Ecuație cuadratică - ușor de rezolvat! * Mai departe în textul „KU”. Prieteni, s-ar părea, ce ar putea fi mai ușor în matematică decât rezolvarea unei astfel de ecuații. Dar ceva mi-a spus că mulți au probleme cu el. Am decis să văd câte afișări pe lună Yandex. Iată ce s-a întâmplat, aruncați o privire:

Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că aproximativ 70.000 de oameni pe lună caută această informație, ce înseamnă asta în această vară și ce va fi printre an scolar- vor exista de două ori mai multe solicitări. Acest lucru nu este surprinzător, pentru că acei băieți și fete care au absolvit școala cu mult timp în urmă și se pregătesc pentru Examenul Unificat de Stat caută aceste informații, iar școlarii caută și ei să le reîmprospăteze în memorie.

În ciuda faptului că există o mulțime de site-uri care vă spun cum să rezolvați această ecuație, am decis să fac și eu partea mea și să public materialul. În primul rând, vreau ca vizitatorii să vină pe site-ul meu pentru această solicitare; în al doilea rând, în alte articole, când vine discursul „KU”, voi da un link către acest articol; în al treilea rând, vă voi spune despre soluția lui puțin mai mult decât se spune de obicei pe alte site-uri. Să începem! Conținutul articolului:

O ecuație pătratică este o ecuație de formă:

unde coeficienții a,bși cu numere arbitrare, cu a ≠ 0.

V curs şcolar materialul este dat în următoarea formă - ecuațiile sunt împărțite condiționat în trei clase:

1. Au două rădăcini.

2. * Au o singură rădăcină.

3. Nu au rădăcini. Este demn de remarcat aici că nu au rădăcini valide.

Cum se calculează rădăcinile? Doar!

Calculăm discriminantul. Sub acest cuvânt „îngrozitor” se află o formulă destul de simplă:

Formulele rădăcinilor sunt următoarele:

* Trebuie să cunoașteți aceste formule pe de rost.

Puteți nota imediat și puteți decide:

Exemplu:

1. Dacă D> 0, atunci ecuația are două rădăcini.

2. Dacă D = 0, atunci ecuația are o rădăcină.

3. Dacă D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Să ne uităm la ecuație:

În acest sens, când discriminantul este zero, la cursul școlar se spune că se obține o rădăcină, aici este egală cu nouă. Totul este corect, este, dar...

Această reprezentare este oarecum incorectă. De fapt, există două rădăcini. Da, da, nu fi surprins, rezultă două rădăcini egale și, pentru a fi exact din punct de vedere matematic, atunci răspunsul ar trebui să fie scris două rădăcini:

x 1 = 3 x 2 = 3

Dar așa este - o mică divagare. La școală, poți scrie și spune că există o singură rădăcină.

Acum următorul exemplu:

După cum știm, rădăcina unui număr negativ nu poate fi extrasă, deci soluțiile din acest caz Nu.

Acesta este întregul proces de rezolvare.

Funcția pătratică.

Iată cum arată geometric soluția. Este extrem de important să înțelegem acest lucru (în viitor, într-unul dintre articole, vom analiza în detaliu soluția inegalității pătratelor).

Aceasta este o funcție a formei:

unde x și y sunt variabile

a, b, c - numere date, cu un ≠ 0

Graficul este o parabolă:

Adică, rezultă că rezolvând ecuația pătratică cu „y” egal cu zero, găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa ox. Pot exista două dintre aceste puncte (discriminantul este pozitiv), unul (discriminantul este zero) și niciunul (discriminantul este negativ). Detalii despre funcţie pătratică Puteți vizualiza articol de Inna Feldman.

Să ne uităm la câteva exemple:

Exemplul 1: Rezolvați 2x 2 +8 X–192=0

a = 2 b = 8 c = –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) = 64 + 1536 = 1600

Răspuns: x 1 = 8 x 2 = –12

* A fost posibil să se împartă imediat laturile stângă și dreaptă ale ecuației cu 2, adică să o simplificăm. Calculele vor fi mai ușoare.

Exemplul 2: Decide x 2–22 x + 121 = 0

a = 1 b = –22 c = 121

D = b 2 –4ac = (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 = 484–484 = 0

Avem că x 1 = 11 și x 2 = 11

În răspuns, este permis să scrieți x = 11.

Răspuns: x = 11

Exemplul 3: Decide x 2 –8x + 72 = 0

a = 1 b = –8 c = 72

D = b 2 –4ac = (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 = 64–288 = –224

Discriminantul este negativ, nu există nicio soluție în număr real.

Răspuns: nicio soluție

Discriminantul este negativ. Există o soluție!

Aici vom vorbi despre rezolvarea ecuației în cazul în care se obține un discriminant negativ. Știi ceva despre numerele complexe? Nu voi intra în detaliu aici despre de ce și de unde au venit și care sunt rolul și nevoia lor specifică în matematică, acesta este un subiect pentru un articol separat.

Conceptul de număr complex.

Un pic de teorie.

Un număr complex z este un număr de formă

z = a + bi

unde a și b sunt numere reale, i este așa-numita unitate imaginară.

a + bi Este un SINGUR NUMĂR, nu o adunare.

Unitatea imaginară este egală cu rădăcina minus unu:

Acum luați în considerare ecuația:

Avem două rădăcini conjugate.

Ecuație pătratică incompletă.

Luați în considerare cazuri speciale, atunci când coeficientul „b” sau „c” este egal cu zero (sau ambele sunt egale cu zero). Ele sunt ușor de rezolvat, fără discriminatori.

Cazul 1. Coeficientul b = 0.

Ecuația ia forma:

Să transformăm:

Exemplu:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Cazul 2. Coeficient cu = 0.

Ecuația ia forma:

Transformăm, factorizăm:

* Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Exemplu:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x – 5) = 0 => x = 0 sau x – 5 = 0

x 1 = 0 x 2 = 5

Cazul 3. Coeficienții b = 0 și c = 0.

Este clar aici că soluția la ecuație va fi întotdeauna x = 0.

Proprietăți utile și modele de coeficienți.

Există proprietăți care vă permit să rezolvați ecuații cu coeficienți mari.

AX 2 + bx+ c=0 egalitatea este valabilă

A + b+ c = 0, atunci

- dacă pentru coeficienţii ecuaţiei AX 2 + bx+ c=0 egalitatea este valabilă

A+ c =b, atunci

Aceste proprietăți ajută la rezolvarea unui anumit tip de ecuație.

Exemplul 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Suma cotelor este 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0, deci

Exemplul 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Egalitatea este îndeplinită A+ c =b, mijloace

Regularităţi ale coeficienţilor.

1. Dacă în ecuația ax 2 + bx + c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 + (a 2 +1) ∙ х + а = 0 => х 1 = –а х 2 = –1 / a.

Exemplu. Luați în considerare ecuația 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Dacă în ecuația ax 2 - bx + c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt

ax 2 - (a 2 +1) ∙ x + a = 0 => x 1 = a x 2 = 1 / a.

Exemplu. Se consideră ecuația 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Dacă în ecuaţie ax 2 + bx - c = 0 coeficient "b" este egal cu (a 2 - 1), și coeficientul „c” egal numeric cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 + (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = - а х 2 = 1 / a.

Exemplu. Se consideră ecuația 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. Dacă în ecuația ax 2 - bx - c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 - 1), iar coeficientul c este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt

ax 2 - (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = а х 2 = - 1 / a.

Exemplu. Se consideră ecuația 10x 2 - 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

Teorema lui Vieta.

Teorema lui Vieta poartă numele celebrului matematician francez François Vieta. Folosind teorema lui Vieta, putem exprima suma și produsul rădăcinilor unui KE arbitrar în termeni de coeficienți ai acestuia.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

În total, numărul 14 dă doar 5 și 9. Acestea sunt rădăcinile. Cu o anumită abilitate, folosind teorema prezentată, puteți rezolva verbal multe ecuații pătratice.

În plus, teorema lui Vieta. convenabil prin faptul că după rezolvarea ecuației pătratice în mod obișnuit (prin discriminant), rădăcinile obținute pot fi verificate. Recomand să faceți acest lucru în orice moment.

METODA DE TRANSFER

Cu această metodă, coeficientul „a” este înmulțit cu termenul liber, ca și cum ar fi „aruncat” către el, de aceea se numește prin metoda „transferului”. Această metodă este folosită atunci când puteți găsi cu ușurință rădăcinile ecuației folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

Dacă A± b + c≠ 0, atunci se utilizează tehnica de transfer, de exemplu:

2NS 2 – 11x + 5 = 0 (1) => NS 2 – 11x + 10 = 0 (2)

Prin teorema lui Vieta din ecuația (2) este ușor de determinat că x 1 = 10 x 2 = 1

Rădăcinile obținute ale ecuației trebuie împărțite la 2 (deoarece două au fost „aruncate” din x 2), obținem

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Care este rațiunea? Vezi ce se întâmplă.

Discriminanții ecuațiilor (1) și (2) sunt egali:

Dacă te uiți la rădăcinile ecuațiilor, atunci se obțin doar numitori diferiți, iar rezultatul depinde exact de coeficientul de la x 2:

A doua rădăcină (modificată) este de 2 ori mai mare.

Prin urmare, împărțim rezultatul la 2.

* Dacă reluăm un trei, atunci împărțim rezultatul la 3 etc.

Răspuns: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mp. ur-ye și examen.

Despre importanta ei o sa spun pe scurt – TREBUIE SA POTI SOLUVI rapid si fara ezitare, formulele radacinilor si discriminantului trebuie cunoscute pe de rost. Multe dintre sarcinile care fac parte din sarcinile USE sunt reduse la rezolvarea unei ecuații pătratice (inclusiv geometrice).

Ce este de remarcat!

1. Forma de scriere a ecuației poate fi „implicită”. De exemplu, este posibilă următoarea intrare:

15+ 9x 2 - 45x = 0 sau 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 sau 15 -5x + 10x 2 = 0.

Trebuie să îl aduceți într-o formă standard (pentru a nu vă încurca atunci când rezolvați).

2. Amintiți-vă că x este o cantitate necunoscută și poate fi notat cu orice altă literă - t, q, p, h și altele.

Școala secundară rurală Kopyevskaya

10 moduri de a rezolva ecuații pătratice

Șef: Galina Anatolyevna Patrikeyeva,

profesor de matematică

satul Kopyevo, 2007

1. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătratice

1.1 Ecuații cuadraticeîn Babilonul antic

1.2 Cum a compilat și a rezolvat Diophantus ecuațiile cuadratice

1.3 Ecuații cuadratice în India

1.4 Ecuații cuadratice de la al-Khorezmi

1.5 Ecuații cuadratice în Europa secolele XIII - XVII

1.6 Despre teorema lui Vieta

2. Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Concluzie

Literatură

1. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătratice

1.1 Ecuații cuadratice în Babilonul antic

Necesitatea rezolvării ecuațiilor nu numai de gradul I, ci și de gradul II chiar și în antichitate a fost cauzată de necesitatea de a rezolva problemele asociate cu găsirea unor zone de teren și terasamente de natură militară, precum și cu dezvoltarea astronomiei. și matematica însăși. Au fost capabili să rezolve ecuații pătratice în jurul anului 2000 î.Hr. NS. babilonienii.

Aplicând notația algebrică modernă, putem spune că în textele lor cuneiforme există, pe lângă cele incomplete, precum, de exemplu, ecuații patratice complete:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Regula de rezolvare a acestor ecuații, expusă în textele babiloniene, coincide în esență cu cea modernă, dar nu se știe cum au ajuns babilonienii la această regulă. Aproape toate textele cuneiforme găsite până acum dau doar probleme cu soluțiile prezentate sub formă de rețete, fără instrucțiuni cu privire la modul în care au fost găsite.

În ciuda nivel inalt dezvoltarea algebrei în Babilon, textelor cuneiforme le lipsește conceptul de număr negativ și metode generale de rezolvare a ecuațiilor pătratice.

1.2 Cum a compilat și a rezolvat Diophantus ecuațiile pătratice.

În „Aritmetica” lui Diofant nu există o prezentare sistematică a algebrei, ci conține o serie sistematizată de probleme, însoțite de explicații și rezolvate prin întocmirea de ecuații de diferite grade.

Atunci când elaborează ecuații, Diophantus alege cu pricepere necunoscutele pentru a simplifica soluția.

Iată, de exemplu, una dintre sarcinile lui.

Problema 11.„Găsiți două numere, știind că suma lor este 20 și produsul este 96”

Diophantus argumentează astfel: din condiția problemei rezultă că numerele căutate nu sunt egale, deoarece dacă ar fi egale, atunci produsul lor ar fi egal nu cu 96, ci cu 100. Astfel, unul dintre ele va fi mai mult de jumătate din numărul lor. suma, adică ... 10 + x, celălalt este mai puțin, adică. 10 - x... Diferența dintre ele 2x .

De aici ecuația:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

De aici x = 2... Unul dintre numerele necesare este 12 , alte 8 ... Soluţie x = -2 căci Diofantul nu există, deoarece matematica greacă nu cunoștea decât numere pozitive.

Dacă rezolvăm această problemă, alegând unul dintre numerele necesare drept necunoscut, atunci ajungem la soluția ecuației

y (20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Este clar că, alegând jumătate de diferență a numerelor căutate drept necunoscut, Diophantus simplifică soluția; el reuşeşte să reducă problema la rezolvarea unei ecuaţii pătratice incomplete (1).

1.3 Ecuații pătratice în India

Probleme pentru ecuațiile pătratice sunt deja întâlnite în tractul astronomic „Aryabhattiam”, compilat în 499 de matematicianul și astronomul indian Aryabhatta. Un alt savant indian, Brahmagupta (secolul VII), a conturat regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice, redusă la o singură formă canonică:

ah 2 + b x = c, a> 0. (1)

În ecuația (1), coeficienții, cu excepția A, poate fi negativ. Regula Brahmagupta este în esență aceeași cu a noastră.

În India antică, competiția publică pentru rezolvarea problemelor dificile era obișnuită. Una dintre cărțile indiene antice spune următoarele despre astfel de competiții: „Pe măsură ce soarele eclipsează stelele cu strălucirea sa, tot așa un om învățat va eclipsa gloria altuia în adunările populare, propunând și hotărând probleme algebrice". Sarcinile erau adesea îmbrăcate în formă poetică.

Iată una dintre sarcinile celebrului matematician indian din secolul al XII-lea. Bhaskaras.

Problema 13.

„Stol vioi de maimuțe Și doisprezece de-a lungul viilor ...

După ce ai mâncat puterea, am distrat-te. Au început să sară, atârnând...

Există a opta parte dintre ele într-un pătrat. Câte maimuțe erau acolo,

Mă distram în luminiș. Îmi spui, în pachetul ăsta?"

Soluția lui Bhaskara indică faptul că știa despre rădăcinile cu două valori ale ecuațiilor pătratice (Fig. 3).

Ecuația corespunzătoare problemei 13:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara scrie sub pretextul:

x 2 - 64x = -768

și, pentru a completa partea stângă a acestei ecuații la un pătrat, adaugă ambelor părți 32 2 , apoi obțineți:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ecuații cuadratice pentru al - Khorezmi

Tratatul algebric al - Khorezmi oferă o clasificare a ecuațiilor liniare și pătratice. Autorul numără 6 tipuri de ecuații, exprimându-le astfel:

1) „Pătratele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax 2 + c = b NS.

2) „Pătratele sunt egale cu un număr”, adică toporul 2 = c.

3) „Rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică. ah = c.

4) „Pătratele și numerele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax 2 + c = b NS.

5) „Pătratele și rădăcinile sunt egale cu un număr”, adică ah 2 + bx = s.

6) „Rădăcinile și numerele sunt egale cu pătratele”, adică bx + c = ax 2.

Pentru al - Khorezmi, care a evitat utilizarea numerelor negative, termenii fiecăreia dintre aceste ecuații sunt adunări, nu scădeți. În acest caz, ecuațiile care nu au soluții pozitive cu siguranță nu sunt luate în considerare. Autorul conturează modalitățile de rezolvare a acestor ecuații, folosind tehnicile al - jabr și al - muqabal. Decizia lui, desigur, nu coincide complet cu a noastră. Pe lângă faptul că este pur retorică, trebuie remarcat, de exemplu, că la rezolvarea unei ecuații pătratice incomplete de primul tip

al - Khorezmi, ca toți matematicienii până în secolul al XVII-lea, nu ține cont de soluția zero, probabil pentru că nu contează în probleme practice specifice. Când rezolvă ecuații pătratice complete, al - Khorezmi, folosind exemple numerice particulare, stabilește regulile de rezolvare și apoi dovezi geometrice.

Problema 14.„Pătratul și numărul 21 sunt egale cu 10 rădăcini. Găsiți rădăcina " (implica rădăcina ecuației x 2 + 21 = 10x).

Soluția autorului spune cam așa: împărțiți numărul de rădăcini la jumătate, obțineți 5, înmulțiți 5 cu el însuși, scădeți 21 din produs, va fi 4. Extrageți rădăcina lui 4, obțineți 2. Scădeți 2 din 5. , obțineți 3, aceasta va fi rădăcina dorită. Sau adăugați 2 la 5, ceea ce dă 7, aceasta este și o rădăcină.

Tratatul al - Khorezmi este prima carte care a ajuns la noi, în care este prezentată sistematic clasificarea ecuațiilor pătratice și sunt date formule pentru rezolvarea acestora.

1.5 Ecuații pătratice în Europa XIII - XVII cc

Formulele pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice pe modelul lui al - Khorezmi în Europa au fost prezentate pentru prima dată în „Cartea lui Abacus”, scrisă în 1202 de matematicianul italian Leonardo Fibonacci. Această lucrare voluminoasă, care reflectă influența matematicii, atât în ​​țările islamice, cât și Grecia antică, diferă atât prin completitudinea cât și prin claritatea prezentării. Autorul a dezvoltat unele noi singur. exemple algebrice rezolvarea problemelor și primul din Europa a abordat introducerea numerelor negative. Cartea sa a contribuit la diseminarea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe probleme din „Cartea Abacului” au fost transferate în aproape toate manualele europene din secolele XVI-XVII. și parțial XVIII.

Regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică:

x 2 + bx = s,

cu toate combinațiile posibile de semne de cote b , cu a fost formulată în Europa abia în 1544 de M. Stiefel.

Derivarea formulei de rezolvare a unei ecuații pătratice în vedere generala este în Viet, totuși Viet a recunoscut doar rădăcini pozitive. Matematicienii italieni Tartaglia, Cardano, Bombelli au fost printre primii în secolul al XVI-lea. Luați în considerare, pe lângă rădăcinile pozitive și negative. Abia în secolul al XVII-lea. Datorită muncii lui Girard, Descartes, Newton și alți oameni de știință, metoda de rezolvare a ecuațiilor pătratice capătă o formă modernă.

1.6 Despre teorema lui Vieta

O teoremă care exprimă legătura dintre coeficienții unei ecuații pătratice și rădăcinile acesteia, numită Vieta, a fost formulată pentru prima dată de acesta în 1591 după cum urmează: „Dacă B + Dînmulțit cu A - A 2 , egal BD, atunci A egal V si egali D ».

Pentru a înțelege Vieta, ar trebui să ne amintim asta A, ca orice vocală, a însemnat pentru el necunoscutul (nostru NS), vocale V, D- coeficienți pentru necunoscut. În limbajul algebrei moderne, formularea de mai sus a lui Vieta înseamnă: dacă

(a + b ) x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b ) x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Exprimând relația dintre rădăcini și coeficienții ecuațiilor prin formule generale scrise cu ajutorul simbolurilor, Viet a stabilit uniformitate în metodele de rezolvare a ecuațiilor. Cu toate acestea, simbolismul lui Vieta este încă departe de a fi aspect modern... Nu a recunoscut numerele negative și, prin urmare, la rezolvarea ecuațiilor, a luat în considerare doar cazurile în care toate rădăcinile sunt pozitive.

2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice

Ecuațiile cuadratice sunt fundația pe care se sprijină magnificul edificiu al algebrei. Ecuațiile pătratice sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, exponențiale, logaritmice, iraționale și transcendentale. Cu toții știm să rezolvăm ecuații patratice de la școală (clasa a 8-a), până la absolvire.

V societate modernă capacitatea de a efectua acțiuni cu ecuații care conțin o variabilă pătrată poate fi utilă în multe domenii de activitate și este utilizată pe scară largă în practică în domeniul științific și evoluții tehnice... Acest lucru este dovedit de proiectarea navelor maritime și fluviale, avioanelor și rachetelor. Cu ajutorul unor astfel de calcule, sunt determinate traiectoriile mișcării unei largi varietăți de corpuri, inclusiv a obiectelor spațiale. Exemplele cu soluția ecuațiilor pătratice sunt folosite nu numai în prognoza economică, în proiectarea și construcția clădirilor, ci și în cele mai obișnuite circumstanțe cotidiene. Ele pot fi necesare în excursii de camping, la evenimente sportive, în magazine atunci când fac cumpărături și în alte situații foarte frecvente.

Să despărțim expresia în factorii ei constitutivi

Gradul unei ecuații este determinat de valoarea maximă a gradului variabilei pe care o conține expresia dată. Dacă este egală cu 2, atunci o astfel de ecuație se numește pătrat.

Dacă explicăm în limbajul formulelor, atunci aceste expresii, indiferent de cum arată, pot fi întotdeauna reduse la forma când partea stângă a expresiei este formată din trei termeni. Printre acestea: ax 2 (adică o variabilă pătrat cu coeficientul său), bx (o necunoscută fără pătrat cu coeficientul său) și c (o componentă liberă, adică un număr obișnuit). Toate acestea din partea dreaptă sunt egale cu 0. În cazul în care unui polinom similar lipsește unul dintre termenii săi constitutivi, cu excepția axei 2, se numește ecuație pătratică incompletă. Exemple cu soluția unor astfel de probleme, valoarea variabilelor în care este ușor de găsit, ar trebui luate în considerare mai întâi.

Dacă expresia arată în așa fel încât să existe doi termeni în expresia din partea dreaptă, mai precis ax 2 și bx, cel mai ușor este să găsiți x plasând variabila în afara parantezei. Acum ecuația noastră va arăta astfel: x (ax + b). În plus, devine evident că fie x = 0, fie problema se reduce la găsirea unei variabile din următoarea expresie: ax + b = 0. Acest lucru este dictat de una dintre proprietățile înmulțirii. Regula este că produsul a doi factori are ca rezultat 0 numai dacă unul dintre ei este egal cu zero.

Exemplu

x = 0 sau 8x - 3 = 0

Ca rezultat, obținem două rădăcini ale ecuației: 0 și 0,375.

Ecuațiile de acest fel pot descrie mișcarea corpurilor sub acțiunea gravitației, care a început să se miște dintr-un anumit punct luat drept origine. Aici notația matematică ia următoarea formă: y = v 0 t + gt 2/2. Înlocuind valorile necesare, echivalând partea dreaptă cu 0 și găsind posibile necunoscute, puteți afla timpul scurs din momentul în care corpul se ridică până în momentul în care cade, precum și multe alte cantități. Dar despre asta vom vorbi mai târziu.

Factorizarea unei expresii

Regula descrisă mai sus face posibilă rezolvarea sarcinilor indicate în mai multe cazuri dificile... Să luăm în considerare exemple cu soluția ecuațiilor pătratice de acest tip.

X 2 - 33x + 200 = 0

Acest trinom pătrat este complet. Mai întâi, să transformăm expresia și să o factorizăm. Sunt două dintre ele: (x-8) și (x-25) = 0. Ca rezultat, avem două rădăcini 8 și 25.

Exemplele cu rezolvarea ecuațiilor pătratice din clasa a 9-a permit acestei metode să găsească o variabilă în expresii nu numai de ordinul doi, ci chiar de ordinul al treilea și al patrulea.

De exemplu: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. La factorizarea părții drepte în factori cu o variabilă, există trei dintre ei, adică (x + 1), (x-3) și (x + 3).

Ca urmare, devine evident că această ecuație are trei rădăcini: -3; -1; 3.

Extragerea rădăcinii pătrate

Un alt caz al unei ecuații incomplete de ordinul doi este o expresie reprezentată în limbajul literelor în așa fel încât partea dreaptă să fie construită din componentele ax 2 și c. Aici, pentru a obține valoarea variabilei, termenul liber este transferat partea dreapta, iar după aceea, din ambele părți ale egalității, extragem Rădăcină pătrată... Trebuie remarcat faptul că, în acest caz, există de obicei două rădăcini ale ecuației. Singurele excepții sunt egalitățile care nu conțin deloc termenul c, unde variabila este egală cu zero, precum și variantele de expresii când partea dreaptă se dovedește a fi negativă. V acest din urmă caz nu există deloc soluții, deoarece acțiunile de mai sus nu pot fi efectuate cu rădăcini. Ar trebui luate în considerare exemple de soluții la ecuații pătratice de acest tip.

În acest caz, rădăcinile ecuației vor fi numerele -4 și 4.

Calculul suprafeței terenului

Necesitatea acestui gen de calcule a apărut în antichitate, deoarece dezvoltarea matematicii în multe privințe în acele vremuri îndepărtate s-a datorat necesității de a determina cu cea mai mare acuratețe suprafețele și perimetrele terenurilor.

Exemple cu soluția ecuațiilor pătratice, compilate pe baza unor astfel de probleme, ar trebui să fie luate în considerare de noi.

Deci, să presupunem că există o bucată de pământ dreptunghiulară, a cărei lungime este cu 16 metri mai mare decât lățimea. Ar trebui să găsiți lungimea, lățimea și perimetrul sitului dacă știți că suprafața acestuia este de 612 m 2.

Trecând la treabă, să întocmim mai întâi ecuația necesară. Să notăm cu x lățimea secțiunii, apoi lungimea acesteia va fi (x + 16). Din cele scrise rezultă că aria este determinată de expresia x (x + 16), care, după condiția problemei noastre, este 612. Aceasta înseamnă că x (x + 16) = 612.

Soluția ecuațiilor pătratice complete, iar această expresie este doar asta, nu poate fi făcută în același mod. De ce? Deși partea stângă a acestuia conține încă doi factori, produsul lor nu este deloc egal cu 0, așa că alte metode se aplică aici.

Discriminant

În primul rând, vom face transformările necesare, apoi aspectul acestei expresii va arăta astfel: x 2 + 16x - 612 = 0. Aceasta înseamnă că am primit o expresie în forma corespunzătoare standardului specificat anterior, unde a = 1, b = 16, c = -612.

Acesta poate fi un exemplu de rezolvare a ecuațiilor pătratice prin discriminant. Aici se fac calculele necesare conform schemei: D = b 2 - 4ac. Această mărime auxiliară nu numai că face posibilă găsirea cantităților necesare în ecuația de ordinul doi, ci determină cantitatea opțiuni posibile... Dacă D> 0, sunt două dintre ele; pentru D = 0 există o rădăcină. Daca D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Despre rădăcini și formula lor

În cazul nostru, discriminantul este: 256 - 4 (-612) = 2704. Aceasta indică faptul că problema noastră are un răspuns. Dacă știți, k, soluția ecuațiilor pătratice trebuie continuată folosind formula de mai jos. Vă permite să calculați rădăcinile.

Aceasta înseamnă că în cazul prezentat: x 1 = 18, x 2 = -34. A doua opțiune din această dilemă nu poate fi o soluție, deoarece dimensiunile terenului nu pot fi măsurate în valori negative, deci x (adică lățimea parcelei) este de 18 m. De aici calculăm lungimea: 18 + 16 = 34, iar perimetrul 2 (34+ 18) = 104 (m 2).

Exemple și sarcini

Continuăm să studiem ecuațiile pătratice. Exemple și o soluție detaliată pentru mai multe dintre ele vor fi date mai jos.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Transferăm totul în partea stângă a egalității, facem o transformare, adică obținem forma ecuației, care se numește de obicei standard, și o echivalăm cu zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Adăugând altele similare, definim discriminantul: D = 49 - 48 = 1. Deci ecuația noastră va avea două rădăcini. Le calculăm conform formulei de mai sus, ceea ce înseamnă că primul dintre ele va fi 4/3, iar al doilea 1.

2) Acum vom dezvălui ghicitorile de alt fel.

Să aflăm dacă există rădăcini aici x 2 - 4x + 5 = 1? Pentru a obține un răspuns exhaustiv, să aducem polinomul la forma familiară corespunzătoare și să calculăm discriminantul. În acest exemplu, soluția ecuației pătratice nu este necesară, deoarece esența problemei nu este deloc în aceasta. În acest caz, D = 16 - 20 = -4, ceea ce înseamnă că într-adevăr nu există rădăcini.

Teorema lui Vieta

Este convenabil să se rezolve ecuații pătratice folosind formulele de mai sus și discriminantul, atunci când rădăcina pătrată este extrasă din valoarea acestuia din urmă. Dar acest lucru nu este întotdeauna cazul. Cu toate acestea, există multe modalități de a obține valorile variabilelor în acest caz. Exemplu: rezolvarea ecuațiilor pătratice prin teorema lui Vieta. Ea poartă numele unui bărbat care a trăit în Franța secolului al XVI-lea și a făcut o carieră strălucitoare datorită talentului său matematic și a legăturilor sale la curte. Portretul lui poate fi văzut în articol.

Modelul observat de celebrul francez a fost următorul. El a demonstrat că rădăcinile ecuației din sumă sunt numeric egale cu -p = b / a, iar produsul lor corespunde cu q = c / a.

Acum să ne uităm la sarcini specifice.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Pentru simplitate, transformăm expresia:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vom folosi teorema lui Vieta, aceasta ne va da următoarele: suma rădăcinilor este -7, iar produsul lor este -18. Din aceasta obținem că rădăcinile ecuației sunt numerele -9 și 2. După ce am verificat, ne vom asigura că aceste valori ale variabilelor se potrivesc cu adevărat în expresie.

Graficul parabolei și ecuația

Conceptele de funcție pătratică și ecuații pătratice sunt strâns legate. Exemple în acest sens au fost deja date mai devreme. Acum să ne uităm la câteva dintre ghicitorile de matematică mai detaliat. Orice ecuație de tipul descris poate fi vizualizată. O astfel de relație, desenată sub forma unui grafic, se numește parabolă. Diferitele sale tipuri sunt prezentate în figura de mai jos.

Orice parabolă are un vârf, adică un punct din care ies ramurile sale. Dacă a> 0, ele cresc la infinit, iar când a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Reprezentările vizuale ale funcțiilor ajută la rezolvarea oricăror ecuații, inclusiv a celor pătratice. Această metodă se numește grafică. Iar valoarea variabilei x este coordonata abscisă în punctele în care linia graficului se intersectează cu 0x. Coordonatele vârfului pot fi găsite prin formula recent dată x 0 = -b / 2a. Și, înlocuind valoarea obținută în ecuația inițială a funcției, puteți afla y 0, adică a doua coordonată a vârfului parabolei, aparținând axei ordonatelor.

Intersecția ramurilor parabolei cu axa abscisei

Există o mulțime de exemple cu soluția ecuațiilor pătratice, dar există și modele generale. Să le luăm în considerare. Este clar că intersecția graficului cu axa 0x pentru a> 0 este posibilă numai dacă y 0 ia valori negative. Și pentru a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. În caz contrar, D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Rădăcinile pot fi determinate și din graficul parabolelor. Este adevărat și invers. Adică, dacă nu este ușor să obțineți o imagine vizuală a unei funcții pătratice, puteți echivala partea dreaptă a expresiei cu 0 și puteți rezolva ecuația rezultată. Și cunoscând punctele de intersecție cu axa 0x, este mai ușor să construiești un grafic.

Din istorie

Cu ajutorul ecuațiilor care conțin o variabilă pătrată, pe vremuri nu făceau doar calcule matematice și determinau ariile formelor geometrice. Astfel de calcule erau necesare anticilor pentru descoperiri grandioase în domeniul fizicii și astronomiei, precum și pentru a face prognoze astrologice.

După cum presupun oamenii de știință moderni, locuitorii Babilonului au fost printre primii care au rezolvat ecuațiile pătratice. S-a întâmplat cu patru secole înaintea erei noastre. Desigur, calculele lor erau fundamental diferite de cele acceptate în prezent și s-au dovedit a fi mult mai primitive. De exemplu, matematicienii mesopotamieni nu aveau idee despre existența numerelor negative. De asemenea, nu erau familiarizați cu alte subtilități pe care orice școlar din vremea noastră le cunoaște.

Poate chiar mai devreme decât oamenii de știință din Babilon, înțeleptul din India Baudhayama a preluat soluția ecuațiilor pătratice. S-a întâmplat cu aproximativ opt secole înainte de apariția erei lui Hristos. Adevărat, ecuațiile de ordinul doi, metodele de rezolvare pe care le-a dat, erau cele mai simple. Pe lângă el, matematicienii chinezi erau și ei interesați de întrebări similare pe vremuri. În Europa, ecuațiile pătratice au început să fie rezolvate abia la începutul secolului al XIII-lea, dar mai târziu au fost folosite în lucrările lor de oameni de știință atât de mari precum Newton, Descartes și mulți alții.

Continuând subiectul „Rezolvarea ecuațiilor”, materialul din acest articol vă va introduce ecuațiile pătratice.

Să luăm în considerare totul în detaliu: esența și scrierea ecuației pătratice, vom stabili termeni înrudiți, vom analiza schema de rezolvare a ecuațiilor incomplete și complete, ne vom familiariza cu formula rădăcinilor și a discriminantului, vom stabili conexiuni între rădăcini și coeficienți și, bineînțeles, vom oferi o soluție vizuală de exemple practice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ecuația pătratică, tipurile sale

Definiția 1

Ecuație cuadratică Este o ecuație scrisă ca a x 2 + b x + c = 0, Unde X- variabilă, a, b și c- unele numere, în timp ce A nu este zero.

Adesea, ecuațiile pătratice sunt numite și ecuații de gradul doi, deoarece, în esență, o ecuație pătratică este o ecuație algebrică de gradul doi.

Să dăm un exemplu pentru a ilustra definiția dată: 9 · x 2 + 16 · x + 2 = 0; 7,5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 etc. Sunt ecuații pătratice.

Definiția 2

Numerele a, b și c Sunt coeficienții ecuației pătratice a x 2 + b x + c = 0, în timp ce coeficientul A se numește primul sau senior sau coeficient la x 2, b - al doilea coeficient sau coeficient la X, A c numit membru liber.

De exemplu, într-o ecuație pătratică 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 cel mai mare coeficient este 6, al doilea coeficient este − 2 iar termenul liber este − 11 ... Să fim atenți la faptul că atunci când coeficienții bși / sau c sunt negative, apoi se folosește o notare scurtă a formei 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, dar nu 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

Să lămurim şi acest aspect: dacă coeficienţii Ași/sau b sunt egale 1 sau − 1 , atunci este posibil să nu ia o participare explicită la înregistrarea ecuației pătratice, ceea ce se explică prin particularitățile înregistrării coeficienților numerici indicați. De exemplu, într-o ecuație pătratică y 2 - y + 7 = 0 cel mai mare coeficient este 1, iar al doilea coeficient este − 1 .

Ecuații patratice reduse și nereduse

După valoarea primului coeficient, ecuațiile pătratice se împart în reduse și nereduse.

Definiția 3

Ecuație pătratică redusă Este o ecuație pătratică, în care coeficientul principal este 1. Pentru alte valori ale coeficientului principal, ecuația pătratică nu este redusă.

Iată câteva exemple: ecuațiile pătratice x 2 - 4 x + 3 = 0, x 2 - x - 4 5 = 0 sunt reduse, în fiecare dintre ele coeficientul principal este 1.

9 x 2 - x - 2 = 0- ecuație pătratică neredusă, unde primul coeficient este diferit de 1 .

Orice ecuație pătratică neredusă poate fi transformată într-o ecuație redusă prin împărțirea ambelor părți la primul coeficient (transformare echivalentă). Ecuația transformată va avea aceleași rădăcini ca și ecuația neredusă dată sau, de asemenea, nu va avea deloc rădăcini.

Luarea în considerare a unui exemplu specific ne va permite să demonstrăm clar implementarea tranziției de la o ecuație pătratică neredusă la una redusă.

Exemplul 1

Ecuația este 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 . Este necesar să convertiți ecuația originală în forma redusă.

Soluţie

Conform schemei de mai sus, împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la coeficientul de conducere 6. Atunci obținem: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3și acesta este același cu: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 = 0și mai departe: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Prin urmare: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. Astfel, se obține o ecuație echivalentă cu cea dată.

Răspuns: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.

Ecuații pătratice complete și incomplete

Să ne întoarcem la definiția unei ecuații pătratice. În ea, am clarificat că a ≠ 0... O condiție similară este necesară pentru ecuație a x 2 + b x + c = 0 era tocmai pătrat, deoarece pt a = 0 se transformă în esență într-o ecuație liniară b x + c = 0.

În cazul în care coeficienţii bși c egală cu zero (ceea ce este posibil, atât individual, cât și în comun), ecuația pătratică se numește incompletă.

Definiția 4

Ecuație pătratică incompletă Este o astfel de ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, unde cel puţin unul dintre coeficienţi bși c(sau ambele) este zero.

Ecuație pătratică completă- o ecuație pătratică în care toți coeficienții numerici nu sunt egali cu zero.

Să discutăm de ce tipurilor de ecuații pătratice li se dau exact astfel de nume.

Pentru b = 0, ecuația pătratică ia forma a x 2 + 0 x + c = 0 care este la fel ca a x 2 + c = 0... La c = 0 ecuația pătratică se scrie ca a x 2 + b x + 0 = 0 care este echivalent cu a x 2 + b x = 0... La b = 0și c = 0 ecuația devine a x 2 = 0... Ecuațiile pe care le-am obținut diferă de ecuația pătratică completă prin aceea că părțile lor din stânga nu conțin nici un termen cu variabilă x, nici un termen liber, sau ambele deodată. De fapt, acest fapt a dat numele acestui tip de ecuații - incomplete.

De exemplu, x 2 + 3 x + 4 = 0 și - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 sunt ecuații patratice complete; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, - x 2 - 6 x = 0 - ecuații patratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Definiția de mai sus face posibilă distingerea următoarelor tipuri de ecuații pătratice incomplete:

• a x 2 = 0, o astfel de ecuație corespunde coeficienților b = 0şi c = 0;
• a x 2 + c = 0 la b = 0;
• a x 2 + b x = 0 la c = 0.

Să considerăm secvenţial soluţia fiecărui tip de ecuaţie pătratică incompletă.

Rezolvarea ecuației a x 2 = 0

După cum sa indicat deja mai sus, o astfel de ecuație corespunde coeficienților bși c egal cu zero. Ecuația a x 2 = 0 poate fi transformat într-o ecuație echivalentă x 2 = 0, pe care îl obținem împărțind ambele părți ale ecuației inițiale la număr A nu egal cu zero. Este un fapt evident că rădăcina ecuației x 2 = 0 este zero pentru că 0 2 = 0 ... Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce poate fi explicat prin proprietățile gradului: pentru orice număr p, nu este egal cu zero, inegalitatea este adevărată p 2> 0, din care rezultă că pentru p ≠ 0 egalitate p 2 = 0 nu va fi niciodată atins.

Definiția 5

Astfel, pentru o ecuație pătratică incompletă a x 2 = 0, există o rădăcină unică x = 0.

Exemplul 2

De exemplu, să rezolvăm o ecuație pătratică incompletă - 3 x 2 = 0... Ecuația este echivalentă cu aceasta x 2 = 0, singura sa rădăcină este x = 0, atunci ecuația originală are și o singură rădăcină - zero.

Pe scurt, soluția se formalizează astfel:

- 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Soluție la ecuația a x 2 + c = 0

Următorul pas este soluția ecuațiilor pătratice incomplete, unde b = 0, c ≠ 0, adică ecuații de forma a x 2 + c = 0... Transformăm această ecuație transferând termenul dintr-o parte a ecuației în alta, schimbând semnul în opus și împărțind ambele părți ale ecuației la un număr care nu este egal cu zero:

• reportare c la dreapta, ceea ce dă ecuația a x 2 = - c;
• împărțim ambele părți ale ecuației cu A, obținem ca rezultat x = - c a.

Transformările noastre sunt echivalente, respectiv, ecuația rezultată este, de asemenea, echivalentă cu cea originală, iar acest fapt face posibilă tragerea unei concluzii despre rădăcinile ecuației. Din ceea ce sunt valorile Ași c valoarea expresiei - c a depinde: poate avea semnul minus (de exemplu, dacă a = 1și c = 2, atunci - c a = - 2 1 = - 2) sau un semn plus (de exemplu, dacă a = - 2și c = 6, atunci - c a = - 6 - 2 = 3); nu este zero pentru că c ≠ 0... Să ne oprim mai în detaliu asupra situațiilor când - c a< 0 и - c a > 0 .

În cazul în care - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p egalitatea p 2 = - c a nu poate fi adevărată.

Totul este diferit când - c a> 0: amintiți-vă rădăcina pătrată și devine evident că rădăcina ecuației x 2 = - c a va fi numărul - c a, deoarece - c a 2 = - c a. Este ușor de înțeles că numărul - - c a este și rădăcina ecuației x 2 = - c a: într-adevăr, - - c a 2 = - c a.

Ecuația nu va avea alte rădăcini. Putem demonstra acest lucru folosind o metodă contradictorie. Pentru început, definim notația pentru rădăcinile găsite mai sus ca x 1și - x 1... Să presupunem că ecuația x 2 = - c a are și rădăcină x 2 care este diferit de rădăcini x 1și - x 1... Știm că prin substituirea în ecuație în loc de X rădăcinile sale, transformăm ecuația într-o egalitate numerică corectă.

Pentru x 1și - x 1 scriem: x 1 2 = - c a, iar pentru x 2- x 2 2 = - c a. Pe baza proprietăților egalităților numerice, scădem o egalitate adevărată din celălalt termen cu termen, ceea ce ne va da: x 1 2 - x 2 2 = 0... Folosim proprietățile acțiunilor asupra numerelor pentru a rescrie ultima egalitate ca (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0... Se știe că produsul a două numere este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre numere este zero. Din cele spuse rezultă că x 1 - x 2 = 0și/sau x 1 + x 2 = 0 care este la fel x 2 = x 1și/sau x 2 = - x 1... A apărut o contradicție evidentă, deoarece la început s-a convenit că rădăcina ecuației x 2 difera de x 1și - x 1... Deci, am demonstrat că ecuația nu are alte rădăcini, cu excepția x = - c a și x = - - c a.

Să rezumam toate raționamentele de mai sus.

Definiția 6

Ecuație pătratică incompletă a x 2 + c = 0 este echivalent cu ecuația x 2 = - c a, care:

• nu va avea rădăcini pentru - c a< 0 ;
• va avea două rădăcini x = - c a și x = - - c a pentru - c a> 0.

Să dăm exemple de rezolvare a ecuațiilor a x 2 + c = 0.

Exemplul 3

Ecuația pătratică dată 9 x 2 + 7 = 0. Este necesar să găsim o soluție.

Soluţie

Transferăm termenul liber în partea dreaptă a ecuației, apoi ecuația va lua forma 9 x 2 = - 7.
Împărțim ambele părți ale ecuației rezultate la 9 , ajungem la x 2 = - 7 9. În partea dreaptă, vedem un număr cu semnul minus, ceea ce înseamnă: ecuația dată nu are rădăcini. Apoi ecuația pătratică incompletă inițială 9 x 2 + 7 = 0 nu va avea rădăcini.

Răspuns: ecuația 9 x 2 + 7 = 0 nu are rădăcini.

Exemplul 4

Este necesar să se rezolve ecuația - x 2 + 36 = 0.

Soluţie

Mutați 36 în partea dreaptă: - x 2 = - 36.
Să împărțim ambele părți în − 1 , primim x 2 = 36... În partea dreaptă există un număr pozitiv, din care putem concluziona că x = 36 sau x = - 36.
Să extragem rădăcina și să notăm rezultatul final: o ecuație pătratică incompletă - x 2 + 36 = 0 are două rădăcini x = 6 sau x = - 6.

Răspuns: x = 6 sau x = - 6.

Soluția ecuației a x 2 + b x = 0

Să analizăm al treilea tip de ecuații pătratice incomplete, când c = 0... Pentru a găsi o soluție la o ecuație pătratică incompletă a x 2 + b x = 0, vom folosi metoda factorizării. Scoatem în factor polinomul din partea stângă a ecuației, eliminând factorul comun în afara parantezei X... Acest pas va face posibilă convertirea ecuației pătratice incomplete inițiale în echivalentul ei x (a x + b) = 0... Și această ecuație, la rândul său, este echivalentă cu un set de ecuații x = 0și a x + b = 0... Ecuația a x + b = 0 liniar, iar rădăcina sa este: x = - b a.

Definiția 7

Astfel, ecuația pătratică incompletă a x 2 + b x = 0 va avea două rădăcini x = 0și x = - b a.

Să reparăm materialul cu un exemplu.

Exemplul 5

Este necesar să găsiți o soluție la ecuația 2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0.

Soluţie

Scoate X paranteze și obțineți ecuația x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0. Această ecuație este echivalentă cu ecuațiile x = 0și 2 3 x - 2 2 7 = 0. Acum trebuie să rezolvați ecuația liniară rezultată: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Scriem pe scurt soluția la ecuație după cum urmează:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 sau 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 sau x = 3 3 7

Răspuns: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminant, formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Pentru a găsi o soluție la ecuațiile pătratice, există o formulă rădăcină:

Definiție 8

x = - b ± D 2 a, unde D = b 2 - 4 a c- așa-numitul discriminant al ecuației pătratice.

Notația x = - b ± D 2 · a înseamnă în esență că x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Va fi util să înțelegeți cum a fost derivată formula indicată și cum să o aplicați.

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Să ne confruntăm cu sarcina de a rezolva o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0... Să realizăm o serie de transformări echivalente:

• împarte ambele părți ale ecuației la număr A, altul decât zero, obținem ecuația pătratică redusă: x 2 + b a · x + c a = 0;
• selectați pătratul complet din partea stângă a ecuației rezultate:
  x 2 + ba x + ca = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
  După aceasta, ecuația va lua forma: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• acum este posibil să transferăm ultimii doi termeni în partea dreaptă prin schimbarea semnului la opus, după care obținem: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a;
• în cele din urmă, transformăm expresia scrisă pe partea dreaptă a ultimei egalități:
  b 2 a 2 - c a = b 2 4 a 2 - c a = b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2.

Astfel, am ajuns la ecuația x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2, care este echivalentă cu ecuația inițială a x 2 + b x + c = 0.

Am analizat soluția unor astfel de ecuații în paragrafele precedente (rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete). Experiența deja obținută face posibilă tragerea unei concluzii cu privire la rădăcinile ecuației x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• la b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• pentru b 2 - 4 a c 4 a 2 = 0 ecuația are forma x + b 2 a 2 = 0, atunci x + b 2 a = 0.

Prin urmare, singura rădăcină x = - b 2 · a este evidentă;

• pentru b 2 - 4 a c 4 a 2> 0 va fi adevărat: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 sau x = b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2, care este același ca x + - b 2 a = b 2 - 4 ac 4 a 2 sau x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, i.e. ecuația are două rădăcini.

Este posibil să se concluzioneze că prezența sau absența rădăcinilor ecuației x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (și, prin urmare, ecuația originală) depinde de semnul expresiei b 2 - 4 a c 4 · Un 2 scris pe partea dreaptă. Și semnul acestei expresii este stabilit de semnul numărătorului, (numitorul 4 la 2 va fi întotdeauna pozitiv), adică prin semnul expresiei b 2 - 4 a c... Această expresie b 2 - 4 a c se dă denumirea - discriminantul ecuației pătratice și litera D este definită ca desemnare a acesteia. Aici puteți nota esența discriminantului - prin valoarea și semnul său, se ajunge la concluzia dacă ecuația pătratică va avea rădăcini reale și, dacă da, care este numărul de rădăcini - una sau două.

Să revenim la ecuația x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2. O rescriem folosind notația pentru discriminant: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2.

Să formulăm din nou concluziile:

Definiția 9

• la D< 0 ecuația nu are rădăcini reale;
• la D = 0 ecuația are o singură rădăcină x = - b 2 · a;
• la D> 0 ecuația are două rădăcini: x = - b 2 a + D 4 a 2 sau x = - b 2 a - D 4 a 2. Pe baza proprietăților radicalilor, aceste rădăcini pot fi scrise ca: x = - b 2 a + D 2 a sau - b 2 a - D 2 a. Și când deschidem modulele și reducem fracțiile la numitor comun, obținem: x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a.

Deci, rezultatul raționamentului nostru a fost derivarea formulei pentru rădăcinile ecuației pătratice:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminantul D calculat prin formula D = b 2 - 4 a c.

Aceste formule fac posibilă, cu un discriminant mai mare decât zero, să se determine ambele rădăcini reale. Când discriminantul este zero, aplicarea ambelor formule va da aceeași rădăcină ca singura soluție a ecuației pătratice. În cazul în care discriminantul este negativ, încercând să folosim formula rădăcinii pătrate, ne vom confrunta cu nevoia de a extrage rădăcina pătrată a unui număr negativ, ceea ce ne va duce dincolo de numerele reale. Cu un discriminant negativ, ecuația pătratică nu va avea rădăcini reale, dar este posibilă o pereche de rădăcini conjugate complexe, determinate de aceleași formule de rădăcină pe care le-am obținut.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice cu ajutorul formulelor rădăcinilor

Este posibil să se rezolve ecuația pătratică folosind imediat formula rădăcinii, dar practic acest lucru se face atunci când este necesar să se găsească rădăcini complexe.

În majoritatea cazurilor, de obicei este menit să caute nu rădăcini complexe, ci reale ale unei ecuații pătratice. Atunci este optim, înainte de a folosi formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice, mai întâi determinăm discriminantul și asigură-te că acesta nu este negativ (în caz contrar, vom concluziona că ecuația nu are rădăcini reale), apoi procedăm la calcularea valorile rădăcinilor.

Raționamentul de mai sus face posibilă formularea unui algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice.

Definiția 10

Pentru a rezolva o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, necesar:

• conform formulei D = b 2 - 4 a c găsiți valoarea discriminantului;
• la D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pentru D = 0, găsiți singura rădăcină a ecuației prin formula x = - b 2 · a;
• pentru D> 0, determinați două rădăcini reale ale ecuației pătratice prin formula x = - b ± D 2 · a.

Rețineți că atunci când discriminantul este zero, puteți utiliza formula x = - b ± D 2 · a, va da același rezultat ca și formula x = - b 2 · a.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Să dăm o soluție de exemple pentru diferite valori ale discriminantului.

Exemplul 6

Este necesar să găsiți rădăcinile ecuației x 2 + 2 x - 6 = 0.

Soluţie

Notăm coeficienții numerici ai ecuației pătratice: a = 1, b = 2 și c = - 6... În continuare, acționăm conform algoritmului, adică. să începem să calculăm discriminantul, pentru care substituim coeficienții a, b și cîn formula discriminantă: D = b 2 - 4 a c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28.

Deci, avem D> 0, ceea ce înseamnă că ecuația originală va avea două rădăcini reale.
Pentru a le găsi, folosim formula rădăcină x = - b ± D 2 · a și, înlocuind valorile corespunzătoare, obținem: x = - 2 ± 28 2 · 1. Să simplificăm expresia rezultată luând factorul în afara semnului rădăcinii și apoi reducând fracția:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 sau x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 sau x = - 1 - 7

Răspuns: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

Exemplul 7

Este necesar să se rezolve ecuația pătratică - 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.

Soluţie

Să definim discriminantul: D = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0... Cu această valoare a discriminantului, ecuația inițială va avea o singură rădăcină, determinată de formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Răspuns: x = 3, 5.

Exemplul 8

Este necesar să se rezolve ecuația 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Soluţie

Coeficienții numerici ai acestei ecuații vor fi: a = 5, b = 6 și c = 2. Folosim aceste valori pentru a găsi discriminantul: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4. Discriminantul calculat este negativ, deci ecuația pătratică originală nu are rădăcini reale.

În cazul în care sarcina este de a indica rădăcini complexe, aplicăm formula pentru rădăcini, efectuând acțiuni cu numere complexe:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 sau x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i sau x = - 3 5 - 1 5 · i.

Răspuns: fără rădăcini valabile; rădăcinile complexe sunt după cum urmează: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

V curiculumul scolar Ca standard, nu există nicio cerință de a căuta rădăcini complexe, prin urmare, dacă în timpul soluției discriminantul este determinat ca negativ, se înregistrează imediat răspunsul că nu există rădăcini reale.

Formula rădăcină pentru chiar al doilea coeficienți

Formula pentru rădăcini x = - b ± D 2 a (D = b 2 - 4 a n, de exemplu 2 3 sau 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Să arătăm cum este derivată această formulă.

Să presupunem că ne confruntăm cu sarcina de a găsi o soluție la ecuația pătratică a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Acționăm conform algoritmului: determinăm discriminantul D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c), apoi folosim formula pentru rădăcini:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a ca.

Să se noteze expresia n 2 - a · c cu D 1 (uneori se notează cu D "). Atunci formula pentru rădăcinile ecuației pătratice considerate cu al doilea coeficient 2 n va lua forma:

x = - n ± D 1 a, unde D 1 = n 2 - a · c.

Este ușor de observat că D = 4 · D 1, sau D 1 = D 4. Cu alte cuvinte, D 1 este un sfert din discriminant. Evident, semnul lui D 1 este același cu semnul lui D, ceea ce înseamnă că semnul lui D 1 poate servi și ca indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Definiția 11

Astfel, pentru a găsi o soluție la ecuația pătratică cu al doilea coeficient 2 n, este necesar:

• găsiți D 1 = n 2 - a · c;
• la D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• când D 1 = 0, determinați singura rădăcină a ecuației prin formula x = - n a;
• pentru D 1> 0, determinați două rădăcini reale prin formula x = - n ± D 1 a.

Exemplul 9

Este necesar să se rezolve ecuația pătratică 5 x 2 - 6 x - 32 = 0.

Soluţie

Al doilea coeficient al ecuației date poate fi reprezentat ca 2 · (- 3). Apoi rescriem ecuația pătratică dată ca 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 = 0, unde a = 5, n = - 3 și c = - 32.

Calculăm a patra parte a discriminantului: D 1 = n 2 - ac = (- 3) 2 - 5 (- 32) = 9 + 160 = 169. Valoarea rezultată este pozitivă, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini reale. Să le definim conform formulei rădăcinii corespunzătoare:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 sau x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 sau x = - 2

Ar fi posibil să se efectueze calcule folosind formula obișnuită pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, dar în acest caz soluția ar fi mai greoaie.

Răspuns: x = 3 1 5 sau x = - 2.

Simplificarea vederii ecuațiilor cuadratice

Uneori este posibil să se optimizeze forma ecuației originale, ceea ce va simplifica procesul de calcul al rădăcinilor.

De exemplu, ecuația pătratică 12 x 2 - 4 x - 7 = 0 este clar mai convenabilă pentru rezolvare decât 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0.

Mai des, simplificarea formei unei ecuații pătratice se realizează prin înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale acesteia cu un anumit număr. De exemplu, mai sus am arătat o notație simplificată a ecuației 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, obținută prin împărțirea ambelor părți ale acesteia la 100.

O astfel de transformare este posibilă atunci când coeficienții ecuației pătratice nu sunt numere coprime. Apoi, de obicei, ambele părți ale ecuației sunt împărțite la cel mai mare divizor comun al valorilor absolute ale coeficienților săi.

Ca exemplu, utilizați ecuația pătratică 12 x 2 - 42 x + 48 = 0. Determinați mcd al valorilor absolute ale coeficienților săi: mcd (12, 42, 48) = mcd (mcd (12, 42), 48) = mcd (6, 48) = 6. Împărțim ambele părți ale ecuației pătratice originale la 6 și obținem ecuația pătratică echivalentă 2 x 2 - 7 x + 8 = 0.

Înmulțind ambele părți ale unei ecuații pătratice, de obicei scapi de coeficienții fracționali. În acest caz, înmulțiți cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor coeficienților săi. De exemplu, dacă fiecare parte a ecuației pătratice 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 este înmulțită cu LCM (6, 3, 1) = 6, atunci se va scrie într-o formă mai simplă x 2 + 4 x - 18 = 0.

În cele din urmă, observăm că aproape întotdeauna scăpați de minus la primul coeficient al ecuației pătratice, schimbând semnele fiecărui termen al ecuației, ceea ce se realizează prin înmulțirea (sau împărțirea) ambelor părți cu - 1. De exemplu, din ecuația pătratică - 2 x 2 - 3 x + 7 = 0, puteți merge la o versiune simplificată a acesteia 2 x 2 + 3 x - 7 = 0.

Relația dintre rădăcini și coeficienți

Formula deja cunoscută pentru rădăcinile ecuațiilor pătratice x = - b ± D 2 · a exprimă rădăcinile ecuației în termeni de coeficienți numerici. Pe baza acestei formule, putem specifica alte dependențe între rădăcini și coeficienți.

Cele mai faimoase și aplicabile sunt formulele teoremei Vieta:

x 1 + x 2 = - b a și x 2 = c a.

În special, pentru ecuația pătratică redusă, suma rădăcinilor este al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. De exemplu, prin forma ecuației pătratice 3 x 2 - 7 x + 22 = 0, este posibil să se determine imediat că suma rădăcinilor sale este 7 3, iar produsul rădăcinilor este 22 3.

De asemenea, puteți găsi o serie de alte relații între rădăcini și coeficienții ecuației pătratice. De exemplu, suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice poate fi exprimată în termeni de coeficienți:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - ba 2 - 2 ca = b 2 a 2 - 2 ca = b 2 - 2 a ca 2.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o selectați și să apăsați Ctrl + Enter

Primul nivel

Ecuații cuadratice. Ghid cuprinzător (2019)

În termenul „ecuație pătratică” cuvântul cheie este „pătratic”. Aceasta înseamnă că ecuația trebuie să aibă o variabilă (același x) pătrat și nu trebuie să existe x în al treilea grad (sau mai mare).

Soluția multor ecuații se reduce la soluția ecuațiilor pătratice.

Să învățăm să determinăm că avem o ecuație pătratică și nu alta.

Exemplul 1.

Să scăpăm de numitor și să înmulțim fiecare termen din ecuație cu

Mutați totul spre stânga și aranjați termenii în ordinea descrescătoare a gradelor lui x

Acum putem spune cu încredere că această ecuație este pătratică!

Exemplul 2.

Să înmulțim părțile din stânga și din dreapta cu:

Această ecuație, deși a fost inițial în ea, nu este pătrată!

Exemplul 3.

Să înmulțim totul cu:

De frică? Gradul al patrulea și al doilea ... Totuși, dacă facem o înlocuire, atunci vom vedea că avem o ecuație pătratică simplă:

Exemplul 4.

Se pare că este acolo, dar să aruncăm o privire mai atentă. Să mutăm totul în partea stângă:

Vedeți, s-a micșorat - și acum este o ecuație liniară simplă!

Acum încercați să determinați singuri care dintre următoarele ecuații sunt pătratice și care nu:

Exemple:

Raspunsuri:

1. pătrat;
2. pătrat;
3. nu pătrat;
4. nu pătrat;
5. nu pătrat;
6. pătrat;
7. nu pătrat;
8. pătrat.

Matematicienii împart în mod condiționat toate ecuațiile pătratice în următoarea formă:

• Completează ecuațiile pătratice- ecuații în care coeficienții și, precum și termenul liber c nu sunt egali cu zero (ca în exemplu). În plus, printre ecuațiile pătratice complete, există dat- acestea sunt ecuații în care coeficientul (ecuația din exemplul unu este nu numai completă, ci și redusă!)

• Ecuații patratice incomplete- ecuații în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egali cu zero:

  Sunt incomplete, deoarece le lipsește un element. Dar ecuația trebuie să aibă întotdeauna x pătrat !!! În caz contrar, nu va mai fi un pătrat, ci o altă ecuație.

De ce ai venit cu o astfel de diviziune? S-ar părea că există un X pătrat și bine. Această împărțire se datorează metodelor de soluție. Să luăm în considerare fiecare dintre ele mai detaliat.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

În primul rând, să ne concentrăm pe rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mult mai ușoare!

Ecuațiile patratice incomplete sunt de următoarele tipuri:

1. , în această ecuație coeficientul este.
2. , în această ecuație termenul liber este egal cu.
3. , în această ecuație coeficientul și interceptarea sunt egale.

1. și. De vreme ce știm să luăm rădăcina pătrată, să exprimăm din această ecuație

Expresia poate fi fie negativă, fie pozitivă. Numărul pătrat nu poate fi negativ, deoarece atunci când înmulțiți două numere negative sau două pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv, deci: dacă, atunci ecuația nu are soluții.

Și dacă, atunci obținem două rădăcini. Aceste formule nu trebuie memorate. Principalul lucru este că trebuie să știți și să vă amintiți întotdeauna că nu poate fi mai puțin.

Să încercăm să rezolvăm câteva exemple.

Exemplul 5:

Rezolvați ecuația

Acum rămâne să extragi rădăcina din partea stângă și dreaptă. Îți amintești cum să extragi rădăcinile?

Răspuns:

Nu uita niciodată de rădăcinile negative !!!

Exemplul 6:

Rezolvați ecuația

Răspuns:

Exemplul 7:

Rezolvați ecuația

Vai! Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația

fara radacini!

Pentru astfel de ecuații care nu au rădăcini, matematicienii au venit cu o pictogramă specială - (set gol). Și răspunsul poate fi scris astfel:

Răspuns:

Astfel, această ecuație pătratică are două rădăcini. Nu există restricții aici, deoarece nu am extras rădăcina.
Exemplul 8:

Rezolvați ecuația

Să luăm factorul comun din paranteze:

Prin urmare,

Această ecuație are două rădăcini.

Răspuns:

Cel mai simplu tip de ecuații pătratice incomplete (deși toate sunt simple, nu?). Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Ne vom lipsi de exemple aici.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete

Vă reamintim că o ecuație pătratică completă este o ecuație a formei ecuației în care

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete este puțin mai dificilă (doar puțin) decât cele date.

Tine minte, orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind discriminantul! Chiar incomplet.

Restul metodelor te vor ajuta să faci asta mai repede, dar dacă ai probleme cu ecuațiile pătratice, mai întâi învață soluția folosind discriminantul.

1. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind discriminantul.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice în acest fel este foarte simplă, principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule.

Dacă, atunci ecuația are o rădăcină Trebuie să acordați o atenție deosebită pasului. Discriminantul () ne indică numărul de rădăcini ale ecuației.

• Dacă, atunci formula din pasul va fi redusă la. Astfel, ecuația va avea întreaga rădăcină.
• Dacă, atunci nu vom putea extrage rădăcina de la discriminant la pas. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

Să ne întoarcem la ecuațiile noastre și să vedem câteva exemple.

Exemplul 9:

Rezolvați ecuația

Pasul 1 ocolire.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Deci ecuația are două rădăcini.

Pasul 3.

Răspuns:

Exemplul 10:

Rezolvați ecuația

Prin urmare, ecuația este prezentată în forma standard Pasul 1 ocolire.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Deci ecuația are o singură rădăcină.

Răspuns:

Exemplul 11:

Rezolvați ecuația

Prin urmare, ecuația este prezentată în forma standard Pasul 1 ocolire.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Prin urmare, nu vom putea extrage rădăcina din discriminant. Nu există rădăcini ale ecuației.

Acum știm cum să notăm astfel de răspunsuri corect.

Răspuns: Fara radacini

2. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta.

Dacă vă amintiți, există un tip de ecuații care se numesc reduse (când coeficientul a este egal):

Astfel de ecuații sunt foarte ușor de rezolvat folosind teorema lui Vieta:

Suma rădăcinilor dat ecuația pătratică este egală, iar produsul rădăcinilor este egal cu.

Exemplul 12:

Rezolvați ecuația

Această ecuație este potrivită pentru rezolvarea folosind teorema lui Vieta, deoarece ...

Suma rădăcinilor ecuației este, adică obținem prima ecuație:

Și produsul este egal cu:

Să compunem și să rezolvăm sistemul:

• și. Suma este egală;
• și. Suma este egală;
• și. Suma este egală.

și sunt soluția sistemului:

Răspuns: ; .

Exemplul 13:

Rezolvați ecuația

Răspuns:

Exemplul 14:

Rezolvați ecuația

Ecuația este redusă, ceea ce înseamnă:

Răspuns:

ECUAȚII CADRATICE. NIVEL MEDIU

Ce este o ecuație cuadratică?

Cu alte cuvinte, o ecuație pătratică este o ecuație de forma, unde este necunoscutul, sunt unele numere și.

Numărul se numește cel mai mare sau primele cote ecuație pătratică, - al doilea coeficient, A - membru liber.

De ce? Pentru că dacă, ecuația va deveni imediat liniară, deoarece dispărea.

Mai mult, și poate fi egal cu zero. În acest scaun, ecuația se numește incompletă. Dacă toți termenii sunt la locul lor, adică, ecuația este completă.

Soluții la diferite tipuri de ecuații pătratice

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete:

Pentru început, vom analiza metodele de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mai simple.

Se pot distinge următoarele tipuri de ecuații:

I., în această ecuație coeficientul și intersecția sunt egale.

II. , în această ecuație coeficientul este.

III. , în această ecuație termenul liber este egal cu.

Acum să ne uităm la o soluție pentru fiecare dintre aceste subtipuri.

Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Un număr pătrat nu poate fi negativ, deoarece atunci când înmulțiți două numere negative sau două pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv. De aceea:

dacă, atunci ecuația nu are soluții;

dacă, avem două rădăcini

Aceste formule nu trebuie memorate. Principalul lucru de reținut este că nu poate fi mai puțin.

Exemple:

Solutii:

Răspuns:

Nu uitați niciodată rădăcinile negative!

Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația

fara radacini.

Pentru a înregistra pe scurt că problema nu are soluții, folosim pictograma set goală.

Răspuns:

Deci, această ecuație are două rădăcini: și.

Răspuns:

Scoateți factorul comun din paranteze:

Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Aceasta înseamnă că ecuația are o soluție atunci când:

Deci, această ecuație pătratică are două rădăcini: și.

Exemplu:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Factorizați partea stângă a ecuației și găsiți rădăcinile:

Răspuns:

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice complete:

1. Discriminant

Rezolvarea ecuațiilor pătratice în acest fel este ușoară, principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule. Amintiți-vă, orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind discriminantul! Chiar incomplet.

Ați observat rădăcina discriminantului în formula rădăcinii? Dar discriminantul poate fi negativ. Ce sa fac? Este necesar să acordăm o atenție deosebită pasului 2. Discriminantul ne indică numărul de rădăcini ale ecuației.

• Dacă, atunci ecuația are rădăcină:
• Dacă, atunci ecuația are aceeași rădăcină, dar de fapt, o rădăcină:

  Astfel de rădăcini se numesc rădăcini duble.

• Dacă, atunci rădăcina discriminantului nu este extrasă. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

De ce există un număr diferit de rădăcini? Să apelăm la sensul geometric ecuație pătratică. Graficul funcției este o parabolă:

În cazul special, care este o ecuație pătratică ,. Și aceasta înseamnă că rădăcinile ecuației pătratice sunt punctele de intersecție cu axa (axa) absciselor. Este posibil ca parabola să nu intersecteze axa deloc sau să o intersecteze într-unul (când vârful parabolei se află pe axă) sau două puncte.

În plus, coeficientul este responsabil pentru direcția ramurilor parabolei. Dacă, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă - atunci în jos.

Exemple:

Solutii:

Răspuns:

Răspuns: .

Răspuns:

Deci nu există soluții.

Răspuns: .

2. Teorema lui Vieta

Este foarte ușor de folosit teorema lui Vieta: trebuie doar să alegeți o pereche de numere, al căror produs este egal cu termenul liber al ecuației, iar suma este al doilea coeficient, luată cu semnul opus.

Este important să ne amintim că teorema lui Vieta poate fi aplicată numai în ecuații pătratice reduse ().

Să ne uităm la câteva exemple:

Exemplul # 1:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Această ecuație este potrivită pentru rezolvarea folosind teorema lui Vieta, deoarece ... Alți coeficienți:; ...

Suma rădăcinilor ecuației este:

Și produsul este egal cu:

Să luăm astfel de perechi de numere, al căror produs este egal și să verificăm dacă suma lor este egală:

• și. Suma este egală;
• și. Suma este egală;
• și. Suma este egală.

și sunt soluția sistemului:

Astfel, și sunt rădăcinile ecuației noastre.

Răspuns: ; ...

Exemplul # 2:

Soluţie:

Să selectăm astfel de perechi de numere care dau în produs și apoi verificăm dacă suma lor este egală:

și: adună.

și: adună. Pentru a obține, este suficient doar să schimbați semnele presupuselor rădăcini: și, la urma urmei, munca.

Răspuns:

Exemplul # 3:

Soluţie:

Termenul liber al ecuației este negativ, ceea ce înseamnă că produsul rădăcinilor este un număr negativ. Acest lucru este posibil numai dacă una dintre rădăcini este negativă, iar cealaltă este pozitivă. Prin urmare, suma rădăcinilor este diferența dintre modulele lor.

Să selectăm astfel de perechi de numere care dau în produs și a căror diferență este egală cu:

și: diferența lor este egală - nu se potrivește;

și: - nu se potrivește;

și: - nu se potrivește;

și: - se potrivește. Rămâne doar să ne amintim că una dintre rădăcini este negativă. Deoarece suma lor trebuie să fie egală, rădăcina trebuie să fie negativă în valoare absolută:. Verificăm:

Răspuns:

Exemplul #4:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este redusă, ceea ce înseamnă:

Termenul liber este negativ, ceea ce înseamnă că produsul rădăcinilor este negativ. Și acest lucru este posibil numai atunci când o rădăcină a ecuației este negativă, iar cealaltă este pozitivă.

Să selectăm astfel de perechi de numere, al căror produs este egal, apoi să determinăm care rădăcini ar trebui să aibă un semn negativ:

Evident, numai rădăcinile și sunt potrivite pentru prima condiție:

Răspuns:

Exemplul # 5:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este redusă, ceea ce înseamnă:

Suma rădăcinilor este negativă, ceea ce înseamnă că cel puțin una dintre rădăcini este negativă. Dar, deoarece produsul lor este pozitiv, atunci ambele rădăcini sunt cu semnul minus.

Să selectăm astfel de perechi de numere, al căror produs este egal cu:

Evident, numerele și sunt rădăcinile.

Răspuns:

De acord, este foarte convenabil să veniți cu rădăcini pe cale orală, în loc să numărați acest discriminant urât. Încercați să utilizați teorema lui Vieta cât mai des posibil.

Dar teorema lui Vieta este necesară pentru a facilita și grăbi găsirea rădăcinilor. Pentru a-l folosi profitabil, trebuie să aduci acțiunile la automatism. Și pentru aceasta, decideți alte cinci exemple. Dar nu înșela: nu poți folosi discriminantul! Doar teorema lui Vieta:

Soluții pentru sarcini pentru munca independentă:

Sarcina 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

După teorema lui Vieta:

Ca de obicei, începem selecția cu o piesă:

Nu este potrivit, deoarece suma;

: suma este ceea ce ai nevoie.

Răspuns: ; ...

Sarcina 2.

Și din nou, teorema noastră preferată Vieta: suma ar trebui să funcționeze, dar produsul este egal.

Dar din moment ce nu ar trebui să existe, dar, schimbăm semnele rădăcinilor: și (în total).

Răspuns: ; ...

Sarcina 3.

Hmm... Unde este asta?

Este necesar să transferați toți termenii într-o singură parte:

Suma rădăcinilor este egală cu produsul.

Deci oprește-te! Ecuația nu este dată. Dar teorema lui Vieta este aplicabilă numai în ecuațiile de mai sus. Deci, mai întâi trebuie să aduceți ecuația. Dacă nu o puteți aduce în discuție, renunțați la această afacere și rezolvați-o într-un alt mod (de exemplu, prin discriminant). Permiteți-mi să vă reamintesc că a aduce o ecuație pătratică înseamnă a face coeficientul principal egal cu:

Amenda. Atunci suma rădăcinilor este egală, iar produsul.

Este ușor de luat aici: la urma urmei - un număr prim (scuze pentru tautologie).

Răspuns: ; ...

Sarcina 4.

Termenul liber este negativ. Ce este atât de special la asta? Și faptul că rădăcinile vor avea semne diferite. Și acum, în timpul selecției, verificăm nu suma rădăcinilor, ci diferența modulelor lor: această diferență este egală, ci produsul.

Deci, rădăcinile sunt egale și, dar una dintre ele este cu minus. Teorema lui Vieta ne spune că suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, adică. Aceasta înseamnă că rădăcina mai mică va avea un minus: și, din moment ce.

Răspuns: ; ...

Sarcina 5.

Care este primul lucru de făcut? Așa este, dați ecuația:

Din nou: selectăm factorii numărului, iar diferența lor ar trebui să fie:

Rădăcinile sunt egale și, dar una dintre ele este cu minus. Care? Suma lor ar trebui să fie egală, ceea ce înseamnă că cu un minus va exista o rădăcină mai mare.

Răspuns: ; ...

A rezuma:

1. Teorema lui Vieta este folosită numai în ecuațiile pătratice date.
2. Folosind teorema lui Vieta, puteți găsi rădăcinile prin selecție, oral.
3. Dacă ecuația nu este dată sau nu există o singură pereche adecvată de multiplicatori de termeni liberi, atunci nu există rădăcini întregi și trebuie să rezolvați în alt mod (de exemplu, prin discriminant).

3. Metoda de selectare a unui pătrat complet

Dacă toți termenii care conțin necunoscutul sunt reprezentați sub formă de termeni din formulele de înmulțire prescurtate - pătratul sumei sau al diferenței - atunci, după modificarea variabilelor, ecuația poate fi reprezentată ca o ecuație pătratică incompletă de tipul.

De exemplu:

Exemplul 1:

Rezolvați ecuația :.

Soluţie:

Răspuns:

Exemplul 2:

Rezolvați ecuația :.

Soluţie:

Răspuns:

În general, transformarea va arăta astfel:

Asta implică: .

Nu pare ceva? Acesta este un discriminant! Așa e, avem formula discriminantă.

ECUAȚII CADRATICE. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Ecuație cuadratică este o ecuație de forma, unde este necunoscuta, sunt coeficienții ecuației pătratice, este termenul liber.

Ecuație pătratică completă- o ecuație în care coeficienții nu sunt egali cu zero.

Ecuație pătratică redusă- o ecuație în care coeficientul, adică:.

Ecuație pătratică incompletă- o ecuație în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egali cu zero:

• dacă coeficientul, ecuația are forma:,
• dacă termenul liber, ecuația are forma:,
• dacă și, ecuația are forma:.

1. Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

1.1. Ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Să exprimăm necunoscutul:,

2) Verificați semnul expresiei:

• dacă, atunci ecuația nu are soluții,
• dacă, atunci ecuația are două rădăcini.

1.2. Ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Trageți factorul comun din paranteze :,

2) Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Prin urmare, ecuația are două rădăcini:

1.3. Ecuație pătratică incompletă de formă, unde:

Această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:.

2. Algoritm pentru rezolvarea ecuaţiilor pătratice complete de forma unde

2.1. Soluție discriminantă

1) Să aducem ecuația la forma standard:,

2) Calculăm discriminantul prin formula:, care indică numărul de rădăcini ale ecuației:

3) Găsiți rădăcinile ecuației:

• dacă, atunci ecuația are rădăcini, care se găsesc prin formula:
• dacă, atunci ecuația are o rădăcină, care se găsește prin formula:
• dacă, atunci ecuația nu are rădăcini.

2.2. Soluție folosind teorema lui Vieta

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse (ecuații de formă, unde) este egală, iar produsul rădăcinilor este egal, i.e. , A.

2.3. Soluție pătrată completă