Dlaczego inspektor doszedł do takiego wniosku? Sylogizmy Kiedyś śledczy musiał przesłuchiwać jednocześnie trzech świadków: Claude'a, Jacques'a i Dicka. Ich zeznania były ze sobą sprzeczne, a każdy z nich:

Kiedyś śledczy musiał jednocześnie przesłuchać trzech świadków: Claude'a, Jacques'a i Dicka. Ich zeznania były ze sobą sprzeczne, a każdy z nich oskarżał kogoś o kłamstwo. Claude twierdził, że Jacques kłamał, Jacques oskarżył Dicka o kłamstwo, a Dick przekonał śledczego, aby nie wierzył ani Claude'owi, ani Jacquesowi. Ale śledczy szybko doprowadził ich do… czystej wody bez zadawania im ani jednego pytania. Który ze świadków powiedział prawdę?

Ilya Muromets, Dobryna Nikitich i Alyosha Popovich otrzymali za wierną służbę 6 monet: 3 złote i 3 srebrne. Każdy dostał dwie monety. Ilja Muromiec nie wie, jakie monety zdobył Dobryna, a jakie Alosza, ale sam wie, jakie monety zdobył. Wymyśl pytanie, na które Ilya Muromets odpowie „tak”, „nie” lub „nie wiem”, a dzięki odpowiedzi możesz zrozumieć, jakie monety otrzymał

Reguły sylogizmów 1. W sylogizmie powinny być tylko trzy zdania i tylko trzy wyrazy. WG Wszyscy wycieczkowicze rozproszyli się w różnych kierunkach, wycieczkowicz Pietrow, to znaczy, że uciekł w różnych kierunkach. 3. Jeżeli obie przesłanki są prywatnymi oświadczeniami, to nie można wyciągnąć wniosków. 2. Jeżeli jednym z przesłanek jest oświadczenie prywatne, to wniosek musi być prywatny. 4. Jeżeli jedną z przesłanek jest stwierdzenie negatywne, to wniosek jest również stwierdzeniem negatywnym. 5. Jeżeli obie przesłanki są twierdzeniami negatywnymi, to wniosek jest niemożliwy. 6. Termin średni musi być rozłożony w co najmniej jednym z przesłanek. 7. Termin nie może być rozpowszechniany w zawarciu, jeżeli nie jest rozpowszechniany w lokalu.

Wszystkie koty mają cztery nogi. Wszystkie psy mają cztery nogi. Wszystkie psy to koty. Wszyscy ludzie są śmiertelni. Wszystkie psy nie są ludźmi. Psy są nieśmiertelne (nie śmiertelne). Ukraina zajmuje ogromne terytorium. Krym jest częścią Ukrainy. Krym zajmuje ogromne terytorium

... 18 lat.

Rozwiązanie

Pierwszy sposób ... W zależności od stanu problemu możesz utworzyć równanie. Niech wiek Dimy to x lat, wtedy wiek siostry to x/3, a wiek brata to x/2; (x + x / 3 + x / 2): 3 = 11. Po rozwiązaniu tego równania stwierdzamy, że x = 18. Dima ma 18 lat. Przydatne będzie podanie nieco innego rozwiązania, „w częściach”.

Drugi sposób ... Jeśli wiek Dimy, jego brata i siostry są przedstawione za pomocą segmentów, to „segment Dimy” składa się z dwóch „segmentów brata” lub trzech „segmentów siostry”. Następnie, jeśli wiek Dimy jest podzielony na 6 części, to wiek siostry to dwie takie części, a wiek brata to trzy takie części. Wtedy suma ich wieku to 11 takich części. Z drugiej strony, jeśli średnia wieku wynosi 11 lat, to suma wieku wynosi 33 lata. Stąd wynika, że w jednej części - trzy lata. Oznacza to, że Dima ma 18 lat.

Kryteria weryfikacji .

Kompletne poprawne rozwiązanie - 7 zwrotnica.

Równanie jest poprawne, ale popełniono błędy w rozwiązaniu - 3 wynik .

Podana jest prawidłowa odpowiedź i wykonywane jest sprawdzenie - 2 wynik .

0 zwrotnica .

Odpowiedź ... Sama Graya.

Rozwiązanie .

Ze stanu problemu jasno wynika, że zeznania każdego ze świadków dotyczyły zeznań dwóch pozostałych świadków. Rozważmy oświadczenie Boba Blacka. Jeśli to, co mówi, jest prawdą, to Sam Gray i John White kłamią. Ale z faktu, że John White kłamie, wynika, że nie wszystkie zeznania Sama Graya są całkowitym kłamstwem. A to jest sprzeczne ze słowami Boba Blacka, któremu postanowiliśmy uwierzyć i który twierdzi, że Sam Gray kłamie. Tak więc słowa Boba Blacka nie mogą być prawdziwe. Oznacza to, że kłamał i musimy przyznać, że słowa Sama Graya są prawdziwe, a zatem twierdzenia Johna White'a są fałszywe. Odpowiedź: Sam Gray nie kłamał.

Kryteria weryfikacji .

Kompletny poprawna analiza sytuacja problemu i podana jest poprawna odpowiedź - 7 zwrotnica .

Podano pełną poprawną analizę sytuacji, ale z jakiegoś powodu podano nieprawidłową odpowiedź (na przykład zamiast tej, która NIE kłamała, odpowiedź wskazuje tych, którzy kłamali) - 6 zwrotnica .

Podano prawidłową analizę sytuacji, ale z jakiegoś powodu nie podano prawidłowej odpowiedzi (na przykład udowodniono, że Bob Black kłamał, ale nie wyciągnięto dalszych wniosków) - 4 wynik .

Podana jest prawidłowa odpowiedź i okazuje się, że spełnia ona warunek problemu (przeprowadzana jest kontrola), ale nie udowodniono, że jedyna odpowiedź jest 3 wynik .

1 wynik .

0 zwrotnica .

Odpowiedź ... Jeden numer 175.

Rozwiązanie . Pierwszy sposób . W ramach cyfr służących do zapisania liczby nie występuje cyfra 0, w przeciwnym razie warunek zadania nie może zostać spełniony. Tę trzycyfrową liczbę otrzymuje się przez pomnożenie iloczynu jej cyfr przez 5, zatem jest podzielna przez 5. Oznacza to, że jej zapis kończy się na cyfrę 5. Otrzymujemy, że iloczyn cyfr pomnożonych przez 5 musi być podzielny przez 25. Zauważ, że parzyste cyfry w rekordzie liczbowym nie mogą być, w przeciwnym razie iloczyn cyfr byłby równy zero. Zatem liczba trzycyfrowa musi być podzielna przez 25 i nie może zawierać parzystych cyfr. Jest tylko pięć takich liczb: 175, 375, 575, 775 i 975. Iloczyn cyfr wymaganej liczby musi być mniejszy niż 200, w przeciwnym razie pomnożony przez 5 da liczbę czterocyfrową. Dlatego liczby 775 i 975 są oczywiście nieodpowiednie. Spośród pozostałych trzech liczb tylko 175 spełnia stan problemu. Drugi sposób. Zwróć uwagę (podobnie jak w pierwszym rozwiązaniu), że ostatnią cyfrą wymaganej liczby jest 5. Niecha , b , 5 - kolejne cyfry żądanego numeru. Według stanu problemu mamy: 100a + 10 b + 5 = a · b · 5 · 5. Dzieląc obie strony równania przez 5, otrzymujemy: 20a + 2 b + 1 = 5 ab ... Po odjęciu równości 20a z obu stron i usunięciu wspólnego czynnika po prawej stronie nawiasów otrzymujemy: 2b + 1 = 5 a (b – 4 a) (1 ). Biorąc pod uwagę, że a oraz b może przyjmować wartości naturalne od 1 do 9, otrzymujemy, że możliwe wartości a to tylko 1 lub 2. Ale a = 2 nie spełnia równości (1 ), po lewej stronie którego liczba nieparzysta, a po prawej, gdy podstawiony jest a = 2, okazuje się, że jest parzysty. Tak więc jedyną możliwością jest a = 1. Podstawiając tę wartość w (1 ), otrzymujemy: 2 b + 1 = 5 b- 20, skąd b = 7. Odpowiedź: jedyny numer, którego szukasz to 175.

Kryteria weryfikacji .

Kompletne poprawne rozwiązanie - 7 zwrotnica .

Otrzymano poprawną odpowiedź i są argumenty, które znacznie zmniejszają wyliczenie opcji, ale nie ma pełnego rozwiązania - 4 wynik .

Równanie jest poprawnie sporządzone i podane są przekształcenia i rozumowanie, które pozwalają rozwiązać problem, ale rozwiązanie nie jest zakończone - 4 wynik .

Wyliczenie opcji jest skrócone, ale nie ma wyjaśnienia dlaczego, a wskazana jest prawidłowa odpowiedź - 3 wynik .

Równanie jest poprawne, ale problem nie został rozwiązany - 2 wynik .

W rozwiązaniu znajduje się rozumowanie, które pozwala na wyłączenie dowolnych liczb z rozważania lub rozważenie liczb o określonych właściwościach (na przykład kończących się na 5), ale nie ma dalszego znaczącego postępu w rozwiązaniu - 1 wynik .

Podana jest tylko poprawna odpowiedź lub odpowiedź z potwierdzeniem - 1 wynik .

Odpowiedź ... 75 ° .

Rozwiązanie . Rozważ trójkąt AOC, gdzie O jest środkiem okręgu. Ten trójkąt jest równoramienny, ponieważ OS i OA są promieniami. Stąd, na podstawie własności trójkąta równoramiennego, kąty A i C są równe. Narysujmy prostopadłą SM do strony AO i rozważmy: trójkąt prostokątny OMS. Zgodnie ze stanem problemu odnoga SM stanowi połowę przeciwprostokątnej OS. Oznacza to, że wartość kąta SOM wynosi 30°. Następnie, na podstawie twierdzenia o sumie kątów trójkąta, stwierdzamy, że kąt CAO (lub CAB) jest równy 75 °.

Kryteria weryfikacji .

Prawidłowe uzasadnione rozwiązanie problemu - 7 zwrotnica.

Podano prawidłowe rozumowanie, które jest rozwiązaniem problemu, ale z jakiegoś powodu podano błędną odpowiedź (na przykład zamiast kąta SAO wskazano kąt COA) - 6 zwrotnica.

Podsumowując, przedstawiono prawidłowe rozumowanie, w którym popełniono błędy, które nie mają w istocie fundamentalnej decyzji, i podano prawidłową odpowiedź - 5 zwrotnica.

Poprawne rozwiązanie problemu podano w przypadku braku uzasadnień: wszystkie wnioski pośrednie są wskazane bez wskazywania powiązań między nimi (odniesienia do twierdzeń lub definicji) - 4 zwrotnica.

Wykonuje się dodatkowe konstrukcje i oznaczenia na rysunku, z których przebieg rozwiązania jest jasny, podano poprawną odpowiedź, ale nie podano samego rozumowania - 3 zwrotnica.

Prawidłowa odpowiedź jest udzielana w przypadku błędnego rozumowania - 0 zwrotnica.

Podana jest tylko poprawna odpowiedź - 0 zwrotnica.

Odpowiedź ... Widzieć zdjęcie.

Rozwiązanie . Przekształcamy to równanie, wybierając pełny kwadrat pod znakiem pierwiastka:. Wyrażenie po prawej stronie ma sens tylko dla x = 9. Podstawiając tę wartość do równania, otrzymujemy: 9 2 – tak 4 = 0. Rozkład na lewą stronę: (3 -tak)(3 + tak)(9 + tak 2 ) = 0. Skąd tak= 3 lub tak = –3. Oznacza to, że współrzędne tylko dwóch punktów (9; 3) lub (9; –3) spełniają to równanie. Wykres równania pokazano na rysunku.

Kryteria weryfikacji.

Przeprowadzono poprawne przekształcenia i wnioskowanie, a wykres jest poprawnie zbudowany - 7 zwrotnica.

Wykonano prawidłowe konwersje, ale utracono znaczenie tak = –3; jeden punkt jest wskazany jako wykres -3 zwrotnica.

Wskazano jeden lub dwa odpowiednie punkty, ewentualnie z weryfikacją, ale bez innych wyjaśnień lub po błędnych przekształceniach -1 wynik.

Przeprowadzono poprawne przekształcenia, ale zadeklarowano, że wyrażenie pod pierwiastkiem (lub po prawej stronie po podniesieniu do kwadratu) jest ujemne, a wykres jest pustym zbiorem punktów - 1 wynik.

Przeprowadzono rozumowanie, które doprowadziło do wskazania dwóch punktów, ale punkty te są w jakiś sposób połączone (na przykład segmentem) - 1 wynik.

Bez wyjaśnienia wskazano dwa punkty, które są w jakiś sposób połączone - 0 zwrotnica.

W innych sprawach - 0 zwrotnica.

Odpowiedzi na zadania II etapu Olimpiady

Odpowiedź . Mogą.

Rozwiązanie . Jeśli a =, b = -, to a = b + 1 i a 2 = b 2

Możesz także rozwiązać układ równań:

Kryteria weryfikacji.

Prawidłowa odpowiedź z liczbami a oraz b – 7 zwrotnica .

Opracowano układ równań, ale przy jego rozwiązaniu popełniono błąd arytmetyczny - 3 wynik .

Tylko odpowiedź brzmi - 1 wynik .

Odpowiedź . W 12 sekund .

Rozwiązanie . Między pierwszym a czwartym piętrem są 3 loty, a między piątym a pierwszym piętrem - 4. Zgodnie z warunkiem Petya wykonuje 4 loty o 2 sekundy dłużej niż jego matka jedzie windą, a trzy loty - 2 sekundy szybciej niż jego matka . Oznacza to, że Petya wykonuje jeden lot w 4 sekundy. Następnie Petya biegnie z czwartego piętra na pierwsze (tj. 3 loty) w 4 * 3 = 12 sekund.

Kryteria weryfikacji.

Prawidłowa odpowiedź z kompletnym rozwiązaniem - 7 zwrotnica .

Wyjaśniono, że jeden przeskok zajmuje 4 sekundy, odpowiedź mówi 4 sekundy - 5 zwrotnica .

Prawidłowe uzasadnienie zakładając, że droga z piątego piętra na pierwsze jest 1,25 razy dłuższa niż droga z czwartego piętra na pierwsze, a odpowiedź to 16 sekund - 3 wynik .

Tylko odpowiedź brzmi - 0 zwrotnica .

Odpowiedź . Widzieć zdjęcie.

Rozwiązanie . Ponieważ NS 2 =| NS | 2 , wtedy w =| NS |, gdzie x ≠ 0.

Można również, korzystając z definicji modułu, uzyskać to (dla x = 0 funkcja niezdefiniowana).

Kryteria weryfikacji.

Prawidłowy wykres z wyjaśnieniem - 7 zwrotnica .

Prawidłowy wykres bez żadnego wyjaśnienia - 5 zwrotnica .

Wykres funkcji y = |x | brak przebitego punktu -3 wynik .

Odpowiedź . tak .

Rozwiązanie . Dzielimy ten kwadrat o boku 5 linii prostych równoległych do jego boków na 25 kwadratów o boku 1 (patrz rys.). Gdyby w każdym takim kwadracie zaznaczono nie więcej niż 4 punkty, to w sumie zaznaczono by nie więcej niż 25 * 4 = 100 punktów, co jest sprzeczne z warunkiem. Dlatego przynajmniej jeden z wynikowych kwadratów musi zawierać 5 zaznaczonych punktów.

Kryteria weryfikacji.

Dobra decyzja - 7 zwrotnica .

Tylko odpowiedź brzmi - 0 zwrotnica .

Odpowiedź . Osiem sposobów.

Rozwiązanie . Z punktu a) wynika, że kolorowanie wszystkich punktów o współrzędnych całkowitych jest jednoznacznie określone przez kolorowanie punktów odpowiadających liczbom 0, 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Punkt 0 = 14-2 * 7 powinny być pokolorowane w taki sam sposób jak 14, te. czerwony. Podobnie punkt 1 = 71-107 powinien być pomalowany na niebiesko, punkt 3 = 143-20 * 7 na niebiesko, a 6 = 20-2 * 7 na czerwono. Dlatego pozostaje tylko policzyć, na ile różnych sposobów można pokolorować punkty odpowiadające numerom 2, 4 i 5. Ponieważ każdy punkt można pokolorować na dwa sposoby - na czerwono lub niebiesko - to jest 2 * 2 * 2 = 8 sposobów w sumie. Notatka. Licząc ilość sposobów namalowania punktów 2, 4 i 5, możesz po prostu wymienić wszystkie sposoby, na przykład w formie tabeli:

Kryteria weryfikacji .

Prawidłowa odpowiedź z poprawnym uzasadnieniem to 7 zwrotnica .

Problem sprowadza się do liczenia sposobów pokolorowania 3 kropek, ale odpowiedź to 6 lub 7 - 4 wynik .

Zadanie sprowadza się do policzenia ilości sposobów pokolorowania 3 kropek, ale nie ma liczenia ilości sposobów lub uzyskuje się odpowiedź inną niż wskazane wcześniej - 3 wynik .

Odpowiedź (w tym prawidłowa) bez uzasadnienia to 0 zwrotnica .

Odpowiedź . 4 razy.

Rozwiązanie .

Narysujmy segmenty MK i AS . Czworokąt MVKE składa się z

trójkąty MVK i MKE , i czworoboczny AECD - z trójkątów

1 sposób . Trójkąty MVK i ASD - prostokątne i nogi pierwszego są 2 razy mniejsze od nóg drugiego, więc są do siebie zbliżone i mają pole trójkąta ACD 4 razy powierzchnia trójkąta MVK. Ponieważ M i K – punkty środkowe odpowiednio AB i BC, a następnie MK– , dlatego MK || AS i MK = 0,5АС . Z równoległości linii prostych MK i AS wynika podobieństwo

trójkąty MKE i AEC, i ponieważ współczynnik podobieństwa wynosi 0,5, wtedy powierzchnia trójkąta AEC jest 4 razy większa od powierzchni trójkąta MKE. Ale już: S AEC D = SAEC + SACD = 4 SMKE + 4 SMBK = 4 (SMKE + SMBK) = 4 SMBKE.

2 sposób . Niech obszar prostokąta ABCD jest równe S. Następnie obszar trójkąta ACD jest równe ( przekątna prostokąta dzieli go przez dwa równy trójkąt), a pole trójkąta MVK jest równe MV × VK = Tk. M i K – środek segmentów AB i BC, potem AK i CM – mediany trójkąta ABC, dlatego E – punkt przecięcia środkowych trójkąta ABC, te. odległość od E do AC wynosih, gdzie h - wysokość trójkąta ABC, narysowany z wierzchołka B. Wtedy obszar trójkąta AEC wynosi. Następnie dla obszaru czworokąta AECD, równa sumie pól trójkątów AEC i ACD, otrzymujemy: Dalej, ponieważ MK– środkowa linia trójkąta ABC, wtedy obszar trójkąta MKE wynosi* h - * h) = h) = (AC * h) == S ... Dlatego dla obszaru czworokąta MVKE, równa sumie pól trójkątów MVK i MKE, otrzymujemy:. Zatem stosunek pól czworokątów AECD a MVKE jest równe.

Kryteria weryfikacji.

Prawidłowe rozwiązanie i poprawna odpowiedź -7 zwrotnica .

Rozwiązanie poprawne, ale odpowiedź nieprawidłowa z powodu błędu arytmetycznego -5 zwrotnica .

5. PODSUMOWANIE I PRZYZNANIE ZWYCIĘZCÓW

Jury określa ostateczne wskaźniki wykonanych zadań konkursowych wzgodność z opracowanymi kryteriami oceny;

Dla zwycięzców olimpiady, określonych przez największą liczbę punktów,ustalane są trzy miejsca nagród;

Wyniki konkursu sporządza sprawozdanie organizatora Olimpiady.

Zwycięzcy otrzymują certyfikaty i cenne upominki.

W przypadku niezgody z oceną nadaną przez jury, uczestnik może zgłosićpisemne odwołanie w ciągu godziny po ogłoszeniu wyników.

Zapewniony jest rozgłos konkursu - ogłaszane są wyniki konkursulaureaci.

W rozwiązywaniu problemów logicznych można wyróżnić następującą sekwencję kroków.

1. Wybierz podstawowe (proste) stwierdzenia z opisu problemu i oznacz je literami.

2. Zapisz stan zadania w języku algebry logicznej, łącz proste zdania w złożone za pomocą operacji logicznych.

3. Skompiluj pojedynczy Wyrażenie logiczne dla wymagań zadania.

4. Korzystając z praw algebry logiki, spróbuj uprościć otrzymane wyrażenie i obliczyć wszystkie jego wartości lub zbudować tabelę prawdy dla rozważanego wyrażenia.

5. Wybierz rozwiązanie - zestaw wartości proste stwierdzenia gdzie skonstruowane wyrażenie logiczne ma wartość true.

6. Sprawdź, czy otrzymane rozwiązanie spełnia warunek problemu.

Przykład:

Cel 1:„Próbując przypomnieć sobie zwycięzców zeszłorocznego turnieju, pięciu byłych widzów turnieju stwierdziło, że:

1. Anton był drugi, a Boris piąty.

2. Victor był drugi, a Denis trzeci.

3. Grzegorz był pierwszym, a Borys trzecim.

4. Anton był trzeci, a Evgeny szósty.

5. Victor był trzeci, a Evgeny był czwarty.

Później okazało się, że każdy widz popełnił błąd w jednej ze swoich dwóch wypowiedzi. Jaki był prawdziwy podział miejsc w turnieju.”

1) Oznaczmy pierwszą literą w imieniu uczestnika turnieju, oraz - numer miejsca, które posiada, tj. mamy.

2) 1. ; 3. ; 5. .

3) Jedno wyrażenie logiczne dla wszystkich wymagań zadania:.

4) W formule L przeprowadzić równoważne przekształcenia, otrzymujemy:.

5) Z pkt 4 wynika:,.

6) Podział miejsc w turnieju: Anton był trzeci, Borys - piąty, Wiktor - drugi, Grigorij - pierwszy i Evgeniy - czwarty.

Zadanie 2:„Iwanow, Pietrow, Sidorow zostali postawieni przed sądem pod zarzutem rozboju. Dochodzenie ustaliło:

1. jeśli Iwanow nie jest winny lub Pietrow jest winny, to Sidorow jest winny;

2. jeśli Iwanow nie jest winny, to Sidorow nie jest winny.

Czy Iwanow jest winny?

1) Rozważ stwierdzenia:

A: „Iwanow jest winny” V: "Pietrow jest winny" Z: „Sidorow jest winny”.

2) Fakty ustalone w toku dochodzenia:,.

3) Pojedyncze wyrażenie logiczne:. To prawda.

Ułóżmy dla niego tabelę prawdy.

A	V	Z	L

Rozwiązanie problemu oznacza wskazanie, przy jakich wartościach A wynikowe złożone stwierdzenie L jest prawdziwe. Jeśli, ale, to śledztwo nie ma wystarczających faktów, aby oskarżyć Iwanowa o przestępstwo. Analiza tabeli pokazuje m.in. Iwanow jest winny rozboju.

Pytania i zadania.

1. Uzupełnij RCC dla formuł:

2. Aby uprościć RCS:

3. Na podstawie podanego schematu przełączania skonstruuj odpowiadającą mu formułę logiczną.

4. Sprawdź równoważność DCS:

5. Skonstruuj obwód trzech przełączników i żarówki w taki sposób, aby światło zapalało się tylko wtedy, gdy dokładnie dwa przełączniki są w pozycji „włączonej”.

6. Korzystając z tej tabeli przewodności, skonstruuj obwód elementów funkcjonalnych z trzema wejściami i jednym wyjściem, który realizuje wzór.

x	tak	z	F

7. Przeanalizuj diagram pokazany na rysunku i zapisz wzór na funkcję F.

8. Zadanie: „Kiedyś śledczy musiał przesłuchiwać jednocześnie trzech świadków: Claude'a, Jacques'a, Dicka. Ich zeznania były ze sobą sprzeczne, a każdy z nich oskarżał kogoś o kłamstwo.

1) Claude twierdził, że Jacques kłamał.

2) Jacques oskarżył Dicka o kłamstwo.

3) Dick próbował przekonać śledczego, aby nie wierzył ani Claude'owi, ani Jacques'owi.

Ale śledczy szybko zaprowadził ich do czystej wody, nie zadając im ani jednego pytania. Który ze świadków powiedział prawdę?

9. Ustal, który z czterech uczniów zdał egzamin, jeśli wiadomo, że:

1) Jeśli pierwszy minął, to drugi minął.

2) Jeśli drugi minął, to trzeci minął lub pierwszy nie przeszedł.

3) Jeśli czwarty nie przeszedł, to pierwszy przeszedł, a trzeci nie przeszedł.

4) Jeśli czwarty minął, to pierwszy minął.

10. Na pytanie, który z trzech studentów studiował logikę, otrzymano odpowiedź: jeśli studiował pierwszego, to studiował trzeciego, ale nie jest prawdą, że jeśli studiował drugiego, to studiował trzeciego. Kto studiował logikę?

1.a) ( przemienna alternatywa );

b)

(przemienność spójnika );

2.a) ( asocjatywność alternatywna );

b) ( skojarzenie koniunkcji );

3.a) ( rozdzielność alternatywy względem koniunkcji );

b) ( rozdzielność koniunkcji względem alternatywy );

4.

oraz

–prawa de Morgana .

5.

;

;

;

6.

(lub

) (wyłączone prawo trzecie );

(lub

(prawo sprzeczności );

7.

(lub

);

(lub

);

(lub

);

(lub

).

Wymienione właściwości są powszechnie używane do przekształcania i upraszczania formuł logicznych. Oto właściwości tylko trzech operacji logicznych (dysjunkcja, koniunkcja i negacja), ale jak się później okaże, wszystkie inne operacje można za ich pomocą wyrazić.

Za pomocą spójników logicznych można układać równania logiczne i rozwiązywać problemy logiczne w taki sam sposób, w jaki rozwiązuje się problemy arytmetyczne za pomocą układów równań zwykłych.

Przykład. Kiedyś śledczy musiał jednocześnie przesłuchać trzech świadków: Claude'a, Jacques'a i Dicka. Ich zeznania były ze sobą sprzeczne, a każdy z nich oskarżał kogoś o kłamstwo. Claude twierdził, że Jacques kłamał, Jacques oskarżył Dicka o kłamstwo, a Dick przekonał śledczego, aby nie wierzył ani Claude'owi, ani Jacquesowi. Ale śledczy szybko zaprowadził ich do czystej wody, nie zadając im ani jednego pytania. Który ze świadków powiedział prawdę?

Rozwiązanie. Rozważ stwierdzenia:

(Claude mówi prawdę);

(Jacques mówi prawdę);

(Dick mówi prawdę.)

Nie wiemy, które z nich są poprawne, ale wiemy, co następuje:

1) albo Claude powiedział prawdę, a następnie Jacques skłamał, albo Claude skłamał, a następnie Jacques powiedział prawdę;

2) albo Jacques powiedział prawdę, a potem Dick skłamał, albo Jacques skłamał, a potem Dick powiedział prawdę;

3) albo Dick powiedział prawdę, a następnie Claude i Jacques skłamali, albo Dick skłamał, a wtedy nie jest prawdą, że obaj pozostali świadkowie kłamali (tj. przynajmniej jeden z tych świadków powiedział prawdę).

Wyraźmy te stwierdzenia w postaci układu równań:

Warunek problemu zostanie spełniony, jeśli te trzy zdania są jednocześnie prawdziwe, co oznacza, że ich koniunkcja jest prawdziwa. Pomnóżmy te równości (tzn. weźmy ich koniunkcję)

Ale

wtedy i tylko wtedy gdy

, a

... Dlatego Jacques mówi prawdę, a Claude i Dick kłamią.

Każdy -okres działania, oznaczany np.

, zostanie w pełni ustalona, jeśli zostanie ustalone dla jakich wartości zestawień

wynik będzie prawdziwy lub fałszywy. Jednym ze sposobów określenia takiej operacji jest wypełnienie tabeli wartości:

W tabeli wartości oświadczenia utworzonego z najprostsze stwierdzenia

, jest linie. Kolumna wartości ma również stanowiska. Dlatego istnieje

różne opcje wypełniania i odpowiednio liczba wszystkich -operacje terminowe to

... Na

liczba operacji jednorazowych wynosi 4, dla

liczba dwumianów wynosi 16, dla

liczba trójek to 256 itd.

Rozważmy kilka specjalnych typów formuł.

Formuła nazywa się elementarne połączenie jeśli jest to koniunkcja zmiennych i negacja zmiennych. Na przykład formuły ,

,

,

- elementarne spójniki.

Formuła będąca alternatywą (być może jednorazową) elementarnych spójników nazywa się rozłączna forma normalna (dn. f.). Na przykład formuły ,

,

.

Twierdzenie 1(o redukcji do dn. f.). Dla dowolnej formuły , czyli d. n. F. ...

To twierdzenie i następne twierdzenie 2 zostaną udowodnione w następnym podrozdziale. Stosując te twierdzenia można ujednolicić postać formuł logicznych.

Formuła nazywa się elementarna alternatywa jeśli jest alternatywą zmiennych i negacją zmiennych. Na przykład formuły

,

,

itp.

Formuła będąca połączeniem (być może jednoskładnikowym) elementarnych alternatyw nazywa się spójna forma normalna (doktorat). Na przykład formuły

,

.

Twierdzenie 2(o redukcji do c. n. f.). Dla dowolnej formuły możesz znaleźć równoważną formułę , czyli c. n. F.

Kiedyś śledczy musiał jednocześnie przesłuchać trzech świadków: Claude'a, Jacques'a i Dicka. Ich zeznania były ze sobą sprzeczne, a każdy z nich oskarżał kogoś o kłamstwo. Claude twierdził, że Jacques kłamał, Jacques oskarżył Dicka o kłamstwo, a Dick przekonał śledczego, aby nie wierzył ani Claude'owi, ani Jacquesowi. Ale śledczy szybko zaprowadził ich do czystej wody, nie zadając im ani jednego pytania. Który ze świadków powiedział prawdę?

Zadanie 35

Jedna osoba poszła do pracy z pensją 1000 dolarów rocznie. Podczas dyskusji na temat warunków przyjęcia obiecano mu, że w przypadku dobrej pracy zostanie podwyżka jego pensji. Co więcej, kwotę podwyżki można wybrać spośród dwóch opcji według własnego uznania: w jednym przypadku oferowano podwyżkę o 50 USD co sześć miesięcy, począwszy od drugiej połowy, w drugim - 200 USD rocznie, począwszy od drugi. Pracodawcy, dając swobodę wyboru, chcieli nie tylko postarać się oszczędzać na wynagrodzeniach, ale także sprawdzić, jak szybko myśli nowy pracownik. Zastanawiając się przez chwilę, śmiało nazwał warunki podwyżki.

Która opcja była preferowana?

Zadanie 36

Kiedyś śledczy musiał jednocześnie przesłuchać trzech świadków: Claude'a, Jacques'a i Dicka. Ich zeznania były ze sobą sprzeczne, a każdy z nich oskarżał kogoś o kłamstwo. Claude twierdził, że Jacques kłamał. Jacques oskarżył Dicka o kłamstwo, a Dick przekonał śledczego, by nie wierzył ani Claude'owi, ani Jacquesowi. Ale śledczy szybko zaprowadził ich do czystej wody, nie zadając im ani jednego pytania.

Który ze świadków powiedział prawdę?

Zadanie 37

Straszne nieszczęście, inspektorze, powiedział pracownik muzeum. „Nie możesz sobie wyobrazić, jak bardzo jestem podekscytowany. Powiem ci wszystko w porządku. Zostałem dzisiaj w muzeum, żeby trochę popracować i uporządkować nasze sprawy finansowe. Właśnie siedziałem przy tym biurku i przeglądałem rachunki, gdy nagle zobaczyłem z prawa strona cień. Okno było otwarte.

I nie słyszałeś żadnego szelestu? – zapytał inspektor.

Absolutnie żaden. Radio grało muzykę, a poza tym byłem zbyt zainteresowany tym, co robię. Oderwałem wzrok od gorąca i zobaczyłem, że z okna wyskoczył mężczyzna. Natychmiast włączyłem górne światło i stwierdziłem, że zniknęły dwa pudła z najcenniejszą kolekcją monet, które zabrałem do pracy w biurze. W strasznym stanie: w końcu ta kolekcja jest wyceniana na 10 tysięcy marek.

Wierzysz, że naprawdę jestem; wierzysz w swoje fabrykacje?

Inspektor zauważył z irytacją. „Nikt mnie nigdy nie zmylił, a ty nie będziesz pierwszy.

Skąd inspektor wiedział, że próbują go oszukać?

Zadanie 38

Ciało zaginionej osoby znaleziono owinięte w prześcieradło z przywieszką z numerem prania. Zidentyfikowano rodzinę, która używała takich znaczników, jednak w trakcie weryfikacji okazało się, że członkowie tej rodziny nie znali i nie mieli żadnego kontaktu ze zmarłym i jego bliskimi. Nie ustalono żadnych innych dowodów na ich udział w morderstwie.

Czy podczas sprawdzania popełniłeś błędy w kompletności i poprawności otrzymanych informacji?

Zadanie 39

Potapov, Shchedrin, Semenov służą w jednostce lotniczej. Konowałow i Samojłow. Ich specjalnością są: pilot, nawigator, mechanik lotniczy, radiooperator i prognostyk.

Określ, jaką specjalność ma każdy z nich, jeśli znane są następujące fakty.

Szczedrin i Konowałow nie znają się na sterowaniu samolotem;

Potapov i Konovalov przygotowują się do zostania nawigatorami; apartamenty Szczedrina i Samojłowa znajdują się obok mieszkania radiooperatora;

Siemion, będąc w domu wypoczynkowym, spotkał Szczedrina i siostrę prognosty: Potapowa i Szczedrina w wolnym czasie grają w szachy z mechanikiem lotniczym i pilotem; Konowałow, Siemionow i wróżbita lubią boks; radiooperator nie lubi boksu.

Zadanie 40

Ciotka, która czekała na swojego siostrzeńca, inspektora, wybiegła mu na spotkanie, nie kryjąc zniecierpliwienia.

Jakaś kobieta właśnie teraz; wyrwała mi torebkę z pieniędzmi i natychmiast zniknęła.

Najprawdopodobniej ukryła się w tej samej kasie oszczędnościowej, w której byłeś - powiedział inspektor. - Spróbujmy ją znaleźć.

Rzeczywiście, ciotka natychmiast zobaczyła swoją torbę, która leżała na ławce między dwiema kobietami. Została ujawniona. Kiedy inspektor dokładnie przyjrzał się torbie, obie kobiety, zauważając to, wstały i przeszły na drugi koniec pokoju. Torebka pozostała na ławce.

Ale nie wiem, który z nich ukradł moją torbę. Nie miałem czasu, aby ją zobaczyć - powiedziała moja ciocia.

Cóż, to bzdura - powiedział siostrzeniec. `` Przesłuchamy ich obu, ale myślę, że ten, który ukradł twoją torbę, był ...

Który?

Zadanie 41

Po otrzymaniu wiadomości, że szary Chevrolet z numerem zaczynającym się od szóstki potrącił kobietę i zniknął, inspektor i jego asystent pojechali do willi dżentelmena, którego samochód wydawał się pasować do opisu. W niecałe pół godziny byli na miejscu.

Przed domem stał szary Chevrolet. Na policję właściciel zszedł do nich w piżamie.

Yanikuda nie wyszedł dzisiaj - powiedział po wysłuchaniu inspektora. - Tak i nie mogłem: wczoraj zgubiłem kluczyk do stacyjki, a nowy będzie gotowy dopiero w piątek.

Asystent, który w międzyczasie zdążył obejrzeć samochód, szepnął do inspektora:

Najwyraźniej mówi prawdę. Na aucie nie ma śladów kolizji.

Inspektor, opierając się o maskę samochodu, odpowiedział:

To nic nie znaczy, cios nie był silny, bo ofiara żyje. A pańskie alibi, sir, wydaje mi się wyjątkowo podejrzane. Dlaczego próbujesz przede mną ukrywać, że właśnie przyjechałeś tutaj tym samochodem?

Co dało inspektorowi powód, by podejrzewać mistrza o kłamstwo?

Zadanie 42

Prezes firmy informuje śledczego o kradzieży dokonanej z jego domu.

Przyjeżdżając do pracy przypomniałem sobie, że zapomniałem w domu Wymagane dokumenty... Klucz do domowego sejfu oddałem mojemu asystentowi i wysłałem po teczkę z dokumentami. Współpracujemy z nim od dawna, od dawna mu ufam i często odsyłałam go do domu po coś z sejfu. Tym razem zaraz po wyjściu zadzwonił do mnie przez telefon i powiedział, że wchodząc do pokoju zobaczył, że drzwi od sejfu ściennego są otwarte, a papiery porozrzucane po całym biurze. Wróciłem do domu i stwierdziłem, że oprócz rozrzuconych dokumentów z sejfu zniknęła biżuteria i pieniądze.

Zeznanie asystentki: „Kiedy przyjechałam, kamerdyner wpuścił mnie i wszedł na piętro mieszkania. Wchodząc do biura, znalazł papiery porozrzucane na podłodze i otwarte drzwi sejfu. Natychmiast zadzwoniłem do mojego szefa i zgłosiłem to, co widziałem. Potem wyskoczyłem na podest i zadzwoniłem do lokaja. Kiedy krzyknąłem, z salonu na dole wyszła pokojówka i zapytała, co się dzieje. Powiedziałem jej, co widziałem. Na jej wezwanie z podwórka wybiegł lokaj. Na moje pytanie powiedzieli, że nikt nie przyszedł do mieszkania po wyjściu właściciela i nie słyszeli żadnego hałasu w domu.”

Lokaj wyjaśnił: „Po tym, jak właściciel wyszedł rano, wykonywałem zwykłą pracę na parterze i nikogo nie widziałem ani nie słyszałem. Pokojówka nie wychodziła z kuchni przede mną. Kiedy przybył długo zaznajomiony pracownik naszego właściciela, wszedł na schody na piętro i wyszedł na dziedziniec. Kilka minut później kucharz zadzwonił do mnie i wszedłem do domu, gdzie asystentka powiedziała o kradzieży z biura właściciela.”

Pokojówka powiedziała, że po śniadaniu była w kuchni, nigdzie nie wychodziła, a dopiero słysząc krzyk asystentki, weszła do salonu. Asystent powiedział o kradzieży w domu i poprosił o poznanie lokaja.

Na pytanie śledczego asystent odpowiedział, że w biurze niczego nie dotykał poza telefonem i nie przestawiał go. Lokaj i pokojówka powiedzieli, że w ogóle nie chodzą do biura.

Podczas oględzin w gabinecie śledczy nie znalazł odcisków palców na drzwiach biura, drzwiach sejfu, przedmiotach i telefonie na stole. Po zbadaniu zamka drzwi sejfu specjalista nie znalazł w jego szczegółach śladów żadnego przedmiotu ani obcego klucza.

W rozwiązywaniu problemów logicznych można wyróżnić następującą sekwencję kroków.

1. Wybierz podstawowe (proste) stwierdzenia z opisu problemu i oznacz je literami.

2. Zapisz stan zadania w języku algebry logicznej, łącz proste zdania w złożone za pomocą operacji logicznych.

3. Skomponuj pojedyncze wyrażenie logiczne dla wymagań problemu.

4. Korzystając z praw algebry logiki, spróbuj uprościć otrzymane wyrażenie i obliczyć wszystkie jego wartości lub zbudować tabelę prawdy dla rozważanego wyrażenia.

5. Wybierz rozwiązanie - zestaw wartości proste zdania, w których skonstruowane wyrażenie logiczne jest prawdziwe.

6. Sprawdź, czy otrzymane rozwiązanie spełnia warunek problemu.

Przykład:

Cel 1:„Próbując przypomnieć sobie zwycięzców zeszłorocznego turnieju, pięciu byłych widzów turnieju stwierdziło, że:

1. Anton był drugi, a Boris piąty.

2. Victor był drugi, a Denis trzeci.

3. Grzegorz był pierwszym, a Borys trzecim.

4. Anton był trzeci, a Evgeny szósty.

5. Victor był trzeci, a Evgeny był czwarty.

Później okazało się, że każdy widz popełnił błąd w jednej ze swoich dwóch wypowiedzi. Jaki był prawdziwy podział miejsc w turnieju.”

1) Oznaczmy pierwszą literą w imieniu uczestnika turnieju, oraz - numer miejsca, które posiada, tj. mamy.

2) 1. ; 3. ; 5. .

3) Jedno wyrażenie logiczne dla wszystkich wymagań zadania:.

4) W formule L przeprowadzić równoważne przekształcenia, otrzymujemy:.

5) Z pkt 4 wynika: ,,,,.

6) Podział miejsc w turnieju: Anton był trzeci, Borys - piąty, Wiktor - drugi, Grigorij - pierwszy i Evgeniy - czwarty.

Zadanie 2:„Iwanow, Pietrow, Sidorow zostali postawieni przed sądem pod zarzutem rozboju. Dochodzenie ustaliło:

1. jeśli Iwanow nie jest winny lub Pietrow jest winny, to Sidorow jest winny;

2. jeśli Iwanow nie jest winny, to Sidorow nie jest winny.

Czy Iwanow jest winny?

1) Rozważ stwierdzenia:

A: „Iwanow jest winny” V: "Pietrow jest winny" Z: „Sidorow jest winny”.

2) Fakty ustalone w toku dochodzenia:,.

3) Pojedyncze wyrażenie logiczne:. To prawda.

Ułóżmy dla niego tabelę prawdy.

A	V	Z	L

Pytania i zadania.

1. Uzupełnij RCC dla formuł:

2. Aby uprościć RCS:

3. Na podstawie podanego schematu przełączania skonstruuj odpowiadającą mu formułę logiczną.

4. Sprawdź równoważność DCS:

5. Skonstruuj obwód trzech przełączników i żarówki w taki sposób, aby światło zapalało się tylko wtedy, gdy dokładnie dwa przełączniki są w pozycji „włączonej”.

6. Korzystając z tej tabeli przewodności, skonstruuj obwód elementów funkcjonalnych z trzema wejściami i jednym wyjściem, który realizuje wzór.

x	tak	z	F

7. Przeanalizuj diagram pokazany na rysunku i zapisz wzór na funkcję F.

1) Claude twierdził, że Jacques kłamał.

2) Jacques oskarżył Dicka o kłamstwo.

3) Dick próbował przekonać śledczego, aby nie wierzył ani Claude'owi, ani Jacques'owi.

Ale śledczy szybko zaprowadził ich do czystej wody, nie zadając im ani jednego pytania. Który ze świadków powiedział prawdę?

9. Ustal, który z czterech uczniów zdał egzamin, jeśli wiadomo, że:

1) Jeśli pierwszy minął, to drugi minął.

2) Jeśli drugi minął, to trzeci minął lub pierwszy nie przeszedł.

3) Jeśli czwarty nie przeszedł, to pierwszy przeszedł, a trzeci nie przeszedł.

4) Jeśli czwarty minął, to pierwszy minął.

Zadanie 35

Która opcja była preferowana?

Zadanie 36

Kiedyś śledczy musiał jednocześnie przesłuchać trzech świadków: Claude'a, Jacques'a i Dicka. Ich zeznania były ze sobą sprzeczne, a każdy z nich oskarżał kogoś o kłamstwo. Claude twierdził, że Jacques kłamał. Jacques oskarżył Dicka o kłamstwo, a Dick przekonał śledczego, by nie wierzył ani Claude'owi, ani Jacquesowi. Ale śledczy szybko zaprowadził ich do czystej wody, nie zadając im ani jednego pytania.

Który ze świadków powiedział prawdę?

Zadanie 37

Straszne nieszczęście, inspektorze, powiedział pracownik muzeum. „Nie możesz sobie wyobrazić, jak bardzo jestem podekscytowany. Powiem ci wszystko w porządku. Zostałem dzisiaj w muzeum, żeby trochę popracować i uporządkować nasze sprawy finansowe. Właśnie siedziałem przy tym biurku i przeglądałem rachunki, gdy nagle po prawej stronie zobaczyłem cień. Okno było otwarte.

I nie słyszałeś żadnego szelestu? – zapytał inspektor.

Wierzysz, że naprawdę jestem; wierzysz w swoje fabrykacje?

Inspektor zauważył z irytacją. „Nikt mnie nigdy nie zmylił, a ty nie będziesz pierwszy.

Skąd inspektor wiedział, że próbują go oszukać?

Zadanie 38

Czy podczas sprawdzania popełniłeś błędy w kompletności i poprawności otrzymanych informacji?

Zadanie 39

Potapov, Shchedrin, Semenov służą w jednostce lotniczej. Konowałow i Samojłow. Ich specjalnością są: pilot, nawigator, mechanik lotniczy, radiooperator i prognostyk.

Określ, jaką specjalność ma każdy z nich, jeśli znane są następujące fakty.

Szczedrin i Konowałow nie znają się na sterowaniu samolotem;

Potapov i Konovalov przygotowują się do zostania nawigatorami; apartamenty Szczedrina i Samojłowa znajdują się obok mieszkania radiooperatora;

Zadanie 40

Ciotka, która czekała na swojego siostrzeńca, inspektora, wybiegła mu na spotkanie, nie kryjąc zniecierpliwienia.

Jakaś kobieta właśnie teraz; wyrwała mi torebkę z pieniędzmi i natychmiast zniknęła.

Najprawdopodobniej ukryła się w tej samej kasie oszczędnościowej, w której byłeś - powiedział inspektor. - Spróbujmy ją znaleźć.

Ale nie wiem, który z nich ukradł moją torbę. Nie miałem czasu, aby ją zobaczyć - powiedziała moja ciocia.

Cóż, to bzdura - powiedział siostrzeniec. `` Przesłuchamy ich obu, ale myślę, że ten, który ukradł twoją torbę, był ...

Który?

Zadanie 41

Przed domem stał szary Chevrolet. Na policję właściciel zszedł do nich w piżamie.

Yanikuda nie wyszedł dzisiaj - powiedział po wysłuchaniu inspektora. - Tak i nie mogłem: wczoraj zgubiłem kluczyk do stacyjki, a nowy będzie gotowy dopiero w piątek.

Asystent, który w międzyczasie zdążył obejrzeć samochód, szepnął do inspektora:

Najwyraźniej mówi prawdę. Na aucie nie ma śladów kolizji.

Inspektor, opierając się o maskę samochodu, odpowiedział:

Co dało inspektorowi powód, by podejrzewać mistrza o kłamstwo?

Zadanie 42

Prezes firmy informuje śledczego o kradzieży dokonanej z jego domu.

Przybywając do pracy przypomniałem sobie, że zapomniałem w domu niezbędnych dokumentów. Klucz do domowego sejfu oddałem mojemu asystentowi i wysłałem po teczkę z dokumentami. Pracujemy razem od dawna, od dawna mu ufam i często wysyłałam go do domu po coś z sejfu. Tym razem zaraz po wyjściu zadzwonił do mnie przez telefon i powiedział, że wchodząc do pokoju zobaczył, że drzwi od sejfu ściennego są otwarte, a papiery porozrzucane po całym biurze. Wróciłem do domu i stwierdziłem, że oprócz rozrzuconych dokumentów z sejfu zniknęła biżuteria i pieniądze.

Na pytanie śledczego asystent odpowiedział, że w biurze niczego nie dotykał poza telefonem i nie przestawiał go. Lokaj i pokojówka powiedzieli, że w ogóle nie chodzą do biura.