Ciało polihedry i powierzchnie rotacji. Polihedra.

MKOU "3NAMENSKAYA Centralna szkoła średnia" Schigrovsky District of The Kursk Region

Lekcja - Wycieczka

"Wielu obcych. Rotacja ciała "

(Lekcja geometrii w klasie 11)

Przygotowany: nauczyciel matematyki Bukreyev T. A.

Temat lekcji: powtórzenie na temat "Menem wieku. Ciała rotacji. "

Cel lekcji:1. Powtórz badany. I podsumuj wiedzę uczniów.

2. Rozwój interesu poznawczego uczniów do tematu, rozszerzenie horyzontów, interpretacji relacji.

Z. Edukacja aktywności poznawczej studentów.

Plan lekcji:

1. Wprowadzające słowo nauczyciela.

2. Wycieczka "World of Polihedra".

Z. Doświadczenia eksperymentalne.

4. Praca praktyczna.

5. Rozwiązywanie zadań.

7. Wynik lekcji.

Ekwipunek:Modele polihedry, zbiorniki rotacji, malarstwa artysty Shishkin "Ship Grove", obraz Salvadora Dali "Secret Evening", stoły z formułami, rysunki z wizerunkami polihedry, portrety naukowców, naczynia wodne do eksperymentów, naczynia pomiarowe, komputer, projektor.

Podczas zajęć:

1 . Słowo wprowadzające nauczyciela

Faceci, dziś spędzamy kolejną lekcję do powtórzenia kursu geometrii, która odbędzie się w niezwykłej formie. Temat lekcji referencyjnej "Polyhedra. Ciała rotacji "Już powtórzyliśmy z wami podstawowymi koncepcjami dotyczącymi tego tematu, rozwiązały zadania do stosowania różnych formuł. Ale myślę, że w dzisiejszej lekcji dowiesz się więcej ciekawych faktów (powiedz plan lekcji). A teraz pamiętajmy trochę.

Co nazywa się polihedronem?

Podaj przykłady polihedra?

Co nazywa się korpusem rotacji?

Podaj przykłady organów rotacji.

Jakie są główne elementy dowolnego wielościennego? (wierzchołki, żebra, twarz).

Jaka wspólna właściwość charakterystyczna ma wszystkie wypukłe polihedra?

(Suma liczby wierzchołków i liczby krawędzi każdego wieloślawego przez dwie więcej liczb jego żeber, tj. B + R - p \u003d 2). Ta oferta jest znana jako "Theore Euler".

Faceci, a teraz proponuję, abyś zrobił trochę wycieczki do "World of Menofmers i Tel of Rotation". I pomożemy nam w tej grupie przewodników. Proszę chłopaki. Ty słowo.

"Theore Euler" o Poliheedrze

B + MR \u003d 2

2. Wycieczka.

1 przewodnik . Wszyscy są dobrze znani takich ciał jak piramida, stożek, pryzmat, cylinder, piłka i inne. I czy myślałeś o tym, z którego pochodzi nazwę tych liczb. Spójrz na zdjęcie słynnego artysty Shishkin "Ship Grove", który przedstawiono sosny. A teraz zwróć uwagę na następny rysunek (slajd nr 2). Tutaj widzisz obraz stożka. A w moich rękach mam model stożkowy. Mówisz, a jaki jest połączenie między tym obrazem a tym ciałem. Okazuje się najbardziej natychmiastowy. Obraz pokazuje sosny, a model, który trzymam, jest nazywany stożkiem, co oznacza "sosnowy bump" w języku greckim. I naprawdę spójrz, stożek wygląda jak uderzenie. Ten "Bump" jest w greckim korosu. Dlatego ciała takiej formy nazywano stożkiem.

Ogólnie rzecz biorąc, nikt nie zrobił geometrii do Faleza w Grecji, więc geometryczne postacie nie miały nazw. Grecy zaczęli nazywać figurki słowami, oznaczały ich do okolicznych przedmiotów podobnych palców. Na przykład, do walcowania bielizny używano do walcowania bielizny, która była zielona nazywana kalendarem, co oznacza "cylinder". Dlatego wszystkie wydłużone ciała z zaokrąglonym przekrojem uzyskał nazwę cylindra. Ciało pokazane na poniższej postaci przypomina nam o egipskich piramidach, więc takie ciała nazywano piramidami.

W tym samym czasie, w Egipcie, podstawy piramid były czworokątne, a Grecy badano czworokątne, a nawet sześciokątne piramidy.

A gdzie otrzymałeś swoją nazwę "Kula?". W języku greckim piłka zwana piłką, w której grają dzieci (slajdów numer 3).

2 przewodniki. A teraz zwracaj uwagę na następną grupę wielościanowej (slajdów nr 4): tetrahedron, kostka, ikosahedron, oktahedron, dodecahedron. Jak wiesz, są to właściwa polihedra, znana również w starożytnej Grecji, a 13. książka słynnego "rozpoczęta" jest dla nich dedykowana Euclida.

Doktryna właściwej wielościanej jest korona "zaczęła". Po pierwsze, Euclid przygotowuje istnienie tych polihedry, a następnie dowodzi. W 18 lat, ostatnie zdanie 13. książek, oprócz wymienionych pięciu organów, ket inny prawidłowy polihedra.

Ale okazuje się, że właściwa polihedra była zaangażowana w archimedes (slajd nr 5), ale jego praca nie dotarła do nas. Archimedes należy do odkrycia 13 tzw. Półkopie, (z których każda jest ograniczona, nie ma takich samych prawidłowych wielokątów, jak iw których wielokrotne kąty i wielokąty o tej samej nazwie są równe, a liczba identyczna Twarze w każdym wierzchołku jest równe w ten sam sposób. Liczba powierzchni tych organów znajduje się między 8 a 92.

Starożytni Grecy specjalnie studiowali odpowiednią polihedrę, ponieważ uważano, że formy tych organów są nieodłączne w elementach prymatu bycia (slajdów nr 6): mianowicie, ogień - tetrahedron, ziemia - hexahedron (sześcienne), powietrze - Octahedron, woda - Ikosaahedron lub powiedział: Że te cztery polihedra oznaczało cztery elementy: ogień, ziemia, woda i powietrze, a kształt piątego wieloślubionego, zgodnie z starożytnymi, miał cały wszechświat, to znaczy, dodecahedron symbolizował cały wszechświat.

A nie na próżno, na reprodukcji obrazu El Salvador Daly "The Mystery Evening", Chrystus ze swoimi uczniami jest przedstawiony siedzi na tle ogromnego przezroczystego dodecahedrona (slajd # 7).

Zauważyli także fakt, że wiele form wielościanów nie wymyślił sam człowieka, ich natura powstała w formie kryształów. Kryształy - naturalna polihedra. Na przykład kryształ górski lub kwarcowy. Przypomina ołówek z dwóch stron, tj. Kształt sześciokątnego pryzmatu, na podstawie których dostarczane są sześciokątne piramidy. Islandzki Spat - ma formę skośnej równoległości.

Piryt (lub siarka siarki) jest najczęściej występują w postaci oktahedron, czasami kostki, a nawet obcięty oktahedron.

Na początku ubiegłego wieku francuski matematyk i mechanik L. Ponaso (1777-1859) (slajdów nr 8), których prace geometryczne należą do "gwiazdy polihedra" otworzyła istnienie prawidłowej niewiążkowej wielościanowej. Były 4 typy takich figur. W 1812 roku O. Cauch udowodnił, że inna prawidłowa gwiazda polihedra nie istnieje (slajd nr 9).

3 przewodnicy . A teraz porozmawiajmy o wzorach i naukach, dzięki czemu pojawili się. Studiowaliśmy wiele formuł do obliczenia ilości polihedry i ciał okrągłych, aby obliczyć obszary ich powierzchni. Ale czy kiedykolwiek myślałeś o takim pytaniu i jak długo pojawiły się te formuły i kto pierwszy je otworzył? Okazuje się, że przez długi czas przed naszą erą formuła objętości wielu ciał (równoległego, pryzmatu, cylindra) były znane.

Później, dzięki pismom starożytnych greckich uczonych, Demokrytu, Evdox i Archimedes został odkryty do obliczania objętości piramid, stożka, piłki i innych ciał. Nie można opowiedzieć o wkładach każdego naukowca, ale niemożliwe jest nie zatrzymać się w jednym z nich - Naukowiec i Inventor Archimedee, który rozwiązał wiele praktycznych zadań w matematyce i fizyce. W całym swoim życiu Archimeda zrobił tak bardzo, że nie powiesz o wszystkim. Najpierw zdecydował wiele trudnych zadań na geometrii: znalazł zasady obliczania kwadratów i wolumenów różnych ciał. Wśród wszystkich zadań było takie ", aby znaleźć stosunek objętości włożonych kuli (wpisanych) do cylindra, do objętości cylindra."

Archimeda ustalił, że objętość napisanego cylindra wynosi 2/3 objętości cylindra, a powierzchnia kuli wynosi 2/3 powierzchni cylindra. Ta propozycja Archimeda obejmowała wyjątkowe znaczenie. Legenda stwierdza, że \u200b\u200bArchimeda wyraziła swoich przyjaciół życzenie, aby po jego śmierci na jego nagrobku, rysunek został wycięty rysunek do tego zadania i o jednym ciekawym fakcie chcę powiedzieć. Archimedes mieszkali w małym miasteczku Syrakuzy na Sycylii. Kiedy miał około 70 lat, w 212 roku przed rozpoczęciem naszej Starej Rady, jego miasto rodzinne były oblężone przez wojska o potężnym Rzymie i zażądane. Siakusowie postanowili się bronić. Jeden z przywódców obrony został archimed, Syrakusettsy byli prawie rok od wielu oddziałów rzymskich pod którym przywództwa. Wykorzystując swoją wiedzę na temat geometrii, archimedes, jak mówią legendy, wybudowali ogromne lustra i ich pomocy, rzymskie statki paliły, a rzymskimi wojownikami, widząc linę lub rutyną z powodu ściany twierdzy, a przerażenie odwrócił się, by uciec z a Płacz, że tu archimested nowy samochód na śmierć. Ale Rzymianie nadal pękli do miasta i zabili prawie wszystkich mieszkańców. Wśród zmarłych został archimed. Tradycje mówią, że kiedy rzymski żołnierz już kołysał się na archimedach mieczem, naukowiec krzyknął "Nie dotykaj moich rysunków". Pragnienie archimedów spełniło się. Na nagrobku groby archimedes w Syracuse przedstawiono cylinder z piłką wpisaną w nim (slajd nr 10). Jest na tym rysunku, że 200 lat później znalazł grób naukowca. Jest to symbol otwierania formuł piłki i obszaru kuli. Pamięć Archimedów jest poświęconych wielu wierszowi. Słuchaj jednego z nich. (Wiersz).

Pamięć Archimedes.

Daleko od naszej Unii

I przed nami przez wiele lat

W trudnym roku, rodzime Syrakuzy

Bronił naukowców archimedów.

Wiele obronnych obryty

Zostały dla nich zaprojektowane

Przez długi czas miasto było adamantowe,

Mądrość naukowca jest utrzymywana.

Ale praw szczęścia wojskowego

Nadal nie brany pod uwagę przez nikogo

A części wroga są osiągane

W ciemnych ścianach breakdoes.

Idea nieznanego objęta,

Nie wiedział, że w mieście wrogów,

I w medytacji na ziemi jest gorący

Zanurzone kółko.

Wydał miło, nie dumny,

Zapominając o aktualnych sprawach,

I nagle niezrozumiały akord

Shadow Spear skrzyżowany rysunek.

Ale mordercy spokoju spokoju

On, bez upokarza, nie drżą,

Dłoń rozciągnięta

Nie sam, ale rysowanie znaki.

W oczach żołnierza wyglądał śmiało:

"Zabij, Rzymianie są wrogami!

Zabij, ponieważ tak jest,

Ale nie wejdź na kółka!

Chciałbym pracować z piórem,

Ojczyzna, dając się całkiem

Na na polu bitwy Ile w szpitalu

Dla mnie nie było dla mnie przerażające.

Więc mam dość ducha

Wyciągnij śmierć swojego:

"Osobiście - zabij mnie, starej kobiety,

Ale na liniach nie odważnych! "

3. Doświadczenia eksperymentalne

Nauczyciel:Chłopaki, myślę, że podziękowaliśmy przez przewodników, ciekawą historię w odległej przeszłości. Jeśli ktoś zainteresował biografię archimedów, możesz przeczytać gazetę ścienną "Matematyki i życie" bardziej szczegółowo na stronach stron "matematyki i życia", aby odnosić się do literatury, która jest dostępna w bibliotece. (Wystawa).

A teraz zobaczmy laboratorium z Tobą, gdzie grupa naukowców zajmują się eksperymentalnym dowodem niektórych formuł związanych z korpusami polihedry i rotacji. Proszę, faceci

1 student. W wyniku naszych badań PA6OS udało nam się udowodnić sprawiedliwość niektórych formuł z pomocą eksperymentów. Teraz to pokazujemy.

Doświadczenie numer 1. (objętość piramidy)

Dzięki temu doświadczeniu widzimy, że objętość piramidy wynosi 1/3 objętości pryzmatu. Aby to zrobić, weź dwa naczynia: jeden - posiadanie kształtu pryzmatu, inną piramidę. Piramida i pryzmat mają równe wysokości (h) prowadzone do podstawy i równych obszarów podstawy. Naczynie - piramida była wypełniona wodą, a następnie przebiegła wodę z naczynia - piramidy w naczyniu - pryzmat. Widzimy, że zbiornik naczynia - piramidy są trzy razy mniej niż zbiornik na statku, to znaczy PIR \u003d 1 / 3V.

Tak więc były przekonane, że objętość piramidy wynosi 1/3 objętości pryzmatu.

Doświadczenie №2 . (Właściwość piramid z podstawami izometrycznych i równych wysokościach)

Znamy takie oświadczenie, że dwie (trójkątne) piramidy o równych obszarach baz i równych wysokościach są onetometryczne, tj. Mają równe objętości.

Upewnij się, że z następującym doświadczeniem.

Doświadczenie.

W naczyniu o wąskiej końcówce, wlać wodę, aby jej nadmiar jest emitowany przez otwór. Zastępuje szkło pomiarowe pod otworem, zanurzysz jedną z piramidów do naczynia. Po uczenia się przy użyciu szkła pomiarowego, objętość wody wysiedlonej przez piramidę, jednocześnie uczyć się i objętości samej piramidy. Po zakończeniu doświadczenia z inną piramidą, widzimy, że jeśli piramidy mają podstawy izometryczne i równe wysokości, ich woluminy są równe.

1 piramida - czworokątna, u podstawy, której kwadrat z bokiem 4 cm, tj. Obszar podstawowy wynosi 16 cm.

2 Piramida - czworokątna, w prostokącie podstawowym z partiami 2 i 8 cm.

(Objętość ciała zanurzona w cieczy jest równa objętości przemieszczonych płynów).

Doświadczenie numer 3.. (Powierzchnia kuli)

Niemożliwe jest znalezienie powierzchni sfery w taki sam sposób, jak znaleziono powierzchnię polihedron, tj. Korzystanie z jego skanowania do płaszczyzny, ponieważ żadna kula jest rozładowana w płaszczyźnie. Ale możesz użyć następujących doświadczeń.

Weź model półsłonny i naprawimy dwa paznokcie: jeden w środku wielkiego kręgu, drugi znajduje się w górnej części półach. Dołączę koniec wątku do goździka znajdującego się w górnej części półaczki i zakrywa gwint powierzchni półsłonnej, składając go spiralą. Następnie zakryć również podstawę póły - dużego okręgu. Pomiar długości używanych wątków, widzimy, że długość wątku wydrukowana na powłokę podstawy i kręgu promienia, około 2 razy mniej niż długość gwintu obejmującego powierzchnię póły.

Stąd wniosek: powierzchnia półpolijnej piłki wynosi 2, a powierzchnia piłki 4. Dlatego obszar sfery oblicza się o wzorze S \u003d 4πR 2.

Nauczyciel: Opisane doświadczenie jest jednym z najstarszych. Z nim ludzie dowiedzieli się, że powierzchnia piłki jest 4 razy większa niż obszar jego dużego kręgu.

Wniosek: Doświadczony uzasadnienie teoretycznych faktów jest uważany za środek przeprowadzenia komunikatu geometrii nauczania z praktyką.

4. Praca praktyczna.

A teraz proponuję małą pracę praktyczną.

Zadanie. Masz różne ciała geometryczne na stołach. Wybierz siebie dowolnego kształtu, wykonaj niezbędne pomiary i oblicz objętość tego korpusu za pomocą odpowiedniej formuły. (Powiedz mi, jak obliczono objętość).

5. Zadania rozrywkowej geometrii.

Zadania zaoferują Państwu następującą grupę facetów. (Slide №11)

Numer zadania 1.

Argnął się dwa poprawne pryzmaty

Który zawiera objętość.

Jeden powiedział: "Jeśli rozważą wszystkie czynniki -

W końcu jestem dwa razy wyższy i twarze całego sześciu, -

Że nie ma nic do kłótni, zwycięstwo tutaj dla mnie ... "

Inne odpowiedział: "Nie spiesz się, poczekaj!

Co najmniej pięć twarzy i wzrost nie jest duży,

Ale w podstawie więcej niż 2 razy imprezę. "

W godzinach wieczornych kłótnie, nie wyszedłem z niczym.

Kto miał rację w tym sporze, i dobrze zdefiniowany?

(Rozwiązanie problemu nr 1)

Wynik: Aby porównać, musisz znaleźć woluminy.

Zadanie numer 2.

Piłka nożna przypomina polihedron z 32 gruczołami, z których 20 jest prawe sześciokąty, a 12 - prawe pentagony. Ile wierzchołków ma taki polihedron? (Slide Number 12)

Decyzja. W zadaniu mówimy o ściętym Ikosaahedre. Znajdź całkowitą liczbę krawędzi tego wieloślawego. Ponieważ ma 12 pięciokątnych twarzy, następnie 5 12 + 620 \u003d 180, tj. 2p \u003d 180, p \u003d 90. I przez warunek r \u003d 32, a następnie przez twierdzenie Eulera

B + g - p \u003d 2, tj. B \u003d P - R +2 \u003d 90 - 32 + 2 \u003d 60

Teore Euler.: Suma liczby wierzchołków i liczby krawędzi polihedron 2 jest większa niż liczba żeber, tj. W + g - p \u003d 2

Komunikat: Liczba boków wszystkich twarzy w równym stopniu podwoiła liczbę krawędzi,

t. K. Każda krawędź należy natychmiast do dwóch gruczołów, gdy liczenie jest liczone dwukrotnie. (Slide №13)

Numer zadania 3.

Jest kilka ziarna pszenicy, którą musisz wysłać do magazynu. Oceń objętość ziarna w sterty. Jak to zrobić? (Slide №14)

Decyzja. Według jego formy kilka ziarna jest zauważalnie różni się od znanych liczb przestrzennych, ale usuwa okrągły stożek.

Objętość stożka V \u003d 1/3 · s · h. Nawet przyjmowanie, że grupa ziarna ma kształt stożka, trudno nam bezpośrednio zmierzyć R i N. Można go uznać, że podstawa stożka - model służy jako okrąg, którego obwód ma tę samą długość, z której obwód ma tę samą długość jako obwód stosu. Ta długość może być mierzona bezpośrednio za pomocą przewodu. Jeśli jest równy, to r \u003d c / 2π. Wysokość H jest również niewygodna do pomiaru bezpośrednio, ale łatwo przy pomocą przewodu Znajdź "Kabina". P \u003d a · wtedy

Numer zadania 4.

A teraz proponuję słuchać jednej z tych kilku legend, w których nie ma ziarna prawdy z widoczną wiarygodnością. Jeśli jakakolwiek starożytna Despot wykonała taką ideę, którą teraz powiem, byłoby zniechęcony przez hipokryzję wyniku. (Slide №15)

Tak więc, w wierszu As Pushkin, legenda ludów wschodnich powiedziano w wierszu Puszkina.

Czytałem gdzieś.

Że król niegdyś wojownikami

Zamówił, aby zburzyć ziemię pod ręką w wiązce, -

A dumne wzgórze zostało podniesione.

A król może z powodu zabawy, żeby wyglądać.

I dolary pokryte białymi namiotami

I morze, w którym uciekli statki.

Która wysokość może być takim wzgórzem? Odpowiedział na to pytanie, upewniisz się, że wynik się wydarzy.

Decyzja. 1 Handy \u003d 1 / 5L \u003d 0,2 dm 3

Pozwól armii na 100 000 osób. Kąt może wynosić tylko 45 ° (i mniej), w przeciwnym razie Ziemia się zmieni. Musisz mieć bogatą wyobraźnię, aby gliniona wiązka była w połowie ludzkiego wzrostu, by wymienić dumne wzgórze.

6 test.

Uczniowie otrzymują indywidualne pakiety z testami, które zaczynają występować w klasie, domy wykończeniowe.

7 Lekcja wyników.

Polihedron wypukłany jest nazywany wypukłą, jeśli znajduje się w jedną stronę z płaszczyzny każdego z jego twarzy. Wszystkie krawędzie wypukłego wielościanu są wypukłe wielokąty. W wielościanowym wypukłości suma wszystkich płaskich narożników z każdym górnym jest mniejsza niż 360 stopni.

Elementy pryzmatu - podstawa pryzmatu 2 - wysokość 3 - strona boczna

Elementy piramidy Wysokość piramidy 2-bocznej powierzchni piramidy 3-podstawę piramidy

Dodecahedron dodecahedron składa się z dwunastu równoznacznych pentagonów. Każdy szczyt jest szczytem trzech pentagonów. Suma płaskich narożników na każdym wierzchołku wynosi 324 stopnie. W ten sposób dodecahedron ma 12 twarzy, 20 wierzchołków i 30 żeber.

Cylinder cylinder nazywa się korpusem, który składa się z dwóch kół, które nie leżą w tej samej płaszczyźnie i łącznie z transferem równoległym, a wszystkie segmenty łączące odpowiednie punkty tych kół. Kręgi nazywane są bazy cylindryczne (3) i segmenty - formularz IT (4). Cylinder nazywany jest bezpośrednim, jeśli jego formowanie jest prostopadłe do płaszczyzn bazowych. Promieniem cylindra jest promień swojej podstawy (1). Wysokość cylindra to odległość między samolotami bazowymi (2). Oś cylindra jest bezpośrednim, przechodzącym przez centra podstawowe. 4 5.

Stożek Cone nazywany jest ciałem, który składa się z kręgu - podstawy stożka (5), punkty, które nie leżą w płaszczyźnie tego kręgu - wierzchołków stożka (2) i wszystkich segmentów łączących wierzchołek stożka z punktami podstawy - tworząc stożek. Wysokość stożka nazywana jest prostopadła, obniżona z wierzchołka do płaszczyzny bazowej (1). Oś stożka nazywana jest bezpośrednim, zawierającym jego wysokość. Całkowita powierzchnia stożka składa się z jej podstawy (5) i powierzchni bocznej (3). Promienie stożka jest promieniem jego bazy. Kula i kulka kula nazywana jest powierzchnią składającą się ze wszystkich punktów przestrzeni znajdującej się w danej odległości od tego punktu (3). Ten punkt nazywany jest centrum kuli, a ten promień odległości (1). Ciało ograniczone do kuli nazywa się piłką. Centrum, promień i średnica kuli są również nazywane centrum, promieniem i średnicą piłki. Samolot przechodzący przez środek piłki nazywany jest samolotem diamentacyjnym (2). Krzyżowy odcinek samolotu diagnostyki nazywany jest dużym kręgu, a przekrój kula jest dużym kręgu. 3.

Polihedron nazywany jest ciałem ograniczonym ze wszystkich stron przez samoloty.Elementy polihedron: twarz, żebra, wierzchołki. Całość całego polihedronu Röbember nazywana jest jego siatką. Polihedron nazywany jest Wypukłą, jeśli to wszystko leży po jednej stronie z płaszczyzny dowolnej jego twarzy; W tym przypadku jego twarze są wypukłe wielokąty. W przypadku wypukłego polihedry, Leonard Euler zaproponował formułę:

R + w p \u003d 2, gdzie m-liczba twarzy; B - liczba wierzchołków; P - Numer robera.

Wśród wielu wypukłych polihedry, prawidłowa polihedra (ciało Platona), piramidy i pryzmaty są największym zainteresowaniem. Polihedron jest nazywany prawidłowym, jeśli wszystkie jego twarze są równe właściwym wielokątów. Należą do nich (rys. 26): a - tetrahedron; b - Hexahedron (kostka); in - oktahedron; M - dodecahedron; D - IKosaahedron.

a b c d e)

Figa. 26.

Parametry prawidłowej wielościanu (rys. 26)

	Poprawny wielościan (Ciało plato)	Numer	Kąt między sąsiedniego ribrami, grad.
	grande.	verkhin.	ryuber.	strony U. każda twarz	Liczba Röbeber ma każdy wierzchołek
Czworościan	4	4	6	3	60	3
Hexahedron (kostka)	6	8	12	4	90	3
Oktaedr	8	6	12	3	60	4
Dwunastościan	12	20	30	5	72	3
Ikosahedron.	20	12	30	3	60	5

Można go zobaczyć ze stołu, że liczba twarzy i wierzchołków w kostce i oktahedron jest odpowiednio 6, 8 i 8, 6. Pozwala im na dopasowanie (opisać) do siebie do nieskończoności (rys. 27).

Duża grupa jest tak zwana półplaska polihedra (ciał archimedii). Są to wypukłe polihedra, których serwery są odpowiednimi wielokątami różnych typów. Ciała archimedes są ścięte ciałami Platona. Wygląd niektórych z nich jest reprezentowany na FIG. 28 i poniżej ich parametrów w tabeli.

a b c d)

Figa. 27 Rys. 28.

Parametry półduchowej wielościanu (rys. 28)

Polihedron może zajmować ogólną pozycję w przestrzeni, lub jej elementy mogą być równoległe i (lub) prostopadłe do samolotów prognoz. Początkowe dane do budowy polihedron w pierwszym przypadku służą współrzędnych wierzchołków, w drugim ─ jego rozmiar. Budowa wersji polihedron została zredukowana do konstrukcji prognoz siatki. Zewnętrzny esej projekcji polihedron nazywany jest konturem ciała.

Pryzmat

─ Wypukła polihedron, którego boczne żebra są równoległe między sobą. Dolna i górna powierzchnia ─ równe wielokąty, które określają liczbę krawędzi bocznych nazywane są podstawy pryzmatu. Prism nazywany jest prawidłowo, jeśli u podstawy prawidłowy wielokąt i bezpośredni, jeśli żeberki boczne są prostopadłe do podstawy. W przeciwnym razie pryzmat jest skłonny. Stoły boczne bezpośredniego pryzmatu prostokątów i nachylonego ─ równoległobok. Powierzchnia boczna bezpośredniego pryzmatu dotyczy obiektów projekcyjnych i degeneruje się do wielokąta do prostopadle do bokowej krawędzi płaszczyzny prognoz. Projekcja punktów i linii znajdujących się na powierzchni bocznej pryzmatu zbiegają się z wygenerowaną projekcją.

Typowe zadanie 3.(Rys. 29) : Zbuduj złożony rysunek bezpośredniego pryzmatu Summary: L-strona podstawy (długość pryzmatu); B- wysokość kondycjonującej podstawy trójkąta (szerokość pryzmatu); H- wysokość pryzmatu. Określ pozycję Ryube i twarzy dotyczących samolotów prognoz. Na krawędziach Abb'a "i Acc'a" ustawiają prognozy, odpowiednio punktu M i Direct N oraz budować ich brakujące prognozy.

1. Mentalnie mamy polihedron w systemie projektów prognoz, tak aby jego podstawa D ABC║P 1; i krawędź AKP 3 (Rys. 29, A).

2. Mentalnie wprowadzić podstawowe płaszczyzny: S║P 1 i zbiegające się z podstawą (D ABC); D║P 2 i zbiegający się z tylną twarzą Ass'a. Budujemy podstawowe linie S2, S 3, D 1, D3 (Rys. 29, B).

3. Buduj poziomy, następnie frontal i wreszcie projekcję profilu pryzmatu przy użyciu linii bazowej D 1, D 3 (Rys. 29, B).

Rybra: Ab, słońce ─ poziome; AC ─ Projekcja PROFIBORY; AS, SC, SB ─ projekcja pozioma. Prawa: ABC A "B'C '─ poziomy poziomy; Abv'a', BCS'V '─ Projekcja pozioma; ACC" A "─-

5. Budowa poziomych prognoz punktów leżących na bocznych powierzchniach pryzmatu, przeprowadzamy przy użyciu właściwości zbierania obiektu projekcyjnego: Wszystkie projekcje punktów i linii znajdujących się na bocznej powierzchni pryzmatu zbiegają się z zdegenerowanym (poziomym) występ. Profilowe prognozy punktów (na przykład m) budujemy przez układanie poziomych linii połączenia ich głębokości (YM) z D3, które są mierzone na poziomej projekcji z D 1 (patrz także str. 8, 17) . W linii prostej N, określ punkty 1, 2 i budujemy te punkty na powierzchni pryzmatu, podobne do punktu M. Definiujemy widoczność przez metodę konkurencyjnych punktów. Wykonaj zadanie "Prism with Cut".

a b c)

Figa. 29.

Piramida

wielokąt, z których jedna z powierzchni jest wielokąta (podstawa piramidy), która określa liczbę twarzy bocznych, a pozostałe twarze (strona) ─ trójkąty z całkowitym wierzchołkiem zwanym szczytem piramidy. Segmenty łączące wierzchołek piramidy z wierzchołkami podstawy nazywane są żeberkami bocznymi. Prostopadły, opuszczony od szczytu piramidy do płaszczyzny jej bazy, nazywany jest wysokością piramidy. Piramida jest prawidłowa, jeśli u podstawy prawidłowy wielokąt i proste, jeśli wierzchołek jest wyświetlany w środku podstawy. Boczne żebra prawej piramidy są równe, a boczne twarze są równie przykucnymi trójkątów. Wysokość bocznej powierzchni prawej piramidy nazywana jest apoph. Jeśli wierzchołek piramidy jest wyświetlany poza jego podstawą, piramida jest nachylona.

Typowe zadanie 4.(Rys. 30-32) : Skonstruuj złożony rysunek bezpośredniej prawidłowej piramidy o wymiarach: po stronie podstawy (długość); B-wysokość trójkąta korzenia (szerokość); H-wysokość piramidy. Określ pozycję Ryube i twarzy dotyczących samolotów prognoz. Ustaw przednie i poziome projekcje punktów M i N, należące do krawędzi ASB i ASC odpowiednio i budują brakujące prognozy.

1. Mentalnie mamy polihedron w systemie projektowania prognoz tak, że jego podstawa D ABC║P 1; i krawędź AKP 3 (Fig. 31).

2. Mentalnie wprowadzić podstawowe płaszczyzny: S║P 1 i zbiegające się z podstawą (D ABC);

D║P 2 i zbiegając się z krawędzią Au. Budujemy podstawowe linie S2, S3, D 1, D3 (rys. 32).

3. Buduj poziomy, a następnie przód i wreszcie,

projekcja profilu piramidy (patrz rys. 32).

4. Przeanalizujemy pozycję Ryube i twarzy na złożonym rysunku piramidy, biorąc pod uwagę dane źródłowe i klasyfikatory pozycji bezpośrednich i samolotów (str. 11.14).

RIBR: AB, Słońce ─ poziome; AC ─ Projekcja PROFIBORY; AS, SC ─ Ogólna pozycja; SB ─ Poziom profilu. Krawędź: ASB, BSC ─ Ogólna pozycja; Poziom ABC ─gorizonal; ASC ─ Projekcja PROFIBORY.

5. Budowanie zaginionych występów punktów leżących na krawędziach piramidy, wykonujemy za pomocą znaku "należące do punktów samolotu". Jako pomocnicze bezpośrednie wykorzystanie poziomej lub dowolnej linii prostych. Profilowe projekcje punktów ustawia się przez poziome linie podłączenia głębokości punktów (w kierunku osi Y), które są mierzone na projekcji poziomej (patrz str. 8, 17).

Figa. 30 rys. 31 rys. 32.

Polihedra nie tylko zajmuje widoczne miejsce w geometrii, ale także spotykać się w życiu codziennym każdej osobie. Nie wspominając o sztucznie stworzonych elementów gałęzi w postaci różnych wielokątów, począwszy od bramkarza i kończącym elementami architektonicznymi, w naturze znajdują się również kryształy w postaci kostki (soli), pryzmatów (kryształów), piramidów (shelit ), Octahedra (diament) i t d.

Koncepcja polihedronu, typy wielościanów w geometrii

Geometria jako nauka zawiera sekcję stereometrią, która badania właściwości i właściwości ciała objętościowego, których boków w przestrzeni trójwymiarowej są utworzone przez ograniczone samoloty (krawędzie), nazywane są "polihedra". Rodzaje liczb polihedra nie jeden tuzina przedstawicieli, którzy różnią się liczbą i kształtem twarzy.

Niemniej jednak wszystkie polihedra ma wspólne właściwości:

1. Wszystkie z nich mają 3 podstawowe elementy: twarz (powierzchnia wielokąta), wierzchołka (narożniki utworzone w miejscach twarzy), krawędź (strona figury lub cięcia, utworzona na skrzyżowaniu dwóch twarze).
2. Każda krawędź wielokąta łączy dwie i tylko dwa twarze, które względem siebie są przylegające.
3. Wybrzuszenie oznacza, że \u200b\u200bciało jest całkowicie umieszczone na jednej stronie samolotu, na którym kłama jedna z twarzy. Reguła dotyczy wszystkich ścian polihedron. Takie kształty geometryczne w stereometrii nazywane są wypukłą polihedrą. Wyjątki są gwiazdami wielościanów, które są pochodnymi prawymi wieloaspektowymi ciałami geometrycznymi.

Polihedra można podzielić na:

1. Rodzaje wypukłej wielościanę składającej się z następujących klas: zwykłe lub klasyczne (pryzmat, piramida, równoległe), prawidłowe (zwane również organy platoniczne), półnoospolitą (drugą nazwę - korpus archimedyjski).
2. Nie odłączony polihedra (gwiazdy).

Pryzmat i jego właściwości

Stereometria jako część geometrii bada właściwości liczb trójwymiarowych, typów polihedry (pryzmat wśród nich). Prism nazywany jest ciałem geometrycznym, który ma koniecznie dwie zupełnie identyczne twarze (są one również nazywane bazy) leżące w równoległych płaszczyznach oraz liczbę bocznych twarzy w postaci równoległobokami. Z kolei pryzmat ma również kilka odmian, w tym takie typy wielościanu jak:

1. Równoległawiony jest utworzony, jeśli równoległobok znajduje się w bazie - wielokąt z 2 parami równych przeciwnych kątów i dwie pary przystających przeciwległych stron.
2. Prostopadły do \u200b\u200bpodstawy żebra.
3. Charakteryzuje się obecnością kątów pośrednich (różniących się od 90) między krawędziami a podstawą.
4. Prawidłowy pryzmat charakteryzuje się bazami w postaci równych stóp.

Główne właściwości pryzmatu:

• Podstawa konstrukcyjne.
• Cały radia pryzmatów są równe i równoległe w odniesieniu do siebie.
• Wszystkie twarze boczne mają formularz równoległobok.

Piramida

Piramida nazywa się korpusem geometrycznym, który składa się z jednej bazy i z N-TIt limit trójkątnych powierzchni łączących się w jednym punkcie - wierzchołek. Należy zauważyć, że jeśli boczne powierzchnie piramid są z góry określone przez trójkąty, wtedy u podstawy może być jak trójkątny wielokąt, a także czterokrotność i pentagon, i tak w nieskończoność. W tym przypadku nazwa piramidy odpowiada wielokąta u podstawy. Na przykład, jeśli u podstawy piramidy leży trójkąt - jest to quadolon - cztery burgaty itp.

Piramidy są podobne do stożka polihedra. Rodzaje wielościanów tej grupy, inne niż powyższe, obejmują również następujące przedstawiciele:

1. Ma odpowiedni wielokąt, a jego wysokość jest zaprojektowana do środka okręgu wpisanego w podstawę lub opisaną wokół niego.
2. Prostokątna piramida jest utworzona, gdy jedna z bocznych krawędzi przecinających się z podstawą pod kątem prostym. W tym przypadku ta krawędź jest również słusznie nazywana wysokością piramidy.

Właściwości piramidowe:

• Jeśli wszystkie boczne żebra piramidów są zgodne (ta sama wysokość), a następnie wszystkie przecinają się z podstawą pod jednym kątem, a wokół podstawy można nagromadzić koło z centrum zbieżnego z projekcją wierzchołka piramidy.
• Jeśli u podstawy piramidy leży prawy wielokąt, a następnie wszystkie boczne krawędzie przystające, a twarze są równie przykuty trójkąty.

Prawy polihedron: gatunki i właściwości polihedry

W stereometrii, ciała geometryczne zajmują specjalne miejsce z absolutnie równą między sobą, w wierzchołkach, których ten sam Ryuby łączy się. Organy te otrzymały nazwę platońskiego ciała lub właściwej wielościanę. Rodzaje wielościanów z takimi właściwościami mają tylko pięć liczb:

1. Czworościan.
2. Prostopadłościan.
3. Oktaedr.
4. Dwunastościan.
5. Ikosahedron.

Wraz z jego nazwą prawidłowa polihedra jest zobowiązana do starożytnego greckiego filozofa Platona, który opisał te geometryczne ciała w pismach i związane z ich naturalnymi elementami: ziemi, wody, ognia, powietrza. Piąta liczba została przyznana podobieństwo ze strukturą Wszechświata. Jego zdaniem atomy naturalnych elementów w kształcie przypominają rodzaje prawidłowej wielościanę. Dzięki najbardziej ekscytującej mienie - symetrii te ciała geometryczne były bardzo interesujące nie tylko dla starożytnych matematyków i filozofów, ale także dla architektów, artystów i rzeźbiarzy wszechczasów. Obecność tylko 5 rodzajów polihedry z absolutną symetrią była uważana za fundamentalne znalezisko, nawet uśredniona komunikacja z boską korzyścią.

Hexahedron i jego właściwości

W postaci sześciokąta następcy Platona przyjęli podobieństwo ze strukturą atomów gruntów. Oczywiście hipoteza ta jest całkowicie obrzynna, która jednak nie koliduje z figurami i nowoczesnymi czasami, aby przyciągnąć umysły sławnych postaci z ich estetyką.

W geometrii, Hexahedron, jest tym samym kostką, jest uważany za konkretny przypadek równoległego, który z kolei jest rodzajem pryzmatu. W związku z tym właściwości sześcianu są związane z jedyną różnicą, że wszystkie krawędzie i narożniki kostki są równe się nawzajem. Następujące właściwości spływają z tego:

1. Cała Cuba Cuba Congue i leżą w równoległych płaszczyznach w stosunku do siebie.
2. Wszystkie twarze są przystawnymi kwadratami (łącznie w Kubie 6), z których każdy może być akceptowany dla bazy.
3. Wszystkie kąty międzyorganiczne są 90.
4. Od każdego wierzchołka występuje równa ilość Ryoeber, a mianowicie 3.
5. Cube ma 9, które wszystko przecinają się w punkcie przekątnej przekątnej Hexaheedron, zwanej centrum symetrii.

Czworościan

Tetrahedron jest czteroosobowy z równymi krawędziami w postaci trójkątów, której każdy z wierzchołków jest punkt łączenia trzech twarzy.

Właściwości właściwego tetrahedrona:

1. Wszystkie twarze Tetrada - jest to z tego, co wynika, że \u200b\u200bwszystkie twarze z kongry wywołujące.
2. Ponieważ podstawa jest reprezentowana przez prawidłową liczbę geometryczną, to znaczy, że ma równą stronę, a następnie skraj tetrahedron zbiegają się pod tym samym kątem, to znaczy, wszystkie narożniki są równe.
3. Suma kątów płaskich w każdym z wierzchołków wynosi 180, ponieważ wszystkie kąty są równe, a następnie dowolny kąt prawego czterotrwałego wynosi 60.
4. Każdy z wierzchołków jest przewidywany w punkcie przecięcia wysokości odwrotnej (ortomentre) twarzy.

Octahedron i jego właściwości

Opisując rodzaje prawidłowej wielościanu, nie można zauważyć takiego obiektu jako oktahedron, który wizualnie może być reprezentowany w postaci dwóch oznakowanych zasad quadricular regularnych piramid.

OKTAHEDRA Właściwości:

1. Nazwa korpusu geometrycznego sugeruje liczbę jego twarzy. Octahedron składa się z 8 przystających trójkątów równobocznych, w każdym wierzchołku zająje równą liczbę twarzy, a mianowicie 4.
2. Ponieważ wszystkie krawędzie Octahedron są równe te same kąty międzygorantów, z których każda ma 60, a suma płaskich narożników któregokolwiek z wierzchołków jest zatem 240.

Dwunastościan

Jeśli wyobrażasz sobie, że wszystkie twarze korpusu geometrycznego są prawidłowym pentagonem, następnie dodecaheedron jest liczbą 12 wielokątów.

Dodtwafeedron Właściwości:

1. Każdy wierzchołek przecinający się trzy twarze.
2. Wszystkie aspekty są równe i mają tę samą długość Röbeera, a także równy obszar.
3. Dodecahedra ma 15 osi i samolotów symetrii, a którykolwiek z nich przechodzi przez wierzchołek twarzy i środek żebra naprzeciwko do niej.

Ikosahedron.

Nie mniej interesujący niż dodecafeedron, figura Ikosaahedron jest objętościowym ciałem geometrycznym z 20 równymi krawędziami. Wśród właściwości właściwości dwadzieścia cumowania można zauważyć, co następuje:

1. Wszystkie twarze Ikosaahedron są kondustnymi trójkątów.
2. Każdy szczyt polihedron zbiega pięć twarzy, a suma sąsiednich kątów szczytowych wynosi 300.
3. Ikosaahedron ma tak samo jak dodecahedron, 15 osi i samoloty symetrii przechodzących przez przeciwległe twarze.

Półno-środowiskowe wielokąty

Oprócz organów Plato, grupa wypukłej wielościanu obejmuje również ciała archimedejskie, które są ścięte prawidłowe polihedry. Rodzaje wielościanów tej grupy mają następujące właściwości:

1. Korpusy geometryczne mają parę równe twarze kilku typów, na przykład, skrócony tetrahedron ma taki sam jak właściwy tetrahedron, 8 twarzy, ale w przypadku łuków korpusu 4 twarze będzie trójkątna forma i 4 sześciokątne.
2. Wszystkie kąciki jednego kongracji wierzchołka.

Gwiazdy polihedra.

Przedstawiciele spojrzałych typów zbiorników geometrycznych - gwiazda polihedry, z których twarze przecinają się ze sobą. Mogą być utworzone przez połączenie dwóch regularnych organów trójwymiarowych lub w wyniku kontynuacji ich twarzy.

Tak więc takie gwiazdy polihedry są znane jako: gwiazdy Octahedron, Dodecahedra, Ikosaahedra, Cubacoheedra, IkosododeCeedron.