Care sunt căile de descompunere a multiplicatorilor. Cazuri complexe de descompunere a polinomilor pe multiplicatori

Aceasta este una dintre cele mai elementare modalități de a simplifica expresia. Pentru a aplica această metodă, să reamintim legea de distribuție a multiplicării în raport cu adăugarea (nu vă fie frică de aceste cuvinte, cu siguranță știți această lege, am putut să-i uit numele).

Legea spune: Pentru a multiplica cantitatea de doua numere la al treilea număr, trebuie să multiplicați fiecare aliniere la acest număr și rezultatele obținute sunt pliate, cu alte cuvinte.

De asemenea, puteți face operațiunea opusă, aceasta este exact această operație inversă a noastră și ne interesează. După cum se poate observa din eșantion, factorul general A poate fi scos din suport.

O astfel de operație se poate face atât cu variabile, cum ar fi, de exemplu, și cu numere :.

Da, acesta este un exemplu prea elementar, precum și exemplul anterior, cu descompunerea numărului, pentru că toată lumea știe că numerele și sunt împărțite în și dacă aveți o expresie mai complicată:

Cum să afli ce, de exemplu, este împărțită la număr, o face, cu un calculator, poate cineva să poată, și fără să fie slab? Și pentru aceasta există semne de divizibilitate, aceste semne merită să știți, vă vor ajuta să înțelegeți rapid dacă multiplicatorul general trebuie scos din suport.

Semne de divizibilitate

Ei nu sunt atât de greu de amintit, cel mai probabil majoritatea au fost familiarizați cu asta și ceva va fi o nouă descoperire utilă, mai mult în tabel:

Notă: Tabelul nu are un semn de divizibilitate cu 4. Dacă cele două ultimele figuri sunt împărțite în 4, atunci întregul număr este împărțit în 4.

Cum vă place semnul? Îl sfătuiesc să-și amintească!

Ei bine, să ne întoarcem la expresie, poate că ar fi suficient pentru un suport și suficient cu el? Nu, matematicienii sunt obișnuiți să simplifice, deci în întregime, având tot ce este scos!

Și așa, cu Igrek, totul este clar și ce cu o parte numerică a expresiei? Ambele numere sunt ciudate, deci nu va fi posibil să se împartă,

Puteți utiliza un semn de divizibilitate, cantitatea de numere și, din care numărul este egal și este împărțit în ea, înseamnă că este împărțit prin.

Știind-o, puteți împărți în siguranță în coloană, ca rezultat al diviziunii la primire (semne de divizibilitate au fost utile!). Astfel, numărul pe care îl putem scoate suportul, precum și ca un rezultat, avem:

Pentru a vă asigura că ați pus totul bine, puteți verifica descompunerea, înmulțirea!

De asemenea, multiplicatorul general poate fi scos în expresii de putere. Aici, de exemplu, a se vedea un multiplicator general?

Toți membrii acestei expresii au Xers - ajungem, toată lumea este împărțită în - luăm din nou, ne uităm la ceea ce sa întâmplat :.

2. Formule de multiplicare abreviată

Formulele multiplicării abreviate au fost deja menționate în teorie dacă nu vă amintiți ce este, atunci ar trebui să le reîmprospătați în memorie.

Ei bine, dacă vă considerați foarte inteligent și prea leneș pentru a citi un astfel de nor de informații, citiți mai departe, uitați-vă la formula și încercați imediat pentru exemple.

Esența acestei descompuneri este de a observa o anumită formulă în expresia existentă existentă în fața dvs., pentru ao aplica și a obține, astfel încât produsul de ceva și ceva, asta e tot descompunerea. Următoarele sunt formulele:

Și încercați acum, răspândiți următoarele expresii pe multiplicatori folosind formulele de mai sus:

Dar ce ar trebui să se întâmple:

Pe măsură ce ați reușit să observați, aceste formule sunt un mod foarte eficient de descompunere a multiplicatorilor, nu este întotdeauna potrivit, dar poate fi foarte util!

3. Metodă de grupare sau grupare

Și aici este un alt credincios:

deci, ce vei face cu asta? Se pare că este împărțită în ceva și ceva mai departe

Dar toate împreună nu împărți un lucru, bine nu există nici un factor generalCum nu căutați, deci plecați, fără a stabili pentru multiplicatori?

Aici este necesar să se arate un amestec, iar numele acestei mirosuri este o grupare!

Se aplică doar atunci când nu există divizori obișnuiți de la toți membrii. Pentru gruparea este necesară găsiți grupuri de termeni care au separatori obișnuiți Și să le rearanjați astfel încât unul și același multiplicator să poată fi obținuți din fiecare grup.

Nu este necesar să rearanjați în unele locuri, dar oferă claritate, pentru claritate că este posibil să luați niște părți ale expresiei în paranteze, nu este interzisă instalarea cât de mult doriți, principalul lucru nu este intimidat.

Nu este clar toate astea? Voi explica despre exemplul:

În polinom - am pus un membru - după un membru - ajungem

grupăm primii doi membri împreună într-un suport separat și, de asemenea, grupul al treilea și al patrulea membru, voi primi un semn "minus" pentru suport, obținem:

Și acum arătăm separat pe fiecare dintre cele două "grămadă", pentru care am rupt expresia cu paranteze.

Trucul este de a sparge astfel de bug-uri din care va fi posibilă efectuarea multiplicatorului maxim sau, ca și în acest exemplu, să încercați membrii grupului, astfel încât după efectuarea facilității multiplicatorilor pentru un suport, am rămas aceleași expresii.

Din ambele paranteze, efectuăm multiplicatori generali ai membrilor din prima suport, iar de la al doilea, primim:

Dar aceasta nu este o descompunere!

P.măgar descompunerea ar trebui să rămână doar multiplicareaAtâta timp cât avem un polinom, doar împărțit în două părți ...

DAR! Acest polinom are un multiplicator general. aceasta

pentru suport și obțineți o lucrare finală

Bingo! După cum puteți vedea, există deja o bucată și din paranteze, nici adăugarea, nici scăderea, descompunerea este finalizată, deoarece Nu avem nimic mai mult pentru paranteze.

Poate părea miracol că, după ce am făcut multiplicatori pentru paranteze, am lăsat aceleași expresii în paranteze, care din nou am făcut în spatele brațului.

Și nu este deloc un miracol, faptul că exemplele din manuale și examenul din EE sunt făcute în mod specific astfel încât cele mai multe expresii în sarcinile de simplificare sau factorizare Cu abordarea corectă, este ușor simplificată și se prăbușește brusc ca o umbrelă când apăsați butonul, aici și căutați același buton din fiecare expresie.

Ceva am distras, cum despre noi cu o simplificare? Polinomul complicat a făcut o formă mai simplă :.

Sunt de acord, nu atât de greoaie, cum a fost?

4. Izolarea unui pătrat complet.

Uneori este necesar să se transforme polinomul existent de a utiliza formulele multiplicării abreviate, reprezentând unul dintre termenii săi sub forma unei sume sau diferența dintre doi membri.

În acest caz, trebuie să o faceți, să învățați din exemplu:

Polinomul în acest formular nu poate fi descompus folosind formulele de multiplicare abreviată, așa că trebuie să fie convertit. Poate că, la început, nu va fi evident pentru ceea ce un membru să spargă, dar în timp veți învăța să vedeți imediat formulele multiplicării abreviate, chiar dacă acestea nu sunt prezente în întregime, și vor fi destul de repede, ceea ce nu este suficient pentru a fi complet în formula completă, dar pentru acum - învăța, student sau mai degrabă un elev școlar.

Pentru formula completă a pieței diferenței aici. Imaginați-vă cel de-al treilea membru ca o diferență, obținem: la expresia în paranteze puteți aplica formula pătratului diferenței (să nu fie confundată cu diferența de pătrate !!!)Noi:, la această expresie, puteți aplica formula diferenței pătrate (să nu fie confundată cu pătratul diferenței!), Eu supun, cum, primim :.

Expresia nu este întotdeauna derulată asupra factorilor pare mai ușor și mai puțin decât înainte de descompunere, dar în această formă devine mai mobilă, în sensul că nu puteți aburi cu privire la schimbarea semnelor și a altor nonsens matematice. Ei bine, aici pentru o decizie independentă, următoarele expresii trebuie să fie descompuse pe multiplicatori.

Exemple:

Răspunsuri:

5. Descompunerea pătratului trei Decar pe multiplicatori

Cu privire la descompunerea unui pătrat trei descompuneri asupra factorilor, vezi mai departe în exemplele de descompunere.

Exemple de 5 metode de descompunere a polinomului la multiplicatori

1. Scoaterea unui factor comun pentru paranteze. Exemple.

Vă amintiți ce este o lege de distribuție? Aceasta este o regulă:

Exemplu:

Distribuiți polinomii la multiplicatori.

Decizie:

Alt exemplu:

Răspândit pe multiplicatori.

Decizie:

Dacă termenul este complet încheiat în spatele parantezelor, unitatea rămâne în paranteze!

2. Formule de multiplicare abreviată. Exemple.

Cel mai adesea, folosim diferența de formule de pătrate, diferența de cuburi și cantitatea de cuburi. Îți amintești aceste formule? Dacă nu, repetați urgent subiectul!

Exemplu:

Explorați expresia pe multiplicatori.

Decizie:

În această expresie, este ușor să știți diferența de cuburi:

Exemplu:

Decizie:

3. Metoda de grupare. Exemple

Uneori se poate schimba în locuri astfel încât același multiplicator să poată fi alocat de la fiecare pereche de termeni vecini. Acest factor comun poate fi atins de suport și polinomul inițial se va transforma într-o lucrare.

Exemplu:

Răspândiți multiplu-multi-multi-multi-multi-materiale.

Decizie:

Groind componentele după cum urmează:
.

În primul grup, voi aduce un multiplicator general pentru suport și în al doilea -:
.

Acum, fabrica generală poate fi depusă și pentru bretele:
.

4. Metoda de izolare înaltă. Exemple.

Dacă polinomul poate fi reprezentat sub formă de pătrate de pătrate de două expresii, va rămâne doar pentru a aplica formula multiplicării abreviare (diferența de pătrate).

Exemplu:

Răspândiți multiplu-multi-multi-multi-multi-materiale.

Decizie:Exemplu:

\\ Începe (matrice) (* (35) (l))
((x) ^ (2)) + 6 (x) -7 \u003d \\ subbrace (((x) ^ (2)) + 2 \\ cdot 3 \\ cdot x + 9) _ (pătrat \\ 1 \\ ((stânga (X + 3 \\ dreapta)) ^ (2))) - 9-7 \u003d ((în stânga (x + 3 \\ dreapta)) ^ (2)) - 16 \u003d \\\\
\u003d \\ stânga (x + 3 + 4 \\ dreapta) \\ stânga (x + 3-4 \\ dreapta) \u003d \\ stânga (x + 7 \\ dreapta) \\ stânga (x-1 \\ dreapta) \\\\
\\ Capăt (matrice)

Răspândiți multiplu-multi-multi-multi-multi-materiale.

Decizie:

\\ Începe (matrice) (* (35) (l))
((x) ^ (4)) - 4 ((x) ^ (2)) - 1 \u003d \\ subbrace (((x) ^ (4)) - 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT ((X) ^ (2) ) +4) _ (Square \\ Diferența ((stânga ((x) ^ (2)) - 2 \\ dreapta)) ^ (2))) - 4-1 \u003d (((((x) ^ (2)) - 2 \\ dreapta)) ^ (2)) - 5 \u003d \\\\
\u003d \\ stânga ((x) ^ (2)) - 2+ \\ sqrt (5) \\ dreapta) \\ stânga ((x) ^ (2)) - 2- \\ sqrt (5) \\ dreapta) \\\\
\\ Capăt (matrice)

5. Descompunerea pătratului trei Decar pe multiplicatori. Exemplu.

Pătrat Trei-Melen este o vedere polinomială în care necunoscutul este un număr și.

Valorile variabilei care transformă pătratul cu trei tăietori la zero sunt numite rădăcini de treifoturi. În consecință, rădăcinile celor trei fotografii sunt rădăcinile ecuației pătrate.

Teorema.

Exemplu:

Răspândiți-vă pe minimă înțepensie.

În primul rând, rezolvăm o ecuație pătrată: acum puteți înregistra descompunerea acestui pătrat trei descompuneri asupra factorilor:

Acum, opinia ta ...

Am pictat în detaliu cum și să punem polinomul la multiplicatori.

Am condus o mulțime de exemple cum să o fac în practică, arătate spre capcane, a dat soluții ...

Ce zici?

Cum vă place acest articol? Folosești aceste tehnici? Înțelegi esența lor?

Scrieți în comentarii și ... pregătiți-vă pentru examen!

Până acum, el este cel mai important în viața ta.

Ce trebuie să faceți dacă în procesul de rezolvare a problemei de la examen sau la examenul de admitere în matematică ați primit un polinom, care nu este posibil să se descompună multiplicatorii cu metodele standard pe care le-ați învățat la școală? În acest articol, un tutore de matematică va spune despre un mod eficient, studiul căruia este dincolo de programul școlar, dar cu ajutorul căruia polinomul nu este mult dificil de descompune polinomul. Luați acest articol la sfârșit și uitați-vă la tutorialul video aplicat. Cunoașterea pe care o veți primi vă va ajuta la examen.

Descompunerea metodelor de polinom la diviziune

În cazul în care ați primit un polinom mai mult decât gradul al doilea și ar putea ghici valoarea variabilei în care acest polinom devine zero (de exemplu, această valoare este egală cu), știți! Acest polinom poate fi împărțit fără un reziduu.

De exemplu, este ușor să vedem că apelurile polinomiale de gradul II la zero. Aceasta înseamnă că poate fi împărțită în reziduu, după obținerea unui polinom al gradului al treilea (mai puțin pe unitate). Asta este, imaginați-vă:

unde A., B., C. și D. - Unele numere. Recunoașterea parantezelor:

Deoarece coeficienții cu aceleași grade ar trebui să fie aceleași, obținem:

Deci, am:

Dați-i drumul. Este suficient să rezolvăm câteva întregi mici, care văd că polinomul gradului al treilea este din nou împărțit la. Aceasta obține un polinom al doilea grad (mai puțin pe unitate). Apoi mergeți la o intrare nouă:

unde E., F. și G. - Unele numere. Ne dezvăluim paranteze și vin la următoarea expresie:

Din nou din starea egalității coeficienților cu aceleași grade, obținem:

Apoi primim:

Adică, polinomul inițial poate fi descompus asupra factorilor după cum urmează:

În principiu, dacă se dorește, utilizând formula, diferența de pătrate, rezultatul poate fi, de asemenea, prezentat după cum urmează:

Aceasta este o modalitate atât de simplă și eficientă de a descompune polinomii asupra multiplicatorilor. Amintiți-vă, el poate veni la îndemână la examen sau olimpiadă în matematică. Verificați dacă ați învățat să utilizați această metodă. Încercați să rezolvați singură sarcina următoare.

Răspândiți polinomul la multiplicatori:

Scrieți răspunsurile dvs. în comentarii.

Material pregătit, Sergey Valerievich

• 1. Tratamentul unui factor comun pentru paranteze și o metodă de grupare. În unele cazuri, este recomandabil să se înlocuiască unii membri pentru suma (diferența) a acestor termeni sau să introducă membrii care distrug reciproc.
• 2. Utilizarea formulelor de multiplicare abreviată.Uneori trebuie să îndure multiplicatorii pentru paranteze, membrii grupului, alocați pătrat complet și numai atunci cantitatea de cuburi, diferența de pătrate sau diferența de cuburi care reprezintă sub forma unei lucrări.
• 3. Folosind teorema cositului și a metodei coeficienților incerți.

Exemplu . Expedierea pe multiplicatori:

P 3 (x) \u003d x 3 + 4x 2 + 5x + 2;

Deoarece P3 (-1) \u003d 0, atunci polinomul P3 (x) este împărțit la x + 1. Metoda de coeficienți nedeterminați va găsi privată din diviziunea polinomului

P 3 (x) \u003d x 3 + 4x 2 + 5x + 2 per bounce x + 1.

Lăsați consumul privat un polinom X2 +. Deoarece x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) · (x 2 +) \u003d

X 3 + (+ 1) · x 2 + () · x +, primim sistemul:

De unde. În consecință, p 3 (x) \u003d (x + 1) · (x 2 + 3x + 2).

Deoarece x 2 + 3x + 2 \u003d x2 + x + 2x + 2 \u003d x · (x + 1) + (x + 1) \u003d (x + 2) · (x + 2), apoi p 3 (x ) \u003d (x + 1) 2 · (x + 2).

4. Utilizarea teoremei noroiului și divizării "etapei".

Exemplu . Descompune multiplicatorii

P 4 (x) \u003d 5 · x 4 + 9 · x 3 -2 · x 2 -4 · x -8.

Decizie . Deoarece p4 (1) \u003d 5 + 9-2-4-8 \u003d 0, atunci p4 (x) este împărțit în (X-1). Diviziunea "Coloana" Vom găsi privat

Prin urmare,

P 4 (x) \u003d (x-) · (5 · x 3 + 14x 2 + 12x + 8) \u003d

\u003d (x - 1) · p 3 (x).

Deoarece P3 (-2) \u003d -40 + 56-24 + 8 \u003d 0, atunci polinomul P3 (X) \u003d 5,2 x 3 + 14X 2 + 12X + 8 este împărțit la x + 2.

Găsiți o diviziune privată a "Etapa":

Prin urmare,

P 3 (x) \u003d (x + 2) · (5 · x 2 + 4x + 4).

Deoarece discriminanța de pătrat trei scade 5 · x 2 + 4x + 4 este d \u003d -24<0, то этот

pătrat de trei ori pe multiplicatori liniari nu se descompune.

Astfel, p4 (x) \u003d (x - 1) · (x + 2) · (5 · x 2 + 4x + 4)

5. Utilizarea teoremei Mouture și a schemei Gorner. Metodele private obținute prin aceste metode pot fi dispersate pe multiplicatori la oricare alta sau în același mod.

Exemplu . Expedierea pe multiplicatori:

P3 (x) \u003d 2,2 x 3 -5 · x 2 -196 · x + 99;

Decizie .

Dacă acest polinom are rădăcini raționale, atunci ele pot fi numai printre numerele 1/2, 1, 3/2, 3, 9/2, 11/2, 9, 33, 99, 11.

Pentru a găsi rădăcina acestui polinom, vom folosi următoarea declarație:

Dacă la capetele unui segment, valoarea polinomului are semne diferite, apoi pe interval (A; b) Există cel puțin o singură rădăcină a acestui polinom.

Pentru această polinomică P3 (0) \u003d 99, p3 (1) \u003d - 100. Prin urmare, există cel puțin o rădăcină a acestui polinom pe intervalul (0; 1). Prin urmare, printre cele scrise peste 24 de numere, este recomandabil să verificați acele numere care aparțin intervalului

(0; 1). Dintre aceste numere, numai numărul aparține acestui interval.

Valoarea P3 (X) cu X \u003d 1/2 poate fi găsită nu numai prin substituție directă, dar și în alte moduri, de exemplu, conform schemei montane, deoarece P () este egală cu reziduul din diviziune a polinomului P (x) până la x-. Mai mult, în multe exemple, această metodă este preferabilă, deoarece atât coeficienții să fie localizați în același timp.

Potrivit schemei montane pentru acest exemplu, obținem:

Deoarece P3 (1/2) \u003d 0, X \u003d 1/2 este rădăcina polinomului P3 (X) și polinomul P3 (x) este împărțit în X-1/2, adică 2 · x 3 -5 · x 2 -196 · x + 99 \u003d (X-1/2) · (2, x 2 -4 · x-198).

De la 2 · x 2 -4 · x-198 \u003d 2 · (x 2 -2 · x + 1-100) \u003d 2 · ((x-1) 2 -10 2) \u003d 2 · (x + 9) · ( X-11) Apoi

P3 (x) \u003d 2 · x 3 -5 · x2 -196 · x + 99 \u003d 2 · (x-1/2) · (x + 9) · (X-11).

Conceptul inelului inelului

Lasa LAși L. Inele comutative.

Definiție 1. : Inel LA numită expansiune simplă a inelelor K. Folosind elemente x. si scrie:

L \u003d k [x]Dacă condițiile sunt îndeplinite:

inele de pagină

Set de bază K [x]denotă SOMUBS L, K [X].

Definiția 2. : Extindere simplă L \u003d k [x] inele K. prin intermediul x. - extensie simplă a inelului transcendent K. prin intermediul x.Dacă condițiile sunt îndeplinite:

inele de pagină

Daca atunci

Definiția 3. : Element x. numit transcendent peste inel K.Dacă condiția este satisfăcută: dacă, atunci

Sentință.. Lasa K [x] Expansiune transcendentală simplă. Dacă și, atunci

Dovezi . Cu condiție, a doua expresie va fi scăzută din prima expresie, obținem: de la elementul x. Transcendentien nad. K., apoi de la (3) ajungem:.

Ieșire. Orice element al unei expansiuni transcendentale simple a inelului de comutare zero inegal K. Folosind un element x. Permite singura reprezentare sub forma unei combinații liniare de grade non-negative ale elementului x.

Definiție: Inel de polinom de la un necunoscut x. peste, zero inegal, inel K. Se numește o expansiune transcendentală simplă a unui inel comutativ non-zero K. Folosind un element x..

Teorema . Pentru orice inel comutativ zero K, Există extensia simplă transcendentală utilizând un element. x, k [x]

Operațiuni privind polinomii

Fie K [x] un inel de polinomi, nu inel comutativ zero K.

Definiția 1: Polinoamele F și G aparținând lui K [X] sunt numite egale și scrie f \u003d g dacă toate plantele din polinomul f și g sunt egale unul cu celălalt, în picioare la unele grade de necunoscut x.

Corolar . În înregistrarea polinomului, ordinea alinierii nu este semnificativă. Atribuirea și excluderea din înregistrarea polinomului, componenta cu un coeficient zero nu va schimba polinomul.

Definiția 2. Cantitatea de polinoame F și G este numită polinomică F + G, determinată de egalitate:

Definiția 3. : - Produsul polinomilor este notat, care este determinat de regula:

Gradul de polinoame

Lăsați inelul comutativ. K [x] inel de polinoame peste câmp K. : ,

Definiție : Lăsați - orice polinom. Dacă, întregul număr ne-negativ N este gradul de polinoame f.. În același timp scriu n \u003d deg f..

Numerele sunt coeficienții polinomului în cazul în care - coeficientul de rang înalt.

În cazul în care un, f. - normalizate. Gradul de polinom zero este incert.

Proprietățile gradului de polinom

K. - Zona integrității

Dovezi :

Așa cum ar fi. LA - Zona de integritate.

Corolar 1. : k [x] peste câmp LA (Integritatea) la rândul său este o zonă de integritate. Pentru orice zonă de integritate există un scop special.

Corolarul 2. : Pentru orice k [x] peste zona de integritate LA Există un câmp privat.

Divizia de a sări și rădăcini de polinom.

Lăsați elementul să fie numit o valoare polinomială f. Din argument.

Teorema Bezu. : Pentru orice polinom și element, există un element :.

Dovezi : Lăsați - orice polinom

Corolar : Reziduul din diviziunea polinomului este egal.

Definiție : Elementul se numește rădăcina polinomului f., în cazul în care un.

Teorema : Lăsați elementul să fie rădăcina f. Apoi și numai atunci când divizele f.

Dovezi:

Nevoie. Lăsați, din teoremă, rezultă din teorema că, din proprietățile divizibilității, rezultă că

Suficienta. Lasă asta. Ch.t.d.

Numărul maxim de rădăcini ale polinomului asupra zonei de integritate.

Teorema : Fie K zona de integritate. Numărul de rădăcini de polinom f. În zona integrității k. Nu mai mult grad n. polinom.ro f..

Dovezi :

Inducerea prin gradul de polinom. Lăsați polinomul f. Are rădăcini zero, iar numărul lor nu depășește.

Lăsați teorema să fie dovedită pentru oricine.

Arătăm că, de la alineatul (2), este urmat adevărul aprobării teoremei pentru polinoame.

Fie ca două cazuri să fie posibile:

• A) polinomul f. Prin urmare, nu are rădăcini, declarația teoremei este adevărată.
• B) polinomial f. are cel puțin rădăcina, pe teorema fără mouture, deoarece k. - zona de integritate, apoi de proprietatea 3 (grad de polinom), rezultă că

La fel de, k - Zona de integritate.

Astfel, toate rădăcinile polinomului sunt rădăcina polinomului g. Deoarece, în ipoteza de inducție, numărul tuturor rădăcinilor polinomiale g. nu mai mult n., prin urmare, f. nu mai are ( n +.1) rădăcină.

Corolar : Lasa k. - zona de integritate, în cazul în care numărul de rădăcini ale polinomului f. Mai multe numere n,unde, asta f. - Zero polinomial.

Egalitatea algebrică și funcțională a polinomilor

Să fie un fel de polinom, definește o anumită funcție

În general, orice polinom poate defini o funcție.

Teorema : Lasa k.- Suprafața integrității este astfel pentru egalitatea polinomilor și egalității (egalitatea identică (egalitate)) definită și.

Dovezi :

Nevoie. Fie ca ambele - zona de integritate ,.

Lasa, asta este

Suficienta. Să presupunem asta. Ia în considerare pentru că k. Zona de integritate, apoi polinomială h. are numărul de rădăcini, de la anchetă rezultă că h. Zero polinomial. Deci, Bt.t.

Teorema de discuție cu reziduul

Definiție : Ringul Euclidian K. numit o astfel de zonă de integritate k,că funcția determină funcția h,valorile neagre negative adiacente și satisface condiția

În procesul de constatare a elementelor pentru aceste elemente se numește diviziune cu reziduul, este un incomplet privat, - echilibrul diviziei.

Lăsați - inelul polinomilor peste câmp.

Teorema (pe diviziune cu reziduul) : Lăsați - inelul polinomilor peste câmp și perechea unică de polinomi este un polinom, astfel încât condiția este satisfăcută sau. sau

Dovezi : Existența unui polinom. Lăsați, asta este. Teorema este valabilă, evident, dacă zero sau, din moment ce sau. Doveim teorema când. Dovada prin inducerea gradului de polinoame, presupune că teorema este dovedită (cu excepția unicității), pentru polinom. Arătăm că în acest caz se face aprobarea teoremei. Într-adevăr, lăsați - cel mai mare coeficient al polinomului, prin urmare, polinomul va avea același coeficient superior și gradul de grad care are un polinom, prin urmare polinomul va avea sau este un polinom zero. Dacă, atunci, atunci când ajungem. Dacă, în ipoteză inductivă, adică atunci când ajungem sau. Existența polinomului este dovedită.

Arătăm că o astfel de pereche de polinomi este singura.

Fie ca exista, sa scape :. Două cazuri sunt posibile sau.

Pe de altă parte. Cu condiție sau sau.

În cazul în care un. Contradicția este obținută, deci. Unicitatea este dovedită.

Corolar 1. : Inelul polinomilor peste câmp, este spațiul euclidian.

Corolarul 2. : Inelul de polinomi peste, este inelul idealurilor principale (orice ideal are un generator unic)

Orice inel Euclidian Factorial: inelul polinomului peste, se numește inel factorial.

Algoritm euclida. Nod de două polinomii

Lăsați inelul polinomilor de mai sus.

Definiție 1. : Deși, dacă există un polinom, reziduul din diviziune este zero, cel numit divizorul polinomial și este indicat: ().

Definiția 2. : Cel mai mare divizor general al polinomilor se numește polinom:

și (- un divizor comun și).

(pe orice separator comun și).

Cel mai mare divizor general al polinomilor și este notat de nod (;). Divistrele comune ale oricăror polinomiale includ toate polinomii de grad zero de la, care este, fără câmp zero. Se poate dovedi că două date ale polinomului și nu au divizori obișnuiți care nu sunt polinoame zero.

Definiție : Dacă polinomii și nu au divizori obișnuiți de grad zero non-numeroase, atunci ele sunt numite reciproc simple.

Lemma. : Dacă polinomii sunt deasupra câmpului, există un loc, cel mai mare divizor comun al polinomilor și nodului este asociat. ~

Înregistrarea ( a ~ B.) înseamnă că (e) prin definiție.

Dovezi : Lasa eu

Și, prin urmare, rezultă că vom învăța asta - divizorul general al polinomului și.

divizor general și obțineți

Algoritmul Euclida.

Descompunerea polinomilor asupra multiplicatorilor este o transformare identică, ca rezultat al căruia polinomul este transformat într-un produs al mai multor factori - polinomii sau o singură aripă.

Există mai multe modalități de a descompune polinomii asupra multiplicatorilor.

Metoda 1. Deplasarea unui factor comun pentru suport.

Această transformare se bazează pe legea de distribuție a multiplicării: AC + BC \u003d C (A + B). Esența convertirii este de a aloca în cele două componente luate în considerare factorul general și "out" pentru paranteze.

Vom descompune polinomii polinomului 28x 3 - 35x 4.

Decizie.

1. Găsiți elemente 28x 3 și 35x 4 divizor comun. Pentru 28 și 35 va fi 7; Pentru x 3 și x 4 - x 3. Cu alte cuvinte, multiplicatorul nostru total de 7x 3.

2. Fiecare dintre elementele reprezintă lucrarea multiplicatorilor, dintre care unul
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Scoatem un multiplicator general pentru paranteze
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

Metodation 2. Utilizarea formulelor de multiplicare abreviată. "Mastery" prin posesia acestei metode este de a observa una dintre formulele de multiplicare abreviată.

Răspândiți pe multiplicatori ai polinomilor X 6 - 1.

Decizie.

1. La această expresie, putem aplica formula pentru diferența în pătrate. Pentru a face acest lucru, imaginați-vă X6 ca (x 3) 2 și 1 ca 1 2, adică 1. Expresia va lua forma:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. La expresia rezultată, putem aplica formula cantității și diferenței de cuburi:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Asa de,
x 6 - 1 \u003d (x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Gruparea. Metoda de grupare este de a combina componentele polinomului astfel încât să fie ușor de efectuat acțiuni (adăugare, scădere, multiplicator total).

Vom descompune polinomii de x 3 - 3x 2 + 5x - 15 pe multiplicatori.

Decizie.

1. Groind componentele în acest fel: 1 cu al doilea, și al treilea cu al patrulea
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. În expresia rezultată, vom efectua multiplicatori generali pentru paranteze: X2 în primul caz și 5 - în al doilea.
(x 3 - 3x2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (X-3).

3. Scoatem factorul general X - 3 pentru paranteze și obținem:
x2 (X - 3) + 5 (X-3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Asa de,
x3 - 3 x 2 + 5X - 15 \u003d (x 3-3x2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5).

Fixați materialul.

Dispecerarea polinomului A 2 - 7ab + 12b 2 pe multiplicatori.

Decizie.

1. Imaginați-vă că 7Ab 7Ab ca suma de 3ab + 4ab. Expresia va lua forma:
a 2 - (3AB + 4AB) + 12B2.

Vom dezvălui parantezele și vom obține:
a 2 - 3AB - 4AB + 12B 2.

2. Groind componentele polinomului în acest fel: 1 cu al doilea și al treilea cu al patrulea. Primim:
(A 2 - 3AB) - (4AB - 12B 2).

3. Voi aduce multiplicatori generali pentru paranteze:
(A 2 - 3AB) - (4AB - 12B2) \u003d A (A-3B) - 4B (A - 3B).

4. Voi aduce un multiplicator general pentru paranteze (A - 3B):
a (A-3B) - 4B (A - 3B) \u003d (A - 3 B) ∙ (A - 4B).

Asa de,
a 2 - 7AB + 12B 2 \u003d
\u003d A 2 - (3AB + 4AB) + 12B 2 \u003d
\u003d A 2 - 3AB - 4AB + 12B 2 \u003d
\u003d (A 2 - 3AB) - (4AB - 12B 2) \u003d
\u003d A (A - 3B) - 4B (A - 3B) \u003d
\u003d (A - 3 b) ∙ (A - 4B).

site-ul, cu copierea completă sau parțială a referinței materiale la sursa originală este necesară.

Orice grad de polinom algebric N poate fi reprezentat ca un produs al factorului n-liniar al speciilor și un număr constant, care este coeficienții polinomului la etapa superioară X, adică.

unde - sunt rădăcinile polinomului.

Rădăcina apelului polinomului Numărul (real sau complex), care transformă polinomul la zero. Rădăcinile polinomului pot fi atât rădăcini valide, cât și rădăcini complexe-conjugate, atunci polinomul poate fi prezentat în forma următoare:

Luați în considerare metodele de descompunere a polinomilor de gradul "N" în activitatea multiplicatorilor din primul și al doilea grad.

Metoda numărul 1.Metodă de coeficienți incerte.

Coeficienții unei astfel de expresii convertite sunt determinate de metoda de coeficienți incerți. Esența metodei este redusă la faptul că există o formă prestabilită de multiplicatori la care se descompune acest polinom. Atunci când se utilizează metoda de coeficienți incerți, următoarele afirmații sunt valide:

P.1. Două polinoame sunt identice egale în cazul în care coeficienții lor sunt egali cu aceleași grade x.

P. Orice polinom al gradului al treilea se descompune în produsul multiplicatorilor liniari și pătrați.

P.3. Orice polinom al gradului al patrulea se descompune în activitatea a două polinoame ale gradului al doilea.

Exemplul 1.1. Este necesar să se descompună o expresie cubică asupra multiplicatorilor:

P.1. În conformitate cu declarațiile adoptate pentru o expresie cubică, egalitatea identică este corectă:

P. Partea dreaptă a expresiei poate fi prezentată sub forma componentelor după cum urmează:

P.3. Compilam un sistem de ecuații din starea egalității coeficienților la gradele corespunzătoare ale expresiei cubice.

Acest sistem de ecuații poate fi rezolvat prin selectarea coeficienților (dacă există o problemă academică simplă) sau metode de rezolvare a sistemelor neliniare de ecuații. Rezolvarea acestui sistem de ecuații, obținem că coeficienții incertici sunt determinați după cum urmează:

Astfel, expresia inițială este refuzată multiplicatorilor din următoarea formă:

Această metodă poate fi utilizată atât cu calcule analitice, cât și cu programarea calculatorului pentru automatizarea procesului de căutare a rădăcinii a ecuației.

Metoda numărul 2.Formulele Vieta.

Formulele VIETA sunt formule care leagă coeficienții ecuațiilor algebrice ale gradului N și rădăcinile sale. Aceste formule au fost prezentate implicit în lucrările de matematică franceză Francois Vieta (1540 - 1603). Datorită faptului că Viet a considerat doar rădăcini reale pozitive, așa că nu avea ocazia să scrie aceste formule în formă generală explicită.

Pentru orice grad polinom algebric N, care are rădăcini N-valide,

fair următoarele relații care leagă rădăcinile polinomului cu coeficienții săi:

Formulele lui Vieta sunt utilizate convenabil pentru a verifica corectitudinea rădăcinilor polinomiale, precum și pentru a compila un polinom pe rădăcinile specificate.

Exemplul 2.1. Luați în considerare modul în care rădăcinile polinomului sunt legate de coeficienții săi pe exemplul unei ecuații cubice

În conformitate cu formulele Vieta, relația rădăcinilor polinomului cu coeficienții săi este următoarea formă:

Relații similare pot fi făcute pentru orice grad polinomic n.

Metoda numărul 3. Descompunerea ecuației pătrate pentru factori cu rădăcini raționale

Din ultima formulă Vieta rezultă că rădăcinile polinomiale sunt divizori ai elementului său liber și coeficientul mai vechi. În acest sens, dacă în starea problemei stabilește un grad de polinom n cu coeficienți întregi

acest polinom are o rădăcină rațională (fracție inconspicuoasă), unde p este un divizor gratuit de membru, iar Q este un dealer al coeficientului mai vechi. În acest caz, polinomul gradului N poate fi reprezentat în forma (teorema movrei):

Polinomul, gradul căruia este de 1 mai puțin decât gradul de polinom inițial, este determinat de împărțirea unui polinom al gradului n bounce, de exemplu, folosind o schemă montană sau cea mai ușoară cale de a fi o "coloană".

Exemplul 3.1. Este necesar să se descompună polinomul la multiplicatori

P.1. Datorită faptului că coeficientul cu condițiile superioare este egal cu unul, rădăcinile raționale ale acestui polinom sunt divizori ai unui membru liber al expresiei, adică. pot fi numere întregi . Înlocuim fiecare dintre numerele prezentate în expresia inițială, constatăm că rădăcina reprezentată de polinom este egală.

Efectuați divizarea polinomului original pentru a sări:

Folosim schema de gorner

Coeficienții polinomi sursă sunt afișați în linia de sus, iar prima celulă a liniei superioare rămâne goală.

În prima celulă a celei de-a doua linii, rădăcina găsită este înregistrată (în exemplul luată în considerare numărul "2"), iar următoarele valori din celule sunt calculate într-un anumit mod și sunt coeficienții Polinomul, care va duce la împărțirea polinomului pe bouncer. Coeficienții necunoscuți sunt definiți după cum urmează:

În cea de-a doua celulă, a doua linie este transferată din celula corespunzătoare a primei linii (în exemplul exemplului, se înregistrează numărul "1").

A treia linie a celei de-a doua linii înregistrează valoarea primei celule pe cea de-a doua celulă a celei de-a doua linii plus valoarea din cea de-a treia celulă a primei linii (în exemplul exemplului 2 ∙ 1 -5 \u003d -3).

În cea de-a patra celulă a celei de-a doua linii, valoarea primei celule este scrisă în cea de-a treia celulă a celei de-a doua linii plus valoarea din cea de-a patra celulă a primei linii (în exemplul 2 ∙ (-3) +7 \u003d 1 ).

Astfel, polinomul inițial este refuzat în multiplicatori:

Metoda numărul 4.Folosind formulele multiplicării abreviate

Formulele de multiplicare abreviată sunt utilizate pentru simplificarea calculelor, precum și descompunerea polinomilor asupra multiplicatorilor. Formulele de multiplicare reduse fac posibilă simplificarea soluției de sarcini individuale.

Formulele utilizate pentru a descompune multiplicatorii