Funkcja liniowa i jej. Funkcja liniowa

Definicja funkcji liniowej

Wprowadźmy definicję funkcji liniowej

Definicja

Funkcja w postaci $y=kx+b$, gdzie $k$ jest niezerowe, nazywana jest funkcją liniową.

Wykres funkcji liniowej jest linią prostą. Liczba $k$ nazywana jest nachyleniem prostej.

Dla $b=0$ funkcja liniowa nazywana jest funkcją bezpośredniej proporcjonalności $y=kx$.

Rozważ rysunek 1.

Ryż. 1. Geometryczne znaczenie nachylenia linii prostej

Rozważ trójkąt ABC. Widzimy, że $BC=kx_0+b$. Znajdź punkt przecięcia prostej $y=kx+b$ z osią $Ox$:

\ \

Zatem $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Znajdźmy stosunek tych stron:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Z drugiej strony $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

W ten sposób można wyciągnąć następujący wniosek:

Wyjście

zmysł geometryczny współczynnik $k$. Nachylenie prostej $k$ jest równe stycznej nachylenia tej prostej do osi $Ox$.

Badanie funkcji liniowej $f\left(x\right)=kx+b$ i jej wykresu

Najpierw rozważ funkcję $f\left(x\right)=kx+b$, gdzie $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Dlatego funkcja ta rośnie w całej dziedzinie definicji. Nie ma skrajnych punktów.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Wykres (ryc. 2).

Ryż. 2. Wykresy funkcji $y=kx+b$, dla $k > 0$.

Rozważmy teraz funkcję $f\left(x\right)=kx$, gdzie $k

1. Zakres to same liczby.
2. Zakres to same liczby.
3. $f\lewo(-x\prawo)=-kx+b$. Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
4. Dla $x=0,f\left(0\right)=b$. Dla $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ i $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Dlatego funkcja nie ma punktów przegięcia.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Wykres (ryc. 3).

Pojęcie funkcji numerycznej. Sposoby ustawiania funkcji. Właściwości funkcji.

Funkcja numeryczna to funkcja, która działa od jednej przestrzeni liczbowej (zestawu) do innej przestrzeni liczbowej (zestawu).

Istnieją trzy główne sposoby definiowania funkcji: analityczne, tabelaryczne i graficzne.

1. Analityczne.

Metoda określania funkcji za pomocą formuły nazywa się analityczną. Ta metoda jest najważniejsza w macie. analiza, ale w praktyce nie jest to wygodne.

2. Tabelaryczny sposób ustawiania funkcji.

Funkcję można zdefiniować za pomocą tabeli zawierającej wartości argumentów i odpowiadające im wartości funkcji.

3. Graficzny sposób przypisania funkcji.

Funkcja y \u003d f (x) jest wywoływana graficznie, jeśli jej wykres jest zbudowany. Ta metoda ustawiania funkcji umożliwia określenie wartości funkcji tylko w przybliżeniu, ponieważ budowa wykresu i znajdowanie na nim wartości funkcji wiąże się z błędami.

Własności funkcji, które należy wziąć pod uwagę podczas kreślenia jej wykresu:

1) Region definicje funkcji.

zakres funkcji, czyli te wartości, które może przyjąć argument x funkcji F =y (x).

2) Przedziały funkcji rosnących i malejących.

Funkcja nazywa się zwiększaniem na rozważanym przedziale, jeśli większa wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji y(x). Oznacza to, że jeśli z rozważanego przedziału weźmiemy dwa dowolne argumenty x 1 i x 2, a x 1 > x 2, to y (x 1) > y (x 2).

Funkcja nazywa się malejąca na rozważanym przedziale, jeśli większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji y(x). Oznacza to, że jeśli z rozważanego przedziału weźmiemy dwa dowolne argumenty x 1 i x 2, a x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Zera funkcji.

Punkty, w których funkcja F \u003d y (x) przecina oś odciętych (uzyskuje się je przez rozwiązanie równania y (x) \u003d 0) i nazywane są zerami funkcji.

4) Funkcje parzyste i nieparzyste.

Funkcja nazywa się parzysta, jeśli dla wszystkich wartości argumentu z zakresu

y(-x) = y(x).

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi y.

Funkcja nazywa się nieparzysta, jeśli dla wszystkich wartości argumentu z zakresu

y(-x) = -y(x).

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem początku.

Wiele funkcji nie jest ani parzystych, ani nieparzystych.

5) Okresowość funkcji.

Funkcja nazywa się okresową, jeśli istnieje liczba P taka, że ​​dla wszystkich wartości argumentu z dziedziny definicji

y(x + P) = y(x).

Funkcja liniowa, jego właściwości i wykres.

Funkcja liniowa jest funkcją postaci y = kx + b, zdefiniowany na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych.

k– współczynnik nachylenia (liczba rzeczywista)

b– termin wolny (liczba rzeczywista)

x jest zmienną niezależną.

· W szczególnym przypadku, jeśli k = 0, otrzymujemy stałą funkcję y = b, której wykres jest linią prostą równoległą do osi Ox, przechodzącą przez punkt o współrzędnych (0; b).

· Jeśli b = 0, to otrzymujemy funkcję y = kx, która jest wprost proporcjonalnością.

o Geometrycznym znaczeniem współczynnika b jest długość odcinka, który linia prosta odcina wzdłuż osi Oy, licząc od początku.

o Geometrycznym znaczeniem współczynnika k jest kąt nachylenia prostej do dodatniego kierunku osi Ox, uważany jest za przeciwny do ruchu wskazówek zegara.

Właściwości funkcji liniowej:

1) Dziedziną definicji funkcji liniowej jest cała oś rzeczywista;

2) Jeżeli k ≠ 0, to zakresem funkcji liniowej jest cała oś rzeczywista.

Jeżeli k = 0, to zakres funkcji liniowej składa się z liczby b;

3) Nieparzystość i nieparzystość funkcji liniowej zależą od wartości współczynników k i b.

a) b ≠ 0, k = 0, zatem y = b jest parzyste;

b) b = 0, k ≠ 0, stąd y = kx jest nieparzyste;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, stąd y = kx + b jest funkcją ogólny widok;

d) b = 0, k = 0, stąd y = 0 jest zarówno funkcją parzystą, jak i nieparzystą.

4) Funkcja liniowa nie ma właściwości okresowości;

5) Punkty przecięcia z osiami współrzędnych:

Wół: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k, dlatego (-b / k; 0) jest punktem przecięcia z osią odciętych.

Oy: y = 0k + b = b, zatem (0; b) jest punktem przecięcia z osią y.

Komentarz. Jeśli b = 0 i k = 0, to funkcja y = 0 znika dla dowolnej wartości x. Jeżeli b ≠ 0 i k = 0, to funkcja y = b nie znika dla żadnej wartości zmiennej x.

6) Przedziały stałości znaku zależą od współczynnika k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b jest dodatnie dla x z (-b/k; +∞),

y = kx + b jest ujemne dla x z (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b jest dodatnie dla x z (-∞; -b/k),

y = kx + b jest ujemne dla x z (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b jest dodatnie w całej domenie,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Przedziały monotoniczności funkcji liniowej zależą od współczynnika k.

k > 0, stąd y = kx + b rośnie w całej dziedzinie,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funkcja y \u003d ax 2 + bx + c, jej właściwości i wykres.

Funkcja y \u003d ax 2 + bx + c (a, b, c są wartościami stałymi, a ≠ 0) jest wywoływana kwadratowy. W najprostszym przypadku y \u003d ax 2 (b \u003d c \u003d 0) wykres jest zakrzywioną linią przechodzącą przez początek. Krzywa służąca jako wykres funkcji y \u003d ax 2 jest parabolą. Każda parabola ma oś symetrii zwaną oś paraboli. Nazywa się punkt O przecięcia paraboli z jej osią szczyt paraboli.

Wykres można zbudować według następującego schematu: 1) Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli x 0 = -b/2a; y 0 \u003d y (x 0). 2) Budujemy jeszcze kilka punktów należących do paraboli, podczas budowania można wykorzystać symetrie paraboli względem prostej x = -b / 2a. 3) Łączymy wskazane punkty płynną linią. Przykład. Zbudować wykres funkcji c \u003d x 2 + 2x - 3. Rozwiązania. Wykres funkcji to parabola, której gałęzie skierowane są do góry. Odcięta wierzchołka paraboli x 0 \u003d 2 / (2 ∙ 1) \u003d -1, jej rzędne y (-1) \u003d (1) 2 + 2 (-1) - 3 \u003d -4. Tak więc wierzchołek paraboli to punkt (-1; -4). Zróbmy tabelę wartości dla kilku punktów, które są umieszczone po prawej stronie osi symetrii paraboli - linia prosta x \u003d -1. Właściwości funkcji.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i komunikaty.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

• W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnić swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów interesu publicznego.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz surowo egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Funkcja liniowa jest funkcją postaci y=kx+b, gdzie x jest zmienną niezależną, k i b są dowolnymi liczbami.
Wykres funkcji liniowej jest linią prostą.

1. Aby wykreślić wykres funkcji, potrzebujemy współrzędnych dwóch punktów należących do wykresu funkcji. Aby je znaleźć, musisz wziąć dwie wartości x, zastąpić je równaniem funkcji i obliczyć z nich odpowiednie wartości y.

Na przykład, aby wykreślić funkcję y= x+2, wygodnie jest przyjąć x=0 i x=3, wtedy rzędne tych punktów będą równe y=2 i y=3. Otrzymujemy punkty A(0;2) i B(3;3). Połączmy je i uzyskajmy wykres funkcji y= x+2:

2. We wzorze y=kx+b liczba k nazywana jest współczynnikiem proporcjonalności:
jeśli k>0, to funkcja y=kx+b rośnie
jeśli k
Współczynnik b pokazuje przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi OY:
jeśli b>0, to wykres funkcji y=kx+b otrzymujemy z wykresu funkcji y=kx, przesuwając b jednostek w górę wzdłuż osi OY
jeśli b
Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3

Zauważ, że we wszystkich tych funkcjach współczynnik k Powyżej zera, i funkcje są wzrastający. Ponadto im większa wartość k, tym większy kąt nachylenia prostej do dodatniego kierunku osi OX.

We wszystkich funkcjach b=3 - i widzimy, że wszystkie wykresy przecinają oś OY w punkcie (0;3)

Rozważmy teraz wykresy funkcji y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Tym razem we wszystkich funkcjach współczynnik k mniej niż zero i funkcje zmniejszenie. Współczynnik b=3, a wykresy tak jak w poprzednim przypadku przecinają oś OY w punkcie (0;3)

Rozważ wykresy funkcji y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Teraz we wszystkich równaniach funkcji współczynniki k są równe 2. I mamy trzy równoległe linie.

Ale współczynniki b są różne, a te wykresy przecinają oś OY w różnych punktach:
Wykres funkcji y=2x+3 (b=3) przecina oś OY w punkcie (0;3)
Wykres funkcji y=2x (b=0) przecina oś OY w punkcie (0;0) - początku.
Wykres funkcji y=2x-3 (b=-3) przecina oś OY w punkcie (0;-3)

Jeśli więc znamy znaki współczynników k i b, to od razu możemy sobie wyobrazić, jak wygląda wykres funkcji y=kx+b.
Jeśli k 0

Jeśli k>0 i b>0, to wykres funkcji y=kx+b wygląda następująco:

Jeśli k>0 i b, to wykres funkcji y=kx+b wygląda następująco:

Jeśli k, to wykres funkcji y=kx+b wygląda następująco:

Jeśli k=0, wtedy funkcja y=kx+b zamienia się w funkcję y=b, a jej wykres wygląda następująco:

Rzędne wszystkich punktów wykresu funkcji y=b są równe b Jeśli b=0, to wykres funkcji y=kx (bezpośrednia proporcjonalność) przechodzi przez początek układu współrzędnych:

3. Oddzielnie notujemy wykres równania x=a. Wykres tego równania jest linią prostą równoległą do osi OY, której wszystkie punkty mają odciętą x=a.

Na przykład wykres równania x=3 wygląda tak:
Uwaga! Równanie x=a nie jest funkcją, więc jedna wartość argumentu odpowiada różne znaczenia funkcji, która nie odpowiada definicji funkcji.

4. Warunek równoległości dwóch linii:

Wykres funkcji y=k 1 x+b 1 jest równoległy do ​​wykresu funkcji y=k 2 x+b 2 jeśli k 1 =k 2

5. Warunek, aby dwie linie proste były prostopadłe:

Wykres funkcji y=k 1 x+b 1 jest prostopadły do ​​wykresu funkcji y=k 2 x+b 2 jeśli k 1 *k 2 =-1 lub k 1 =-1/k 2

6. Punkty przecięcia wykresu funkcji y=kx+b z osiami współrzędnych.

z osią OY. Odcięta dowolnego punktu należącego do osi OY jest równa zeru. Dlatego, aby znaleźć punkt przecięcia z osią OY, musisz zastąpić zero zamiast x w równaniu funkcji. Otrzymujemy y=b. Oznacza to, że punkt przecięcia z osią OY ma współrzędne (0;b).

Z osią x: rzędna dowolnego punktu należącego do osi x wynosi zero. Dlatego, aby znaleźć punkt przecięcia z osią OX, musisz zastąpić zero zamiast y w równaniu funkcji. Otrzymujemy 0=kx+b. Stąd x=-b/k. Oznacza to, że punkt przecięcia z osią OX ma współrzędne (-b / k; 0):

Funkcja liniowa nazywana jest funkcją postaci y = kx + b, zdefiniowany na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych. Tutaj k– współczynnik kątowy (liczba rzeczywista), b – wolny członek (liczba rzeczywista), x jest zmienną niezależną.

W konkretnym przypadku, jeśli k = 0 otrzymujemy stałą funkcję y=b, którego wykres jest linią prostą równoległą do osi Wół, przechodzącą przez punkt o współrzędnych (0;b).

Jeśli b = 0, to otrzymujemy funkcję y=kx, który jest wprost proporcjonalnie.

b – długość segmentu, który odcina linię wzdłuż osi Oy, licząc od początku.

Geometryczne znaczenie współczynnika k – Kąt pochylenia prosto do dodatniego kierunku osi Ox jest uważany za przeciwny do ruchu wskazówek zegara.

Właściwości funkcji liniowej:

1) Dziedziną funkcji liniowej jest cała oś rzeczywista;

2) Jeśli k ≠ 0, to zakresem funkcji liniowej jest cała oś rzeczywista. Jeśli k = 0, to zakres funkcji liniowej składa się z liczby b;

3) Równość i nieparzystość funkcji liniowej zależą od wartości współczynników k I b.

a) b 0, k = 0, W konsekwencji, y = b jest parzyste;

b) b = 0, k 0, w konsekwencji y = kx jest nieparzyste;

C) b 0, k ≠ 0, w konsekwencji y = kx + b jest funkcją ogólną;

D) b = 0, k = 0, w konsekwencji y = 0 jest funkcją zarówno parzystą, jak i nieparzystą.

4) Funkcja liniowa nie ma właściwości okresowości;

5) Punkty przecięcia z osiami współrzędnych:

Wół: y = kx + b = 0, x = -b/k, W konsekwencji (-b/k; 0)- punkt przecięcia z osią odciętych.

Oj: y=0k+b=b, W konsekwencji (0;b) jest punktem przecięcia z osią y.

Uwaga.Jeśli b = 0 I k = 0, to funkcja y=0 znika dla dowolnej wartości zmiennej x. Jeśli b ≠ 0 I k = 0, to funkcja y=b nie znika dla żadnej wartości zmiennej x.

6) Przedziały stałości znaku zależą od współczynnika k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b- pozytywne w x od (-b/k; +∞),

y = kx + b- ujemna w x od (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- pozytywne w x od (-∞; -b/k),

y = kx + b- ujemna w x od (-b/k; +∞).

C) k = 0, b > 0; y = kx + b pozytywne w całej domenie definicji,

k = 0, b< 0; y = kx + b jest negatywna w całej domenie definicji.

7) Przedziały monotoniczności funkcji liniowej zależą od współczynnika k.

k > 0, W konsekwencji y = kx + b wzrasta w całej domenie definicji,

k< 0 , W konsekwencji y = kx + b maleje w całej dziedzinie definicji.

8) Wykres funkcji liniowej jest linią prostą. Aby narysować linię prostą wystarczy znać dwa punkty. Położenie linii prostej na płaszczyźnie współrzędnych zależy od wartości współczynników k I b. Poniżej znajduje się tabela, która wyraźnie to ilustruje.