Formula inversă Pythagora. Lecția "Teorema - Teorema lui Pythagore"

Subiect: Teorema, teorema inversă Pythagora.

Obiective Lecția: 1) Luați în considerare teorema teoremei Inverse Pythagora; utilizarea sa în procesul de rezolvare a problemelor; Fixați teorema Pythagora și îmbunătățiți abilitățile de a rezolva problemele pentru utilizarea sa;

2) să dezvolte gândirea logică, căutarea creativă, interesul cognitiv;

3) Aduceți elevii cu o atitudine responsabilă față de învățăturile, cultura discursului matematic.

Tipul de lecție. Lecția de asimilare a noilor cunoștințe.

În timpul clasei

І. Organizarea timpului

ІІ. Actualizare Cunoştinţe

Lecția de mineva fiam vrutÎncepeți cu quatrain.

Da, calea cunoașterii nu se bucură

Dar știm din anii școlari,

Ghicitori mai mult decât imaginții

Și nu există nicio căutare pentru limită!

Deci, în trecut, lecția pe care ați învățat-o teorema lui Pythagore. Întrebări:

Teorema Pythagora este valabilă pentru care figura?

Ce triunghi este numit dreptunghiular?

Formulați teorema lui Pythagore.

Cum va fi scris teorema Pythagora pentru fiecare triunghi?

Ce triunghiuri sunt numite egale?

Cuvânt semnele egalității triunghiurilor?

Și acum vom petrece o mică lucrare independentă:

Rezolvarea sarcinilor conform desenelor.

№1

(1 b.) Găsiți: AV.

№2

(1 b.) Găsiți: Sun.

№3

( 2 b)Găsiți: AC.

№4

(1 b)Găsiți: AC.

№5 DANO: ABC.D. romb

(2 b.) AV \u003d 13 cm

AC \u003d 10 cm

Gasit inD.

Numărul de auto-testare 1. cinci

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Studiu Nou material.

Egiptenii vechi au construit colțuri drepte pe pământ în acest fel: au împărtășit bicicletele pe 12 părți egale, capetele au fost asociate, după care frânghia era întinsă așa pe Pământ, astfel încât un triunghi a fost format cu petreceri 3, 4 și 5 diviziuni . Unghiul triunghiului, care stătea împotriva laterală cu 5 divizii era drept.

Puteți explica corectitudinea acestei judecăți?

Ca urmare a căutării unui răspuns la întrebare, elevii ar trebui să înțeleagă că din punct de vedere matematic este setat întrebarea: dacă triunghiul este dreptunghiular.

Am pus problema: cum, fără a face măsurători, determină dacă triunghiul cu părțile specificate sunt dreptunghiulare. Soluția la această problemă este scopul lecției.

Notați lecția tematică.

Teorema. Dacă suma pătratelor celor două laturi ale triunghiului este egală cu piața terță parte, atunci un astfel de triunghi este dreptunghiular.

Dovedită independent teorema (compilați un plan de probă asupra manualului).

Din această teoremă rezultă că triunghiul cu părțile 3, 4, 5 este dreptunghiular (egiptean).

În general, numerele pentru care se efectuează egalitatea , Call Pythagora Troika. Și triunghiurile, lungimile părților care sunt exprimate de trupele Pitagora (6, 8, 10), - triunghiurile Pitagora.

Fixare.

pentru că , atunci triunghiul cu părțile 12, 13, 5 nu este dreptunghiular.

pentru că , apoi triunghiul cu părțile 1, 5, 6 este dreptunghiular.

№ 430 (A, B, B)

( - nu este)

Luarea în considerare a programului școlar cu ajutorul materialelor video este o modalitate convenabilă de a studia și de a asimila materialul. Videoclipul ajută la concentrarea atenției studenților cu privire la principalele dispoziții teoretice și să nu rateze detalii importante. Dacă este necesar, elevii pot asculta întotdeauna tutorialul video repetat sau revin la câteva subiecte.

Acest tutorial video pentru clasa a VIII-lea va ajuta elevii să exploreze un subiect nou pe geometrie.

În subiectul anterior, am studiat teorema lui Pythagore și am dezasamblat dovada.

Există, de asemenea, o teoremă cunoscută sub numele de teorema inversă a lui Pythagora. Luați în considerare mai detaliat.

Teorema. Triunghiul este dreptunghiular dacă este efectuată egalitatea: valoarea unei părți a triunghiului, ridicată în pătrat, este aceeași cu cantitatea celor două părți ridicate în piață.

Dovezi. Să presupunem că triunghiul ABC este dat, în care se efectuează egalitatea ab 2 \u003d Ca 2 + CB2. Este necesar să se demonstreze că unghiul c este la 90 de grade. Luați în considerare un triunghi A 1 B 1 C 1, în care unghiul C1 este de 90 de grade, partea C1 A 1 este CA și partea B 1 C1 este egală cu BS.

Folosind teorema Pythagora, scrieți raportul dintre părțile din triunghi A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 \u003d C1 A 1 2 + C 1 B 1 2. Prin înlocuirea expresiei pe partea egală, obținem A 1 B 1 2 \u003d Ca 2 + CB 2.

Din condițiile teoremei, știm că ab 2 \u003d Ca 2 + CB 2. Apoi putem scrie A 1 B 1 2 \u003d AB 2, din care rezultă că A 1 B 1 \u003d AB.

Am constatat că în triunghiurile ABC și A 1 B 1 C1 sunt cele trei laturi: A 1 C 1 \u003d AC, B 1 C 1 \u003d BC, A 1 B 1 \u003d AB. Astfel încât aceste triunghiuri sunt egale. Din egalitatea triunghiurilor rezultă că unghiul lui C este egal cu colțul lui 1 și, în consecință, 90 de grade. Am stabilit că triunghiul ABC dreptunghiular și unghiul său C este de 90 de grade. Am dovedit această teoremă.

Autorul oferă un exemplu. Să presupunem că acesta este un triunghi arbitrar. Dimensiuni cunoscute ale partidelor sale: 5, 4 și 3 unități. Verificăm afirmația din teorema, teorema inversă a Pythagora: 5 2 \u003d 3 2 + 4 2. Declarația este adevărată, atunci acest triunghi este dreptunghiular.

În următoarele exemple, triunghiurile vor fi, de asemenea, dreptunghiulare dacă părțile lor sunt egale:

5, 12, 13 unități; Egalitatea 13 2 \u003d 5 2 + 12 2 este credincioasă;

8, 15, 17 unități; Egalitatea 17 2 \u003d 8 2 + 15 2 este adevărată;

7, 24, 25 de unități; Egalitatea 25 2 \u003d 7 2 + 24 2 este adevărată.

Este cunoscut conceptul de triunghi de la Pythagora. Acesta este un triunghi dreptunghiular, în care valorile laturilor sunt egale cu numerele întregi. În cazul în care karitații de triunghi pithagorean indică prin A și C, și hipotul B, atunci valorile laterale ale acestui triunghi pot fi scrise utilizând următoarele formule:

b \u003d k x (m 2 - n 2)

c \u003d k x (m 2 + n 2)

unde M, N, K este numere naturale, iar valoarea M este mai mare decât valoarea N.

Un fapt interesant: Triunghiul cu partidele 5, 4 și 3 este, de asemenea, numit un triunghi egiptean, un astfel de triunghi a fost cunoscut în Egiptul antic.

În acest videoclip, ne-am familiarizat cu teorema, teorema inversă a lui Pythagorean. Detalii revizuite dovada. Elevii au aflat, de asemenea, ce triunghiuri sunt numite Pythagorov.

Elevii se pot familiariza cu ușurință cu teorema teorematică, teorema inversă a lui Pitagorean, independent cu acest tutorial video.

teorema lui Pitagora - una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidean care stabilește raportul

Între părțile laterale ale triunghiului dreptunghiular.

Se crede că este demonstrat de matematicianul grec Pitagore, în cinstea cărora și numit.

Formularea geometrică a teoremei pithagoreene.

Inițial, teorema a fost formulată după cum urmează:

Într-un triunghi dreptunghiular, pătratul pătratului construit pe hipotenuse este egal cu suma pătratelor pătratelor,

construit pe catete.

Formularea algebrică a teoremei pithagoreene.

Într-un triunghi dreptunghiular, pătratul lungimii ipotezei este egal cu suma pătratelor lungimilor căruciorului.

Adică, indicând lungimea ipotezei triunghiului c., și lungimea catetelor prin a. și b.:

Ambele formulări teoreme Pythagora.echivalent, dar a doua formulare este mai elementară, nu este

necesită conceptul de zonă. Adică, a doua declarație poate fi verificată, nimic nu știu despre zonă și

măsurarea numai a lungimii laterale ale triunghiului dreptunghiular.

Teorema inversă a pythagorean.

Dacă pătratul unei părți a triunghiului este egal cu suma pătratelor celor două părți, atunci

triunghiul este dreptunghiular.

Sau, cu alte cuvinte:

Pentru toate cele trei numere pozitive a., b. și c., astfel încât

există un triunghi dreptunghiular cu obiceiurile a. și b.și hipotenuse c..

Teorema Pythagora pentru un triunghi echipabil.

Teorema Pythagora pentru un triunghi echilateral.

Dovada teoremei pithagoreene.

În prezent, 367 de dovadă a acestei teoreme au fost înregistrate în literatura științifică. Probabil teorema

Pythagora este singura teoremă cu un număr atât de impresionant de dovezi. O astfel de varietate

poate fi explicată numai de valoarea fundamentală a teoremei geometriei.

Desigur, este conceptual, toate pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cel mai renumit dintre ei:

dovada de metodă de spațiu, axiomatic și dovezi exotice (de exemplu,

prin intermediul ecuatii diferentiale).

1. Dovada teoremei lui Pythagore prin astfel de triunghiuri.

Următoarele dovezi ale formulării algebrice sunt cele mai simple dintre dovezile în construcție.

direct de la axiom. În special, nu utilizează conceptul cifrei cifrei.

Lasa Abc. Există un triunghi dreptunghiular cu un unghi drept C.. Să petrecem înălțimea C. Și denotă

fundația sa prin H..

Triunghi AICI. Ca un triunghi Ab.C pentru două colțuri. În mod similar, triunghiul CBH. Ca Abc..

Introducerea notației:

primim:

ceea ce corespunde -

Potrivire a. 2 I. b. 2, primim:

sau, care trebuia să demonstreze.

2. Dovada teoremei Pythagore de zona zonei.

Mai jos, dovezile, în ciuda simplității lor aparente, nu atât de simplă. Toti

utilizați proprietățile zonei, dovezile cărora este mai complicată de dovada Teoremei lui Pythagora în sine.

Dovada prin echodocitate.

Puneți patru dreptunghiulari egali

triunghi așa cum se arată în imagine

pe dreapta.

Cvadril cu laturi c. - pătrat,

deoarece suma a două colțuri ascuțite de 90 ° și

unghiul implementat - 180 °.

Zona întregii cifre este egală cu o mână,

zona pătrată cu partea laterală ( a + B.), iar pe de altă parte, suma zonei a patru triunghiuri și

Q.E.D.

3. Dovada teoremei Pythagore prin metoda de infinit de mici.

Având în vedere desenul prezentat în figură și

observând o schimbare de parteaa., noi putem

Înregistrați următorul raport pentru infinit

mic incremente de parteadin și a. (Folosind asemănarea

triunghiuri):

Folosind metoda de separare variabilă, găsim:

O expresie mai generală pentru schimbarea ipotezei în cazul creșterii ambelor catete:

Integrarea acestei ecuații și utilizarea condițiilor inițiale, obținem:

Astfel, ajungem la răspunsul dorit:

Deoarece nu este greu de văzut, dependența patrată a formulei finale apare din cauza liniară

proporționalitatea între părțile laterale ale triunghiului și incrementelor, în timp ce cantitatea este asociată cu independent

depuneri din creșterea diferitelor catete.

Pot fi obținute o dovadă mai simplă, dacă presupunem că unul dintre cattete nu are experiență

(în acest caz cattat b.). Apoi, pentru constanta de integrare, primim:

Teorema lui Pythagore spune:

Într-un triunghi dreptunghiular, suma pătratelor de catete este egală cu pătratul ipotezei:

a 2 + B 2 \u003d C 2,

a. și b. - rădăcini care formează un colț drept.
din - Hypotenuse de triunghi.

Formulele teoremei Pythagora.

a \u003d \\ sqrt (C ^ (2) - B ^ (2))
b \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - a ^ (2))
c \u003d \\ sqrt (A ^ (2) + b ^ (2))

Dovada teoremei Pythagora

Zona triunghiului dreptunghiular este calculată prin formula:

S \u003d \\ frac (1) (2) ab

Pentru a calcula zona unui pătrat de formulare triunghiul arbitrar:

p. - jumătate de metru. P \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c),
r. - Cercul inscripționat în rază. Pentru dreptungler \u003d \\ frac (1) (2) (a + b-c).

Apoi echivalăm părțile potrivite ale ambelor formule pentru zona triunghiului:

\\ Frac (1) (2) ab \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c) \\ frac (1) (2) (a + b-c)

2 AB \u003d (A + B + C) (A + B-C)

2 AB \u003d \\ stânga ((a + b) ^ (2) -C ^ (2) \\ dreapta)

2 AB \u003d A ^ (2) + 2AB + B ^ (2) -C ^ (2)

0 \u003d A ^ (2) + B ^ (2) -C ^ (2)

c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2)

Teorema inversă a Pythagorean:

Dacă pătratul unei părți a triunghiului este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghiular. Adică pentru toate cele trei numere pozitive a, B. și c., astfel încât

a 2 + B 2 \u003d C 2,

există un triunghi dreptunghiular cu obiceiurile a. și b. și hipotenuse c..

teorema lui Pitagora - una dintre teoremele fundamentale ale geometriei Euclidean, care stabilește raportul dintre părțile laterale ale triunghiului dreptunghiular. Ea dovedită de un matematician și filosoful Pitagore.

Valoarea teoremei. În acest sens, cu ajutorul său, puteți dovedi alte teoreme și puteți rezolva problemele.

Material suplimentar:

Obiective Lecția:

general:

verificați cunoștințele teoretice ale studenților (proprietățile unui triunghi dreptunghiular, teorema pithagoreană), capacitatea de a le folosi la rezolvarea sarcinilor;
după ce a creat o situație problema, aduceți elevii la "deschiderea" teoremei inverse pythagorean.

În curs de dezvoltare:

dezvoltarea abilităților de aplicare a cunoștințelor teoretice în practică;
dezvoltarea capacității de a formula concluziile în timpul observațiilor;
dezvoltarea memoriei, atenția, observarea:
dezvoltarea motivației învățăturilor prin satisfacție emoțională din descoperiri, prin introducerea elementelor istoriei dezvoltării conceptelor matematice.

educational:

ridica interesul durabil în acest subiect prin studiul activității vitale a lui Pitagore;
educația asistenței reciproce și evaluarea obiectivă a cunoașterii colegilor de clasă prin testul reciproc.

Forma lecției: Clasa de răcire.

Planul lecției:

Ora de organizare.
Verificați-vă temele. Actualizarea cunoștințelor.
Rezolvarea sarcinilor practice folosind teorema pitagoreană.
Subiect nou.
Consolidarea primară a cunoștințelor.
Teme pentru acasă.
Rezultatele lecției.
Lucrări independente (în funcție de cardurile individuale cu ghicitul de aforisme din Pythagora).

În timpul cursurilor.

Ora de organizare.

Verificați-vă temele. Actualizarea cunoștințelor.

Profesor: Ce sarcină ați efectuat acasă?

Elevii: Conform a două date pe părțile laterale ale triunghiului dreptunghiular, găsiți a treia direcție, răspunsurile la liniștea sub forma unei mese. Repetați proprietățile rombului și dreptunghiului. Repetați ceea ce se numește starea și că încheierea teoremei. Pregătiți rapoarte despre viața și activitățile lui Pythagora. Aduceți frânghia cu cele 12 noduri legate de el.

Profesor: Răspunsuri la check-ul dvs. de serviciu la masă

(Datele negre evidențiate, roșu - răspunsuri).

Profesor: Pe garanție a înregistrat aprobarea. Dacă sunteți de acord cu ei pe frunzele opuse numărului de întrebare corespunzător, puneți "+", dacă nu sunteți de acord, atunci puneți "-".

Pe tablă sunt scrise în avans.

Hipotenuse mai multă categorie.
Suma colțurilor ascuțite a triunghiului dreptunghiular este de 180 0.
Pătrat de triunghi dreptunghiular cu obiceiuri darși în Calculată prin formula S \u003d AB / 2.
Teorema lui Pythagore este valabilă pentru toate triunghiurile egale.
Într-un triunghi dreptunghiular, catta culcat opus unghiului de 30 0 este egală cu jumătate din hipotenuse.
Suma pătratelor de catete este egală cu pătratul hipotenusei.
Piața categoriei este egală cu diferența în pătratele hipotenuse și a doua categorie.
Partea triunghiului este egală cu suma celor două părți.

Verificarea lucrului cu ajutorul testului reciproc. Aprobările care au cauzat litigii sunt discutate.

Cheia problemelor teoretice.

Elevii își pun reciproc evaluări în următorul sistem:

8 răspunsuri corecte "5";
6-7 răspunsuri corecte "4";
4-5 răspunsuri corecte "3";
Mai puțin de 4 răspunsuri corecte "2".

Profesor: Despre ce vorbim în lecția trecută?

Elev: Despre Pythagore și teorema ei.

Profesor: Formulați teorema lui Pythagore. (Câțiva studenți citesc textul, în acest moment 2-3 student dovedește-o la bord, 6 studenți - în spatele primelor partide pe frunze).

Formulele matematice sunt scrise pe tabla magnetică. Alegeți cele care reflectă semnificația teoremei Pythagora, unde dar și în - Kartete, din - Hypotenuse.

1) C 2 \u003d A 2 + în 2	2) c \u003d a + în	3) A 2 \u003d C 2 - în 2
4) C 2 \u003d 2 - în 2	5) la 2 \u003d C 2 - A 2	6) A 2 \u003d C 2 + B 2

În timp ce elevii care dovedesc teorema la bord și pe teren nu sunt gata, cuvântul este oferit celor care au pregătit rapoarte privind viața și activitățile lui Pythagora.

Elevii care lucrează în câmp dau frunze și ascultă dovezile celor care au lucrat la consiliu.

Rezolvarea sarcinilor practice folosind teorema pitagoreană.

Profesor: Vă ofer sarcini practice folosind teorema studiată. Mai întâi în pădure, după furtună, apoi pe site-ul țării.

Sarcina 1.. După ce furtuna și-a rupt bradul. Înălțimea părții rămase este de 4,2 m. Distanța de la bază la coroana căzută de 5,6 m. Găsiți înălțimea furtunii.

Sarcina 2.. Înălțimea casei este de 4,4 m lățimea gazonului din jurul casei este de 1,4 m. Ce lungime ar trebui să facem o scară, astfel încât să nu stea pe gazon și să fie livrată pe acoperișul casei?

Subiect nou.

Profesor: (sunete muzicale) Închideți ochii, pentru câteva minute vom coborî în istorie. Suntem cu tine în Egiptul antic. Aici pe șantierele navale ale egiptenilor își construiesc celebrele nave. Dar Landerii, măsoară parcelele de pământ, ale căror limite au fost spălate după deversarea Nilului. Constructorii construiesc piramide mari, care ne uimitoare cu magnifica lor. În toate aceste activități, egiptenii aveau nevoie de colțuri directe. Ei știau cum să le construiască cu ajutorul unei frânghii cu 12 ani legați la aceeași distanță între ele cu noduli. Încercați atât dvs., argândați ca egipteni vechi, construiți triunghiuri dreptunghiulare folosind cablurile voastre. (Rezolvarea acestei probleme, băieții lucrează în grupuri de 4 persoane. După ceva timp, pe comprimatul de la bord, cineva arată construcția unui triunghi).

Laturile triunghiului rezultat 3, 4 și 5. dacă sunt legate între aceste noduri unul câte unul câte un nod, atunci partidele sale vor fi 6, 8 și 10. Dacă două - 9, 12 și 15. Toate aceste triunghiuri sunt dreptunghiulare t.

5 2 \u003d 3 2 + 4 2, 10 2 \u003d 6 2 + 8 2, 15 2 \u003d 9 2 + 12 2, etc.

Ce proprietate ar trebui triunghi să fie dreptunghiulară? (Studenții încearcă să formuleze teorema inversă a lui Pitagora, în cele din urmă, la cineva se dovedește).

Cum diferă această teoremă de teorema pitagoreană?

Elev: Condiție și concluzie schimbate locurile.

Profesor: La domiciliu ați repetat cum se numesc astfel de teoreme. Deci, ce ne-am întâlnit acum?

Elev: Din teorema reversă a pythagores.

Profesor: Scriem subiectul lecției din notebook. Tutoriale deschise la pagina 127 Citiți din nou această aprobare, scrieți-o într-un notebook și dezasamblați dovada.

(După câteva minute de muncă independentă, cu un manual, la Will, o persoană la bord conduce dovada teoremei).

Care este numele triunghiului cu părțile 3, 4 și 5? De ce?
Ce triunghiuri sunt numite Pythagorov?
Ce triunghiuri ați lucrat cu temele dvs.? Și în sarcini cu un pin și scări?

Consolidarea primară a cunoștințelor
.

Această teoremă ajută la rezolvarea sarcinilor în care este necesar să se afle dacă triunghiurile vor fi dreptunghiulare.

Sarcini:

1) Aflați dacă triunghiul este dreptunghiular dacă părțile sale sunt egale:

a) 12.37 și 35; b) 21, 29 și 24.

2) Calculați înălțimea triunghiului cu părțile 6, 8 și 10 cm.

Teme pentru acasă
.

PP.127: Teorema inversă a pythagorean. № 498 (A, B, B) nr. 497.

Rezultatele lecției.
Ce a învățat nou în lecție?

Cum a fost folosită teorema inversă a lui Pitagora în Egipt?

Când se rezolvă ce sarcini se aplică?

Ce triunghiuri s-au familiarizat?

Ce a fost amintit cel mai mult și a plăcut?

Lucrări independente (efectuate de carduri individuale).

Profesor:La domiciliu ați repetat proprietățile rombului și dreptunghiului. Listează-le (există o conversație cu clasa). La ultima lecție, am vorbit despre faptul că Pythagoras era o persoană versatilă. El a fost angajat în medicină și muzică, și astronomie, precum și a fost un atlet și a participat la Jocurile Olimpice. Și Pythagoras era un filozof. Multe dintre aforismele sale sunt relevante astăzi pentru noi. Acum veți efectua o lucrare independentă. Fiecare sarcină are mai multe opțiuni pentru răspunsuri, lângă care sunt înregistrate fragmente de aforisme Pytagora. Sarcina dvs. este de a decide toate sarcinile, faceți o declarație din fragmentele rezultate și să o scrieți în jos.