Derivată de prezentare a funcțiilor exponențiale și logaritmice. Diferențierea funcțiilor exponențiale și logaritmice
Algebra și începutul analizei matematice
Diferențierea funcțiilor exponențiale și logaritmice
Compilat de:
profesor de matematică, Instituția Municipală de Învățământ Școala Gimnazială Nr. 203 KhEC
Orașul Novosibirsk
Vidutova T.V.
Număr e. Funcţie y = e X, proprietățile sale, graficul, diferențierea
1. Să construim grafice pentru diverse baze: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (a doua opțiune) (prima opțiune) " width="640" Luați în considerare funcția exponențială y = a X, unde a este 1.
Vom construi pentru diverse baze A grafică:
1. y=2 X
3. y=10 X
2. y=3 X
(Opțiunea 2)
(1 opțiune)
1) Toate graficele trec prin punctul (0; 1);
2) Toate graficele au o asimptotă orizontală y = 0
la X ∞;
3) Toate sunt convex cu fața în jos;
4) Toate au tangente în toate punctele lor.
Să desenăm o tangentă la graficul funcției y=2 X la punct X= 0 si se masoara unghiul format de tangenta cu axa X
Folosind construcții precise de tangente la grafice, puteți observa că dacă baza A functie exponentiala y = a X baza crește treptat de la 2 la 10, apoi unghiul dintre tangenta la graficul funcției în punctul X= 0 și axa x crește treptat de la 35’ la 66,5’.
Prin urmare, există un motiv A, pentru care unghiul corespunzător este de 45’. Și acesta este sensul A se încheie între 2 şi 3, deoarece la A= 2 unghiul este de 35’, cu A= 3 este egal cu 48’.
În cursul analizei matematice se dovedește că acest fundament există; este de obicei notat cu litera e.
Hotărât că e – un număr irațional, adică reprezintă o fracție zecimală neperiodică infinită:
e = 2,7182818284590... ;
În practică se presupune de obicei că e ≈ 2,7.
Graficul funcției și proprietăți y = e X :
1) D(f) = (- ∞; + ∞);
3) crește;
4) nelimitat de sus, limitat de jos
5) nu are nici cel mai mare, nici cel mai mic
valori;
6) continuu;
7) E(f) = (0; + ∞);
8) convex în jos;
9) diferentiabil.
Funcţie y = e X numit exponent .
În cursul analizei matematice s-a dovedit că funcţia y = e X are o derivată în orice punct X :
(e X ) = e X
(e 5x )" = 5e 5x
(e x-3 )" = e x-3
(e -4x+1 )" = -4е -4x-1
Exemplul 1 . Desenați o tangentă la graficul funcției în punctul x=1.
2) f()=f(1)=e
4) y=e+e(x-1); y = ex
Răspuns:
Exemplul 2 .
X = 3.
Exemplul 3 .
Examinați funcția extremum
x=0 și x=-2
X= -2 – punct maxim
X= 0 – punct minim
Dacă baza unui logaritm este un număr e, atunci ei spun că este dat logaritmul natural . A fost introdusă o notație specială pentru logaritmii naturali ln (l – logaritm, n – natural).
Graficul și proprietățile funcției y = ln x
Proprietățile funcției y = lnx:
1) D(f) = (0; + ∞);
2) nu este nici par, nici impar;
3) crește cu (0; + ∞);
4) nelimitat;
5) nu are nici cele mai mari, nici cele mai mici valori;
6) continuu;
7) E(f) = (- ∞; + ∞);
8) vârf convex;
9) diferentiabil.
0 formula de diferențiere „width="640" este valabilă În cursul analizei matematice se demonstrează că pentru orice valoare x0 formula de diferentiere este valabila
Exemplul 4:
Calculați derivata unei funcții într-un punct X = -1.
De exemplu:
Resurse de internet:
- http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
- http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
- http://ru.wikipedia.org/wiki/
- http://900igr.net/prezentatsii
- http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html
Derivată de funcții exponențiale și logaritmice Lecția în clasa a 11-a „B”
profesor Kopova O.V.
Calculați derivată
oral1.
2.
3.
3x 2 2 x 5
e
2x
3e x
4.
ln x 3
5.
34 x
6.
5 x 2 sin x ln 5 x
în scris
X
1
y log 5 x 4
7
y x 2 log 1 3x 1
2
3 1
y ln 2 x
X X
Având în vedere funcția y 2 x e. Găsiți colț
coeficientul tangentei trasate la
punct cu abscisă x0 0 .
Scrieți o ecuație pentru tangenta la
graficul funcției f x x 5 ln x în punctul c
abscisă x0 1 . Sarcina B8 (nr. 8319)
definit pe intervalul 5; 10 . Găsiți golurile
functie de crestere. În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai lung
dintre ei. Sarcina B8 (nr. 9031)
Figura prezintă un grafic al derivatei funcției,
definit pe intervalul 11; 2. Găsiți un punct
extremul funcției pe segmentul 10; 5 . Sarcina B8 (nr. 8795)
Figura prezintă un grafic al derivatei funcției,
definit pe intervalul 9; 2. Găsiți cantitatea
puncte în care tangenta la graficul funcţiei
paralelă sau coincidentă cu dreapta y x 12.
Sarcina prototip B14
Aflați punctul minim al funcției y 4x 4 ln x 7 6 .7 6 x x 2
Găsiți cea mai mare valoare a funcției
y 3
Găsiți cea mai mică valoare a funcției
y e 2 x 6e x 3
pe segmentul 1; 2.
Să considerăm funcția exponențială y = a x, unde a > 1. Să construim grafice pentru diverse baze a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (prima opțiune) 3. y = 10 x (a doua opțiune) 1. Să construim grafice pentru diferite baze a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (opțiunea 1) 3. y = 10 x (opțiunea 2)"> 1. Să construim grafice pentru diferite baze a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (opțiunea 1) 3. y = 10 x (opțiunea 2)"> 1. Să construim grafice pentru diferite baze: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (opțiunea 1) ) 3 . y = 10 x (opțiunea 2)" title=" Luați în considerare funcția exponențială y = a x, unde a > 1. Să construim grafice pentru diferite baze a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (Opțiunea 1) 3. y = 10 x (Opțiunea 2)"> title="Să considerăm funcția exponențială y = a x, unde a > 1. Să construim grafice pentru diverse baze a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (prima opțiune) 3. y = 10 x (a doua opțiune)"> !}
Folosind construcții precise de tangente la grafice, se poate observa că dacă baza a a funcției exponențiale y = a x crește treptat baza de la 2 la 10, atunci unghiul dintre tangente la graficul funcției în punctul x = 0 și abscisa crește treptat de la 35 la 66, 5. Prin urmare, există o bază a pentru care unghiul corespunzător este 45. Și această valoare a lui a este între 2 și 3, deoarece pentru a = 2 unghiul este egal cu 35, pentru a = 3 este egal cu 48. În cursul analizei matematice s-a dovedit că această bază există, de obicei se notează cu litera e. S-a stabilit că e este un număr irațional, adică reprezintă o fracție zecimală neperiodică infinită: e = 2, ... ; În practică, de obicei se presupune că e este 2,7.
Graficul și proprietățile funcției y = e x: 1) D (f) = (- ; +); 2) nu este nici par, nici impar; 3) crește; 4) nelimitat de sus, limitat de jos 5) nu are nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare; 6) continuu; 7) E (f) = (0; +); 8) convex în jos; 9) diferentiabil. Funcția y = e x se numește exponent.
În cursul analizei matematice s-a dovedit că funcția y = e x are o derivată în orice punct x: (e x) = e x (e 5x)" = 5e 5x (e -4x+1)" = -4e -4x- 1 (e x -3)" = e x-3
3) -2 x) x = -2 – punctul maxim x = 0 – punctul minim Răspuns:
Proprietățile funcției y = ln x: 1) D (f) = (0; +); 2) nu este nici par, nici impar; 3) crește cu (0; +); 4) nelimitat; 5) nu are nici cele mai mari, nici cele mai mici valori; 6) continuu; 7) E (f) = (-; +); 8) vârf convex; 9) diferentiabil. Graficul și proprietățile funcției y = ln x
În cursul analizei matematice s-a dovedit că pentru orice valoare x>0 formula de diferențiere este valabilă 0 formula de diferențiere este valabilă"> 0 formula de diferențiere este valabilă"> 0 formula de diferențiere este valabilă" title="În cursul analizei matematice se demonstrează că pentru orice valoare x>0 formula de diferențiere este valabil">
title="În cursul analizei matematice s-a dovedit că pentru orice valoare x>0 formula de diferențiere este valabilă">
!} Resurse de internet: pokazatelnojj-funkcii.html pokazatelnojj-funkcii.html
