - числитель, Q - знаменатель алгебраической дроби.
Примеры алгебраических дробей:

Иногда алгебраическую дробь удается заменить многочленом. Например, как мы уже установили ранее,

(многочлен 6x 3 — 24x 2 удалось разделить на 6x 2 , при этом в частном получается x — 4); мы также отмечали, что

Но так бывает сравнительно редко.

Впрочем, похожая ситуация уже встречалась вам - при изучении обыкновенных дробей. Например, дробь - можно заменить целым числом 4, а дробь - целым числом 5. Однако дробь - целым числом заменить не удается, хотя эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на число 8 - общий множитель числителя и знаменателя:
Точно так же можно сокращать алгебраические дроби, разделив одновременно числитель и знаменатель дроби на их общий множетель . А для этого надо разложить и числитель, и знаменатель дроби на множители. Здесь нам и понадобится все то, что мы так долго обсуждали в этой главе.

Пример. Сократить алгебраическую дробь:

Решение, а) Найдем общий множитель для одночленов
12х 3 у 4 и 8х 2 у 5 так, как мы делали в § 20. Получим 4х 2 у 4 . Тогда 12x 3 y 4 = 4x 2 y 4 Зх; 8x 2 y 5 = 4x 2 y 4 2у.
Значит,

Числитель и знаменатель заданной алгебраической дроби сократили на общий множитель 4х 2 у 4 .
Решение этого примера можно записать по-другому:

б) Чтобы сократить дробь, разложим ее числитель и знаменатель на множители. Получим:

(дробь сократили на общий множитель а + b).

А теперь вернитесь к замечанию 2 из § 1. Видите, данное там обещание мы наконец-то смогли выполнить.
в) Имеем:

(сократили дробь на общий множитель числителя и знаменателя, т. е. на х (x — у))

Итак, для того чтобы сократить алгебраическую к дробь, нужно прежде всего разложить на множители ее числитель и знаменатель. Так что ваш успех в этом новом деле (сокращении алгебраических дробей) в основном зависит от того, как вы усвоили материал предыдущих параграфов этой главы.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.

Сокращение алгебраических дробей: правило, примеры.

Продолжаем изучение темы преобразование алгебраических дробей. В этой статье мы подробно остановимся на сокращении алгебраических дробей . Сначала разберемся, что понимают под термином «сокращение алгебраической дроби», и выясним, всегда ли алгебраическая дробь сократима. Дальше приведем правило, позволяющее проводить это преобразование. Наконец, рассмотрим решения характерных примеров, которые позволят уяснить все тонкости процесса.

Навигация по странице.

Что значит сократить алгебраическую дробь?

Изучая обыкновенные дроби, мы говорили про их сокращение. Сокращением обыкновенной дроби мы назвали деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. Например, обыкновенную дробь 30/54 можно сократить на 6 (то есть, разделить на 6 ее числитель и знаменатель), что приведет нас к дроби 5/9 .

Под сокращением алгебраической дроби понимают аналогичное действие. Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Но если общим множителем числителя и знаменателя обыкновенной дроби может быть только число, то общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может быть многочлен, в частности, одночлен или число.

Например, алгебраическую дробь можно сократить на число 3 , что даст дробь . Также можно выполнить сокращение на переменную x , что приведет к выражению . Исходную алгебраическую дробь можно подвергнуть сокращению на одночлен 3·x , а также на любой из многочленов x+2·y , 3·x+6·y , x 2 +2·x·y или 3·x 2 +6·x·y .

Конечная цель сокращения алгебраической дроби состоит в получении дроби более простого вида, в лучшем случае – несократимой дроби.

Любая ли алгебраическая дробь подлежит сокращению?

Нам известно, что обыкновенные дроби подразделяются на сократимые и несократимые дроби. Несократимые дроби не имеют отличных от единицы общих множителей в числителе и знаменателе, следовательно, не подлежат сокращению.

Алгебраические дроби также могут иметь общие множители числителя и знаменателя, а могут и не иметь. При наличии общих множителей возможно сокращение алгебраической дроби. Если же общих множителей нет, то упрощение алгебраической дроби посредством ее сокращения невозможно.

В общем случае по внешнему виду алгебраической дроби достаточно сложно определить, возможно ли выполнить ее сокращение. Несомненно, в некоторых случаях общие множители числителя и знаменателя очевидны. Например, хорошо видно, что числитель и знаменатель алгебраической дроби имеют общий множитель 3 . Также несложно заметить, что алгебраическую дробь можно сократить на x , на y или сразу на x·y . Но намного чаще общего множителя числителя и знаменателя алгебраической дроби сразу не видно, а еще чаще – его просто нет. К примеру, дробь возможно сократить на x−1 , но этот общий множитель явно не присутствует в записи. А алгебраическую дробь сократить невозможно, так как ее числитель и знаменатель не имеют общих множителей.

Вообще, вопрос о сократимости алгебраической дроби очень непростой. И порой проще решить задачу, работая с алгебраической дробью в исходном виде, чем выяснить, можно ли эту дробь предварительно сократить. Но все же существуют преобразования, которые в некоторых случаях позволяют с относительно небольшими усилиями найти общие множители числителя и знаменателя, если таковые имеются, либо сделать вывод о несократимости исходной алгебраической дроби. Эта информация будет раскрыта в следующем пункте.

Правило сокращения алгебраических дробей

Информация предыдущих пунктов позволяет естественным образом воспринять следующее правило сокращения алгебраических дробей , которое состоит из двух шагов:

сначала находятся общие множители числителя и знаменателя исходной дроби;
если таковые имеются, то проводится сокращение на эти множители.

Указанные шаги озвученного правила нуждаются в разъяснении.

Самый удобный способ отыскания общих заключается в разложении на множители многочленов, находящихся в числителе и знаменателе исходной алгебраической дроби. При этом сразу становятся видны общие множители числителя и знаменателя, либо становится видно, что общих множителей нет.

Если общих множителей нет, то можно делать вывод о несократимости алгебраической дроби. Если же общие множители обнаружены, то на втором шаге они сокращаются. В результате получается новая дробь более простого вида.

В основе правила сокращения алгебраических дробей лежит основное свойство алгебраической дроби, которое выражается равенством , где a , b и c – некоторые многочлены, причем b и c – ненулевые. На первом шаге исходная алгебраическая дробь приводится к виду , из которого становится виден общий множитель c , а на втором шаге выполняется сокращение – переход к дроби .

Переходим к решению примеров с использованием данного правила. На них мы и разберем все возможные нюансы, возникающие при разложении числителя и знаменателя алгебраической дроби на множители и последующем сокращении.

Характерные примеры

Для начала нужно сказать про сокращение алгебраических дробей, числитель и знаменатель которых одинаковые. Такие дроби тождественно равны единице на всей ОДЗ входящих в нее переменных, например,
и т.п.

Теперь не помешает вспомнить, как выполняется сокращение обыкновенных дробей – ведь они являются частным случаем алгебраических дробей. Натуральные числа в числителе и знаменателе обыкновенной дроби раскрадываются на простые множители, после чего общие множители сокращаются (при их наличии). Например, . Произведение одинаковых простых множителей можно записывать в виде степеней, а при сокращении пользоваться свойством деления степеней с одинаковыми основаниями. В этом случае решение выглядело бы так: , здесь мы числитель и знаменатель разделили на общий множитель 2 2 ·3 . Или для большей наглядности на основании свойств умножения и деления решение представляют в виде .

По абсолютно аналогичным принципам проводится сокращение алгебраических дробей, в числителе и знаменателе которых находятся одночлены с целыми коэффициентами.

Сократите алгебраическую дробь .

Можно представить числитель и знаменатель исходной алгебраической дроби в виде произведения простых множителей и переменных, после чего провести сокращение:

Но более рационально решение записать в виде выражения со степенями:

Что касается сокращения алгебраических дробей, имеющих дробные числовые коэффициенты в числителе и знаменателе, то можно поступать двояко: либо отдельно выполнять деление этих дробных коэффициентов, либо предварительно избавляться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некоторое натуральное число. Про последнее преобразование мы говорили в статье приведение алгебраической дроби к новому знаменателю, его можно проводить в силу основного свойства алгебраической дроби. Разберемся с этим на примере.

Выполните сокращение дроби .

Можно сократить дробь следующим образом: .

А можно было предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, то есть, на НОК(5, 10)=10 . В этом случае имеем .

Можно переходить к алгебраическим дробям общего вида, у которых в числителе и знаменателе могут быть как числа и одночлены, так и многочлены.

При сокращении таких дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует. Для того, чтобы найти общий множитель или убедиться в его отсутствии нужно числитель и знаменатель алгебраической дроби разложить на множители.

Сократите рациональную дробь .

Для этого разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Начнем с вынесения за скобки: . Очевидно, выражения в скобках можно преобразовать, используя формулы сокращенного умножения: . Теперь хорошо видно, что можно провести сокращение дроби на общий множитель b 2 ·(a+7) . Сделаем это .

Краткое решение без пояснений обычно записывают в виде цепочки равенств:

Иногда общие множители могут быть скрыты числовыми коэффициентами. Поэтому при сокращении рациональных дробей целесообразно числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.

Сократите дробь , если это возможно.

На первый взгляд числитель и знаменатель не имеют общего множителя. Но все же, попробуем выполнить некоторые преобразования. Во-первых, можно вынести за скобки множитель x в числителе: .

Теперь проглядывается некоторая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x 2 ·y . Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:

После проделанных преобразований виден общий множитель, на который и проводим сокращение. Имеем

Завершая разговор о сокращении рациональных дробей заметим, что успех во многом зависит от умения раскладывать многочлены на множители.

www.cleverstudents.ru

Математика

Строка навигации

Сокращение алгебраических дробей

Опираясь на вышеуказанное свойство, мы можем упрощать алгебраические дроби так же, как это делают с арифметическими дробями, сокращая их.

Сокращение дробей состоит в том, что числителя и знаменателя дроби делят на одно и то же число.

Если алгебраическая дробь одночленная, то числитель и знаменатель представляется в виде произведения нескольких множителей, и сразу видно, на какие одинаковые числа можно их разделить:

Ту же дробь мы можем написать подробнее: . Мы видим, что последовательно можно делить и числителя и знаменателя 4 раза на a , т. е. в конце-концов разделить каждого из них на a 4 . Поэтому ; также и т. п. Итак, если в числителе и знаменателе имеются множителями различные степени одной и той же буквы, то можно сократить эту дробь на меньшую степень этой буквы.

Если дробь многочленная, то приходится сначала эти многочлены разложить, если возможно, на множители, и тогда явится возможность увидать, на какие одинаковые множители можно делить и числителя и знаменателя.

…. числитель легко раскладывается на множители «по формуле» – он представляет собой квадрат разности двух чисел, а именно (x – 3) 2 . Знаменатель к формулам не подходит и придется его разлагать приемом, употребляемым для квадратного трехчлена: подыщем 2 числа, так, чтобы их сумма равнялась –1 и их произведение = –6, – эти числа суть –3 и + 2; тогда x 2 – x – 6 = x 2 – 3x + 2x – 6 = x (x – 3) + 2 (x – 3) = (x – 3) (x + 2).

Что значит сократить дробь?

Мы знаем, что обыкновенные дроби подразделяются на сократимые и несократимые дроби . По названиям можно догадаться, что сократимые дроби можно сократить, а несократимые – нельзя.

Что же значит сократить дробь? Сократить дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на их положительный и отличный от единицы . Понятно, что в результате сокращения дроби получается новая дробь с меньшим числителем и знаменателем, причем, в силу основного свойства дроби , полученная дробь равна исходной.

Для примера, проведем сокращение обыкновенной дроби 8/24 , разделив ее числитель и знаменатель на 2 . Иными словами, сократим дробь 8/24 на 2 . Так как 8:2=4 и 24:2=12 , то в результате такого сокращения получается дробь 4/12 , которая равна исходной дроби 8/24 (смотрите равные и неравные дроби). В итоге имеем .

Приведение обыкновенных дробей к несократимому виду

Обычно конечной целью сокращения дроби является получение несократимой дроби, которая равна исходной сократимой дроби. Эта цель может быть достигнута, если провести сокращение исходной сократимой дроби на ее числителя и знаменателя. В результате такого сокращения всегда получается несократимая дробь. Действительно, дробь является несократимой, так как из известно, что и - . Здесь же скажем, что наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби является наибольшим числом, на которое можно сократить эту дробь.

Итак, приведение обыкновенной дроби к несократимому виду заключается в делении числителя и знаменателя исходной сократимой дроби на их НОД.

Разберем пример, для чего вернемся к дроби 8/24 и сократим ее на наибольший общий делитель чисел 8 и 24 , который равен 8 . Так как 8:8=1 и 24:8=3 , то мы приходим к несократимой дроби 1/3 . Итак, .

Заметим, что под фразой «сократите дробь» часто подразумевают приведение исходной дроби именно к несократимому виду. Другими словами, сокращением дроби очень часто называют деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель (а не на любой их общий делитель).

Как сократить дробь? Правило и примеры сокращения дробей

Осталось лишь разобрать правило сокращения дробей, которое и объясняет, как сократить данную дробь.

Правило сокращения дробей состоит из двух шагов:

во-первых, находится НОД числителя и знаменателя дроби;
во-вторых, проводится деление числителя и знаменателя дроби на их НОД, что дает несократимую дробь, равную исходной.

Разберем пример сокращения дроби по озвученному правилу.

Пример.

Сократите дробь 182/195 .

Решение.

Выполним оба шага, предписанные правилом сокращения дроби.

Сначала находим НОД(182, 195) . Наиболее удобно воспользоваться алгоритмом Евклида (смотрите ): 195=182·1+13 , 182=13·14 , то есть, НОД(182, 195)=13 .

Теперь делим числитель и знаменатель дроби 182/195 на 13 , при этом получаем несократимую дробь 14/15 , которая равна исходной дроби. На этом сокращение дроби закончено.

Кратко решение можно записать так: .

Ответ:

На этом с сокращением дробей можно и закончить. Но для полноты картины рассмотрим еще два способа сокращения дробей, которые обычно применяются в легких случаях.

Иногда числитель и знаменатель сокращаемой дроби несложно . Сократить дробь в этом случае очень просто: нужно лишь убрать все общие множители из числителя и знаменателя.

Стоит отметить, что этот способ напрямую следует из правила сокращения дробей, так как произведение всех общих простых множителей числителя и знаменателя равно их наибольшему общему делителю.

Разберем решение примера.

Пример.

Сократите дробь 360/2 940 .

Решение.

Разложим числитель и знаменатель на простые множители: 360=2·2·2·3·3·5 и 2 940=2·2·3·5·7·7 . Таким образом, .

Теперь избавляемся от общих множителей в числителе и знаменателе, для удобства, их просто зачеркиваем: .

Наконец, перемножаем оставшиеся множители: , и сокращение дроби закончено.

Вот краткая запись решения: .

Ответ:

Рассмотрим еще один способ сокращения дроби, который состоит в последовательном сокращении. Здесь на каждом шаге проводится сокращение дроби на некоторый общий делитель числителя и знаменателя, который либо очевиден, либо легко определяется с помощью

Данная статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие как сокращение алгебраических дробей. Дадим определение самому термину, сформулируем правило сокращения и разберем практические примеры.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Смысл сокращения алгебраической дроби

В материалах об обыкновенной дроби мы рассматривали ее сокращение. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.

Сокращение алгебраической дроби представляет собой аналогичное действие.

Определение 1

Сокращение алгебраической дроби – это деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. При этом, в отличие от сокращения обыкновенной дроби (общим знаменателем может быть только число), общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может служить многочлен, в частности, одночлен или число.

К примеру, алгебраическая дробь 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 может быть сокращена на число 3 , в итоге получим: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Эту же дробь мы можем сократить на переменную х, и это даст нам выражение 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2 . Также заданную дробь возможно сократить на одночлен 3 · x или любой из многочленов x + 2 · y , 3 · x + 6 · y , x 2 + 2 · x · y или 3 · x 2 + 6 · x · y .

Конечной целью сокращения алгебраической дроби является дробь более простого вида, в лучшем случае – несократимая дробь.

Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?

Опять же из материалов об обыкновенных дробях мы знаем, что существуют сократимые и несократимые дроби. Несократимые – это дроби, не имеющие общих множителей числителя и знаменателя, отличных от 1 .

С алгебраическими дробями все так же: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь посредством сокращения. Когда общих множителей нет, оптимизировать заданную дробь способом сокращения невозможно.

В общих случаях по заданному виду дроби довольно сложно понять, подлежит ли она сокращению. Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя числителя и знаменателя очевидно. Например, в алгебраической дроби 3 · x 2 3 · y совершенно понятно, что общим множителем является число 3 .

В дроби - x · y 5 · x · y · z 3 также мы сразу понимаем, что сократить ее возможно на х, или y , или на х · y . И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще – он попросту отсутствует.

Например, дробь x 3 - 1 x 2 - 1 мы можем сократить на х - 1 , при этом указанный общий множитель в записи отсутствует. А вот дробь x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 подвергнуть действию сокращения невозможно, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя.

Таким образом, вопрос выяснения сократимости алгебраической дроби не так прост, и зачастую проще работать с дробью заданного вида, чем пытаться выяснить, сократима ли она. При этом имеют место такие преобразования, которые в частных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби. Разберем детально этот вопрос в следующем пункте статьи.

Правило сокращения алгебраических дробей

Правило сокращения алгебраических дробей состоит из двух последовательных действий:

нахождение общих множителей числителя и знаменателя;
в случае нахождения таковых осуществление непосредственно действия сокращения дроби.

Самым удобным методом отыскания общих знаменателей является разложение на множители многочленов, имеющихся в числителе и знаменателе заданной алгебраической дроби. Это позволяет сразу наглядно увидеть наличие или отсутствие общих множителей.

Само действие сокращения алгебраической дроби базируется на основном свойстве алгебраической дроби, выражаемой равенством undefined , где a , b , c – некие многочлены, причем b и c – ненулевые. Первым шагом дробь приводится к виду a · c b · c , в котором мы сразу замечаем общий множитель c . Вторым шагом – выполняем сокращение, т.е. переход к дроби вида a b .

Характерные примеры

Несмотря на некоторую очевидность, уточним про частный случай, когда числитель и знаменатель алгебраической дроби равны. Подобные дроби тождественно равны 1 на всей ОДЗ переменных этой дроби:

5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3 , 2 · x 3 - 3 , 2 · x 3 = 1 ; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

Поскольку обыкновенные дроби являются частным случаем алгебраических дробей, напомним, как осуществляется их сокращение. Натуральные числа, записанные в числителе и знаменателе, раскладываются на простые множители, затем общие множители сокращаются (если таковые имеются).

К примеру, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105

Произведение простых одинаковых множителей возможно записать как степени, и в процессе сокращения дроби использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. Тогда вышеуказанное решение было бы таким:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 · 5 · 7 = 2 105

(числитель и знаменатель разделены на общий множитель 2 2 · 3 ). Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, решению дадим такой вид:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105

По аналогии осуществляется сокращение алгебраических дробей, у которых в числителе и знаменателе имеются одночлены с целыми коэффициентами.

Пример 1

Задана алгебраическая дробь - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необходимо произвести ее сокращение.

Решение

Возможно записать числитель и знаменатель заданной дроби как произведение простых множителей и переменных, после чего осуществить сокращение:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 · a 3 2 · c 6

Однако, более рациональным способом будет запись решения в виде выражения со степенями:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Ответ: - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 9 · a 3 2 · c 6

Когда в числителе и знаменателе алгебраической дроби имеются дробные числовые коэффициенты, возможно два пути дальнейших действий: или отдельно осуществить деление этих дробных коэффициентов, или предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некое натуральное число. Последнее преобразование проводится в силу основного свойства алгебраической дроби (про него можно почитать в статье «Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю»).

Пример 2

Задана дробь 2 5 · x 0 , 3 · x 3 . Необходимо выполнить ее сокращение.

Решение

Возможно сократить дробь таким образом:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2

Попробуем решить задачу иначе, предварительно избавившись от дробных коэффициентов – умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, т.е. на НОК (5 , 10) = 10 . Тогда получим:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0 , 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .

Ответ: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2

Когда мы сокращаем алгебраические дроби общего вида, в которых числители и знаменатели могут быть как одночленами, так и многочленами, возможна проблема, когда общий множитель не всегда сразу виден. Или более того, он попросту не существует. Тогда для определения общего множителя или фиксации факта о его отсутствии числитель и знаменатель алгебраической дроби раскладывают на множители.

Пример 3

Задана рациональная дробь 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Необходимо ее сократить.

Решение

Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Осуществим вынесение за скобки:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49)

Мы видим, что выражение в скобках возможно преобразовать с использованием формул сокращенного умножения:

2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7)

Хорошо заметно, что возможно сократить дробь на общий множитель b 2 · (a + 7) . Произведем сокращение:

2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b

Краткое решение без пояснений запишем как цепочку равенств:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b

Ответ: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b - 7 · b .

Случается, что общие множители скрыты числовыми коэффициентами. Тогда при сокращении дробей оптимально числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.

Пример 4

Дана алгебраическая дробь 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Необходимо осуществить ее сокращение, если это возможно.

Решение

На первый взгляд у числителя и знаменателя не существует общего знаменателя. Однако, попробуем преобразовать заданную дробь. Вынесем за скобки множитель х в числителе:

1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2

Теперь видна некая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x 2 · y . Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:

x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · - 2 7 · - 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 1 5 · 3 1 2 = = - 2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10

Теперь становится виден общий множитель, осуществляем сокращение:

2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10 = - 2 7 · x 5 = - 2 35 · x

Ответ: 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = - 2 35 · x .

Сделаем акцент на том, что навык сокращения рациональных дробей зависит от умения раскладывать многочлены на множители.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На первый взгляд алгебраические дроби кажутся очень сложными, и неподготовленный учащийся может подумать, что с ними невозможно ничего сделать. Нагромождение переменных, чисел и даже степеней навевает страх. Тем не менее, для сокращения обычных (например, 15/25) и алгебраических дробей используются одни и те же правила.

Шаги

Сокращение дробей

Ознакомьтесь с действиями с простыми дробями. Операции с обычными и алгебраическими дробями аналогичны. К примеру, возьмем дробь 15/35. Чтобы упростить эту дробь, следует найти общий делитель . Оба числа делятся на пять, поэтому мы можем выделить 5 в числителе и знаменателе:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Теперь можно сократить общие множители , то есть вычеркнуть 5 в числителе и знаменателе. В результате получаем упрощенную дробь 3/7 . В алгебраических выражениях общие множители выделяются точно так же, как и в обычных. В предыдущем примере мы смогли легко выделить 5 из 15 - тот же принцип применим и к более сложным выражениям, таким как 15x – 5. Найдем общий множитель. В данном случае это будет 5, так как оба члена (15x и -5) делятся на 5. Как и ранее, выделим общий множитель и перенесем его влево .

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Чтобы проверить, все ли правильно, достаточно умножить на 5 стоящее в скобках выражение - в результате получатся те же числа, что были сначала. Сложные члены можно выделять точно так же, как и простые. Для алгебраических дробей применимы те же принципы, что и для обычных. Это наиболее простой способ сократить дробь. Рассмотрим следующую дробь:

(x+2)(x-3) (x+2)(x+10)

Отметим, что и в числителе (сверху), и в знаменателе (снизу) присутствует член (x+2), поэтому его можно сократить так же, как общий множитель 5 в дроби 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3) (x+2) (x+10) → (x+10)

В результате получаем упрощенное выражение: (x-3)/(x+10)

Сокращение алгебраических дробей

Найдите общий множитель в числителе, то есть в верхней части дроби. При сокращении алгебраической дроби первым делом следует упростить обе ее части. Начните с числителя и постарайтесь разложить его на как можно большее число множителей. Рассмотрим в данном разделе следующую дробь:

9x-3 15x+6

Начнем с числителя: 9x – 3. Для 9x и -3 общим множителем является число 3. Вынесем 3 за скобки, как это делается с обычными числами: 3 * (3x-1). В результате данного преобразования получится следующая дробь:

3(3x-1) 15x+6

Найдите общий множитель в числителе. Продолжим выполнение приведенного выше примера и выпишем знаменатель: 15x+6. Как и раньше, найдем, на какое число делятся обе части. И в этом случае общим множителем является 3, так что можно записать: 3 * (5x +2). Перепишем дробь в следующем виде:

3(3x-1) 3(5x+2)

Сократите одинаковые члены. На этом шаге можно упростить дробь. Сократите одинаковые члены в числителе и знаменателе. В нашем примере это число 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Определите, что дробь имеет простейший вид. Дробь полностью упрощена в том случае, когда в числителе и знаменателе не осталось общих множителей. Учтите, что нельзя сокращать те члены, которые стоят внутри скобок - в приведенном примере нет возможности выделить x из 3x и 5x, поскольку полными членами являются (3x -1) и (5x + 2). Таким образом, дробь не поддается дальнейшему упрощению, и окончательный ответ выглядит следующим образом:

(3x-1) (5x+2)

Потренируйтесь сокращать дроби самостоятельно. Лучший способ усвоить метод заключается в самостоятельном решении задач. Под примерами приведены правильные ответы.

4(x+2)(x-13) (4x+8)

Ответ: (x=13)

2x 2 -x 5x

Ответ: (2x-1)/5

Специальные приемы

Вынесите отрицательный знак за пределы дроби. Предположим, дана следующая дробь:

3(x-4) 5(4-x)

Заметьте, что (x-4) и (4-x) “почти” идентичны, но их нельзя сократить сразу, поскольку они “перевернуты”. Тем не менее, (x - 4) можно записать как -1 * (4 - x), подобно тому как (4 + 2x) можно переписать в виде 2 * (2 + x). Это называется “переменой знака”.

-1 * 3(4-x) 5(4-x)

Теперь можно сократить одинаковые члены (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Итак, получаем окончательный ответ: -3/5 . Научитесь распознавать разницу квадратов. Разница квадратов - это когда квадрат одного числа вычитается из квадрата другого числа, как в выражении (a 2 - b 2). Разницу полных квадратов всегда можно разложить на две части - сумму и разницу соответствующих квадратных корней. Тогда выражение примет следующий вид:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Этот прием очень полезен при поиске общих членов в алгебраических дробях.

Проверьте, правильно ли вы разложили то или иное выражение на множители. Для этого перемножьте множители - в результате должно получиться то же самое выражение.
Чтобы полностью упростить дробь, всегда выделяйте наибольшие множители.

Тема: Разложение многочленов на множители

Урок: Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей в более сложных случаях

Напомним, что алгебраическая есть отношение многочленов:

В предыдущем уроке мы провели аналогию между алгебраической дробью и арифметической дробью. Напомним:

Результат разложения на множители числителя и знаменателя некоторой дроби;

Конкретно это была дробь

Сократим заданное выражение:

Заменим числа переменными x, y, z, получим:

Напомним, что основная задача при работе с алгебраическими дробями - разложить числитель и знаменатель на множители и если появится такая возможность сократить общие множители.

Рассмотрим примеры:

Преобразуем числитель с помощью формулы разности квадратов:

Сократим появившийся общий множитель:

В результате деления двучленов получен двучлен, который мы расписали по формуле разности кубов и получили его разложение на множители;

Разложим на множители числитель и знаменатель. В знаменателе в явном виде стоит формула квадрата суммы, а в числителе под квадратом стоит разность квадратов:

Раскроем квадрат в числителе, для этого каждый множитель возведем в квадрат:

Сократим общий множитель:

Пример 3 - упростить дробь и вычислить ее значение при :

Разложим на множители числитель и знаменатель:

Сократим общий множитель:

Подставим значение и вычислим значение дроби:

Пример 4 - упростить дробь и вычислить ее значение при :

Применим к числителю формулу разности квадратов, а к знаменателю формулу квадрата суммы:

Подставим значение и вычислим:

Пример 5 - разложить на множители:

Применим способ группировки для разложения числителя и знаменателя:

Сократим общий множитель:

Вывод : в данном уроке мы вспомнили, что такое алгебраическая дробь и каковы основы работы с ней. Мы научились решать сложные примеры и закрепили навыки решения заданий с алгебраическими дробями.

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

1. Вся элементарная математика ().

Задание 1: Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 446, ст.152;

Задание 2: Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 447, ст.152;

Задание 3: Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 448, ст.152;

Примеры сокращаем алгебраическую дробь. Преобразование выражений

Сокращение алгебраической дроби

Нельзя сокращать

Можно сокращать

Как сократить дробь с многочленами

Неправильно

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

Сокращение дробей с помощью формул сокращенного умножения

2 комментария

Сокращение алгебраических дробей правило

Сокращение алгебраических дробей: правило, примеры.

Что значит сократить алгебраическую дробь?

Любая ли алгебраическая дробь подлежит сокращению?

Правило сокращения алгебраических дробей

Характерные примеры

Математика

Строка навигации

Сокращение алгебраических дробей

Популярное:

Что значит сократить дробь?

Приведение обыкновенных дробей к несократимому виду

Как сократить дробь? Правило и примеры сокращения дробей

Смысл сокращения алгебраической дроби

Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?

Правило сокращения алгебраических дробей

Характерные примеры

Шаги

Сокращение дробей

Сокращение алгебраических дробей

Специальные приемы