Exemplul 1. Funcția este dată f(X) = 3X 2 + 4X- 5. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției f(X) în punctul graficului cu abscisa X 0 = 1.

Soluţie. Derivată a unei funcții f(X) există pentru orice x R ... Să-l găsim:

= (3X 2 + 4X- 5) ′ = 6 X + 4.

Apoi f(X 0) = f(1) = 2; (X 0) = = 10. Ecuația tangentă este:

y = (X 0) (X – X 0) + f(X 0),

y = 10(X – 1) + 2,

y = 10X – 8.

Răspuns. y = 10X – 8.

Exemplul 2. Funcția este dată f(X) = X 3 – 3X 2 + 2X+ 5. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției f(X) paralel cu linia dreaptă y = 2X – 11.

Soluţie. Derivată a unei funcții f(X) există pentru orice x R ... Să-l găsim:

= (X 3 – 3X 2 + 2X+ 5) ′ = 3 X 2 – 6X + 2.

Din moment ce tangenta la graficul funcției f(X) în punctul cu abscisa X 0 paralel cu linia dreaptă y = 2X- 11, atunci panta sa este 2, adică ( X 0) = 2. Să găsim această abscisă din condiția că 3 X– 6X 0 + 2 = 2. Această egalitate este valabilă numai pentru X 0 = 0 și pentru X 0 = 2. Deoarece în ambele cazuri f(X 0) = 5, apoi linia dreaptă y = 2X + b atinge graficul funcției fie la punctul (0; 5), fie la punctul (2; 5).

În primul caz, egalitatea numerică este adevărată 5 = 2 × 0 + b, Unde b= 5, iar în al doilea caz, egalitatea numerică este adevărată 5 = 2 × 2 + b, Unde b = 1.

Deci, există două tangente y = 2X+ 5 și y = 2X+ 1 la graficul funcțional f(X) paralel cu linia dreaptă y = 2X – 11.

Răspuns. y = 2X + 5, y = 2X + 1.

Exemplul 3. Funcția este dată f(X) = X 2 – 6X+ 7. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției f(X) trecând prin punct A (2; –5).

Soluţie. La fel de f(2) –5, apoi punctul A nu aparține graficului funcției f(X). Lasa X 0 este abscisa punctului de atingere.

Derivată a unei funcții f(X) există pentru orice x R ... Să-l găsim:

= (X 2 – 6X+ 1) ′ = 2 X – 6.

Apoi f(X 0) = X– 6X 0 + 7; (X 0) = 2X 0 - 6. Ecuația tangentei este:

y = (2X 0 – 6)(X – X 0) + X– 6X+ 7,

y = (2X 0 – 6)X– X+ 7.

Din moment A aparține liniei tangente, apoi egalității numerice

–5 = (2X 0 - 6) × 2– X+ 7,

Unde X 0 = 0 sau X 0 = 4. Aceasta înseamnă că prin punct A puteți desena două tangente la graficul funcției f(X).

Dacă X 0 = 0, atunci ecuația tangentă are forma y = –6X+ 7. Dacă X 0 = 4, atunci ecuația tangentă are forma y = 2X – 9.

Răspuns. y = –6X + 7, y = 2X – 9.

Exemplul 4. Funcții date f(X) = X 2 – 2X+ 2 și g(X) = –X 2 - 3. Să scriem ecuația liniei tangente comune la graficele acestor funcții.

Soluţie. Lasa X 1 - abscisa punctului de tangență al liniei drepte dorite cu graficul funcției f(X), dar X 2 - abscisa punctului de tangență al aceleiași drepte cu graficul funcției g(X).

Derivată a unei funcții f(X) există pentru orice x R ... Să-l găsim:

= (X 2 – 2X+ 2) ′ = 2 X – 2.

Apoi f(X 1) = X– 2X 1 + 2; (X 1) = 2X 1 - 2. Ecuația tangentă este:

y = (2X 1 – 2)(X – X 1) + X– 2X 1 + 2,

y = (2X 1 – 2)X – X+ 2. (1)

Găsiți derivata funcției g(X):

= (–X 2 - 3) ′ = –2 X.

O tangentă este o linie dreaptă , care atinge graficul funcției la un punct și toate punctele sunt la cea mai mică distanță de graficul funcției. Prin urmare, tangenta trece tangentă la graficul funcției la un anumit unghi și mai multe tangente nu pot trece prin punctul tangent la unghiuri diferite. Ecuațiile tangente și ecuațiile normale la graficul funcției sunt construite folosind derivata.

Ecuația tangentă este derivată din ecuația liniei drepte .

Derivăm ecuația liniei tangente și apoi ecuația normalului la graficul funcției.

y = kx + b .

În el k este panta.

De aici obținem următorul record:

y - y 0 = k(X - X 0 ) .

Valoare derivată f "(X 0 ) funcţie y = f(X) la punct X0 egală cu panta k= tg φ tangentă la graficul funcției trasate printr-un punct M0 (X 0 , y 0 ) , Unde y0 = f(X 0 ) ... Aceasta este sensul geometric derivat .

Astfel, putem înlocui k pe f "(X 0 ) și obțineți următoarele ecuația tangentei la graficul unei funcții :

y - y 0 = f "(X 0 )(X - X 0 ) .

În problemele elaborării ecuației liniei tangente la graficul unei funcții (și vom trece în curând la ele), este necesar să se reducă ecuația obținută conform formulei de mai sus la ecuația liniei drepte în formă generală... Pentru a face acest lucru, trebuie să mutați toate literele și numerele în partea stângă a ecuației și să lăsați zero pe partea dreaptă.

Acum despre ecuația normală. Normal este o linie dreaptă care trece prin punctul de tangență la graficul funcției perpendiculare pe tangentă. Ecuație normală :

(X - X 0 ) + f "(X 0 )(y - y 0 ) = 0

Pentru încălzire, primul exemplu ar trebui rezolvat independent și apoi pentru a vedea soluția. Există toate motivele pentru a spera că această sarcină nu va fi un „duș rece” pentru cititorii noștri.

Exemplul 0. Scrieți o ecuație tangentă și o ecuație normală la graficul unei funcții într-un punct M (1, 1) .

Exemplul 1. Scrieți o ecuație tangentă și o ecuație normală la graficul unei funcții dacă abscisa punctului de tangență.

Să găsim derivata funcției:

Acum avem tot ce trebuie înlocuit în intrarea dată în referința teoretică pentru a obține ecuația tangentei. Primim

În acest exemplu, am avut noroc: panta sa dovedit a fi zero, deci reduceți ecuația separat la vedere generala nu era nevoie. Acum putem compune ecuația normală:

În figura de mai jos: un grafic cu funcție de visiniu, o tangentă verde, o normală portocalie.

Următorul exemplu nu este, de asemenea, complicat: funcția, ca și în cea anterioară, este, de asemenea, un polinom, dar panta nu va fi egală cu zero, deci se va adăuga încă un pas - aducând ecuația la o formă generală.

Exemplul 2.

Soluţie. Găsiți ordonata punctului de atingere:

Să găsim derivata funcției:

.

Găsiți valoarea derivatei la punctul tangent, adică panta tangentei:

Înlocuim toate datele obținute în „formula goală” și obținem ecuația tangentei:

Aducem ecuația într-o formă generală (colectăm toate literele și numerele, altele decât zero, pe partea stângă și lăsăm zero în dreapta):

Compunem ecuația normală:

Exemplul 3. Scrieți ecuația tangentei și ecuația normalului la graficul funcției, dacă abscisa punctului tangent.

Soluţie. Găsiți ordonata punctului de atingere:

Să găsim derivata funcției:

.

Găsiți valoarea derivatei la punctul tangent, adică panta tangentei:

.

Găsim ecuația liniei tangente:

Înainte de a aduce ecuația într-o formă generală, trebuie să o „pieptănăm” puțin: înmulțiți cu 4. Facem acest lucru și aducem ecuația într-o formă generală:

Compunem ecuația normală:

Exemplul 4. Scrieți ecuația tangentei și ecuația normalului la graficul funcției, dacă abscisa punctului tangent.

Soluţie. Găsiți ordonata punctului de atingere:

.

Să găsim derivata funcției:

Găsiți valoarea derivatei la punctul tangent, adică panta tangentei:

.

Obținem ecuația tangentă:

Aducem ecuația într-o formă generală:

Compunem ecuația normală:

O greșeală obișnuită atunci când întocmim ecuațiile tangentei și normale este să nu observăm că funcția dată în exemplu este complexă și să calculăm derivata acesteia ca derivată a unei funcții simple. Următoarele exemple sunt deja din funcții complexe(lecția corespunzătoare se va deschide într-o fereastră nouă).

Exemplul 5. Scrieți ecuația tangentei și ecuația normalului la graficul funcției, dacă abscisa punctului tangent.

Soluţie. Găsiți ordonata punctului de atingere:

Atenţie! Această funcție este complexă, deoarece argumentul tangentei (2 X) este în sine o funcție. Prin urmare, vom găsi derivata funcției ca derivată a unei funcții complexe.

Să se dea o funcție f, care la un moment dat x 0 are o derivată finită f (x 0). Atunci linia dreaptă care trece prin punctul (x 0; f (x 0)) și care are panta f ’(x 0) se numește linie tangentă.

Și dacă derivata de la punctul x 0 nu există? Există două opțiuni:

1. Nici tangenta la grafic nu există. Exemplu clasic- funcția y = | x | la punctul (0; 0).
2. Tangenta devine verticală. Acest lucru este adevărat, de exemplu, pentru funcția y = arcsin x în punctul (1; π / 2).

Ecuația tangentă

Orice dreaptă non-verticală este dată de o ecuație de forma y = kx + b, unde k este panta. Linia tangentă nu face excepție și, pentru a-și compune ecuația la un moment dat x 0, este suficient să cunoaștem valoarea funcției și a derivatei în acest moment.

Deci, să se dea o funcție y = f (x), care are o derivată y = f ’(x) pe un segment. Apoi, în orice punct x 0 ∈ (a; b), se poate trage o tangentă la graficul acestei funcții, care este dată de ecuația:

y = f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Aici f '(x 0) este valoarea derivatei la punctul x 0, iar f (x 0) este valoarea funcției în sine.

O sarcină. Se dă o funcție y = x 3. Scrieți ecuația tangentei la graficul acestei funcții la punctul x 0 = 2.

Ecuația tangentă: y = f ’(x 0) · (x - x 0) + f (x 0). Punctul x 0 = 2 ne este dat, dar valorile f (x 0) și f ’(x 0) vor trebui calculate.

În primul rând, să găsim valoarea funcției. Totul este ușor aici: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Acum găsim derivata: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Înlocuiți în derivată x 0 = 2: f ’(x 0) = f’ (2) = 3 · 2 2 = 12;
Total obținem: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Aceasta este ecuația tangentă.

O sarcină. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției f (x) = 2sin x + 5 în punctul x 0 = π / 2.

De data aceasta nu vom descrie în detaliu fiecare acțiune - vom indica doar pașii cheie. Noi avem:

f (x 0) = f (π / 2) = 2sin (π / 2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f '(x 0) = f' (π / 2) = 2cos (π / 2) = 0;

Ecuația tangentă:

y = 0 (x - π / 2) + 7 ⇒ y = 7

ÎN ultimul caz linia dreaptă sa dovedit a fi orizontală, deoarece panta sa este k = 0. Nu este nimic în neregulă cu asta - tocmai am dat peste un punct extrem.

În acest articol, vom analiza toate tipurile de probleme de găsit

Să ne amintim sens geometric derivat: dacă o tangentă este trasată la graficul unei funcții într-un punct, atunci coeficientul de pantă al tangentei (egal cu tangenta unghiului dintre tangentă și direcția pozitivă a axei) este egal cu derivata funcției la punct.

Luați un punct arbitrar cu coordonate pe tangentă:

Și ia în considerare un triunghi unghiular:

În acest triunghi

De aici

Aceasta este ecuația liniei tangente trasate la graficul funcției într-un punct.

Pentru a scrie ecuația tangentei, trebuie doar să cunoaștem ecuația funcției și punctul în care este desenată tangenta. Atunci putem găsi și.

Există trei tipuri principale de probleme ale ecuației tangente.

1. Având în vedere un punct de contact

2. Având în vedere panta tangentei, adică valoarea derivatei funcției într-un punct.

3. Se dau coordonatele punctului prin care se trasează tangenta, dar care nu este punctul tangentei.

Să luăm în considerare fiecare tip de problemă.

unu . Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției la punct .

.

b) Găsiți valoarea derivatei la punct. În primul rând, găsim derivata funcției

Înlocuiți valorile găsite în ecuația tangentă:

Să extindem parantezele din partea dreaptă a ecuației. Primim:

Răspuns: .

2. Găsiți abscisele punctelor la care tangențele la graficul funcției paralel cu axa absciselor.

Dacă tangenta este paralelă cu axa abscisei, atunci unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei este zero, deci tangenta unghiului tangentei este zero. Prin urmare, valoarea derivatei funcției la punctele de tangență este egal cu zero.

a) Găsiți derivata funcției .

b) Egalează derivata cu zero și găsește valorile în care tangenta este paralelă cu axa:

Echivalând fiecare factor la zero, obținem:

Răspuns: 0; 3; 5

3. Scrieți ecuațiile tangențelor la graficul funcției , paralel Drept .

Tangenta este paralelă cu linia dreaptă. Coeficientul de pantă al acestei linii este -1. Deoarece tangenta este paralelă cu această linie, prin urmare, panta tangentei este și -1. Adică cunoaștem factorul de pantă al tangentei, și, astfel, valoarea derivatei la punctul de tangență.

Acesta este al doilea tip de problemă pentru găsirea ecuației liniei tangente.

Deci, avem funcția și valoarea derivatei la punctul de tangență.

a) Găsiți punctele la care derivata funcției este egală cu -1.

În primul rând, găsim ecuația pentru derivată.

Să echivalăm derivata cu numărul -1.

Să găsim valoarea funcției la punctul respectiv.

(după condiție)

.

b) Găsiți ecuația tangentei la graficul funcției într-un punct.

Să găsim valoarea funcției la punctul respectiv.

(după condiție).

Înlocuiți aceste valori în ecuația tangentă:

.

Răspuns:

4. Scrieți ecuația tangentei curbei , trecând prin punct

În primul rând, să verificăm dacă punctul nu este un punct tangent. Dacă punctul este un punct tangent, atunci aparține graficului funcției, iar coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuația funcției. Înlocuiți coordonatele punctului în ecuația funcției.

Title = "(! LANG: 1sqrt (8-3 ^ 2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} nu este un punct de contact.

Acesta este ultimul tip de problemă care găsește ecuația tangentei. Primul lucru trebuie să găsim abscisa punctului de atingere.

Să găsim valoarea.

Fie punctul de tangență. Punctul aparține tangentei la graficul funcției. Dacă substituim coordonatele acestui punct în ecuația tangentei, obținem egalitatea corectă:

.

Valoarea funcției în acest punct este .

Să găsim valoarea derivatei funcției la punct.

În primul rând, să găsim derivata funcției. Aceasta este .

Derivata la punctul este .

Înlocuiți expresiile pentru și în ecuația tangentă. Obținem ecuația pentru:

Să rezolvăm această ecuație.

Reduceți numărătorul și numitorul fracției cu 2:

Să reducem partea dreaptă a ecuației la numitor comun... Primim:

Simplificați numărătorul fracției și înmulțiți ambele părți cu - această expresie este strict mai mare decât zero.

Obținem ecuația

Să o rezolvăm. Pentru a face acest lucru, să pătratem ambele părți și să mergem la sistem.

Title = "(! LANG: delim (lbrace) (matrix (2) (1) ((64-48 (x_0) +9 (x_0) ^ 2 = 8- (x_0) ^ 2) (8-3x_0> = 0 ))) ()">!}

Să rezolvăm prima ecuație.

Vom rezolva ecuație pătratică, primim

A doua rădăcină nu îndeplinește condiția title = "(! LANG: 8-3x_0> = 0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Să scriem ecuația liniei tangente la curbă în punct. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valoarea în ecuație - deja l-am notat.

Răspuns:
.

Ecuația tangentei la graficul funcției

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Regiunea Chelyabinsk

Ecuația tangentei la graficul funcției

Articolul a fost publicat cu sprijinul Complexului Hotelier ITAKA +. Stând în orașul constructorilor navali Severodvinsk, nu vă veți confrunta cu problema de a găsi locuințe temporare. , pe site-ul complexului hotelier „ITAKA +” http://itakaplus.ru, puteți închiria cu ușurință și rapid un apartament în oraș, pentru orice perioadă, cu plată zilnică.

Pe etapa actuală dezvoltarea educației ca una dintre sarcinile sale principale este formarea unei personalități care gândesc creativ. Capacitatea de creativitate a elevilor poate fi dezvoltată numai dacă sunt implicați în mod sistematic în bazele activităților de cercetare. Fundația pentru utilizarea puterilor, abilităților și talentelor lor de către studenți este cunoașterea și abilitățile depline formate. În acest sens, problema formării unui sistem de cunoștințe și abilități de bază pe fiecare subiect al cursului școlar de matematică nu are o importanță mică. În același timp, abilitățile depline ar trebui să fie scopul didactic nu al sarcinilor individuale, ci al sistemului lor atent gândit. În sensul cel mai larg, un sistem este înțeles ca un set de elemente interacționate interacționate care au integritate și o structură stabilă.

Luați în considerare o metodologie pentru învățarea elevilor cum să elaboreze o ecuație a tangentei la un grafic al unei funcții. În esență, toate problemele de găsire a ecuației tangente sunt reduse la necesitatea de a selecta dintr-un set (pachet, familie) de linii drepte pe cele dintre ele care îndeplinesc o anumită cerință - sunt tangente la graficul unei anumite funcții. Mai mult, setul de linii din care se efectuează selecția poate fi specificat în două moduri:

a) un punct situat pe planul xOy (pachet central de linii drepte);
b) panta (fascicul paralel de drepte).

În acest sens, atunci când am studiat tema „Tangentă la graficul unei funcții” pentru a izola elementele sistemului, am identificat două tipuri de sarcini:

1) probleme asupra tangentei, date de punctul prin care trece;
2) problema tangentei, dată de panta sa.

Învățarea rezolvării problemelor pe o linie tangentă a fost realizată folosind algoritmul propus de A.G. Mordkovich. Diferența sa fundamentală față de cele deja cunoscute este că abscisa punctului tangent este notată cu litera a (în loc de x0), în legătură cu care ecuația tangentei ia forma

y = f (a) + f "(a) (x - a)

(comparați cu y = f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Această tehnică metodică, în opinia noastră, permite elevilor să înțeleagă mai repede și mai ușor unde sunt scrise coordonatele punctului curent ecuația generală a liniei tangente și unde sunt punctele de contact.

Algoritm pentru trasarea ecuației tangentei la graficul funcției y = f (x)

1. Desemnați abscisa punctului de tangență cu litera a.
2. Găsiți f (a).
3. Găsiți f "(x) și f" (a).
4. Înlocuiți numerele găsite a, f (a), f "(a) în ecuație generală tangentă y = f (a) = f "(a) (x - a).

Acest algoritm poate fi compilat pe baza auto-selecției operațiunilor de către elevi și a succesiunii implementării acestora.

Practica a arătat că soluția secvențială a fiecăreia dintre problemele cheie folosind algoritmul vă permite să formați abilitățile de a scrie ecuația tangentei la graficul unei funcții în etape, iar pașii algoritmului servesc drept puncte de referință pentru acțiuni . Această abordare corespunde teoriei formării etapă cu etapă a acțiunilor mentale dezvoltată de P.Ya. Galperin și N.F. Talyzina.

În primul tip de sarcini, au fost identificate două sarcini cheie:

• tangenta trece printr-un punct de pe curbă (sarcina 1);
• tangenta trece printr-un punct care nu se află pe curbă (problema 2).

Sarcina 1. Faceți ecuația tangentei la graficul funcției în punctul M (3; - 2).

Soluţie. Punctul M (3; - 2) este punctul de tangență, deoarece

1.a = 3 - abscisa punctului de tangență.
2.f (3) = - 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f" (3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 - ecuație tangentă.

Problema 2. Scrieți ecuațiile tuturor tangențelor la graficul funcției y = - x 2 - 4x + 2 care trece prin punctul M (- 3; 6).

Soluţie. Punctul M (- 3; 6) nu este un punct de tangență, deoarece f (- 3) 6 (fig. 2).

2.f (a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f" (a) = - 2a - 4.
4.y = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) este ecuația liniei tangente.

Tangenta trece prin punctul M (- 3; 6), prin urmare, coordonatele sale satisfac ecuația tangentei.

6 = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (- 3 - a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Dacă a = - 4, atunci ecuația tangentă este y = 4x + 18.

Dacă a = - 2, atunci ecuația tangentă are forma y = 6.

În al doilea tip, sarcinile cheie vor fi următoarele:

• tangenta este paralela cu o linie dreaptă (problema 3);
• tangenta trece la un anumit unghi față de linia dreaptă dată (sarcina 4).

Problema 3. Scrieți ecuațiile tuturor tangențelor la graficul funcției y = x 3 - 3x 2 + 3, paralel cu dreapta y = 9x + 1.

Soluţie.

1.a - abscisa punctului de tangență.
2.f (a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f" (a) = 3a 2 - 6a.

Dar, pe de altă parte, f "(a) = 9 (condiție de paralelism). Prin urmare, este necesar să se rezolve ecuația 3a 2 - 6a = 9. Rădăcinile sale sunt a = - 1, a = 3 (Fig. 3 ).

4.1) a = - 1;
2) f (- 1) = - 1;
3) f "(- 1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 - ecuație tangentă;

1) a = 3;
2) f (3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x - 24 - ecuație tangentă.

Problema 4. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y = 0,5x 2 - 3x + 1, trecând la un unghi de 45 ° față de dreapta y = 0 (Fig. 4).

Soluţie. Din condiția f "(a) = tan 45 °, găsim a: a - 3 = 1^ a = 4.

1.a = 4 - abscisa punctului de tangență.
2.f (4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) = 4 - 3 = 1.
4.y = - 3 + 1 (x - 4).

y = x - 7 - ecuație tangentă.

Este ușor să arăți că rezolvarea oricărei alte probleme se rezumă la rezolvarea uneia sau mai multor probleme cheie. Luați în considerare următoarele două sarcini ca exemplu.

1. Scrieți ecuațiile tangențelor la parabola y = 2x 2 - 5x - 2, dacă tangențele se intersectează în unghi drept și una dintre ele atinge parabola într-un punct cu abscisa 3 (Fig. 5).

Soluţie. Deoarece este dată abscisa punctului de atingere, prima parte a soluției este redusă la sarcina cheie 1.

1.a = 3 - abscisa punctului de tangență al uneia dintre laturile unghiului drept.
2.f (3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f" (3) = 7.
4.y = 1 + 7 (x - 3), y = 7x - 20 este ecuația primei linii tangente.

Să a - unghiul de înclinare a primei tangente. Deoarece tangențele sunt perpendiculare, atunci este unghiul de înclinare a celei de-a doua tangente. Din ecuația y = 7x - 20 a primei tangente, avem tg a = 7. Găsiți

Aceasta înseamnă că panta celei de-a doua tangente este.

Soluția suplimentară este redusă la sarcina cheie 3.

Fie B (c; f (c)) punctul de tangență al celei de-a doua linii drepte, atunci

1. - abscisa celui de-al doilea punct de contact.
2.
3.
4.
- ecuația celei de-a doua tangente.

Notă. Panta unei linii tangente poate fi găsită mai ușor dacă elevii cunosc raportul coeficienților liniilor perpendiculare k 1 k 2 = - 1.

2. Scrieți ecuațiile tuturor tangențelor comune graficelor funcțiilor

Soluţie. Sarcina se reduce la găsirea absciselor punctelor de tangență ale tangențelor comune, adică la rezolvarea problemei cheie 1 în formă generală, întocmind un sistem de ecuații și soluția sa ulterioară (Fig. 6).

1. Fie a abscisa punctului de tangență care se află pe graficul funcției y = x 2 + x + 1.
2.f (a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4.y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) = (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Fie c abscisa punctului de tangență care se află pe graficul funcției
2.
3. f "(c) = c.
4.

Deoarece tangențele sunt comune, atunci

Deci y = x + 1 și y = - 3x - 3 sunt tangente comune.

Scopul principal al sarcinilor luate în considerare este de a pregăti elevii pentru auto-recunoașterea tipului de sarcină cheie atunci când rezolvă sarcini mai complexe care necesită anumite abilități de cercetare (capacitatea de a analiza, compara, generaliza, prezenta o ipoteză etc.). Aceste sarcini includ orice sarcină în care sarcina cheie este inclusă ca componentă. Să considerăm ca exemplu problema (inversă la problema 1) pentru a găsi o funcție de familie a tangențelor sale.

3. Pentru care b și c sunt liniile y = x și y = - 2x tangente la graficul funcției y = x 2 + bx + c?

Soluţie.

Fie t abscisa punctului de tangență al dreptei y = x cu parabola y = x 2 + bx + c; p este abscisa punctului de tangență al dreptei y = - 2x cu parabola y = x 2 + bx + c. Atunci ecuația tangentei y = x va lua forma y = (2t + b) x + c - t 2, iar ecuația tangentei y = - 2x va lua forma y = (2p + b) x + c - p 2.

Să compunem și să rezolvăm sistemul de ecuații

Răspuns:

Sarcini pentru soluția independentă

1. Scrieți ecuațiile tangențelor trase la graficul funcției y = 2x 2 - 4x + 3 la punctele de intersecție ale graficului cu dreapta y = x + 3.

Răspuns: y = - 4x + 3, y = 6x - 9,5.

2. La ce valori a a trece tangenta trasată la graficul funcției y = x 2 - ax în punctul graficului cu abscisa x 0 = 1 prin punctul M (2; 3)?

Răspuns: a = 0,5.

3. Pentru ce valori ale lui p atinge linia y = px - 5 curba y = 3x 2 - 4x - 2?

Răspuns: p 1 = - 10, p 2 = 2.

4. Găsiți toate punctele comune ale graficului funcției y = 3x - x 3 și tangenta trasată la acest grafic prin punctul P (0; 16).

Răspuns: A (2; - 2), B (- 4; 52).

5. Găsiți cea mai mică distanță dintre parabola y = x 2 + 6x + 10 și linia dreaptă

Răspuns:

6. Pe curba y = x 2 - x + 1 găsiți punctul în care tangenta la grafic este paralelă cu dreapta y - 3x + 1 = 0.

Răspuns: M (2; 3).

7. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y = x 2 + 2x - | 4x | care îl atinge în două puncte. Faceți un desen.

Răspuns: y = 2x - 4.

8. Demonstrați că linia y = 2x - 1 nu intersectează curba y = x 4 + 3x 2 + 2x. Găsiți distanța dintre cele mai apropiate puncte.

Răspuns:

9. Pe parabolă y = x 2 se iau două puncte cu abscise x 1 = 1, x 2 = 3. Prin aceste puncte se trasează o secantă. În ce punct al parabolei tangenta la aceasta va fi paralelă cu secanta trasată? Notați ecuațiile secante și tangente.

Răspuns: y = 4x - 3 - ecuație secantă; y = 4x - 4 - ecuație tangentă.

10. Găsiți unghiul q între tangențele la graficul funcției y = x 3 - 4x 2 + 3x + 1, trasate în punctele cu abscise 0 și 1.

Răspuns: q = 45 °.

11. În ce puncte tangenta la graficul funcției face un unghi de 135 ° cu axa Ox?

Răspuns: A (0; - 1), B (4; 3).

12. În punctul A (1; 8) către curbă se trasează o tangentă. Găsiți lungimea liniei tangente dintre axele de coordonate.

Răspuns:

13. Scrieți ecuația tuturor tangențelor comune graficelor funcțiilor y = x 2 - x + 1 și y = 2x 2 - x + 0,5.

Răspuns: y = - 3x și y = x.

14. Aflați distanța dintre tangențe la graficul funcției paralel cu axa absciselor.

Răspuns:

15. Determinați în ce unghiuri parabola y = x 2 + 2x - 8 intersectează axa abscisei.

Răspuns: q 1 = arctan 6, q 2 = arctan (- 6).

16. Pe graficul funcției găsiți toate punctele, tangente la fiecare dintre acestea la acest grafic intersectează semiaxele pozitive ale coordonatelor, tăind segmente egale din ele.

Răspuns: A (- 3; 11).

17. Linia y = 2x + 7 și parabola y = x 2 - 1 se întâlnesc în punctele M și N. Găsiți punctul K de intersecție a liniilor tangente parabolei în punctele M și N.

Răspuns: K (1; - 9).

18. Pentru ce valori ale lui b este dreapta y = 9x + b tangentă la graficul funcției y = x 3 - 3x + 15?

Raspunsul 1; 31.

19. Pentru ce valori ale k linia y = kx - 10 are un singur punct comun cu graficul funcției y = 2x 2 + 3x - 2? Pentru valorile găsite ale lui k, determinați coordonatele punctului.

Răspuns: k 1 = - 5, A (- 2; 0); k 2 = 11, B (2; 12).

20. La ce valori ale lui b trece tangenta trasată la graficul funcției y = bx 3 - 2x 2 - 4 în punctul cu abscisa x 0 = 2 prin punctul M (1; 8)?

Răspuns: b = - 3.

21. O parabolă cu vârful pe axa Ox atinge linia dreaptă care trece prin punctele A (1; 2) și B (2; 4) în punctul B. Găsiți ecuația parabolei.

Răspuns:

22. La ce valoare a coeficientului k parabola y = x 2 + kx + 1 atinge axa Ox?

Răspuns: k = q 2.

23. Găsiți unghiurile dintre dreapta y = x + 2 și curba y = 2x 2 + 4x - 3.

29. Găsiți distanța dintre tangentele generatoarelor la graficul funcției cu direcția pozitivă a axei Ox, un unghi de 45 °.

Răspuns:

30. Aflați locusul vârfurilor tuturor parabolelor de forma y = x 2 + ax + b atingând linia y = 4x - 1.

Răspuns: linia y = 4x + 3.

Literatură

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra și începutul analizei: 3600 de probleme pentru școlari și solicitanți de universitate. - M., Bustard, 1999.
2. Mordkovich A. Al patrulea seminar pentru tineri profesori. Subiectul este „Aplicații derivate”. - M., „Matematică”, nr. 21/94.
3. Formarea cunoștințelor și abilităților pe baza teoriei asimilării treptate a acțiunilor mentale. / Ed. P.Ya. Galperin, N.F. Talyzina. - M., Universitatea de Stat din Moscova, 1968.