Conversia unei ecuații pătrate complete în incompletă arată ca (pentru cazul \\ (B \u003d 0 \\)):

Pentru cazurile în care \\ (C \u003d 0 \\) sau când ambii coeficienți sunt zero - totul este similar.

Rețineți că nu există nici un discurs despre egalitatea de zero \\ (a \\), nu poate fi zero, deoarece în acest caz se transformă în:

Decizia ecuațiilor incomplete pătrate.

În primul rând, este necesar să înțelegem că ecuația incompletă pătrată este încă, deci poate fi rezolvată, precum și pătratul obișnuit (prin). Pentru a face acest lucru, adăugați pur și simplu componenta lipsă a ecuației cu un coeficient zero.

Exemplu : Găsiți rădăcinile ecuației \\ (3x ^ 2-27 \u003d 0 \\)
Decizie :

		Avem o ecuație pătrată incompletă cu un coeficient \\ (B \u003d 0 \\). Adică, putem scrie ecuația în formularul de mai jos:
\\ (3x ^ 2 + 0 \\ cdot x-27 \u003d 0 \\)		De fapt, aici este aceeași ecuație la început, dar acum poate fi rezolvată ca un pătrat obișnuit. Mai întâi scriem coeficienții.
\\ (A \u003d 3; \\) \\ (b \u003d 0; \\) \\ (c \u003d -27;		Calculați discriminanța prin formula \\ (d \u003d b ^ 2-4ac \\)
\\ (D \u003d 0 ^ 2-4 \\ cdot3 \\ cdot (-27) \u003d \\) \(=0+324=324\)		Găsiți rădăcinile ecuației prin formule \\ (x_ (1) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b + \\ sqrt (d)) (2a) \\) și \\ (x_ (2) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b- \\ sqrt (D ) (2a) \\)
\\ (x_ (1) \u003d \\) \\ (\\ Frac (-0+ \\ sqrt (324)) (2 \\ cdot3) \\)\\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (18) (6) \\) \\ (\u003d 3 \\) \\ (x_ (2) \u003d \\) \\ (\\ Frac (-0- \\ sqrt (324)) (2 \\ cdot3) \\)\\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (-18) (6) \\) \\ (\u003d - 3 \\)		Înregistrați răspunsul

Răspuns : \\ (x_ (1) \u003d 3 \\); \\ (x_ (2) \u003d - 3 \\)

Exemplu : Găsiți rădăcinile ecuației \\ (- x ^ 2 + x \u003d 0 \\)
Decizie :

		Din nou, o ecuație incompletă pătrată, dar acum zero este egală cu coeficientul \\ (C \\). Înregistrați ecuația completă.

Ecuații patrate. Discriminator. Soluție, exemple.

Atenţie!
Acest subiect are suplimentar
Materiale într-o secțiune specială 555.
Pentru cei care sunt puternic "nu foarte ..."
Și pentru cei care sunt "foarte ...")

Tipuri de ecuații pătrate

Ce este o ecuație pătrată? Cu ce \u200b\u200bseamănă? În termeni ecuația patrată Cuvântul cheie este. "Pătrat". Înseamnă că în ecuație inainte de Trebuie să fie la pătrat în piață. În afară de el, în ecuația poate fi (și nu poate fi!) Pur și simplu X (în primul grad) și doar numărul (membru gratuit). Și nu ar trebui să existe IC-uri într-o diplomă, mai mult.

Vorbind prin limba matematică, ecuația pătrată este ecuația formei:

Aici a, B și cu - Unele numere. b și C. - toate, și dar- Oricine, dar zero. De exemplu:

Aici dar =1; b. = 3; c. = -4

Aici dar =2; b. = -0,5; c. = 2,2

Aici dar =-3; b. = 6; c. = -18

Ei bine, ai înțeles ...

În aceste ecuații pătrate, stânga este prezentă set complet membrii. X pătrat cu un coeficient dar,x în primul grad cu coeficientul b. și dick gratuit cu.

Astfel de ecuații pătrate sunt numite deplin.

Ce-ar fi dacă b. \u003d 0, ce facem? Avem x este primul grad dispar. De la multiplicare la zero se întâmplă.) Se pare, de exemplu:

5x 2 -25 \u003d 0,

2x 2 -6x \u003d 0,

- 2 + 4x \u003d 0

Etc. Și dacă atât coeficientul, b. și c. Egal cu zero, este încă mai simplu:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

Astfel de ecuații în care lipsește ceva ecuații incomplete pătrate. Ce este destul de logic.) Vă rog să observați că X este prezent în pătrat în toate ecuațiile.

Apropo, de ce dar Nu poate fi zero? Și înlocuiți în schimb dar Nolik.) Vom dispărea în piață! Ecuația va deveni liniară. Și este deja rezolvată destul de diferit ...

Asta e toate tipurile principale ecuații pătrate.. Plin și incomplet.

Soluția de ecuații pătrate.

Rezolvarea ecuațiilor pline pătrate.

Ecuațiile pătrate sunt pur și simplu rezolvate. În conformitate cu formulele și reguli simple. În prima etapă, o ecuație dată trebuie adusă la forma standard, adică. În minte:

Dacă ecuația vă este dată deja în acest formular - prima etapă nu este necesară.) Principalul lucru este să definiți corect toți coeficienții, dar, b. și c..

Formula pentru găsirea rădăcinilor ecuației pătrate arată astfel:

Expresia sub semnul rădăcinii este numită discriminator. Dar despre asta - de mai jos. După cum puteți vedea, pentru a găsi ICA, folosim doar a, b și cu. Acestea. Coeficienții ecuației pătrate. Doar înlocuiți cu ușurință valorile a, B și cu În această formulă și luăm în considerare. Substitui cu semnele tale! De exemplu, în ecuație:

dar =1; b. = 3; c. \u003d -4. Aici și scrieți:

Un exemplu este practic rezolvată:

Acesta este răspunsul.

Totul este foarte simplu. Și ce credeți că este imposibil să faceți o greșeală? Ei bine, da, cum ...

Cele mai frecvente greșeli - confuzie cu semne de valori a, B și cu. Mai degrabă, nu cu semnele lor (unde există confuz?), Și cu înlocuirea valorilor negative în formula pentru calcularea rădăcinilor. Iată o intrare detaliată a formulei cu numere specifice. Dacă există probleme cu calculul, face acest lucru!

Să presupunem că trebuie să rezolvați acest lucru:

Aici a. = -6; b. = -5; c. = -1

Să presupunem că știți că rareori aveți răspunsuri din prima dată.

Ei bine, nu fi leneș. Scrieți o linie excesivă va dura secunde 30. Și numărul de erori tăiat brusc. Aici scriem în detaliu, cu toate paranteze și semne:

Se pare incredibil de dificil, atat de atent vopsea. Dar se pare doar. Încerca. Ei bine, sau alegeți. Ce este mai bun, rapid sau corect? De asemenea, te voi lovi. După un timp, va dispărea atât de atent pentru a picta totul. Ea însăși va avea dreptate. Mai ales dacă aplicați tehnici practice, care sunt descrise chiar mai jos. Acest exemplu rău cu o grămadă de minusuri va fi rezolvat cu ușurință și fără erori!

Dar, adesea, ecuațiile pătrate arată puțin diferit. De exemplu, astfel:

Aflați?) Da! aceasta ecuații incomplete pătrate.

Decizia ecuațiilor incomplete pătrate.

Ele pot fi, de asemenea, rezolvate de formula generală. Este necesar doar să vă imaginați corect ce este egal cu a, B și cu.

Corectate? În primul exemplu a \u003d 1; b \u003d 4; dar c.? Nu există nimeni deloc! Ei bine, da, dreapta. În matematică, aceasta înseamnă asta c \u003d 0. Fotografiile! Asta e tot. Înlocuim în loc în formula zero c, Și totul se va dovedi. În mod similar, cu al doilea exemplu. Doar zero aici nu din, dar b. !

Dar ecuațiile pătrate incomplete pot fi rezolvate mult mai ușor. Fără formule. Luați în considerare prima ecuație incompletă. Ce se poate face acolo în partea stângă? Puteți face ca este pentru paranteze! Să scoatem.

Și la asta? Și faptul că lucrarea este zero atunci și numai atunci când unii dintre multiplicatori sunt egali la zero! Nu crede? Ei bine, veniți cu două numere non-zero, care vor da zero cu multiplicare!
Nu funcționează? Asta e ceva ...
În consecință, puteți scrie cu încredere: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

Tot. Aceasta va fi rădăcinile ecuației noastre. Ambele sunt potrivite. Când înlocuiți oricare dintre ele în ecuația inițială, obținem o identitate fidelă 0 \u003d 0. După cum puteți vedea, soluția este mult mai simplă decât formula generală. Eu, notă, apropo, care X va fi primul și care a doua este absolut indiferentă. Convenabil să înregistreze în câteva, x 1. - Ce este mai puțin și x 2. - Ce este mai mult.

A doua ecuație poate fi de asemenea rezolvată pur și simplu. Noi purtăm 9 în partea dreaptă. Primim:

Rămâne rădăcina de a extrage din 9, și asta este. Se pare:

De asemenea, două rădăcini . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.

Astfel încât toate ecuațiile pătrate incomplete sunt rezolvate. Fie prin intermediul unei suporturi, fie prin transferarea pur și simplu a numărului spre dreapta, urmată de extracția rădăcinii.
Este extrem de dificil să se confunde aceste tehnici. Pur și simplu pentru că, în primul caz, va trebui să extrageți rădăcina de la XCA, ceea ce este într-un fel nu este clar, iar în al doilea caz, nu este nimic pentru paranteze ...

Discriminator. Formula discriminantă.

cuvântul magic discriminator Fotografiile! Un student de liceu rar nu a auzit cuvântul! Expresia "decide prin discriminator" va insufla încrederea și încurajează. Pentru că nu este necesar să așteptați trucurile de la discriminator! Este simplu și fără probleme în circulație.) Vă amintesc de cea mai generală formulă pentru rezolvare orice Ecuații pătrate:

Expresia sub semnul rădăcinii este numită discriminantă. De obicei, discriminanța este indicată de scrisoare D.. Formula discriminantă:

D \u003d B 2 - 4AC

Și care este expresia demn de remarcat? De ce a meritat un nume special? In ce Înțeles discriminant? La urma urmelor -b, sau 2a. În această formulă, ei nu numesc în mod specific ... scrisori și litere.

Lucrul este ceea ce. La rezolvarea unei ecuații pătrate pentru această formulă, este posibil total trei cazuri.

1. Discriminanța pozitivă. Aceasta înseamnă că este posibil să extrageți rădăcina. Bună rădăcină este extrasă sau rău - întrebarea este diferită. Este important ca acesta să fie extras în principiu. Apoi ecuația dvs. pătrată are două rădăcini. Două soluții diferite.

2. Discriminanța este zero. Apoi obțineți o soluție. Deoarece scăderea zero a număratorului nu schimbă nimic. Strict vorbind, aceasta nu este o singură rădăcină, ci două identice. Dar, în versiunea simplificată, este obișnuit să vorbim despre o soluție.

3. Discriminanța este negativă. Din numărul negativ, rădăcina pătrată nu este îndepărtată. Bine, bine. Aceasta înseamnă că nu există soluții.

Sincer, cu decizia simplă Ecuații pătrate, conceptul de discriminant nu este necesar în mod special. Înlocuim valorile coeficienților în formula, da, credem. Totul se întâmplă totul, ambele rădăcini, cât și una, și nu una. Cu toate acestea, atunci când rezolvați mai mult sarcini complexe, fără cunoaștere Înțeles și formula discriminantă insuficient. Mai ales - în ecuații cu parametri. Astfel de ecuații sunt cel mai înalt pilot pe Gia și EGE!)

Asa de, cum de a rezolva ecuațiile pătrate Prin discriminator vă amintiți. Sau a aflat că nu este, de asemenea, rău.) Știu cum să stau corect a, B și cu. Cunoştinţe cu grija înlocuiți-le în formula rădăcină și cu grija numărați rezultatul. Ai realizat asta cuvânt cheie. Aici - cu grija?

Și acum ia notă de tehnici practice care reduc dramatic numărul de erori. Cel mai mult din cauza neatenției. ... pentru care se întâmplă apoi rănit și rănit ...

Primul recepție . Nu fi leneși înainte de a rezolva ecuația pătrată pentru ao aduce la forma standard. Ce inseamna asta?
Să presupunem că, după toate transformările, ați primit o astfel de ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcină! Aproape probabil, confunda coeficienții A, B și S. Construiți un exemplu corect. În primul rând, X este în piață, apoi fără un pătrat, apoi o pula liberă. Ca aceasta:

Și nu vă grăbiți din nou! Minusul din fața IX din piață poate fi sănătos să vă deranjeze. Uită-te ușor ... scapă de un minus. Cum? Da, așa cum a fost predat în subiectul anterior! Este necesar să se multiplice întreaga ecuație pe -1. Primim:

Dar acum puteți înregistra în siguranță formula pentru rădăcini, luați în considerare discriminalul și exemplul. Douiți-vă. Trebuie să aveți rădăcini 2 și -1.

Recepție secundă. Verificați rădăcinile! Pe teorema Vieta. Nu sperie, voi explica totul! Verifica ultimul lucru ecuația. Acestea. Că am înregistrat formula rădăcinilor. Dacă (ca în acest exemplu) Coeficient a \u003d 1., Verificați ușor rădăcinile. Suficient pentru a le multiplica. Ar trebui să existe un membru gratuit, adică. În cazul nostru -2. Notă, nu 2, a -2! Dick gratuit cu semnul dvs. . Dacă nu a funcționat, înseamnă undeva au acumulat. Căutați o eroare.

Dacă sa întâmplat - este necesar să pliați rădăcinile. Ultima și verificarea finală. Trebuie să se întâmple coeficientul b. din opus semn. În cazul nostru -1 + 2 \u003d +1. Și coeficientul b.care este în fața IX, egală cu -1. Deci, totul are dreptate!
Este păcat că este atât de simplu pentru exemple, unde X este curat, cu un coeficient a \u003d 1. Dar cel puțin verificați astfel de ecuații! Vor fi mai puține erori.

Luând al treilea . Dacă în ecuația dvs. există coeficienți fracționari, - scapa de fracțiuni! Ecuația multiplă bazată pe numitor comunAșa cum este descris în lecția "Cum de a rezolva ecuațiile? Transformări identice". Când lucrați cu fracțiuni de eroare, din anumite motive și urcați ...

Apropo, am promis un exemplu rău cu o grămadă de minusuri pentru a simplifica. Cu plăcere! Aici este.

Pentru a nu fi confundat în minusuri, ecuația pe -1 este dominantă. Primim:

Asta e tot! Decideți - o plăcere!

Deci, rezumați subiectul.

Sfaturi practice:

1. Înainte de rezolvare, oferim o ecuație pătrată formei standard, construi-o dreapta.

2. Dacă un coeficient negativ merită un coeficient negativ înainte de X, eliminați multiplicarea întregii ecuații pe -1.

3. Dacă coeficienții fracționari elimină fracțiunea prin înmulțirea întregii ecuații cu multiplicatorul corespunzător.

4. Dacă X este în pătrat - curat, coeficientul este egal cu unul, soluția poate fi ușor verificată de teorema Vieta. Fă-o!

Acum este posibil să se calculeze.)

Rezolvați ecuațiile:

8x 2 - 6x + 1 \u003d 0

x 2 + 3x + 8 \u003d 0

x 2 - 4x + 4 \u003d 0

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

Răspunsuri (în tulburare):

x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5

x 1.2 \u003d.2

x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0,5

x - orice număr

x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3

nu există soluții

x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5

Totul converge? Excelent! Ecuațiile pătrate nu sunt durerea de cap. Primele trei s-au dovedit, iar restul - nu? Atunci problema nu este în ecuații pătrate. Problema este în transformările identice ale ecuațiilor. Plimbare prin referință, este util.

Nu se întâmplă cu adevărat? Sau nu funcționează deloc? Apoi trebuie să ajutați partiția 555. Există toate aceste exemple dezasamblate în jurul oaselor. Arătând. principal Erori în rezolvare. Spune, desigur, despre aplicație transformări identice În rezolvarea diferitelor ecuații. Ajută mult!

Dacă vă place acest site ...

Apropo, am un alt cuplu de site-uri interesante pentru tine.)

Acesta poate fi accesat în rezolvarea exemplelor și aflați nivelul dvs. Testarea cu verificarea instantanee. Aflați - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu caracteristici și derivați.

Luați în considerare o ecuație pătrată:
(1) .
Ecuația pătrat (1) sunt determinate prin formule:
; .
Aceste formule pot fi combinate astfel:
.
Când sunt cunoscute rădăcinile ecuației pătrate, polinomul de gradul doi poate fi reprezentat ca o lucrare a factorilor (descompuneți pe multiplicatori):
.

Apoi, credem că - numerele reale.
Considera ecuația pătratică discriminantă:
.
Dacă discriminatorul este pozitiv, atunci ecuația pătrată (1) are două rădăcini diferite valide:
; .
Apoi descompunerea pătratului trei scăderi ale factorilor are forma:
.
Dacă discriminatorul este zero, atunci ecuația pătrată (1) are două rădăcini multiple (egale) valide:
.
Factorizare:
.
Dacă discriminatorul este negativ, atunci ecuația pătrată (1) are două rădăcini conjugate cuprinzătoare:
;
.
Aici - unitatea imaginară;
Și - părțile reale și imaginare ale rădăcinilor:
; .
Atunci

.

Interpretarea grafică

Dacă construiți funcția de programare
,
care este parabola, atunci punctul de intersecție al graficului cu axa va fi rădăcini ale ecuației
.
Când, programul traversează axa Abscisa (Axa) la două puncte.
Când graficul se referă la axa Abscisa la un moment dat.
Când, programul nu intersectează axa Abscisa.

Mai jos sunt exemple de astfel de grafice.

Formule utile asociate cu ecuația pătrată

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

Ieșirea formulei pentru rădăcinile ecuației pătrate

Realizăm transformări și aplicăm formule (F.1) și (F.3):




,
Unde
; .

Deci, avem o formulă pentru un polinom al celui de-al doilea grad sub forma:
.
De aici se poate observa că ecuația

efectuată la
și.
Adică, rădăcinile ecuației pătrate sunt rădăcini
.

Exemple de determinare a rădăcinilor ecuației pătrate

Exemplul 1.

(1.1) .

Decizie

.
Comparând cu ecuația noastră (1.1), găsim valorile coeficienților:
.
Noi găsim discriminator:
.
Deoarece discriminatorul este pozitiv, ecuația are două rădăcini valide:
;
;
.

De aici avem o descompunere a unui pătrat trei mize pe multiplicatori:

.

Funcția de programare y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 Traversează axa abscisa la două puncte.

Construim un program de funcții
.
Programul acestei funcții este parabola. Ea plasează axa Abscisa (axa) la două puncte:
și.
Aceste puncte sunt rădăcini ale ecuației inițiale (1.1).

Răspuns

;
;
.

Exemplul 2.

Găsiți rădăcinile ecuației pătrate:
(2.1) .

Decizie

Scriem ecuația pătrată în formă generală:
.
Comparând cu ecuația inițială (2.1), găsim valorile coeficienților:
.
Noi găsim discriminator:
.
Deoarece discriminatorul este zero, ecuația are două (egale) rădăcină:
;
.

Apoi descompunerea a trei decizii privind multiplicatorii are forma:
.

Funcție grafic Y \u003d x 2 - 4 x + 4 Solicită Axis Abscisa la un moment dat.

Construim un program de funcții
.
Programul acestei funcții este parabola. Se referă la axa Abscisa (axa) la un moment dat:
.
Acest punct este rădăcina ecuației inițiale (2.1). Deoarece această rădăcină intră în expansiunea multiplicatorilor de două ori:
,
Că o astfel de rădăcină este numită multiplă. Adică, se crede că există două rădăcini egale:
.

Răspuns

;
.

Exemplul 3.

Găsiți rădăcinile ecuației pătrate:
(3.1) .

Decizie

Scriem ecuația pătrată în formă generală:
(1) .
Rescriem ecuația inițială (3.1):
.
Comparați C (1), găsim valorile coeficienților:
.
Noi găsim discriminator:
.
Discriminanța este negativă. Prin urmare, nu există rădăcini valide.

Puteți găsi rădăcini complexe:
;
;

Construim un program de funcții
.
Programul acestei funcții este parabola. Nu intersectează axa Abscisa (Axa). Prin urmare, nu există rădăcini valide.

Răspuns

Nu există rădăcini valide. Roții sunt integrate:
;
;
.

Se știe că este o realizare particulară a egalității AH 2 + VX + C \u003d O, în care A, B și C - coeficienții reali la un X necunoscut și unde a ≠ oh și B și C vor fi zerouri - simultan sau în afară. De exemplu, C \u003d O, în ≠ O sau invers. Aproape am amintit definiția unei ecuații pătrate.

Triggerul de gradul al doilea este zero. Primul coeficient A ≠ O, B și C poate lua valori. Valoarea variabilei X va fi atunci când substituția îl transformă în egalitatea numerică corectă. Să trăim pe rădăcinile reale, deși soluțiile ecuației pot fi, de asemenea, numite pe deplin ecuația în care niciunul dintre coeficienți nu este egal și ≠ o, în ≠ o, cu ≠.
Am rezolvat un exemplu. 2x 2 -9x-5 \u003d o, găsim
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D pozitiv, atunci rădăcinile sunt disponibile, x 1 \u003d (9 + √121): 4 \u003d 5, iar al doilea X2 \u003d (9-√121): 4 \u003d -O, 5. Verificarea vă va ajuta să vă asigurați că sunt corecte.

Iată o soluție treptată a ecuației pătrate

Prin intermediul discriminatorului, orice ecuație poate fi rezolvată în partea stângă a căreia piața cunoscută pe trei stări la un ≠. În exemplul nostru. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (AH 2 + VX + C \u003d O)

Luați în considerare care sunt ecuațiile incomplete ale gradului al doilea

1. aH 2 + VH \u003d O. Termen gratuit, coeficient cu x 0, aici este zero, în ≠ o.
   Cum de a rezolva o ecuație incompletă de acest tip? Realizăm X pentru bretele. Ne amintim când produsul a doi multiplicatori este zero.
   x (AX + B) \u003d O, poate fi când X \u003d O sau când AX + B \u003d O.
   După ce a decis al doilea, avem x \u003d -b / a.
   Ca rezultat, avem rădăcini x 1 \u003d 0, conform calculelor x 2 \u003d -b / a.
2. Acum coeficientul de la X este egal și nu egal cu (≠) despre.
   x 2 + c \u003d o. Transfer cu partea dreaptă a egalității, obținem x 2 \u003d -C. Această ecuație numai apoi are rădăcini reale atunci când numărul pozitiv (cu \u003co),
   X1 este egal cu √ (-C), respectiv x 2 - -√ (-C). În caz contrar, ecuația nu are rădăcini deloc.
3. Ultima variantă: b \u003d c \u003d O, adică, ah 2 \u003d o. În mod natural, o astfel de ecuație simplă are o singură rădăcină, x \u003d o.

Cazuri private

Cum de a rezolva o ecuație incompletă pătrată, iar acum vom lua orice fel.

• În ecuația full pătrat, al doilea coeficient la x - număr par.
  Fie K \u003d O, 5b. Avem formule pentru calcularea discriminatorilor și rădăcinilor.
  D / 4 \u003d K2 - AC, rădăcinile sunt calculate SO x 1.2 \u003d (-k ± √ (d / 4)) / a cu d\u003e O.
  x \u003d -K / A pentru D \u003d O.
  Nu există rădăcini pentru d \u003co.
• Există ecuații reduse pătrate atunci când coeficientul de la X în pătrat este 1, ele sunt luate pentru a înregistra x 2 + px + q \u003d O. Toate formulele de mai sus se răspândesc pe ele, calculele sunt oarecum mai simple.
  Exemplu, x 2 -4x-9 \u003d 0. Calculați D: 2 2 +9, D \u003d 13.
  x 1 \u003d 2 + √13, x 2 \u003d 2-√13.
• În plus, este ușor de utilizat în ea spune că suma rădăcinilor ecuației ecuației este -P, al doilea coeficient cu un minus (adică semnul opus), iar produsul acelorași rădăcini va fi Q, gratuit membru. Verificați cum poate determina cu ușurință rădăcinile acestei ecuații. Pentru neplătite (cu toți coeficienții non-zero), această teoremă este aplicabilă astfel: Suma x 1 + 2 este egală cu -B / A, produsul x 1 · x 2 este egal cu C / A.

Cantitatea de membru gratuit C și primul coeficient A este egal cu coeficientul b. În această situație, ecuația nu are mai puțin de o singură rădăcină (ușor dovedită), primul este în mod necesar egal cu -1, iar al doilea-° C / A, dacă există. Cum de a rezolva o ecuație incompletă pătrată, vă puteți verifica. La fel de ușor ca plăcintă. Coeficienții pot fi în unele relații între ele.

• x 2 + x \u003d 0, 7x 2 -7 \u003d 0.
• Suma tuturor coeficienților este egală cu.
  Rădăcinile într-o astfel de ecuație - 1 și s / a. Exemplu, 2x 2 -15x + 13 \u003d O.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

Există o serie de alte modalități de a rezolva ecuații diferite ale gradului al doilea. Aici, de exemplu, metoda de izolare din acest polinom al unui pătrat complet. Metode grafice niste. Când rezolvați adesea astfel de exemple, învățați să le "faceți clic pe", cum ar fi semințele, deoarece toate căile vin în minte automat.

ÎN societate modernă Abilitatea de a efectua acțiuni cu ecuațiile care conțin variabila ridicată în piață poate fi utilă în multe domenii de activitate și este utilizat pe scară largă în practică în domeniul științific și evoluții tehnice. Dovada acestui lucru poate servi designul vaselor marine și fluviale, aeronavelor și rachetelor. Cu ajutorul unor astfel de calcule, traiectoriile mișcării diferitelor corpuri, inclusiv obiectele spațiale. Exemple cu o soluție de ecuații pătrate sunt utilizate nu numai în prognoza economică, în proiectarea și construcția clădirilor, ci și în cele mai obișnuite circumstanțe de zi cu zi. Acestea pot fi necesare în campanii turistice, în sport, în magazinele comerciale și în alte situații foarte frecvente.

Ne rupem expresia pe componentele multiplicatorilor

Gradul de ecuație este determinat de valoarea maximă a gradului în variabilă, care conține această expresie. În cazul în care acesta este 2, atunci o astfel de ecuație este doar chemată pătrată.

Dacă limba formulelor exprimă, atunci expresiile indicate, indiferent de modul în care arată, pot fi întotdeauna cauzate de forma atunci când partea stângă a expresiei constă din trei termeni. Dintre acestea: AX 2 (adică variabila ridicată într-un pătrat cu coeficientul său), BX (necunoscut fără un pătrat cu coeficientul său) și C (componentă liberă, care este numărul obișnuit). Toate acestea din partea dreaptă sunt egale cu 0. În cazul în care nu există nici o componentă a termenilor, cu excepția axului 2, se numește o ecuație pătrată incompletă. Exemple cu rezolvarea unor astfel de sarcini, valoarea variabilelor în care este ușor de găsit, ar trebui luată în considerare în primul rând.

Dacă expresia apare în formular se uită în așa fel încât două, mai precis, axa 2 și bx, expresia de pe expresia de pe partea dreaptă, este mai ușor de găsit o variabilă pentru paranteze. Acum, ecuația noastră va arăta astfel: x (ax + b). Apoi, devine evident că sau x \u003d 0 sau sarcina este redusă la găsirea unei variabile din următoarea expresie: AX + B \u003d 0. A dictat una dintre proprietățile de multiplicare. Regula spune că produsul a doi factori dă ca rezultat al 0 numai dacă unul dintre ele este zero.

Exemplu

x \u003d 0 sau 8x - 3 \u003d 0

Ca rezultat, obținem două rădăcini ale ecuației: 0 și 0,375.

Ecuațiile de acest tip pot descrie mișcarea corpurilor sub influența gravitației, care a început mișcarea dintr-un anumit punct adoptat la începutul coordonatelor. Aici, înregistrarea matematică ia următoarea formă: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Înlocuirea valorilor necesare, echivalând partea dreaptă 0 și găsirea unor posibile necunoscute, puteți afla timpul care trece din momentul creșterii corpului până la cădere, precum și multe alte valori. Dar vom vorbi mai târziu.

Descompunerea expresiei asupra multiplicatorilor

Regula descrisă mai sus vă permite să rezolvați sarcinile specificate și în mai multe cazuri complexe. Luați în considerare exemplele cu rezolvarea ecuațiilor pătrate de acest tip.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Acest pătrat copachlen. Este complet. Pentru a începe cu, transformăm expresia și descompun-o pentru multiplicatori. Acestea sunt obținute două: (X-8) și (X-25) \u003d 0. Ca rezultat, avem două rădăcini 8 și 25.

Exemple cu soluționarea ecuațiilor pătrate în clasa 9 permit această metodă să găsească o variabilă în expresii nu numai a doua, ci chiar și a treia și a patra ordine.

De exemplu: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Cu descompunerea părții drepte a multiplicatorilor cu o variabilă, acestea sunt obținute trei, adică (x + 1), (x-3) și ( X + 3).

Ca rezultat, devine evident că această ecuație are trei rădăcini: -3; -unu; 3.

Extrage rădăcină pătrată

Un alt caz al ecuației incomplete a celei de-a doua ordine este expresia, în limba literelor prezentate în așa fel încât partea dreaptă să fie construită din componentele Axului 2 și C. Aici, pentru valoarea variabilei, membrul liber este transferat la partea dreapta, iar apoi din ambele părți ale egalității sunt extrase rădăcină pătrată. Ar trebui să se acorde atenție ca în acest caz Rădăcinile ecuației de obicei două. O excepție poate fi egală numai cu egalitatea, în general care nu conține termenul C, în cazul în care variabila este zero, precum și opțiunile pentru expresiuni, când partea dreaptă se dovedește a fi negativă. ÎN ultimul caz Nu există soluții deloc, deoarece acțiunile de mai sus nu pot fi făcute cu rădăcini. Trebuie luate în considerare exemple de soluții de ecuații pătrate de acest tip.

În acest caz, rădăcinile ecuației vor fi -4 și 4.

Calculul unui teren de teren

Nevoia de astfel de calcule a apărut în antichitate profundă, deoarece dezvoltarea matematicii în multe privințe în acele vremuri îndepărtate se datorează necesității de a determina cea mai mare precizie a zonei și a perimetrului terenurilor.

Exemple cu rezolvarea ecuațiilor pătrate elaborate pe baza sarcinilor de acest tip ar trebui să fie luate în considerare.

Deci, să spunem că există un teren dreptunghiular, lungimea căreia este de 16 metri mai mult decât lățimea. Ar trebui să se găsească o lungime, lățime și perimetru al site-ului, dacă se știe că zona sa este egală cu 612 m 2.

Pornind o chestiune, mai întâi face ecuația necesară. Denotă de x lățimea site-ului, apoi lungimea sa va fi (x + 16). Din scris rezultă că zona este determinată de expresia X (X + 16), care, în funcție de starea problemei noastre, este de 612. Aceasta înseamnă că x (x + 16) \u003d 612.

Soluția ecuațiilor pătrate complete și această expresie este tocmai aceia, nu poate fi efectuată în același mod. De ce? Deși partea stângă a acestuia conține încă doi factori, produsul nu este deloc egal cu 0, astfel încât alte metode sunt folosite aici.

Discriminator

În primul rând, vom produce convertirea necesară, atunci apariția acestei expresii va arăta astfel: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Aceasta înseamnă că avem o expresie în forma corespunzătoare standardului specificat anterior, unde a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Acesta poate fi un exemplu de rezolvare a ecuațiilor pătrate prin intermediul discriminatorului. Aici, calculele necesare sunt realizate conform schemei: D \u003d B 2 - 4AC. Această valoare auxiliară nu face doar posibilă găsirea valorilor dorite în ecuația a doua comenzi, determină numărul opțiuni posibile. În cazul d\u003e 0, există două; Când D \u003d 0, există o singură rădăcină. În cazul D.<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Despre rădăcini și formula lor

În cazul nostru, discriminatorul este: 256-4 (-612) \u003d 2704. Acest lucru sugerează că există răspunsul din sarcina noastră. Dacă știți, K, soluția de ecuații pătrate trebuie să fie continuată utilizând formula de mai jos. Vă permite să calculați rădăcinile.

Aceasta înseamnă că, în cazul prezentat: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. A doua versiune din această dilemă nu poate fi o soluție, deoarece dimensiunile terenului nu pot fi măsurate în valori negative, înseamnă X (adică lățimea site-ului) este de 18 m. De aici, calculează lungimea: 18 + 16 \u003d 34 și perimetrul 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Exemple și obiective

Continuăm să studiem ecuațiile pătrate. Exemple și o soluție detaliată a mai multor dintre aceștia vor fi administrate în continuare.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Transferim totul în partea stângă a egalității, vom face o transformare, adică obținem forma ecuației numită standard și o egalizăm cu zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

După pliere, definim discriminatorul: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Deci, ecuația noastră va avea două rădăcini. Calculăm-le în funcție de formula de mai sus, ceea ce înseamnă că primul dintre ele este de 4/3, iar al doilea.

2) Acum dezvăluie ghicitul unui alt fel.

Aflați, există vreo rădăcină aici x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Pentru a obține un răspuns cuprinzător, oferim un polinom pentru familiaritatea adecvată și calculul discriminatorului. În exemplul specificat, soluția ecuației pătrate nu este necesară, deoarece esența sarcinii nu este deloc acest lucru. În acest caz, D \u003d 16 - 20 \u003d 4, ceea ce înseamnă că nu există nici o rădăcină.

Teorema Vieta.

Ecuațiile pătrate sunt soluționate convenabil prin formulele de mai sus și discriminante atunci când rădăcina pătrată este extrasă din ultima valoare. Dar nu se întâmplă întotdeauna. Cu toate acestea, există multe modalități de a obține variabile în acest caz. Exemplu: Soluții de ecuații pătrate pe teorema Vieta. Ea este numită după care a trăit în secolul al XVI-lea în Franța și a făcut o carieră strălucită datorită talentului său matematic și curți. Portretul se poate observa în articol.

Modelul pe care notatul faimosul francez a fost după cum urmează. El a dovedit că rădăcinile ecuației în cantitate sunt numeric egale cu -p \u003d b / a, iar produsul lor corespunde cu Q \u003d C / A.

Acum, luați în considerare sarcinile specifice.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Pentru simplitate, transformăm expresia:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Folosim teorema Vieta, ne va da următoarele: cantitatea de rădăcini este -7 și munca lor -18. De aici, obținem că rădăcinile ecuațiilor sunt numere -9 și 2. După ce au făcut o verificare, asigurați-vă că aceste valori ale variabilelor sunt într-adevăr potrivite în expresie.

Graficul și ecuația parabolei

Concepte Funcția patratic și ecuațiile pătrate sunt strâns legate. Exemple de acest lucru au fost deja prezentate mai devreme. Acum luați în considerare câteva ghicitori matematice puțin mai mult. Orice ecuație a tipului descris poate fi imaginată. O dependență similară trasă sub forma unui grafic se numește parabola. Diferitele sale tipuri sunt prezentate în figura de mai jos.

Orice parabolă are un vârf, adică punctul din care ies ramurile sale. În cazul în care un\u003e 0, ei lasă ridicat în infinit și când a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Imaginile vizuale ale funcțiilor ajută la rezolvarea oricăror ecuații, inclusiv pătrate. Această metodă este numită grafică. Iar valoarea variabilei X este coordonatul Abscisa la punctele în care graficul graficului trece de la 0X. Coordonatele vârfurilor pot fi găsite conform unei singure formule x 0 \u003d -b / 2a. Și, înlocuind valoarea rezultată la ecuația inițială a funcției, puteți învăța Y 0, adică a doua coordonată a vârfului de pearabol aparținând axei ordonate.

Traversând ramurile parabolei cu axa Abscisa

Exemple cu soluții de ecuații pătrate sunt foarte mult, dar există modele generale. Ia în considerare. Este clar că intersecția graficului cu axa 0x la A\u003e 0 este posibilă numai dacă 0 primește valori negative. Și pentru A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. În caz contrar D.<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Potrivit graficului, parabolele pot fi determinate și rădăcini. Opusul este, de asemenea, adevărat. Asta este, dacă obțineți o imagine vizuală a unei funcții patrate, nu este ușor, puteți echivala partea dreaptă a expresiei la 0 și rezolvați ecuația obținută. Și cunoașterea punctelor de intersecție cu axa 0x, este mai ușor să construim un program.

Din istorie

Cu ajutorul ecuațiilor care conțin variabila ridicată în piață, în vechile zile nu numai că a făcut calcule matematice și a determinat zona de figuri geometrice. Calcule similare ale vechiului au fost necesare pentru descoperiri mari în domeniul fizicii și astronomiei, precum și pentru a compila prognozele astrologice.

Pe măsură ce cifrele științifice moderne sugerează, printre primele soluții de ecuații pătrate, locuitorii Babilonului au luat-o. Sa întâmplat în patru secole înainte de debutul epocii noastre. Desigur, calculele lor în rădăcină diferă de acum adoptate și s-au dovedit a fi mult primitive. De exemplu, matematicienii mezopotamian nu aveau nicio idee despre existența unor numere negative. Străinii aveau și alte subtilități de la cei care cunosc orice student al timpului nostru.

Poate că au fost angajați oameni de știință mai devreme din Babilon, soluția de ecuații pătrate, un salvie de India Budhoyama. Sa întâmplat în aproximativ opt secole înainte de epoca lui Hristos. Adevărat, ecuația ordinii a doua, metodele de rezolvare pe care le-a condus a fost cea mai simultană. În plus față de el, astfel de întrebări au fost interesate de matematicienii vechi și chinezi. În Europa, ecuațiile pătrate au început să rezolve numai la începutul secolului al XIII-lea, dar mai târziu au fost folosite în munca lor atât de mari oameni de știință ca Newton, Descartes și multe altele.