Increment variabil. Biblioteca deschisă - bibliotecă deschisă de informații educaționale

în fizica medicală și biologică

PRELEZA Nr. 1

FUNCȚIE DERIVATĂ ȘI DIFERENȚIALĂ.

DERIVATE PRIVATE.

1. Conceptul de derivat, sensul său mecanic și geometric.

A ) Incrementări de argumente și funcții.

Să se dea funcția y = f (x), unde x este valoarea argumentului din domeniul funcției. Dacă alegem două valori ale argumentului xo și x dintr-un anumit interval al domeniului funcției, atunci diferența dintre cele două valori ale argumentului se numește creșterea argumentului: x - xo = ∆x .

Valoarea argumentului x poate fi determinată prin x 0 și creșterea acestuia: x = x o + ∆x.

Diferența dintre cele două valori ale funcției se numește increment al funcției: ∆y = ∆f = f (x o + ∆x) - f (x o).

Incrementarea argumentului și funcției poate fi reprezentată grafic (Fig. 1). Creșterile argumentelor și creșterile funcționale pot fi fie pozitive, fie negative. După cum urmează din Fig. 1, geometric, creșterea argumentului ∆х este reprezentată de creșterea absciselor, iar creșterea funcției ∆у este reprezentată de creșterea ordonatei. Calculul creșterii funcției trebuie efectuat în următoarea ordine:

dați argumentului o creștere ∆x și obțineți valoarea - x + ∆x;

2) găsim valoarea funcției pentru valoarea argumentului (x + ∆x) - f (x + ∆x);

3) găsim creșterea funcției ∆f = f (x + ∆x) - f (x).

Exemplu: Determinați creșterea funcției y = x 2 dacă argumentul s-a schimbat de la x o = 1 la x = 3. Pentru punctul x o valoarea funcției f (x o) = x² o; pentru punctul (x о + ∆х) valoarea funcției f (x о + ∆х) = (x о + ∆х) 2 = x² о + 2х о ∆х + ∆х 2, de unde ∆f = f (x о + ∆х) –f (x о) = (х о + ∆х) 2 –х² о = х² о + 2х о ∆х + ∆х 2 –х² о = 2х о ∆х + ∆х 2; ∆f = 2х о ∆х + ∆х 2; ∆х = 3–1 = 2; ∆f = 2 1 2 + 4 = 8.

b)Sarcini care conduc la conceptul de derivat. Definiția unui derivat, semnificația sa fizică.

Conceptul unui argument și creșterea funcției este necesar pentru a introduce conceptul de derivată, care a apărut istoric din necesitatea de a determina viteza anumitor procese.

Luați în considerare modul în care puteți determina viteza mișcării rectilinie. Lasă corpul să se miște în linie dreaptă conform legii: ∆Ѕ =  · ∆t. Pentru mișcare uniformă:  = ∆Ѕ / ∆t.

Pentru mișcarea variabilă, valoarea lui ∆Ѕ / ∆t determină valoarea av. , adică cf. = ∆Ѕ / ∆t. Dar viteza medie nu face posibilă reflectarea trăsăturilor mișcării corpului și să ofere o idee despre viteza reală la momentul t. Cu o scădere a intervalului de timp, adică la ∆t → 0, viteza medie tinde la limita sa - viteza instantanee:

 instantaneu =
 cf. =
∆Ѕ / ∆t.

Viteza instantanee a unei reacții chimice se determină în același mod:

 instantaneu =
 cf. =
∆х / ∆t,

unde x este cantitatea de substanță formată în timpul unei reacții chimice în timpul t. Sarcini similare pentru determinarea vitezei diferitelor procese au condus la introducerea în matematică a conceptului de derivată a unei funcții.

Să se dea o funcție continuă f (x), definită pe intervalul] a, în [și creșterea sa ∆f = f (x + ∆x) –f (x).
este o funcție a lui ∆x și exprimă rata medie de modificare a funcției.

Limita raportului , când ∆х → 0, cu condiția să existe această limită, se numește derivată a funcției :

y "x =

.

Derivata se noteaza:
- (prim x curs); f " (x) - (cursa ef de x) ; y "- (liniuță); dy / dх – (de igrek po de iks); - (joc cu punct).

Pe baza definiției derivatei, putem spune că viteza instantanee a mișcării rectilinii este derivata în timp a căii:

 instant = S "t = f " (t).

Astfel, putem concluziona că derivata funcției în raport cu argumentul x este rata de schimbare instantanee a funcției f (x):

y "x = f " (x) =  instantaneu.

Acesta este sensul fizic al derivatului. Procesul de găsire a unei derivate se numește diferențiere, deci expresia „diferențiază o funcție” este echivalentă cu expresia „găsește derivata unei funcții”.

v)Sensul geometric al derivatului.

NS
derivata funcției y = f (x) are o semnificație geometrică simplă asociată conceptului de tangentă la o dreaptă curbă într-un punct M. Mai mult, tangenta, adică o linie dreaptă este exprimată analitic sub forma y = kx = tanx, unde – unghiul de înclinare al tangentei (liniei drepte) față de axa X. Să reprezentăm o curbă continuă în funcție de y = f (x), să luăm un punct M pe curbă și un punct M 1 aproape de ea și dă o secantă prin ele. Panta sa la sec = tan β = Dacă punctul М 1 este apropiat de M, atunci incrementul argumentului ∆х va tinde la zero, iar secanta la β = α va lua poziția tangentei. Din Fig. 2 rezultă: tgα =
tgβ =
= y "x. Dar tgα este egală cu panta tangentei la graficul funcției:

k = tgα =
= y "x = f " (NS). Deci, panta tangentei la graficul funcției într-un punct dat este egală cu valoarea derivatei sale în punctul de tangență. Acesta este sensul geometric al derivatului.

G)Regula generală pentru găsirea derivatei.

Pe baza definiției unei derivate, procesul de diferențiere a unei funcții poate fi reprezentat după cum urmează:

f (x + ∆x) = f (x) + ∆f;

găsiți incrementul funcției: ∆f = f (x + ∆x) - f (x);

alcătuiți raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului:

;

Exemplu: f (x) = x 2; f " (x) =?

Cu toate acestea, după cum se poate observa chiar și din acest exemplu simplu, aplicarea secvenței specificate atunci când se iau derivate este un proces laborios și complex. Prin urmare, pentru diferite funcții, formule generale diferențiere, care sunt prezentate sub forma unui tabel „Formule de bază pentru diferențierea funcțiilor”.

În viață, nu ne interesează întotdeauna valorile exacte ale oricăror cantități. Uneori este interesant să cunoașteți modificarea acestei valori, de exemplu, viteza medie a autobuzului, raportul dintre cantitatea de mișcare și perioada de timp etc. Pentru a compara valoarea unei funcții la un moment dat cu valorile aceleiași funcții în alte puncte, este convenabil să folosiți concepte precum „increment de funcție” și „increment de argument”.

Conceptele de „increment de funcție” și „increment de argument”

Să presupunem că x este un punct arbitrar care se află în vecinătatea punctului x0. Incrementarea argumentului la punctul x0 este diferența x-x0. Creșterea este indicată după cum urmează: ∆х.

• ∆x = x-x0.

Uneori, această valoare este numită și incrementul variabilei independente în punctul x0. Din formula rezultă: x = x0 + ∆x. În astfel de cazuri, se spune că valoarea inițială a variabilei independente x0 a primit un increment ∆x.

Dacă schimbăm argumentul, atunci se va schimba și valoarea funcției.

• f (x) - f (x0) = f (x0 + ∆х) - f (x0).

Prin creșterea funcției f la punctul x0, diferența f (x0 + ∆x) - f (x0) se numește corespunzător incrementului ∆x. Incrementul unei funcții este notat ca ∆f. Astfel, obținem, prin definiție:

• ∆f = f (x0 + ∆x) - f (x0).

Uneori, ∆f se mai numește și increment al variabilei dependente și ∆y este folosit pentru a o indica dacă funcția a fost, de exemplu, y = f (x).

Sensul geometric al incrementului

Aruncați o privire la următoarea figură.

După cum puteți vedea, incrementul arată modificarea ordonatei și abscisei punctului. Iar raportul dintre creșterea funcției și creșterea argumentului determină unghiul de înclinare a secantei care trece prin poziția inițială și finală a punctului.

Luați în considerare exemple de creșteri ale funcției și argumentelor

Exemplul 1. Găsiți creșterea argumentului ∆x și creșterea funcției ∆f în punctul x0, dacă f (x) = x 2, x0 = 2 a) x = 1,9 b) x = 2,1

Să folosim formulele date mai sus:

a) ∆х = х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f = f (1,9) - f (2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

b) ∆x = x-x0 = 2,1-2 = 0,1;

• ∆f = f (2.1) - f (2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

Exemplul 2. Calculați incrementul ∆f pentru funcția f (x) = 1 / x în punctul x0, dacă incrementul argumentului este egal cu ∆x.

Din nou, vom folosi formulele obținute mai sus.

• ∆f = f (x0 + ∆x) - f (x0) = 1 / (x0-∆x) - 1 / x0 = (x0 - (x0 + ∆x)) / (x0 * (x0 + ∆x)) = - ∆x / ((x0 * (x0 + ∆x)).

Fie x o gheață de punct arbitrară într-un vecinătate a unui punct fix x 0. diferența x - x 0 se numește de obicei creșterea variabilei independente (sau creșterea argumentului) la punctul x 0 și este notată cu Δx. Prin urmare,

Δx = x –x 0,

de unde rezultă că

Incrementare funcție - diferența dintre cele două valori ale funcției.

Lasă funcția la = f (x), definit atunci când valoarea argumentului este egală cu NS 0. Dați argumentului o creștere D NS, ᴛ.ᴇ. considerați valoarea argumentului egală X 0 + D NS... Să presupunem că această valoare a argumentului este, de asemenea, în domeniul de aplicare al acestei funcții. Apoi diferența D y = f (x 0 + D NS) – f (x 0) este obișnuit să apelați funcția increment. Creșterea funcției f(X) la punct X este o funcție de obicei notată cu Δ x f din noua variabilă Δ X definit ca

Δ x f(Δ X) = f(X + Δ X) − f(X).

Găsiți incrementul argumentului și incrementul funcției la punctul x 0, dacă

Exemplul 2. Găsiți incrementul funcției f (x) = x 2 dacă x = 1, ∆x = 0,1

Rezolvare: f (x) = x 2, f (x + ∆x) = (x + ∆x) 2

Găsiți incrementul funcției ∆f = f (x + ∆x) - f (x) = (x + ∆x) 2 - x 2 = x 2 + 2x * ∆x + ∆x 2 - x 2 = 2x * ∆x + ∆x 2 /

Înlocuind valorile x = 1 și ∆х = 0.1, obținem ∆f = 2 * 1 * 0.1 + (0.1) 2 = 0.2 + 0.01 = 0.21

Găsiți creșterea argumentului și creșterea funcției la punctul x 0

2.f (x) = 2x 3.x 0 = 3 x = 2.4

3.f (x) = 2x 2 +2 x 0 = 1 x = 0.8

4.f (x) = 3x + 4 x 0 = 4 x = 3.8

Definiție: Derivat funcție la un moment dat, este obișnuit să se apeleze limita (dacă există și este finită) a raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, cu condiția ca acesta din urmă tinde la zero.

Următoarele denumiri derivate sunt cele mai frecvent utilizate:

Prin urmare,

Găsirea derivatului se numește de obicei diferenţiere ... Introdus definiția funcției diferențiabile: O funcție f care are o derivată în fiecare punct al unui anumit interval este de obicei numită diferențiabilă pe un interval dat.

Să fie definită o funcție într-un anumit vecinătate a unui punct. Derivata unei funcții se numește de obicei un număr astfel încât o funcție într-un vecinătate U(X 0) poate fi reprezentat ca

f(X 0 + h) = f(X 0) + Ah + o(h)

dacă există.

Determinarea derivatei unei funcții într-un punct.

Lasă funcția f (x) definit în interval (a; b), și sunt punctele acestui interval.

Definiție... Funcția derivată f (x) la un moment dat, este obișnuit să apelați limita raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului la. Este indicat.

Când ultima limită capătă o valoare finală specifică, atunci ei vorbesc despre existență derivata finală la punct... Dacă limita este infinită, atunci ei spun asta derivata este infinită la un punct dat... Dacă limita nu există, atunci derivatul funcției nu există în acest moment.

Funcţie f (x) se numește diferențiat la un moment în care are o derivată finită la el.

Dacă funcția f (x) diferențiabilă în fiecare punct al unui interval (a; b), atunci funcția se numește diferențiabilă pe acest interval. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, orice punct X din mijloc (a; b) putem asocia valoarea derivatei funcției în acest moment, adică avem posibilitatea de a defini o nouă funcție, care se numește derivată a funcției f (x) pe interval (a; b).

Operația de găsire a derivatei se numește de obicei diferențiere.

Definiția 1

Dacă pentru fiecare pereche $ (x, y) $ de valori a două variabile independente dintr-o anumită regiune este asociată o anumită valoare de $ z $, atunci $ z $ se spune că este o funcție a două variabile $ (x, y) $. Notație: $ z = f (x, y) $.

În ceea ce privește funcția $ z = f (x, y) $, luați în considerare conceptele de creștere generală (completă) și parțială a unei funcții.

Să se dea o funcție $ z = f (x, y) $ a două variabile independente $ (x, y) $.

Observația 1

Deoarece variabilele $ (x, y) $ sunt independente, una dintre ele se poate modifica, în timp ce cealaltă rămâne constantă.

Să dăm variabilei $ x $ o creștere de $ \ Delta x $, păstrând în același timp valoarea variabilei $ y $ neschimbată.

Atunci funcția $ z = f (x, y) $ va primi un increment, care se va numi increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de variabila $ x $. Desemnare:

În mod similar, să acordăm variabilei $ y $ un increment de $ \ Delta y $, păstrând în același timp valoarea variabilei $ x $.

Atunci funcția $ z = f (x, y) $ va primi un increment, care se va numi increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de variabila $ y $. Desemnare:

Dacă argumentului $ x $ i se dă creșterea $ \ Delta x $ și argumentul $ y $ - creșterea $ \ Delta y $, atunci creșterea completă a funcției date $ z = f (x, y) $ este obținut. Desemnare:

Astfel, avem:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de $ y $;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - creșterea completă a funcției $ z = f (x, y) $.

Exemplul 1

Soluţie:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - creșterea parțială a funcției $ z = f (x, y) $ față de $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ este incrementul parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de $ y $.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - creșterea completă a funcției $ z = f (x, y) $.

Exemplul 2

Calculați câtul și incrementul total al funcției $ z = xy $ în punctul $ (1; 2) $ pentru $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $.

Soluţie:

După definiția incrementului privat, găsim:

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de $ x $

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de $ y $;

Prin definiția creșterii complete, găsim:

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - creșterea completă a funcției $ z = f (x, y) $.

Prin urmare,

\ [\ Delta _ (x) z = (1 + 0.1) \ cdot 2 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0.1) = 2.1 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 = 2,31. \]

Observația 2

Incrementul total al unei funcții date $ z = f (x, y) $ nu este egal cu suma incrementelor sale parțiale $ \ Delta _ (x) z $ și $ \ Delta _ (y) z $. Notare matematică: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Exemplul 3

Verificați remarca afirmației pentru funcție

Soluţie:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (obținut în exemplul 1)

Găsiți suma incrementelor parțiale ale funcției date $ z = f (x, y) $

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Delta y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

Definiția 2

Dacă pentru fiecare triplu $ (x, y, z) $ a valorilor a trei variabile independente dintr-o anumită regiune este asociată o anumită valoare de $ w $, atunci se spune că $ w $ este o funcție a trei variabile $ ( x, y, z) $ în această zonă.

Denumire: $ w = f (x, y, z) $.

Definiție 3

Dacă pentru fiecare colecție $ (x, y, z, ..., t) $ de valori ale variabilelor independente dintr-o anumită regiune este asociată o anumită valoare de $ w $, atunci se spune că $ w $ este o funcție din variabilele $ (x, y, z, ..., t) $ din acest domeniu.

Notare: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

Pentru o funcție de trei sau mai multe variabile, în același mod ca și pentru o funcție de două variabile, se determină incremente parțiale pentru fiecare dintre variabile:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ - increment parțial al funcției $ w = f (x, y, z, .. ., t) $ cu $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - increment parțial al funcției $ w = f (x, y, z, ..., t) $ cu $ t $.

Exemplul 4

Scrieți coeficientul și creșterea totală a unei funcții

Soluţie:

După definiția incrementului privat, găsim:

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ este creșterea parțială a funcției $ w = f (x, y, z) $ față de $ x $

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - increment parțial al funcției $ w = f (x, y, z) $ față de $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - increment parțial al funcției $ w = f (x, y, z) $ față de $ z $;

Prin definiția creșterii complete, găsim:

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - creșterea completă a funcției $ w = f (x, y, z) $ .

Exemplul 5

Calculați coeficientul și creșterea totală a funcției $ w = xyz $ la punctul $ (1; 2; 1) $ pentru $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \, \, \ Delta z = 0,1 $.

Soluţie:

După definiția incrementului privat, găsim:

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - increment parțial al funcției $ w = f (x, y, z) $ în raport cu $ x $

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - increment parțial al funcției $ w = f (x, y, z) $ față de $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - increment parțial al funcției $ w = f (x, y, z) $ față de $ z $;

Prin definiția creșterii complete, găsim:

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - creșterea completă a funcției $ w = f (x, y, z) $.

Prin urmare,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0,1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2,2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0,1) \ cdot 1 = 2,1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0.1) = 2.2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) \ cdot (1 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]

Din punct de vedere geometric, incrementul total al funcției $ z = f (x, y) $ (prin definiție, $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x , y) $) este egal cu creșterea funcției aplicate a graficului $ z = f (x, y) $ la trecerea de la punctul $ M (x, y) $ la punctul $ M_ (1) (x + \ Delta x , y + \ Delta y) $ (Fig. 1).

Imaginea 1.