Pierwiastek x. Funkcja y = pierwiastek kwadratowy z x, jej własności i wykres

Lekcja i prezentacja na temat: „Funkcje potęgowe. Pierwiastek sześcienny. Własności pierwiastka sześciennego”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce edukacyjne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 9
Kompleks edukacyjny 1C: „Zagadnienia algebraiczne z parametrami, klasy 9–11” Środowisko programowe „1C: Konstruktor matematyczny 6.0”

Definicja funkcji potęgowej - pierwiastek sześcienny

Chłopaki, nadal badamy funkcje potęgowe. Dzisiaj porozmawiamy o funkcji „Pierwiastek sześcienny z x”.
Co to jest pierwiastek sześcienny?
Liczbę y nazywa się pierwiastkiem sześciennym x (pierwiastkiem trzeciego stopnia), jeśli zachodzi równość $y^3=x$.
Oznaczane jako $\sqrt(x)$, gdzie x jest liczbą pierwiastkową, 3 jest wykładnikiem.
$\sqrt(27)=3$; 3^3 = 27 dolarów.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Jak widzimy, pierwiastek sześcienny można również wyprowadzić z liczb ujemnych. Okazuje się, że nasz pierwiastek istnieje dla wszystkich liczb.
Trzeci pierwiastek liczby ujemnej jest równy liczbie ujemnej. Po podniesieniu do potęgi nieparzystej znak zostaje zachowany; trzecia potęga jest nieparzysta.

Sprawdźmy równość: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Niech $\sqrt((-x))=a$ i $\sqrt(x)=b$. Podnieśmy oba wyrażenia do potęgi trzeciej. $–x=a^3$ i $x=b^3$. Następnie $a^3=-b^3$ lub $a=-b$. Stosując zapis pierwiastków otrzymujemy pożądaną tożsamość.

Właściwości pierwiastków sześciennych

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Udowodnijmy drugą własność. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Ustaliliśmy, że liczba $\sqrt(\frac(a)(b))$ do sześcianu jest równa $\frac(a)(b)$, a następnie równa się $\sqrt(\frac(a)(b))$ , co należało udowodnić.

Chłopaki, zbudujmy wykres naszej funkcji.
1) Dziedziną definicji jest zbiór liczb rzeczywistych.
2) Funkcja jest nieparzysta, ponieważ $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Następnie rozważ naszą funkcję dla $x≥0$, a następnie wyświetl wykres względem początku.
3) Funkcja wzrasta, gdy $x≥0$. Dla naszej funkcji większa wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji, co oznacza wzrost.
4) Funkcja nie jest ograniczona z góry. Tak naprawdę z dowolnie dużej liczby możemy obliczyć trzeci pierwiastek i możemy poruszać się w górę w nieskończoność, znajdując coraz większe wartości argumentu.
5) Dla $x≥0$ najmniejsza wartość wynosi 0. Własność ta jest oczywista.
Zbudujmy wykres funkcji według punktów w x≥0.

Skonstruujmy nasz wykres funkcji w całym obszarze definicji. Pamiętaj, że nasza funkcja jest nieparzysta.

Właściwości funkcji:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Funkcja nieparzysta.
3) Zwiększa się o (-∞;+∞).
4) Nieograniczona.
5) Nie ma wartości minimalnej ani maksymalnej.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Wypukły w dół o (-∞;0), wypukły w górę o (0;+∞).

Przykłady rozwiązywania funkcji potęgowych

Przykłady
1. Rozwiąż równanie $\sqrt(x)=x$.
Rozwiązanie. Skonstruujmy dwa wykresy na tej samej płaszczyźnie współrzędnych $y=\sqrt(x)$ i $y=x$.

Jak widać, nasze wykresy przecinają się w trzech punktach.
Odpowiedź: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Zbuduj wykres funkcji. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Rozwiązanie. Nasz wykres otrzymujemy z wykresu funkcji $y=\sqrt(x)$, poprzez tłumaczenie równoległe o dwie jednostki w prawo i trzy jednostki w dół.

3. Narysuj wykres funkcji i przeczytaj go. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Rozwiązanie. Skonstruujmy dwa wykresy funkcji na tej samej płaszczyźnie współrzędnych, biorąc pod uwagę nasze warunki. Dla $x≥-1$ budujemy wykres pierwiastka sześciennego, dla $x≤-1$ budujemy wykres funkcji liniowej.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
3) Zmniejsza się o (-∞;-1), zwiększa o (-1;+∞).
4) Nieograniczona od góry, ograniczona od dołu.
5) Nie ma największej wartości. Najmniejsza wartość to minus jeden.
6) Funkcja jest ciągła na całej osi liczbowej.
7) E(y)= (-1;+∞).

Problemy do samodzielnego rozwiązania

1. Rozwiąż równanie $\sqrt(x)=2-x$.
2. Skonstruuj wykres funkcji $y=\sqrt((x+1))+1$.
3.Narysuj wykres funkcji i przeczytaj go. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$.

Czy szukałeś x pierwiastka z x równego? . Szczegółowe rozwiązanie wraz z opisem i wyjaśnieniami pomoże uporać się nawet z najbardziej złożonym problemem, a x jest pierwiastkiem y, bez wyjątku. Pomożemy Ci przygotować się do prac domowych, sprawdzianów, olimpiad, a także do podjęcia studiów na uniwersytecie. I bez względu na przykład, bez względu na to, jakie zapytanie matematyczne wpiszesz, mamy już rozwiązanie. Na przykład „x jest pierwiastkiem z x równa się”.

Stosowanie różnych problemów matematycznych, kalkulatorów, równań i funkcji jest powszechne w naszym życiu. Wykorzystuje się je w wielu obliczeniach, budowie konstrukcji, a nawet sporcie. Człowiek posługiwał się matematyką od czasów starożytnych i od tego czasu jej wykorzystanie tylko wzrosło. Jednak teraz nauka nie stoi w miejscu i możemy cieszyć się owocami jej działalności, jak np. kalkulatorem internetowym, który potrafi rozwiązywać problemy takie jak x pierwiastek z x równa się, x pierwiastek z y, pierwiastek z x, pierwiastek z x równa się x, pierwiastek z x jest równy x, pierwiastek z x jest równy x, funkcja y jest pierwiastkiem z minus x, funkcja y minus pierwiastek z x, x jest pierwiastkiem z y, x jest pierwiastkiem z x jest równe. Na tej stronie znajdziesz kalkulator, który pomoże Ci rozwiązać każde pytanie, w tym x pierwiastek z x równa się. (na przykład pierwiastek z x).

Gdzie można rozwiązać dowolny problem matematyczny, a także x pierwiastek z x równa się Online?

Możesz rozwiązać problem x pierwiastek z x równa się na naszej stronie internetowej. Bezpłatne narzędzie do rozwiązywania problemów online pozwoli Ci rozwiązać problem online o dowolnej złożoności w ciągu kilku sekund. Wystarczy, że wprowadzisz swoje dane do solwera. Możesz także obejrzeć instrukcje wideo i dowiedzieć się, jak poprawnie wpisać swoje zadanie na naszej stronie internetowej. A jeśli nadal masz pytania, możesz je zadać na czacie w lewym dolnym rogu strony kalkulatora.

Podstawowe cele:

1) stworzyć wyobrażenie o możliwości uogólnionego badania zależności wielkości rzeczywistych na przykładzie wielkości powiązanych relacją y=

2) rozwinięcie umiejętności konstruowania grafu y= i jego własności;

3) powtórzyć i utrwalić techniki obliczeń ustnych i pisemnych, podnoszenie do kwadratu, wyciąganie pierwiastków kwadratowych.

Sprzęt, materiały demonstracyjne: ulotki.

1. Algorytm:

2. Przykład wykonania zadania w grupach:

3. Próbka do samodzielnego sprawdzenia pracy samodzielnej:

4. Karta etapu refleksji:

1) Rozumiem, jak wykreślić funkcję y=.

2) Potrafię wymienić jego właściwości za pomocą wykresu.

3) Nie popełniałem błędów w samodzielnej pracy.

4) W samodzielnej pracy popełniłem błędy (wymień te błędy i wskaż ich przyczynę).

Podczas zajęć

1. Samostanowienie o działalności edukacyjnej

Cel sceny:

1) włączać uczniów w działalność edukacyjną;

2) określ treść lekcji: kontynuujemy pracę z liczbami rzeczywistymi.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 1:

– Czego uczyliśmy się na ostatniej lekcji? (Badaliśmy zbiory liczb rzeczywistych, operacje na nich, zbudowaliśmy algorytm opisujący właściwości funkcji, powtarzaliśmy funkcje, których uczyliśmy się w 7. klasie).

– Dzisiaj będziemy kontynuować pracę ze zbiorem liczb rzeczywistych, czyli funkcją.

2. Aktualizowanie wiedzy i rejestrowanie trudności w zajęciach

Cel sceny:

1) zaktualizować treści edukacyjne niezbędne i wystarczające do percepcji nowego materiału: funkcja, zmienna niezależna, zmienna zależna, wykresy

y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2, y = - x 2,

2) zaktualizować operacje umysłowe niezbędne i wystarczające do postrzegania nowego materiału: porównanie, analiza, uogólnienie;

3) zapisać wszystkie powtarzające się koncepcje i algorytmy w formie diagramów i symboli;

4) odnotować indywidualną trudność w działaniu, wykazując na osobiście istotnym poziomie niedostateczność istniejącej wiedzy.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 2:

1. Przypomnijmy sobie jak ustawić zależności pomiędzy wielkościami? (Używając tekstu, formuły, tabeli, wykresu)

2. Jak nazywa się funkcja? (Zależność między dwiema wielkościami, gdzie każda wartość jednej zmiennej odpowiada pojedynczej wartości innej zmiennej y = f(x)).

Jak ma na imię x? (Zmienna niezależna - argument)

Jak masz na imię? (Zmienna zależna).

3. Czy w 7. klasie uczyliśmy się funkcji? (y = kx + m, y = kx, y = c, y =x 2, y = - x 2,).

Zadanie indywidualne:

Jaki jest wykres funkcji y = kx + m, y =x 2, y =?

3. Identyfikacja przyczyn trudności i wyznaczanie celów działań

Cel sceny:

1) organizować interakcję komunikacyjną, podczas której identyfikuje się i rejestruje charakterystyczną cechę zadania, która spowodowała trudności w nauce;

2) uzgodnić cel i temat lekcji.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 3:

-Co jest specjalnego w tym zadaniu? (Zależność wyraża się wzorem y = z którym się jeszcze nie spotkaliśmy.)

– Jaki jest cel lekcji? (Zapoznaj się z funkcją y =, jej właściwościami i wykresem. Skorzystaj z funkcji w tabeli, aby określić rodzaj zależności, zbuduj wzór i wykres.)

– Czy potrafisz sformułować temat lekcji? (Funkcja y=, jej własności i wykres).

– Zapisz temat w zeszycie.

4. Konstrukcja projektu wyjścia z trudności

Cel sceny:

1) zorganizować interakcję komunikacyjną w celu zbudowania nowej metody działania, która wyeliminuje przyczynę zidentyfikowanej trudności;

2) ustalić nową metodę działania w formie symbolicznej, werbalnej i za pomocą standardu.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 4:

Pracę na tym etapie można zorganizować w grupach, prosząc grupy o zbudowanie wykresu y =, a następnie analizę wyników. Grupy można także poprosić o opisanie właściwości danej funkcji za pomocą algorytmu.

5. Pierwotna konsolidacja w mowie zewnętrznej

Cel etapu: nagranie przestudiowanych treści edukacyjnych w mowie zewnętrznej.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 5:

Skonstruuj wykres y= - i opisz jego właściwości.

Właściwości y= - .

1. Dziedzina definicji funkcji.

2. Zakres wartości funkcji.

3. y = 0, y> 0, y<0.

y = 0, jeśli x = 0.

y<0, если х(0;+)

4.Funkcje rosnące, malejące.

Funkcja maleje wraz z x.

Zbudujmy wykres y=.

Wybierzmy jego część w segmencie. Zauważ, że mamy = 1 dla x = 1 i y max. =3 przy x = 9.

Odpowiedź: na nasze nazwisko. = 1, y maks. =3

6. Samodzielna praca z autotestem zgodnie z normą

Cel etapu: sprawdzenie możliwości zastosowania nowych treści edukacyjnych w standardowych warunkach w oparciu o porównanie Twojego rozwiązania ze standardem w celu autotestu.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 6:

Studenci samodzielnie wykonują zadanie, przeprowadzają autotest ze standardem, analizują i poprawiają błędy.

Zbudujmy wykres y=.

Korzystając z wykresu, znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji w segmencie.

7. Włączenie do systemu wiedzy i powtarzanie

Cel etapu: wyćwiczenie umiejętności korzystania z nowych treści wraz z wcześniej poznanymi: 2) powtórzenie treści edukacyjnych, które będą wymagane na kolejnych lekcjach.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 7:

Rozwiąż równanie graficznie: = x – 6.

Jeden uczeń siedzi przy tablicy, reszta w zeszytach.

8. Odbicie działania

Cel sceny:

1) zapisywać nowe treści poznane na lekcji;

2) ocenić własne działania na lekcji;

3) podziękować kolegom z klasy, którzy pomogli uzyskać wynik lekcji;

4) zapisywać nierozwiązane trudności jako kierunki przyszłych działań edukacyjnych;

5) omów i zapisz swoją pracę domową.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 8:

- Chłopaki, jaki był nasz dzisiejszy cel? (Przeanalizuj funkcję y=, jej właściwości i wykres).

– Jaka wiedza pomogła nam osiągnąć nasz cel? (Umiejętność wyszukiwania wzorców, umiejętność czytania wykresów.)

– Przeanalizuj swoje działania na zajęciach. (Karty z odbiciem)

Praca domowa

akapit 13 (przed przykładem 2) № 13.3, 13.4

Rozwiąż równanie graficznie.

Lekcja i prezentacja na temat: „Wykres funkcji pierwiastkowej. Dziedzina definicji i konstrukcja wykresu”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń. Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce edukacyjne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 8
Podręcznik elektroniczny do podręcznika Mordkovich A.G.
Elektroniczny zeszyt ćwiczeń z algebry dla klasy 8

Wykres funkcji pierwiastka kwadratowego

Kochani, spotykaliśmy się już z konstruowaniem wykresów funkcji i to nie raz. Skonstruowaliśmy wiele funkcji liniowych i paraboli. Ogólnie wygodnie jest zapisać dowolną funkcję jako $y=f(x)$. Jest to równanie z dwiema zmiennymi – dla każdej wartości x otrzymujemy y. Po wykonaniu pewnej operacji f odwzorowujemy zbiór wszystkich możliwych x na zbiór y. Prawie każdą operację matematyczną możemy zapisać jako funkcję f.

Zwykle przy wykreślaniu funkcji korzystamy z tabeli, w której zapisujemy wartości x i y. Przykładowo dla funkcji $y=5x^2$ wygodnie jest skorzystać z poniższej tabeli: Zaznacz powstałe punkty w kartezjańskim układzie współrzędnych i ostrożnie połącz je gładką krzywą. Nasza funkcja nie jest ograniczona. Tylko tymi punktami możemy zastąpić absolutnie dowolną wartość x z danej dziedziny definicji, czyli takie x, dla których wyrażenie ma sens.

Na jednej z poprzednich lekcji nauczyliśmy się nowej operacji wyciągania pierwiastka kwadratowego. Powstaje pytanie: czy możemy za pomocą tej operacji zdefiniować jakąś funkcję i zbudować jej wykres? Użyjmy ogólnej postaci funkcji $y=f(x)$. Zostawmy y i x na ich miejscu, a zamiast f wprowadźmy pierwiastek kwadratowy: $y=\sqrt(x)$.
Znając działanie matematyczne, byliśmy w stanie zdefiniować funkcję.

Wykres funkcji pierwiastka kwadratowego

Zróbmy wykres tej funkcji. Bazując na definicji pierwiastka kwadratowego możemy go obliczyć jedynie z liczb nieujemnych, czyli $x≥0$.
Zróbmy tabelę:
Zaznaczmy nasze punkty na płaszczyźnie współrzędnych.

Pozostaje nam tylko starannie połączyć powstałe kropki.

Chłopaki, zwróćcie uwagę: jeśli wykres naszej funkcji zostanie odwrócony na bok, otrzymamy lewą gałąź paraboli. Tak naprawdę, jeśli zamienimy linie w tabeli wartości (górną linię z dolną), wówczas otrzymamy wartości tylko dla paraboli.

Dziedzina funkcji $y=\sqrt(x)$

Korzystając z wykresu funkcji, dość łatwo jest opisać jej właściwości.
1. Zakres definicji: $$.
b) $$.

Rozwiązanie.
Nasz przykład możemy rozwiązać na dwa sposoby. W każdym liście będziemy opisywać różne metody.

A) Wróćmy do skonstruowanego powyżej wykresu funkcji i zaznaczmy wymagane punkty odcinka. Widać wyraźnie, że dla $x=9$ funkcja jest większa niż wszystkie inne wartości. Oznacza to, że w tym momencie osiąga on największą wartość. Gdy $x=4$ wartość funkcji jest mniejsza niż wszystkich pozostałych punktów, co oznacza, że ​​jest to najmniejsza wartość.

$y_(najbardziej)=\sqrt(9)=3$, $y_(najwięcej)=\sqrt(4)=2$.

B) Wiemy, że nasza funkcja jest rosnąca. Oznacza to, że każda większa wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji. Najwyższe i najniższe wartości osiągane są na końcach segmentu:

$y_(najbardziej)=\sqrt(11)$, $y_(najwięcej)=\sqrt(2)$.

Przykład 2.
Rozwiązać równanie:

$\sqrt(x)=12-x$.

Rozwiązanie.
Najłatwiej jest skonstruować dwa wykresy funkcji i znaleźć ich punkt przecięcia.
Na wykresie wyraźnie widać punkt przecięcia o współrzędnych $(9;3)$. Oznacza to, że $x=9$ jest rozwiązaniem naszego równania.
Odpowiedź: $x = 9 $.

Chłopaki, czy możemy być pewni, że w tym przykładzie nie ma więcej rozwiązań? Jedna z funkcji rośnie, druga maleje. Na ogół albo nie mają punktów wspólnych, albo przecinają się tylko w jednym.

Przykład 3.

Zbuduj i przeczytaj wykres funkcji:

$\begin (przypadki) -x, x 9. \end (przypadki)$

Musimy skonstruować trzy częściowe wykresy funkcji, każdy w swoim własnym przedziale.

Opiszmy właściwości naszej funkcji:
1. Dziedzina definicji: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ dla $x=0$ i $x=12$; $у>0$ dla $хϵ(-∞;12)$; $y 3. Funkcja maleje w przedziałach $(-∞;0)U(9;+∞)$. Funkcja rośnie w przedziale $(0;9)$.
4. Funkcja jest ciągła w całym obszarze definicji.
5. Nie ma wartości maksymalnej ani minimalnej.
6. Zakres wartości: $(-∞;+∞)$.

Problemy do samodzielnego rozwiązania

1. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji pierwiastka kwadratowego na odcinku:
a) $$;
b) $$.
2. Rozwiąż równanie: $\sqrt(x)=30-x$.
3. Zbuduj i przeczytaj wykres funkcji: $\begin (przypadki) 2-x, x 4. \end (przypadki)$
4. Skonstruuj i odczytaj wykres funkcji: $y=\sqrt(-x)$.

Pierwiastek kwadratowy jako funkcja elementarna.

Pierwiastek kwadratowy jest funkcją elementarną i szczególnym przypadkiem funkcji potęgowej dla . Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy jest gładki w punkcie , a przy zera jest ciągły, ale nie różniczkowalny.

Jako funkcja, pierwiastek zmiennej zespolonej jest funkcją dwuwartościową, której liście zbiegają się do zera.

Wykres funkcji pierwiastka kwadratowego.

1. Wypełnianie tabeli danych:

X
Na

2. Wykreślamy otrzymane punkty na płaszczyźnie współrzędnych.

3. Połącz te punkty i otrzymaj wykres funkcji pierwiastka kwadratowego:

Przekształcenie wykresu funkcji pierwiastkowej.

Ustalmy, jakich przekształceń funkcji należy dokonać, aby skonstruować wykresy funkcji. Zdefiniujmy rodzaje przekształceń.

	Typ konwersji	Konwersja
		Przenoszenie funkcji wzdłuż osi OJ na 4 jednostki w górę.
	wewnętrzny	Przenoszenie funkcji wzdłuż osi WÓŁ za 1 jednostkę w prawo.
	wewnętrzny	Wykres zbliża się do osi OJ 3 razy i ściska wzdłuż osi OH.
		Wykres odsuwa się od osi WÓŁ OJ.
	wewnętrzny	Wykres odsuwa się od osi OJ 2 razy i rozciągnięty wzdłuż osi OH.

Często transformacje funkcji są łączone.

Na przykład, musisz wykreślić funkcję . To jest wykres pierwiastkowy, który należy przesunąć o jedną jednostkę w dół osi OJ i jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi OH i jednocześnie rozciągając go 3 razy wzdłuż osi OJ.

Zdarza się, że bezpośrednio przed skonstruowaniem wykresu funkcji potrzebne są wstępne przekształcenia tożsamościowe lub uproszczenia funkcji.