Ecuații pătrate cu sinusoidă și cosinie. Ecuații trigonometrice.

rezumat Întrebări teoretice ale gazdei diferențiate

Pentru studenții de 1 curs

Specialități 23.02.03 " întreținere și repararea transportului de automobile "

Ecuația. Rădăcina ecuației. Ce înseamnă să "rezolvați ecuația"?

Ecuația este egalitatea care conține o variabilă.

Rădăcina ecuației este valoarea variabilei, care, atunci când îl înlocuiește în ecuație, îl transformă în egalitatea numerică corectă.

Rezolva ecuația este de a-și găsi toate rădăcinile sau de a dovedi că nu există rădăcini.

Sistemul de ecuații este o combinație de două sau mai multe ecuații cu două și mai necunoscute; Mai mult, soluția uneia dintre ecuații este simultan de soluția tuturor celorlalte.

Tipuri de ecuații și soluția lor: liniară, pătrată.

Ecuatii lineare - Acestea sunt ecuațiile formei: AH + B \u003d 0, unde A și B sunt unele permanente. Dacă nu este egală cu zero, ecuația are o singură rădăcină: x \u003d - B: a. Dacă A este zero și B este zero, atunci rădăcina ecuației AH + B \u003d 0 este orice număr. Dacă A este zero și B nu este zero, atunci ecuația ah + b \u003d 0 nu are rădăcini.

Metode de rezolvare a ecuațiilor liniare

1) Transformări identice

2) Metoda grafică.

Ecuația patrată - Aceasta este ecuația tipului tOPOR. 2 + bx. + c. \u003d 0, unde coeficienții a., b. și c. - numere arbitrare și a ≠ 0.

Lăsați ecuația pătrată să fie dată tOPOR. 2 + bx. + c. \u003d 0. Apoi, discriminatorul este numărul D. = b. 2 − 4aC..

1. Dacă D. < 0, корней нет;

2. Dacă D. \u003d 0, există exact o singură rădăcină;

3. Dacă D. \u003e 0, rădăcinile vor fi două.

Dacă discriminanța d\u003e 0, rădăcinile pot fi găsite prin formule: rădăcini ecuația pătrată.. Acum ne întoarcem, de fapt, la decizie. Dacă este discriminant D. \u003e 0, rădăcinile pot fi găsite prin formule:

Soluția celor mai simple ecuații trigonometrice

Vedere generală a soluției Cos X \u003d o ecuație, în cazul în care | A | ≤ 1, determinată prin formula:

x \u003d ± ArcCOS (A) + 2πK, K ∈ Z (numere întregi), cu | A | \u003e 1 cos x \u003d o ecuație nu are soluții între numere reale.

Vedere generală a soluției SIN X \u003d o ecuație, în cazul în care | A | ≤ 1, determinată prin formula:

x \u003d (- 1) k · Arcsin (A) + πk, k ∈ z (numere întregi), cu | A | \u003e 1 Ecuația SIN X \u003d A nu are soluții între numere reale.

Tipul general de soluție a ecuației Tg X \u003d A este determinat prin formula:

x \u003d arctg (a) + πk, k ∈ z (numere întregi).

Vederea generală a soluției de CTG X \u003d o ecuație este determinată prin formula:

x \u003d ArcCTG (A) + πK, K ∈ Z (numere întregi).

Soluție de ecuații trigonometrice liniare

Ecuațiile trigonometrice liniare au forma K * F (x) + B \u003d 0, unde F (x) este o funcție trigonometrică și numere K și B - numere valide.

Pentru a rezolva ecuația, aceasta duce la cel mai simplu tip de transformări identice

Soluție de ecuații trigonometrice combinate liniare

Ecuațiile trigonometrice combinate liniar au formularul F (KX + B) \u003d A, unde F (x) este o funcție trigonometrică, un numere valide A, K și B.

Pentru a rezolva ecuația, se introduce o nouă variabilă y \u003d kx + b. Ecuația trigonometrică cea mai simplă rezultată față de Y și produce înlocuirea inversă.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice folosind formula

Soluția ecuațiilor trigonometrice folosind identități trigonometrice

La rezolvarea ecuațiilor trigonometrice care nu sunt cele mai simple, transformările identice sunt efectuate în conformitate cu următoarele formule:

Soluția ecuațiilor trigonometrice pătrate

Caracteristicile distinctive ale ecuațiilor reduse la pătrat:

Ecuația conține funcții trigonometrice de la un argument sau sunt ușor reduse la un argument.

În ecuație, există o singură funcție trigonometrică sau toate funcțiile pot fi reduse la una.

Soluții algoritm:

Substituția se efectuează.

Transformarea expresiei este efectuată.

Este introdusă o denumire (de exemplu, sinx \u003d y).

Ecuația pătrată este rezolvată.

Valoarea valorii desemnate este substituită, iar ecuația trigonometrică este rezolvată

Departamentul de Educație din Moscova

Bugetul de stat profesionist.

Instituția de învățământ din orașul Moscova

"Școala tehnică politehnică nr. 47 numită după VG Fedorov"

Lecţie

pe matematica disciplină

"Ecuațiile trigonometrice reduse la pătrat"

Profesor

Protasevich Olga Nikolaevna.

PROFESIE: Hardware și software

DISCIPLINA : Matematică

CURS : 1

SEMESTRU : 2

GRUP :

Tema Lecția:

"Ecuațiile trigonometrice reduse la pătrat."

Tipul lecției: lecție combinată

Forma lecției: Formarea colectivă conform metodei lui V.K. Dyachenko.

(Instruire în grupuri mici)

Obiective Lecția:

Educaţie - să ia în considerare abordările generale, să rezume informațiile privind tipurile și metodele de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice care sunt reduse la pătrat; Pentru a forma abilități și abilități pentru a aplica cunoștințe la rezolvarea ecuațiilor de bază și utilizarea cunoștințelor dobândite în activități profesionale.

în curs de dezvoltare - Promovarea dezvoltării gandire logica Pentru studenti, dezvoltă capacitatea de a analiza, motiv, compara, de a trage concluzii, înțelege materiale;

Educational - Educația interesului cognitiv, elemente ale culturii comunicării, încurajează studenții pentru depășirea dificultăților în procesul de activitate mentală, formarea competențelor de muncă în echipa de muncă și formare.

Lecția de sarcini:

Pentru a cunoaște principalele tipuri și metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice reduse la pătrat.

Furnizarea (resurse):

Hardware: Calculator, proiector multimedia.

Software:Microsoft.excela.

Noțiuni de bază:

Ecuația patrată; cele mai simple ecuații trigonometrice; Funcții trigonometrice inverse; Ecuațiile trigonometrice s-au redus la pătrat.

Literatură:

Bashmakov M.I. Matematică: Tutorial pentru primar și mediu educație profesională.- m.; "Academia", 2010. - 256 p.

Dyachenko V. K. - M.; " Educație populară", 2001. - 496 p.

Literatură metodică:

Bashmakov M.I. Matematică: carte pentru profesori. Manual metodologic. - M.; « Academia ", 2013-224 p.

Resurse electronice:

Materialele site-ului Mișcarea socială și pedagogică pentru a crea o metodă colectivă de formare:www.kco-kras.ru.

Etape lecție

Ora de organizare.

Verificați-vă temele.

Actualizarea cunoștințelor de referință.

Studierea unui nou material.

Consolidarea și sistematizarea cunoștințelor dobândite.

Reflecţie. Rezumând. Teme pentru acasă.

În timpul clasei

Ora de organizare.

Profesorul pune obiectivele lecției în fața elevului:

1) să se familiarizeze cu principalele tipuri de ecuații trigonometrice reduse la pătrat;

2) Introducere cu metode tipice de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice reduse la pătrat.

3) să predea aplicarea cunoștințelor și abilităților de a rezolva ecuațiile standard;

4) Învățați lucrul cu informațiile prezentate în diferite forme, efectuați controlul reciproc și auto-controlul, aplicați cunoștințele dobândite în activitățile profesionale.

II. . Verificați-vă temele.

Profesorul include o prezentare "temă", conform căreia elevii verifică în mod independent temele, dacă este necesar, să facă modificări și să remedieze la muncă.

La cererea instruirii, profesorul observă soluții la ecuațiile care au cauzat dificultăți, după care anunță numele studenților care, la sfârșitul lecției, oferă testarea notebook-ului.

№ 1

Răspuns:

№ 2

Răspuns:

№ 3

Răspuns:

№ 4

pentru că Apoi ecuația rădăcină nu are

Răspuns: Nu există rădăcini

№ 5

Răspuns:

№ 6

Răspuns:

III. . Actualizarea cunoștințelor de referință.

Profesorul formează grupuri educaționale / perechi și oferte pe formularele emise pentru a stabili o corespondență între ecuații și răspunsuri: "Aveți un diapozitiv cu o sarcină de învățare. Instalați corespondența dintre ecuații (partea stângă a tabelului) și răspunsurile (partea dreaptă a tabelului). Notați numărul de perechi fideli de declarații în notebook. "

Sarcinile specificate sunt duplicate în prezentarea inclusă.

Setați conformitatea

p / P.

Ecuația

p / P.

Răspuns

Fără rădăcini

La sfârșitul lucrării, profesorul prezintă frontal reprezentanți ai grupurilor, după care include o pagină de prezentare cu soluțiile corecte.

Răspunsuri corecte

p / P.

Ecuația

p / P.

Răspuns

Fără rădăcini

11.

13.

10.

12.

IV. . Studierea unui nou material.

Profesorul include o prezentare a unui nou material "ecuațiile trigonometrice reduse la pătrat. Tipuri de ecuații și metode ale soluțiilor lor ".

Oferă elevului să înregistreze tezele necesare și să înceapă să comenteze fiecare diapozitiv, după care include o prezentare.

Introducem conceptul:

Vedere generală a ecuației pătrate:

1 tip de ecuații trigonometrice reduse la ecuații pătrate, algebrice față de una dintre funcțiile trigonometrice.

Profesorul explică cum să rezolve.

1. Substituția directă

Înlocuire ,

și

fără rădăcini

Răspuns:

O soluție similară are o ecuație de vizualizare

Înlocuire

2. Eurasiuni care necesită conversie prin formula unei unități trigonometrice

Înlocuire , apoi ecuația ia punctul de vedere

și

Fără rădăcini

Răspuns:

O soluție similară are ecuația formularului:

a inlocui , folosind o formulă de unitate trigonometrică

Obținem ecuația care conține doar o funcție trigonometrică :

Înlocuire

3. Eurasiuni care necesită conversie prin formula de comunicare tGX. și din tGX.

Folosim formula:

Înmulțirea ecuației la

Înlocuire , apoi ecuația ia punctul de vedere

și

Răspuns:

2 Tipul de tip ecuațiile trigonometrice reduse la pătrat- Ecuațiile omogene în care fiecare termen are același grad.

Împărțim ecuația bazată pe

Înlocuire , apoi ecuația ia punctul de vedere

și

Răspuns:

Profesorul propune să rezume materialele prezentate și pune întrebări: "Câte tipuri sunt ecuațiile trigonometrice care sunt blocate în pătrat? Numele lor? Denumiți cum să rezolvați ecuațiile trigonometrice care sunt reduse la pătrat. "

Profesorul trimite acțiunile elevului în pregătirea algoritmului pentru rezolvarea ecuațiilor de acest tip.

Ecuațiile trigonometrice reduse la pătrat sunt împărțite în două tipuri principale:

tGX. și din tGX. :

2 ecuații omogene de tip în care fiecare allegiat are același grad:

Profesorul este ajustat Soluții algoritm:

1. Determinați tipul de ecuație. Dacă este necesar, convertiți ecuația astfel încât numai o funcție trigonometrică să fie prezentă în acesta. Pentru a face acest lucru, alegeți formula dorită: sausau dezbrăcat de

2. Este introdus înlocuirea (de exemplu, Sinx \u003d. t. , cosx. = t. , tGX. = t. ).

5. Scrieți răspunsul.

Pentru a asigura cunoștințele dobândite, profesorul propune să stabilească o corespondență între ecuații și metode posibile ale soluțiilor lor: "Aveți un diapozitiv cu sarcina de studiu.

1. Efectuați clasificarea ecuațiilor prin metode de decizie conform tabelului de mai jos.

(Opțiunile de masă tipărite sunt pe tabelele dvs.).

2. Puneți un număr de metodă de soluție în graficul corespunzător.

Umpleți tabelul ".

Munca este efectuată în perechi.

p / P.

Ecuația

metodă

Metode:

1) Introduceți o nouă variabilă.

2) Introduceți o nouă variabilă

3) Introduceți o nouă variabilă.

4) Conversia ecuației prin aplicarea formulei, introduceți o nouă variabilă.

5) Convertiți ecuația prin aplicarea formulei, introduceți o nouă variabilă.

6) Împărțiți fiecare membru al ecuației, introduceți o nouă variabilă.

7) Convertiți ecuația prin aplicarea formulei, înmulțiți membrii ecuației, introduceți o nouă variabilă.

Verificarea sarcinii este efectuată sub forma unei conversații frontale.

Lector: "Aveți un diapozitiv cu răspunsurile corecte la sarcina de studiu . Efectuați un control, referindu-vă la răspunsurile corecte la sarcina de învățare. Efectuați lucrări la erori în notebook. "

Blank-urile cu sarcini sunt colectate la sfârșitul lecției.

p / P.

Ecuația

metodă

VI. . Consolidarea și sistematizarea cunoștințelor dobândite.

Profesorul oferă cursanților să continue să lucreze în grupuri.

Lector: "Decideți ecuațiile. Verificați rezultatul în editor Microsoft. excela . La sfârșitul deciziei, reprezentantul Grupului se duce la consiliul educațional și reprezintă soluția ecuației efectuate de grup. " Profesorul verifică soluția, evaluează activitatea grupului și, dacă este necesar, indică erori. "

Profesor:

1 ) Discutați modalități de rezolvare în grup.

2) Notați soluția și răspunsul rezultat la notebook.

3) Efectuați verificarea rezultatelor editorului Microsoft. excela .

4) Raportați pregătirea profesorului.

5) explică decizia lor scriind-o pe consiliu, membri ai altor grupuri.

6) Ascultați cu grijă performanțele tovarășilor, puneți întrebări, dacă este necesar.

Grupuri de luptă care îndeplinesc îndeplinirea sarcinilor, se propune îndeplinirea sarcinii altor grupuri. Compoziția grupurilor de succes este încurajată de o creștere a scorului final pe unitate.

Primul grup:

Folosim formula:

și

Fără rădăcini

pentru că

Răspuns:

Al doilea grup:

Folosim formula:

Înlocuirea, atunci ecuația ia forma

și

Răspuns:;

Al treilea grup:

Folosim formula:

Înmulțirea ecuației la

Înlocuirea, atunci ecuația ia forma

și

Răspuns:

Grupul al patrulea:

Împărțim ecuația bazată pe

Înlocuirea, atunci ecuația ia forma

și

Răspuns:

Al cincilea grup:

Înlocuirea, atunci ecuația ia forma

și

Răspuns:; .

VII. . Reflecţie. Rezumând. Teme pentru acasă.

Lector: Să vă rezumăm munca, corelând rezultatele activității dvs. cu scopul.

Repeta concepte:

"Ecuațiile trigonometrice care, cu ajutorul convertirii și înlocui variabila, sunt date pătratelor se numește ecuații trigonometrice care sunt reduse la pătrat."

1 ecuații de tip, algebrică față de una dintre funcțiile trigonometrice:

- înlocuirea directă - înlocuirea sau;

- ecuațiile care necesită conversie prin formula unei unități trigonometrice;

- Ecuațiile care necesită conversie prin formula de comunicare tGX. și S. tGX. :

2 ecuații omogene de tip în care fiecare termen are același grad: am împărțit ecuația, apoi am înlocuit-o.

Soluții algoritm:

1. Determinați tipul de ecuație. Dacă este necesar, convertiți ecuația astfel încât numai o funcție trigonometrică să fie prezentă în acesta.

Pentru a face acest lucru, alegeți formula dorită:

sau sau dezbrăcat de

2. Înlocuirea este introdusă (de exemplu, SINX \u003d t. , cosx. = t. , tGX. = t. ).

3. Decideți ecuația pătrată.

4. Se efectuează înlocuirea inversă, iar cea mai simplă ecuație trigonometrică este rezolvată.

5. Scrieți răspunsul.

Profesorul evaluează activitatea cursanților, grupurilor de formare și anunță evaluarea.

Lector: "Notați în jos teme pentru acasă: Bashmakov M.I. Matematica: manual pentru prof. Educație. - M.; "Academia", 2010. Pagina 114-115. În camera 10, rezolvați ecuațiile numărul 4,5,7,9. Pagina 118. Efectuați o verificare a rezultatelor editorului Microsoft. excela ».

Când rezolvăm multe sarcini matematiceMai ales cele întâlnite până la 10 ore, procedura de acțiuni efectuate, care va duce la obiectiv, este definită cu siguranță. Aceste sarcini includ, de exemplu, ecuații liniare și pătrate, inegalități liniare și pătrate, ecuații fracționate și ecuațiile care sunt reduse la pătrat. Principiul soluției de succes a fiecăruia dintre sarcinile menționate este după cum urmează: Este necesar să se stabilească modul în care tipul este sarcina rezolvată, să reamintească succesiunea necesară a acțiunilor care vor duce la rezultatul dorit. Răspundeți și efectuați aceste acțiuni.

Este evident că succesul sau eșecul în rezolvarea uneia sau al unei alte sarcini depinde în principal de modul în care este definit în mod corect tipul de ecuație cât de corect este reprodus secvența tuturor etapelor soluției sale. Desigur, este necesar să se dețină abilitățile de a efectua transformări și calcule identice.

O altă situație este obținută cu ecuații trigonometrice. Stabiliți faptul că ecuația este trigonometrică, absolut dificilă. Dificultățile apar atunci când determină secvența de acțiuni care ar duce la răspunsul corect.

Conform apariției ecuației, uneori este dificil să se determine tipul său. Și fără a cunoaște tipul de ecuație, este aproape imposibil să alegeți dintre mai multe duzini de formule trigonometrice necesare.

Pentru a rezolva ecuația trigonometrică, trebuie să încercați:

1. Creați toate funcțiile incluse în ecuația cu "aceleași colțuri";
2. Creați o ecuație cu "funcțiile identice";
3. Puneți partea stângă a ecuației din fabrică etc.

Considera metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

I. Aducerea la cele mai simple ecuații trigonometrice

Soluție schematică

Pasul 1. Express funcția trigonometrică prin componente bine cunoscute.

Pasul 2. Găsiți o funcție de argument prin formule:

cos x \u003d a; x \u003d ± Arccos A + 2πn, N єZ.

sIN X \u003d A; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n є z.

tg x \u003d a; x \u003d arctg A + PN, N є Z.

cTG X \u003d A; x \u003d Arcctg A + PN, N є Z.

Pasul 3. Găsiți o variabilă necunoscută.

Exemplu.

2 COS (3x - π / 4) \u003d -√2.

Decizie.

1) COS (3x - π / 4) \u003d -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 \u003d ± (π - π / 4) + 2πn, n є z;

3x - π / 4 \u003d ± 3π / 4 + 2πn, n є z.

3) 3x \u003d ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n є z;

x \u003d ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n є z;

x \u003d ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n є z.

Răspuns: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n є z.

II. Înlocuirea variabilei

Soluție schematică

Pasul 1. Creați o ecuație la forma algebrică față de una dintre funcțiile trigonometrice.

Pasul 2. Desemnați funcția rezultată a variabilei t (dacă este necesar, introduceți restricțiile pe t).

Pasul 3. Înregistrați și rezolvați ecuația algebrică rezultată.

Pasul 4. Face un înlocuitor.

Pasul 5. Rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică.

Exemplu.

2COS 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0.

Decizie.

1) 2 (1 - păcatul 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0;

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 \u003d 0.

2) Lăsați păcatul (x / 2) \u003d t, în cazul în care | t | ≤ 1.

3) 2M 2 + 5T + 3 \u003d 0;

t \u003d 1 sau e \u003d -3/2, nu îndeplinește condiția | t | ≤ 1.

4) păcatul (x / 2) \u003d 1.

5) x / 2 \u003d π / 2 + 2πn, n є z;

x \u003d π + 4πn, n є z.

Răspuns: x \u003d π + 4πn, n є z.

III. Metoda de reducere a ordinii ecuației

Soluție schematică

Pasul 1. Înlocuiți această ecuație liniară utilizând o formulă de reducere a gradului pentru aceasta:

sIN 2 x \u003d 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x \u003d 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x \u003d (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Pasul 2. Rezolvați ecuația obținută folosind metodele I și II.

Exemplu.

cos 2x + cos 2 x \u003d 5/4.

Decizie.

1) Cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) \u003d 5/4.

2) Cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x \u003d 5/4;

3/2 · cos 2x \u003d 3/4;

2x \u003d ± π / 3 + 2πn, n є z;

x \u003d ± π / 6 + πn, n є z.

Răspuns: x \u003d ± π / 6 + πn, n є z.

IV. Ecuații uniforme

Soluție schematică

Pasul 1. Aduceți această ecuație cu formularul

a) un păcat x + b cos x \u003d 0 (ecuație omogenă a gradului întâi)

sau la vedere

b) un păcat 2 x + b SIN X · COS X + C COS 2 X \u003d 0 (ecuația omogenă a gradului al doilea).

Pasul 2. Împărți ambele părți ale ecuației

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

și obțineți ecuația față de Tg X:

a) un Tg X + B \u003d 0;

b) un TG 2 x + B Arctg X + C \u003d 0.

Pasul 3. Rezolva ecuația prin metode cunoscute.

Exemplu.

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 \u003d 0.

Decizie.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (păcat 2 x + cos 2 x) \u003d 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x \u003d 0;

sIN 2 x + 3SIN X · COS X - 4COS 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) Tg 2 x + 3tg x - 4 \u003d 0.

3) Lasati tg x \u003d t, atunci

t 2 + 3T - 4 \u003d 0;

t \u003d 1 sau t \u003d -4, atunci

tg x \u003d 1 sau tg x \u003d -4.

De la prima ecuație x \u003d π / 4 + πn, n є z; De la cea de-a doua ecuație X \u003d -ArctG 4 + πk, k є z.

Răspuns: x \u003d π / 4 + πn, n є z; x \u003d -Arctg 4 + πk, k є z.

V. Metoda de transformare a unei ecuații utilizând formule trigonometrice

Soluție schematică

Pasul 1. Folosind tot felul de formule trigonometrice, conduce această ecuație cu ecuația, metodele rezolvate I, II, III, IV.

Pasul 2. Rezolvați metodele cunoscute de ecuația rezultată.

Exemplu.

sIN X + SIN 2X + SIN 3X \u003d 0.

Decizie.

1) (SIN X + SIN 3X) + SIN 2X \u003d 0;

2Sin 2x · COS X + SIN 2X \u003d 0.

2) sIN 2X · (2COS X + 1) \u003d 0;

sIN 2X \u003d 0 sau 2COS X + 1 \u003d 0;

De la prima ecuație 2x \u003d π / 2 + πn, n є z; Din a doua ecuație Cos X \u003d -1/2.

Avem x \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; Din a doua ecuație x \u003d ± (π - π / 3) + 2πK, k є z.

Ca rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k є z.

Răspuns: x \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k є z.

Abilitățile și abilitățile de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice sunt foarte important, dezvoltarea lor necesită eforturi considerabile, atât de către student, cât și de profesor.

Odată cu soluționarea ecuațiilor trigonometrice, multe provocări ale stereometriei, fizicii și altele sunt asociate cu procesul de rezolvare a unor astfel de sarcini, deoarece acestea, concluzionează multe cunoștințe și abilități care sunt achiziționate în studiul elementelor de trigonometrie.

Ecuațiile trigonometrice ocupă un loc important în procesul de învățare a matematicii și dezvoltării personalității în ansamblu.

Aveți întrebări? Nu știu cum să rezolv ecuațiile trigonometrice?
Pentru a obține un ajutor pentru tutore - înregistrare.
Prima lecție este gratuită!

site-ul, cu copierea completă sau parțială a referinței materiale la sursa originală este necesară.

Puteți comanda o soluție detaliată la sarcina dvs. !!!

Egalitatea care conține o funcție trigonometrică necunoscută ("SIN X, COS X, TG X" sau "CTG X" se numește ecuația trigonometrică, vom lua în considerare mai departe formulele lor.

Cele mai simple se numesc ecuațiile `păca x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a`, unde` x` este unghiul de găsit," a` - orice număr. Noi scriem pentru fiecare dintre ei rădăcini de formula.

1. Ecuația `Sin X \u003d A`.

Cu "A |\u003e 1" Nu aveți soluții.

Cu "A | \\ Leq 1` are un număr infinit de soluții.

Formula Roots: `x \u003d (- 1) ^ n arcsin a + \\ pi n, n \\ in z`

2. Ecuația `cos x \u003d a`

Cu "A |\u003e 1" - Ca și în cazul sinusului, nu există soluții între numerele valide.

Cu "A | \\ Leq 1` are soluții infinite setate.

Formula Roots: `X \u003d \\ pm ARCCOS A + 2 \\ PI N, N \\ în Z`

Cazuri private pentru sinus și cosinie în diagrame.

3. Ecuația `tg x \u003d a`

Are un set infinit de soluții pentru orice valori ale "a`.

Formula rădăcinilor: `X \u003d Arctg A + \\ Pi N, N \\ în Z`

4. Ecuația `CTG X \u003d A`

De asemenea, are soluții infinite setate pentru orice valoare a "a`.

Formula Roots: `x \u003d Arcctg A + \\ Pi N, N \\ în Z`

Formulele rădăcinilor ecuațiilor trigonometrice din tabel

Pentru sinus:
Pentru Cosine:
Pentru tangentă și kotenență:
Formule pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin funcții trigonometrice inverse:

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice

Soluția oricărei ecuații trigonometrice constă din două etape:

transformându-l la cea mai simplă;
pentru a rezolva ecuația cea mai simplă rezultată, utilizând formulele scrise de mai sus ale rădăcinilor și tabelelor.

Luați în considerare metodele de bază ale soluțiilor din exemple.

Metoda algebrică.

În această metodă, variabila este înlocuită și substituirea acestuia în egalitate.

Exemplu. Rezolva ecuația: `2COS ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3sin (\\ frac \\ pi 3 - x) + 1 \u003d 0``

`2COS ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3COS (x + \\ frac \\ pi 6) + 1 \u003d 0`

facem un înlocuitor: `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d y`, apoi` 2y ^ 2-3Y + 1 \u003d 0`,

găsim rădăcinile: "y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1/2, din care urmează două cazuri:

1. `COS (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1`,` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d 2 \\ pi n`, `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

2. "COS (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1 / 2`,` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d \\ pm arccos 1/2 + 2 \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Răspuns: `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ PI 6 + 2 \\ pi n`.

Factorizare.

Exemplu. Rezolva ecuația: `SIN X + COS X \u003d 1`.

Decizie. Deplasați-vă pe toți membrii egalității: "SIN X + COS X-1 \u003d 0`. Folosind, transformăm și descompune partea stângă:

`Sin x - 2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`

`2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) \u003d 0`

`SIN X / 2 \u003d 0`,` x / 2 \u003d \\ pi n`, `x_1 \u003d 2 \\ pi n`.
`COS X / 2-SIN X / 2 \u003d 0,` Tg X / 2 \u003d 1`, `x / 2 \u003d arctg 1+ \\ pi n`,` x / 2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Răspuns: `x_1 \u003d 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Aducerea la o ecuație omogenă

Inițial, această ecuație trigonometrică ar trebui adusă la una din cele două tipuri:

`un SIN X + B COS X \u003d 0 (ecuație omogenă a gradului întâi) sau" un păcat ^ 2 x + b SIN X COS X + C COS ^ 2 X \u003d 0 "(ecuația omogenă a gradului al doilea).

Apoi împărțiți ambele părți pe `cos x \\ ne 0 '- pentru primul caz, și on` cos ^ 2 x \\ ne 0' - pentru a doua. Obținem ecuația față de TG X ': "A Tg X + B \u003d 0 și" A Tg ^ 2 x + B Tg X + C \u003d 0 ", pe care trebuie să rezolvați metode bine cunoscute.

Exemplu. Rezolva ecuația: `2 păcat ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1``.

Decizie. Noi scriem partea dreaptă ca `1 \u003d păcat ^ 2 x + cos ^ 2 x ':

`2 păcat ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d` `păcat ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 păcat ^ 2 x + păcat x cos x - cos ^ 2 x`` păcat ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0`

`păcat ^ 2 x + păcat x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`.

Aceasta este o ecuație trigonometrică omogenă a gradului al doilea, împărțim părțile stângi și drepte pentru `cos ^ 2 x \\ ne 0 ', avem:

`\\ Frac (SIN ^ 2 x) (COS ^ 2 X) + \\ Frac (SIN X COS X) (COS ^ 2 X) - \\ Frac (2 Cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0``

`Tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0`. Introducem înlocuirea `tg x \u003d t", ca rezultat al "t ^ 2 + t-2 \u003d 0`. Rădăcinile acestei ecuații: `t_1 \u003d -2` și` t_2 \u003d 1`. Atunci:

`Tg x \u003d -2`,` x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`, `n \\ in z`
`Tg x \u003d 1`,` x \u003d arctg 1+ \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in z`.

Răspuns. `x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`,` n \\ in z ', `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in z`.

Tranziția la o jumătate de colț

Exemplu. Rezolvați ecuația: "11 SIN X - 2 COS X \u003d 10`.

Decizie. Aplicarea formulelor cu unghi dublu, ca rezultat: `22 Sin (x / 2) COS (X / 2) -`` 2 Cos ^ 2 x / 2 + 2 Sin ^ 2 x / 2 \u003d` `10 păcat ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 \u003d 0`

Aplicând metoda algebrică descrisă mai sus, obținem:

`Tg x / 2 \u003d 2`,` x_1 \u003d 2 arctg 2 + 2 \\ pi n`, `n \\ in z",
`Tg x / 2 \u003d 3/4`,` x_2 \u003d arctg 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ in z`.

Răspuns. `x_1 \u003d 2 arctg 2 + 2 \\ pi n, n \\ în z`,` x_2 \u003d arctg 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ in z`.

Introducerea colțului auxiliar

În ecuația trigonometrică "un păcat x + b cos x \u003d c`, în cazul în care a, b, c - coeficienți și x este o variabilă, împărțim ambele părți pe" sqrt (a ^ 2 + 2) `:

`\\ Frac A (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2)) SIN X +` `\\ frac b (SQRT (A ^ 2 + 2)) COS X \u003d` `\\ frac C (SQRT (A ^ 2 + b ^ 2)) `.

Coeficienții din partea stângă au proprietățile sinusului și ale cosiniei, și anume suma pătratelor lor egale cu 1 și modulele lor nu sunt mai mari de 1. Denumiți după cum urmează: "SQRT (A ^ 2 + B ^ 2)) \u003d COS \\ VARPHI`, `\\ Frac B (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2) \u003d SIN \\ VARPHI`,` \\ Frac C (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2) \u003d C `, apoi:

"COS \\ VARPHI SIN X + SIN \\ VARPHI COS X \u003d C`.

Să luăm în considerare în detaliu în exemplul următor:

Exemplu. Rezolva ecuația: `3 păcat x + 4 cos x \u003d 2`.

Decizie. Împărțim ambele părți ale egalității pe "SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)", obținem:

`\\ Frac (3 SIN X) (SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\\ frac (4 Cos x) (SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d` `\\ frac 2 (SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 SIN X + 4/5 COS X \u003d 2/5`.

Denotă de `3/5 \u003d cos \\ varp`,` 4/5 \u003d SIN \\ VARPHI`. Deoarece "SIN \\ VARPHI\u003e 0," COS \\ VARPHI\u003e 0, apoi ca un unghi auxiliar, luați `\\ varfi \u003d Arcsin 4/5`. Apoi, egalitatea noastră va scrie sub formă:

`COS \\ Varfi Sin X + SIN \\ VARPHI COS X \u003d 2 / 5`

Aplicând suma sumei colțurilor pentru sinus, ne scriem egalitatea în formularul următor:

`păcat (x + \\ varfi) \u003d 2 / 5`

`X + \\ varfi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \\ pi n`,` n \\ in z ",

`X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n \\ in z`.

Răspuns. `X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n \\ in z`.

Ecuații trigonometrice fracționate-raționale

Acestea sunt egalitatea cu fracțiunile, în numerele și denominatorii cărora există funcții trigonometrice.

Exemplu. Rezolvați ecuația. `\\ Frac (SIN X) (1 + cos x) \u003d 1-cos x`.

Decizie. Înmulțiți și împărțiți partea dreaptă a egalității pe `(1 + cos x)`. Ca rezultat, primim:

`\\ Frac (SIN x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`\\ Frac (SIN X) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ Frac (SIN X) (1 + cos x) \u003d` `` `` `` `` ^ 2 x) (1 + cos x) `

`\\ Frac (SIN x) (1 + cos x) -`` \\ frac (SIN ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

`\\ Frac (păcat x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

Având în vedere că numitorul este egal cu zero, nu putem obține `1 + cos x \\ ne 0,` cos x \\ ne -1`, `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ în z`.

Noi echivalăm la zero fracțiunea numitorului: "Sin X-Sin ^ 2 x \u003d 0`," Sin x (1-Sin x) \u003d 0`. Apoi `păcatul x \u003d 0` sau` 1-sin x \u003d 0`.

`Sin x \u003d 0`,` x \u003d \\ pi n`, `n \\ in z`
`1-păcat x \u003d 0`,` Sin X \u003d -1`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n, n \\ în z`.

Având în vedere că "x \\ ne \\ în z`, soluții vor fi" x \u003d 2 \\ pi n, n \\ în z` și `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n` , "n \\ în z`.

Răspuns. `x \u003d 2 \\ pi n`,` n \\ in z ', `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`,` n \\ in z`.

În special trigonometria și ecuațiile trigonometrice, sunt utilizate în aproape toate sferele de geometrie, fizică, inginerie. Studiind în clasa a 10-a începe, sarcinile sunt neapărat prezente pentru examen, deci încercați să vă amintiți toate formulele de ecuații trigonometrice - cu siguranță vă vor folosi!

Cu toate acestea, nu este necesar să le amintiți, principalul lucru este să înțelegeți esența și să vă retrageți. Nu este dificil, așa cum se pare. Asigurați-vă că vizionați videoclipul.

Lecția și prezentarea pe subiect: "Soluția celor mai simple ecuații trigonometrice"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să părăsiți comentariile, recenzii, dorințe! Toate materialele sunt verificate de programul antivirus.

Manuale și simulatoare în magazinul online "Integral" pentru gradul 10 de la 1c
Rezolvăm sarcinile de geometrie. Atribuții interactive de construcție în spațiu
Software Miercuri "1C: Designerul matematic 6.1"

Ce vom studia:
1. Ce este ecuațiile trigonometrice?

3. Două metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.
4. Ecuații trigonometrice uniforme.
5. Exemple.

Ce este ecuațiile trigonometrice?

Băieți, am studiat deja Arksinus, Arkkosinus, Artrtangent și ArkoThangence. Acum, să ne uităm la ecuațiile trigonometrice în general.

Ecuații trigonometrice - Ecuații în care variabila este conținută sub semnul unei funcții trigonometrice.

Repetăm \u200b\u200btipul de soluție a celei mai simple ecuații trigonometrice:

1) Dacă | A | ≤ 1, atunci ecuația COS (X) \u003d A are o soluție:

X \u003d ± ArcCOS (A) + 2πK

2) Dacă | A | ≤ 1, atunci păcatul ecuației (X) \u003d A are o soluție:

3) Dacă a | A | \u003e 1, apoi păcatul ecuației (x) \u003d a și cos (x) \u003d A nu au soluții 4) Ecuația Tg (x) \u003d A are o soluție: X \u003d ArctG (A) + πk

5) Ecuația CTG (X) \u003d A are o soluție: X \u003d ArcCTG (A) + πk

Pentru toate formulele K-Integer

Cele mai simple ecuații trigonometrice sunt forma: t (kx + m) \u003d a, t- orice funcție trigonometrică.

Exemplu.

Rezolvați ecuațiile: a) păcatul (3x) \u003d √3 / 2

Decizie:

A) denotă 3x \u003d t, atunci ecuația noastră va rescrie sub formă:

Soluția la această ecuație va fi: t \u003d ((- 1) ^ n) arcsină (√3 / 2) + πn.

Din tabelul de valori, obținem: t \u003d ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn.

Să ne întoarcem la variabila noastră: 3x \u003d ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn,

Apoi x \u003d ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3

Răspuns: x \u003d ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3, unde n-integer. (-1) ^ n - minus unul până la gradul n.

Mai multe exemple de ecuații trigonometrice.

Rezolvarea ecuațiilor: a) cos (x / 5) \u003d 1 b) Tg (3x- π / 3) \u003d √3

Decizie:

A) de data aceasta ne mutăm direct la calcularea rădăcinilor ecuației imediat:

X / 5 \u003d ± Arccos (1) + 2πK. Apoi x / 5 \u003d πk \u003d\u003e x \u003d 5πk

Răspuns: x \u003d 5πk, unde k este un număr întreg.

B) scriem sub formă: 3x- π / 3 \u003d arctg (√3) + πk. Știm că: Arctg (√3) \u003d π / 3

3x- π / 3 \u003d π / 3 + πk \u003d\u003e 3x \u003d 2π / 3 + πk \u003d\u003e x \u003d 2π / 9 + πk / 3

Răspuns: x \u003d 2π / 9 + πk / 3, unde k este un număr întreg.

Rezolvarea ecuațiilor: cos (4x) \u003d √2 / 2. Și găsiți toate rădăcinile de pe segment.

Decizie:

Rezolvarea B. general Ecuația noastră: 4x \u003d ± Arccos (√2 \u200b\u200b/ 2) + 2πk

4x \u003d ± π / 4 + 2πK;

X \u003d ± π / 16 + πk / 2;

Acum, să vedem ce rădăcini vor cădea pe segmentul nostru. Pentru k la k \u003d 0, x \u003d π / 16, am lovit segmentul specificat.
La k \u003d 1, x \u003d π / 16 + π / 2 \u003d 9π / 16, au venit din nou.
La K \u003d 2, X \u003d π / 16 + π \u003d 17π / 16, și aici nu au fost deja, și, prin urmare, cu un k mare, nu voi ști, de asemenea.

Răspuns: x \u003d π / 16, x \u003d 9π / 16

Două soluții principale de soluții.

Am analizat cele mai simple ecuații trigonometrice, dar există și mai complexe. Pentru a le rezolva, utilizați metoda de introducere a unei noi variabile și metoda de descompunere în multiplicatori. Să luăm în considerare exemple.

Rezolvarea ecuației:

Decizie:
Pentru a rezolva ecuația noastră, folosim metoda de a intra într-o variabilă nouă, am denotă: T \u003d Tg (x).

Ca rezultat al înlocuirii, obținem: T2 + 2T -1 \u003d 0

Găsiți rădăcinile ecuației pătrate: t \u003d -1 și t \u003d 1/3

Apoi Tg (x) \u003d - 1 și Tg (x) \u003d 1/3, ei obțin cea mai simplă ecuație trigonometrică, vom găsi rădăcinile sale.

X \u003d arctg (-1) + πk \u003d -π / 4 + πk; x \u003d arctg (1/3) + πk.

Răspuns: x \u003d -π / 4 + πk; x \u003d arctg (1/3) + πk.

Exemplu de rezolvare a ecuației

Rezolvarea ecuațiilor: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) \u003d 0

Decizie:

Folosim identitatea: păcatul 2 (x) + cos 2 (x) \u003d 1

Ecuația noastră va lua forma: 2-2COS 2 (x) + 3 COS (X) \u003d 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 \u003d 0

Introducem înlocuirea T \u003d COS (X): 2T 2 -3T - 2 \u003d 0

Soluția ecuației noastre pătrate este rădăcinile: t \u003d 2 și t \u003d -1 / 2

Apoi cos (x) \u003d 2 și cos (x) \u003d - 1/2.

pentru că Cosine nu poate accepta valori mai mult de una, atunci cos (x) \u003d 2 nu are rădăcini.

Pentru COS (x) \u003d - 1/2: x \u003d ± Arccos (-1/2) + 2πK; x \u003d ± 2π / 3 + 2πK

Răspuns: x \u003d ± 2π / 3 + 2πK

Ecuații trigonometrice uniforme.

Definiție: Ecuația formei Un păcat (x) + b cos (x) se numește ecuații trigonometrice omogene de gradul I.

Vizualizați ecuațiile

ecuațiile trigonometrice omogene ale gradului al doilea.

Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică omogenă a gradului întâi, îl împărțim pe COS (x): Nu vă puteți împărți pe cosinie dacă este zero, să ne asigurăm că nu este:
Lăsați COS (x) \u003d 0, apoi Asin (x) + 0 \u003d 0 \u003d\u003e păcatul (X) \u003d 0, dar sinusul și cosinul nu sunt în același timp zero, au obținut o contradicție, astfel încât să puteți împărți în siguranță zero.

Rezolva ecuația:
Exemplu: cos 2 (x) + păcat (x) cos (x) \u003d 0

Decizie:

Voi rezuma: COS (X) (C0S (X) + SIN (X)) \u003d 0

Apoi trebuie să rezolvăm două ecuații:

Cos (x) \u003d 0 și cos (x) + păcat (x) \u003d 0

Cos (x) \u003d 0 la x \u003d π / 2 + πk;

Luați în considerare ecuația COS (X) + păcatul (X) \u003d 0 Împărțim ecuația noastră pe COS (X):

1 + Tg (x) \u003d 0 \u003d\u003e Tg (x) \u003d - 1 \u003d\u003e x \u003d arctg (-1) + πk \u003d -π / 4 + πk

Răspuns: x \u003d π / 2 + πk și x \u003d -π / 4 + πk

Cum de a rezolva ecuațiile trigonometrice omogene ale gradului al doilea?
Băieți, lipiți întotdeauna la aceste reguli!

1. Pentru a vedea ce este egal cu coeficientul A, dacă A \u003d 0 atunci, ecuația noastră va lua vizualizarea COS (X) (BSIN (X) + CCOS (X)), un exemplu al cărui decizie a cărei diapozitivul anterior

2. Dacă a ≠ 0, atunci trebuie să împărtășiți ambele părți ale ecuației cosinoase în piață, obținem:

Facem înlocuirea variabilei T \u003d Tg (x) Obținem ecuația:

Rezolva exemplu nr.: 3

Rezolva ecuația:
Decizie:

Am împărțit ambele părți ale pătratului ecuației cosinoase:

Facem înlocuirea variabilei T \u003d Tg (x): T2 + 2 T - 3 \u003d 0

Găsiți rădăcinile ecuației pătrate: t \u003d -3 și t \u003d 1

Apoi: tg (x) \u003d - 3 \u003d\u003e x \u003d arctg (-3) + πk \u003d -Arctg (3) + πk

Tg (x) \u003d 1 \u003d\u003e x \u003d π / 4 + πk

Răspuns: x \u003d -Karctg (3) + πk și x \u003d π / 4 + πk

Rezolva exemplul nr. 4

Rezolva ecuația:

Decizie:
Ne transformăm expresia:

Putem rezolva o astfel de ecuație: x \u003d - π / 4 + 2πk și x \u003d 5π / 4 + 2πk

Răspuns: x \u003d - π / 4 + 2πk și x \u003d 5π / 4 + 2πk

Rezolva exemplu nr: 5

Rezolva ecuația:

Decizie:
Ne transformăm expresia:

Introducem înlocuirea Tg (2x) \u003d T: 2 2 - 5T + 2 \u003d 0

Soluția ecuației pătrate va fi rădăcinile: t \u003d -2 și t \u003d 1/2

Apoi ajungem: Tg (2x) \u003d - 2 și Tg (2x) \u003d 1/2
2x \u003d -arcc (2) + πk \u003d\u003e x \u003d -Acrcg (2) / 2 + πk / 2

2x \u003d arctg (1/2) + πk \u003d\u003e x \u003d arctg (1/2) / 2 + πk / 2

Răspuns: X \u003d -Karctt (2) / 2 + πk / 2 și x \u003d arctg (1/2) / 2 + πk / 2

Sarcini pentru soluții de sine.

1) rezolvați ecuația

A) Păcatul (7x) \u003d 1/2 b) cos (3x) \u003d √3 / 2 c) cos (-x) \u003d -1 g) Tg (4x) \u003d √3 d) CTG (0,5x) \u003d -1,7

2) Rezolvarea ecuațiilor: păcatul (3x) \u003d √3 / 2. Și găsiți toate rădăcinile de pe segmentul [π / 2; π].

3) Rezolvarea ecuației: CTG 2 (x) + 2ctg (X) + 1 \u003d 0

4) Rezolvarea ecuației: 3 SIN 2 (X) + √3SIN (X) COS (X) \u003d 0

5) Rezolvarea ecuației: 3sin 2 (3x) + 10 păcat (3x) COS (3x) + 3 cos 2 (3x) \u003d 0

6) Rezolva ecuația: cos 2 (2x) -1 - cos (x) \u003d √3 / 2 -sin 2 (2x)