F x 3x 2 jest prymitywnym. Funkcja podobna do przodu i widok ogólny

Lekcja i prezentacja na temat: "Funkcja predopodory. Wykres funkcyjny"

Dodatkowe materiały
Drodzy Użytkownicy, nie zapomnij opuścić komentarzy, recenzjich, życzeń! Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.

Podręczniki szkoleniowe i symulatory w sklepie internetowym "Integral" dla klasy 11
Zadania algebraiczne z parametrami, klasy 9-11
"Interaktywne zadania do budowy w przestrzeni na 10 i 11 klas"

Funkcja drukowania. Wprowadzenie

Faceci, możesz znaleźć funkcje pochodne przy użyciu różnych formuł i reguł. Dziś poznamy operację odwrócenia pochodnej. Koncepcja pochodnej jest często używana prawdziwe życie. Pozwól mi przypomnieć: pochodna jest prędkością zmiany funkcji w określonym punkcie. Procesy związane z ruchem i prędkością są dobrze opisane w tych warunkach.

Rozważmy to zadanie: "Szybkość ruchu obiektu, w linii prostej, jest opisana przez formułę $ V \u003d GT $. Wymagane jest przywrócenie prawa ruchu.
Decyzja.
Wiemy dobrze formułę: $ S "\u003d V (T) $, gdzie s jest prawem ruchu.
Nasze zadanie jest zredukowane do wyszukiwania funkcji $ s \u003d s (t) $, której pochodną jest $ GT $. Patrząc ostrożnie, możesz odgadnąć, że $ s (t) \u003d frac (g * t ^ 2) (2) $.
Weryfikujemy poprawność rozwiązywania tego problemu: $ S "(T) \u003d (frac (g * t ^ 2) (2))" \u003d frac (g) (2) * 2t \u003d g * t $.
Znając funkcję pochodną, \u200b\u200bznaleźliśmy samą funkcję, czyli, wykonano odwrotną pracę.
Ale warto zwrócić uwagę na tę chwilę. Rozwiązanie naszego zadania wymaga wyjaśnienia Jeśli funkcja znaleziona do dowolnej liczby (stała), wartość pochodnej nie zmieni: $ s (t) \u003d frac (g * t ^ 2) (2) + C, C \u003d const $.
$ S "(t) \u003d (frac (g * t ^ 2) (2))" + c "\u003d g * t + 0 \u003d g * t $.

Faceci Uwaga: Naszym zadaniem ma nieskończony zestaw rozwiązań!
Jeśli zadanie nie jest określone początkowe lub innym stanie, nie zapomnij dodać stałą do roztworu. Na przykład, w naszym zadaniu można ustawić pozycję naszego ciała na samym początku ruchu. Następnie nie jest trudno obliczyć stałą, zastępując zero do wynikowego równania, otrzymujemy wartość stałej.

Jak nazywa się taka operacja?
Operacja odwrotna różnicowanie nazywa się integracją.
Znalezienie funkcji danej integracji pochodnej.
Sama funkcja będzie nazywana prymitywnym, czyli obraz, a następnie uzyskano funkcję pochodną.
Pierwszy nagrał wielką literę $ y \u003d f "(x) \u003d f (x) $.

Definicja. Funkcja $ y \u003d f (x) Nazywana jest funkcją prymitywną $ y \u003d f (x) $ w szczelinie, jeśli równość $ F '(x) \u003d f (x) $ jest wykonywane dla każdego $ Xεx $.

Zróbmy stół prymitywnych różne funkcje. Musi być wydrukowany jako notatka i uczyć się.

W naszym stole tam warunki początkowe Nie został ustawiony. Oznacza to, że każde wyrażenie po prawej stronie stołu powinno dodać stałą. Później wyjaśniamy tę zasadę.

Zasady znalezienia podstawowych

Napiszmy kilka zasad, które pomogą nam, gdy znajdę prymitywę. Wszystkie są podobne do zasad różnicowania.

Zasada nr 1. Pierwsza kwota jest równa ilości prymitywu. $ F (x + y) \u003d f (x) + f (y) $.

Przykład.
Znajdź pierwszy, który działał $ y \u003d 4x ^ 3 + cos (x) $.
Decyzja.
Pierwsza kwota jest równa ilości prymitywu, konieczne jest znalezienie podstawowej dla każdej prezentowanej funkcji.
$ F (x) \u003d 4x ^ 3 $ \u003d\u003e $ f (x) \u003d x ^ 4 USD.
$ f (x) \u003d cos (x) $ \u003d\u003e $ f (x) \u003d grzech (x) $.
Następnie prymitywna funkcja źródła będzie: $ y \u003d x ^ 4 + grzech (x) $ lub dowolna funkcja typu $ y \u003d x ^ 4 + grzech (X) + C $.

Zasada 2. Jeśli $ f (x) $ jest prymitywnym dla $ f (x) $, a następnie $ k * f (x) to prymityw dla funkcji $ k * f (x) $. (Współczynnik może bezpiecznie wytrzymać funkcję).

Przykład.
Znajdź podstawowe funkcje:
a) $ y \u003d 8sin (x) $.
b) $ y \u003d - frac (2) (3) cos (x) $.
c) $ y \u003d (3x) ^ 2 + 4x + 5 USD.
Decyzja.
a) Podstawowy za grzech $ (X) $ to minus $ cos (x) $. Następnie prymitywna funkcja źródła zabiera formularz: $ y \u003d -8cos (x) $.

B) Podstawowy dla $ COS (X) wynosi SIN $ (X) $. Następnie prymitywna funkcja źródła zabiera formularz: $ y \u003d - frac (2) (3) grzech (x) $.

C) Pierwszy za $ x ^ 2 $ służy $ frac (x ^ 3) (3) $. Pierwszy dla x jest $ frac (x ^ 2) (2) $. Pinual for 1 serwuje X. Następnie prymitywna funkcja źródła weźmie formularz: $ y \u003d 3 * frac (x ^ 3) (3) + 4 * frac (x ^ 2) (2) + 5 * x \u003d x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5x $.

Zasada 3. Jeśli $ y \u003d f (x) $ jest prymitywnym $ za funkcję Y \u003d f (x) $, to pierwszy dla funkcji $ y \u003d f (kx + m) $ to funkcja $ y \u003d frac ( 1) (K) * F (KX + M) $.

Przykład.
Znajdź podstawowe następujące funkcje:
a) $ y \u003d cos (7x) $.
b) $ y \u003d grzech (frac (x) (2)) $.
c) $ y \u003d (- 2x + 3) ^ 3 USD.
d) $ y \u003d e ^ (frac (2x + 1) (5)) $.
Decyzja.
a) Podstawowy za $ COS (X) wynosi SIN $ (X) $. Następnie pierwsza funkcja $ y \u003d cos (7x) $ będzie funkcją $ y \u003d frac (1) (7) * SIN (7X) \u003d FRAC (SIN (7X)) (7) $.

B) Podstawowy dla SIN $ (X) $ jest minus $ COS (x) $. Następnie pierwszy, który działał $ y \u003d grzech (frac (x) (2)) $ będzie funkcją $ y \u003d - frac (1) (frac (1) (2)) COS (frac (x) (2)) \u003d - 2cos (frac (x) (2)) $.

C) prymityw dla $ x ^ 3 $ jest $ frac (x ^ 4) (4) $, a następnie prymitywna funkcja źródła jest $ y \u003d - frac (1) (2) * frac (((- 2x) + 3)) ^ 4) (4) \u003d - frac (((- 2x + 3)) ^ 4) (8) $.

D) Nieco upraszcza wyrażenie stopnia $ frac (2x + 1) (5) \u003d frac (2) (5) x + frac (1) (5) $.
Pierwotna funkcja wykładnicza jest sama funkcja wykładnicza. Prymitywna funkcja źródła będzie $ y \u003d frac (1) (frac (2) (5)) E ^ (FRAC (2) (5) x + frac (1) (5)) \u003d frac ( 5) (2) * e ^ (frac (2x + 1) (5)) $.

Twierdzenie. Jeśli $ Y \u003d F (x) $ jest prymitywnym $ za funkcję $ y \u003d f (x) $ w przedziale, funkcja jest $ y \u003d f (x) $ jest nieskończenie wiele prymitywnych, a wszystkie mają Formularz $ y \u003d f (x) + z $.

Jeśli we wszystkich przykładach, które zostały uwzględnione powyżej, konieczne byłoby znalezienie wielu bardzo prymitywnych, a następnie wszędzie przestrzegał stałej S.
Dla funkcji $ Y \u003d COS (7x) $, wszystkie pierwsze, które mają formularz: $ Y \u003d Frac (Sin (7x)) (7) + C $.
Dla funkcji $ y \u003d (- 2x + 3) ^ 3 $, wszystkie pierwsze, które mają formularz: $ y \u003d - frac ((((- 2x + 3)) ^ 4) (8) + C $.

Przykład.
Zgodnie z danym prawem zmiany korpusu ciała od czasu do czasu V \u003d -3SIN (4T) $, aby znaleźć prawo ruchu $ S \u003d S (T) $, jeśli organizm miało współrzędną 1,75 w początkowym momencie czasu.
Decyzja.
Od $ V \u003d S '(T) $, musimy znaleźć prymitywną prędkość.
$ S \u003d -3 * FRAC (1) (4) (- COS (4T)) + C \u003d FRAC (3) (4) COS (4T) + C $.
W tym zadaniu podano dodatkowy warunek - początkowy moment czasu. Oznacza to, że $ T \u003d 0 $.
$ S (0) \u003d frac (3) (4) cos (4 * 0) + c \u003d frac (7) (4) $.
$ Frac (3) (4) cos (0) + c \u003d frac (7) (4) $.
$ Frac (3) (4) * 1 + c \u003d frac (7) (4) $.
$ C \u003d 1 $.
Wtedy prawno ruchu jest opisane przez wzór: $ S \u003d Frac (3) (4) COS (4T) + 1 $.

Zadania dla samotnych rozwiązań

1. Znajdź podstawowe funkcje:
a) $ y \u003d -10sin (x) $.
b) $ y \u003d frac (5) (6) cos (x) $.
c) $ y \u003d (4x) ^ 5 + (3x) ^ 2 + 5x $.
2. Znajdź podstawowe funkcje:
a) $ y \u003d cos (frac (3) (4) x) $.
b) $ y \u003d grzech (8x) $.
c) $ y \u003d ((7x + 4)) ^ 4 USD.
d) $ y \u003d e ^ (frac (3x + 1) (6)) $.
3. Zgodnie z daną ustawą o zmianie ciała ciała od czasu do czasu V \u003d 4CO (6T) $ do znalezienia prawa ruchu $ S \u003d s (t) $, jeśli organizm ma współrzędną 2 początkowy moment czasu.

Rozwiązaniem integracji jest zadaniem jest światło, ale tylko dla wybranych. Ten artykuł jest dla tych, którzy chcą nauczyć się rozumieć całek, ale nie wie nic o nich lub prawie nic. Integral ... dlaczego jest potrzebny? Jak to obliczyć? Co to jest pewna i nieokreślona integralna? Jeśli jedyną integralną aplikacją znaną, jest zdobycie szydełku w formie integralnej ikony, coś przydatnego od trudno dostępnych miejsc, a następnie Witamy! Dowiedz się, jak rozwiązać integrały i dlaczego bez niej niemożliwe jest to możliwe.

Badamy koncepcję "integralnej"

Integracja była jeszcze znana Starożytny Egipt. Oczywiście, nie w nowoczesny film, ale wciąż. Od tego czasu matematyka napisała wiele książek na ten temat. Szczególnie wyróżnione Niuton i Leibnits. Ale istota rzeczy nie zmieniła się. Jak zrozumieć integrale od podstaw? W żaden sposób! Aby zrozumieć ten temat, podstawowa znajomość fundamentów analizy matematycznej będzie nadal potrzebna. Informacje o niezbędnym i zrozumieniu całek, już mamy na naszym blogu.

Niepewna integralna

Pozwól nam mieć jakiś funkcję f (x) .

Niepewna funkcja integralna f (x) Ta funkcja jest nazywana F (x) , której pochodna jest równa funkcji f (x) .

Innymi słowy, integralna jest pochodna przeciwnie lub prymitywna. Nawiasem mówiąc, o tym, jak czytać w naszym artykule.

Predykcyjny istnieje dla wszystkich ciągłych funkcji. Ponadto, stały znak jest często dodawany do pierwotnego, ponieważ pochodne różnią się stałą zbieżną. Proces znalezienia integralności jest nazywany integracją.

Prosty przykład:

Nieustannie nie obliczać prymitywnych funkcji podstawowych, wygodnie jest prowadzić je do stołu i używać gotowych wartości.

Pełne integrały stołowe dla studentów

Pewna integralna

Posiadanie umowy z koncepcją integralnej, mamy do czynienia z nieskończeniem wartościami. Integralną pomoże obliczyć figurę figury, masa niejednorodnego ciała minął nierówny ruch Ścieżka i więcej. Należy pamiętać, że integralna jest sumą nieskończenie dużej liczby nieskończenie małych warunków.

Jako przykład wyobraź sobie harmonogram niektórych funkcji. Jak znaleźć obszar liczbowych ograniczonych wykresem funkcji?

Z pomocą całkowania! Podzielimy Curvilinear Trapezium, ograniczone przez osi współrzędnych i wykres funkcji, w nieskończenie małych segmentach. W ten sposób liczba zostanie podzielona na cienkie kolumny. Suma obszaru kolumn będzie obszar trapezu. Ale pamiętaj, że takie obliczenia da przykładowy wynik. Jednak mniejsze segmenty już będą, tym dokładniejsze będzie obliczenia. Jeśli ograniczymy je do takiego stopnia, że \u200b\u200bdługość będzie dążyć do zera, ilość segmentów dąży do obszaru figury. Jest to specyficzna integralna, która jest zapisana w następujący sposób:

Punkty A i B są nazywane granicami integracji.

BARIA alibasov i grupa "integralna"

Tak poza tym! Dla naszych czytelników jest teraz 10% zniżki

Zasady obliczania integracji do manekinów

Właściwości niepewnego integralnego

Jak rozwiązać integralną integalną? Tutaj rozważamy właściwości niepewnej integralnej, która będzie przydatna podczas rozwiązywania przykładów.

Pochodna integralnego jest równa funkcji integrydu:

Stała może być wykonana ze znaku całkowania:

Integralna z kwoty jest równa ilości integrałów. Również także dla różnicy:

Właściwości określonej integralnej

Liniowość:

Zintegrowany znak zmian, jeśli limity integracji są zamieniane:

Dla każdy Zwrotnica zA., b. i z:

Dowiedzieliśmy się już, że pewna integralna jest limitem kwoty. Ale jak uzyskać konkretną wartość podczas rozwiązywania przykładu? W tym celu jest formuła Newton-Leibnic:

Przykłady rozwiązań integralnych

Poniżej rozważy kilka przykładów znalezienia niepewnych integerów. Proponujemy niezależnie zrozumieć subtelności rozwiązania, a jeśli coś jest niezrozumiałe, zadaj pytania w komentarzach.

Aby zabezpieczyć materiał, zobacz wideo o tym, jak integrale są rozwiązywane w praktyce. Nie rozpaczaj, jeśli integralna nie zostanie podana natychmiast. Skontaktuj się z profesjonalną obsługą dla studentów, a wszelkie potrójne lub curvilinear integralne na zamkniętej powierzchni stanie się siłami.

Definicja prymitywu.

Funkcja prymitywna F (X) w przedziale (A; B) nazywana jest taką funkcją F (X), która jest wykonywana dla dowolnego X z określonej szczeliny.

Jeśli weźmiesz pod uwagę fakt, że pochodna stałej C wynosi zero, a następnie równość ma rację . Zatem funkcja F (X) ma wiele prymitywnych F (X) + C, dla dowolnej stałej stałej C, a te pierwsze ukształtowane różnią się od siebie w dowolną wartość stałą.

Definicja niezdefiniowanego integralnego.

Wszystkie wieloma podstawowymi funkcjami F (X) są nazywane niepewna integralna Ta funkcja jest wskazana .

Wyrażenie jest nazywane betonowa ekspresjai f (x) - zintegrowana funkcja. Integrancja jest funkcją różnicową f (x).

Nazywana jest akcja znalezienia nieznanej funkcji zgodnie z określoną różnicą niepewny Integracja, ponieważ wynik integracji nie jest funkcją F (X), ale zestaw prymitywnych F (X) + C.

Na podstawie właściwości pochodnej można formułować i udowodnić właściwości niepewnego integralnego (Właściwości w kształcie profor).

Śródroczne równy pierwszej i drugiej właściwości niepewnej integralnej są podane do wyjaśnienia.

Aby udowodnić trzecie i czwarte właściwości, wystarczy znaleźć pochodne z odpowiednich części równości:

Te pochodne są równe funkcjom hamującym, co jest dowodem na mocy pierwszej nieruchomości. Jest używany w ostatnich przejściach.

Zatem zadaniem integracji jest problem z różnicą odwrotną i istnieje bardzo bliski związek między tymi zadaniami:

pierwsza nieruchomość umożliwia sprawdzenie integracji. Aby sprawdzić poprawność przeprowadzonej integracji, wystarczy obliczyć pochodną uzyskaną wynikową. Jeśli funkcja uzyskana w wyniku zróżnicowania będzie równa funkcji integrydu, oznacza to, że integracja została przeprowadzona prawidłowo;
druga właściwość nieokreślonej integralnej pozwala znaleźć jego prymitywną funkcję na dobrze znanym różnicy. Na tej nieruchomości opiera się bezpośrednie obliczenie niepewnych integerów.

Rozważ przykład.

Przykład.

Znajdź prymitywną funkcję, której wartość jest zjednoczona w X \u003d 1.

Decyzja.

Znamy z różnicowego rachunku (Wystarczy spojrzeć na pochodne tabeli głównych funkcji podstawowych). W ten sposób, . Według drugiej nieruchomości . Oznacza to, że mamy wiele prymitywnych. W x \u003d 1 otrzymujemy wartość. Według stanu wartość ta powinna być równa jedna, dlatego C \u003d 1. Pożądany prymitywny będzie wyglądać.

Przykład.

Znajdź integralną integalną I wynik sprawdza różnicę.

Decyzja.

Zgodnie z formułą sinusą podwójnego kąta z trygonometrii , więc

Jedną z zróżnicowania operacji jest podstawą pochodnej (różnicowej) i stosowania funkcji do badania.

Nie mniej ważne jest odwrotne zadanie. Jeśli zachowanie funkcji jest znane w pobliżu każdego punktu określenia, a następnie przywrócić funkcję jako całość, tj. W całym obszarze jego definicji. To zadanie jest przedmiotem badania tzw. Zintegrowane obliczenia.

Integracja jest efektem odwrotnej zróżnicowania. Lub przywracanie funkcji f (x) dla tego pochodnego f` (x). Łacińskie słowo "integro" oznacza odzyskanie.

Przykład №1..

Niech (f (x)) "\u003d 3x 2. Znajdź f (x).

Decyzja:

Opierając się na regule zróżnicowania, nie trudno jest odgadnąć, aby f (x) \u003d x 3, dla

(x 3) '\u003d 3x 2 Jednak można go łatwo zauważyć, że f (x) jest niejednoznaczny. Jak f (x), możesz wziąć f (x) \u003d x 3 +1 f (x) \u003d x 3 +2 f (x) \u003d x 3 -3 itd.

Dlatego Pochodna każdego z nich wynosi 3x 2. (Stała pochodna wynosi 0). Wszystkie te funkcje różnią się od każdego innego stałego terminów. w związku z tym wspólna decyzja Zadania można zapisać w postaci F (x) \u003d x 3 + C, gdzie C jest dowolnym stałym ważnym numerem.

Każda z znalezionych funkcji F (X) jest nazywana W kształcie predo Dla funkcji f` (x) \u003d 3x 2

Definicja.

Funkcja F (X) nazywana jest prymitywem dla funkcji F (x) przy określonej luzu J, jeśli dla wszystkich X z tej luki F` (x) \u003d f (x). Tak więc funkcja f (x) \u003d x 3 jest prymitywna dla f (x) \u003d 3x 2 na (- ∞; ∞). Ponieważ dla wszystkich X ~ R, równość jest prawdziwa: f` (x) \u003d (x 3) `\u003d 3x 2

Jak już zauważyliśmy, ta funkcja ma nieskończony zestaw prymitywnych.

Przykład numer 2.

Funkcja jest prymitywna dla wszystkich w przedziale (0; + ∞), ponieważ Dla wszystkich H z tej luki wykonuje równość.

Zadaniem integracji jest znalezienie wszystkich jego prymitywnych funkcji dla danej funkcji. W celu rozwiązania tego zadania następujące oświadczenie odgrywa ważną rolę:

Znak funkcji stałości. Jeśli f "(x) \u003d 0 w niektórych lujach i, funkcja f jest trwała w tym przedziale.

Dowód.

Naprawić niektóre x 0 lukę I. Następnie w dowolnej liczbie takiej luki z powodu formuły Lagrange, można określić taką liczbę C załączoną między X a X 0

F (x) - f (x 0) \u003d f "(c) (x - x 0).

Pod warunkiem F '(C) \u003d 0, ponieważ zatem z ∈1, dlatego,

F (x) - f (x 0) \u003d 0.

Więc dla wszystkich X z interwału

t e. Funkcja f zachowuje stałą wartość.

Wszystkie prymitywne funkcje F mogą być zapisane za pomocą pojedynczej formuły wspólny widok pierwszego funkcjonowania fa. Sprawdź następujący twierdzenie ( podstawowa nieruchomość jest prymitywna):

Twierdzenie. Dowolny dla funkcji F w interwałie można zarejestrować jako

F (x) + C, (1) gdzie f (x) jest jedną z prymitywnych funkcji f (x) w przedziale I, a C jest dowolną stałą.

Wyjaśnijmy to stwierdzenie, w którym dwie nieruchomości są krótko sformułowane:

niezależnie od liczby, aby umieścić w wyrażeniu (1) zamiast używać, otrzymujemy prymityw dla F w przedziale I;
niezależnie od prymitywnego F dla F w przedziale nie bierzemy, możesz odebrać taką liczbę C, że dla wszystkich X z interwału będę miał równą równość

Dowód.

Według stanu, funkcja F jest prymitywna dla F w przedziale I. Dlatego F "(X) \u003d F (X) dla dowolnego X∈1, dlatego (F (X) + C)" \u003d F "(X) + C "\u003d f (x) + 0 \u003d f (x), tj. F (x) + C jest prymitywnym dla funkcji F.
Niech F (x) będzie jedną z prymitywnych funkcji dla funkcji F w tej samej luce I, tj. F "(x) \u003d f (x) dla wszystkich X∈i.

Następnie (f (x) - f (x)) "\u003d f" (x) -f '(x) \u003d f (x) -f (x) \u003d 0.

Stąd następuje. Siła znaku funkcji stałości, którą różnica f (x) - f (x) jest funkcją, która wymaga pewnej stałej wartości z interwału I.

Tak więc, dla wszystkich X z lukę I, równość f (X) - F (x) \u003d C, co było wymagane do udowodnienia. Można podać główną właściwość pierwotnej właściwości znaczenie geometryczne.: wykresy dowolnych dwóch prymitywnych funkcji otrzymuje się przez siebie równoległy przenoszenie wzdłuż osi OU.

Pytania do streszczenia

Funkcja F (x) jest prymitywnym dla funkcji f (x). Znajdź f (1), jeśli f (x) \u003d 9x2 - 6x + 1 i f (-1) \u003d 2.

Znajdź wszystkie pierwsze, które działają

Dla funkcji (X) \u003d COS2 * SIN2X znajdziemy prymitywny f (x), jeśli f (0) \u003d 0.

Dla funkcji znajdź prymityw, którego wykres przechodzi przez punkt

Dla każdej akcji matematycznej istnieje przeciwny efekt. Do zróżnicowania (znalezienie funkcji pochodnych), jest również odwrotna akcja - Integracja. Zgodnie z integracją znajdują się (przywrócone) funkcję zgodnie z jego pochodną lub różnicą. Funkcja została wywołana w kształcie predo.

Definicja. Funkcja różnicowa F (x) zwany prymitywnym dla funkcji F (x) W danym przedziale, jeśli dla wszystkich h. Równość znajduje się od tego szczeliny: F '(x) \u003d f (x).

Przykłady. Znajdź podstawowe funkcje: 1) f (x) \u003d 2x; 2) f (x) \u003d 3cos3x.

1) Ponieważ (x²) '\u003d 2x, a następnie z definicji funkcja f (x) \u003d x² będzie prymitywnym dla funkcji F (x) \u003d 2x.

2) (SIN3X) '\u003d 3COS3X. Jeśli wyznaczysz f (x) \u003d 3cos3x i f (x) \u003d sin3x, a następnie z definicji, jest prymitywna, mamy: f '(x) \u003d f (x), a oznacza to f (x) \u003d sin3x jest prymitywnym dla f (x) \u003d 3cos3x.

Zauważ, że i (sin3x +5 )′= 3cos3x.i (sin3x -8,2 )′= 3cos3x.... Ogólnie, możesz napisać: (Sin3x + S.)′= 3cos3x.gdzie Z - niektóre trwałe wartość. Przykłady te wskazują, że niejednoznaczność działania integracji, w przeciwieństwie do działania zróżnicowania, gdy jakąkolwiek funkcję różnicowej, istnieje pojedyncza pochodna.

Definicja. Jeśli funkcja F (x) jest podstawowym dla funkcji f (x) W pewnym przedziale, wtedy zestaw wszystkich podstawowych tego funkcji jest:

F (x) + cgdzie c jest dowolny ważny numer.

Połączenie wszystkich prymitywnych funkcji F (x) + C (x) w rozważanym przedziale jest nazywany niepewnym integralnym i wskazanym przez symbol ∫ (Zintegrowany znak). Rekord: ∫f (x) dx \u003d f (x) + c.

Wyrażenie ∫f (x) dx Czytają: "Integral EF z X na DE X".

f (x) dx - konkretysta,

f (x) - Zintegrowana funkcja,

h. - Zmienna integracja.

F (x) - Idealny do funkcji f (x),

Z - niektóre trwałe wartość.

Teraz rozważane przykłady można napisać w następujący sposób:

1) ∫ 2xdx \u003d x² + c. 2) ∫ 3COS3XDX \u003d SIN3X + C.

Co oznacza znak D?

d - Znak różnicowy - ma dwusponowany cel: Po pierwsze, ten znak oddziela zintegrowaną funkcję z zmiennej integracji; Po drugie, wszystko, co stoi po tym znaku, jest domyślnie zróżnicowany i pomnożony przez funkcję integranda.

Przykłady. Znajdź całki: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Po różnicowej ikonie rE. Warto było h. H., ale r.

∫ 2khrdx \u003d px² + p. Porównać z przykładem 1).

Sprawdźmy. F '(x) \u003d (px² + c)' \u003d p · (x²) '+ c' \u003d p · 2x \u003d 2px \u003d f (x).

4) Po różnicowej ikonie rE. Warto było r.. Więc zmienna integracyjna R.i mnożnik h. Należy uważać pewną stałą wartość.

∫ 2HRDR \u003d ² + s. Porównaj z przykładami. 1) i 3).

Sprawdźmy. F '(P) \u003d (P²X + C)' \u003d X · (p²) '+ C' \u003d X · 2P \u003d 2PX \u003d F (P).