Figura prezintă graficele y kx b. Funcție liniară

Atribuții pentru proprietăți și grafice funcţie pătratică cauzează, după cum arată practica, dificultăți serioase. Acest lucru este destul de ciudat, deoarece funcția pătratică este trecută în clasa a VIII-a, iar apoi întregul prim trimestru al clasei a IX-a este „forțat să iasă” proprietățile parabolei și graficele acesteia sunt reprezentate pentru diferiți parametri.

Acest lucru se datorează faptului că forțând elevii să construiască parabole, practic nu dedică timp „citirii” graficelor, adică nu exersează înțelegerea informațiilor obținute din imagine. Aparent, se presupune că, după ce a construit o duzină de grafice, un student inteligent va descoperi însuși și va formula relația dintre coeficienții din formulă și aspectul graficului. În practică, acest lucru nu funcționează. Pentru o astfel de generalizare este necesară o experiență serioasă de mini-cercetare matematică, pe care, desigur, majoritatea elevilor de clasa a IX-a nu o au. Între timp, GIA își propune să se determine semnele coeficienților tocmai conform orarului.

Nu vom cere imposibilul de la școlari și vom oferi pur și simplu unul dintre algoritmii pentru rezolvarea unor astfel de probleme.

Deci, o funcție a formei y = ax 2 + bx + c se numește pătratic, graficul său este o parabolă. După cum sugerează și numele, termenul principal este toporul 2... Acesta este A nu trebuie să fie zero, alți coeficienți ( bși Cu) poate fi egal cu zero.

Să vedem cum semnele coeficienților săi afectează aspectul unei parabole.

Cea mai simplă relație pentru coeficient A... Majoritatea școlarilor răspund cu încredere: „dacă A> 0, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

V în acest caz A = 0,5

Și acum pentru A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

În acest caz A = - 0,5

Influența coeficientului Cu este, de asemenea, destul de ușor de urmărit. Să ne imaginăm că vrem să găsim valoarea funcției la punctul X= 0. Înlocuiește zero în formula:

y = A 0 2 + b 0 + c = c... Se pare că y = c... Acesta este Cu este ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa y. De obicei, acest punct este ușor de găsit pe o diagramă. Și stabiliți dacă se află peste zero sau mai jos. Acesta este Cu> 0 sau Cu < 0.

Cu > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Cu < 0

y = x 2 + 4x - 3

În consecință, dacă Cu= 0, atunci parabola va trece neapărat prin origine:

y = x 2 + 4x

Mai dificil cu parametrul b... Punctul în care îl vom găsi depinde nu numai de b dar si din A... Acesta este vârful parabolei. Abscisa sa (coordonată de-a lungul axei X) se găsește prin formula x în = - b / (2a)... În acest fel, b = - 2х в... Adică, procedăm astfel: pe diagramă găsim vârful parabolei, determinăm semnul abscisei sale, adică ne uităm în dreapta lui zero ( x in> 0) sau la stânga ( x in < 0) она лежит.

Cu toate acestea, acesta nu este tot. Trebuie să fim atenți și la semnul coeficientului A... Adică pentru a vedea unde sunt îndreptate ramurile parabolei. Și numai după aceea, după formula b = - 2х в identificați semnul b.

Să luăm în considerare un exemplu:

Ramurile sunt îndreptate în sus, ceea ce înseamnă A> 0, parabola traversează axa la sub zero înseamnă Cu < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Prin urmare b = - 2х в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Cu < 0.

Funcție liniară se numește o funcție a formei y = kx + b dat pe multimea tuturor numerelor reale. Aici k- pantă (număr real), b – termen liber (număr real), X Este variabila independentă.

Într-un caz anume, dacă k = 0, obținem o funcție constantă y = b, al cărei grafic este o dreaptă paralelă cu axa Ox care trece printr-un punct cu coordonate (0; b).

Dacă b = 0, apoi obținem funcția y = kx, care este proporționalitate directă.

b – lungimea segmentului, care este tăiată de linia de-a lungul axei Oy, numărând de la origine.

Sensul geometric al coeficientului k – unghi de înclinare o linie dreaptă pe direcția pozitivă a axei Ox, este numărată în sens invers acelor de ceasornic.

Proprietățile funcției liniare:

1) Domeniul unei funcții liniare este întreaga axă reală;

2) Dacă k ≠ 0, atunci intervalul de valori al funcției liniare este întreaga axă reală. Dacă k = 0, atunci intervalul de valori al funcției liniare constă din număr b;

3) Uniformitatea și neregulile unei funcții liniare depind de valorile coeficienților kși b.

A) b ≠ 0, k = 0, prin urmare, y = b - par;

b) b = 0, k ≠ 0, prin urmare y = kx - impar;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, prin urmare y = kx + b este o funcție generală;

d) b = 0, k = 0, prin urmare y = 0 - atât funcția pară, cât și cea impară.

4) Funcția liniară nu posedă proprietatea de periodicitate;

5) Puncte de intersecție cu axele de coordonate:

Bou: y = kx + b = 0, x = -b / k, prin urmare (-b / k; 0)- punctul de intersecție cu axa absciselor.

Oi: y = 0k + b = b, prin urmare (0; b)- punctul de intersecție cu axa ordonatelor.

Notă: Dacă b = 0și k = 0, apoi funcția y = 0 dispare pentru orice valoare a variabilei X... Dacă b ≠ 0și k = 0, apoi funcția y = b nu dispare pentru nicio valoare a variabilei X.

6) Intervalele de semn constant depind de coeficientul k.

A) k> 0; kx + b> 0, kx> -b, x> -b / k.

y = kx + b- este pozitiv la X din (-b / k; + ∞),

y = kx + b- este negativ la X din (-∞; -b / k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- este pozitiv la X din (-∞; -b / k),

y = kx + b- este negativ la X din (-b / k; + ∞).

c) k = 0, b> 0; y = kx + b este pozitivă pe întregul domeniu al definiției,

k = 0, b< 0; y = kx + b este negativă în întregul domeniu.

7) Intervalele de monotonitate ale funcției liniare depind de coeficient k.

k> 0, prin urmare y = kx + b crește pe întregul domeniu de definiție,

k< 0 , prin urmare y = kx + b scade pe întregul domeniu de definire.

8) Graficul unei funcții liniare este o dreaptă. Pentru a construi o linie dreaptă, este suficient să cunoști două puncte. Poziția dreptei pe planul de coordonate depinde de valorile coeficienților kși b... Mai jos este un tabel care ilustrează clar acest lucru.

O funcție liniară este o funcție de forma y = kx + b, unde x este o variabilă independentă, k și b sunt orice numere.
Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă.

1. A construi graficul funcției, avem nevoie de coordonatele a două puncte aparținând graficului funcției. Pentru a le găsi, trebuie să luați două valori ale lui x, să le înlocuiți în ecuația funcției și din ele să calculați valorile corespunzătoare ale lui y.

De exemplu, pentru a reprezenta grafic funcția y = x + 2, este convenabil să luăm x = 0 și x = 3, atunci ordonatele acestor puncte vor fi egale cu y = 2 și y = 3. Obținem punctele A (0; 2) și B (3; 3). Le conectăm și obținem graficul funcției y = x + 2:

2. În formula y = kx + b, numărul k se numește coeficient de proporționalitate:
dacă k> 0, atunci funcția y = kx + b crește
dacă k
Coeficientul b arată deplasarea graficului funcției de-a lungul axei OY:
dacă b> 0, atunci graficul funcției y = kx + b se obține din graficul funcției y = kx prin deplasarea b unităților în sus de-a lungul axei OY
dacă b
În figura de mai jos sunt prezentate graficele funcțiilor y = 2x + 3; y = ½ x + 3; y = x + 3

Rețineți că în toate aceste funcții coeficientul k Peste zero, iar funcţiile sunt crescând. Mai mult, cu cât valoarea lui k este mai mare, cu atât este mai mare unghiul de înclinare a dreptei față de direcția pozitivă a axei OX.

În toate funcțiile b = 3 - și vedem că toate graficele intersectează axa OY în punctul (0; 3)

Acum luați în considerare graficele funcțiilor y = -2x + 3; y = - ½ x + 3; y = -x + 3

De data aceasta, în toate funcțiile, coeficientul k mai putin de zero, si functii scădea. Coeficientul b = 3, iar graficele, ca și în cazul precedent, intersectează axa OY în punctul (0; 3)

Se consideră graficele funcțiilor y = 2x + 3; y = 2x; y = 2x-3

Acum, în toate ecuațiile de funcții, coeficienții k sunt egali cu 2. Și avem trei drepte paralele.

Dar coeficienții b sunt diferiți, iar aceste grafice intersectează axa OY în puncte diferite:
Graficul funcției y = 2x + 3 (b = 3) traversează axa OY în punctul (0; 3)
Graficul funcției y = 2x (b = 0) intersectează axa OY în punctul (0; 0) - originea.
Graficul funcției y = 2x-3 (b = -3) traversează axa OY în punctul (0; -3)

Deci, dacă cunoaștem semnele coeficienților k și b, atunci ne putem imagina imediat cum arată graficul funcției y = kx + b.
Dacă k 0

Dacă k> 0 și b> 0, atunci graficul funcției y = kx + b are forma:

Dacă k> 0 și b, atunci graficul funcției y = kx + b are forma:

Dacă k, atunci graficul funcției y = kx + b are forma:

Dacă k = 0, atunci funcția y = kx + b se transformă în funcția y = b și graficul ei arată astfel:

Ordinatele tuturor punctelor graficului funcției y = b sunt egale cu b Dacă b = 0, atunci graficul funcției y = kx (proporționalitate directă) trece prin origine:

3. Separat, notăm graficul ecuației x = a. Graficul acestei ecuații este o dreaptă paralelă cu axa OY, toate punctele care au o abscisă x = a.

De exemplu, graficul ecuației x = 3 arată astfel:
Atenţie! Ecuația x = a nu este o funcție, deci o valoare a argumentului corespunde sensuri diferite funcție care nu se potrivește cu definiția funcției.

4. Condiția pentru paralelismul a două linii:

Graficul funcției y = k 1 x + b 1 este paralel cu graficul funcției y = k 2 x + b 2, dacă k 1 = k 2

5. Condiția pentru perpendicularitatea a două drepte:

Graficul funcției y = k 1 x + b 1 este perpendicular pe graficul funcției y = k 2 x + b 2 dacă k 1 * k 2 = -1 sau k 1 = -1 / k 2

6. Puncte de intersecție ale graficului funcției y = kx + b cu axele de coordonate.

Cu axa OY. Abscisa oricărui punct aparținând axei OY este zero. Prin urmare, pentru a găsi punctul de intersecție cu axa OY, trebuie să înlocuiți zero în ecuația funcției în loc de x. Obținem y = b. Adică, punctul de intersecție cu axa OY are coordonatele (0; b).

Cu axa OX: ordonata oricărui punct aparținând axei OX este zero. Prin urmare, pentru a găsi punctul de intersecție cu axa OX, trebuie să înlocuiți zero în ecuația funcției în loc de y. Se obține 0 = kx + b. Prin urmare x = -b / k. Adică, punctul de intersecție cu axa OX are coordonatele (-b / k; 0):

5. Monomial se numește produsul factorilor numerici și alfabetici. Coeficient se numește factorul numeric al monomului.

6. Pentru a scrie un monom într-o formă standard, trebuie să: 1) Înmulțiți factorii numerici și puneți produsul lor pe primul loc; 2) Înmulțiți grade cu aceleași baze și puneți produsul rezultat după factorul numeric.

7. Un polinom este numit suma algebrică a mai multor monomii.

8. Pentru a înmulți un monom cu un polinom, este necesar să înmulțim monomul cu fiecare termen al polinomului și să adunăm produsele rezultate.

9. Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, este necesar să se înmulțească fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt polinom și să se adună produsele rezultate.

10. Puteți trage o linie dreaptă prin oricare două puncte și, în plus, doar unul.

11. Două linii fie au un singur punct comun, fie nu au puncte comune.

12. Se spune că două forme geometrice sunt egale dacă pot fi suprapuse.

13. Punctul unui segment care îl împarte în jumătate, adică în două segmente egale, se numește punctul de mijloc al segmentului.

14. Raza care emană din vârful unghiului și o împarte în două unghiuri egale se numește bisectoarea unghiului.

15. Unghiul aplatizat este de 180 °.

16. Un unghi se numește unghi drept dacă are 90 °.

17. Un unghi se numește acut dacă este mai mic de 90 °, adică mai mic decât un unghi drept.

18. Un unghi se numește obtuz dacă este mai mare de 90 °, dar mai mic de 180 °, adică mai mult decât un unghi drept, dar mai mic decât un unghi desfășurat.

19. Două colțuri în care o parte este comună, iar celelalte două sunt prelungiri unul celuilalt, sunt numite adiacente.

20. Suma unghiurilor adiacente este de 180 °.

21. Două colțuri sunt numite verticale dacă laturile unui colț sunt prelungiri ale laturilor celuilalt.

22. Unghiurile verticale sunt egale.

23. Două drepte care se intersectează sunt numite perpendiculare (sau reciproc

perpendiculare) dacă formează patru unghiuri drepte.

24. Două drepte perpendiculare pe a treia nu se intersectează.

25 factorizează un polinom- înseamnă a-l reprezenta ca produs al mai multor monoame și polinoame.

26. Metode de factorizare a unui polinom:

a) eliminarea factorului comun din paranteze,

b) folosind formule pentru înmulțirea prescurtată,

c) modalitatea de grupare.

27. Pentru a factoriza un polinom prin factorizarea factorului comun în afara parantezei, aveți nevoie:

a) găsiți acest factor comun,

b) puneți-l în afara parantezelor,

c) se împarte fiecare termen al polinomului la acest factor și se adună rezultatele obținute.

Teste de egalitate pentru triunghiuri

1) Dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două laturi și unghiul dintre ele ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

2) Dacă o latură și două unghiuri adiacente ale unui triunghi sunt egale cu latura și, respectiv, două unghiuri adiacente ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

3) Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Minimum educațional

1. Factorizarea prin formule de înmulțire prescurtate:

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

2. Formule pentru înmulțirea prescurtată:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

3. Segmentul care leagă vârful triunghiului cu mijlocul laturii opuse se numește median triunghi.

4. Se numește perpendiculara trasată de la vârful triunghiului pe linia dreaptă care conține latura opusă înălţime triunghi.

5. Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale.

6. Într-un triunghi isoscel, bisectoarea trasată la bază este mediana și înălțimea.

7. Circumferința numit figură geometrică, format din toate punctele planului situate la o distanta data de acest punct.

8. Segmentul care leagă centrul cu orice punct al cercului se numește rază cercuri .

9. Un segment care leagă două puncte ale unui cerc se numește coardă.

Coarda care trece prin centrul cercului se numește diametru

10. Proporționalitate directă y = kx , Unde X - variabila independenta, La - un număr diferit de zero ( La - coeficient de proporţionalitate).

11. Graficul proporționalității directe Este o linie dreaptă prin origine.

12. Funcția liniară se numește o funcție care poate fi specificată prin formulă y = kx + b , Unde X - variabila independenta, La și b - unele numere.

13. Graficul funcției liniare Este o linie dreaptă.

14 X - argumentul funcției (variabilă independentă)

la - valoarea functiei (variabila dependenta)

15. La b = 0 funcția ia forma y = kx, graficul său trece prin origine.

La k = 0 funcția ia forma y = b, graficul său este o linie orizontală care trece prin punctul ( 0; b).

Corespondența dintre graficele funcției liniare și semnele coeficienților k și b

1.Se numesc două drepte în plan paralel, dacă nu se suprapun.