Wszystkie formuły dodawania. Podstawowe wzory trygonometrii

Wzory dodawania służą do wyrażania wartości funkcji cos (a + b), cos (a-b), sin (a + b), sin (a-b) przez sinusy i cosinusy kątów a i b.

Wzory dodawania dla sinusów i cosinusów

Twierdzenie: Dla dowolnych aib następująca równość jest prawdziwa cos (a + b) = cos (a) * cos (b) - sin (a) * sin (b).

Udowodnijmy to twierdzenie. Rozważmy następujący rysunek:

Na nim punkty Ma, M-b, M (a + b) uzyskuje się, obracając punkt Mo o kąty odpowiednio a, -b i a + b. Z definicji sinusa i cosinusa współrzędne tych punktów będą następujące: Ma (cos (a); sin (a)), Mb (cos (-b); sin (-b)), M (a + b) (cos (a + b); grzech (a + b)). AngleMoOM (a + b) = kątM-bOMa, stąd trójkąty MoOM (a + b) i M-bOMa są równe i są równoramienne. Oznacza to, że podstawy MoM (a-b) i M-bMa są równe. Dlatego (MoM (a-b)) ^ 2 = (M-bMa) ^ 2. Korzystając ze wzoru na odległość między dwoma punktami, otrzymujemy:

(1 - cos (a + b)) ^ 2 + (sin (a + b)) ^ 2 = (cos (-b) - cos (a)) ^ 2 + (sin (-b) - sin (a) ) ^ 2.

sin (-a) = -sin (a) i cos (-a) = cos (a). Przekształcamy naszą równość, biorąc pod uwagę te wzory i kwadrat sumy i różnicy, wtedy:

1 -2 * cos (a + b) + (cos (a + b)) ^ 2 + (sin (a + b)) ^ 2 = (cos (b)) ^ 2 - 2 * cos (b) * cos (a) + (cos (a) ^ 2 + (sin (b)) ^ 2 + 2 * grzech (b) * grzech (a) + (sin (a)) ^ 2.

Teraz zastosujmy podstawową tożsamość trygonometryczną:

2 - 2 * cos (a + b) = 2 - 2 * cos (a) * cos (b) + 2 * grzech (a) * grzech (b).

Podajmy podobne i zmniejszmy je o -2:

cos (a + b) = cos (a) * cos (b) - grzech (a) * grzech (b). co było do okazania

Obowiązują również następujące formuły:

• cos (a-b) = cos (a) * cos (b) + sin (a) * grzech (b);
• grzech (a + b) = grzech (a) * cos (b) + cos (a) * grzech (b);
• grzech (a-b) = grzech (a) * cos (b) - cos (a) * grzech (b).

Wzory te można otrzymać ze sprawdzonego powyżej, używając wzorów rzutowania i zastępując b przez -b. W przypadku tangensów i cotangensów istnieją również formuły dodawania, ale nie będą one obowiązywać dla wszystkich argumentów.

Wzory dodawania tangensów i cotangensów

Dla każdego kąty a, b z wyjątkiem a = pi / 2 + pi * k, b = pi / 2 + pi * n i a + b = pi / 2 + pi * m, dla dowolnego liczby całkowite k, n, m obowiązywać będzie następujący wzór:

tg (a + b) = (tg (a) + tg (b)) / (1-tg (a) * tg (b)).

Dla dowolnych kątów a, b z wyjątkiem a = pi / 2 + pi * k, b = pi / 2 + pi * n i ab = pi / 2 + pi * m, dla dowolnej liczby całkowitej k, n, m będzie następujący wzór ważny:

tg (a-b) = (tg (a) -tg (b)) / (1 + tg (a) * tg (b)).

Dla dowolnych kątów a, b z wyjątkiem a = pi * k, b = pi * n, a + b = pi * m oraz dla dowolnej liczby całkowitej k, n, m obowiązuje następujący wzór:

ctg (a + b) = (ctg (a) * ctg (b) -1) / (ctg (b) + ctg (a)).

Ustalono relacje między głównymi funkcjami trygonometrycznymi - sinus, cosinus, tangens i cotangens formuły trygonometryczne... A ponieważ istnieje wiele połączeń między funkcjami trygonometrycznymi, wyjaśnia to obfitość formuł trygonometrycznych. Niektóre formuły łączą funkcje trygonometryczne tego samego kąta, inne - funkcje kąta wielokrotnego, inne - pozwalają obniżyć stopień, po czwarte - wyrażają wszystkie funkcje przez styczną półkąta itp.

W tym artykule wymienimy w kolejności wszystkie podstawowe wzory trygonometryczne, które wystarczą do rozwiązania ogromnej większości problemów trygonometrycznych. Dla ułatwienia zapamiętywania i używania pogrupujemy je według celu i wprowadzimy do tabel.

Nawigacja po stronach.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Główny tożsamości trygonometryczne ustawić relację między sinusem, cosinusem, tangensem i cotangensem jednego kąta. Wynikają one z definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa oraz pojęcia okręgu jednostkowego. Pozwalają wyrazić jedną funkcję trygonometryczną w kategoriach dowolnej innej.

Szczegółowy opis tych wzorów trygonometrycznych, ich wyprowadzenie i przykłady zastosowania można znaleźć w artykule.

Formuły odlewania

Formuły odlewania wynikają z własności sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, czyli odzwierciedlają własność periodyczności funkcji trygonometrycznych, własność symetrii, a także własność przesunięcia o zadany kąt. Te wzory trygonometryczne pozwalają przejść od pracy z dowolnymi kątami do pracy z kątami od zera do 90 stopni.

W artykule można zapoznać się z uzasadnieniem dla tych formuł, mnemoniczną zasadą ich zapamiętywania oraz przykładami ich zastosowania.

Formuły dodawania

Wzory trygonometryczne dodawania pokazać, w jaki sposób funkcje trygonometryczne sumy lub różnicy dwóch kątów są wyrażane w kategoriach funkcji trygonometrycznych tych kątów. Wzory te służą jako podstawa do wyprowadzenia następujących wzorów trygonometrycznych.

Formuły dla podwójnych, potrójnych itp. kąt

Formuły dla podwójnych, potrójnych itp. kąt (zwany także formułami wielu kątów) pokazuje, w jaki sposób funkcje trygonometryczne podwójne, potrójne itp. kąty () są wyrażone w funkcjach trygonometrycznych pojedynczego kąta. Ich wyprowadzenie opiera się na wzorach dodawania.

Bardziej szczegółowe informacje są gromadzone w formułach artykułów dla podwójnych, potrójnych itp. kąt.

Wzory połówkowe

Wzory połówkowe pokaż, jak funkcje trygonometryczne półkąta są wyrażane w postaci cosinusa kąta całkowitego. Te wzory trygonometryczne wynikają z wzorów podwójnego kąta.

Ich wnioski i przykłady zastosowania można znaleźć w artykule.

Formuły redukcji stopni

Wzory redukcji stopni trygonometrycznych są zaprojektowane w celu ułatwienia przejścia od naturalnych stopni funkcji trygonometrycznych do sinusów i cosinusów w pierwszym stopniu, ale wielokrotnych kątów. Innymi słowy, pozwalają obniżyć stopnie funkcji trygonometrycznych do pierwszego.

Wzory na sumy i różnice dla funkcji trygonometrycznych

Główny cel wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych jest przejście do iloczynu funkcji, co jest bardzo przydatne przy upraszczaniu wyrażeń trygonometrycznych. Te formuły są również szeroko stosowane do rozwiązywania równania trygonometryczne, ponieważ umożliwiają rozłożenie na czynniki sumy i różnicy sinusów i cosinusów.

Wzory na iloczyn sinusów, cosinusów i sinus przez cosinus

Przejście od iloczynu funkcji trygonometrycznych do sumy lub różnicy odbywa się za pomocą wzorów na iloczyn sinusów, cosinusów i sinusa po cosinusie.

Ogólne podstawienie trygonometryczne

Przegląd podstawowych wzorów trygonometrii kończymy wzorami wyrażającymi funkcje trygonometryczne w postaci tangensa półkąta. Ten zamiennik został nazwany uniwersalne podstawienie trygonometryczne... Jego wygoda polega na tym, że wszystkie funkcje trygonometryczne są wyrażone w postaci stycznej półkąta racjonalnie bez pierwiastków.

Bibliografia.

• Algebra: Podręcznik. dla 9 cl. Środa szkoła / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Wyd. S. A. Telyakovsky.- M .: Edukacja, 1990.- 272 s .: il.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov MI Algebra i początek analizy: Podręcznik. dla 10-11 kl. Środa szk. - 3. ed. - M .: Edukacja, 1993 .-- 351 s.: chory. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra i początek analizy: Podręcznik. dla 10-11 kl. ogólne wykształcenie. instytucje / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; Wyd. A. N. Kolmogorov - 14. wydanie - M .: Edukacja, 2004. - 384 s .: chory - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych): Podręcznik. instrukcja - M .; Wyższy. shk., 1984.-351 s., il.

Prawa autorskie autorstwa mądrych studentów

Wszelkie prawa zastrzeżone.
Chronione prawem autorskim. Żadna część witryny, w tym materiały wewnętrzne i projekty zewnętrzne, nie mogą być powielane w jakiejkolwiek formie ani wykorzystywane bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich.

Nie przekonam Cię do pisania ściągawek. Pisać! W tym i ściągawki z trygonometrii. Później mam zamiar wyjaśnić, dlaczego ściągi są potrzebne i dlaczego ściągi są przydatne. A tutaj - informacje o tym, jak się nie uczyć, ale zapamiętaj kilka wzorów trygonometrycznych. A więc - trygonometria bez ściągawki!Do zapamiętywania używamy skojarzeń.

1. Formuły dodawania:

cosinusy zawsze „idą parami”: cosinus-cosinus, sinus-sinus. I jeszcze jedno: cosinusy są „niewystarczające”. Są „nie tak”, więc zmieniają znaki: „-” na „+” i odwrotnie.

Zatoki - "mix": sinus cosinus, cosinus.

2. Wzory na sumę i różnicę:

cosinusy zawsze „idą parami”. Dodając dwa cosinusy – „koloboks”, otrzymujemy parę cosinusów – „koloboks”. A po odjęciu na pewno nie dostaniemy koloboków. Dostajemy parę sinusów. Również z minusem przed nami.

Zatoki - "mix" :

3. Wzory przeliczania produktu na sumę i różnicę.

Kiedy otrzymamy parę cosinusów? Kiedy dodamy cosinusy. Więc

Kiedy otrzymujemy parę zatok? Przy odejmowaniu cosinusów. W związku z tym:

„Mieszanie” uzyskuje się zarówno przy dodawaniu, jak i odejmowaniu sinusów. Co jest ładniejsze: dodać czy odjąć? Zgadza się, spasuj. A do formuły dodają:

W pierwszym i trzecim wzorze suma jest w nawiasach. Suma nie zmienia się od zmiany miejsca terminów. Kolejność ma fundamentalne znaczenie tylko dla drugiej formuły. Aby jednak się nie pomylić, dla ułatwienia zapamiętywania, we wszystkich trzech formułach w pierwszych nawiasach bierzemy różnicę

a po drugie kwota

Ściągawki w kieszeni zapewniają spokój ducha: jeśli zapomnisz formuły, możesz ją spisać. Dają ci pewność: jeśli nie uda ci się użyć ściągawki, wzory można łatwo zapamiętać.

Kontynuujemy naszą rozmowę o najczęściej używanych formułach w trygonometrii. Najważniejsze z nich to formuły dodawania.

Definicja 1

Wzory dodawania pozwalają na wyrażenie funkcji różnicy lub sumy dwóch kątów za pomocą funkcji trygonometrycznych tych kątów.

Na początek podamy pełną listę formuł dodawania, następnie je udowodnimy i przeanalizujemy kilka ilustracyjnych przykładów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Podstawowe wzory dodawania w trygonometrii

Wyróżnia się osiem podstawowych wzorów: sinus sumy i sinus różnicy dwóch kątów, cosinusy sumy i różnicy, tangensy i cotangensy sumy i różnicy. Poniżej znajdują się ich standardowe formuły i obliczenia.

1. Sinus sumy dwóch kątów można otrzymać w następujący sposób:

Obliczamy iloczyn sinusa pierwszego kąta przez cosinus drugiego;

Pomnóż cosinus pierwszego kąta przez sinus pierwszego;

Zsumuj otrzymane wartości.

Zapis graficzny wzoru wygląda tak: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2. Sinus różnicy jest obliczany w podobny sposób, tylko otrzymane produkty nie muszą być dodawane, ale odejmowane od siebie. W ten sposób obliczamy iloczyny sinusa pierwszego kąta przez cosinus drugiego i cosinus pierwszego kąta przez sinus drugiego i znajdujemy ich różnicę. Wzór jest napisany tak: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β

3. Cosinus sumy. W tym celu znajdujemy iloczyny cosinusa pierwszego kąta odpowiednio przez cosinus drugiego i sinusa pierwszego kąta przez sinus drugiego i znajdujemy ich różnicę: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

4. Cosinus różnicy: oblicz iloczyny sinusów i cosinusów podanych kątów, jak poprzednio, i dodaj je. Wzór: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Tangens sumy. Wzór ten jest wyrażony jako ułamek, którego licznikiem jest suma stycznych żądanych kątów, a w mianowniku jednostka, od której odejmuje się iloczyn stycznych żądanych kątów. Wszystko jasno wynika z zapisu graficznego: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β

6. Tangens różnicy. Obliczamy wartości różnicy i iloczyn stycznych tych kątów i robimy to samo z nimi. W mianowniku dodajemy do jednego, a nie odwrotnie: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

7. Cotangens sumy. Do obliczeń przy użyciu tego wzoru potrzebujemy iloczynu i sumy cotangensów tych kątów, z którymi postępujemy w następujący sposób: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β

8. Cotangens różnicy . Wzór jest podobny do poprzedniego, ale w liczniku i mianowniku jest minus, a nie plus ct g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.

Zapewne zauważyłeś, że te formuły są podobne w parach. Używając znaków ± (plus-minus) i ∓ (minus-plus) możemy je pogrupować dla wygody pisania:

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β tan (α ± β) = tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β ctg (α ± β) = - 1 ± ctg α ctg β ctg α ± ctg β

W związku z tym mamy jeden wzór zapisu na sumę i różnicę każdej wartości, tylko w jednym przypadku zwracamy uwagę na górny znak, w drugim - na dolny.

Definicja 2

Możemy wziąć dowolne kąty α i β, a wzory dodawania cosinusa i sinusa będą dla nich działać. Jeśli potrafimy poprawnie wyznaczyć wartości stycznych i cotangensów tych kątów, to dla nich obowiązują również wzory dodawania dla tangensa i cotangensa.

Podobnie jak większość pojęć w algebrze, formuły dodawania można udowodnić. Pierwszą formułą, którą udowodnimy, jest różnica cosinusów. Resztę dowodów można z tego łatwo wywnioskować.

Wyjaśnijmy podstawowe pojęcia. Potrzebujemy koło jednostkowe... Okaże się, jeśli weźmiemy pewien punkt A i obrócimy kąty α i β wokół środka (punkt O). Wtedy kąt między wektorami O A 1 → i O A → 2 będzie wynosił (α - β) + 2 π z lub 2 π - (α - β) + 2 π z (z jest dowolną liczbą całkowitą). Otrzymane wektory tworzą kąt równy α - β lub 2 π - (α - β) lub mogą różnić się od tych wartości o całkowitą liczbę pełnych obrotów. Spójrz na zdjęcie:

Zastosowaliśmy formuły redukcyjne i otrzymaliśmy następujące wyniki:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Konkluzja: cosinus kąta między wektorami O A 1 → i O A 2 → jest równy cosinusowi kąta α - β, zatem cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

Przypomnijmy definicje sinusa i cosinusa: sinus jest funkcją kąta, równą stosunkowi ramienia o przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej, cosinus jest sinusem dodatkowego kąta. Stąd punkty 1 oraz 2 mają współrzędne (cos α, sin α) i (cos β, sin β).

Otrzymujemy:

O A 1 → = (cos α, sin α) i O A 2 → = (cos β, sin β)

Jeśli nie jest jasne, spójrz na współrzędne punktów znajdujących się na początku i na końcu wektorów.

Długości wektorów są równe 1, ponieważ mamy koło jednostkowe.

Przeanalizujmy teraz iloczyn skalarny wektory O A 1 → i O A 2 →. We współrzędnych wygląda to tak:

(O A 1 →, O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β

Z tego możemy wywnioskować równość:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

W ten sposób udowodniono wzór na cosinus różnicy.

Teraz udowodnimy następującą formułę - cosinus sumy. Jest to łatwiejsze, ponieważ możemy skorzystać z wcześniejszych obliczeń. Weźmy reprezentację α + β = α - (- β). Mamy:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

To jest dowód wzoru na cosinus sumy. Ostatnia linia wykorzystuje własność sinusa i cosinusa przeciwnych kątów.

Formuła sinus sumy może być wyprowadzona ze wzoru różnicy cosinus. W tym celu przyjmujemy formułę redukcyjną:

sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Więc
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

A oto dowód wzoru na różnicę sinusów:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Zwróć uwagę na użycie właściwości sinusa i cosinusa przeciwnych kątów w ostatnim obliczeniu.

Następnie potrzebujemy dowodów wzorów dodawania dla tangensa i cotangensa. Przypomnijmy podstawowe definicje (tangens to stosunek sinusa do cosinusa, a cotangens – na odwrót) i weźmy z góry wyprowadzone wzory. Zrobiliśmy to:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Mamy złożoną frakcję. Następnie dzielimy jego licznik i mianownik przez cos α · cos β, biorąc pod uwagę, że cos α ≠ 0 i cos β ≠ 0 otrzymujemy:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β

Teraz skreślamy ułamki i otrzymujemy wzór w postaci: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β.
Otrzymaliśmy t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. To jest dowód na formułę dodawania stycznych.

Następna formuła, którą udowodnimy, to formuła na tangens różnicy. Wszystko jest jasno pokazane w obliczeniach:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

W podobny sposób sprawdzane są wzory na cotangens:
ctg (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = = - 1 + ctg α ctg β ctg α + ctg β
Dalej:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β