Dovedește teorema inversă a lui Pythagora. Lecția "Teorema - Teorema lui Pythagore"

Teorema lui Pythagore spune:

Într-un triunghi dreptunghiular, suma pătratelor de catete este egală cu pătratul ipotezei:

a 2 + B 2 \u003d C 2,

a. și b. - rădăcini care formează un colț drept.
din - Hypotenuse de triunghi.

Formulele teoremei Pythagora.

a \u003d \\ sqrt (C ^ (2) - B ^ (2))
b \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - a ^ (2))
c \u003d \\ sqrt (A ^ (2) + b ^ (2))

Dovada teoremei Pythagora

Zona triunghiului dreptunghiular este calculată prin formula:

S \u003d \\ frac (1) (2) ab

Pentru a calcula zona unui pătrat de formulare triunghiul arbitrar:

p. - jumătate de metru. P \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c),
r. - Cercul inscripționat în rază. Pentru dreptungler \u003d \\ frac (1) (2) (a + b-c).

Apoi echivalăm părțile potrivite ale ambelor formule pentru zona triunghiului:

\\ Frac (1) (2) ab \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c) \\ frac (1) (2) (a + b-c)

2 AB \u003d (A + B + C) (A + B-C)

2 AB \u003d \\ stânga ((a + b) ^ (2) -C ^ (2) \\ dreapta)

2 AB \u003d A ^ (2) + 2AB + B ^ (2) -C ^ (2)

0 \u003d A ^ (2) + b ^ (2) -C ^ (2)

c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2)

Teorema inversă a Pythagorean:

Dacă pătratul unei părți a triunghiului este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghiular. Adică pentru toate cele trei numere pozitive a, B. și c., astfel încât

a 2 + B 2 \u003d C 2,

există un triunghi dreptunghiular cu obiceiurile a. și b. și hipotenuse c..

teorema lui Pitagora - una dintre teoremele fundamentale ale geometriei Euclidean, care stabilește raportul dintre părțile laterale ale triunghiului dreptunghiular. Ea dovedită de un matematician și filosoful Pitagore.

Valoarea teoremei. În acest sens, cu ajutorul său, puteți dovedi alte teoreme și puteți rezolva problemele.

Material suplimentar:

teorema lui Pitagora - una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidean care stabilește raportul

Între părțile laterale ale triunghiului dreptunghiular.

Se crede că este demonstrat de matematicianul grec Pitagore, în cinstea cărora și numit.

Formularea geometrică a teoremei pithagoreene.

Inițial, teorema a fost formulată după cum urmează:

Într-un triunghi dreptunghiular, pătratul pătratului construit pe hipotenuse este egal cu suma pătratelor pătratelor,

construit pe catete.

Formularea algebrică a teoremei pithagoreene.

Într-un triunghi dreptunghiular, pătratul lungimii ipotezei este egal cu suma pătratelor lungimilor căruciorului.

Adică, indicând lungimea ipotezei triunghiului c., și lungimea catetelor prin a. și b.:

Ambele formulări teoreme Pythagora.echivalent, dar a doua formulare este mai elementară, nu este

necesită conceptul de zonă. Adică, a doua declarație poate fi verificată, nimic nu știu despre zonă și

măsurarea numai a lungimii laterale ale triunghiului dreptunghiular.

Teorema inversă a pythagorean.

Dacă pătratul unei părți a triunghiului este egal cu suma pătratelor celor două părți, atunci

triunghiul este dreptunghiular.

Sau, cu alte cuvinte:

Pentru toate cele trei numere pozitive a., b. și c., astfel încât

există un triunghi dreptunghiular cu obiceiurile a. și b.și hipotenuse c..

Teorema Pythagora pentru un triunghi echipabil.

Teorema Pythagora pentru un triunghi echilateral.

Dovada teoremei pithagoreene.

În prezent, 367 de dovadă a acestei teoreme au fost înregistrate în literatura științifică. Probabil teorema

Pythagora este singura teoremă cu un număr atât de impresionant de dovezi. O astfel de varietate

poate fi explicată numai de valoarea fundamentală a teoremei geometriei.

Desigur, este conceptual, toate pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cel mai renumit dintre ei:

dovada de metodă de spațiu, axiomatic și dovezi exotice (de exemplu,

prin intermediul ecuatii diferentiale).

1. Dovada teoremei lui Pythagore prin astfel de triunghiuri.

Următoarele dovezi ale formulării algebrice sunt cele mai simple dintre dovezile în construcție.

direct de la axiom. În special, nu utilizează conceptul cifrei cifrei.

Lasa Abc. Există un triunghi dreptunghiular cu un unghi drept C.. Să petrecem înălțimea C. Și denotă

fundația sa prin H..

Triunghi AICI. Ca un triunghi Ab.C pentru două colțuri. În mod similar, triunghiul CBH. Ca Abc..

Introducerea notației:

primim:

ceea ce corespunde -

Potrivire a. 2 I. b. 2, primim:

sau, care trebuia să demonstreze.

2. Dovada teoremei Pythagore de zona zonei.

Mai jos, dovezile, în ciuda simplității lor aparente, nu atât de simplă. Toti

utilizați proprietățile zonei, dovezile cărora este mai complicată de dovada Teoremei lui Pythagora în sine.

Dovada prin echodocitate.

Puneți patru dreptunghiulari egali

triunghi așa cum se arată în imagine

pe dreapta.

Cvadril cu laturi c. - pătrat,

deoarece suma a două colțuri ascuțite de 90 ° și

unghiul implementat - 180 °.

Zona întregii cifre este egală cu o mână,

zona pătrată cu partea laterală ( a + B.), iar pe de altă parte, suma zonei a patru triunghiuri și

Q.E.D.

3. Dovada teoremei Pythagore prin metoda de infinit de mici.

Având în vedere desenul prezentat în figură și

observând o schimbare de parteaa., noi putem

Înregistrați următorul raport pentru infinit

mic incremente de parteadin și a. (Folosind asemănarea

triunghiuri):

Folosind metoda de separare variabilă, găsim:

O expresie mai generală pentru schimbarea ipotezei în cazul creșterii ambelor catete:

Integrarea acestei ecuații și utilizarea condițiilor inițiale, obținem:

Astfel, ajungem la răspunsul dorit:

Deoarece nu este greu de văzut, dependența patrată a formulei finale apare din cauza liniară

proporționalitatea între părțile laterale ale triunghiului și incrementelor, în timp ce cantitatea este asociată cu independent

depuneri din creșterea diferitelor catete.

Pot fi obținute o dovadă mai simplă, dacă presupunem că unul dintre cattete nu are experiență

(în acest caz cattat b.). Apoi, pentru constanta de integrare, primim:

Potrivit lui Van der Varden, este foarte probabil ca raportul în general, era cunoscut în Babilonul din secolul al XVIII-lea î.Hr. e.

Aproximativ 400 î.Hr. E. Potrivit sondei, Platon a dat metoda de a găsi Truk Pythagora, combinând algebra și geometria. Aproximativ 300 î.Hr. e. În "Începutul" Euclidea, a apărut cea mai veche dovadă axiomatică a teoremei Pythagoreo.

Formulare

Formularea principală conține acțiuni algebrice - într-un triunghi dreptunghiular, ale cărui catete sunt egale A (\\ displaystyle a) și B (\\ displaystyle b), și lungimea hipotenilor - C (\\ displaystyle c)Raportul este finalizat:

Formularea geometrică echivalentă este posibilă, recurgerea la conceptul de o zonă a figurii: într-un triunghi dreptunghiular, pătratul pătratului construit pe hipotenuse este egal cu suma pătratelor din pătratele construite pe categorii. În acest formular, teorema este formulată la începutul euclidiei.

Pythagora Teorema inversă - aprobarea dreptunghiurilor oricărui triunghi, lungimea părților care sunt legate de relația A 2 + B 2 \u003d C2 (\\ DisplayStyle A ^ (2) + b ^ (2) \u003d c ^ (2)). Ca urmare, pentru toate cele trei numere pozitive A (\\ displaystyle a), B (\\ displaystyle b) și C (\\ displaystyle c), astfel încât A 2 + B 2 \u003d C2 (\\ DisplayStyle A ^ (2) + b ^ (2) \u003d c ^ (2)), Există un triunghi dreptunghiular cu obiceiurile A (\\ displaystyle a) și B (\\ displaystyle b) și hipotenuse C (\\ displaystyle c).

Dovada de

Literatura științifică a înregistrat cel puțin 400 de dovezi ale teoremei Pythagora, care se explică ca o valoare fundamentală pentru geometrie și elementară a rezultatului. Principalele direcții de evidență: utilizarea algebrică a relației elementelor triunghiului (cum ar fi, de exemplu, metoda populară de similitudine), metoda de spațiu, există și diverse dovezi exotice (de exemplu, folosind ecuații diferențiale).

Prin astfel de triunghiuri

Dovezile clasice ale Euclidea vizează stabilirea egalității zonei dintre dreptunghiurile formate din migrația pătratului deasupra înălțimii hipotenuriumului unghiului direct cu pătrate deasupra obiceiurilor.

Designul utilizat pentru dovadă este după cum urmează: Pentru un triunghi dreptunghiular cu unghi direct C (\\ displaystyle c), pătrate peste obiceiuri și pătrate peste hipotenuse A B I K (\\ DisplayStyle Abik) Înălțimea construită C H (\\ DisplayStyle CH) și continuând fasciculul ei S (\\ displaystyle s), ruperea pătratului peste hipotenur cu două dreptunghiuri și. Dovezile vizează stabilirea egalității zonei dreptunghiulare A H J K (\\ DisplayStyle Ahjk) Pătrat peste catehet A C (\\ DisplayStyle AC); Egalitatea zonei celui de-al doilea dreptunghi care constituie pătratul deasupra ipotezei, iar dreptunghiul peste cealaltă cathe este stabilit în același mod.

Egalitatea pătratelor dreptunghiulare A H J K (\\ DisplayStyle Ahjk) și A C E D (\\ DisplayStyle ACEDD) Instalat prin congruența triunghiurilor △ A C K \u200b\u200b(\\ DisplayStyle \\ triunghi ACK) și △ A B D (\\ DisplayStyle \\ triunghi abd), zona fiecăruia este egală cu jumătate din pătratul pătrat A H J K (\\ DisplayStyle Ahjk) și A C E D (\\ DisplayStyle ACEDD) În consecință, datorită următoarei proprietăți: zona triunghiului este egală cu jumătate din zona dreptunghiului, dacă cifrele au o petrecere obișnuită, iar înălțimea triunghiului la partea generală este cealaltă parte a dreptunghiului. Congrunța triunghiurilor rezultă din egalitatea ambelor părți (laturile pătratelor) și din colțul dintre ele (compus dintr-un colț drept și un unghi la A (\\ displaystyle a).

Astfel, dovada stabilește că pătratul pătratului deasupra ipotezei compuse din dreptunghiuri A H J K (\\ DisplayStyle Ahjk) și B h j i (\\ displaystyle bhji)este egală cu suma pătratelor de pătrate pe vamă.

Dovada Leonardo da Vinci

Dovada lui Leonardo da Vinci găsită în zona pătratului. Lăsați un triunghi dreptunghiular △ A B C (\\ DisplayStyle \\ triunghi abc) Cu unghiul direct C (\\ displaystyle c) și pătrate A C E D (\\ DisplayStyle ACEDD), B c f g (\\ displaystyle bcfg) și A B H J (\\ DisplayStyle Abhj) (Vezi figura). În această dovadă de pe partea laterală H j (\\ displaystyle hj) Acesta din urmă în exterior este un triunghi, congruent △ A B C (\\ DisplayStyle \\ triunghi abc), în plus, reflectată atât față de hipotenusuri, cât și la înălțimea relativ (adică, J I \u003d B C (\\ DisplayStyle Ji \u003d BC) și H I \u003d A C (\\ DisplayStyle Hi \u003d AC)). Drept C I (\\ DisplayStyle CI) sparge pătratul construit pe hipotenuse în două părți egale, deoarece triunghiurile △ A B C (\\ DisplayStyle \\ triunghi abc) și △ J H I (\\ DisplayStyle \\ triunghi JHI) egală cu construcția. Dovada stabilește congruența Quadricles C A J I (\\ DisplayStyle Caji) și D a b g (\\ displaystyle dabg)Zona fiecăruia se dovedește a fi pe de o parte egală cu suma jumătății pătratelor de pătrate de pe cotiile și zona triunghiului original, pe de altă parte, jumătate din pătratul pătratul de pe hipotenuse plus zona triunghiului original. Total, jumătate din suma pătratelor de pătrate peste categorii este egală cu jumătate din pătratul pătratului peste hipotenuse, echivalentă cu formularea geometrică a teoremei de pythagores.

Dovada prin metoda de infinit de mici

Există mai multe dovezi că recurge la tehnica ecuațiilor diferențiale. În special, Hardy este atribuită dovezii, utilizând creșteri infinit de catete mici A (\\ displaystyle a) și B (\\ displaystyle b) și hipotenusuri C (\\ displaystyle c), și păstrând similitudinea cu dreptunghiul original, adică, oferind următoarele relații diferențiale:

d a d c \u003d c a (\\ displaystyle (\\ frac (da) (dc)) \u003d (\\ frac (c) (a))), D B D C \u003d C B (\\ DisplayStyle (\\ Frac (DC) (DC)) \u003d (\\ frac (c) (b))).

Ecuația diferențială este derivată prin separarea variabilelor C D C \u003d A D A + B D B (\\ DisplayStyle C \\ DC \u003d A \\, DA + B \\, DB)a căror integrare dă raportul C 2 \u003d A 2 + B 2 + C O N S T (\\ DisplayStyle C ^ (2) \u003d A ^ (2) + B ^ (2) + \\ Mathrm (Const)). Aplicarea condițiilor inițiale a \u003d b \u003d c \u003d 0 (\\ displaystyle a \u003d b \u003d c \u003d 0) Determină constanta ca 0, care are ca rezultat declarația teoremei.

Dependența patrată a formulei finale apare datorită proporționalității liniare dintre părțile laterale ale triunghiului și a treptelor, în timp ce cantitatea este asociată cu depozite independente de la creșterea diferitelor paturi.

Variații și generalizări

Forme geometrice similare pe cele trei laturi

O generalizare geometrică importantă a teoremei pitagoreene a dat lui Eucliu în "începutul", traversând pătratele din părțile laterale ale unor figuri geometrice similare similare: suma zonelor de astfel de cifre construite pe catete va fi egală cu zona de Cifra similară cu hipotenuse.

Ideea principală a acestei generalizări este că zona unei astfel de forme geometrice este proporțională cu pătratul oricărei dimensiuni liniare și în special pătratul lungimii oricărei părți. În consecință, pentru forme similare cu pătrate A (\\ displaystyle a), B (\\ displaystyle b) și C (\\ displaystyle c)Construit pe particularități cu lungimi A (\\ displaystyle a) și B (\\ displaystyle b) și hipotenuse C (\\ displaystyle c) În consecință, raportul este:

A A A 2 \u003d B B2 \u003d C C2 ⇒ A + B \u003d A2 C2C + B2C2C (\\ DisplayStyle (A ^ (2))) \u003d (\\ frac (B) (b ^ (2))) \u003d (\\ frac (c) (c ^ (2))) \\, \\ dreapta \\, a + b \u003d (\\ frac (a ^ (2)) (c ^ (2))) c + (\\ Frac (b ^ (2)) (c ^ (2))) c).

Deoarece teorema lui Pythagora. A 2 + B 2 \u003d C2 (\\ DisplayStyle A ^ (2) + b ^ (2) \u003d c ^ (2)), apoi a fost efectuată.

În plus, dacă este posibil să se dovedească fără a atrage teorema Pythagora, că pentru zonele a trei figuri geometrice similare pe părțile laterale ale triunghiului dreptunghiular, raportul a fost efectuat A + B \u003d C (\\ DisplayStyle A + B \u003d C), Folosind cursa inversă a dovada generalizării Euclidea, poate fi derivată dovada teoremei Pythagora. De exemplu, dacă pe hipotenuse să construiască o zonă triunghiul dreptunghiular inițial congruent C (\\ displaystyle c), și pe categorii - două triunghiuri similare dreptunghiulare cu pătrate A (\\ displaystyle a) și B (\\ displaystyle b), se pare că triunghiurile pe catete sunt formate ca urmare a împărțirii triunghiului inițial al înălțimii sale, adică suma a două zone mai mici de triunghiuri este egală cu suprafața celui de-al treilea, așa că A + B \u003d C (\\ DisplayStyle A + B \u003d C) Și, aplicând raportul pentru astfel de cifre, teorema Pythagora este afișată.

Teorema Kosinus.

Teorema Pythagoreo este un caz special al unei teoreme cosinoase mai generale, care leagă lungimile părților într-un triunghi arbitrar:

A 2 + B 2 - 2 A B Cos \u2061 θ \u003d C2 (\\ DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) -2Ab \\ COS (\\ ETA) \u003d C ^ (2)),

unde - unghiul dintre părți A (\\ displaystyle a) și B (\\ displaystyle b). Dacă unghiul este de 90 °, atunci cos \u2061 θ \u003d 0 (\\ displaystyle \\ cos \\ eta \u003d 0)Iar formula este simplificată la teorema obișnuită a lui Pythagoreo.

Triunghi arbitrar

Există o generalizare a teoremei Pythagora pe un triunghi arbitrar, care funcționează exclusiv de raportul dintre lungimile părților, se crede că a fost înființată pentru prima dată de Astronomul Sabi Sabit Ibn Kury. În el pentru un triunghi arbitrar cu părțile laterale, un triunghi echipabil se potrivește cu ea cu baza de lateral C (\\ displaystyle c), Vertex care coincide cu partea superioară a triunghiului original, partea opusă C (\\ displaystyle c) și unghiuri la bază egale cu colțul θ (\\ displaystyle \\ theta), partea opusă C (\\ displaystyle c). Ca rezultat, se formează două triunghiuri, similare cu originalul: Primul - cu părțile A (\\ displaystyle a), partea lungă a celor din lateral înscrise de un triunghi crescut și R (\\ displaystyle r) - Piese de schimb C (\\ displaystyle c); Al doilea este simetric pentru el de partea B (\\ displaystyle b) din partea S (\\ displaystyle s) - partea corespunzătoare a părții C (\\ displaystyle c). Ca rezultat, relația: Relația:

A 2 + B 2 \u003d C (R + S) (\\ DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C (R + S)),

degenera în teorema Pythagora cu θ \u003d π / 2 (\\ displaystyle \\ thata \u003d \\ pi / 2). Raportul este o consecință a asemănării triunghiurilor formate:

CA \u003d AR, CB \u003d BS ⇒ CR + CS \u003d A 2 + B2 (\\ DisplayStyle (\\ Frac (c) (a)) \u003d (\\ frac (a) (R)), \\, (C) (b)) \u003d (\\ frac (b) (e)) \\, \\ dreapta \\, cr + cs \u003d a ^ (2) + b ^ (2)).

Pappa teorema pe pătrate

NEEVKLIDOVA Geometrie

Teorema Pitagoreo este derivată dintr-o axiomă a geometriei euclidane și este nevalidă pentru geometria non-copil - implementarea teoremei pithagoreene este echivalentă cu postulatul euclid al paralelismului.

În geometria non-copil, raportul dintre laturile triunghiului dreptunghiular va fi în mod necesar în altă formă decât teorema pitagoreană. De exemplu, în geometria sferică, toate cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghiular, care limitează aeronava unei singure sfere, au o lungime π / 2 (\\ displaystyle \\ pi / 2)care contrazice teorema pithagoreană.

În acest caz, teorema Pythagora este valabilă în geometria hiperbolică și eliptică, dacă cerința dreptunghiului triunghiului este înlocuită cu condiția ca suma a două unghiuri de triunghi să fie egală cu cea de-a treia.

Geometria sferică

Pentru orice triunghi dreptunghiular pe sfera razei R (\\ displaystyle r) (de exemplu, dacă unghiul din triunghi este drept) cu părțile A, B, C (\\ DisplayStyle A, B, C) Raportul dintre părți are forma:

COS \u2061 (CR) \u003d COS \u2061 (A R) ⋅ COS \u2061 (BR) (\\ DisplayStyle \\ COS \\ stânga ((\\ frac (c) (R)) \\ dreapta) \u003d \\ Cos \\ Stânga ((\\ Frac (a) (R)) \\ dreapta) \\ CDOT \\ COS \\ stânga ((\\ frac (b) (b)) \\ \u200b\u200bdreapta)).

Această egalitate poate fi derivată ca un caz special al teoremei cosinoare sferice, care este valabil pentru toate triunghiurile sferice:

COS \u2061 (C R) \u003d COS \u2061 (A R) ⋅ COS \u2061 (BR) + SIN \u2061 (A R) ⋅ SIN \u2061 (BR) ⋅ Cos \u2061 γ (\\ DisplayStyle \\ Cos \\ Stânga ((\\ Frac (C) (R) ) \\ Dreapta) \u003d \\ cos \\ stânga ((\\ frac (a) (r)) \\ dreapta) \\ cdot \\ cos \\ stânga ((\\ frac (b) (R)) \\ dreapta) + \\ SIN \\ stânga (( \\ Frac (a) (R)) \\ dreapta) \\ cdot \\ păcat \\ stânga ((\\ frac (b) (r)) \\ dreapta) \\ cdot \\ cos \\ gamma). CH \u2061 C \u003d CH \u2061 A ⋅ CH \u2061 B (\\ DisplayStyle \\ Operatorname (CH) C \u003d \\ OperatornAnme (CH) A \\ CDOT \\ OperatornAme (CH) b),

unde Ch (\\ displaystyle \\ operatură (CH)) - Cosinei hiperbolice. Această formulă este un caz special al unei teoreme de cosinie hiperbolică, care este valabilă pentru toate triunghiurile:

Ch \u2061 c \u003d ch \u2061 a ⋅ ch \u2061 b - sh \u2061 a ⋅ sh \u2061 b ⋅ Cos \u2061 γ (\\ displaystyle \\ operatornAnme (CH) C \u003d \\ OperatornAnme (CH) A \\ CDOT \\ OperatornAnme (CH) B- \\ OperatornAnme (SH) A \\ CDOT \\ OperatorName (SH) B \\ CDOT \\ COS \\ GAMMA),

unde γ (\\ displaystyle \\ gamma) - unghiul al cărui vertex este opusul părții C (\\ displaystyle c).

Folosind o serie de Taylor pentru o cosinie hiperbolică ( Ch \u2061 x ≈ 1 + x 2/2 (\\ displaystyle \\ operatornAme (CH) x \\ aprox 1 + x ^ (2) / 2)) Se poate demonstra că, dacă triunghiul hiperbolic scade (adică atunci când A (\\ displaystyle a), B (\\ displaystyle b) și C (\\ displaystyle c) Ei se străduiesc pentru zero), apoi relațiile hiperbolice într-un triunghi dreptunghiular se apropie de raportul dintre teorema clasică a lui Pythagore.

Aplicație

Distanța în sistemele dreptunghiulare bidimensionale

Cea mai importantă utilizare a teoremei Pythagora este determinarea distanței dintre două puncte în sistemul de coordonate dreptunghiulare: Distanța S (\\ displaystyle s) între punctele cu coordonatele (A, b) (\\ displaystyle (a, b)) și (C, D) (\\ AfișajStyle (C, D)) in aceeasi masura:

S \u003d (A - C) 2 + (b - d) 2 (\\ SQRTStil S \u003d (\\ sqrt ((a-c) ^ (2) + (b - d) ^ (2)))).

Pentru numere complexe, teorema Pythagorea oferă o formulă naturală pentru a găsi un modul integrat complex - pentru z \u003d x + y i (\\ displaystyle z \u003d x + yi) Este egal cu lungimea

Subiect: Teorema, teorema inversă Pythagora.

Obiective Lecția: 1) Luați în considerare teorema teoremei Inverse Pythagora; utilizarea sa în procesul de rezolvare a problemelor; Fixați teorema Pythagora și îmbunătățiți abilitățile de a rezolva problemele pentru utilizarea sa;

2) să dezvolte gândirea logică, căutarea creativă, interesul cognitiv;

3) Aduceți elevii cu o atitudine responsabilă față de învățăturile, cultura discursului matematic.

Tipul de lecție. Lecția de asimilare a noilor cunoștințe.

În timpul clasei

І. Organizarea timpului

ІІ. Actualizare Cunoştinţe

Lecția de mineva fiam vrutÎncepeți cu quatrain.

Da, calea cunoașterii nu se bucură

Dar știm din anii școlari,

Ghicitori mai mult decât imaginții

Și nu există nicio căutare pentru limită!

Deci, în trecut, lecția pe care ați învățat-o teorema lui Pythagore. Întrebări:

Teorema Pythagora este valabilă pentru care figura?

Ce triunghi este numit dreptunghiular?

Formulați teorema lui Pythagore.

Cum va fi scris teorema Pythagora pentru fiecare triunghi?

Ce triunghiuri sunt numite egale?

Cuvânt semnele egalității triunghiurilor?

Și acum vom petrece o mică lucrare independentă:

Rezolvarea sarcinilor conform desenelor.

№1

(1 b.) Găsiți: AV.

№2

(1 b.) Găsiți: Sun.

№3

( 2 b)Găsiți: AC.

№4

(1 b)Găsiți: AC.

№5 DANO: ABC.D. romb

(2 b.) AV \u003d 13 cm

AC \u003d 10 cm

Gasit inD.

Numărul de auto-testare 1. cinci

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Studiu Nou material.

Egiptenii vechi au construit colțuri drepte pe pământ în acest fel: au împărtășit bicicletele pe 12 părți egale, capetele au fost asociate, după care frânghia era întinsă așa pe Pământ, astfel încât un triunghi a fost format cu petreceri 3, 4 și 5 diviziuni . Unghiul triunghiului, care stătea împotriva laterală cu 5 divizii era drept.

Puteți explica corectitudinea acestei judecăți?

Ca urmare a căutării unui răspuns la întrebare, elevii ar trebui să înțeleagă că din punct de vedere matematic este setat întrebarea: dacă triunghiul este dreptunghiular.

Am pus problema: cum, fără a face măsurători, determină dacă triunghiul cu părțile specificate sunt dreptunghiulare. Soluția la această problemă este scopul lecției.

Notați lecția tematică.

Teorema. Dacă suma pătratelor celor două laturi ale triunghiului este egală cu piața terță parte, atunci un astfel de triunghi este dreptunghiular.

Dovedită independent teorema (compilați un plan de probă asupra manualului).

Din această teoremă rezultă că triunghiul cu părțile 3, 4, 5 este dreptunghiular (egiptean).

În general, numerele pentru care se efectuează egalitatea , Call Pythagora Troika. Și triunghiurile, lungimile părților care sunt exprimate de trupele Pitagora (6, 8, 10), - triunghiurile Pitagora.

Fixare.

pentru că , atunci triunghiul cu părțile 12, 13, 5 nu este dreptunghiular.

pentru că , apoi triunghiul cu părțile 1, 5, 6 este dreptunghiular.

№ 430 (A, B, B)

( - nu este)

Obiective Lecția:

Educație: să formuleze și să dovedească teorema lui Pitagora și teorema, teorema inversă a pitagoreo. Arată importanța lor istorică și practică.

Dezvoltare: Dezvoltați atenția, memoria, gândirea logică a studenților, abilitatea de a raționa, compara, trage concluzii.

Rising: Pentru a educa interesul și dragostea pentru subiect, acuratețea, abilitatea de a asculta tovarăși și profesori.

Echipamente: Portret de Pythagora, Postere cu sarcini de consolidare, geometrie "Geometrie" 7-9 clase (i.f. sharygin).

Planul lecției:

I. Momentul organizațional - 1 min.

II. Verificarea temelor - 7 min.

III. Cuvântul introductiv al profesorului, referință istorică - 4-5 minute.

IV. Formularea și dovada teoremei lui Pythagore este de 7 minute.

V. Formularea și dovada teoremei, teorema inversă a lui Pitagora - 5 min.

Fixarea unui nou material:

a) oral - 5-6 min.
b) scriere - 7-10 minute.

VII. Tema - 1 min.

VIII. Rezumarea lecției - 3 min.

În timpul clasei

I. Momentul organizatoric.

II. Verificați-vă temele.

p.7.1, nr. 3 (la panourile de desen finit).

Condiție: Înălțimea triunghiului dreptunghiular împarte ipoteza asupra segmentelor de lungime 1 și 2. Găsiți catetele acestui triunghi.

Bc \u003d a; Ca \u003d b; Ba \u003d c; Bd \u003d A 1; DA \u003d B 1; CD \u003d h c

Întrebare suplimentară: scrieți relații într-un triunghi dreptunghiular.

p.7.1, Nr. 5. Tăiați triunghiul dreptunghiular la trei triunghiuri similare.

Explica.

ASN ~ ABC ~ SN

(atrage atenția elevilor la corectitudinea înregistrării vârfurilor respective a unor astfel de triunghiuri)

III. Cuvântul introductiv al profesorului, referință istorică.

Adevărul permanent va fi, de îndată ce o persoană slabă o cunoaște!

Și acum teorema Pythagora este adevărată, ca în vârsta lui îndepărtată.

Nu a fost întâmplător că mi-am început lecția de la cuvintele scriitorului german-romancier Shaisso. Lecția noastră de astăzi este dedicată teoremei Pythagora. Scriem subiectul lecției.

Înainte de tine, portretul marelui Pythagorean. Născut în 576 î.Hr. A trăit 80 de ani, a murit în 496 la epoca noastră. Cunoscut ca un filozof și profesor grec vechi. El a fost fiul unui comerciant de menarch care la luat adesea în călătoriile sale, datorită căruia băiatul avea chestia și dorința de a cunoaște cel nou. Pythagoras este o poreclă dată lui pentru elocvență ("Pythagoras" înseamnă "Eu sunt vorbire convingătoare"). El însuși nu a scris nimic. Toate gândurile lui și-au înregistrat ucenicii. Ca rezultat al primei prelegeri, Pythagora a achiziționat 2000 de studenți care, împreună cu soțiile și copiii, au format o școală uriașă și au creat un stat numit "Grecia Mare", care se bazează pe legile și regulile lui Pitagora, venerate ca divin Poruncile. El a fost primul care a numit raționamentul său despre semnificația vieții filozofiei (lyubomatriy). A fost înclinată de mistificare și demonstrație în comportament. Odată, Pythagoras a ascuns subteran, și totul se întâmpla de la mamă. Apoi, uscat ca un schelet, a declarat în Adunarea Poporului, care a fost în Aida și a arătat o conștientizare uimitoare a evenimentelor pământești. Căci acest rezidenți atins l-au recunoscut de Dumnezeu. Pitagora nu au strigat niciodată și, în general, nu este disponibilă prin pasiuni și emoții. Ea a crezut că vine de la sămânță, cel mai bun comparativ cu omul. Întreaga viață a lui Pitagora este o legendă, care a venit la vremea noastră și ne-a spus despre omul talentat din lumea antică.

IV. Formularea și dovada teoremei Pythagoreo.

Formularea teoremei Pythagore vă este cunoscută de la cursul algebrei. Să ne amintim.

Într-un triunghi dreptunghiular, pătratul hipotenuse este egal cu suma pătratelor catetelor.

Cu toate acestea, această teoremă știa cu mulți ani înainte de Pythagora. Timp de 1500 de ani înainte de Pyphagora, vechii egipteni au știut că triunghiul cu părțile 3, 4 și 5 este dreptunghiular și a folosit această proprietate pentru a construi colțuri directe la planificarea terenurilor și clădirilor clădirilor. În cele mai vechi timpuri pentru noi, eseul chinez matematic-astronomic al "Zhiu-Bi", scris în 600 de ani înainte de Pythagora, printre alte propuneri referitoare la triunghiul dreptunghiular, conține teorema Pytagora. Anterior, această teoremă era cunoscută de hindus. Astfel, Pythagoras nu a deschis această proprietate a unui triunghi dreptunghiular, probabil că a reușit mai întâi să o rezume și să dovedească, să o traducă din practica de a practica știința.

Cu o antichitate profundă a matematicii, se găsesc tot mai multe dovezi ale teoremei Pythagoreo. Ele sunt cunoscute mai mult de o jumătate de sute. Să ne amintim dovada algebrică a teoremei Pythagora, cunoscute de cursul algebrei. ("Matematică. Algebra. Funcții. Analiza datelor" G.V. Dorofeev, M., "Drop", 2000 g).

Sugerați elevii să-și amintească dovada desenului și să o scrie pe tablă.

(A + B) 2 \u003d 4,1/2 A * B + C 2 B A

a 2 + 2A * B + B 2 \u003d 2A * B + C 2

a 2 + B 2 \u003d C2 A B

Indienii vechi care dețin acest raționament nu au fost de obicei înregistrați și au însoțit desenul cu un singur cuvânt: "Uite".

Luați în considerare în prezentarea modernă una dintre dovezile aparținând lui Pythagora. La începutul lecției am amintit teorema despre rapoartele dintr-un triunghi dreptunghiular:

h 2 \u003d A 1 * B 1 A2 \u003d A 1 * cu B 2 \u003d B 1 *

Mutarea recentelor recente două egalități:

b 2 + A 2 \u003d B 1 * C + A 1 * C \u003d (B 1 + A 1) * C 1 \u003d C * C \u003d C2; A 2 + B 2 \u003d C 2

În ciuda simplității aparente a acestei dovezi, este departe de cea mai simplă. La urma urmei, pentru aceasta a fost necesară petrecerea înălțimii într-un triunghi dreptunghiular și să ia în considerare astfel de triunghiuri. Notați, vă rog, aceasta este dovada notebook-ului.

V. Formularea și dovada teoremei, teorema inversă a pythagoreanului.

Și ce teoremă este numită inversă la asta? (... dacă condiția și concluzia se schimbă locurile.)

Să încercăm acum să formulăm teorema, teorema reversă a pythagoreo.

Dacă triunghiul cu părțile laterale A, B și C este realizat cu egalitatea C 2 \u003d A 2 + B2, atunci acest triunghi este dreptunghiular, iar unghiul drept se opune părții cu.

(Dovada teoremei inverse pe poster)

Abc, soare \u003d a,

AC \u003d B, VA \u003d s.

a 2 + B 2 \u003d C 2

Dovedi

ABC - dreptunghiular,

Dovezi:

Ia în considerare un triunghi dreptunghiular A 1 din 1 C 1,

unde de la 1 \u003d 90 ° și 1 s 1 \u003d A și 1 s 1 \u003d b.

Apoi, conform teoremei Pytagora în 1 A 1 2 \u003d A 2 + B 2 \u003d C2.

Care este, în 1 A 1 \u003d C A 1 în 1 C 1 \u003d ABC pentru trei părți ABC - dreptunghiulară

C \u003d 90 °, care a fost obligat să dovedească.

VI. Fixarea materialului studiat (oral).

1. Pe un poster cu desene gata făcute.

Fig.1: Găsiți anunț dacă CD \u003d 8, VA \u003d 30 °.

Fig.2: Localizați CD-ul dacă am \u003d 5, Wayway \u003d 45 °.

Fig.3: Găsiți VD dacă Sun \u003d 17, AD \u003d 16.

2. Este triunghiul dreptunghiular dacă părțile sale sunt exprimate prin numere:


5 2 + 6 2? 7 2 (nu)	9 2 + 12 2 \u003d 15 2 (da)	15 2 + 20 2 \u003d 25 2 (da)

Care sunt primele trei numere în ultimele două cazuri? (Pythagoras).

VI. Rezolvarea sarcinilor (scrierii).

№ 9. Partea triunghiului echilateral este egală cu a. Găsiți înălțimea acestui triunghi, raza cercului descris, raza cercului inscripționat.

№ 14. Dovedește că într-un triunghi dreptunghiular, raza circumferinței descrisă este egală cu mediana condusă la hipotenuse și este egală cu jumătate din hipotenuse.

VII. Teme pentru acasă.

Punctul 7.1, pp. 175-177, teorema de dezasamblare 7.4 (teorema generalizată Pythagora), nr. 1 (oral), nr. 2, nr. 4.

VIII. Rezultatele lecției.

Ce nou ați știut astăzi la lecție? ............

Pythagoras a fost în primul rând un filozof. Acum vreau să citesc câteva dintre cecurile sale, relevante și în timpul nostru pentru noi cu tine.

Nu ridicați praful pe calea vieții.
Doar că mai târziu nu te deranjează și nu se va potrivi pocăit.
Nu faceți ceea ce nu știți, dar aflați ce ar trebui să știți și apoi veți conduce o viață liniștită.
Nu închideți ochii când vreau să dorm, nu vă ridicați toate acțiunile ultima zi.
Preluați să trăiți doar și fără lux.