Sinus, Kosinus, Tangent: Ce este? Cum să găsești sinusul, cosinul și tangentul? Identități trigonometrice de bază.

Comentarii importante!
1. Dacă în loc de formulele pe care le vedeți Abracadabra, curățați memoria cache. Cum să faceți acest lucru în browserul dvs. este scris aici:
2. Înainte de a începe să citiți un articol, acordați atenție navigatorului nostru în cel mai mult resursă utilă pentru

Sinus, kosinus, tangent, kotangent

Conceptele sinusului (), cosinus (), tangente (), kotangenii () sunt legate inextricabil de conceptul de unghi. Pentru a arăta bine în acestea, la prima vedere, concepte complexe (ceea ce provoacă mulți elevi o stare de groază) și asigurați-vă că "trăsăturile nu sunt atât de teribile ca puțin", vom începe și ne uităm la concept a unui unghi de la început.

Conceptul de unghi: Radian, grad

Să vedem în imagine. Vectorul "a transformat" în raport cu punctul pe o anumită sumă. Astfel încât măsura acestei rânduri se referă la poziția inițială și va funcționa unghi.

Ce altceva trebuie să fie conștient de conceptul de unghi? Bineînțeles, unitățile de măsurare a unghiului!

Unghiul, atât în \u200b\u200bgeometrie, cât și în trigonometrie, poate fi măsurat în grade și radiani.

Un unghi în (un grad) se numește un unghi central într-un cerc, bazat pe un arc circular egal cu circumferința. Astfel, întregul cerc constă din "bucăți" de arcuri circulare sau un unghi descris de cerc este egal cu.

Aceasta este, în figura de mai sus, este descris un unghi egal, adică acest unghi se bazează pe o dimensiune a arcului circular a lungimii circumferinței.

Unghiul din radian se numește unghiul central în circumferință, pe baza arcului circular, lungimea căreia este egală cu raza cercului. Ei bine, a dat seama? Dacă nu, să ne ocupăm de desen.

Astfel, cifra prezintă un unghi egal cu radiana, adică acest unghi se bazează pe un arc circular, lungimea căreia este egală cu raza circumferinței (lungimea este egală cu lungimea sau raza este egală cu lungimea arcul). Astfel, lungimea arcului este calculată prin formula:

Unde este unghiul central în radiani.

Ei bine, puteți ști acest lucru, răspundeți cât de mult conține un unghi descris de cerc? Da, pentru că trebuie să vă amintiți formula lungimii circumferinței. Iat-o:

Ei bine, acum aceste două formule se asigură acum că unghiul descris de cerc este egal. Asta este, corectată în grade și radiani, obținem asta. În consecinţă,. După cum puteți vedea, spre deosebire de "grade", cuvântul "radian" este descendent, deoarece unitatea de măsură este de obicei clară din context.

Și câți radiani se compun? In regula!

Prins? Apoi înainte de a repara:

Au dificultăți? Apoi vezi răspunsuri:

Triunghi dreptunghiular: sinus, cosin, tangent, colț de cavangenție

Deci, cu conceptul de unghi care a dat seama. Și ceea ce este încă sinus, cosin, tangent, unghiul de cavandent? Să ne ocupăm. Pentru aceasta, un triunghi dreptunghiular ne va ajuta.

Care sunt numele triunghi dreptunghiular? Toate ipotenii și kartete: Hypotenuse este o petrecere care se află în fața unghiului direct (în exemplul nostru este o parte); Katenets sunt cele două părți rămase și (cele care sunt adiacente colțul drept), Mai mult decât atât, dacă luați în considerare cattetele în raport cu unghiul, atunci catta este o pisică prudentă, iar cateul este un opus. Deci, răspundeți acum la întrebarea: Ce este colțul sinusului, cosin, tangentă și catangenes?

Colțul sinusului - Acesta este raportul categoriei opuse (departe) pentru hipotenuse.

În triunghiul nostru.

Colecul Cosinei - Acesta este raportul dintre categoria adiacentă (închidere) pentru hipotenuse.

În triunghiul nostru.

Unghiul tangent - Acesta este raportul categoriei opuse (pe distanțe lungi) la adiacente (închidere).

În triunghiul nostru.

Cotungenes colț - Acesta este raportul dintre categoria adiacentă (relativ) la opusul (distanța lungă).

În triunghiul nostru.

Aceste definiții sunt necesare tine minteFotografiile! Pentru a fi mai ușor de reținut ce cattat cu privire la ce să împărtășiți, este necesar să realizați în mod clar că în tangentă și kothangence. numai catetele sunt așezate, iar hipotenusele apare numai în sinus și cosinus. Și apoi puteți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, asta este:

Cosine → Atingeți → Atingeți → Confidențialitate;

Kotangenes → Atingeți → Atingeți → Imprimare.

În primul rând, este necesar să ne amintim că sinusul, cosinul, tangenul și Catangenul, deoarece relațiile părților triunghiului nu depind de lungimile acestor părți (la un colț). Sa nu ai incredere? Atunci vei ucide, uitându-se la imagine:

Luați în considerare, de exemplu, unghiul cosinus. Prin definiție, de la un triunghi: dar putem calcula cosinul unghiului și triunghiului :. Vedeți, lungimile lateralului sunt diferite, iar valoarea cosiniei unui colț este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosiniei, tangentelor și catangenelor depind doar pe valoarea unghiului.

Dacă mi-am dat seama în definiții, apoi le-am transmis înainte!

Pentru triunghiul descris mai jos în figură, vom găsi.

Ei bine, prins? Apoi încercați eu: calculați același lucru pentru colț.

Single (trigonometric) cerc

Preluarea în conceptele de grade și radian, am considerat un cerc cu o rază egală cu. Un astfel de cerc este numit Singur. Este foarte util atunci când studiați trigonometria. Prin urmare, vom locui pe ea puțin mai detaliat.

După cum puteți vedea, acest cerc este construit în sistemul de coordonate cartesian. Radiusul cercului este egal cu unul, în timp ce centrul cercului se află la începutul coordonatelor, poziția inițială a vectorului razei este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei (în exemplul nostru, aceasta este o rază ).

Fiecare punct al cercului corespunde cu două numere: coordonate de-a lungul axei și coordonează de-a lungul axei. Și care este acest număr de coordonate? Și în general, ce se referă la subiectul în cauză? Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim triunghiul dreptunghiular considerat. Cifra prezentată mai sus, puteți vedea cât mai multe triunghiuri dreptunghiulare. Luați în considerare un triunghi. Este dreptunghiulară, deoarece este perpendiculară pe axă.

Ce este egal cu un triunghi? Asta e corect. În plus, știm că este o rază un singur cercAsa de. Înlocuiți această valoare în formula noastră pentru cosin. Asta se pare:

Și ce este egal cu triunghiul? Bineînțeles, bineînțeles! Înlocuim valoarea razei în această formulă și obțineți:

Deci, puteți spune care coordonatele au un punct aparținând cercului? Ei bine, în nici un caz? Și dacă îți dai seama că - este doar numere? Ce coordonează corespunde? Bineînțeles, coordonatele! Și ce coordonează corespunde? Bine, coordonează! Astfel, punctul.

Și apoi atunci egal și? Așa este, folosim definițiile relevante ale lui Tangent și Kotangent și obținem asta, dar.

Și dacă unghiul este mai mult? Aici, de exemplu, ca în această imagine:

Ce sa schimbat în acest exemplu? Să ne ocupăm. Pentru a face acest lucru, întoarceți-vă la triunghiul dreptunghiular. Luați în considerare un triunghi dreptunghiular: unghi (ca adiacent la colț). Care este sensul sinusului, al cosiniei, tangentei și cavandentului pentru colț? Bine, aderă la definițiile corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice:

Ei bine, după cum vedeți, valoarea sinusului din colț este încă coordonate; Valoarea cosinică a colțului - coordonate; Și valorile tangentelor și ale lui Cotangen cu relațiile corespunzătoare. Astfel, aceste rapoarte sunt aplicabile oricăror viraje ale vectorului razei.

Sa menționat deja că poziția inițială a vectorului razei este de-a lungul direcției pozitive a axei. Până acum, am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic și ce se va întâmpla dacă îl rotiți în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, va fi, de asemenea, un unghi de o anumită sumă, dar numai va fi negativă. Astfel, când rotiți vectorul de rază în sens invers acelor de ceasornic, se dovedește unghiuri pozitiveși când rotiți în sensul acelor de ceasornic - negativ.

Deci, știm că întreaga cifră de afaceri a circumferinței de rază-vector este sau. Poți să rotiți sau pe vectorul de rază? Bineînțeles, poți! În primul caz, astfel, vectorul razei va face o întoarcere completă și va opri în sau.

În cel de-al doilea caz, adică vectorul razei va face trei rotiri complete și se oprește în poziție sau.

Astfel, din exemplele de mai sus putem concluziona că unghiurile care diferă în sau (unde - orice număr întreg) corespund aceleiași poziții a vectorului razei.

Mai jos în figura arată unghiul. Aceeași imagine corespunde colțului etc. Această listă poate fi continuată pentru infinit. Toate aceste colțuri pot fi înregistrate printr-o formulă generală sau (în cazul în care - orice număr întreg)

Acum, cunoașterea definițiilor principalelor funcții trigonometrice și utilizând un singur cerc, încercați să răspundeți la ceea ce sunt valorile:

Iată un singur cerc pentru a vă ajuta:

Au dificultăți? Atunci să ne ocupăm. Deci, știm că:

De aici, definim coordonatele punctelor care corespund unui anumit măsură de unghi. Ei bine, să începem în ordine: colțul corespunde punctului cu coordonatele, prin urmare:

Nu exista;

Mai mult, aderarea la aceeași logică, aflați că colțurile corespund punctelor cu coordonate, respectiv. Cunoscând-o, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice la punctele corespunzătoare. În primul rând, încercați eu și apoi verificați cu răspunsurile.

Răspunsuri:

Astfel, putem face următorul semn:

Nu este nevoie să vă amintiți toate aceste valori. Este suficient să ne amintim corespondența coordonatelor punctelor pe un singur cerc și valorile funcțiilor trigonometrice:

Dar valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor din și prezentate în tabelul de mai jos, trebuie să vă amintiți:

Nu vă fie frică, acum arătăm unul dintre exemple memorarea destul de simplă a valorilor relevante:

Pentru a utiliza această metodă, este vital să memorați valorile sinusale pentru toate cele trei unghiuri (), precum și valoarea tangentului unghiului în. Cunoscând aceste valori, este destul de simplu să restaurați întreaga masă a întregii mese de cosinie transferate în conformitate cu săgețile, adică:

Știind că poate fi restabilită valori pentru. Numărul "" va corespunde, iar denominatorul "corespunde. Valorile COOTANEN sunt transferate în conformitate cu săgețile specificate în figură. Dacă înțelegeți și amintiți-vă schema săgeată, va fi suficient să vă amintiți întreaga valoare din tabel.

Coordonatele punctului de pe cerc

Și este posibil să găsiți punctul (coordonatele sale) pe cerc, cunoașterea coordonatelor centrului cercului, a razei sale și a unghiului de rotație?

Bineînțeles, poți! Să scoatem formula generală. Pentru a găsi coordonatele punctului.

Aici, de exemplu, avem un astfel de cerc:

Vom fi dat că punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținut prin rotirea punctului de pe grade.

După cum se poate observa din figură, coordonata punctului corespunde lungimii segmentului. Lungimea segmentului corespunde coordonatei centrului cercului, adică este egal cu. Lungimea segmentului poate fi exprimată utilizând o definiție a cosiniei:

Apoi avem asta pentru punctul de coordonate.

Prin aceeași logică, găsim valoarea coordonatelor y pentru un punct. În acest fel,

Deci, B. general Coordonatele punctelor sunt determinate de formulele:

Coordonatele centrului cercului,

Raza cercului

Unghiul razei vectoriale.

După cum puteți vedea, pentru circumferința unității în cauză, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt egale cu zero, iar raza este egală cu una:

Ei bine, încercați aceste formule pentru a gusta, atent în găsirea de puncte pe cerc?

1. Găsiți coordonatele punctului pe un singur cerc obținut prin rotirea punctului la.

2. Găsiți coordonatele punctului pe un singur cerc obținut prin rotirea punctului.

3. Găsiți coordonatele punctului pe un singur cerc obținut prin rotirea punctului la.

4. Punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținut prin rotirea vectorului inițial de rază.

5. Punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținut prin rotirea vectorului inițial de rază.

Au existat probleme în găsirea punctului de coordonare pe cerc?

Distribuiți aceste cinci exemple (sau înțelegerea bine în rezolvare) și veți învăța să le găsiți!

Rezumatul și formulele de bază

Senina unghiului este raportul dintre categoria opusă (distanța lungă) pentru hipotenuse.

Unghiul cosinus este raportul dintre categoria adiacentă (închidere) pentru hipotenuse.

Unghiul tangentului este raportul dintre categoria opusă (pe distanțe lungi) la adiacente (închidere).

Unghiul Cotangendent este raportul dintre categoria adiacentă (relativă) la opusul (lungime).

Ei bine, subiectul este terminat. Dacă citiți aceste linii, atunci sunteți foarte cool.

Deoarece doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citiți până la sfârșit, atunci ați intrat în aceste 5%!

Acum cel mai important lucru.

V-ați gândit la teoria pe acest subiect. Și, repet, asta ... este doar super! Ești mai bine decât majoritatea absolută a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru nu poate fi suficient ...

Pentru ce?

Pentru succes surchaze Ege.Pentru admiterea la Institutul de la buget și, cel mai important, pentru viață.

Nu te voi convinge nimic, o să spun doar un lucru ...

Oamenii care au primit o educație bunăMașină mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Acestea sunt statistici.

Dar nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt mai fericiți (există o astfel de cercetare). Poate pentru că există mult mai multe oportunități în favoarea lor și viața devine mai strălucitoare? Nu știu...

Dar, gândiți-mă ...

Ce trebuie să fii sigur că ești mai bun decât alții la examen și să fii în cele din urmă ... mai fericit?

Umpleți o mână prin rezolvarea sarcinilor pe acest subiect.

Nu veți cere teoria examenului.

Vei avea nevoie rezolva sarcini pentru o vreme.

Și dacă nu le-ați rezolvat (foarte mult!), Sunteți cu siguranță o greșeală greșită sau pur și simplu nu aveți timp.

Este ca și în sport - trebuie să repetați de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți unde doriți o colecție, obligatoriu cu soluții, analize detaliate Și decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (nu neapărat) și noi, desigur, le recomandăm.

Pentru a umple mâna cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să vă ajutați la prelungirea vieții la manualul tău, pe care le citești acum.

Cum? Există două opțiuni:

1. Accesul deschis la toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Accesul deschis la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 articole din manual - Cumpara manual - 499 ruble

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul pentru toate sarcinile și toate textele ascunse pot fi deschise imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este prevăzut pentru întreaga existență a site-ului.

În concluzie...

Dacă sarcinile noastre nu le place, găsiți alții. Doar nu te opri pe teorie.

"Înțeleg" și "pot decide" este abilități complet diferite. Aveți nevoie de ambele.

Găsiți sarcina și decideți!

Lectura: Sinus, cosin, tangent, unghi arbitrar catangen

SINE, Cosine de un unghi arbitrar

Pentru a înțelege ce funcții trigonometrice sunt, întoarceți-vă la circumferința cu o singură rază. Acest cerc are un centru la începutul coordonatelor din planul de coordonate. Pentru a determina funcțiile specificate, vom folosi un vector de radius SAUcare începe în centrul circumferinței și punctul R. Este un punct de cerc. Acest vector de rază formează un unghi de alfa cu axa OH. Deoarece cercul are o rază egală cu una, atunci Sau \u003d r \u003d 1.

Dacă din punct R. omite perpendicular pe axa OH, Vom obține un triunghi dreptunghiular cu un hipotenur egal cu unul.

Dacă raza-vectorul se mișcă în sensul acelor de ceasornic, această direcție este numită negativDacă se mișcă împotriva mișcării în sensul acelor de ceasornic - pozitiv.

Colțul sinusului SAU, este punctul de ordonare R. Vector pe cerc.

Adică obținerea valorii sinusului din acest unghi alfa, este necesar să se determine coordonatul W. la suprafață.

Cum a fost valoarea acestei valori? De când știm că sinusul unui unghi arbitrar într-un triunghi dreptunghiular este atitudinea unei categorii opuse pentru hipotenuse, obținem asta

Și de atunci R \u003d 1.T. păcat (α) \u003d y 0 .

Într-un singur cerc, valoarea ordonării nu poate fi mai mică -1 și mai mult de 1, înseamnă asta

Sinus are o valoare pozitivă în primul și al doilea trimestru al unui singur cerc, iar în al treilea și al patrulea - negativ.

Colecul Cosinei Acest cerc format de Radius-Vector SAU, este punctul abscissa R. Vector pe cerc.

Care este, pentru a obține o valoare cosinoasă a acestui unghi de alfa, este necesar să se determine coordonarea H. la suprafață.

Cosinul unui unghi arbitrar într-un triunghi dreptunghiular este o relație categoria adiacentă la hipotenuse, obținem asta

Și de atunci R \u003d 1.T. cos (α) \u003d x 0 .

Într-un singur cerc, valoarea abscisa nu poate fi mai mică de -1 și mai mult de 1, înseamnă asta

Cosine are o valoare pozitivă în primul și al patrulea trimestru al unui singur cerc, iar în al doilea și în al treilea - negativ.

Tangentis. Colțul arbitrar Raportul dintre sinusul la cosinus este luat în considerare.

Dacă luăm în considerare triunghiul dreptunghiular, acesta este raportul categoriei opuse la cea adiacentă. Dacă vorbim Într-un singur cerc, acesta este raportul dintre obișnuite la Abscisa.

Judecând prin aceste relații, se poate înțelege că tangentul nu poate exista dacă valoarea abscisa este zero, adică la un unghi de 90 de grade. Toate celelalte valori ale tangentului pot dura.

Tangentul are o valoare pozitivă în primul și al treilea trimestru al unui singur cerc, iar în al doilea și al patrulea este negativ.

Acest articol a fost colectat mese sinusale, coslinees, tangente și catageneri. Mai întâi prezentăm tabelul principalelor valori ale funcțiilor trigonometrice, adică tabelul sinusurilor, cosinoși, tantangi și catangents ale unghiurilor 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 de grade ( 0, π / 6, π / 4, π / 3, π / 2, ..., 2π radian). După aceea, vom da un tabel de sinusuri și cosine, precum și un tabel de tangente și Kotangens V. M. Bradis și arată cum să utilizați aceste tabele când se găsesc valorile funcțiilor trigonometrice.

Navigarea paginii.

Tabel de sinusuri, cosline, tangente și catangents pentru unghiuri 0, 30, 45, 60, 90, ... grade

Bibliografie.

• Algebră: Studii. Pentru 9 cl. medii Shk. / U. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov; Ed. S. A. Telikovski. - M.: Educație, 1990.- 272 c.: ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M. I. Algebra și analiza inițială: studii. Pentru 10-11 cl. medii SHK. - A treia ed. - M.: Iluminare, 1993. - 351 c.: Il. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebră și analiza inițială: studii. Pentru 10-11 cl. educatie generala. Instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn, etc.; Ed. A. N. Kolmogorova.-14-lea ed. - M.: Iluminare, 2004.- 384 c.: IL.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (beneficii pentru solicitanții în școli tehnice): Studii. Beneficiu. - M.; Superior. Shk., 1984.-351 p., IL.
• Bradis V. M. Tabele matematice din patru cifre: pentru formarea generală. studii. unități. - A doua ed. - M.: Drop, 1999.- 96 p.: Il. ISBN 5-7107-2667-2.

Cu centrul la punctul A.
α - unghi, exprimat în radiani.

Tangentă ( tg α.) - este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α între hipotenoom și un element de triunghi rigid, egal cu raportul dintre lungimea categoriei opuse | BC | la lungimea categoriei adiacente | AB | .

KoTNENCE ( cTG α.) - este o funcție trigonometrică, în funcție de unghiul α între hipotenoomul și cathetul triunghiului dreptunghiular, egal cu raportul dintre lungimea categoriei adiacente AB | la lungimea categoriei opuse | BC | .

Tangentă

Unde n. - Întregul.

În literatura occidentală, tangentul este desemnat ca:
.
;
;
.

Funcția tangentă grafic, y \u003d tg x

Cotangentă

Unde n. - Întregul.

În literatura occidentală, Kothanns este indicat după cum urmează:
.
Următoarea notație este luată și:
;
;
.

Funcția de la Coteance Graph, Y \u003d CTG X

Proprietățile tangentelor și a koțenței

Periodicitate

Funcții y \u003d. tg X. și y \u003d cTG X. Periodic cu o perioadă π.

Paritate

Funcțiile tangentelor și kotangenelor sunt ciudate.

Domenii de definiție și valori, în creștere, scăderea

Funcțiile Tangentului și Kotangentului sunt continue pe zona de definiție (a se vedea dovada continuității). Proprietățile principale ale tangentului și a kotului sunt prezentate în tabel ( n. - întreg).

	y \u003d. tg X.	y \u003d. cTG X.
Definiție și zonă de continuitate
Regiunea valorilor	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Ascendent		-
Dezarmare	-
Extreme	-	-
Zerouri, y \u003d 0
Punct de intersecție cu axa ordonată, x \u003d 0	y \u003d. 0	-

Formule

Expresii prin sinus și cosinus

; ;
; ;
;

Formule tangente și cotangente din cantitatea și diferența

Formulele rămase sunt ușor de obținut, de exemplu

Munca tangentă

Formula sumei și diferența dintre tangente

Acest tabel prezintă valorile tangentelor și castenilor la unele valori ale argumentului.

Expresii integrate

Expresii prin funcții hiperbolice

;
;

Derivați

; .

.
N-th Ordin derivat de variabilă x din funcție:
.
Ieșirea formulei pentru tangente \u003e\u003e\u003e ; pentru Cotanza \u003e\u003e\u003e

Integrals.

Descompunere în rânduri

Pentru a obține o descompunere a tangentului în grade x, trebuie să luați mai mulți membri de descompunere într-un rând de putere pentru funcții sIN X. și cOS X. și Împărțiți aceste polinomi unul altuia . În acest caz, se obțin următoarele formule.

La.

la.
Unde B N. - Numerele Bernoulli. Ele sunt determinate fie din raportul recurent:
;
;
Unde.
Fie prin formula Laplace:

Funcții inverse

Funcții inverse La Tangent și Kotangent sunt arctanens și arkotancență , respectiv.

Arctgennes, Arctg.

Unde n. - Întregul.

Arkkotangenes, ArcctG.

Unde n. - Întregul.

Referințe:
ÎN. BRRSTEIN, K.A. SERENDYAEV, o carte de referință privind matematica pentru inginerii și studenții participanților, "Lan", 2009.
Korn, director de matematică pentru oamenii de știință și ingineri, 2012.